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四川人学硕士学位论文 摘要 c c d 的非线性对f t p 测量精度的影响研究 光学专业 研究生乔闹生指导教师苏显渝 摘要 随着计算机技术硬件和软件的发展，以及图像获取设备分辨率的提高，在 机器视觉、实物仿真、工业自动检测、产品质量控制、生物及医学检测等领域， 人们越来越多的应用到三维面形测量。目前，发展高速度、高精度、非接触的 三维面形测量技术已经成为该领域的一个研究热点。基于条纹投影的傅里叶变 换轮廓术( f t p ) 具有单帧获取、全场分析和商分辨率等优点，因而已经成为三维 传感研究的基本方法之一、成为三维传感中最重要和最活跃的研究领域之一。 由于傅立叶变换轮廓术涉及傅立叶变换以及频谱滤波等运算，频谱混叠、测量 精度、相位展开等问题一直是这种方法应用过程中的关键问题。 本文在c c d 非线性及傅里叶变换轮廓术理论分析的基础上，详细分析了c c d 非线性产生频谱混叠的问题，深入研究了c c d 的非线性和抽样对傅立时变换轮 廓术测量精度的影响。重点从理论上分析c c d 的非线性产生高频分量的原因， 并给出了简单的物理解释和详细的解析推导；讨论了由于c c d 的非线性，对条 纹进行傅立叶变换后，频谱中会出现二级频谱、三级频谱等高级频谱成份。这 样，抽样不足，基频会与相邻频谱岛的二级频谱、三级频谱等高级频谱发生混 叠，从而影响f t p 的测量精度。抽样频率较大时，基频才会与相邻频谱岛的二 级频谱、三级频谱等高级频谱很好的分离，从而提高f t p 的测量精度。本文主 要研究成果如下： l 、分析了c c d 非线性产生频谱混叠的问题。并从理论上分析c c d 的非线性 产生高频分量的原因，给出了简单的物理解释和详细的解析推导；通过计算机 i 四川丈学硕士学位论文 摘要 仿真分析了c c d 的非线性导致频谱混叠的情况；讨论了加密抽样对减少频谱混 叠的作用，提出了在存在高级次频谱成份的情况下，加密光栅可明显提高f t p 的测量精度。 2 、分析了由于实际工作中探测器存在二阶、三阶非线性，故输出光强经过 傅立叶变换后，存在着二级、三级频谱，从而影响了f t p 的测量精度。本文对 抽样频率的确定给出了严格的理论分析和公式推导。分析表明：由于非线性的 影响，必须满足抽样条件，增大抽样频率才可避免频谱混叠，从而保证傅立叶 变换轮廓术的测量精度。 关键词：傅里叶变换轮廓术( f t p )抽样 c c d 非线性 婴型查兰塑主鲎竺堡塞 塑塞 s t u d yo fi n f l u e n c ec a u s e db y n o n l i n e a r i t yo fc c di nf 1 - p m a j o ro p t i c s g r a d u a t en a o s h e n gq i a oa d v i s o r x i a n y us u a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rh a r d w a r ea n ds o f t w a r et e c h n i q u ea n d h i g h r e s o l u t i o ni m a g eg r a b b e r ，t h r e ed i m e n s i o n a ls u r f a c em e a s u r e m e n th a s b e e n w i d e l y u s e df o rm a c h i n e v i s i o n ，i n d u s t r y m o n it o r i n g ， b i o m e d i c i n e ，r e a lo b j e c tv i s u a l i z a t i o ne t c t o d a y ，i th a sb e e nah o ts p o t i nm e t r o l o g ys c i e n c ef i e l db e c a u s ei th a st h ec h a r a c t e r i s t i co f s p e e d i h e s s ，h i g hp r e c i s i o na n dn oc o n t a c t f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n p r o f i l o m e t r y ( f t p ) b a s e do nf r i n g ep r o j e c t i o nh a sb e c o m eo n eo ft h em o s t i m p o r t a n ta n dt h em o s ta c t i v e3 - ds e n s i n gm e t h o d sa n dh a sp a i d m o r ea n d m o r er e s e a r c h e r s a t t e n t i o ni no p t i c a l3 - dp r o f i l o m e t r y i th a sf o l l o w m e r i t s ：o n l yo n ef r i n g ep a t t e r nn e e d e d ，f u l lf i e l da n a l y s i s ，a n dh i g h p r e c i s i o n b e c a u s ef t pn e e d sc a l c u l a t i n gf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o na n d f i l t e r i n g ，s of r e q u e n c yo v e r l a p p i n g ，t h ep r e c i s i o no fm e a s u r e m e n ta n d p h a s eu n w r a pa r ek e yq u e s t i o n si na p p l i c a t i o n b a s e do nt h en o n l i n e a r i t yo fc c da n df t pt h e o r i e s t h i sp a p e ra n a l y s i s t h ep r o b i e mo ff r e q u e n c yo v e r l a p p i n gi nf t pc a u s e db yt h en o n l i n e a r i t y a n ds a m p l i n go fc c d a c c o r d i n gt o t h ea n a l y s j so fh i g hf r e q u e n c y p r o d u c e db y t h en o n l i n e a r i t yo fc c d ，w eh a v eg i v e nas i m p l ep h y s i c a l e x p l a i na n dd e t a i1 e da n a l y t i c a ld e d u c t i o n b e c a u s eo ft h ei n f l h e n c eo f i i i 四川大学硕士学位论文 摘要 t h en o n l i n e a r i t y ，t h e r ea r et h es e c o n da n dt h et h i r do r d e rf r e q u e n c yi n t h ef r e q u e n c yd o m a i no ft h ed e f o r m e df r i n g ep a t t e r n t h u s ，b e c a u s eo f t h es a m p l i n gs h o r t a g ew i l li n d u c et h ef r e q u e n c yo v e r l a p p i n gb e t w e e nt h e f i r s to r d e rf r e q u e n c ya n dt h es e c o n da n dt h et h i r do ro t h e rh ig h e ro r d e r f r e q u e n c yi na n o t h e rs e to ff r e q u e n c yd i s t r i b u t i o n i ta f f e c t st h e m e a s u r e m e n tp r e cisio no ff t p w h e nt h es a m p l in gf r e q u e n c yisc o m p a r a tiv e g r e a t l y ，t h ef i r s tf r e q u e n c yw i l l b es e p a r a t e dw i t ht h es e c o n da n dt h e t h i r do r d e rf r e q u e n c yo ro t h e rh i g h e ro r d e rf r e q u e n c y ，t h u si tc a ni m p r o v e t h em e a s u r e m e n tp r e c i s i o no ff t p t h em a i nr e s u l to fs t u d yc a nb e s u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： 1 、w eh a v ea n a ly z e dt h eq u e s tio no fo v e r l a p p in gs p e c t r u mb e c a u s eo f t h en o n l i n e a r i t yo fc c d ，a n dg i v e nt h es i m p l ep h y s i c a le x p l a i na n d d e t a i l e da n a l y t i c a ld e d u c t i o n t h eo v e r l a p p i n gs p e c t r u mc a u s e db yt h e n o n li n e a r i t yo fc c dh a sb e e na n a l y z e dt h r o u g hs i m u l a t i o no fc o m p u t e r b yd e n s e rs a m p l i n gt h em e a s u r e m e n tp r e c i s i o n o ff t pc a nb ei m p r o v e d o b v i o u s l y 2 、a f t e ra n a l y z e dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h es e c o n da n dt h et h i r do r d e r n o n li n e a r i t yo fc c da n dt h es e c o n da n dt h et h i r do r d e rf r e q u e n c y ，w eh a v e g i v e nt h es e v e r et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dd e d u c t i o no f f o r m u l a t et o d e c i d et h es a m p li n gf r e q u e n c y t h ea n a l y s i sh a sb e e ni n d i c a t e d ：d u et o t h ee f f e c to fn o n l i n e a r i t y ，s a m p l i n gc o n d i t i o nm u s tb es a t i s f i e da n d s a m p l i n gf r e q u e n c ym u s tb ei n c r e a s e dt oa v o i do v e r l a p p i n gs p e c t r u ma n d t oe n s u r et h ep r e c i s i o no fm e a s u r e m e n t k e v w o r d s ：n o n l i n e a r i t yo fc c d f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o np r o f i l o m e t r y ( f t p ) s a m p li n g 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 随着计算机技术、光学技术和光电子技术的飞速发展，传统的光学计量技 术受到了很大的冲击，新的三维传感和计量方法不断涌现。基于结构光照明的 光学三维面形测量( 又称光学三维传感) 方法具有非接触、高精度、高速度以 及易于在计算机控制下实行自动化测量等优点，在机器视觉、自动加工、工业 自动检测、产品质量控制、生物医学等方面具有重要意义和广泛的应用前景口埘。 目前，一些技术已经得到了开发并进入了商业应用。 l _ 1 光学三维传感的两个慨念 光学三维传感是获取三维面形表面各点的空间坐标的方法和技术。如图1 - 1 所示，获取三维面形信息的基本方法可以分为两大类：被动三维传感和主动三 维传感 1 0 q 2 l 。 1 1 1 被动三维传感 被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统中获取的二维 图像中确定距离信息，形成三维面形数据雎。3 1 ，如双目视觉。这种方法的系统机 构比较简单，常用于无法采用结构照明的情况下，主要应用于机器视角领域。 1 1 2 主动三维传感 主动三维传感采用结构照明方式，利用三维面形对结构光场的空间和时问 调制，从携带有三维面形信息的观察光场中解调得出三维面形数据【i3 1 4 l 。可分为 时间调制和空间调制两大类。时间调制主要有飞行时间法( t i m eo ff l i g h t ，简称 t o f ) j s q g ；空间调制主要有傅立叶变换轮廓术( f o u r i e rt r a n s f o r mp r o f i l o m e t r y , 简称f t p ) ( 2 0 - 2 8 1 、位相测量轮廓术( p h a s em e a s u r i n gp r o f i l o m e t r y , 简称p m p ) t 2 9 - 3 1 t 、 三角法 4 , 6 , 3 2 , 3 引、莫尔轮廓术( m o i r 6p r o f i l o m e t r y 简称m p ) 眦3 5 1 等 由于主动三维传感这种方法具有非接触性、高灵敏度、高测量精度、自动 化等优点，因此大多数以三维面形测量为目的的三维传感系统都采用主动三维 传感方法 型! ! 奎兰堡主兰堡堡塞 茎二皇箜兰 1 2 几种主动三维测量方法 1 2 1 傅立叶变换轮廓术( f t p ) t 9 8 2 年m 1 酞e d 刈提出了条纹分析的傅立叶变换方法，很多人对它进行了 进一步的研究【3 8 j 。m a e y ；【3 翻提出了采用一维正弦拟合和傅立叶变换来分析二维 条纹图形；n u g e n t l 3 7 j 对抽样和探测器的非线性进行了深入的讨论；m a h e r r a e z f 3 s 】 等人改进了快速傅立时变换轮廓术( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，简称f f t ) 的算法， 从而大大提高了f f t 算法的计算速度。 1 9 8 3 年m t a k e t a t 2 1 等人将傅立叶变换用于三维物体面形测量提出了傅立 叶变换轮廓术( f o u r i e rt r a n s f o r mp r o f i l o m e t r y , 简称f t p ) 。该方法是通过投影 系统将罗奇光栅或者正弦光栅投影到被测物体的表面，摄像系统获取被测物体 高度分布调制的变形条纹，然后由图像采取系统将所得到的变形条纹送入计算 机迸行快速傅立时变换、滤波、逆傅立时变抉，最后解调出物体的高度信息。 用这种方法可以快速获取数据，具有较高的测量精度，适合于计算机处理。然 而，由于测量中涉及到滤波过程，测量范围受到限制。所以被测物体的相位变 化和高度变化必须满足以下条件【2 “，才能正确的恢复物体的三维面形。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 在三维测量中，傅立叶交换轮廓术应用广泛。在测量精度方面，许多学者 进行了大量研究p 啊2 椰l 。 1 2 2 位相测量轮廓术( p i p ) 相位测量轮廓术( p h a s em e a s u r e m o n tp r o f i l o m e t r y ，简称p m p ) 是上个世纪八 十年代初由v , s r i n i v a s a n m 与h a l i o 衄黟o l 等人提出来的。它的基本思想就是通过 有一定相位差的多幅条纹图来计算相位，再对应计算出物体的高度分布1 4 1 删。其 测量的光路图如图1 一i 所示。l 为c c d 平面到参考平面的距离，j 是投影系统 的入瞳，厶是成像系统的出瞳，d 是，l 与，：两点的间距。 当正弦光栅被投影到三维漫反射物体表面时，可以得到由物体高度调制的 2 矾一，一 。 的溺量精度。本文对其造成测量精 度影响的原因和提高测量精度的基本方法进行了深入的研究，并给出了理论分 析及计算机模拟、实验验证。 本文的结构如下： 第一章，主要介绍了光学三维传感的两个重要慨念：主动三维传感、被动 三维传感。重点描述了主动三维传感的几种主要方法，对其基本原理进行了初 步分析。 第二章，主要详细分析了傅立叶变换轮廓术的基本原理。简单回顾了傅立 叶变换轮廓术的研究进展，并提出了本文提高f t p 测量精度的新方法。 第三章，主要讨论c c d 非线性产生频谱混叠的问题。首先从理论上分析c c d 的4 线性产生高频分量的原因，给出简单的物理解释和详细的解析推导。其次 通过计算机仿真分析了c c d 的非线性导致频谱混叠的情况。最后讨论加密抽样 对减少频谱混叠的作用。 第四章，主要分析了探测器( c c d ) 存在二阶、三阶非线性对傅立叶变换 轮廓术测量精度的影响，对抽样频率的确定给出了严格的理论分析和公式推导。 分析表明：由于非线性的影响。必须增大抽样频率才可避免频谱混叠，保证傅 4 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 立叶变换轮廓术的测量精度。计算机模拟实验给出了不同抽样频率对三维重建 的影响，实验结果证实了理论分析的正确性。 第五章，研究工作总结，并对未来的研究提出一些展望。 四川i 大学硕士学位论文第二章博立叶变换轮廓术( f t p ) 第二章傅立叶变换轮廓术( f t p ) 1 9 8 3 年，t a k e d a 2 1 】等人提出了傅立叶变换轮廓术( f t p ) ，从此傅立叶变换 测量方法得到了广泛的应用。它以光栅产生的结构光场投影到待浏三维物体表 面，得到被测三维物体面形分布调制的变形条纹光场，然后成像系统将此变形 条纹光场成像于面探测器上，再用计算机对成像的强度分布进行傅立叶分析、 滤波、逆傅立叶变换，最后得到物体的三维面形分布。 2 1 傅立叶变换轮廓术( f t p ) 的基本原理 f t p 的基本原理的光路图如图2 1 所示，e ：一层。是投影装置的光轴， 占：一e 是成像系统的光轴，成像光轴垂直于参考平面，并与投影光轴交于参考 平面上的o 点。d 是e 。与丘问的距离，厶是e 到参考平面r 上的距离，a 与c 参考平面r 上的两点，d 是物面上的点，光栅g 的栅线垂直于图平面，s 是面 阵探测器。 7 舔j 互 慈。 _ l k l 图2 1 测量原理光路图 将罗奇( r o n c h i ) 光栅投影到参考平面，即当h ( x ，”= 0 时，成像系统z i 的 光栅像为： g o ( 而力= r o ( x ，口oe x p i 2 勰f o ( x + b c ) ( 2 - 1 ) h 2 其中r o ( 芏，力为参考箍非均匀反射率。此时，光摄像由于非远心光路投影系统发 6 四川大学硕士学位论文 第二章傅立叶变换轮廓术( f t p ) 生了变形。 将上式进一步变换可得： g o ( 五y ) = ( x ，y ) 口。e x p i 2 n n f o x + n # o ( x ，y ) 】 其中， o o ( x ，) ，) = 2 矾b c ( 2 2 ) ( 2 3 ) 将罗奇( r o n c h i ) 光栅投影到物体上，此时像平面上光栅像司写为： g ( x ，y ) = ，( 墨_ y ) e x p i 2 ，r n f o x + n f k ( x ，y ) 】) = 吼e x p ( i 2 n n f o x ) ( 2 - 4 ) 式中，r ( x ，y ) 为物面非均匀反射率，其中吼( x ，y ) = a n r ( x ，y ) e x p i n g k ( x ，y ) 】， 妒( z ，y ) = 2 习b d 。对( 2 4 ) 式沿x 轴方向进行一维快速傅立叶变换可得： g ( f ，y ) = ig ( x ，y ) e x p ( 一i 2 n f i ：) d x = 幺( 厂一矾，y ) ( 2 _ 5 ) 式中g ( f ，y ) 是g ( x ，y ) 的一维傅立叶变换，幺( ，y ) 是口且( x ，j ，) 的一维傅立叶变换。 由于很多情况下，r ( x ，y ) 及声( x ，y ) 与五相比都为慢变化信号，因此，各级频谱 q ( 一，矾，y ) 能被频率工分开，如图2 2 所示为了得到含有物体高度变化的 有用信息。我们对基频q i ( ，一 ，y ) 进行滤波、逆傅立叶变换，可得到： g “( x ，y ) = g l ( x ，y ) e x p ( i 2 n f o x ) = 口l ，( 工，y ) e x p 扛2 n f o x + ( 工，y ) 】) ( 2 - 6 ) l u i 也 q i q i 天亢八。八天久 图2 - 2 各级频谱图 7 网川大学硕士学位论文 第二章傅立叶变换轮廓术( f t p ) 对h ( x ，y ) = o 的情况进行同样的处理可得到： g j ( x ，y ) = 日l r o ( x ，y ) e x p i 2 力：x + o o ( x ，y ) 】) 由上两式可得： g “( y ) g ；( x ，y ) = 陋l f 2 r 0 ，) ，) r o ( x ，y ) e x p i a o ( x ，) ，) 】) 式中 妒( x ，力= 矿( x ，力一九( 工，y ) = 2 矾c d 庐( x ，y ) 由下式计算可得： “力= l l o g f g “0 ，力g o + ( 石，朋 j 。表示复数的虚部。由图2 - 1 中可见，a c d h 丝。e 。h 。因此， 琢加= 蒜警舄 当d c d 时，上式可简化为： 姆庐笔铲 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1o ) 可得： ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 2 2 傅立叶变换轮廓术( f t p ) 的研究进展 1 、正弦光栅投影和万相移技术 采用正弦光栅投影时，条纹的空间频率中只留下零频分量与基频分量，成 像系统得到的是物体表面的变形光栅像。在变形光栅像中，为消除频谱中零级 分量的影响，x i m a - y us u ，j i a nl i 等1 2 2 1 提出：可使投影光栅移动半个周期，从而 产生，r 位相移动，这就要求对条纹进行两次采样，在第二次采样时，将光栅沿垂 直于投影光轴且垂直于栅线的方向移动半个光栅周期。 第一次采样设为： ，i 力= r ( x ，力f 口力+ 6 “力c o s 2 t t r o + o ( x ，力】) ( 2 - - 1 3 ) 第二次采样设为： j 2 ( x ，y ) = r ( x ，y ) d ( x ，力+ 6 ( x ，y ) e o s 2 露f 0 + 零( x ，力+ 石】) ( 3 1 4 ) = r ( x ，y ) 口( x ，y ) - b ( x ，y ) e o s 2 7 t x f o + o ( x ， 】) 两式相减可得： i 四) t l 大学硕士学位论文 第二章傅立叶变换轮廓术( f t p ) ，( 工，y ) = 2 ( 工，y ) 6 ( x ，y ) c o s 2 n x f o 。+ m ( x ，y ) 】( 2 - - 1 5 ) = 2 r ( x ，力【c ( z ，y ) e x p ( i 2 n x f o ) + c ( x ，y ) e x p ( _ i 2 a x f o ) 】 由上式可知：频谱中，零级分量和高级分量被抑制了，剩下的基频分量， 其范围扩展到零到2 o 之间，从而增大了测量范围。 2 、利用灰度图提高f t p 的测量精度 在f t p 测量中，由于零频分量的存在，限制了基频分量向低端的扩展，从 而限制了f t p 的测量范围。虽然利用石相移方法【2 2 】可以消除零频分量，避免频 谱混叠，从而提高f t p 的测量精度，但是，该方法的测量系统中包含相移装置， 增加了系统的复杂性。为此，陈文静、苏显渝等提出了：利用灰度图提高f t p 的测量精度【2 6 】。其原理为：利用灰度图中包含的频谱信息来减小零频分量对基 频分量的影响。先采集一帧灰度图，然后投影正弦条纹到被测物体表面，获取 变形条纹图。利用这帧灰度图，可以从空域先消除非均匀反射率对变形条纹的 影响，得到均匀的变形条纹分布；也可以从频域中消除零频。该方法可以避免 携带物体高度信息的基频分量与表征物体灰度信息的零频分量的混叠，提高f t p 的测量精度，而且测量装置简单，不需要相移装置，又可以达到1 相移的效果。 3 、采用交织抽样方法消除频谱混叠 在f t p 测量中，减小成像光轴和投影光轴之间的夹角可以避免阴影，但会 增加条纹的等效波长，降低f t p 的测量精度。此时可采用增大光栅的基频的方 法来抵消投影夹角减小带来的影响。保证f t p 的测量精度。但是，如果此时没 有分辨率足够高的探测器，则一个条纹周期内的采样点数将减少，当不满足抽 样频率的选择条件时，会引起频谱周期间的频谱混叠。为此，陈文静、苏显渝 等f 2 5 1 于2 0 0 0 年提出：利用微扫描方法将多帧亚像素的图像重建成一帧图像，然 后采用交织抽样方法可以消除f i p 周期间的频谱混叠，这样可以在不增加探测 器的分辨率的条件下，尽可能地提高系统的测量精度。 4 、采用双频光栅投影的快速f t p 由于f t p 中的位相是通过反正切计算出来的，并且是截断的如果被测物 体高度变化引起的相邻点的非截断位相变化过大，就无法直接进行正确的位相 9 四j i i 大学硕士学位论文 第二章傅立叶变换轮癣术( f r p ) 展开，因而影响了f r p 的下了精度。为此，陈文静、刘慧强等f 4 订提出了一种采 用双频光栅的快速f t p 方法：从一帧条纹图中获取同一物体的两组截断位相， 要求这两组截断位相对应于不同的等效波长。先展开对应于低频的低精度截断 位相，并以此为参考，根据双频光栅之间两个频率之间的关系，再展开高频截 断位耜，从而得到物体较高精度的恢复面形。 5 、非轴对称型滤波器在f t p 中的应用 普通物体的表面在频域中接近轴对称分布，其特点是对空间不同方向的带 通宽度相等。然而，在实际中许多物体的频谱分布是不对称的，其中一个突出 的侧子就是锯齿型表面，它在与锯齿走向垂直方向上的高频成份远远多于其他 方向上的高频成份。为此，2 0 0 1 年，司书春、王蕴珊【5 4 】针对于这种在频域具有 非轴对称性的物体，使用非轴对称型滤波器( 比如，滤波器在水平截面为圆及椭 圆，滤波器长轴、短轴分别对应椭圆的长短轴) ，后来使测量结果保留了更多的 高频细节。 6 、0 9 d 对f t p 的影响 由于测量系统所得到的二维变形光栅像是成像在c c d 上的，因此所得到的 最终条纹是经过c c d 离散抽样的离散变形条纹，c c d 的抽样不同将对f t p 产 生影响【2 4 4 3 , 4 4 , 4 5 , 4 8 , 4 9 5 0 1 。本文在此基础上，详细地分析了在f t p 测量中，由于c c d 的非线性产生频谱混叠的情况，提出了提高f r p 测量精度的新方法。 2 3 本章小结 本章详细介绍了傅立叶变换轮廓术( f t p ) 的基本原理，并对其测量原理 进行详细的理论分析与公式推导。在此原理基础上，简单回顾了正弦光栅投影 和筇相移技术、利用灰度图提高f t p 的测量精度、采用交织抽样方法消除频谱 混叠、采用双频光栅投影的快速f t p 、c o d 对f t p 的影响等傅立叶变换轮廓术 ( f t p ) 的研究进展。提出了本文在后续章节研究的提高f t p 测量精度的新方法。 1 0 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 非线性产生频谱混叠的理论分析 第三章c c d 的非线陛产生频谱混叠的理论分析 本章从理论与计算机模拟、实验两个方面详细地分析了c c o 非线性产生频 谱混叠的问题。 首先，从理论上分析c c d 的非线性产生高频分量的原因，并给出了简单的 物理解释和较为详细的公式推导。公式推导表明：由于c c d 的非线性，频谱图 中除了包含有物体高度信息的基频之外，还会产生二级、三级等高级频谱成份， 从而增加了与基频混叠的可能性。 其次，通过计算机仿真与实验分析了由于c c d 豹非线性导致基频与二级、 三级等高级频谱混叠的情况。计算机模拟了线性情况以及二级、三级非线性情 况。从模拟图中可以看出：线性情况下频谱中没有高级频谱成份，二级、三级 非线性情况下频谱中存在二级、三级高级频谱成份。实验中使变形条纹抽样不 足。从实验结果的频谱图中可明显看出：由于实际工作中的c c d 的非线性效应， 频谱中多出了二级、三级频谱等高频成份，且发生了混叠。 然后，分析了在f t p 的测量中，由于实际工作中c c d 的非线性的影响，频 谱图的基频中将会混入二级、三级等高级频谱成份，从而影响f t p 的测量精度， 而f t p 的测量精度是由等效波长或单位相位的变化率引起的物体高度的变化来 ， 衡量的等效波长由- 7 与厶来决定。降低三 可以增大测量精度，但减小了测 口口 量范围。为保证测量范围，可用增大厶的方法来增大测量精度因而用加密光 栅增大抽样时，则可明显提高f t p 测量精度。我们用计算机模拟证明了该结论 的正确性：在结构参数不变的情况下，增大光栅的基频可以明显提高f t p 的测 量精度：在结构参数改变。增大测量范围，提高c c d 分辨率的情况下，增大光 栅的基频也可以明显提高f t p 的测量。 3 1c c d 的非线性导致条纹高频分量的产生 c c d ( c h a r g ec o u p l e dd e v i c e s ) 电荷耦合器件是一种将光能转换为电能的 四门l 大学硕七学位论文 第三章c c d 非线性产生频辔混叠的理论分析 半导体集成光电器件。理想c c d 在动态范围内的输出电流与输入光强成正比。 c c d 作为f t p 中的图像探测器，输出电流体现在输出的变形条纹上。设，为理 想情况下c c d 输出的变形条纹，即为： 1 ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s 2 n f o x 十o ( x ，y ) 】 1 = a ( x ，y ) + 6 ( x ，y ) e x p ( i 2 n f o x ) e x p i q b ( x ，y ) 2(3-1) 1 一 十- ；b ( x ，y ) e x p ( 一i 2 n f o x ) e x p 一f 庐( x ，y ) 】 二 = 盯( 五y ) + q ( t y ) e x p q 2 矾x ) + c 2 ( x ，y ) e x p ( - i 2 n f o x ) 式中， 1 q ( x ，y ) = 6 ( x ，y ) e x p i # ( x ，y ) ( 3 - - 2 ) z 1 c 2 ( x ，y ) = 6 ( 工，y ) e x p 一f ( x ，j ，) 】( 3 - - 3 ) 二 但实际工作中的c c d 由于存在非线性的影响，输出电流与输入光强存在着 非线性关系。最普通、最常见的是存在二阶、三阶的非线性，这种非线性将导 致信号中的倍频现象发生【4 3 , 4 4 , 4 5 , 5 0 , 5 2 1 。在f t p 中，即使采用标准正弦光栅投影， 由于c c d 的非线性，获取的条纹图像中也存在高频分量。 设c c d 存在非线性情况下的输出变形条纹为： ，、( x ，y ) = e o + e l l ( x ，y ) + e 2 ，2 ( z ，y ) + e 3 1 3 ( x ) ( 3 - - 4 ) 式中，e o , e l ，e 2 ，e 3 为各级的比例因子。 令上面各式中的1 = ，+ o ，力，= ，“力，a = a ( x , y ) ，b = b ( x , y ) ， q = c i ( x ，y ) ，c 2 = c 2 ( x ，y ) ，妒= 妒 ，y ) 。 将式( 3 1 ) 代入式( 3 - 4 ) 可得： ，= f o + e lk + c le x p ( i 2 n f o x ) + c 2e x p ( - i 2 n f o x ) 】 + e 2 【口+ c 1e x p ( i 2 n f o x ) + c 2e x p ( 一f 2 刁功】2 ( 3 - 5 ) + e 3 a + c ie x p ( i 2 n f o d + c 2e x p ( 一i 2 印善) 】 展开可得： 竺坐坚兰鎏型兰型燮 蔓三皇! 塑! ! 垡堡兰竺塑堂塑童塑堡堡坌堑 = e o + e i 【口+ c le x p ( i 2 n f o x ) + c 2e x p ( i 2 力：x ) 】 + e 2 口2 + 2 a c le x p ( i 2 n f o x ) + 2 a c 2e x p ( - i 2 f o x ) + c ；e x p ( i 4 n f o x ) + c ；e x p ( i 4 彬：x ) + 2 c i c 2 】 + 屯【口3 + 2 a 2 c ie x p ( i 2 a f o x ) + 2 a 2 c 2e x p ( 一f 2 矾x ) + a c ；e x p q 4 # o x ) + a c ；e x p ( - 1 4 彩；工) + 2 a c i 。2 ( 3 - - 6 ) + a 2 c le x p ( i 2 n f o x ) + 2 a c ；e x p ( i 4 n f o x ) + 2 a c t c 2 + c ；e x p ( i 6 n f o x ) + c l c ? e x p ( 一f 2 刀乇砷+ 2 f ? c 2e x p ( i 2 n f o x ) + a 2 c 2e x p ( - i 2 n f o x ) + 2 a c l c 2 + 2 a c ；e x p ( - i 4 n f o x ) + c i c 2e x p ( i 2 r r f o x ) 十c ；e x p ( 一i 6 n f o x ) + 2 c l c ：e x p ( 一i 2 n - f o x ) 化简可得： ，= 0 0 + e l g 十p 2 a t 2 + e 3 0 3 + 2 e 2 c l c 2 + 6 e j 口c t c 2 ) + ( e c l + 2 e 2 a c l + 3 e j a 2 c i + 3 岛c ? c 2 ) e x p ( i 2 n f o x ) + ( p 2 c ；+ 3 e 3 a c ；) e x p ( i 4 n f o x ) + e 3 c ? e x p ( i 6 顽o x ) ( 3 - - 7 ) + ( d l c 2 + 2 e 2 a c 2 + 3 e 3 d l c 2 + 3 e 3 c i c ：) e x p ( - i 2 n f o x ) + ( e 2 c ；+ 3 e 3 口c ；) e x p ( 一i 4 n f o x ) + e a c ；c x p ( - i 6 n f o 善) 将式( 3 - - 2 ) 与式( 3 3 ) 代入式( 3 - 7 ) 进一步化简可得： 72 瓦+ 蜀。x p a 2 n f o x ) + 9 2 。x p ( f 4 矾? + k ，。x p ( i 6 n f o x ) ( 3 - - 8 ) + 置ie x p ( - i 2 n f q x ) + k ；e x p ( - i 4 矾+ e x p ( - f 6 矾功 上式中- k 。，k ，k ：，k ，群，x ：，是与比例因子、相位等有关的系数。分别为； k o = p 。+ p l a + e 2 口2 + 巳口3 + e 2 b 2 + 昙岛a b 2 k l = 1 币+ 2 叩6 拙，口2 6 + 知6 3 】e 瑚叫 七争e 1 6 + 2 e 1 曲+ 3 掣2 6 + 丢e ，6 3 】e x p 一删 七2 = 【p 2 b 2 + 3 e ，a b 2 e x p i 2 七：= p 2 b 2 + 3 e 3 a b 2 e x p - i 2 0 k 3 = 言鸭b e x p i 3 0 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 非线性产生频诸混叠的理论分析 = 言陀b 3 】e x p - i 3 0 】 o 对式( 3 8 ) 进行傅立叶变换可得： g ( f ，y ) = k o ( 厂，y ) + k 1 ( ，一五，y ) + ( 定i ) ( f + f o ，y ) + k 2 ( ，一2 厶，y ) ，。、 + ( k ；) ( ，+ 2 f o ，y ) + 置i ( ，一3 五，y ) + ( 曼，；) ( ，+ 3 l ，) j ) 由式( 3 9 ) 可明显看出，当c c d 不存在非线性时，频谱中没有高频成分， g ( ，y ) 取前三项之和砭( ，y ) + k i ( f 一五，y ) + ( 足( ，+ 磊，y ) ，基频可以被很好 的分离出来，频谱图如图3 一l 所示。当c c d 存在非线性时，频谱上则多出了2 倍频、3 倍频的高频项。对于一个连续函数，倍频分量的产生并不必然导致频谱 混叠。但是，对连续函数的空间抽样，将使连续函数的频谱产生周期性重复( 即 出现多个频谱岛) 5 3 1 ，当抽样条件不满足时，一个频谱岛中的2 倍频、3 倍频就 会与相邻频谱岛中的基频发生混叠，从而影响了f t p 的测量精度。2 倍频与基频 混叠的频谱图如图3 2 所示，3 倍频与基频混叠的频谱图如图3 3 所示。 0 图3 1 ：线性情况的频谱圈 o ，02 五3 ，o4 l 圈3 2 ：2 倍频与基频混叠的频谱图 1 4 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 非线性产生频瓒混叠的理论分析 0 氛2 a 3 氛a 。 图3 3 ：3 倍频与基频混叠的频谱图 3 2c c d 的非线性导致频谱混叠的计算机模拟与实验 现在用计算机模拟与实来证明c c d 的非线性导致了频谱的混叠。 3 2 1 计算机模拟 ， 假定测量系统的几何参数为l = 6 0 0 n m n ，d = 2 0 0 m m ，则目= a r c t g ( d l ) = 0 3 2 1 8 在基准面上光栅像的周期五= 1 0 m m ，基频为f o = 坛= 0 1 m m a 设理想探测器 输出的变形条纹为，( x ，y ) = o 5 + 0 ，5 c o s ( 2 f ox + o ( x y ”。式中 声( z ，y ) = 一2 矾。模拟物体是h = 1 0 s i n 志，x 的取值范围是。曼x 1 0 0 r r ( 单 位为毫米) 。对x 轴每隔彳4 4 毫米抽取一个像素点，则共抽取了1 4 5 个像素。 模拟物体( x 轴的单位为像素) 如图3 - 4 所示。 b 。o801 0 01 2 0 1 4 0 图3 - - 4 模拟物体 假如探测器不存在非线性，也就是说是理想探测器，则输出的光强是线性的- 1 5 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 非线性产生频谱混叠的理论分析 对其进行傅立叶变换，x 轴上的频谱图如图3 5 所示。从图上可见，没有二级 频谱、三级频谱等高级频谱成份。 。4 厂一矿一一i o35 7i |1 0 3 i i! j 1 。2 5 f ；f 11 。f if 。 1 jn 1 f | |f1 。l!i lj 。乒 二二二毒0 二二二磊毒：二；i 毒 x 图3 5