（通信与信息系统专业论文）非相干混沌数字通信理论研究.pdf

妻曼墼兰垫查奎耋堡圭耋堡篁塞 垫茎 摘要 弋心 混沌是非线性科学的一个重要分支，混沌理论的研究及其在通信中的应用是当前科学 界和工程领域的一个前沿课题，它为传统的通信理论开辟了新的研究领域，也为非线性科 学提供了一个广阔的应用舞台。丰富和完善混沌系统和混沌信号的分析理论，并将其应用 到混沌通信的理论与实践中，对于人们认识和利用非线性现象具有重要的理论意义和应用 价值。本文针对非相干的混沌数字通信问题，在建立其处理模型，分析其中几种非相干的 混沌数字通信方式等方面，做了一些有意义的研究和探索。 本文首先对混沌理论的基本概念和研究意义做了简要概述。回顾了混沌理论的发展历 史，简要介绍了混沌系统的基本性质，指出了其在不同观测的时间尺度上所具有的随机性 特征和确定性特征。 针对混沌系统的随机性特征，本文研究了离散时间混沌系统的统计分析方法，并给出 了一种基于f r o b e n i u s - p e r r o n 算子的区间迭代算法用于混沌映射不变分布的数值求解，该方 法在样本数较少时，仍可以获得不变分布的良好估计，为混沌信号进一步的统计分析和处 理奠定了基础。 针对混沌系统的确定性特征，本文研究了混沌系统的符号动力学分析方法，并以此为 基础建立了描述混沌系统确定性特征的马尔科夫过程模型。为以后各章的混沌信号检测、 混沌编码解码等提供了进行处理的理论框架。 在介绍了混沌基本理论，给出了混沌信号分析和处理的数学工具后，论文简单回顾了 已有的混沌通信方法，运用通信理论的观点，阐述了混沌数字通信中所面临的若干问题， 明确了论文选择非相干混沌数字通信作为研究内容的重要意义。 在非相干混沌通信中，本文研究了三种非相干混沌数字通信方式：基于差分相干的混 沌通信，基于混沌信号检测的混沌通信和基于脉冲定位调制的混沌通信。 在基于差分相干的混沌数字通信中。奉文在分析差分混沌键控( d c s k ) 调制的基础上， 提出了基于混沌相位的差分混沌相位键控( d c p s k ) 多元调制方法，明显提高了基于差分相 干结构的混沌数字通信的误码率性能。在d c s k 的多用户接入研究中，本文分别提出了基 于码分多址的c d m a d c s k 多用户接入方案和基于混沌相位的d c p s k 多用户接入方案， 对这些方案的系统性能进行了理论分析和实验仿真。 在基于混沌信号检测的混沌数字通信中，提出了用于混沌信号检测的匹配度和匹配距 离概念：基于混沌系统的马尔科夫模型，给出了简单匹配方法和v i t e r b i 匹配方法。在此基 础上，提出了基于混沌信号检测的混沌通信体系结构，并对该系统的误码率性能进行了数 值仿真。 在基于脉冲定位调制的混沌数字通信中，首先研究了利用混沌映射产生跳时序列的方 法，提出了一种基于混沌映射的“移位混沌跳时码。对该跳时码的码间碰撞特性进行了理 论分析和仿真实验。研究了单用户下的伪混沌跳时( p c t h ) 脉冲编码调制方案，提出了多 用户的t h p c t h 脉冲编码调制方案，给出了该系统的基本结构和实现方法，并对系统的性 能进行了理论分析和实验仿真，研究表明t h p c t h 方案具有较好的多用户接入能力和误 码率性能，系统的参数可以根据需要灵活配置。 关键字：混沌，混沌信号分析，混沌通信 a b s t r a c t c h a t si sa l l i m p o r t a n tb r a n c ho fn o n l i n e a rs c i e n c e t h er e s e a r c ho fc h a o st h e o r ya n di t s a p p l i c a t i o ni nc o m m u n i c a t i o ni st h ef r o n t i e ro fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ，w h i c hp r o v i d e san o v e l r e s e a r c hf i e l df o rc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nt h e o r ya n da l s op r e s e n t sab r o a da p p l i c a t i o np l a t f o r m f o rn o n l i n e a rs c i e n e e t h ee n r i c h m e n ta n d p e r f e c t n e s so ft h ea n a l y s i st h e o r yf o r c h a o s s y s t e ma n d c h a o t i cs i g n a la r ci m p o r t a n tb o t hi nt h e o r ya n di na p p l i c a t i o nf o rt h eu n d e r s t a n d i n ga n du t i l i z a t i o n o fn o n l i n e a rp h e n o m e n o n i nt h i st h e s i s t h ep r o b l e m si nn o n c o h e r e n tc h a o sc o m m u n i c a t i o ni s d i s c u s s e d s o m er e s e a r c ho nt h ec o n s t r u c t i o no fa n a l y s i sm o d e la n dt h ea n a l y s i so fs o m en o n c o h e r e n tc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o na r ep r o v i d e d ， f i r s t l yt h ef u n d a m e n t a lt h c o r yo f c h a o si si n t r o d u c e db r i e f l y t h eh i s t o r yo nt h ed e v e l o p m e n t o fc h a o st h e o r yi sr e v i e w e d t h ep e c u l i a rf e a t u r e so fc h a o ss y s t e mi sa l s od i s c u s s e d i ti ss h o w n t h a tt h er a n d o m l i k ef e a t u r ea n dd e t e r m i n a t ef e a t u r ec a nb ef o u n dr e s p e c t i v e l yi nt h ed i f f e r e n t o b s e r v a t i o nt i m es c a l e s i no r d e rt od e s c r i b et h er a n d o m l i k ef e a t a r eo fc h a o t i cs i g n a l t h es t a t i s t i c a la n a l y s i sm e t h o d f o rd i s c r e t et i m ec h a o ss y s t e mi ss t u d i e d ad o m a i ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rn u m e d c a le s t i m a t i o n o ft h ei n v a f i a n tp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o ni s p r e s e n t e d w h i c hi st h ef o u n d a t i o nf o rt h es t a t i s t i c a l a n a l y s i sa n dp r o c e s s i n go f c h a o t i cs i g n a l i no r d e rt od e s c r i b et h ed e t e 九t l i n a t ef e a t u r eo fc h a o ss y s t e m b a s e do ns y m b o l i cd y n a m i c s t h em a r k o vp r o c e s sm o d e lf o rt h ed e s c r i p t i o no fc h a o t i cm a pi sp r o v i d e d 。w h i c hp r e s e n t st h e p r o c e s s i n gf r a m e w o r k f o rt h ed e t e c t i o no fc h a o t i cs i g n a la n dt h ec o d e co fc h a o t i ce n c o d i n g a f t e rt h ei n t r o d u c t i o no fc h a o st h c o r ya n dm a t h e m a t i ca n a l y s i st o o l s ，w er e v i e wt h ee x i s t i n g c h a o sc o m m u n i c a t i o ns c h e m e s ，f r o mt h ev i e w p o i n to ft h ec o m m u n i c a t i o nt h e o r y ，s e v e r a lp r o b - l e m si nc h a o s d i g i t a lc o m m u n i c a t i o n i sd i s c u s s e da n dt h em e a n i n go f t h er e s e a r c ho nn o n c o h e r e n t c h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o ni sa l s om a d e c l e a r 】nt l l i st h e s i st h r e ek i n d so fn o n c o h e r e n tc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o ns c h e m e sa r es t u d l e d ， t h e y a r cd i f i e r e n t i a lc o h e r e n c eb a s e dc h a o sc o m m u n i c a t i o n ，c h a o t i cs i g n a ld e t e c t i o nb a s e d c h a o s c o m m u n i c a t i o na n dp u l s ep o s i t i o nm o d u l a t i o nb a s e dc h a o sc o m m u n i c a t i o n d u r i n gt h er e s e a r c ho fd i f f e r e n t i a lc o h e r e n c eb a s e dc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n w i t ht h e a n a l y s i so f t h ed i f f e r e n t i a lc h a o ss h i f tk e y i n g ( d e s k ) s c h e m e an o v e lc h a o sm o d u l a t i o ns c h e m e d i f 6 e r e n t i a lc h a n sp h u s es h i f tk e y i n g ( d c p s k ) i sp r e s e n t e da n dt h eb i te i t o rr a t ep e r f o r m a n c e o fd i f 诧r e n t i a lc o h e r e n c eb a s e dc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o ni ss i g n i f i c i c a n t l yi m p r o v e d i nt h e s t u d i e so fd c s kb a s e dm u l t i u s e ra c c e s s t h ec d m ab a s e dc d m a d e s k a n dt h ed c p s km u l - t i p l ea c c e s sb a s e dm a d c p s k a r ep r e s e n t e da n dt h ep e r f o r m a n c eo ft h e s et w os c h e m e si sa l s o e v a l u a t e db o t hi nt h e o r ya n di ns i m u l a t i o n i nt h es t u d i e so fc h a o t i cs i g n a ld e t e c t i o nb a s e dc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n ，t h ec o n c e p t so f m a t c hd e g r e ea n dm a t c hd i s t a n c ea r ei n t r o d u c e d ，b a s e do nt h em a r k o v m o d e lo fc h a o s s y s t e m ， s i m p i em a t c hs y s t e m a n dv i t e r b im a t c hs y s t e ma r ep r o v i d e df o rc h a o t i cs i g n a ld e t e c t i o na n d r e c o g n i z i n g b a s e d o nt h e s et w om a t c hs y s t e m s ，c h a o t i cs i g n a ld e t e c t i o nb a s e dc o m m u n i c a t i o ni s p r e s e n t e da n d t h ep e r f o r m a n c eo ft h i sc h a o sc o m m u n i c a t i o ni se v a l u a t e di nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n 皇垦墼兰垫奎奎耋堡兰兰堡垒塞丝! ! ! ! 些 d u r i n gt h er e s e a r c ho fp u l s ep o s i t i o nm o d u l a t i o nb a s e dc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n ，an e w t i m eh o p p i n gs e q u e n c e sn a m e d 弘s h i f tc h a o t i ct i m eh o p p i n gc o d ei sp r e s e n t e da n dt h ec o l l i d i n g p r o p e r t i e so ft h i sk i n do f t i m eh o p p i n gc o d ei sa n a l y z e db o t hj nt h e o r ya n di ns i m u l a t i o n b a s e d o nt h ea n a l y s i so ft h ep s e u d o c h a o t i ct i m e h o p p i n g ( p c t h ) p u l s ep o s i t i o nc o d i n g a n dm o d u l a t i o n s c h e m e ，t i m eh o p p i n gp c t h ( t h - p c t h ) i sp r o v i d e df o rm u l t i p l ea c c e s si nu w bi m p u l s e r a d i o t h es t r u c t u r eo ft h p c t hi sp r o v i d e da n dt h ep e r f o r m a n c eo fb i tr a t ee r r o rf o rm u l t i u s e ri sa l s o e v a l u a t e db o t hi nt h e o r ya n di ns i r e u l a t i o n i ti ss h o w nt h a tt h p c t hh a sg o o dm u l t i p l ea c c e s s a b i l i t ya n db i te r r o rr a t ep e r f o r m a n c e t h ec o c 佑c i e n t sj nt h p c t hs y s t e mc a l lb ec o n f i g u r e d f l e x i b l ef o rd i f r c r e n tr e q u i r e m e n t s k e y w o r d s c h a o s ，c h a o t i cs i g n a lp r o c c e s s i n g ，c h a o s c o m m u n i c a t i o n 皇垦型兰垫查奎兰堡圭耋垒篁塞 ! ! 童 引言 混沌作为非线性科学的一个重要分支。是当今倍受科学界关注的前沿学科和研究热点。 混沌现象被认为是二十世纪继相对论和量子力学问世之后，第三个最重要的科学发现。混 沌现象是自然界及人类社会中存在的一种普遍现象，它是在一个确定性系统中出现的一种 貌似不规则的、内在的随机性运动，它展示了事物的复杂性。它是无序与有序的统一，确定 性与随机性的统一，具有内在的规律性和普适性，内部包含着丰富的信息资源以及可供开 发应用的潜能。 混沌理论的研究与应用最初可以追溯到h e n r ip o i n c a r 6 在1 9 世纪末所做出的一系列工 作。他以太阳系中的三体运动问题为背景，提出了“天体力学的新方法”以及关于轨道稳 定性的问题。他证明了天体运动存在周期轨道，而且发现三体引力相互作用可以产生惊人 的复杂性，一个确定性动力学方程的某些解具有不可预见性。这之后在天体力学领域和气 象学研究中，混沌理论分别取得了不同的进展，并迅速地扩大到化学、生物学、力学、脑科 学、电子学、通信等诸多领域。目前，人们已经在固体物理、肌电、化学反应、光学、某些流 行病、心脏搏动、生态系统、电子器件、海洋涛动等许多现象中发现了混沌的存在。目前混 沌理论的应用范围正在进一步扩展，它在自然科学研究和工程技术上都具有重大价值和极 其诱人的应用前景。 在电子工程领域，混沌理论的研究与应用在上个世纪末的2 0 年经历了三个重要的突破 性进展。第一个进展是在上世纪8 0 年代l0 c h u a 发现简单的电路系统也可以产生复杂的 现象。他设计了一系列简单的电路用于产生混沌现象。这些电路后来常被称为c h u a 电路， c h u a 的工作证明了简单的电路系统也可以产生非周期的复杂现象。这些工作将混沌理沦从 数学的抽象带到了电子工程的实际研究中来第二个重要进展是上世纪9 0 年代初p e r o c a 和 c a r r o l l 通过实验证明了互相耦台的混沌系统，在一定条件下会出现同步现象即混沌同步。 混沌同步的发现引发了研究人员开始将混沌信号作为一种载波用来传送信息。由于混沌信 号的表面随机性和不可预涮性使其在保密通信领域得到了迸一步的研究与应用。混沌信 号在频谱上的宽带特性，也使其具有抗频率选择性衰落和窄带干扰的能力。第三个进展是 在工程应用研究中，人们逐渐发现混沌系统同时兼有确定性和随机性的特点，因此可以同 时通过描述确定性的动力学方法和描述随机性的概率统计学方法对混沌系统进行定量的分 析和处理。而一些曾经被认为是随机运动的系统，也有可能通过混沌理论找到新的分析方 法和处理手段。 随着信息时代的到来，通信成为近年来发展迅速的热门领域，新的通信方法和手段不 断出现。混沌通信是通信研究中的一个新领域，它开端于上世纪9 0 年代初p e r o c a 和c a r r o l l 发现的混沌同步现象，经过十余年的研究和发展，混沌通信理论已经在保密通信，扩频通 信，多用户通信等领域获得了重要的进展。混沌通信理论的研究涉及了非线性动力学，非 线性信号处理，统计信号处理和通信中的调制，解调，编码等多方面的理论和技术利用混 沌系统同时具有的确定性特征和随机性特征，通过确定性模型、随机模型或者两者的混合 中国科学技术大学博士学位论文引言 模型进行研究和分析，是混沌通信理论研究的重要特点。目前仅有十余年发展历史的混沌 通信理论还是一个十分年轻的研究领域，它为许多理论研究如非线性理论，通信理论，信号 处理理论提供了一个广阔的应用舞台，这些理论在混沌通信中的研究和应用必将进一步 推动混沌通信理论自身的发展及其在通信工程中的实际应用。 混沌通信最初是利用收发双方混沌电路之间的同步现象，实现信息传送的。非线性电 路系统的研究人员提出了一系列可被用于混沌通信的混沌同步电路模型，但对实际通信中 需要考虑的性能、效率等问题研究还不够深入。近年来随着众多从事通信研究的学者参与 到混沌通信理论的研究中，经典通信理论中的方法和手段逐渐运用到了混沌通信理论的研 究中。基于混沌同步的混沌通信系统，由于在面对噪声的干扰和电路的稳定性问题上，还缺 乏有效的解决方法，其应用领域受到了很大的限制。因此一些回避混沌同步的难题，以非 相干的形式实现的混沌数字通信，在当前得到了广泛关注。如何将非线性动力学理论，统 计信号处理等方法进一步运用到非相干混沌数字通信中，是一个需要进一步深入研究的重 要课题，本论文就该课题做了一些有意义的探索。 论文的研究内容和成果主要包括以下几个方面： 1 概述了混沌理论的基本概念和混沌系统的基本性质，指出了在不同的时间尺度上分 析混沌确定性和随机性特征的研究方向。 2 研究了混沌系统的统计分析方法，提出了基于p e r t o n f r o b e n i u s 算子的区间迭代算法， 用于数值求解混沌映射的重要统计参量一不变分布。该方法在样本数较少时，仍能 得到不变分布的良好估计。不变分布的求解为混沌系统的统计分析奠定了基础。 3 基于非线性动力学中的符号动力学方法，提出了将混沌动力系统近似为马尔科夫随 机过程的研究方法。为非相干混沌数字通信中的一系列混沌信号的分析和处理提供 可实用化的处理模型。 4 ，研究了基于差分相干的混沌数字通信方法，提出了差分混沌相位键控的调制方案，并 对其性能进行了分析。研究了基于差分相干混沌数字通信的多用户接八方案，针对 d c s k 分别提出了基于c d m a 的多用户接入方案和基于d c p s k 的多用户接入方案。 5 研究了基于混沌信号检测的混沌数字通信方法。给出了利用混沌系统马尔科夫过程模 型进行混沌信号检测和辨识的方法，建立了基于混沌信号检测的混沌数字通信模型。 6 研究了基于脉冲定位调制的混沌数字通信方法。提出了利用混沌映射产生跳时序列 的方法，给出了一种基于混沌映射的p 移位混沌跳时码。研究了单用户下的伪混沌跳 时( p c t h ) 脉冲编码调制方案，利用混沌映射的马尔科夫过程模型，分析了其性能。针 对多用户情况，提出了跳时一伪混沌跳时( t h p c t h ) 脉冲编码调制方案，对该调制方 案的性能进行了分析和仿真。 全文共分为三个部分： 第一部分为混沌理论的基础及其分析方法，由第一章和第二章组成，在第一章简要介 绍了混沌理论的基本概念及其研究意义：在第二章回顾了混沌信号处理的方法，并重点研 究了混沌信号的统计分析方法和基于马尔科夫过程模型的混沌信号分析方法，为以下各章 中利用混沌信号进行非相干通信，提供了分析方法和处理工具。 2 耋塑墼兰鍪奎奎兰堡圭兰堡墼兰! ! 童 第二部分为非相干混沌数字通信的理论研究，由第三、四、五、六、七章组成。主要 包括：第三章简要概述了当前混沌通信理论的研究现状回顾了几种混沌通信的原理和方 法，第四章主要对基于差分相干的混沌数字通信方法及其多用户接入方案进行了详细讨 论。第五章主要研究了基于混沌信号检测豹涅淹数字通信方法。第六章主要研究了基于脉 冲定位调制的混沌数字通信方法。分别就眺时码的产生，p c t h 脉冲调制方案和多用户下的 t h p c t h 方案进行了分析和讨论。 第三部分为结论，由第七章组成，总结了全文及作者的主要工作，并对迸一步的研究做 出了展望。 3 皇望塾兰堡奎奎耋堡圭兰垒篁塞 ：丝三塞堡鎏矍墼堡坌 第一章混沌理论简介 本章简要地回顾了混沌理论的发展历史，概述了混沌系统的基本理论，并对混沌系统 的些基本性质做了简要的分析和介绍。 1 1 混沌理论的发展历史 混沌被认为是继相对论和量子力学后。二十世纪物理学的第三次重大革命，与翦弼次 革命相似，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。第一次国际混沌会议主持人之一物理学家 j f 0 r d 指出“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象：量子力学则消除了关于可控测量 过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。”1 6 1 。 在混沌理论提出以前，没有人怀疑过精确的预测能力从原则上讲是能够实现的，一般 认为只要能够收集足够的信息就可以达到这一能力。1 8 世纪法国数学家拉簧拉颠宣称，如 果已知宇宙中每一个粒子的位置与速度。他就可以预测宇宙在整个未来的状态。这种决定 论首先被量子力学所打破，量子力学中的根本原理之一是海森堡测不准原理，该原理指出， 对于粒子的位置及速度的测量有着一个基本的限度，不可能无限精确。预测能力首先受到 了初始信息的精度影响。量子力学虽然在微观上圆满地解决了一些随机现象，但一般认为 宏观尺度上，拉普拉斯的决定论原则上仍然是正确的，可以通过不同精度的初始信息获得 精确程度不同的预测结果。然而混沌现象的发现，却使得这种假设完全破灭。由于混沌系 统对初始条件的敏感性。使得系统在其运动的轨迹上几乎处处不稳定，初始条件的极小误 差都会随着系统的演化呈指数式的增加迅速地达到系统所在空间的大小，使得预测能力 完全消失。 混沌理论的开端，最早可以追溯到十九世纪末二十世纪初法国科学家j 。h 庞加莱( j u l e s h e n r ip o i n c a r d ) 所傲的一系列关于太阳系中三体问题的研究。庞加莱将动力学系统和拓扑学 两大领域结合起来，运用了相图、拓扑学以及相空间截面的方法分析了一类简化的三体 问题解的复杂性和高度不稳定性，指出了混沌存在韵可能性，成为世界上最先了解存在混 沌可能性的人。这之后前苏联概率论大师a n k o l m o g o r o v 对混沌理论做出了一系列基础 的理论贡献，将s h a n n o n 在1 9 4 8 年提出的信息论引入到混沌理论的研究中。1 9 6 3 年，l o r e n z 在大气科学杂志上发表了”决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期 天气不可预测之间存在的必然联系，即非周期性与不可预见性之间的联系。这些研究清楚 的播述了“对初始条件敏感性”这一混沌的基本性态，这就是著名的蝴蝶靛应。7 0 年代，各 个领域的科学家都开始在各自的研究领域发现和研究混沌现象。1 9 7 5 年，中国学者李天岩 和美国数学家j y o r k 在 a m e r i c am a t h e m a t i c s ) 杂志上发表了“周期三意味者混沌”的著名 文章，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。并把“c h a o s ”( 混沌) 一词引入到了现代科学 词汇中。1 9 7 7 年在意大利召开的第一次国际混沌会议标志着混沌科学的诞生。在这之后， 混沌科学就开始不断地与其他科学相互渗透，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物 5 中国科学技术大学博士学位论文 第一章混沌理论简介 理学、化学电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐，艺术等领域，混 沌都得到了广泛的应用，在现代科学技术中起着十分重要的作用。 在8 0 年代初，电子工程领域的研究人员也注意到了在电路系统中出现的混沌现象。l 0 c h u a 首先构造了可以产生混沌现象的简单电路，他的一系列工作为混沌研究在电子：= f _ = 程 领域的逐步展开奠定了基础。1 9 8 7 年l 0 c h u a 主编t p r o c e e d i n g so f t h ei e e e 关于混沌系 统的专集，该专集对科学界产生了重大影响，它标志着复杂性科学和混沌已经从数学的抽 象理论中进入到电子工程领域的前沿研究。由于电路系统的可实现性，可分析性和可预见 性，使得混沌在电路系统中的研究迅速展开，产生和控制混沌现象的方法不断提出。具有 互相耦合性质的混沌系统，在保持各自混沌性质的同时，在定条件下会出现同步现象，该 现象的发现，引发了利用混沌同步进行信息传送即混沌通信的研究，并在上世纪9 0 年代激 起了混沌通信的研究热潮。由于混沌系统同时具有确定性和随机性的特点，因此可以同时 通过描述确定性的动力学方法和描述随机性的概率统计学方法对其进行刻画。这为从工程 角度分析、研究和设计非线性系统提供了系列定量的模型和工具。一些原来被认为是随 机变化的系统有可能是混沌系统，可以通过动力学的方法进行研究：而些被认为是复杂、 难以分析的非线性混沌系统，则有望通过其具有的某些统计特征，利用概率统计工具进行 研究，给出。些有益的结果。 1 2 混沌的定义 混沌系统是一种复杂的非线性系统，为了具体讨论混沌的定义及其性质，首先需要g 入动力学理论的一些基本概念。 1 2 1 动力学理论简介 动力系统、相空间和参数空间 动力学理论是研究运动随时间变化的理论，它主要试图通过抽象出运动的特性并建立 其数学模型，来解决己知过去和现在的条件下如何预测未来的问题。这些描述运动的某种 特性随时间变化的数学模型或准则，就称为动力系统。而用于描述动力系统时所使用的信 息，就被概括起来称为状态。如果系统状态随时间的演化是唯一的，则该动力系统就是确 定性的。若存在着随机的扰动使得系统状态演化的唯一性遭到破坏，则该系统就是随机的 或称之为随机过程。 确定性动力系统从时间t i 到时间如的演化规律可以表示为： x ( t 2 ) = f ( z ( t 1 ) ) 其中f 是一个单值函数，( t ) 是系统在t 时刻的状态。这种在时间上离散的动力系统 被称为l 块射( m a p ) 。映射的时间间隔通常取为一个固定的时间增量，所以映射常常简记 为z m + 1 ) = f 忙m ) ) 。当动力系统在时间上连续变化时，动力系统可以表示为微分方程组 的形式 鲁_ f ) 6 ( 1 - 2 ) 中国科学技术大学博士学位论文第一章混沌理论简介 这种在时间上连续变化的动力系统称为流( f l o w ) ， 动力系统中的状态可以表示为空间上的点，该系统所有可能状态的集合就称为状态字 闻或相空闻，动力系统中某一状态随时闻的演化在相空间中形成一条空问曲线这条曲线 藏被称为该动力系统的一条辘道。 在理想情况下，动力系统f 是不随时间交化的，但在实际情况中。f 总屉真实系统在 一段时间内的近似，随着时间的变化。会缓慢的发生变化，描述这种缓慢变化的方法就是参 数，在动力系统的研究中，常常先假定或通过实验使动力系统的某些参数固定不变讨论 动力系统的特性，在获得了动力系统的初步认识后，蒋调节参数，对动力系统进行进一步的 分析。系统所有可能的参数取值所组成的集合就称为参数空间或控制空间。 1 2 2 吸引子 在动力系统的研究中，常常希望了解在长时间的演化后，系统会有什么样的特性。为 了除去暂态效应的影响，引入了吸引子的概念，概括的说，吸引子就是一个不变集，它不断 地u 吸引”着周围的状态。n 是一个吸引子，若其开邻域满足当t o 。时f ( ) 一n ， 同时n 不可再分割成更小的集台n 1 ，n 2 ，、使得( n 1 ) n f 。( q 2 ) = 妒 常见的吸引子主要有： 不动点，这种吸引子由一个点构成其周围的状态最终都会收敛到该点上例如动力 系统： 轨十1 = r ( x ) = 2 x t ( 1 一观) ( i - 3 ) 该动力系统有一个不动点。，= l 2 ，如图l - l 00 2040 6 081 0 图1 - i 不动点 7 加 瞄 州似 毗 。 塞里坠耋堡奎奎茎矍圭兰堡婆塞 量= 塞堡塑塞堡篁坌 极限环，做周期运动的吸引子称为极限环。图1 - 2 为一个两周期的极限环映射。其动 力学方程先 z + l = f ( z ) = 32 ：c ( 1 一z ) ( 1 - 4 ) 002040 60 8 1 0 图l o 极限环 环面，由多个周期不具有理数关系的极限环构成的振荡系统。由于各个极限环的周期 问不具有理数关系，所以无法将这些极限环锁定在一个固定的周期上，因此系统做一 种准周期的运动。 1 2 3 混沌的几种定义 迄今为止学术界对“混沌”尚缺乏统和普遍接受的“般定义这主要源于混沌现象 的复杂性，人们目前对混沌本身种种特性还没有完全掌握。论文在此选择两个常见的“混 沌”的定义作为说明。 第一种定义：若一个非线性系统的行为对初始条件的微小变化具有高度敏感鲍依赖 性，则称为混沌运动。该定义描述了混沌运动局部的极度不稳定性，常常被形容为“蝴蝶效 应”。这种高度的不稳定性是指在相空间中初始值极其接近的两条轨道，随着时间的推进。 轨道间的距离以指数形式迅速分离，这种行为显示了混沌系统局部的不稳定性：但整个混 沌系统本身并不会随着轨道间的指数分离特性而变得发散或不稳定，混沌运动总是在 个 有限的空间里反复折迭、伸缩逐渐分布于整个相空问上。当两条轨道阃的距离丈到可以与 混沌运动的空间相比拟时，轨道在相空间中呈现出近似随机的特性，这是一种确定性系统 本身表现出的内在的随机性。 第二种定义是基于l i y o r k s 定理的严格定义。l i y o r k s 定理为：设，( z ) 是【o ，叼上的连 8 o 8 6 i 4 2 0 加 瞄 吣州 雌 o 中国科学技术大学博士学位论文第一章混沌理论简介 续自映射，若，( z ) 有3 周期点，则对任何正整数n ，( x ) 有n 周期点。混沌的定义如下：闭 区间，上的连续自映射( x ) ( 下文中筒记为，) ，若满足下列条件。则一定出现混沌现象： 1 f 周期点的周期无上界； 2 闭区间j 上存在不可数子集s ，满足： ( a ) 对任意z ，y s ，当。y 时，则有： n l i r a s u pl 8 ( 。) 一，“( 硎 o ( b ) 对任意。，”s ，有 。l i r a 。i n fi f “扛) 一f - ( 口) i = 0 ( c ) 对任意$ ，y s ，其中y 是，的任一周期点，则有 。l 。i r a 。s u pi f “( z ) 一，“0 ) i o ( 1 5 ) ( 1 - 5 ) ( 1 - 7 ) 这就是著名的“周期三意味着混沌”，即对于上述历定义的系统，若存在3 周期点，则任何 周期点都可能拥有该系统可能出现混沌现象。上述的定理及定义说明了混沌运动不同与 一般周期运动的重要特点，式( 1 5 ) ，( 1 - 6 ) 和( 1 7 ) 说明混沌运动的轨道之间总是时而无限 接近，时而彼此分离，表现出非周期的混乱性；混沌动力系统的相空间中充满着可数无穷多 的周期轨道和不可数无穷多的非周期轨道；在相空间中总存在着不稳定的周期轨道；随着 系统的演化，不稳定周期轨道旁的临近轨道总是与该轨道分离。混沌运动充斥在相空间上 的有限区域在相空间中形成了混沌吸引子，由于其不同于其他常见的吸引子，因而也称为 奇异吸引子。 几个混沌吸引子的例予： r i i s s l e r 吸引子r b s s l e r 吸引子被认为是最简单的连续时间混沌系统，它的动力学方程为 = - ( z + y ) 0 = z + a l l ( 1 8 ) j = b + ( z c ) z 该系统中的非线性主要来自于式( 1 8 ) 中的z z 项，其轨道可见图1 - 3 。 b i n a r ys h j n 映射b i n a r ys h i f t 映射的映射函数如式( 1 - 9 ) z 。+ l = 2 x n ( m o d l ) ( 1 - 9 ) 如表1 - 1 所示，表中数值均为二迸制表示，有限精度的测量值经过二进制的移位映射 后，每次迭代会损失1 比特的信息经过1 0 次映射迭代，关于这条轨道的所有信息全 部丢失，系统进入近似随机运动的状态，表中的”? ”就代表了无法测量的不定状态。这 种信息的迅速丢失，导致必须依靠统计的方法才能对混沌系统的长期状态进行刻画。 9 ! 里墼兰垫童奎兰堡圭兰堡堡圣篓= 塞堡鎏矍篁堡坌 图1 - 3r h s s l e r 吸引子 表1 - 1b i n a r ys h i n 映射的信息丢失 0 11 0 1 0 1 0 0 1 l o 。1 0 l o l 0 0 1 1 7 o 0 1 0 1 0 0 1 1 7 7 o 1 0 1 0 0 11 7 7 7 0 0 1 0 0 1l ? ? ? ? 0 1 0 0 i i ? ? ? ? ? 0 0 0 1l ? ? ? ? ? ? 0 0 l1 7 7 7 7 7 7 7 0 1 l ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 07 7 7 7 7 7 7 7 7 7 册肌黜邸耻邸胛嬲邱肌 皇里塾竺苎奎奎兰堡圭耋堡垒奎丝三塞堡墼塞丝堡垒 1 3 混沌的性质 1 3 1l y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 指数提供了种定量描述动力系统轨道局部稳定性的方法。它的定义如下： 设相空间中一点2 ( 0 ) 有半径为e ( o ) 的邻域，该邻域随着动力系统的演化向相空间的各个方 向做伸展或收缩，成为一个超椭球，超椭球在各个方向上的轴长为民( t ) 。则轨道z ( f ) 在第e 个方向上的l y a p u n o v 指数定义为： 耻恕。器 m 。， 轨道在各个方向的l y a p u n o v 指数共组成l y a p u n o v 指数谱。其中最大的b a p u n o v 指数对系 统的性质往往起着决定性的作用，因此称为该系统的l y a p u n o v 指数。l y a p u n o v 指数刻画了 在局部范围里，系统轨道问的分离程度，当l y a p u n o v 指数大于0 时，轨道间的距离随着时 闻成指数分离，系统呈现出对初始状态的极度敏感性。因此l y a p u n o v 指数是否大于零，通 常被作为判断系统是否存在混沌运动的重要判据。 混沌系统对初始条件的敏感性可以被量化为： k ( ) f e a t 忙( o ) 式( 1 1 1 ) 中的a 近似为最大l y a p u n o v 指数而对于任何测量精度有限为( 0 ) = 如的初始 条件，该系统可预铡的时间不会超过l y a p u n o v 时间： 死一- - f i n1 6 x l i ( 1 1 2 ) ， l 为混沌吸引子所在相空间的大小尺度。l y a p u n o v 时间决定在分析动力系统时，我们是否 需要考虑该系统的混沌特性，当观测时间远小于l y a p u n o v 时间时，系统的混沌特性很难观 察到。而当观测时间大于l y a p u n 。v 时间时，我们就必须依靠统计方法来考察混沌系统的长 期特性。 1 3 2 遍历性和混合性( m i x i n g ) 遍历性是一个在物理学中经常使用的概念，在动力学中，系统的轨道具有遍历性表示 该轨道具有一定的“回归”性，即随着时间的推移。轨道总可以任意地接近它所经过的状 态。混合性则表示系统轨道初始状态的选择，不影响轨道的统计特性，其定义为：若不变集 s 上的映射f 是混合的，则对于s 中的任两个子集 和b 满足： t l 。i r a 。p ( f 。( b ) h a ) 。芦( a ) 肛( b ) ( 1 - 1 3 ) p ( ) 表示测度或理解为概率。式( 1 - 1 3 ) 右侧表示随机在s 上任取两点分别落入集合a 和b 的概率：左侧则表示以概率以口) 落入集合b 中的点，随着时间趋向无穷，会以多大的概率 落入集合a 中。在等式成立时，则系统是混合的。当系统同时满足遍历性和混合性时就相 当于在信号统计分折中各态历经的概念此时，可以通过时间平均代替集平均对系统的统 计特性进行分析。混沌系统是同时满足遍历性和混合性的系统，因此可以使用信号统计分 析中的各种分析工具对其进行分析。 1 3 3 陋机性特征 由于对初始条件的极端敏感性，确定性的混沌运动会表现出某