（统计学专业论文）跳扩散模型下未定权益定价问题的研究.pdf

摘要 未定权益定价是金融数学的核心问 题之一。大量的金融实践己 经充分表明， b l a c k - s c h o l e s 模型关于标的资产价格变动规律的假设与实际存在严重的 偏差。 由 于未定权益问题的求解取决于标的资产价格的变动规律，所以对原始 b l a c k - s c h o l e s模型的改进一直是一个引起广泛关注的问题，目前围绕 b l a c k - s c h o l e s 模型的改进提出了 许多新模型。 本论文主要研究跳一扩散模型框架 下期权定价问题，并提出了新的资产价格动态模型。主要工作如下: 1 ， 假设标的资产价格服从p o i s s o n 跳一 扩散过程，由市场的完备性，利用 鞍方法首先得到该跳一扩散模型下欧式未定权益定价的一般公式， 给出了欧式看 涨期权和看跌期权定价公式及平价关系。 2 . 介绍了期权定价的一种新方法保险精算定价方法， 并证明了当标的 资产价格过程服从p o i s s o n 跳一扩散过程时，教定价与保险精算定价是一致的。 分析了b l a c k - s c h o l e s 模型产生的定价的偏差。 3 ， 首次引 入有限 状态q 过程随 机波动率与 一个复 合p o i s s o n 过程组 合的 资 产价格动态模型， 并得到了该模型下欧式看涨期权定价的一般公式， 推广了h u l l 和w h ite 1 5 1 的 结 论， 并 进 行了 实 证 研究 。 这是 本 文 一个 重 要的 创新 点 之一 。 4 . 讨论了短期利率模型一一v a s i c e k模型下，风险资产价格过程服从 p o i s s o n跳一扩散过程时欧式未定权益定价问题，得到了欧式看涨期权和看跌期 权定价公式及平价关系， 最后给出了基于风险资产支付连续红利收益的欧式期权 定价公式。 关键词: b l a c k - s c h o l e s 模型， 未定权益， 跳一 扩散过程， 平价关系， 轶方法， 保 险精算定价， 有限 状态q 过程，随机波动率， 定价偏差，套期保值策略 ab s t r a c t c o n t i n g e n t c l a i m s v a l u a t i o n i s o n e o f t h e k e rne l p r o b l e m s o n f i n a n c i a l m a t h e m a t i c s a m a s s o f f i n a n c e p r a c t i c e h a s i n d i c a t e d t h a t t h e r e i s a s e r i o u s w a r p b e t w e e n t h e h y p o t h e s i s o f b l a c k - s c h o l e s m o d e l a b o u t t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e a n d t h e r e a l i s t i c m a r k e t s . t h e s o lu t i o n s t o c o n t i n g e n t c l a i m s a r e d e t e r m i n e d b y t h e a l t e r a t i o n l a w o f t h e u n d e r l y i n g as s e t p r i c e s . s o , t h e i m p r o v e m e n t o n b l a c k - s c h o l e s m o d e l a tt r a c t s w i d e a tt e n t i o n , a n d m a n y n e w m o d e l s a r e p r o p o s e d . t h i s d i s s e rt a t i o n c o n t r ib u t e s t o o p t i o n p r ic i n g p r o b l e m i n j u m p - d i ff u s i o n m o d e l s a n d p r o p o s e s a n e w a s s e t p r i c e s m o d e l . t h i s t h e s i s h a s t h e f o l l o w i n g c o n t e n t s : l . c o m p l e t e s e c u r i t y m a r k e t s w i t h d i s c o n t i n u o u s s e c u r i t y p r i c e a re s t u d i e d . u s i n g m a r t i n g a l e m e t h o d , g e n e r a l p r i c i n g f o r m u l a o f e u r o p e a n c o n t i n g e n t c l a i m s i s d e r i v e d a n d e u r o p e a n o p t i o n a n d p u t - c a l l p a r i t y i s a n a l y z e d . t h e s e r e s u lt s a r e g a i n e d u n d e r u n d e r ly i n g a s s e t p r i c e b e i n g d r i v e n b y a j u m p - d i ff u s i o n p r o c e s s . 2 . a n e w m e t h o d o # o p t i o n p r i c i n g ( i .e . i n s u r a n c e a c t u a ry p r i c i n g ) i s i n t r o d u c e d . i t i s p r o v e d t h a t m a r t i n g a l e p r ic i n g i s c o n s i s t e n t w i t h i n s u r a n c e a c t u a ry p r i c i n g i n a p o i s s o n j u m p - d i ff u s i o n m o d e l . p r i c i n g w a r p s o n b l a c k - s c h o l e s m o d e l a r e a n a l y z e d . 3 . a n e w m o d e l i s p r o p o s e d , w h e r e ass e t p r i c e s a r e g i v e n b y t h e c o m b i n a t i o n o f f i n it e s t a t e q p r o c e s s s t o c h as t i c v o l a t i l i t y a n d a c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s . t h e g e n e r a l f o r m u la o f e u r o p e a n c a l l o p t i o n p r i c in g h a s b e e n d e r iv e d , a n d t h e r e s u lt s o f h u l l a n d w h i t e a r e g e n e r a l i z e d . a t l a s t , a n a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s f o r j u m p - d i ff u s i o n m o d e l w i t h q p r o c e s s v o l a t i l i t y a r e g i v e n . 4 . t h e p r o b l e m o f c o n t i n g e n t c l a i m s v a l u a t i o n i s d i s c u s s e d w h e n t h e u n d e r l y i n g as s e t p r i c e i s a j u m p - d i ff u s i o n p r o c e s s u n d e r s t o c h a s t i c i n t e r e s t r a t e s . u s i n g m a r t in g a l e m e t h o d , p r i c i n g f o r m u l a o f e u r o p e a n c o n ti n g e n t c l a i m s i s d e r iv e d a n d p u t - c a l l p a r i t y i s a n a l y z e d . p r i c i n g f o r m u l a o f e u r o p e a n o p t i o n i s a l s o g iv e n w h e n r i s k a s s e t p a y s c o n t i n u o u s d i v i d e n d s . k e y w o r d s : b l a c k - s c h o l e s m o d e l , c o n ti n g e n t c l a i m s , j u m p - d i ff u s i o n p ro c e s s , p u t - c a l l p a r i t y , m a r t i n g a l e m e t h o d , i n s u r a n c ep r i c i n g , f i n i t e s t a t e q p r o c e s s , s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , p r i c i n g w a r p , h e d g i n ge g i c s f i t 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 夸 1 . 1 引 言 经济活动充满着不确定 性( 即 风险 ) ， 故 投资 者的 任何一 笔财富 ( 如各 种有价证 券、 房地产等 ) 在未来的 值x是一 个随 机变量( 即 未定权益 ) ， 它依赖于直至 到期 日t 才完成的“ 试验”结果。 ( 基本事件或样本点 ) 。为刻画这种随机现象， 我们 引 入 赋 有。 一 域 流 的 概 率 空 间 ( s 2 = w ) , f ( f , ) 。 二 p ) ， 其 中 。 一 域 流( 万 ) 。 。 : 的 经 济含 义就是投资 者随着时间的 推移而获 取的 信息 流，f , 刻画 投资者在 时 刻t 所掌 握的 信息总 和， 一 般 假设f o 是 平凡 的 且乓= f 。 因 此， 所 谓未 定 权益 ( c o n t in g e n t c l a i m s ) 就是 指乓可 测的 随 机 变量x， 通 常x被 解 释 为“ 到 期日 t 发 生 支 付的 某 金融合约的损益( p a y o f f) . 金融学研究的对象之一就是未定权益( 或称衍生证券) ， 常见的未定权益有: 远 期合 约 ( f o r w a r d c o n t r a c t s ) , 期 货 ( f u t u r e s ) 、 期 权 ( o p t i o n s ) 和互 换 ( s w a p s ) 等。 研究未定权益要解决的两个主要问题就是如何确定未定权益的价格即未定权益 定价( v a l u a t i o n ) : 其次是如何构造投资 策 略，已 达到 尽可能 地化解因 出 卖未 定 权 益而带来的风险 ( 购买期权实质上等于购买保险) ，即如何构造套期保值或对冲 策略 ( h e d g i n g ) 。 在所有的 未定 权益中， 期 权的 研究最为 广泛， 这是因 为: 与 其 他未定权益相比期权易于定价; 许多未定权益可表示为若干期权合约的组合形 式; 各种未定权益的定价原理是一样的， 有可能 通过期权定价方法找到一 般未 定权益的定价理论。 期权 o p t i o n s ) 是一种合约， 它的持有者有权利 ( 但无义务) 在某一指定日 期 或期间内以预先约定的价格购买或出售指定数量的标的资产。 前者称为看涨期权 ( 也称为买权) ( c al l o p t i o n s ) ，后者称为看跌期权( 也称为卖权) ( p u t o p t i o n s ) 。 按照 可 交易时间 来分， 期 权按交易 时间又 分为欧 式 期 权( e u r o p e a n o p t i o n s ) 与美 式 期权 ( a m e r i c a n o p t i o n s ) . 前者只能 在到期日 当 天交易， 后者可以 在到期日 之前包括到 期日当天的任何交易日 进行交易。 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 夸 1 . 1 引 言 经济活动充满着不确定 性( 即 风险 ) ， 故 投资 者的 任何一 笔财富 ( 如各 种有价证 券、 房地产等 ) 在未来的 值x是一 个随 机变量( 即 未定权益 ) ， 它依赖于直至 到期 日t 才完成的“ 试验”结果。 ( 基本事件或样本点 ) 。为刻画这种随机现象， 我们 引 入 赋 有。 一 域 流 的 概 率 空 间 ( s 2 = w ) , f ( f , ) 。 二 p ) ， 其 中 。 一 域 流( 万 ) 。 。 : 的 经 济含 义就是投资 者随着时间的 推移而获 取的 信息 流，f , 刻画 投资者在 时 刻t 所掌 握的 信息总 和， 一 般 假设f o 是 平凡 的 且乓= f 。 因 此， 所 谓未 定 权益 ( c o n t in g e n t c l a i m s ) 就是 指乓可 测的 随 机 变量x， 通 常x被 解 释 为“ 到 期日 t 发 生 支 付的 某 金融合约的损益( p a y o f f) . 金融学研究的对象之一就是未定权益( 或称衍生证券) ， 常见的未定权益有: 远 期合 约 ( f o r w a r d c o n t r a c t s ) , 期 货 ( f u t u r e s ) 、 期 权 ( o p t i o n s ) 和互 换 ( s w a p s ) 等。 研究未定权益要解决的两个主要问题就是如何确定未定权益的价格即未定权益 定价( v a l u a t i o n ) : 其次是如何构造投资 策 略，已 达到 尽可能 地化解因 出 卖未 定 权 益而带来的风险 ( 购买期权实质上等于购买保险) ，即如何构造套期保值或对冲 策略 ( h e d g i n g ) 。 在所有的 未定 权益中， 期 权的 研究最为 广泛， 这是因 为: 与 其 他未定权益相比期权易于定价; 许多未定权益可表示为若干期权合约的组合形 式; 各种未定权益的定价原理是一样的， 有可能 通过期权定价方法找到一 般未 定权益的定价理论。 期权 o p t i o n s ) 是一种合约， 它的持有者有权利 ( 但无义务) 在某一指定日 期 或期间内以预先约定的价格购买或出售指定数量的标的资产。 前者称为看涨期权 ( 也称为买权) ( c al l o p t i o n s ) ，后者称为看跌期权( 也称为卖权) ( p u t o p t i o n s ) 。 按照 可 交易时间 来分， 期 权按交易 时间又 分为欧 式 期 权( e u r o p e a n o p t i o n s ) 与美 式 期权 ( a m e r i c a n o p t i o n s ) . 前者只能 在到期日 当 天交易， 后者可以 在到期日 之前包括到 期日当天的任何交易日 进行交易。 西北工业大学硕上学位论文 1 9 7 3 年， 布莱克一 休斯( b l a c k - s c h o l e s ) 在j o u r n a l o f p o l i t i c a l e c o n o m y 上发 表了 关 于 期 权定 价的 开 创 性论 文“ t h e p r ic i n g o f o p t io n s a n d c o r p o r a t e l ia b i l it ie s 1 ， 文中 运用随机微分方程理论推导出了 期权定价模型。该模型的推导建立在 六个假设基础上:u没有交易成本、 税收或卖空限制: 2 ) 无风险收益率是常量; 3 )股票不支付股息:4 )标的资产的随机价格服从几何布朗运动:5 )对于贸易 市场是连续开放的; 6 ) 期权是欧式的。 利用套利推理和随机分析中的l t o 公式证 明 了 欧 式 买 入 期 权 价格过 程 可 表 成 股 票 价 格s ; 和 时间t 的 函 数f ( st ) ， 其中i 满 足一偏微分方程， 并由 此导出了 欧式买入期权定价公式， 即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式; 记t 时刻股票价格s ， 满足随机微分方程 d s , = s , ( p d t 十 v d b , ) 其中k 。 为常数，双为一维标准布朗 运动。 无风险利率r 为常数， 假定市场是无 摩 擦( f r ic t io n l e s s ) 的， 股票不支付 任何红 利。 则欧式买入 期权价格f ( st ) 满 足 b l a c k - s c h o l e s 方程: 厂 一 rf 十 r s f , + 告 o ,2 s 2 几 f ( s , t ) 二 m a x 0 , s 一 k ) , 二0 s0 ( 1 . 1 . 2 ) 通过求解偏微分方程 f ( s , t ) ( 1 . 1 .2 )可得欧式买入期权定价公式 = s d ( d , ) 一 k ( u ( d 2 ) e x p - r ( t 一 t ) ( 1 . 1 . 3 ) 其中中 (.)是标准正态分布的累计分布函 数， d , = ln ( s / k ) + ( r + o -2 / 2 ) ( t 一 ， ) 6 i 1 二 d 2 = ln ( s / k ) + ( : 一 。 2 / 2 ) ( t 一 t ) v 万1 下 s 表示初始时刻t = 0 股票的价格， k表示期权的执行价格， t 表示期权的到期日 ( 有效期限 ) 。同 理， 可以 得到欧式卖权的定价公式为 p ( s , t ) 二 一 s (d ( - d , ) + k (d ( - d , ) e x p - r ( t 一 t ) ( 1 . 1 .4 ) 西北工业大学硕士学位论文 b l a c k - s c h o l e s 发表关于期权定价的开创性论文得到 b l a c k - s c h o l e s 公式之后 不久， m e rt o n 在 2 中 对b la c k - s c h o l e s 模型和定价公式作了完善和多方面的推广。 由 他们三人共同开创的期权定价理论被誉为“ 华尔街的第二次革命” ， s c h o l e s 和 m e r t o n 因此荣获1 9 9 7 年度诺贝 尔经济学奖( b l a c k 于1 9 9 5 年英年早逝未能分享 此项殊荣) 。 b l a c k - s c h o l e s 模型的卓越之处主要体现在: ( 1 ) 在股票价格服从几何布朗运 动的理想化市场条件下， 发现了欧式看涨期权的套期保值策略， 指出拥有看涨期 权与拥有这种策略是完全等价的， 从而得到该策略对应的初始财富即为期权唯一 的公平价格，它与投资者的风险态度无关。 ( 2 ) 给出了 操作简单的欧式看涨期权 的定价公式。 需要指出的是， 这两点中的前者的动态套期保值思想比后者有价值 得多! 然而， 从数学上考虑， 其实质就是随机分析中的布朗泛函轶表示定理的一 个应用。未定权益定价是金融数学的基本问题。 1 .2 未定权益定价及保值的研究历史与现状 研究 未定 权益主 要 解决 两 个问 题: ( 1 ) 在目 前t = 0 ， 未 定 权益x的 价 值气 应 定多 少 才公 平合理( 定价 ) ; ( 2 ) 设投资者卖出t 时 财富x( 即 必须在t 时 付出 财富 x ) 因 而 获 得 现金v a . 投资 者 应 如 何以v u 为 初始 财富 进 行组 合 投资 ( 购买 股 票 或 债 券) ， 才能使期末财富尽可能足以还账( 套期保值) 。 第一个问 题相当古老， 可以 追 溯 到1 7 世 纪 概率 论的 创 始 人j a c o b b e rn o u ll i 等 人的 工作， 他们 得出残= e h 可是这导致了 著名的s t . p e t e r s b u r g 悖论的出 现， 为 此， d a n i e l b e rn o u l l i 等考虑到 人们的风险回避心理倾向而引入风险贴水因子， 无疑其结论与投资者的风险态度 有关。现在看来，直到1 9 7 3 年，b l a c k . s c h o le s 和m e r t o n 发现了欧式看涨期权 的定价理论，才使我们对这些问题有一个清晰的解答。 1 9 7 3年， b l a c k - s c h o l e s 关于期权定价的开创性论文的发表标志着未定权益 定价理论的诞生， 被认为是现代金融学的一项具有里程碑意义的突破性的成果。 b l a c k - s c h o l e s期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准 化期权合约几乎是同时。 现在， 几乎所有从事期权交易的经纪人都有根据这一模 西北工业大学硕士学位论文 b l a c k - s c h o l e s 发表关于期权定价的开创性论文得到 b l a c k - s c h o l e s 公式之后 不久， m e rt o n 在 2 中 对b la c k - s c h o l e s 模型和定价公式作了完善和多方面的推广。 由 他们三人共同开创的期权定价理论被誉为“ 华尔街的第二次革命” ， s c h o l e s 和 m e r t o n 因此荣获1 9 9 7 年度诺贝 尔经济学奖( b l a c k 于1 9 9 5 年英年早逝未能分享 此项殊荣) 。 b l a c k - s c h o l e s 模型的卓越之处主要体现在: ( 1 ) 在股票价格服从几何布朗运 动的理想化市场条件下， 发现了欧式看涨期权的套期保值策略， 指出拥有看涨期 权与拥有这种策略是完全等价的， 从而得到该策略对应的初始财富即为期权唯一 的公平价格，它与投资者的风险态度无关。 ( 2 ) 给出了 操作简单的欧式看涨期权 的定价公式。 需要指出的是， 这两点中的前者的动态套期保值思想比后者有价值 得多! 然而， 从数学上考虑， 其实质就是随机分析中的布朗泛函轶表示定理的一 个应用。未定权益定价是金融数学的基本问题。 1 .2 未定权益定价及保值的研究历史与现状 研究 未定 权益主 要 解决 两 个问 题: ( 1 ) 在目 前t = 0 ， 未 定 权益x的 价 值气 应 定多 少 才公 平合理( 定价 ) ; ( 2 ) 设投资者卖出t 时 财富x( 即 必须在t 时 付出 财富 x ) 因 而 获 得 现金v a . 投资 者 应 如 何以v u 为 初始 财富 进 行组 合 投资 ( 购买 股 票 或 债 券) ， 才能使期末财富尽可能足以还账( 套期保值) 。 第一个问 题相当古老， 可以 追 溯 到1 7 世 纪 概率 论的 创 始 人j a c o b b e rn o u ll i 等 人的 工作， 他们 得出残= e h 可是这导致了 著名的s t . p e t e r s b u r g 悖论的出 现， 为 此， d a n i e l b e rn o u l l i 等考虑到 人们的风险回避心理倾向而引入风险贴水因子， 无疑其结论与投资者的风险态度 有关。现在看来，直到1 9 7 3 年，b l a c k . s c h o le s 和m e r t o n 发现了欧式看涨期权 的定价理论，才使我们对这些问题有一个清晰的解答。 1 9 7 3年， b l a c k - s c h o l e s 关于期权定价的开创性论文的发表标志着未定权益 定价理论的诞生， 被认为是现代金融学的一项具有里程碑意义的突破性的成果。 b l a c k - s c h o l e s期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准 化期权合约几乎是同时。 现在， 几乎所有从事期权交易的经纪人都有根据这一模 西北工业大学硕士学位论文 型计算期权价值程序的计算机。 在 b l a c k - s c h o l e s 模型框架下， 期权定价是基于未定权益的完全复制概念， 具体地说， 投资者可以复制一个期权的收益流， 利用连续再平衡一个自 融资投资 策略( 含股票和无风险债券) 。在 b l a c k - s c h o l e s 模型框架下要得到解析解和复制 策略， 首先要构造具有连续交易的无套利市场模型， 这里一般需要随机分析理论， 具体地说，需要利用 工 t o随机积分。由 此可得到期权的无套利价格所满足的 b l a c k - s c h o le s偏微分方程，再通过求解偏微分方程，得到期权定价的 b l a c k - s c h o l e s 公式。 7 0 年代以来，未定权益定价理论经过三十多年的发展， 取得了丰硕的成果。 这些工作主要有以下几个方面: ( 1 ) 关于b l a c k - s c h o l e s 模型中 标的资 产价格的实证和理论研究， 这仍然是一 个正在进行研究的课题。 b l a c k - s c h o l e s 模型的一个理想化市场条件是: 假定股价 服从几何布朗运动，由于几何布朗运动是连续随机过程， 所以假设就意味着股票 价格是时间的连续函数。但越来越多的金融实践己经充分表明， 股票价格可能会 出现间断的 “ 跳跃” ， b l a c k - s c h o l e s 模型关于标的资产价格的变动规律的 假设与实 际存在严重的偏离。由 于未定权益问 题的求解决定于标的资产价格的变动过程， 所以b l a c k - s c h o l e s 模型并不是对真实现象的很好的近似。 目 前围绕b l a c k - s c h o l e s 模型的改进提出了许多新模型，由 此也产生了许多新方法。在完全市场条件下， 将b l a c k - s c h o le s 模型推广到带跳的扩散过程， 以 便解释从实际期权市场中观察到 的用无法解释的现象。近几年来， 研究不完全市场的未定权益定价及套期保值也 取得较大的 成果， 将标的资 产价格模型推广到一般的半较，甚为l e v ry过程。 近几年， 很多 文献对期 权 定价 理论进行了 研究。 c o x 和r o s s 于1 9 7 6 年 3 提 出了 风险中性定价理论。 在这一思 想的影响下， 1 9 7 9 年h a r r i s o n 和k r e p s 4 提出 了 用鞍方法刻画无套利市场和不完全市场等价轶测度的 概念。 1 9 8 1 年h a r r i s o n 和 p li s k a 协 研究 在 无 套 利假定 下的 资 产 价 格与 半 较 的 关 系， 得出了 在 无 套利 假 定 下 的各种资产价格过程都是半轶的结论， 并用等价鞍测度对期权进行定价和套期保 值。 h a r r i s o n 和p l i s k a 6 中 给出了 市 场是完 全的 ( c o m p l e t e ) 充要条件为 等价较 测 度 是唯一的。 a a s e 7 - - 8 在 4 - - 习 基础上讨论了 股价过程是由i t o 和随机点过程“ 混合” 西北z业大学硕士学位论文 模型的 未定权益定价问 题: 并给出了 各种形式的一维不连续股价过程的欧式未定 权 益定 价公式。 1 9 9 0 年j e a n b l a n c - p i c q u e 和p o i n t e r 9 讨论了 股票 价格过 程由 布朗 运动和泊松过程共同驱动的欧式期权定价公式。 1 9 9 1 年s c h w e iz e r 1 0 ) 考虑的 是当 市 场是 不 完 全条 件下， 股价 是半 鞍的 期 权 套 期 保 值问 题。 1 9 9 4 年c h r i s t o p e it 和 m u s i e la 1 1 对一 类 价 格 过 程 具 有x= x o + m十 a 分 解的 特殊半 轶 模 型， 讨 论了 未 定权益定价的等价n测度存在的充分必要条件。 1 9 9 7 年e b e r le i n 和j a c o d 1 2 给出 了 当 股 价s ， 是 一 不 连 续 过 程， 期 权 定 价 的 区 间 范 围 是( 。 一 ” g ( e s o ) s o ) 0 2 0 0 2 年 林 建忠和叶中行 1 3 讨论了 类似于 7 - 8 给出的 证券市场多 股票价格模型， 利用 p a r d o u x 和p e n g 1 4 倒向 随 机 微分 方 程理 论， 给出 了 跳跃 扩散 型多 股 票 过 程 欧 式 未定权益定价的基本公式， 并在常系数条件下获得了一种线性组合式欧式期权定 价公式。 ( 2 ) 对b l a c k - s c h o l e s 模型的参数的修正。 首先， b l a c k - s c h o l e s 模型中假设 股 票价格的波动率为常数， 显然这个假设不符合实际市场情况，许多文献研究了随 机波 动 率 模型。 1 9 8 7 年h u ll 和w h it e 1 5 考 虑了 如 下 随 机波 动率 模型: 丝= r d t + v d w d v 一 。 (b 一 v )d t + v s d w v s 其中a , b .咨 和a是常数， 该模型中的 变量v 是 股票的方差率，即是波动率的 平方。 假设方差率以比率a 回复到水平b 。 他们发现b l a c k - s c h o l e s 公式高估了处 于平价或接近平价状态的期权的价格， 且低估了处于深度实值状态或处于深度虚 值状态的期权的价格。 其次， 有许多学者研究了 随机利率模型， 对b l a c k - s c h o l e s 模型中利率为常数也进行了 修正，提出了 许多的利率期权的定价模型， v a s i c e k 短期 利率 模型， c o x、 i n g e r s o l l 和r o s s 模型， h o - l e e 模型等等。 ( 3 ) 美 式 期 权以 及新 型 期 权定 价 理论 的 研究。 1 9 8 4 年b e n s o u s s a n 1 6 声 称 在 完全市场条件下美式未定权益定价是可能的， 并且利用最优停时问题可以刻画它 的 执 行 时 间。 1 9 8 8 年k a r a t z a s 1 7 在文 献 1 6 1 的 基 础上 给出 了 一 种 较简 单 的 方 法 来处理美式未定权益的定价问题，拓展这一理论的许多结果。1 9 9 9年我国学者 王 桂兰 1 8 ) 讨论了 不完 全市 场下美式 未定 权益的定 价及套期保值问 题。 同时 近 几 年来， 随着金融衍生产品的不断创新， 新型期权定价问题也逐渐成为研究的热点 西北工业大学硕士学位论文 1 9 a ( 4 ) 研究带“ 摩擦” 金融市场的未定权益定价和套期保值， 这里所指的 摩擦 包括交易费、 税收、买卖差价和各种约束条件。 带违约风险的期权定价问题。 不 对称信息下的市场交易等等。 现代金融理论非常重要的一个研究成果是靴理论的引入。 在金融市场是有效 的 假定下， 标的资 产的价格可以 等价于一个轶随机过程，由k a r a t z a s 和 s h r e v e 等人倡导的鞍方法直接把鞍理论引入到现代金融理论中 2 0 1 ， 利用等价鞍测度的 概念研究未定权益的定价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规 律，而且可以提供一套有效的算法， 求解复杂的未定权益定价与风险管理问 题。 利用轶理论研究金融的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完全时的未 定权益的定价问题。 目 前基于较方法的未定权益定价理论在现代金融理论中占主 导地位，但在国内还是一个空白。 1 .3 未定权益定价及保值理论的研究意义 伴随着维系全球的以美元为中心、 实行“ 美元与黄金双挂钩” 的固定汇率制 布雷顿森林货币 体系( b r e tt o n w o o d s a g r e e m e n t ) 于1 9 7 3 年正式瓦解，以 及银 行和非银行金融机构的积极推动， 近三十年来， 金融活动在给投资者带来高收益 的同时， 也蕴含着日 益显著的高风险， 给投资者带来了巨大的损失。 尤其是最近 几年以来。这种高风险引发的金融危机频繁发生， 危机波及之广、持续期之长、 损失之巨都是亘古罕见的。 例如，1 9 9 5 年世界首家“ 商业银行”巴林银行倒闭， 1 9 9 5 年日本大和银行亏损 1 0 亿美元，1 9 %年阿尔巴尼亚金融危机，1 9 9 7 年亚 洲金融危机，1 9 9 8年美国长期资本管理基金事件等等，每次危机带来的连锁反 应不知导致了多少人间悲剧。 为此， 金融学的研究受到国际政界、 学术界前所未 有的重视，由 于金融现象的高度不确定性， 人们越来越深刻的认识到: 数学已成 为金融学研究中必不可少的关键技术， 一大批从事数学、 理论物理研究的有识之 士转向金融学的研究， 并很快取得了卓越的 成绩， 金融学离不开数学的 运用， 数 学 在金融学“ 土壤” 里 健康成 长。 金融 数学 ( f i n a n c i a l m a t h e m a t i c s ) 也 称为 数理金 融学 m a t h e m a ti c a l f i n a n c e )， 这门新兴的 数学与金融学交叉学科就应运而生了。 西北工业大学硕士学位论文 1 9 a ( 4 ) 研究带“ 摩擦” 金融市场的未定权益定价和套期保值， 这里所指的 摩擦 包括交易费、 税收、买卖差价和各种约束条件。 带违约风险的期权定价问题。 不 对称信息下的市场交易等等。 现代金融理论非常重要的一个研究成果是靴理论的引入。 在金融市场是有效 的 假定下， 标的资 产的价格可以 等价于一个轶随机过程，由k a r a t z a s 和 s h r e v e 等人倡导的鞍方法直接把鞍理论引入到现代金融理论中 2 0 1 ， 利用等价鞍测度的 概念研究未定权益的定价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规 律，而且可以提供一套有效的算法， 求解复杂的未定权益定价与风险管理问 题。 利用轶理论研究金融的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完全时的未 定权益的定价问题。 目 前基于较方法的未定权益定价理论在现代金融理论中占主 导地位，但在国内还是一个空白。 1 .3 未定权益定价及保值理论的研究意义 伴随着维系全球的以美元为中心、 实行“ 美元与黄金双挂钩” 的固定汇率制 布雷顿森林货币 体系( b r e tt o n w o o d s a g r e e m e n t ) 于1 9 7 3 年正式瓦解，以 及银 行和非银行金融机构的积极推动， 近三十年来， 金融活动在给投资者带来高收益 的同时， 也蕴含着日 益显著的高风险， 给投资者带来了巨大的损失。 尤其是最近 几年以来。这种高风险引发的金融危机频繁发生， 危机波及之广、持续期之长、 损失之巨都是亘古罕见的。 例如，1 9 9 5 年世界首家“ 商业银行”巴林银行倒闭， 1 9 9 5 年日本大和银行亏损 1 0 亿美元，1 9 %年阿尔巴尼亚金融危机，1 9 9 7 年亚 洲金融危机，1 9 9 8年美国长期资本管理基金事件等等，每次危机带来的连锁反 应不知导致了多少人间悲剧。 为此， 金融学的研究受到国际政界、 学术界前所未 有的重视，由 于金融现象的高度不确定性， 人们越来越深刻的认识到: 数学已成 为金融学研究中必不可少的关键技术， 一大批从事数学、 理论物理研究的有识之 士转向金融学的研究， 并很快取得了卓越的 成绩， 金融学离不开数学的 运用， 数 学 在金融学“ 土壤” 里 健康成 长。 金融 数学 ( f i n a n c i a l m a t h e m a t i c s ) 也 称为 数理金 融学 m a t h e m a ti c a l f i n a n c e )， 这门新兴的 数学与金融学交叉学科就应运而生了。 西北工业大学硕士学位论文 金融数学， 就是应用概率论、 统计学、 随机分析及随机最优化理论等数学工 具， 通过建立数学模型讨论金融市场的一门 数学与金融学的交叉学科， 1 9 0 0 年3 月2 9 日b a c h e l i e : 提交到巴 黎科学院的博士论文“ t h e e o r i e d e l a s p e c u l a t io n ( 投 机理论 ) 标志该学 科的 诞生。 金融数学的 兴起是金 融界的 一场数学革命， 它是目 前十分活跃的前沿学科之一。例如， 1 9 % 年由 一些著名的数理金融学家发 起 成立了“ b a c h e l i e r 金融学会” ， 该学会的目 的就是 通过国际交流， 推动随机过程、 统计学及其他数学理论在金融学科中的运用; 相继出 现了 一些新的数理金融学 杂志，如 “ ma t h e m a t ic a l f i n a n c e . f i n a n c e a n d s t o c h a s t i c s ”等杂志于1 9 9 1 年、 1 9 9 7年先后创刊，这些杂志主要刊登来自 金融学、经济学、数学、统计学等领 域内， 关于金融理论中的数学问题的最新研究成果， 是沟通数学家与金融学家的 桥梁; 1 9 9 9 年、 2 0 0 0 年、 2 0 0 1 年、 2 0 0 2 年我国自 然科学基金委数理科学部数 学学科的鼓励研究领域有 “ 金融和财政科学中的数学问题，o 现代金融学是指在金融经济学中大量应用金融数学研究金融风险的防范与 控制、 资本市场的运营、 资本资产的结构和定价等理论取得的成果。 现代金融理 论是伴随着金融市场的发展而不断成熟起来的。 金融市场是指债券、 基金、 股票、 期货、和期权等金融证券市场。二次世界大战以 后，由于美国经济的迅速发展， 要求金融市场不断完善，以防范、 控制和化解金融风险，由此而来的各种金融衍 生产品层出不穷， 这样就要解决金融衍生产品定价问 题及证券投资决策问题。 马 克维茨( m a r k o w i t z ) 的资产组合理论和布莱克一 休斯( b l a c k - s c h o le s ) 的期权定价 理论的提出使现代金融理论进入了新的发展阶段。 金融数学是支撑这种发展的主 要基石， 可以 说现代金融理论的每一步发展都与金融数学的应用密切相关。 但在我国，由于长期的计划经济体制， 直到上个世纪九十年代数理金融学才 引起人们的重视。 尽管如此 我国在该领域己取得了一些令人瞩目的成绩， 数理 金融学正在成为越来越多的年轻人的 研究方向。 伴随着我国加入w t o以 及香港 和澳门的回归， 我国与国际金融界的联系越来越密切， 如何防范金融风险及对金 融衍生证券理论和方法的研究己 是实践的迫切需要。 我国政府和学术界也高度重 视，国家自 然科学基金九五重大项目“ 金融数学、金融工程和金融管理”已 在 1 9 9 6 年立项，并于1 9 9 7 年正式实施。 西北工业大学硕士学位论文 今天， b l a c k - s c h o le s 期权定价理论可以 用来制定各种金融衍生产品的价格， 是各种衍生产品估价的重要工具。 期权定价理论为西方国家金融创新提供了 有力 的指导， 是现代金融理论的主要内容之一。 但其关于标的资产价格过程的假设与 实际金融市场有较大的偏离，对原始 b l a c k - s c h o l e s 模型的改进一直是一个引起 广泛关注的问题， 所以研究标的资产价格过程更为合理的模型具有重要的理论和 现实意义，也越来越受到金融界的重视。 1 . 4 本文的主要内容 本文研究了数理金融的核心问题之一未定权益定价及套期保值策略。 主 要讨论了 在跳一 扩散模型框架下未定权益的定价问 题，并简要地介绍了不完全市 场中期权的套期保值策略及定价区间。 在绪论的最后部分， 我们介绍一下本篇论 文主要内容及所做的主要工作。 第一章作为绪论， 介绍了 未定权益及相关概念。 回 顾了 未定权益定价理论发 展的 历史， 以 及我国未定权益定价理论的 研究现状。 最后介绍本论文所研究的 主 要内容及章节安排。 第二章改变标的资产价格行为模式的假设， 即假定标的资产的价格过程为 跳 一 扩散 过程， 其中 无风险利率; ( t ) 和风险资 产价格的 波动率。 ( t ) 均为 时间t 的 函 数。 第一节由 市场的完备性， 利用较方法首先得到该