（基础数学专业论文）逆半环的同余.pdf

独创声明 奉人声明所呈交的学位 会文是本人在导师指导一f 进暂的研究工作及取搿的彤 究成 果。掘我所知，除r 文中特剖加以标注和致谢的地方外，沧文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，岜不包含为获得( 注：如没有其他需璺特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的举位或证书使用过的材料。与我同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在沦文中作了嘲确的龇明。睁表示潋意。 学位论文作者签名：帮 吏劫 制襁毛移铲旷 p 汐 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂燕有关保留、使用学位论文的规定，有权保础，f 向 阳家7 r 哭郴门戈机构送交沦! ： 的复l ：j j 4 ：干口磁血，允f f = 沦文被套阅和借测。本人投蚁掌 较可以耨学位论文的全部或部分内容编入有关数姑库进行检索，可以采媚影印、缩印 或扫插等复制手段保存、汇编学位沦文。( 保密构学位论文在解密后适熠本授权书) 学位论文作者签名：赫蔓砷 字：旁旷 签字日期：2 0 0e 年辟月| 目签字目期：2 0 0 年叶月p 日 山东师范大学硕士学位论文 逆半环的同余 郝建功 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文给出逆半环的同余对，并且给出逆半环的一螳其它同余的性质，最后进 行了一系列推广具体内容如f ： 第一章给出引言和预备知识 第二章，给出逆半环的同余对的定义，并根据同余对探讨了萸性质丰要结论 如下： 定义2 2 设p 是逆半环r 上的一个半环同余，定义p 的核与迹如下： k e r p = 。r ia p e ，3 e e ( r ) ) ， t r p = p i e o 盯一6 盯r 1 是r 的最小环同余 第四章给出了一个逆半环可以表示为某些特殊的环与特殊集合的次直积的条 件，并对逆半环的同余与次直积的同余之间的关系进行了研究 主要结论如下： 定理4 1 一个逆半环s 是一个环r 与一个加法幂等半环丁的次直积# = e ( s ) 是s 的一个k 理想 定理4 2 设s 是逆半环，其可表为一个环r 与个加法幂等半环2 1 的次直 积，其中任意r r ，b t ，有他bb 7 t ，则s 上的每个同余一形如： ( a ，6 ) 盯( c ，d ) = 辛a c ，月，b p d ， 其中p 是t 的一个同余 关键词：半环，同余对，次直积，半环的理想，同余 分类号：0 1 5 27 2 些堡i 师堕查兰堡主尊i 望堡享 o ns t r u c t u r e so fs e m i r i n g sa n dc o n g r u e n c e so ns e m i r i n g s h a o j i a n g o n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o u gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eg i v ead e f i n i t i o no fc o n g r u e n c ep a i ro fi n v e r s es e m i r i n g ； b e s i d e s ，w eg i v eae x t e n to fc o n g t u e n c ep a i ro fi n v e r s ( ! s e u f i i i n g ；f i n a l l y ，w eg i v ed o as e r i e so fg e n e r a l i s i n g t b em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e rl ，w eg i v et h ei n t r o d u ( ：t i o na n dp r p l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v ead e f i n i t i o no fc o n g r u e n c ep a i ro fi n v e r s es e m i i i n g a tf i r s t ；b e s i d e sw ed i s c u s sae x t e n s i o no fc o n g r u e n c ep a i ro fi n v e r s es e m i r i n gt h e m a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w d e f i n e2 2l e tpb eas e m i r i n gc o n g z h e n c eo fi m 7 e r s es e n q i r i n g w ed e f i n et h e k e r n e la n dt r a c eo fpb y k e r p = n ra p e o rs o m ec e ( s ) ) t r p = p l f ( s ) r e s p e c t i v e l y d e f i n e2 4l e t 月b ea ni n v e z s es e m i l o n gas u b s e t 7o fsi sf n l li fe ( s ) k ；i ti ss e l f c o n 3 u g a t ei f s + k + s k f o ra l lscs a f u l l ，s e l f - c o n j u g a t ei n v e r s es u b s e m i r i n go fs i san o r m a l s u b s e m i r i n go fr a s e m i r i n gc o n r g u e n c ero ne ( n ) i sn o r m a li ff o ra n ye ，e ( r ) a n dr r ， e 7 - ，i m p l i e s ( r + e + r ) r ( - r + + r ) t h ep a i r ( k ，r ) i sac o n g r u e n c e p a i rf o rri fki sa n o r m a ls n b s e m i r i n go fr ，ri s an o r m a lc o n g r u e n c eo ne ) t h e o r e m2 6l e trb ea ni n v e r s es e m i r i n gi f ( k ，r ) i sas e m i r i n gc o n g r u e n c e p a i rf o rr ，t h e np ( k ，t 1i st h eu n i q u es e m i r i n gc o n g r u e n c epo nr f o rw h i c h k e r p = ka n dt r p = t c o n v e r s e l y ，i fpi sas e m i r i n gc o n g r u e n c eo nr ，t h e n ( 女吖p ) t rp ) i sac o n g i u e n c ep a i l 3 f o rra n dp ( k e mt r p ) = p 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m2 1 2l e tsb ea ni n v e r s es e m i r i n ga n dv ece ( s ) ，fcs ，j ，ge f ) ，w eg e te = c = 9 c ，d e f i n eam a p p i n gt rb y 打：p t 7 p p c ( s ) t h e nt ri sac o m p l e t eh o m o m o r p h i s mo fc ( s ) o n t o ( 日( s ) ) t h e n o ra n yp6 g ( s ) ，p 。垦p6 p 。b 。 i nc h a p t e r3 ，w eg i v ead e f i n i t i o no fs p e c i a ls e m i r i n gc o n g r u e n c eo fa n i n v e r s es e m i r i n ga tf i r s ta n dw ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h e m ；f i n a l l y w oo b t a i n as e r i e so fc o n c l u s i o n s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf 1 ) l l o w t h e o r e m3 1l e trb ea l la d d i t i v e l yc o m m u t a t i v ei m7 e t s es e m i i i n g “、b ( 冗、 d e f i n i t i n go - ：( a ，b ) 口甘a9 - eib 十e ，3 e e ( r ) ，t h e n 口i sar i n gc o n g r u e n c e o fr t h e o r e m3 4 l e t ( r ，9 - ，) b eas e m i r i n s u p p o s et h a t ( r + ) i sag r o u p ( n o t c o m m u t i v e ) ，r i sas u b g r o u po f ( 冗，+ ) ，t h e nr i sai d e a lo fr t h e o r e m3 5l e trb ea ni n v e r s es e m i r i n gs u p p o s et h a t 口i sar i n ge o n g r u e n c eo f _ rl i k ea sd e f i n i t i o n3 1 ，t h e nk e r a = a ra o = ( a 9 - n ) 口) i saf u l ld e n s e r e f l e x i v eu n i t a r yi d e a lo fr t h e o r e m3 6l e trb ea ni n v e r s es e m l r i n g s u p p o s et h a t ( n ，b ) c 盯 争1 e e ( r ) ，a9 - e = 69 - e , a n dr 1 = r o ；( 兄i ，- - - ) i st h ea d d i t i o n a lc o r n n l l l t f l t o rs u b g r o u p o f ( r l ，+ ) ，t h e nr = r l r ii st h em a x m a lr i n gh o l n o m o i p h i s mi m a g eo fr ，a n d 0 ：( a ，b ) 0 ja o b 盯r i i st h em i n i m a lr i n gc o n g r u e n c e i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h ec o n d i t i o n so f a ni n v e r s es e m i r i n gh o wt oe x p r e s s e d as u b d i r e c tp r o u d u c to far i n ga n da na d d i t i v e l yi d e m p o t e n ts e m i r i n ga t ，f i r s t a n d w ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h e m ；f i n a l l y , w eo b t a i nas e r i e so f c o n c l u s i o n s t h e m a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w 4 一 些查堕整盔堂堕主堂堕壑一一一 t h e o r e m4 1 a i li n v e r s es e m i r i n gsi sas u b d i r e c tp l o l l d l l ( 1 一( ) f a la d d i t i v p l vs e m i r i n gi fa n do n l yi fe ( s ) i sak - i d e a lo fs t h e o r e m4 2l e ts i ) ea i li n v e r s es e m i r i n g i te a l lb es a i d 扎s l l b d i t w f ) f _ i 【i n g 月i - l d l ( a na d d i t i v e l yi d e m p o t e n t , s e m i r i n gt v ，r b 了、c h p nr 6 b 7 t w ec a ng e ta n yc o n g r u e n c e ( 丁j i m l a s ： ( n ，6 ) 口( c ，d ) = = 口c i & r ，b p d pi s as e m e r i n gc o n g t , m i l e eo ft - k e y w o r d s ：s e i i l i r i l l g 、c 。n g r u e n c ep a i r ，s u b d i r e c tp r o d t m 川f i ”5 ”m i r i ，c o l l g r l l e l l c ( ) c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 27 l i i 东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 1 1引言 半环是含有加法和乘法两个代数运算且满足结合律、分配律的代数系半环 存在f 我们周围的e c c 界中，我们首先接触的自然数集就是一个半环! 另外，半环广 泛f ；现在环沦、非交换环理沦、几何学，拓扑学、图论以及计算机科学、形式语占 朋! 玲以及f 每r 物理! 学中 历史上，半环最早由d e d e k i n d 在1 8 9 4 年提出；后来m a c a u l a y ，k r u l l 等人在研 究环的理想时也使用过半环的概念1 8 9 9 年h i l b e r t 在讨论自然数公理和非负有理 数时，也涉及到半环近年来半环理论有了很大发展在半环理论中，主要研究半 环的结构和 百：】余研究半环主要有两种方法：环的方法和半群的方法9 9 2 年， ( 洲m ，出版f - ， 一书，对半环 作r 系统的沦述 同余对是剡划同余重要而且相对独立的方法，核正规系早于同余对，ai iq l i l l i ”r l 和gh pt e s t o l l 的著作 中对逆半群的同余对作r 详细而f 1 系统的时沧，并得到重要结论同余对和同余是一对应的 本文首次给出逆半环上的同余对，并且给出逆半环同余对的范围，接着研究了 儿类特殊的同余，最后给出了逆半环的次直积的研究 5 1 2 预备知识 没f ) 是半群，如果v a s ，存在唯一的一oes ，使a - r - ( “) + “m + t l ( _ f i )m 则s 称为逆半群在非空集合s 上定义两种运算 1 和，( s ) 和 7 s ) 均足半群，且 c a 6 ，f s ，满足( n + b ) e = o c4 - 地o ( b + c ) = 二a b4 - 则称s 足 、卜环，r + f s ) 为s 的加法幂等元集p 为半环s 上的等价关系，v n b r 、cs 若 玑n 1 ：，j 彳r ( r _ ln f 14 - b ) p 、( 。+ c ，b c ) p ，( c a ，c 6 ) p ，( a c ，b c ) f 】，贝0 称p 为s 上 1 | j 矧余荇p 为s 上的同余，s p 为环，则称p 为s 上的环同余另外，若( si ) 6 山东师范大学硕士学位论文 是逆半群，则称s 是逆半环s 是逆半环，v 。s ，n 的加法逆元记为m v jbes 有一( j + b ) = 一b + ( 一。) 如果曼是x 上的关系，且满足自反性，反对称性和传递性，则称( y ) 是。 个偏序集zvv 表示z ，y 的最小上界，2 表示z 的最大下界，如果偏序集 ( x ) 中任意两个元素在x 中有最小上界和最大下界，则称( x ei , r p f ，v p j 幸寻e nt r p f mf ：，知： 打( n 了) = n 。，打p ， r 州v 了) ，f = 一( v j ) ， e p l m l t l 1 2 2 ；2 ，z 1 p n ，| z l s ，p t j ，i = 1 ，2 、，t t t f ) j ii (：r i ) ， 2 2 1 + ( 一z 1 ) j p 2 茁2 + ( 一。2 ) ， ，陋，。l + ( 一z 。j ) 】p t z = = ev t r p f p c , 2 - 所“，i , r ( v 了kv ， jt r p 反之，显然成立 所以，州v 了) = v 。j ，打p ，因此，c l 是一个完全同态 1 j l f 证明足满射 歧，州e ( s ) ) ，在s1 2 “, q e 义关系p 如下： a p b 错( 一+ e + 。) r ( 一b + e + 6 ) ，v e e ( s ) 艟然j 是sl 的等价关系 假设n ， c s 任取e e ( s ) ，得 ，r-rj lr 一 f ，jn ) 一一+ f p + e + c ) + n r b + ( 一c + e + c ) + b = lr tf 一；，f ) f + ( 一n 卜f _ - “) + c t c + ( 一bpe4 - 6 ) + c ， b 1 + b i _ + c b 山东师范大学硕士学位论文 由卜得： m + “) p ( c 一6 ) ，( 。+ c ) p ( b + c ) 而由任意eee ( s ) f s g ( s ) 有 zf = 9 c 容易得到c a p c b ，a c p b c 综上所述，p 是s 上的一个半环同余 任取，f ( s ) c p ，车= ( e + 们r ( + 9 ) ，y g f ( s ) 车= = f 汀，则得t r 一i t 7 ，所 以打是满射， 在s 上定义关系p 6 如下： a p 6 b 筒x a y p x 叻，v z ，y s 1 由卜面的引理知，p 6 是s 上的一个半环同余 设p 6 ( ? ( s t ) ，由匕知p ：。是s 上的半环同余 改a p b ，n ，b s ，烈0v x ，y s 1 ，x a y p x b y ，贝0 p 6 p 。 下面证明陬。是s 上的一个半环同余 舳叭b 错a + e = b + e ，3 e e ( s ) ，e p ( 一a + a ) p ( 一b + b ) 易见p 。，。是s 上的等价关系，下面证明其相容性 设n 户，b ，n ，b ，c s 则+ e = b + e ：了e e ( s ) ，e p ( 一。十n ) p ( 一b + b ) ( c + o ) ( e + ( 一a ) + ( 一c + c ) + 血 = 一。+ f c + c 1 + 。 = ( 一。十a ) + 一+ ( 一c + c ) + o p e + ( 一n ) + ( 一c + c ) + a 一( c 十b ) + ( c + b ) = - b + f c - f c 1 + 6 ( 一b + 6 ) + ( 一b ) + ( 一c 上c ) + b + ( 一6 + b ) p e + ( 一b ) 十( 一c + c ) + b + e = e + ( 一n ) + ( 一c + c ) + 。+ e 1 7 n+c+ 呼，” + 卜 0 ) 0 “ 叶 6 一 c 山东师范大学硕士学位论文 ( “t ( 。) + ( b + c ) = 一c + ( - b + b ) + c p c + e + f 所以( “1c ) p 。，。( b rc ) 没a p 川b nb ，c s ，贝0a + e = b + e ，j e e ( s ) ，8 p ( 一a + n ) p ( 一b + b j 爿为。是s 上的一个半环同余， i j c 一( “- “) p ( 一b + 6 ) ，贝0 有c e p c ( 一a + 。) p c ( 一b + 6 ) ， ! j ! | j 有忧p ( c n r “) p ( 一c b + c b ) i j 为- ；r f 一二- = f ( d 卜p ) 一c e ，贝0 有c e e ( s ) ，则有c a p m i 。c 6 i 司理呵讪：，o c p ，b c 所以，m 。，是si 二的一个半环同余。 改 a p ：。b # = x a y p ， x b y ，v z ，y 占1 ， 则, r o y + f = ：= = _ 劬十_ ，f ：p ( x a y + x a y ) p ( x b y + z 眄) ，| e e ( s ) ， w 为即( ：r a y 十z n ) ，p 是s 上的半环同余， 则有：r a y - e p ：r a , yr ( 一z o ) + x a y ： 口i 】z a y t ! p x a y 则有x a y p x a y + e = x b y 十e p x b y ，所以，a p 6 b 行以， p cp 。 绢；| 二知，j 。t ，o p j 。口 推论2 。1 3 设p f 与是逆半环s 上的加法半环上的同余 如果pc 。( ，! j ! 有。，胁。cf 。 证明m 匕而定理的征明容易得出 口 山东师范大学硕士学位论文 推论2 1 4 设j 是逆半环s 上的加法子半群t 的一族同余， v p 。 p np 口了 ( v 州。 口j ln 。 口j 证明对每个了，有v 。j p ， 所以由上面的定理。v ，j p ) ，。，于是v 。j p , n 。( v p ，) m w ，则得l c i v 、w ” l ( v * 、，p ) 进而v p j p 。n ( v p j z ) m m ，所以v p y p 2 ( v p 。，) m w y a ，b s ，有n n 。jp m a x b = 号a p m a x b ，v p j ，o p m n z b ，v p j 仁 ( 一1 ) 。i n 二( 一b ) + e 十b ，v e e ，p ，( 一o ) + b + o = ( 一6 ) + r lbv t e pej 仁号( 一) + p + n n p e ，( 一6 ) + e + b ，v e e ，( 一d ) + e + “n p ，( 一b ) + p n v r 。( g 弓“( n * j 小。b 所以 n 阳。= ( np ) m a x , 口 山东师范大学硕士学位论文 第三耄逆半环上的特殊的同余及其相关问题 我们知道，设g 是群，由集合a b a _ 1 b 。1 生成的g 的子群叫做g 的换位子群， 斤表示成g ，并且g 是g 的正规子群，c c 是a b e l 群本章中，我们在半环 卜作r 类似的结果，并进行了一系列推广 本章中如果不特殊指出，同余均指半环同余，e ( r )