（机械制造及其自动化专业论文）机器人运动学动力学仿真.pdf

d e c 】9 9 9南京理上人学硕上研究生论文 本文咀江苏九五科技攻关项目“工业机器人的开发及应用一搬运机器人” 为研究对象，详尽地分析与研究了机器人运动学正问题和逆问题，结合本台机器 人的机构特点，分析了含有闭链结构机器人的运动学问题；另外，在分析机器人 设计和控制过程中对动力学计算的功能需求、威孚机器人丽对的使用环境和自身 结构特点的基础上，研究了具有混合链的多关节机器人操作机的动力学的规范算 法，提出了新概念、方法和规则，并在此基础上甩v i s u a lc + 一开发u 广机器人运动 学和动力学仿真软件及其数据库支持系统，该软件功能齐争，具有良好的人机界 面。 关键词：机器人，运动学，动力学，混合链，仿真 d e c 1 9 9 9南京理工大学硕士研究生论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t h d e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fi n d u s t r yr o b o t - t r a n s p o r t r o b o t ，t h ek e yp r o j e e to f t h en i n t hf i v e - y e a rs c i e n t i f i ct e c h n o l o g yp r o g r a mo fj i a n g s u p r o v i n c e w es t u d i e dd i r e c ta n d i n v e r s ek i n e m a t i c sf o rt r a n s p o r tr o b o ti nd e t a i l e d ，a n d 0 1t h eb a s i so ft h ec h a r a c t e r i s t i co fr o b o tm e c h a n i s m w ee s p e c i a l l ya n a l y z e dt h e k i n e m a t i c a lp r o b l e m sw i t hd o s ec h a i ns t r u c t u r e i na d d i t i o nt o ，b ym e b i 硌o ft h e a n a l y s e so fd y n a m i c sf u n c t i o n d e m a n dd u r i n gd e s i g n i n ga n dc o n t r o l l i n gr o b o t ，t h e o p e r a t i o ne n v i r o n m e n tf o fw f r o b o ta n di t ss t f t t c t t l r ef e a t u r e t h et l l e s i ss t u d i e st h e s t a n d a r da l g o r i t h mo fad y n a m i c sc o m p u t a t i o nf o rt h ep r o s t h e t i cr o b o t sw i t hb y b d d k i n e m a t i c sc h a i n sn e wc o n c e p t s , m e t h o d sa n dr u l e sa r ep r e s e n t e d ，a n dd e v e l o p e d r o b o tk i n e m a t i c a la n dd y n a m i c a ls i m u l a t i o ns o f t w a r ea sw e l la sd a t a b a s es u p p o r t i n g s y s t e m sw i t h v i s u a lc + + t h er e s u l ti ss a t i s f a c t o r ya n dv a i i d a r e so t u r e s e a r c h k e y w o r d ：r o b o t , k i n e m a t i c s ，d y n a m i c s ，h y b r i d k i n e m a t i c sc h a i n ，f i m u l a t i o n 2 南京理工大学硕士研究生论文 1 绪论 1 1 机器人的发展与应用 机器人是2 0 世纪出现的新名词，国际标准化组织( i s o ) 曾于1 9 8 7 年对工 业机器人进行定义：“工业机器人是一种可以反复编程和多功能的，用来搬运材 料、零件、工具的操作机；或者为了执行不同的任务而具有可改变的和可编程的 动作的专门系统”。现代机器人的研究始于2 0 世纪中期，其技术背景是计算机 和自动化的发展，以及原子能的开发利用。 由于原子能实验室的恶劣环境要求某种操作机械代替人处理放射性物质。在 这一需求背景下，美国原子能学会的阿尔贡研究所于1 9 4 7 年开发了遥控机械手， 用于搬运放射性材料，1 9 4 8 年又开发了机械式的主从机械手。1 9 5 4 年美国的d e v o l 最早提出了一个关于工业机器人技术方案，并申请了专利。然后，c o n d e c 公司 采用i ) e v o l 的方案，于1 9 6 0 年推出了工业机器人的实验样机。不久c o n d e 圮与 p u l m a n 公司合并，成立u n i m a t i o n 公司，并于1 9 6 1 年将它们制造的用于模铸生 产的第一台机器人称为“u n i m a t e ”。与此同时，美国a m f 公司推出了一台数控 自动通用机器，商品名为：v e a a s t r a n ，并以“l n d u s t i a lr o b o t ”为商品广告投入市 场。 厄恩斯特1 9 6 2 年介绍了带有传感器的计算机控制机械手的研究情况，麦卡 锡于1 9 6 8 年和他在人工智能实验室的同事报告了有手、跟和耳( 即机械手、电 视摄像机和拟音器) 的机器人开发情况。皮珀也在1 9 6 8 年研究了计算机控制的 机械手的运动问题。这时，其它国家( 特别是日本) 也开始认识到工业机器人的 潜力。日本是机器人发展最快、应用最多的国家，日本于1 9 6 7 年从美国引进了 第一台机器人u n m a t e ，并于1 9 6 8 年开始研制。据报到，到1 9 8 4 年底，日本已 拥有工业机器人六万七千台，数量占世界首位。苏联从六、七十年代开始开发应 用机器人，1 9 6 3 年成功的研究出第一台焊接机器人，1 9 7 2 年研制成功监控式具 有传感器的机器人并用于海洋考察。到1 9 7 5 年苏联已初步打下了设计和制 遣机器人的基础。此外，英国、西德、瑞典、瑞士等国都有活跃的研究机构，进 行了大量的研究，取得了很大的成果。 南京理工大学硕士研究生论文 目前，正式投于使用的机器人中，绝大部分是第一代机器人，即程序控制机 器人。这一代机器人基本上是采用点位控制系统，它们没有感受周围环境信息的 感觉器官，主要用途用于焊接与喷漆。 第二代机器人是具有感觉器官的机器人，仍然以程序控制为基础，但可以用 外界环境信息来校正控制程序。外界信息也可用来完成某些按程序控制无法实现 的操作，如抓起随意放置的物体等。第二代机器人通常采用象接触传感器一类的 简单感受装置和相应的适应性算法。适应性算法的主要功能是切换典型的控制子 程序，或从程序控制转换成根据感受装置的信号进行控制，或进行与此相反的转 换。 第三代机器人称为智能机器人( i n t e l l i g e mr o b o t ) ，这代机器人具有高度发 达的感觉装置，如视觉系统、测距系统和声音识别系统。有了这些感觉系统，机 器人能分析外界情况，具备了灵活多变的思维能力和强有力的自适应性。第三代 机器人还处在研究、探索阶段。国内外都在进行下代高级机器人的研究，主要 有装配机器人、外层空间机器人、资源开发机器人、行走机器入和军事机器人。 机器人应用十分广泛。美国曾利用机器人安全地回收了掉在海里的氢弹；美 国宇航局的海盗l 号和2 号火星探测器在火星表面着陆后，使用机器人采集火星 表面样本；美国“挑战者”号航天飞机用1 4 米长的机械手发射和回收卫星。这 些都是机器人在深海或太空中应用实例。 工业机器人主要用于自动化部门，应用最多的的行业是汽车制造业。特殊用 途的机器人可以完成设计时要求的特殊功能。机器人首先在高温、有毒、高粉尘 及存在放射性物质等恶劣的作业环境下或在一些人不能到达的范围内使用，同 时，也用于完成如装卸、搬运等重复性的枯燥、繁重的作业任务。 1 2 机器人技术研究发展概况 机器人技术研究包括许多方面，这里就不一一介绍。结合本课的研究的需要， 下面介绍下机器人运动学、动力学和仿真系统的研究发展概况： 1 2 1 机器人运动学研究发展概况 机器人运动学主要是研究和分析机器人手臂相对于固定参考坐标系运动的几 何学关系，而与产生运动的力或力矩无关。这样，运动学就涉及到机器人空间位 2 南京理工大学硕士研究生论文 移作为时间函数的解析说明，特别是机器人末端执行器位姿与关节变量空间的关 系。 机器人运动学的研究与空间机构学密切相关，目前研究方法有很多，有以画 法几何为基础的图解法，有运用矢量分析、矩阵、二元数等数学工具的解析法。 图解法发展较早，这种方法虽然简捷直观，但仅限于平面机构及某些简单的空间 机构问题，近些年没有得到更多的发展。 1 9 5 5 年，d e n a v i t 和h a r t e n b e r g 提出了低运动幅的标淮矩阵表示法来表达任 何空间机构的闭式运动方程，该方法基于各运动幅上空间坐标系之间的转换关系 得以实现。这种方法经过p a u l 的适当修正以后，己被许多学者采用以处理机器 人机构运动学问题。 3x 3 对偶数正交矩阵表示法与d 卜_ h 矩阵相类似，但这种表示方法可直接应 用于转动副、圆柱副、螺旋副以及棱柱副。由于空间机构运动件之间的位置关系、 刚体运动的线位移、角位移、线速度和角速度、简化到某点的力和力矩等都可以 用螺旋来表示，所以，对偶数正交矩阵和对偶向量代数便成为研究空间机构的运 动学和动力学的一种有力的工具。 k r z y s z t o ft c h o n 研究了冗余度机器人操作手的微分拓扑新性质，并将奇异性 理论引入机器人学，应用它建立机器人运动学的预置局部模型，它完整地描述了 运动奇异性，对冗余度机器人的运动学逆解及奇异性进行了透彻的分析。 综上所述，d l _ h 矩阵法，对偶正交矩阵法及回转矢量法主要是形式上的区 别，相比之下，螺旋理论及回转矢量法具有明确的几何意义。由于d h 矩阵方 法按单变量确定杆件之间的转换矩阵，又凭借十分成熟的矩阵分析理论，它广泛 的应用于机器人操作机的运动学逆问题的解。 1 2 2 机器人动力学研究发展概况 机器人动力学是多体系统动力学和机器人学的交叉学科，它的理论直接为机 器人工程实践服务，由于机器入学、航天器控制、运动生物力学、车辆设计等领 域的迫切需求，多体刚体动力学近几年发展相当迅速，使机器人动力学也在向深 度和广度开拓。 机器人动力学的研究所要解决的问题主要有两方厦。其一，与实时控制机器 人有关的动力学计算问题，这除了建立合适的算法外，还特别要求计算速度要快。 南京理工大学硕士研究生论文 其二，解决机器人机构设计的最优化和自动化问题，如运动系统的各种参数( 尺 寸、质量、惯量) 以及驱动元件的选择等。 多刚体动力学是1 9 6 3 年以h j f l e t c h e r 所做的研究为标志开始发展起来 的，至今计算机所用的模型和方法有能量守恒定理，达朗培尔与虚位移相结合的 动静法、拉格朗日方程、牛顿方程、动量矩定律、哈密顿原理、牛顿一欧拉方 程、高斯最小“约束”原理、阿沛尔方程、k a n e 方程等。多刚体系统动力学发 展已较成熟，国内外都有专著。 多柔体系统动力学的研究开始于p w l i k i n s 在7 0 年代初所做的工作。到 目前它作为力学的一个重要分支的地位己经稳固地建立起来了。1 9 7 7 年国际理 论力学和应用力学联合会0 n t e m a t i o n a lu n i o n o f t h c o r e t i c a la n d a p p l i e dm e c h a n i c s , i t r r a m ) 曾组织了多体系统动力学的专题学术会议，1 9 8 3 年n a t o - n s f a r d 主 持了关于机构系统的计算机辅助分析与优化，都是以多柔体系统动力学作为重要 主题之一。1 9 8 5 年i u t a v l 和i f t o m m 又再次召开了多柔体系统动力学学术会 议。1 9 8 9 年由s t u t t g a r t 大学的力学学院主持了多体动力学分析软件的测试，发 表了一个手册，系统介绍了一些软件。 1 9 8 6 年在北京召开的全国多剐体动力学研讨会第一次检阅了我国在该领域 的研究成果。1 9 8 8 年全国柔性多体系统动力学研讨会在长春召开，1 9 9 2 年1 1 月 中国力学专业委员会在上海交通大学召开了全国多体系统动力学一理论、计算 方法与应用学术会议，国内在9 0 年代召开的多次力学学术会议上，多体系统动 力学的研究论文也占有很大比例。 目前，多柔体系统动力学的主要研究内容在于动力学方程的分析和描述的方 法，提高动力学计算的运算速度，约束动力学问题，动力学问题的降阶，解的数 值稳定性问题，振动的主动抑制问题等方面。十分活跃的多柔体系统动力学研究 也说明了该学科的许多内容还在摸索之中。 1 2 3 机器人仿真系统的开发状况 计算机仿真是伴随着计算机的发展而形成的一门学科。它一般指设计和构造 一个客观世界某一系统的数理逻辑模型，井借助计算机对该模型进行实验的过 程。对机器人进行计算机仿真是凭借计算机这一现代化工具研究机器人仿真的有 效手段。 4 d 匠c 1 9 9 9 南京理工大学硕士研究生论文 在机器人的研制、设计和试验过程中，需要经常对机器人进行运动分析，而 机器人是多自由度、多连杆的空间机构，其运动学、动力学十分复杂，如用手工 计算不仅十分困难，而且极易出错，通常只有通过这种复杂系统的仿真，才能解 答机器人设计、制造、试验阶段及运行过程中出现的问题。 目前，对机器人仿真技术的研究主要有四个方面；( 1 ) 利用计算机的存储能 力，建立机器人知识库，开展机器人结构设计，综合性能的评价，结构与尺度综 合等；( 2 ) 机器人轨迹规划、奇异位姿、逆运动学有效解、避障算法、多机器协 调作业，机器人与物流协调及冗余度机器人的柔性控制系统的研究；( 3 ) 建立机 器人动力学模型，分析机器人的振动、平衡、变形及精度等问题；( 4 ) 机器人人 工智能及专家系统的开发。 需要一提的是机器人仿真技术几乎涉及到机器人技术的所有方面，所以建立 一个十分完整的机器人的仿真系统是非常困难的。目前机器人仿真系统的研究工 作主要侧重于两个方面： ( 1 ) 将仿真技术应用于机器人c a d 国外从7 0 年代开始进行这方面的研究。pns h c t h 和j ju i c k e r 在19 7 2 年开 发了机构的计算机辅助设计和分析系统i m p ( i n t c r v r a t e dm e c h a n i s mp r o g r a m e ) ， 它用来分析闭环机构运动学、静力学、时间滞后以及机构的振动分析。随后， n o r l a n d e a 和m a c h a c e 的a d a m s ( a u t o m a t i cd y n a m i ca n a l y s i so fm e c h a n i c a l s y s t e m ) 相继诞生，两者的功能扩展到对一般机构的动力学分析仿真。第一个工 业机器人计算机辅助设计系统由h jw a m e c k e , k ds c h r a f l 及s c h m i d t u 等人在 1 9 7 6 年提出的，它主要针对工业机器人位置结构综合及其运动学评价问题。 ( 2 ) 将仿真技术应用于机器人的离线编程 如：英国n o n 趣蛔m 大学i t e g i n b o t h m 等人研制了仿真程序s a m i v f l e 。它用 线框来表示机器人的模型，机器人可按点到点或连续轨迹的方式运动，从而可进 行机器人的可选空间及碰撞检查；在美国，通用电气公司研$ 1 ts d r c 软件系 统，m i c h i g a n 大学研制了a d a m s 软件包，d a u g l a s 航空公司的m c a u t o 软件包 可用于机器人工作站的设计与比较，并能离线编制和调试机器人应用程序。 从现阶段仿真技术所达到的水平来看，还不可能点不差地如实建立实际环 境模型。此外，在建模过程中还存在由于测量误差、示教方法和传感器性能的不 完善所带来的不确定因素。如何最大限度地消除这些不确定因素的影响，如何大 南京理工大学硕士研究生论文 力提高使用含有这些不确定因素环境模型的仿真系统的性能，这些都是机器人仿 真技术中需要进行研究和开发的重大课题。 国内从8 0 年代后期，许多单位也开始从事机器人仿真技术的研究。在国家 高技术计划自动化领域智能机器人专题中，清华大学、浙江大学沈阳自动化研究 所及上海交大等单位做了起步工作，并取得了一定的成果。南京理工大学从1 9 8 6 年开始研究机器人仿真系统。从最初的b a s i c 和8 0 8 6 汇编语言混合编制的 g r g s s 系统，到1 9 9 4 年用c 语言开发的r o b g s s 系统、r o l o p s 系统，逐渐 形成了比较完善的机器人仿真系统。 1 3 课题来源及研究目的 本课题来源于江苏省九五科技攻关项目“工业机器人的开发及应用一搬运 机器人”，9 7 年立项，由南京理工大学和无锡威孚集团共同承担，组长单位为南 京理工大学。该课题研究不仅要在威孚集团建立以搬运机器人为核心的自动化浇 注生产线；更重要的是还要将这高新技术转化为商品，实现机器人这个机电一 体化产品的产业化。因此，本文的研究目的有两个，第一个目的是通过对无锡威 孚机器人的运动学和动力学分析和计算，来得到威孚机器人各种执行机构和驱动 元件的最优参数，节省威孚机器人设计成本和运行成本；第二个也是最重要的目 的是在上面研究的基础上，开发出一套较为通用的机器人运动学和动力学仿真软 件，该软件可以对一类机器人进行机构设计。 1 4 本文的主要内容 本文首先分析研究了威孚机器人的运动学正问题及逆问题，用d h 矩阵法 建立了威孚机器人的运动学方程，对机器人运动学逆问题采用了数值解法，并对 常用的数值解算法进行了改进；针对威孚机器人的具体结构特点，分析了闭链结 构机器人的运动学问题。在机器人动力学分析中，重点放在混合链的动力学分析、 推导、计算方法建模等方面，在开发计算机软件时解决了惯性参数、杆件约束关 系分析、杆件坐标系等应用问题，最终完成机器人运动学和动力学计算软件的开 发，为机器人设计奠定基础。 6 d e c ，1 9 9 9 南京理工大学硕士研究生论文 2 机器人运动学分析 2 1 引言 在机器人应用问题中，人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐 标系的空间描述。机器人操作机可用一个开环关节链来建模，此链由一组刚体或 杆件构成，第一个杆件和机座相联而最后一个杆件包含末端执行器( 或工具) ， 如图2 - i 所示，每个杆件最多与另外两个杆件相联，这样就不构成闭环。这些杆 件联接起来并受驱动，使它们相互运动而把末端执行器( 手或工具) 定在特定的 位置和姿态上。 图2 - i 开链机器人操作机简图 机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行 分析研究，而不考虑引起这运动的力和力矩。也就是要把机器人的空间位移解析 地表示为时问的函数，特别是要研究关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿 态之间韵关系。在运动学研究中最常用的是基于d e a n v i t - h a r t e n b e r g 参数的齐 次变换解法。 在运动学研究中，有两类在理论上和实践上都十分重要的基本问题，即机器 7 乞m 肛涟 d b c ，1 9 9 9 南京理工大学硕士研究生论文 人运动学正问题和运动学逆问题。其中机器人运动学正问题是指给定关节的位 置、速度、加速度时，求各杆件的位置、姿态、速度、角速度、加速度和角加速 度的问题。机器人运动学逆问题就是当终端杆件的位置、姿态、速度、角速度、 加速度和角加速度给出时，求出能实现这些要求的关节变量的位置、速度、加速 度。 表示这两个问题关系的简单方框图如图2 - 2 所示： 杆件参赫 图2 2 运动学正问题和逆问题 2 2 基本理论 2 2 1 齐次坐标 机器人是一种多自由度的空间机构，是由一系列刚性构件组成的构件系统。 需要有一种描述这些构件在空间上相互位置的数学方法，并用它去建立各运动构 件的速度、加速度及各驱动力、力矩和负载的关系。在目前流行的方法中，一般 都采用齐次坐标矩阵的方法，它是一种系统性及规范性很强的方法，既有利于形 成机器人运动控制算法，也可用作机器人视觉的图像处理。 不同时为。的任意4 个数0 ，镌，黾，x 4 ) 称为3 维空间点的齐次坐标。 齐次坐标( x ，而，黾，_ ) 与点的笛卡尔坐标( x ，y ，z ) 的关系为 x ：量，：兰，z ：蔓 ( 2 1 ) 南京理工大学硕士研究生论文 齐次坐标有两个性质：是齐次坐标不是单值的；二是只有当齐次坐标的第 四个元素不为0 时，齐次坐标( 而，而，黾，h ) 才能确定三维空间唯一的点。 笛卡尔坐标系以，杉中的点( 幻) 向另一笛卡尔坐标系o x y z 变换，变换后 的坐标( 墨卫z ) 写成矩阵x = 删形式，有 式中 t = 而 x 2 而 一x 咋n 。 弹，0 ja ， zo zn ： 000 x = k 工：玛x 】7 x ，= k 工：fx ；x ：】7 n ，口。 n ro ， 吃 o0 a zp 。 p ， ：p 。 ol = 瑚 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 上式t 是一个4 x 4 阶矩阵，称为笛卡尔坐标系的齐次坐标变换，它沟通了 两个坐标系的关系：表示了在坐标系删中的点x ，经t 变化后变成了坐标系 国弘中的点x ；或者说已知空间的某一确定点在蚴空间的度量( r ) 经 变化后得到了它在o 9 z 空间的度量( 础z ) 。对于不同空间的矢量进行运算处理， 将它们均变换到同一空间去是非常必要的。 从( 2 3 ) 式的结构看，t 由r 、p 、o 、i4 个子矩阵组成。除了。为3 x 1 阶0 矩阵、i 为l xl 阶矩阵外，其余两个矩阵都有明显的几何意义，其中 p = kp j , p ：j 7 卜吒p r = i ，qnl l z 0 zp ：j 式中卜3 xl 阶矩阵，为d 叼喝坐标系原点0 向删原点0 f 移动的位移矢量； r _ 一3 x 3 阶矩阵，为d 磅譬坐标系转向与幽伽吻合的旋转矩阵。在r 矩阵3 个分量的几何意义为： 丌jjjjhih以 以 b 南京理工大学硕士研究生论文 峨、一，、一厂“砂挫标系的d 轴对o x y z 坐标系的3 个方向余弦： 啦、口，d ，喇撇，坐标系的西嘞对o x y z 坐标系的3 个方向余弦； 如，n ，、呀以 矬标系的吨，轴尉o x y z 坐标系的3 个方向余弦： 2 2 2 坐标系 机器人杆件的位置、姿态可由其上的任一选定点和过该点的坐标系相对于参 考坐标系的位置关系来确定。具体做法是把机器人操作机抽象为由n 个具有独立 运动杆件以旋转或移动的关节组成的机械系统，采用机座坐标系来描述每一个杆 件的空间位置和方向。 机器人的操作机由一系列的杆件组成：机座为0 号杆件，与其相连的杆件为 1 号杆件，其后依次为2 、3 、n 号杆件。 机座坐标系固定在机器人机座上的坐标系。它是机器入各活动杆件的公 共参考坐标系。 杆件坐标系周定在机器人指定杆件上的坐标系。它是机器人各活动杆件 上的固定的坐标系，随杆件运动而运动。 设空间有组r 1 个刚体，在每一个刚体上选一基点o ，、o o ，过基点分 别置一坐标系s ；、s 。，见图2 - 3 。 图2 - 3 多刚体之间的位姿关系 1 0 南京理工大学硕士研究生论文 2 2 3 两坐标系之间的变化 ：置表示s j 和s i 坐标系的相对姿态。设坐标系s 与s 。原点重合，s ，是被变换 的坐标系，s 。是参考坐标系，s i 绕自己的z 轴按右手定则旋转0 角度后，则有 c o s 0 s i n 0 o l ；r ( z ，口) = i _ s i n 0 c o s 00 l l oo 1 j 如果绕z 轴旋转口角度后，s i 又依次绕当前自己的y 轴旋转p 角度，绕当前 自己的x 轴旋转r 角度才与s i 重合，则有 【c o s p 0 s i n pl 1 10o i ：r ( y ，卢) = 1 010 lj r ( z ，) = l0 c o s s i n yl k s i n 卢0c o s # jl o s i n yc o s y j 上述变化可用下面公式综合加以表达： r = r f x 。r g r ( y 。p ) ；r l ，e q - 4 ) 如果s 。和s 不相邻则有 f 肚j 一拉嚣犀- ”沁 ( 2 4 ) 如果s i 坐标系的原点移动到自身坐标系的( 口bc ) 1 点后与s 的原点重 合，则位移矢量为j ，- - ( - a 一6 。 2 2 4 机器人杆件的几何参数及关节变量 2 2 4 1 杆件的几何参数 如图2 - 4 所示，与机器人运动学有关的的杆件的几何参数只有两个： ( 1 ) 杆件的长度珥一两关节转轴轴线之间的最短距离，即两轴线之间公共 垂线之长度。 ( 2 ) 杆件的扭角c x ：一将同一杆件任一轴线向另一轴移动，使之相交( 参见 2 4 图) ，则此二直线决定一个与杆件长度口垂直的平面，此二直线的平面交角 就是该杆件的扭角瑾；。 q 及旺；的下标p = o ，1 。2 ，行，是杆件的编号。编号顺序如下：机座i = o ， 与机座相连的杆件j f = 1 ，与第l 号杆件相连接的杆件是i = 2 ，。比i 号杆件编 号小或大的称f 号杆件的上或下编号杆件。 南京理工大学硕士研究生论文 图2 _ 4 机器人的杆件的几何参数、关节变量和偏置量 除机座及末端杆件外，其余每个杆件均有两个关节，i 号杆件与f l 号杆件 相连接的关节称为f 号杆件的下关节，另一个称为j 号杆件的上关节。下关节编 号为i ，上关节编号为i + 1 。 2 2 4 2 关节变量及偏置量 关节变量是指两相邻杆件的相对位置的变化量，一般用广义坐标吼表示。当 两杆件以旋转关节相连时，吼为转角口，当两杆件以移动关节相连时，g 【是两者 沿关节轴线的相对线位移d ：。 如图2 - 4 所示，杆件f 与杆件f 1 在关节i 处相连。若关节f 是旋转关节，则 关节变量为口。由于杆件f 及杆件f 1 的杆长a j 及哏一般不是相交，故两者沿 i 号关节轴线存在一距离，称为杆杆的偏置量。若关节f 是移动关节，则关节 变量就是4 。 为了规定关节变量口。和罐的正方向，需要指定关节轴线的方向，本文用单 位矢量表示关节轴线的方向( 参见图2 - 4 等) 。 ( 1 ) 关节变量角0 ，将i 杆件的长度线珥平移至扣1 杆件长度线a 。，处与其 相交，它们决定一个与关节f 轴线相交的平面，口。角就在此平面内测量：0 。的 起始线为q 之延长线，终止线为q 的平行线。0 ，的正方向按i 轴单位矢量e i 的 南京理工大学硕士研究生论文 右手定则决定。如图2 _ 4 所示的角扩是正的。 ( 2 ) 偏置量每杆件i 的偏置量是杆长线碍及q 在，号关节轴上截取的距 离。若关节f 是旋转关节，则4 为常量；若关节j 为移动关节，则矗是关节变量， 由单位矢量p 指定它的正方向。 2 3 运动学方程基础 机器人运动学方程是描述机器人末端执行器位置和姿态的方程，它也是进行 运动分析的基本方程。 由于机器人各杆件可相对于参考坐标系转动和平移，末端执行器的空间合成 位移是由杆件的角位移和直线位移形成的。d e n a v i t 和h a r t e n b e r g 在1 9 5 5 年提 出了一种通用的方法，以矩阵代数来描述和表达操作机各杆件相对于固定参考坐 标系的空间几何关系。此方法用4 x 4 等价变换矩阵描述相邻两刚性杆件的空间 关系，把运动学正阎题筒化为寻求将“末端坐标系”与固定参考坐标系联系起 来的4 x 4 等价变换矩阵。对于杆件坐标系的建立及其变换，下面将作详细的说 明。 2 3 1 杆件坐标系的建立 杆件坐标系的选择方法有许多种，但在目前机器人研究中使用最普及的方法 是d e n a v i t - h a r t e n b e r g 方法。 在杆件中，将固定于基座的杆件设为0 ，然后从基座一侧朝着末端执行器一 侧按1 、2 、3 的递增顺序编号，关节也一样。 固定于第i 号杆件的杆件坐标系( 毛，弘，毛) 定义如下： ( 1 ) 五轴沿着第i + l 关节的运动轴。 ( 2 ) 原点o i 是z i 轴和毛轴的公共法线与z i 轴的交点，当瓦。轴和z i 轴相交时， 令其交点为原点0 。 ( 3 ) 毛轴是铂轴和轴的公共法线的延长线，方向由。轴指向五轴，当矗j 轴 和五轴相交时，取蕾轴平行于( 毛一，毛) ：。毛l ，此时葺指向任何方向都行。 ( 4 ) 根据而轴和五轴来确定儿轴，使它们构成右手坐标系。 按照这些规则，第0 号坐标系在机座上的位置和方向可任选，只要轴沿着 南京理工大学硕士研究生论文 第一关节运动轴即可。最后一个坐标系( 第n 个) 可放在手的任何部位，只要x 。 轴与瓦。轴垂直即可。 2 3 2 杆件坐标变换及运动学方程 坐标系建立以后，各杆件间的变换就是杆件末端各坐标系间的变换，坐标系 ( f 与p l 通过四个参数q 、4 、0 ，联系起来，因此坐标系 i ) 相对于坐标系 ( f _ 1 ) 的变换矩阵。1 l 通常也是杆件的这四个参数的函数。我们把杆件变换。正 分解成四个基本子变换。其中每一个仅依赖于一个杆件参数。 坐标系 i ) 相对于 i - 1 的变换。正可以看成是以下的四个子变换的乘积。 ( 1 ) 绕五j 转口t 角使耳j 与墨平行： ( 2 ) 沿气，移动4 使与而重合； ( 3 )沿茸移动a ，使 i - i 坐标系与( f 1 坐标系原点重合； ( 4 ) 绕而轴转动d ；使 i - t 坐标系与 订坐标系完全重合； 因为这些坐标变换是相对于动坐标系描述的，按照变换顺序，我们得到式 ( 2 - 6 ) ，等式右边的第一个矩阵称为旋转变换矩阵，用r o t 阮口j 表示，第二个 矩阵称为平移变换矩阵，常用7 h 舢以矽表示。 1 正= r o t ( z h ，o j ) t r a n s ( z h ，以) t r a n s ( x j ，a 1 ) r o t ( x f ，) c o , 一s o , c a l s o ,c o i c a j 0 s a i 00 s 8 i s a ta l c 0 i c o f s a fa l s o i c a id l o1 ( 2 6 ) 式中使用了简写形式s i n ( 口i ) = s0 i ，c o s ( e 3 = c0 ，s i n ( 口，) = 巷口，c o s ( i 产c 口。 从式( 2 q 可以看出，杆件变换矩阵。1 正依赖于四个杆件参数：q 、0 l ；、吐和 0 。，其中只有一个是变动的，称为关节变量。对于转动关节i ，口，是关节变量， 为方便起见，用儡表示第i 个关节变量。 将各关节变换矩阵。1 王( = - 1 ，2 ，n 1 ) ，顺序相乘，便得到末端杆件坐标系( n 相对于基座坐标系 0 ，的变换矩阵。 o l = o t 瓦”1 t = o t ( q 。) 1 e ( 叮：) n - i l ( “) ( 2 7 ) 通常把。瓦称为操件臂的变换矩阵，显然它是n 个关节变量口。( i - l ，2 ，n ) 的函 数。如果能够测出这n 个关节变量之值，那么，便可算出末端杆件相对于基座坐 1 4 南京理工大学硕士研究生论文 标系的位姿。用位置矢量p 表示末端杆件的位置，用旋转矩阵r = i 一口乜l 代 表末端杆件的方位则式( 2 _ 7 ) 可以写成 l 。1 。：1 1 ：1 = 。t j ( 叮，) 1 7 ；( g ：) h 一1 丁( g ) c 2 - 8 ) 上式称为操作臂的运动学方程，它表示末端杆件的位姿与关节变量之间的关 系。 2 4 运动学正问题 所谓运动学正问题，是指在给定关节位置、速度、加速度时，求各杆件的位 置，姿态、速度、角速度、加速度、角加速度的问题。特别是求末端执行器的位 置、姿态、速度、角速度、加速度、角加速度的问题。 搬运机器人是一个6 自由度的关节式机器人，6 个关节都是旋转副，属于6 r 型操作臂，这里r 代表转动关节。前三个关节主要用于确定机器人手腕参考点 的位置，后三个关节用于确定机器人手腕的姿态。根据d - h 法建立杆件坐标系 如图2 - 5 所示，杆件的坐标系参数见表2 一l 。 图2 - 5搬动机器人的杆件坐标系 z 3 0 7 , 6 d e c 1 9 9 9 表2 - 1 搬运机器人杆件参数 南京理工大学硕士研究生论文 建立操作臂运动学方程的实质是利用齐次变换矩阵表示相邻两个杆件坐标系 之间的相对位姿态和运动关系。将这些矩阵依次相乘得操作臂的变换矩阵，即得 到操作臂末端杆件坐标系相对于基座坐标系的齐次变换矩阵。 利用式( 2 柳，我们可以算出各个杆件变换矩阵。 f c , 0 s 5 个i s 。o c 。 1 52 1 010 l ooo 1 l = a 3 c 31 4 3 墨i 3 t 一 0 l 1 4 1 j 5 瓦= 将以上杆件变换矩阵依次相乘便得搬运机器人的“手臂变换矩阵”o 瓦 瓦= o 五( 8 。) 1 e ( 一：) 2 l ( 吼) 3 t a o ) 。l 婶。) 5 瓦妒。) 1 6 关节i 0 i盯i q吐关节变量范 lo9 0 吼d 】一1 8 0 。棚。 29 00 a 2 0 7 0 。7 0 。 3o9 0 码 o 一1 1 5 。3 j 。 4o9 0o d 43 5 0 。i 5 d 。 5o9 000 1 3 0 。1 3 0 。 6o o00 3 5 0 3 5 娃 1，llllj a 。 口 o o l o 心g o o llllj 0 o 以l 岱g o 。 o o 1 o g足。心慨 1j 以a q 口 n 墨。 0 0 l 0 g 墨o o ，l i l 墨 o 砖o 。 0 0 l o g 墨o o r。l = l 2 1，ll0j o o o l 0 o l o 心g o o 盯叫引i u _-_】 叠：n 儿屯q 屯o 虬q q o以 o ，。l = 南京理工大学硕士研究生论文 式中 n ，= f r c j c 刀c ，+ s j s 。) c j c j s 刀s j ) c 6 + r c c 甜s ，+ s j c 。，s 。 = ( ( s c c 一c 。s ) c 5 一墨s n s s ) c 6 + ( 一s 。( 只一c 。c 。) s 。 n ；= ( s c 4 c s + i 气咒) c 一s s 4 s 6 0 | = 一“c l c c + s l s l ) c 5 一c l s2 | s5 ) s6 + 卜c | c2 | s 。+ s i c ) c 6 0 ，= 一“s ，i c 一c 只) c s s l s 。s 5 ) s 。+ ( - s l ( 。s 一g c 。) e 0 z = 1 氏a c 5 + 战一且g 口。= t c l c # i + s l s j s s + c l s 乒s a ，= ( s i c 口c 4 一c 1 只) 咒+ 墨c 。 n e = s ：# l ss c 2 | c s p i = d 4 c 1 s + 口3 c l c 蛆+ n 2 c l c 2 + 4 i c l p ，= 以置+ 。墨c b + 口2 置g + 口2 墨 p z = 4 3 s + a 2 s 2 + d l 上式中使用了简写符号：c 。= c o s ( 口js = 曲，( 目，) s o = s i n ( 口，+ 口p ，c , j 5 c o s ( 目，+ 9 等。 为了校核所得出结果的正确性，将初始值护，= 0 。，p ：= 9 0 。，以= 0 。， 以= 0 ，0 5 = 0 ，吼= 0 。代入。l ，则： o 瓦= 01 10 o0 o0 吐+ l 0 口3 + 口2 + d l 1 这一计算结果与图2 - 5 所示的手腕坐标系 6 】完全一致，证明运动学方程正 确。 在机器人各关节约束范围内，给定任一组关节变量，可通过该运动方程式唯 一确定末端执行器的位姿。 2 5 运动学逆问题 机器人运动学逆问题就是当机器人的终端杆件的位置、姿态、速度、角速度、 加速度和角加速度给出时，求出能实现这些要求的关节位置、速度、加速度。从 上面可以看出，机器人运动学逆问题包括三个问题，本文只讨论第一个问题，即 己知末端执行器的位姿向量，求表示各关节变量的向量。 1 7 南京理工大学硕士研究生论文 机器人运动学逆问题的解跟机器人正问题的解不同，机器人正问题的解是唯 一的，而机器人的逆问题可能具有多重解，也可能不具备解。机器人运动学逆问 题的求解有多种方法，例如p a u l 提出的反交换方法( 也称代数方法) ，l e e 和z i e g l e r 的几何法等等。 机器人有封闭形式解，需满足下列两个充分条件之一： ( 1 )三个相邻关节轴交于点。 ( 2 )三个相邻关节轴互相平行。 大多数工业机器人都满足以上的两个条件之一，搬运机器人符合第一个条 件所以可以得到封闭解。 对机器人逆运动学的求解有三种方法：代数法，几何法和数值算法。前两种 解法的具体步骤和最终公式，将因操作机的具体构形而异。而数值算法则是种 通用求解逆运动学问题的方法。由于本仿真系统是针对一类机器人，而不是某一 个具体机器人，所以代数法和几何法对仿真系统显然是不合适的。故本仿真系统 采用数值解法来求解机器人运动学逆问题。 2 5 1 数值解算法 先设机械抓手位形空间矢量x 和关节坐标矢量叮，有函数关系： * _ ，国) ( 2 9 ) 逆问题的求解是要求得到上述方程组的叮矢量。对于这种形式的函数表达 式，在数值分析中通常采用牛顿迭代法，把函数表达式写成f ( g ) 可( 曲一x 。这 样就把问题简化为求解方程 f ( g ) = 0 ( 2 - l o ) 的向量g 值。迭代运算要求我们设想有这样一组解序列，即： g ”，g m ，g ”，a ，g ，g “1 a 。当k 不断增加时，若第k 次近似解g 使 f ( q ) 0 ，这时f ( q ) m x ，也就是与叮对应的位形x 与给定位形误差在 允许范围眺内也即霉耻就是所要求解逆问题的近似解矢量。 将( 2 - 1 0 ) 式在q 仆邻域展开为泰勒级数，并略去高次项得出： f ( q 仆1 ) + j ( q 耻1 ) ( g g 啼) = 0 ( 2 - 1 1 ) 式中：_ ，国仆) 是叮= q ”处的雅可比矩阵。 即： 1 9 南京理工大学硕士研究生论文 j ( q 1 = 誊孔a q 却，却，。l 矾舐矾l 向，却： 却。l 。一一 将( 2 1 1 ) 式写成： q = g + ，一1 ( g ) a x ( 2 1 2 ) 式中：a x ”= x f ( q ”) ，即一f ( q ) 。_ ，- 1 ( g 砷) 为雅可比矩阵在g = g 砷处的 逆阵。将( 2 1 2 ) 式算出的窖作为矿q 就构成了一个迭代过程。如果这个迭代 过程使得0 x ”i i s ，占为任意给定的微小量。则牛顿迭代法将使严收敛到( 2 - 9 ) 方程逆问题的解。 牛顿迭代法有一个明显的缺点，那就是如果初始迭代值没有足够地接近根的 话，则牛顿迭代法有一个不幸的趋势，会偏离到无规则的远处。这就要求在牛顿 迭代法中，初始迭代值一定要十分接近根，这在现实中很难做到，因此下面采用 全局牛顿迭代法来求解机器人逆运动学问题。这种算法对于几乎任意的初始迭代 值，都可以得到机器人运动学方程的解。 2 5 1 1 全局的牛顿迭代法 全局的牛顿迭代法是将局部收敛的牛顿迭代法和一个全局收敛策略结合起 来，这个全局收敛策略在每一步迭代中，将保证某些进程趋于解。 回顾前面的讨论，对于机器人运动学方程解的牛顿法的步骤是 fo)=0(2-13) 令 并。= x o d + ( 2 - 1 4 ) 其中 d k = 一j 1 f( 2 1 5 ) j 是雅可比矩阵。如何决定是否接收这个牛顿步长占x 呢? 一个合理的策略是， 要求这个步长使i f l 2 = f f 下降。这就相同于我们强加的要求，使下式f 极小 南京理工太学颐