（机械制造及其自动化专业论文）正交有限元及其在工程中的应用.pdf

天津大学博士学位论文 中文摘要 正交函数由于其相互正交使得计算量大大地减少，历来为人们所关注，在连续 函数中有著名的调和函数( 三角函数和三角级数) ，离散分析中有正弦变换和余 弦变换，半离散分析近年来有正交小波函数。它们都有良好的正交性，对于半离 散分析除了正交小波外是否还有更好性质的正交有限元函数。本文应用群( 变换 群) 的正则表示构造群上空间，利用自共轭算子作用群上空间。用求特征向量的 方法求出该自共轭算子的特征向量，由于自共轭算子的特征向量是相互正交的， 因此所求的特征向量将群上空间分解为正交的子空间。找出一般周期空间的对称 变换群，并将已知的有限元的单元基函数转化为节点基函数，将变换群的特征子 空间作用有限元的节点基函数得出一系列的正交有限元函数。这些函数是相互正 交或是某几个函数与另外几个函数正交。将所构造的函数用于对称结构分析，这 样问题只要在正交子空间中求解，因此、大大降低了计算量。应用迦辽金方法给 出一般微分方程的求解方法，与传统的求解方法相比计算量可以降一维。由于所 构造的有限元是相互正交的，除了计算量降低外还有一个好处就是可以很容易实 现并行运算。本文给出板弯曲问题的具体例子，计算结果表明应用正交有限元法 有良好的精度并且计算量小。利用合成群列给出粗剖分有限元和细剖有限元逼近 的递推关系，并将其应用于信号分析与图像处理，结果表明所提出的方法具有良 好的实用性，它具有小波分析的局域性又有余弦交换的良好的滤波性能。 关键词：群论、有限元、正交函数、信号处理 摘要 a b s t r a c t as e r i e so f o r t h o g o n a lf i n i t ee l e m e n tf u n c t i o ni sp r e s e n t e db yg r o u pm e t h o da n d f i i l i t ee l e m e n tm e t h o d i nc o n t i n u o u s a n a l y s i s t h e r ea r ef a m o u sf u n c t i o nc a l l e d c o n s o n a n c ef u n c t i o nft h es i n ea n dc o s i n ef u n c t i o n ) f o rd i s p e r s ea n a l y s i st h 鼬a r e s i n u s o i dt r a n s f o r ma n dc o s i n et r a n s f o r l nt ob eu s e d ，i nc o n t i n u o u s d i s p e r s ea n a l y s i s r e c e n t l y t h e r ei sw a v e l e tt r a n s f o r mt ob e a p p l i e d t o i st h e r es t i l lo t h e rf u n c t i o nc a nb e u s e di n c o n t i n u o u s - d i s p e r s ea n a l y s i s ? t h ep a p e rf i r s tu s e dn o r m a lr e p r e s e n t a t i o n t h e o d o fg r o u pt oc o n s t r u c tag r o u ps p a c ea n du s e ds e l f - c o g n a t i o no p e r a t o rt og e t e i g e n v e e t o ro f t h eo p e r a t o r , t h ee i g e n v e c t o ri s o r t h o g o n a lt oe a c ho t h e r f r o mt h e e x i s t e df i n i t ee l e m e n tt h en o d eb a s e so f c l e m e n ti sc o n s t r u c t e d c o n s i d e rs y m m e t r yo f p e r i o d i c a r e aw e g e t t h e s y m m e t r yt r a n s f o r mg r o u p ，a c t t h e e i g e n v e c t o r o f s e l f - c o g n a t i o n0 1 9 e r a t o ro nt h en o d eb a s e se l e m e n tf u n c t i o n , as e r i e so fo r t h o g o n a l f u n c t i o ni sc o n s t r u c t e d n l cf u n c t i o n si s a p p l i e dt o m a k ea n a l y s i so fs y m m e t r y s t r u c t u r e b ya p p l i e df a n 爸p l m hm e t h o dt h e f u n c t i o ni su s e dt os o l u t e p a r t i a l d i f f c r e n t i a i e q u a t i o n ，t h em e t h o dg r e a t l yr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a ne x a m p l ei s p r e s e n t e d i nt h ep a p e r , t h er e s u l ts h o wt h ea c c u r a c yo ft h i sm e t h o d a c c o r d i n gt ot h e r u d e l yd i v i d e de l e m e n ts p a c ei n c l u d e di nt h ef i n e l yd i v i d e de l e m e n ts p a c e ，t h e r e c u r r e n c ee q u a t i o no f r e l a t i o nb e t w e e nt h et w oe l e m e n t s p a c ei m a g e i sa l s op r e s e n t e d i nt h ep a p e lu s e dt h er e c u r r e n c ee q u a t i o nt o p r o c e e ds i g n a l ，t h er e s u l ts h o wt h e p o t e n t i a la p p l i c a t i o no fp r o p o s e dm e t h o d t h eo r t h o g o n a l 丘i l i t ee l e m e n tm e t h o dh a v e b o t h a d v a n t a g e o f w a v e l e t a n a l y s i sa n d c o s i n et r a n s f o r m k e yw o r d ：g r o u p ，f i n i t ee l e m e n t ，o r t h o g o n a lf u n c t i o n , s i g n a lp r e c e d i n g i i 独创性声明 本人声明所呈交论文是在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除 了文特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得丞注盍堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示谢意。 学位论文作者签名：步孝彳三砂孓签字日期： 叨年夕月伊 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞洼盔兰有关保留、使用学位论文的规定。特授权 丞i 拦可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部 门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字臼期：叫年7 月咖 导师签名 签字日期：孔矽年7 月少日 天津大学博士学位论文 引言 函数逼近是一个古老的问题，但是远没有过时。对于正交函数的应用可以 追溯到几个世纪以前，人们为了简化计算构造出了许多的正交函数，这里包括 调和函数( 正弦函数、余弦函数) 、勒让德多项式、契贝谢夫多项式等等。对于 在整个区域，应用高阶多项式逼近一般函数，在数学上虽然证明：应用高阶多 项式可以逼近到任意的精度，但是、高阶多项式逼近增加了不必要的高频成分， 而且对于连续性较差的函数收敛速度并不理想。因此，用勒让德多项式、契贝 谢夫多项式等等来逼近信号，就可能出现增加不必要的高频成分，对平滑信号 分析相当不利。应用正弦函数、余弦函数来逼近，主要的缺点是其收敛速度比 较慢，而且不能反映信号的局部信息。 7 0 年代随着计算机的发展，产生了用分段低次多项式逼近的方法有限 元法。在c a d 中用到的样条函数实际上也是分段多项式，只是它是二阶连续的。 虽然有限元技术已经广泛应用于工程技术的各个领域，也有许多的著名软件用 来解决工程实际问题，但是对于大型结构，与图形处理等领域，有限元的计算 量仍然相当惊人，对于解一个1 0 0 0 个节点的板问题，最一般要求解一个 3 0 0 0 3 0 0 0 的矩阵。因此，对于大型计算和二维图像处理有限元的计算速度仍然 是一个不可忽视的问题。随着技术的进步和敏锐制造的兴起，根据动态设计、 动态检验、动态控制和网络信息传输的需要，必须要更快捷的设计计算方法和 更小的传输信息量。 目前解决计算量问题的办法之一是采用并行计算，于是有不同的并行算法 出现虽然有许多算法的计算速度和收敛速度都不错，但是往往各种算法的计 算速度与收敛速度，与具体问题和具体问题的边界条件有关，因此，如何选择 算法是求解具体问题的一个重要前提。应用边界元法也往往能够将问题的计算 量大大地降低，通常是降一维。但是应用边界元法需要知道核函数，很多的情 况下是不知道核函数的，或者根本就找不到核函数。 除了计算速度和计算量，在信号、图像处理中，由于某些局部特征往往是 信号、图像的最重要的特征，因此逼近函数必须要能反映局部的信息，用调和 函数分析是无法体现出局部信息的。鉴于此，最近发展起来的小波分析因为它 的局部性能好，已经成为研究热点，并在许多的工程领域得到了广泛应用。 1 波分析的发展、现状 小波理论是调和分析几十年来研究的成果，堪称傅立叶分析发展史上里程 碑式的进展。尽管小波分析的起源可以追溯到2 0 世纪初，但是它在理论上的真 正成熟却迟至2 0 世纪8 0 年代，1 9 9 0 、1 9 9 2 年掀起了两次研究热潮；1 9 9 4 年小 引言 波研究达到了白热化程度，被认为是继前两次热潮之后的又一高峰年。 小波理论在纯粹数学和研究石油勘探数据处理、量子场论、声学等领域中 作为名词，最早被研究信号分析的工程师m o r l e tj 在2 0 世纪8 0 年代初提出， 由此拉开了小波理论日臻成熟的序幕：1 9 8 8 年d a u b e c h i e si 在其论文【5 0 1 中构造 了具有有限交集的正交小波基、被视为是小波分析经典的纲领性文献：时至1 9 8 9 年，m a l l a ts 5 q 与m e y e ry 【4 9 】建立了构造小波基的通用方法，即多尺度分析；至 于小波方面，第一套权威性、系统性的著作非文献【5 1 1 莫属，这一评价在学术界 已达成了共识。该文献详细地研究了各种小波基的构造、小波基与函数空间的 关系，g a l d e m n z y g r m m d 算子在小波基的表现，以及小波基分析在复分析、算 子论、偏微分方程与非线性分析等方面的应用，这一著作的公开出版，无疑已 成为小波理论系统形成的划时代的标志。 小波分析的基本数学思想源自于经典的调和分析，它与人们熟知的傅立叶 分析极为相似。经典傅立叶分析主要讨论两个方面的内容，即傅立叶变换和傅 立叶级数。与之相同，小波分析在研究内容上也包括两大部分，即小波变换与 小波级数。 傅立叶分析就其实质而言，是将( 0 ，2j i ) 上平方可积函数空间中任一函 数分解成不同波函数的叠加，是现代工程中应用最广泛的数学方法之一，尤其 适用于信号及图像的处理。利用傅立叶变换，可将信号从时域变换至频域，并 分解成不同尺度上连续重复的成分，据此完成从不同空间对同一信号进行分解， 分析，计算结果通过递变换返回原空间。傅立叶变换使来自不同领域、千差万 别的实际问题得以采用统一的处理方法予以解决，有效地简化了数学计算及分 析过程。 然而，对于突变信号的表达及其瞬时特性的分析，傅立叶变换并不适宜， g a b o r 变换就是在这样的背景下产生的，它弥补了傅立叶交换在这方面的不足。 g a b o r 变换是信号的时频局部化分析方法，可分析出信号在局部范围中的特征。 带有时限函数的傅立叶变换可起到时频双限制作用。在这样的分析工具中， 傅立叶变换基函数起频限作用，时限函数起时限作用，时限函数又有窗口函数 之称，带有窗口函数的傅立叶分析称作加窗傅立叶分析或短时傅立叶分析。信 息的时频局部化处理，旨在寻找一种能够同时提供时域和领域局部化信息的表 示方法，它既在整体上囊括了信号的全部信息，又可描述在任一局部时间内信 号变化的激烈程度。窗1 ：3 函数所确定的窗口是对其局部性的一次刻划，该函数 在时、频两域上，窗口宽度越小，则局部化程度越高。特别需要强调的是，两 域的窗口宽度不可能同时任意小，二者之间存在一定的制约关系，这也是g a b o r 的加窗傅立叶变换的局限性之所在。 小波变换对加窗傅立叶变换的局部化思想作了进一步的发展，克服了后者 中窗口的大小、形状固定不变的不足，而表现出“变焦距”的特征。小波函数 中存在的与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗i ：1 的形状，却不改变 窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频率便渐趋高频方向，而其 宽度则渐趋狭小，据此满足了信号的频率愈高，它在时、空域上的分辨率愈高 的要求。小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而 可以聚焦到对象的任意细节，故赢得了“数学显微镜”之美誉p “。 虽然从原则上讲，以往使用傅立叶分析的场合现在都可采用小波分析，尤 其对非平稳信号的处理，小波分析因能更好地反映其频率特性而取得更好的结 果，但小波分析并不能完全取代傅立叶分析，在处理渐变信号时，傅立叶或加 天津大学博士学位论文 窗傅立叶分析较之小波分析更为有效，二者配合则可适应任意信号的分析与处 理。 小波变换、加窗傅立叶变换、傅立叶变换三者之间不仅在连续变换、离散 变换、时频特征等方面各不相刚5 2 】，而且在下述诸多方面各具特征【5 。 1 问题特征。小波变换适合处理突变信号，具有孤立奇异性的函数和自适应 信号，其余两种变换均适合处理渐变信号和实时信号。 2 局部变化特征。小波变换可以时一频同时局部化，具有自适应性；加窗傅 立叶变换虽可进行时一频局部化，但格式却是固定不变的；傅立叶变换不 具有局部化性质。 3 性质。小波变换拥有如下性质：( 1 ) 线性性；( 2 ) 同一性和相似性；( 3 ) 稳定性； ( 4 ) 表征化函数的局部规则。加窗傅立叶变换拥有上述四种性质中的前三种； 傅立叶变换仅拥有前两种。 4 算法及计算工作量。小波变换采用f w t 算法，计算量为o ( n ) ；其余两种变 换均采用d f t 、f f r 算法，计算量为朋n l o g n 。 3 小波分析在工程中的应用 小波分析在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。应用研究是小波研究中 极富生机的部分，所涉及的范围十分广阔，它包括：信号分析、图像处理、量 子力学、理论物理、数学领域等许多学科；军事电子对抗与武器的智能化；大 型机械的故障诊断；音乐与语言的人工合成：地震勘探数据处理；石油、天然 气储量的预测及勘探井位的确定；医学成像与诊断等方面。 电子信息技术作为当代六大高科技中一个重要的领域，大量涉及信号与图 像处理。信号处理的目的是：明确的分析与诊断、编码压缩与量化、快速传递 或存储、精确的重构或恢复。小波分析的许多应用，都可归结为信号处理问题， 诚然，对于性质随时间稳定不变的信号，傅立叶分析仍不失为其理想的处理工 具，但在实际应用中遇到的绝大多数信号均为非稳定的，而处理这类信号的有 效方法便非小波分析莫属。例如在信号分析方面的滤波、去噪音、压缩、传递； 在图像处理方面的分类、去污、识别与诊断；在医学成像方面，减少b 超、c t 、 核磁共振成像的时间、提高分辨率等。 4 小波分析的不足 小波理论的真正形成经年未久，尚有许多未臻完善之处，集中在 引言 l _ 小波的基础理论与方法研究。除一维小波理论较为成熟外，高维小波、 向量小波理论距人们的期待仍相距甚远，对各类小波( 如正交小波，二 进小波，连续小波，离散小波) 的构造和基本性质的研究尚有待进一步 深入。 2 小波基的选取原则，针对这一问题，目前仍缺乏系统规范的方法。 3 小波分析软件，较之有限系差分法，有限元法等软件，小波分析软件并 不成熟和完善、缺乏权威性。 4 小波函数的逼近精度很难估计，特别对导数逼近效果比较差。 4 新理论的提出 有限元在工程上有广泛的应用，针对不同的问题应用不同的单元，可以解 决 不同的问题，特别粗剖分的有限元空间，含在细剖分的有限元空间内，因此， 利用有限元同样可以作到小波分析的效果，而且有限元比较成熟。有限元主要 缺点是它的计算量大，计算周长。而且，细剖分与粗剖分目前有限元理论没有 递推公式，因此，要应用有限元函数做信号分析的多分辨率分析，和特征检测处 理。需要大量的计算，因此、应用起来相当困难。 与小波在理论上尚缺完善相比较，有限元方法相对比较成熟，如果有一种 方法使有限元正交化，将大大降低计算量，便于工程的应用，将是非常有意义 的。 由于空间和时间具有平移的对称性，他们对称性质可以用群论的方法来描 述。对称变换群的对称特征函数，往往可以构成不变子空间，相互正交。正弦 函数、余弦函数就是其平移对称性变换李群的这种特征的函数，对于特殊的等 分( 等分单元如等分矩形，等分三角形) 同样存在平移对称和反射对称性，因 此应用变换群来求解其特征正交函数是有可能。 群论是处理对称性的一种工具，群论在量子力学，量子化学上有广泛的应用。 工程结构存在着许多对称结构，近几十年来国内外研究者应用群论对结构分析 进行分析做了大量的工作i l “j ，f o r t e s e u ec l 【l 】最早讨论了群论在电路分析中的 应用。k r o ng 1 9 3 5 年【2 j ，p i p e sl a 1 9 9 6 例，也将群的表示理论应用于电路分析。 r e n t o nj d 1 4 j 讨论了对称框架结构的稳定性。h u s s e ym j l t5 1 ，d a e v e n s e n 6 q 讨论了 循环结构的分析。l m e i r o v i t c ha n dr c j ，r c e n g e l sa n dl m e i r o v i t e h 驯和 t h o m a sd l 【9 】，w i l l i a m sf w t l o - 1 2 1 ，应用离散傅立叶变换讨论分别循环结构的弯曲， 震动分析。z l o k o v i eag 1 2 4 】是最早将群论表示理论于结构分析，随后他应用群 论方法构造了超级有限元 2 5 - 2 6 1 ，国内最早群论表示理论于结构分析的当属于钟 万勰1 2 9 j 。利用群表示理论于结构分析可以大大降低计算量。以上所有的研究工 天津大学博士学位论文 作都是应用群表示理论的特征标方法，求出类空间的不变子空间，通常有限群 的特征标大多是已知。但是虽然群论表示理论的特征标方法，有现成的特征标 表，特征标理论比较复杂，不易理解。 由于对于群论研究已经比较深入应用群论方法，构造正交分片多项式与正交 有限元是完全有可能的。 5 本研究的意义 工程问题很多可以归结为解微分方程问题，例如对于结构问题，主要是解弹 性方程，而热传导问题则归结为解热传导方程通常有限元计算需要解一个阶数 很高的矩阵，这样，就存在计算量大的问题虽然目前随着计算机的发展，计算机的 计算速度的提高，已经部分地解决了计算速度的闯题，但是对于大型的构件和大 范围的区域的计算，如气象预报等光靠提高计算机的速度还是不能解决问题的， 因此、构造出正交有限元函数将原来的解一个阶数很高的大矩阵，化为解一系 列相互正交的小矩阵是非常有必要的。这样不仅可以大大地减少计算量而且可 以实现并行计算，有效地降低了计算量和提高计算速度。因此本研究对于解决 工程实际问题是有重大的意义的。 本研究的另一个方面是正交有限元在信号处理中的应用，虽然目前小波函数 在信号处理中的应用已经得到很好的效果，在图像处理中也已经有小波分析的 规范。但是小波分析具有它一些不完善，特别目前比较成熟的单尺度小波，由 于它是由一个尺度函数所构造的，因此、在考虑导数时它的逼近效果就不一定 很好。而多小波构造比较困难，就目前而言，所构造的多小波的逼近效果并不 理想。因此、需要有一种类似于小波分析的方法来处理信号。由于有限元基函 数可以按照需要取不同的基函数，基本上是多基函数，不存在，小波分析的多 个尺度函数构造问题。本研究在信号的分析处理中也是有重大的应用意义的。 本研究的目的是为解决具体的工程问题提供一种数学工具。 2 本课题研究的主要内容与研究方法 本课题主要工作有以下几点： 1 研究变换群特征表示方法，通过正则表示构造变换群的群上空间，应用自共 轭算子，求出自共轭算子的特征向量，将变换群群上空间分解为正交子空间。 2 将已知的有限元单元函数转化为节点基函数。 引言 3 应用已经求出的正交变换群子空间( 变换) 作用于有限元节点基函数上，构 造出正交的有限元基函数。 4 将对称变换群的特征向量法求出的正交特征子空间，并考虑函数的连续性应 用于构造对称结构的正交函数，并将所得到的结果应用于求解对称结构的板 弯曲问题。应用附加边界函数法，将解对称结构问题推广到解对称结构非对 称载荷问题。 5 推导正交有限元在周期区域内的内积，及其导数的内积。给出具体的内积表 达式。 6 给出应用导出公式解结构问题的一般方法。利用附加函数法将求解的区域延 拓，利用fa j i pek “h 方法求解一般偏微分方程，给出具体的求解过程 和方法，给出解板问题的具体例子。 7 推导正交有限元细剖分有限元和粗剖分有限元在逼近函数时各正交基系数 的递推关系。 8 应用正交有限元做信号分析，和图像处理，并编写软件实现。 天津大学博士学位论文 1 1 群的定义 第一章群论基础 群是一个集合，集合中各元素之间定义一种代数运算，即对集合中的任意的 一对元素a ，b 在集合中有第三个元素口6 与它对应，我们把这种运算称为乘法。 由元素g 。，g ：，组成一个集合g g = k ，g ， 假如具有下列性质： ( i ) 对任意的两个( 不同或相同的元素) g ，g ：g ，定义乘法，其积g l g ：g 。 我们把这个性质称群乘法的封闭性。 ( i i ) 对此乘法，结合律成立，这就是说，对任何三个元素岛，9 2 ，g ，g 有： g i ( 9 2 9 3 ) = ( 9 1 9 2 ) 9 3( 1 - 2 ) ( 1 1 1 ) 存在单位元素ee g ，使 曙2 9 e 2 9( 1 - 3 ) 对于每一个g g 都成立。 ( ) 对于每一个元素g g ，存在一个元素占。1 g ，使 g - 1 9 = g g = e( 1 - 4 ) 成立，我们称9 1 为g 的逆元素。 这时，我们说集合g 对于为定义的叫做乘法的代数运算来说构成一个群。 g 为有限集时，称g 为有限群；g 为无限集时，称g 无限群。无限群又可分 为立群和连续群；含有可数个元素的群称为分立群：若群中元素的个数为不可数 无限的，则称为连续群有限群中元素个数称为群的阶数，具有n 个元素的有限群 就称为n 阶群。 若群元素之间的乘法满足交换律，即若有曲= b a ，v a ，b g 则称群g 为阿贝 第一章群论基础 尔群或者叫交换群。 设口是群的一个元素，能使得口”= 8 ( 8 为单位元素) 的最小整天数n 称为群元 素a 的阶。如果这样的一个n 不存在，则说口为无限阶的。 若群g 的每一个元素都是某一个固定元素a 的幂，即有g = 叠，口2 ，口“，e ， 则g 称为循环群：或者说，是由口元素生成的，记作：g = ( 口) 口称为g 的一个生成元，a 的阶就是循环群g 的阶，显然群g 一定是阿贝尔 群，但反之则不然。 例1 所有整数在算术加法运算下构成一个群。 例2 二维转动群 轴对称物体绕= 轴转过任一角度妒保持不变，对称操作记为： r ：( p ) 0 妒2 7 r 它们构成一个群r ：，称为二维转动群，它也是一个连续群，显然有： r ：( p 1 ) r ：( 伊2 ) = r ：( 9 2 ) r ：( 仍) = r ：( 仍+ p 2 ) 因此r 2 是阿贝尔群。 例3 对称正多边形的对称操作，构成一个群记c 。 c 3 ，= 每qc ；吼仃：吒) c ；= r ：( 1 2 0 。) ，q = r ：( 2 4 0 。) 3 3 3 2 3 3 天津大学博士学位论文 1 - 2 子群及陪集 定义一个群g 的一个子集g 。，如果对于乘法运算来说成为一个群，则称 是g 的一个子群。用g3 9 表示隶属关系。 列 g 的子群g 。还可能包含子群g 等等，这样子群套就构成了群链，称合成群 g g ， g ，一3 例1c 。，群中c 。= 每c tc ：钟一1 构成一个子群 e 仃，i = 1 , 2 ，”分别也构成为一个子群，因此c 。，有n + 1 个子群链 c 。，3 c 。，c n ， 和q ) i = 1 ，2 ，九。 例2 群c ：。= 0c 。i 岛c 著 有子群c 1 ：= kc 三c t , c 署 、 c 。= 每c 刍c 刍c 嚣 、c ，= 叠c 刍c 芸 c 。= 每c 刍c 刍c 君 、c 。= c 鑫c 芸c 芸 、c ：= 叠c 芸 ，a c 。有 下面两个合成群列： c 2 43 c ”3 c 6 c 3 、c 2 43 c 83 c 4 c 2 、c 2 43 c 1 23 c 4 c 2 在判断群g 的子集日是否构成群g 的一个子群日时，我们用不着如定义所 说的那样，去考查是否适合群的定义的四个条件。我们有： 定理l 群g 的一个非常空集日合构成群的一个子群的充分必要条件是： ( 1 )如 果a 和b 是日的任意两个元素，那么曲也属于日。 ( 2 )若 ，口h 贝u a _ 1 h 如果子集是个有限集，那么构成一个子群的条件还要简单。 定理2 群g 的一个非常空集日合构成群的一个子群的充分必要条件是：如 果口和b 是目的任意两个元素，那么口6 也属于日。 和等价关系对集合分类一样，利用群的子群，我们可以给出群的一个分类， 例如我们将全体整数用整数r 1 分成剩余类。设a = 卜，一2 1 ol 2 ， 9 第一章群论基础 取n 0 ，规定4 的元素问的一个等价关系一： 日一b 当且仅当n l a b 的时候，符号n l a b 表示a - b 能被n 整除，即 c i b = k n ，于是对于整数我们有以下的同余类： 【o - f 一，一2 n 一”0 n 2 n ，) 【1 = 一，一2 n + l n + l 1 ”+ 1 2 n + 1 ，- ) 【 一1 = 一，一厅一1 1 n 一12 n 一1 3 n 一1 ，- ) 如果我们从群论的观点出发来看这种分类，容易看出，全体整数的集合对于 加法构成一个群，单位元素是零。设有模疗 0 ，称，z 的所有倍数集合为： h = 一，一2 n h 0n 2 n ， 显然日是一个群。我们把整数群一按剩余类划分，此时等价关系可以表示为 当。一b = 砌时，口一b 。a 一6 当且仅当口一b h ，也就是说群彳利用子群日来 划分。推广这个特殊情况，就可以用一个子群将一个群进行分类，这就引入陪集 的概念。 定义设n 阶群g 的一个子群s 具有元素0q ：x 似 l 的重根，则算符c ，并不构成类空间 的c s c o ，对于此尤，解是不能唯一确定的，由式解出m ，个线性独立的特征矢 量q l 如，它们构成了一个m ，维的本征空间l ，这时我们再找一个类算符 c j ：，将工，按c 。：的本征空间分解，依此类推，直到找到类空间的完备算符集 c = ( c 。c 。c 。) 它们的共同本征空间是一维的。 2 群g 的c s c o i ( 3 1 6 ) 定义1 若由，个类算符构成的一个算符集c = f 。c 。c 。j 为类空间的 c s c o 则称为c 为群g 的第一类c s c o ，记为c s c o i ，简记为群g 的c s c o 。 以下我们讨论有限群完备算符存在性问题。首先证明构成完备算符的类算符 个数必定小于或等于类数目n ，也就是证明类算符( c ，c 2 ，c w ) 必定构成 c s c o i ，即它必有n 套不同的本征值。为此我们把c ，在对角表象中的表示看着 一个列向量。把n 个列向排成一个方阵 m = 硝硝1 一 硝12 一 越 嚣 硝”硝”毋 r 3 1 7 ) 由于n 个类算符c ，是独立的，所以矩阵m 中n 个列向量必线性独立，故m 的秩为n ，因此它的m 个行矢量，也必为线性独立，这就证明了算符集 ( c l ，c ：，c ) 必有n 套不同的本征值集。 由此可知，对于一有限群g ，总可以找到一个完备算符集，从而把类空间分 解为n 个一维本征空间的直和，显然群g 的c s c o 的选取不唯一，实用上我们 总希望c s c o 中包含的算榜个数尽可能的少，但要指出的是c s c o 的不同并不 影响分解的结果。 对于一个不知其特征标的群，可以用前面的试探的办法找到c s c o i 。不 难证明如果，如果( c t ，c ：，q ) 构成群g 的c s c o i ，则总可以找到这1 个算 符的一个线性组合 第三章有限群表示理论 c = k l c l + + 女，c ， 使得c 构成群g 的c s c o i 。 3 积群的c s c 0 i 若群g ，g 2 各有n i 和n 2 个类，它们的c s c o 1 分别为c 1 和c 2 则直积群 g - g z 有，：个类，容易看出算符集 c = ( c o ) c ( 2 ) ( 3 - 1 8 ) 在直积群g g ：的l ：维的类空间中有l ：套不同的本征值1 2 ) ，因此 为群g l g 2 的c s c o i 4 一般情形 以上讨论中，我们假定群g 所有的类算符都是自共轭的，因此群g 的 c s c o i 也全由自共轭的算符组成，对一般的情况，我们有 引理：在类空间自然分解时，任何有限群g 的n 个类算符必等价于n 个自共轭算 符。 设群g 有n 1个a m b i v a l e n t 类，类算符为c lc 2 c h 和2 以2 个非 a m b i v a l e n t 类，类算符为 岳g f c ，= 掣，c = ( 矽) - 1 ，i = m + 1 ，m + n ：( 3 1 9 ) 1 = 1i = l n = m + 2 竹2 ，利用群算符每个都满足 ( 霄f ) = ( r 尸) ( 3 2 0 ) 这一性质，立即可知a m b i v a l e n t 算符为自共轭的，而非a m b i v a l e m 类算符满 足 c 。= c ，。i = + 1 ，啊+ h 2( 3 - 2 1 ) 我们可以将2 n 2 个非a m b i v a l e n t 类算符重新组合成2 竹2 个自共轭算符 k j = c ，+ q ，k j = i ( c i c ，- ) ，j = ，一啊，= 玎1 + 1 ，啊+ 1 1 2 ( 3 2 2 ) 因此求n 个类算符( c - ，c 2 , - - - , c n ) 的共同本征矢量就等价于求n 个自共轭算 符( c 1 一，c 矿k 1 ，一，k 世l ，k 。：) 的本征矢量。引理证毕。 2 4 天津大学博士学位论文 3 3 群g 的第二类完备算符集( c s c o - - h ) 与群空间的完全分解 在上一节群的第一类完备集，虽然对类空间可以应用c s c o 1 分解一维的 特征空间直和，但对群空间来说可能仍然高于一维的为了完全分解群空间，仍然 需要一些算符进行群空间的特征分解，这些算符必须是与c 对易的这样，类空 间的特征子空间也是这些算符不变化的子空间。如果群g 中包含子群链 g a ( s t ) 3 ，对于每一子群g ( s ，) 的完备算符集c ( s ) 对上一级的的类空间进 行分解，这样我们就得到子正则表示空间的完全分解，设每一级的特征基为q ， 于是可以得到完全分解的特征基为： p h 0眇以 钽 m = 9 m 第四章群的表示理论在对称结构分析中的应用 4 - 1 引言 第四章群的表示理论在对称结构 分析中的应用 群论在量子力学，量子化学上有广泛的应用。工程结构存在着许多对称结构， 但在结构分析中应用群论进行来分析近几十年来国内外研究者做了大量的工作 ”“】，国外营先z l o k o v i cf 2 3 1 将群的特征标表示理论应用于结构分析，他利用群论 的表示理论构造出了g - 向量，并应用其理论处理结构的静态分析、振动、和稳 定性问题的处理。国内最早是钟万勰【2 ”应用群的特征标表示理论来对对称结构 进行力学分析，由于利用群论方法可以将结构分析分解为子空间上的问题，从而 大大地减少计算工作量。但是，群的特征标理论不容易理解而且导出群的不可约 表示不全是一维，因此，不易于应用，而且他在处理函数的连续性时存在一些问 题。本章应用量子力学的特征向量方法，将位移函数按对称某些群空间的自共轭 算符的公共不变子空间分解。在这些公共不变子空间也是结构动能和势能的算子 的不变子空间，在群论分析基础上本章导出对称结构的结构分析方法。 设g 是空间结构的对称群，变换矩阵r 。凰g ，设矿o ( x ) 是没有任何对称 性的一般函数。 假定经过g 个群元作用后得到g 个正交归的函数： 吼= r 。( ( x ) ) ，a = 1 , 2 ，g( 4 - 1 ) 瓴钆) = 毛 其中：仍，吼，为荷载群的一个g 维表示 g r 。纯= d o ( r 。) 媳驴f 1 0 当嚣 矩阵d 是群g 的正则表示。 方程( 4 2 ) 可以写成： r 。r 。y 。：壹d ( r 。) r 。y 。 l ( 4 2 ) ( 4 3 ) 设存在群列g g ( s t ) e 由由第三章第三节我们知道存在类算符 天津大学博士学位论文 l ，l ( s ，) ，l ( s ：) ，其中：l 是g 的类算符、l ( s - ) 是，g ( s ，) 的类算符、。使 得： l l ( s 】 l ( s 2 z ( 5 1 ) ( 5 2 ) 。一一( 4 4 ) 这里：( 枷( 吣= b 。纪，l ( s ，) = 6 ，r j ( s ，) ，r ，g ( s 。)( 4 5 ) 1 在对称结构中，我们知道应变能、阻尼耗能和动能与对称变换无关即： 肼( y ) = m ( r j 矿) = m ，k o v ) = k ( r j y ) = k ，c ( y ) = c ( r 妒) = c ，v i t j g 因此有： m r ，= r i m ， k r j = r ，k ，v r j g( 4 6 ) c r = r ，c 和 m l ( s ) = l ( s 。) m ， k l ) = l ( s ) k ，i = 0 ，1 “2 ( 4 - 7 ) c l ( s ，) = l ( s ) c 这里：m ，i ( ，c 分别是质量、应变和阻尼矩阵。由于m ，l ( c 与类算符 l ，l ( s 1 ) ，l ( s z ) 可交换的，因此、类算符l ，l ( s 0 ，l ( s 2 ) 的特征向量是m ，l ( ，c 的函数不变子空间。 4 - 2 在结构分析中的应用 设：没有对称性的位移函数为v o ( x q ，c ：，) ，其中：q ，c ：，是函数的线性 系数，它们可以是有限元的节点参数或其他参数。 在一般结构中位移通常可以分解为三个坐标分量表示： h o ( x ) l ( x ) = “2 0 ( x ) ( 4 8 ) 1 “3 0 ( x ) l 通过对称群元素的变换正交函数为： 0 v i 1il酽j ) ) v b 0 五丑 第四章群的表示理论在对称结构分析中的应用 纯俐。吨嘣垆r 。 方程( 4 9 ) 的每个正交函数可以写成分量形式： “a = r ( 4 - 9 ) ( 4 - lo ) 这里：r 。是与对称群元素五。有关的变换矩阵。于是位移吼的应变可以写成 以= 等+ 等= p 4 掣+ p 。挈 由方程( 4 - 1 1 ) 我们可以得到每一个子正交函数的位移和应变： = 6 ， 仍= b 甜1 z b 。“2 u 2 妻6 。r - u u o j ( r ，x ) b 。，- 1 2 j u 0 j ( r ，x ) b a r - 1 3 j u o j ( r ，x ) j = l ， 似一1 2 ) 以= 弘( 警+ 等) ：弘y 。a 訾+ r - - 业。挈， h 。1 3 于是可以的到每个正交函数的势能： u = p u z “彬。k l - d v = ( 莩b 2 ，j9 一”k v = ( ；b a - 2 ) u 。z ( 4 1 4 ) 这里：u 。，= p d 州占“。- 咖，占= 罨 + 罨 每个正交函数的动能： r = p n - n 。d v = ( k 2 ) p ( 矗。z ) 2 d v = 国2 ( k 2 ) p 。- “。z d v 材( 巍z 。 。 。 ( 4 - 1 5 ) 这里：= p “删。a d v 外力对每个正交函数做的功w 为： = ( 6 。) 肌 ( 4 1 6 ) g 2 = n 、l，j 对曲对 口 口 口限限限 o 0 o驴驴 ，、【 天津大学博士学位论文 应用r i c e 方法( 对独立的参数求导) 可得每一个子空间的初始函数的参数： 型! 卫立：0f-1，22(4-17) 口c n 对于对称结构有对称边界条件的，直接解( 4 1 7 ) 即可得结构在子空间上的 位移，结构性的总位移是各个子空间位移的总和 矿。 = y 。( c u ，c 2 ，z )妒 = b 咀r ，( y 。i ) 。 4 1 ( 4 1 8 a ) y = = l 当边界条件为非对称时，将非对称边界条件化为对称边界条件，和边界上作 用的外加力f ，应用( 4 1 8 a ) 可以解出 y 。= v o ( c 。( f + ) ，c 2 ( f + ) ，工) v i = b a r ，( y 。) 。 4 1 ( 4 1 8 b ) y = ) = l 应用边界条件得 帆+ = 矿+ ( x ) = 0 ，f = f ( x 。) = 0( 4 1 9 a ) 由于( 4 - 1 8 b ) 中位移是外加力的线性函数，因此( 4 1 9 a ) 可以写成： s f + = 0 ( 4 1 9 b ) 这里： s 是n n 矩阵，1 1 为外加力的个数，解( 4 1 9 b ) 式并回代( 4 1 8 b ) 即得问题的 解。 4 3 例子 右图对称六边形结构有六个对称轴( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 它的对称群是c 6 ，它的群元为： e c 6c 6 2c 6 3c 6 4c 6 5 6 o - ( 1 ) o - ( 2 ) o - ( 3 ) o - ( 4 ) 盯5 ) 盯( 6 ) 前六个元素是转动( c 。”= r ( 2 m r 6 ) ，n = 1 , 2 ，6 ) 后六个分别是对六个对称轴的反射变换。 对称群列为：c 6 ，3 ( e ，c ；，盯o ，盯怛盯o ) 352 态及。 髟斗 j l 。一 图4 1 第四章群的表示理论在对称结构分析中的应用 群c s ，有六类分别为 c l = e ，c 2 = g ，c 3 = c ；+ q ，c 4 = + ，c 5 = 盯o + 仃啦+ 仃。 ，c 6 = 盯【4 ) + 盯( 5 ) + 盯【6 ) 在群的类算符c 4 ，c 5 的作用下有： c l c 2 c 3 c 。 c 5 c 6 ，c 5 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 取类算符c 2 z ；+ e ，可以得到如下的特征函数 ( 如2 0 ) v = - 2 , 口= 2 q + 2 q q v = 2 ，q = 玛一2 写( ；+ q v = 7