（机械制造及其自动化专业论文）柔性轴—转子系统动力学研究(1).pdf

摘要 本文在综合考虑了转轴的质量和扭转变形以及刚性圆盘宽度的影响模型的基 础上，利用柔性多体系统动力学的分析方法，将有限元法和拉格朗日方程相结合， 建立了柔性转子系统中具有质量偏心的任意刚性圆盘单元和空间梁单元的动力学 控制方程，推导出了动力学控制方程系数矩阵的解柝表达式。将剐性圆盘单元和 空间梁单元组集推导出了柔性转子系统的动力学控制方程及其系数矩阵的解析表 达式。给出了系统在静不平衡、偶不平衡和动不平衡情况下的动力学控制方程。 讨论了求解柔性转予系统动力学控制方程的各种解法，采用数值积分中的n e w m a r k b 法对柔性转子系统动力学控制方程进行动力学仿真，给出了系统的动力响应曲 线并进行了分析，仿真结果验证了本文模型的建立和动力学控制方程推导的正确 性，为柔性转子系统的控制提供了必要的理论基础，具有重要的理论意义。 关键词：柔性转于系统动力学控髑方程不平衡动力学仿翼 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，o nt h eb a s i so f 曲em o d e lc o n s i d e 血gb ys y n t h e s i s 也ee 珏e c to f m t a 血gs h mm a s s ，t o r s i o nd e f o l _ m 撕o n 柏dn l er i g i dd i s l ( 惭d 协，b yu t i l i 矗n gd y i i a i i i i c s o ff l e x i b l em m t m o d ys y s t e i n 锄a l y s i sm 酬恼dw i mc o m b i i l i i l g 丘n i t ee l e m e n tm e t l l o d 锄dl a 掣a n g ee q 咖n l ed 脚c a lc o n n d lo q u 撕o no ft l l er i 酉dd i s ke l e m e n t 诵也 m a s se c c 衄心i c i t y8 i l d3 一db e a n le l e m e n ta r ep r e n t e d t h ea n a j y s i sf o r m l l i ao f c o e 伍c i e n tm 砌xa b o u tm e 由，n 缸n i c a l 咖ie i 嘶o ni sa l s og i v e n 王玢c o m b i n m g r i g i dm s ke l e m 咖踮d3 db e 锄e l e m 铋tm ed 班i l n i c a lc o “咖le q 嘣0 no fn e x i b l e r o t o rs y 咖na n di t s 锄_ a i y s i sf o m m l ao f c o 甜丘c i e n tm a 埘x8 r ed e v e l o p c d 1 1 1 ed y n 锄i c a l e q 删o no fm t o rs y s l e me 疽s t i n gu n b a l 髓c eo fs 缸l 畦c ，由r n 撇i c s ，o r 也et w os 印a r a t e l yi s e s t a _ b l i s h e d v 矾o u sm 就o d s ，w i 血w h ic ：ht os o l v ed y l l a m i c a lc o t r o le q u a t i o no fn e 矗b l e r o t o rs y s 把m ，a r e 玉i s c u 蟠e d m o r _ c o w 斌灿e 由门妯i c a ic o m r o le ( 1 u a 虹o no fn e ) 【i b l er o t o r s y s t e mi ss o l v e da n d 锄确r z e db yl l s i n gn 钾n m 地加毹h o di n 咖商c a ls o o n t h c d y n a 戚c a lr c s p o l l s ec u “eo fr o t o rs y s t 锄i sa l s og i v e na i l da n a l y z e d d ”锄i c a l s i m m a t i o ns h o w st b a tt h em o d e la 矗d 由咖i c a lc 咖le q 删o nmt h i sp a p e r8 r e c o m c ta t l dr e 嬲o n a ：b l e ，w h i c hn o to n l yp r o v 王d e 也ec o n t r o lo fn e x i b l em t o rs y s t e m 僦 n e c e 窨s a r y 也e g t i cf o m m 蚯o n ，b u ta l s oh 龉证1 p 帆恤t 怕r e t ks i 晕i i 丘c 蛆c e k i yw o r d s ：f l 娃洳l er d t o rs y 3 t 哪d y n 曩m k 曩ic o n h 田le q 叠o nu n b 曩l a n c e d y n 嘲i 姐is i m u l 矗如n 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究柔性转子系统动力学的目的和意义 旋转机械是工程中常见的机械装置，被广泛地应用于包括燃气轮机，航空发 动机，工业压缩机及各种电动机等机械装置中，它在电力、航空、机械、化工、纺 织等国民经济领域中有着广泛的应用，并且起着非常重要的作用。像燃气轮机， 航空发动机，工业压缩机及各种电动机都是典型的旋转机械，都是以转子作为工 作主体。旋转机械在运转时，转子系统常常发生振动，振动的害处是产生噪音、 加快磨损、降低使用寿命和机器的工作效率，严重的振动会使元件断裂，造成事 故，而转子系统的不平衡是引起振动的一个主要原因。任何转子由于材质不均匀， 加工和安装误差等原因，不可避免地存在着偏心，即质心偏离转子的名义中心。 在偏心离心力作用下转子产生了振动，通过轴承传到机座，从而引起整机的振动。 特别是，近年来旋转机械的发展出现一个显著的特征，就是向高转速、高精度、 轻结构、长寿命的方向发展，轻柔部件在强离心力作用下会发生强烈的弹性变形， 因此不能再象低转速时那样把许多部件简化为刚体，而必须作为弹性体处理，综 合考虑刚体运动和弹性变形以及二者的耦合，从而构成了复杂的柔性转子系统。 关于柔性转子系统动力学特性的研究，人们虽然作了很多的工作，但对研究的模 型都作了许多的简化和假设，与真实的系统有许多不符之处，从而造成了与之相 应的理论具有一定的局限性。随着科技的发展，这些模型逐渐暴露出许多的缺点， 有些理论已经不能使用，这就迫切需要一种能够反映真实系统的模型和一套与之 匹配的理论，从而为旋转机械转子的优化设计、提高效率、保证安全、减少故障 和延长寿命提供理论和技术上的支持与保障。 转子的不平衡响应计算是转子动力学研究中的一个重要方面。转子的临界转 速与其工作转速应有一定避开裕度，但有时由于种种原因转子的临界转速与工作 转速较接近，为了了解转子振动的大小，就需要进行不平衡响应计算。转予的强 迫振动主要是由于与转予转速同步的质量不平衡产生的离心惯性力所激起，通过 不平衡响应计算可以得出不平衡量在转子上不同位置时的不同影响。同时，通过 对不平衡响应的分析，可以预测机组在某些情况下的振动情况，此外不平衡响应 的计算还可以确定转子在计及阻尼影响时的临界转速。 到目前为止，我们查阅了许多国内、外有关转子动力学的文献。1 。，但关于柔 性转子系统在不平衡质量影响下的精确的动力学方程的论文还没有看到。而这对 柔性转子系统的动力学特性的研究又至关重要。给出柔性转子系统在不平衡质量 影响下的精确的动力学方程，进而完成其动力学特性的分析是本文研究的主要目 2 柔性轴转子系统动力学研究 1 2 国内外研究进展、现状和发展趋势“，” 转子动力学是一门既有理论深度，又有很强的实践性的应用基础学科，它的 形成与发展伴随着大工业的发展和科技进步，己走过了一个多世纪的路程。 第一篇有记载的有关转子动力学的文章是1 8 6 9 年r a n k i n e 发表的题为“论旋 转轴的离心力”一文，这篇文章得出的“转轴只能在一阶临界转速下稳定运转” 的结论使转子的转速一直限制在一阶临界转速以下。最简单的模型是由一根两端 刚支的无质量的轴和在其中部的圆盘组成的，这一今天仍在使用的被称作 j e f f c o t t 转子的模型最早是由f o p p l 在1 8 9 5 年提出的，之所以被称做“j e f f c o t t ” 转子是由于j e f f c o t t 教授在1 9 1 9 年首先解释了这一模型的转子动力学特性。它 指出在超临界运行时，转子会产生自动定心的现象，因而可以稳定地工作。这一 结论使得旋转机械的功率和使用范围大大提高了，许多工作转速超过临晃的涡轮 机、压缩机和泵等对工业革命起了很大的作用。但是随之丽来的一系列事故使人 们发现转子在超过临界运行达到某一转速时会出现强烈的自激振动并造成失稳。 这种不稳定现象首先被n e w k i r k 发现是油膜轴承造成的，从而确定了稳定性在转 子动力学分析中的重要地位。 5 0 年代以来，电力、航空、机械、化工工业的迅猛发展极大地推动了转子动 力学的研究。发电机组的单机容量从几万千瓦发展到上百万千瓦，飞机也开始进 入喷气发动机时代。旋转机械的转予越来越柔、功率越来越大、转速越来越高， 甚至达到了三、四阶临界转速以上，这为转子动力学的研究提出了一系列的研究 课题，也有力地促进了转子动力学的发展。 】2 1 转子系统的分析与计算方法 对简单离散转子系统的分析大多是基于理论力学的分析方法，而对复杂转子 系统则多用传递矩阵法和有限元法。传递矩阵法在5 0 年代中期被应用于转子系统 的分析和临界转速的计算，并且直到现在仍然是转予动力学的主要分析手段之一。 这一方法的特点是：矩阵的阶数不随系统的自由度的增大而增加，因而编程简单、 内存用量少、运算速度快，特别是适用于像转子这样的链式系统，但是在考虑支 承系统等转子周围结构时分析较困难，而且可能出现数值不稳定现象。有限元法 分析转子动力学问题始于1 9 7 0 年，它的表达式简单、规范，特别适用于转子和周 围结构组成的复杂结构的分析，虽然在系统复杂时会导致自由度特别大，耗费计 算机时，但随着计算机技术的快速发展，这已经不是大的问题了。此外，有限元 法的计算结果精度较高，因此得到了越来越广泛的应用。 第一章绪论 随着计算方法的改进和发展以及计算机速度的快速提高，先后出现了如 r i c c a t i 传递矩阵法、传递矩阵一阻抗耦合法、传递矩阵一分析振型综合法及传递 矩阵一赢接积分法等专门针对转子系统而建立的分析方法，也开发了许多基于有 限元的商业软件，如a n s y s 等分析工具。以往的转子动力学建模和分析主要是针 对地面旋转机械的，并假设基础的刚性足够大且是固定不动的，但对航空发动机 等机动运动的转子系统和对一些支承刚度较小的转子系统这种假设显然是不太合 理的，如对机动飞行中的航空发动机转子系统的建模和分析还应计入空间运动的 影响。此类问题虽然研究的难度大，但由于对国民经济发展具有较大的促进作用， 应成为今后研究的重点。 1 2 2 转予系统的不平衡强迫响应与平衡技术 转予系统的不平衡响应是转子动力学研究的基本问题。对转予不平衡响应的 研究主要是针对定转速的稳态响应和变转速时的瞬态响应特性分析。早期的研究 都认为转子的强迫振动响应频率与转子转速相同，即响应是同步的。后来人们发 现了响应频率与转速不同步的现象。这种现象通常被称为是“非协调响应”或“非 同步涡动”。轴承的油膜力、通过叶轮间隙的气动力、转轴的材料内阻、转子与定 子或轴承间的摩擦、转轴的初弯、非对称刚性转子、裂纹转子等都是引起非协调 响应的因素。这种非协调响应不仅会产生交变应力，加速转子的疲劳，也可以引 起转子的自激振动、造成失稳。近年来，随着非线性振动理论的发展，人们发现 转子系统中存在大量的非线性振动现象，从而引起了对转子系统非线性振动、分 叉和混沌的研究高潮。 求解转子系统的不平衡响应除了对简单的二自由度以下系统采用理论求解 外，大都采用数值积分的方法。这种方法可用于求解稳态和瞬态响应，也适用于 线性和非线性系统。 由于转子的不平衡是旋转机械最主要的激励源，因此转子的平衡是关系到转 子平稳运行的关键，其目标是减少转子挠曲、振动和轴承动反力。目前常用的平 衡方法有模态平衡法、影响系数法和混合法。 对转子系统不平衡响应的进一步研究集中在两个方面：一是建立可能符合实 际转予结构和运行状态的力学模型并计算这类大型复杂转子系统的响应特性。二 是更深入地研究各类非线性激励引起的响应特性。对前者，利用成熟的商业分析 软件如a n s y s 等可以达到很好的效果，对后者目前除了数值积分法外还没有很好 的分析方法，这主要是因为目前对多自由度、强非线性系统还缺少成熟的理论分 析方法。 柔性轴转子系统动力学研究 1 2 3 转子系统的稳定性分析 高转速、大功率、柔性转子是近年来高速旋转机械的发展趋势，它在提高转 子性能的同时也引起了更严重的失稳现象。转子动力学的一个重要的研究内容就 是转子系统的稳定性分析。以前对转子系统稳定性的分析都是通过线性化处理再 借助特征值或r 0 u t h h u r w i t z 准则来判定稳定性，这种方法实际是研究解的稳定 性。由于转子系统中存在着大量的非线性因素，因而存在多解的情况。通过线性 化处理来判断稳定性存在很大的局限性。为此，近年来又发展了一些基于非线性 仿真方法的稳定理论，如能量法和谱分析方法等。目前在非线性转予系统稳定性 的分析中采用最多的方法仍是数值积分方法。 由于影响转子系统稳定性的因素很多，且经常可能是多个因素共同作用，加 上目前对造成转子失稳的力学模型还很不完善，与实测结果误差较大，因而非线 性稳定性分析的的难度很大。目前转子系统稳定性分析尚待解决的主要问题有： 造成转子失稳因素的准确建模问题；非线性转子系统的全局稳定性分析问题；多 种因素共同作用下的稳定性问题和新的非线性系统的稳定性分析方法等。 1 2 4 转子系统的非线性振动、分叉与混沌 实际的转予动力学问题绝大多数是非线性的。早期由于数学理论和计算条件 的限制，往往将非线性问题线性化以得到近似的结果，但这样做往往会导致大的 误差。随着非线性动力学理论的发展和计算机速度和容量的迅速提高，对转子系 统非线性特性的研究已引起了人们的高度重视，并成为目前转予动力学研究最活 跃的领域之一。非线性分叉与混沌理论的发展为转子系统非线性响应的研究打开 了一扇大门。e h r i c h 对转子系统中存在的分叉与混沌现象进行了深入地研究，发 现复杂转予系统的分叉与混沌特性与单自由度非线性系统的特性有着许多相似之 处。随后国内外的学者们在研究中又发现了大量的分叉与混沌现象。尽管研究的 转予系统从二自由度四阶到八自由度十六阶，非线性力的形式各种各样，非常复 杂，但分叉与混沌的形式和现象基本一致。这些转子系统主要是通过倍周期分叉， h o p f 分叉等道路进入或退出混沌，这些现象基本没有超出对简单单自由度非线性 d u f f i n g 方程的分析结果。这说明在受到周期激励的复杂非线性系统中存在一些共 性的东西可以通过简单的系统加以描述。 对非线性转子动力学的进一步研究的关键在于发展高维系统的非线性动力学 理论；建立更符合实际的转子非线性模型；加强非线性转予动力学的试验研究； 应用非线性转子动力学的分析结果解决实际问题；提出对系统非线性振动实施控 制的方法。 第一章绪论 l _ 2 5 转子系统振动与稳定性的主动控制技术 对转子振动和稳定性的控制的难度随着转子转速和功率的提高而不断地增 大，现代工业的自动化向转予系统提出了主动控制的要求。对转子系统振动主动 控制的研究包括：控制的目标函数，控制器的设计和施加控制力的方法等，但最 关键的还是实现对转子系统振动和稳定性的主动控制。一般有两种施加力的方法： 一种是直接将力加在转予上，另一种是通过轴承座来拖加。一个成功的主动控制 作动器应具有：紧凑的结构，大的作动力，大的调节距离，宽的频率范围。目前 最常见的几种转子系统的振动主动控制手段有：磁轴承，压电作动器，记忆合金 作动器，液压作动器，主动可倾瓦轴承以及电磁流变阻尼器等。 磁轴承特别适用于对转子的直接控制，其工作原理是磁悬浮技术，即利用可 控电磁铁制造旋转磁场并实现稳定的磁悬浮。首次将电磁力用于转子振动控制是 在1 9 7 4 年，随后由于具有无机械磨损、不需润滑和超高速等优点，磁轴承的研究 和应用得到了迅速地发展。压电作动器的控制力是通过压电材料产生的压电力， 这种作动器适用于小振动或高精度机构。其特点是大刚度和高频率。记忆合金作 动器是通过记忆合金的形状改变达到调节刚度的，而液压作动器是通过压力控制 改变控制力的。电磁流变阻尼器是近几年出现的一种新型主动控制阻尼器，在转 子系统的振动控制中取得了很好的效果。 上述转子振动主动控制方法各有优缺点，如磁轴承的不足在于轴承参振质量 大，承载力小，需附加保护轴承等；记忆合金和液压作动器的不足是反馈速度慢 等。到目前为止，还只有磁轴承得到了较广泛的商业应用。 转子系统振动与稳定性的主动控制技术具有广泛的应用前景，进一步的研究 应考虑非线性控制问题、快速反馈控制问题。应研制频率宽、作动力大、动力学 特性简单、尺寸小和控制方便的控制方法和控制器。 1 2 6 新的交叉学科研究方向 旋转机械转子动力学从其诞生起就是一门涉及多个学科领域的综合学科。早 期的转子动力学研究包括了数学、理论力学、结构力学、稳定性理论、流体动力 润滑理论等学科，后来又涉及到气动力学、控制理论、弹性力学、计算力学、有 限元方法、试验技术、信号采集与处理技术、非线性动力学、新材料与智能材料 等学科。在今后的研究中有以下几个交叉研究领域应引起重视。 微重力环境下的转子动力学。空间技术是2 l 世纪我国重点发展的高新技 术，包括载人飞船等一系列空间发展计划已进入实施阶段。旋转机械在空 间技术发展中也有着普遍的应用。但在微重力环境下，转子动力学现有的 许多理论和研究成果都受到了挑战，需要作很太盼修正。最起码与重力有 柔性轴转子系统动力学研究 关的结论都需要重新研究和评价，如在微重力环境下轴承的支承和润滑作 用等。为此需要结合微重力环境开展转子动力学的有关研究工作。 超微机械中的转予动力学问题。微机械的问世和发展对转予动力学提出了 新的挑战，如上海交大研制的2 咖微电机就为转子动力学的分析和实验带 来了许多新问题。一是理论建模和分析方法的适用性问题；二是新的驱动 方式和轴承润滑问题；三是动态特性测试问题。激光测试可能是目前唯一 可行的方法。因此加强对超微机械转子动力学的理论和实验研究是一个迫 切的课题。 生物中的转子动力学问题。在旋转式人工心脏、人体微型“清道夫”的研 制和分子马达的研究中可能会遇到转子动力学的问题。心脏间歇式压力、 血液和人体组织的影响等都会为转子动力学的研究提出新的问题。 近几年来，随着三峡工程的建设，国家在自然科学基金重大项目、国家重大 基础研究项目和三峡关键技术研究项目中都列入了转子动力学的研究课题，投入 了大量的经费，从而使我国转子动力学的研究进入了一个新的繁荣期。我们相信 我国的转子动力学研究的成果必将对国民经济的建设作出大的贡献。 1 3 本文的主要工作和内容组织结构 1 3 1 本文的主要工作 本文针对普遍的具有质量偏心( 不平衡质量) 的柔性转子系统的动力学问题， 具体进行了动力学建模、动力学控制方程的推导和动力响应计算和分析等方面的 研究工作，首次给出了柔性转子系统在不平衡质量影响下的比较精确的动力学控 制方程。 ( 1 ) 首先根据柔性转子系统结构和运动的特点，指出了以往模型在建模方 面的不足。在此基础上，给出了综合考虑转轴的质量和扭转变形以及 刚性圆盘宽度影响的更加接近实际系统的动力学模型。 ( 2 )以往的转子系统的运动方程，均是在向量力学的基础上，应用动量定 理和动量矩定理进行描述。本文是在标量力学的基础上，利用柔性多 体系统动力学的分析方法，将拉格朗目方程和有限元法相结合，建立 了柔性转子系统中具有质量偏心的任意刚性圆盘单元和空间梁单元的 动力学控制方程，并推导出了动力学控制方程系数矩阵的解析表达式。 ( 3 ) 将刚性圆盘单元和空间梁单元组集推导出了柔性转子系统的动力学控 制方程及其系数矩阵的解析表达式。给出了系统在静不平衡、偶不平 衡和动不平衡情况下的动力学控制方程。 ( 4 ) 讨论了求解柔性转予系统动力学控制方程的各种解法，采用数值积分 第一章绪论 中的n e 彻a r kb 法对柔性转子系统动力学控制方程进行动力学仿真， 给出了系统的动力响应曲线并进行了分析，验证了本文模型的建立和 动力学控制方程推导的正确性，为柔性转子系统的控制提供了必要的 理论基础。 i 3 2 本文的内容组织结构 本文具体内容的组织结构如下： 第一章绪论。主要介绍了本论文研究的目的和意义，国内外研究的进展、 现状和发展趋势以及本文所傲的基本工作。 第二章 柔性转子系统动力学基础。作为后续章节推导的基础，本章主要 介绍了柔性体上任一点状态量的描述，有限元法的坐标变换以及 柔性多体系统动力学控制方程的一般形式。 第三章 柔性转子系统动力学建模。分析了以往模型的缺陷，提出了本文 研究的模型，推导了普遍的具有质量偏心的刚性圆盘和空间梁单 元的动力学控制方程及其系数矩阵的解析表达式。 第四章柔性转子系统动力学控制方程。通过组集刚性圆盘单元和转轴， 推导了转子系统的动力学控制方程和系数矩阵的解析表达式。 第五章 柔性转子系统动力响应的计算和分析。介绍了动力响应求解的几 种基本方法，并利用数值积分方法中的砌a r k 且对柔性转子系 统动力学控制方程进行动力学仿真，给出了系统的动力响应曲线 并进行了分析。 第六章 总结与展望。总结全文，指出了需要进一步研究的课题。 柔性轴一转子系统动力学研究 第二章柔性转子系统动力学基础 由于本论文将应用多柔体系统动力学的理论“3 1 和有限元法“3 结合推导转子 系统的动力学控制方程，所以有必要简要介绍一下有关的基础理论。本章将简要 介绍柔性体上任一点的状态描述以及坐标变换，柔性多体系统动力学控制方程的 一般形式等相关知识。 2 1 柔性体上任一点的状态描述 柔性多体系统动力学研究由可变形物体以及刚体所组成的系统在经历大范围 空间运动时的动力学行为，与人们所熟悉的多刚体系统动力学合称为多体系统动 力学。多刚体动力学是以系统中备部件均抽象为刚体，但可以计及各部件联结点 处的弹性、阻尼等影响为其分析模型的，而柔性多体动力学则在此基础还进一步 考虑部件的变形。粗略地说，多刚体动力学侧重“多体”，多柔体动力学侧重“柔 性”，研究物体变形与其整体刚性运动的相互作用或耦合，以及这种耦合所导致的 独特的动力学效应。变形运动与刚体运动的同时出现及其耦合正是柔性多体系统 动力学的核心特征。 在分析刚体运动时，采用运动分解方法，把复杂的刚体运动分解为几种简单 运动。例如，若过刚体的任点建立一个坐标轴始终与惯性参考系对应坐标轴平 行的移动坐标系，则刚体运动可分解为随动坐标系的移动和相对于动坐标系的转 动。在多刚体系统运动学分析时，通常又在各刚体上建立一个固连于该刚体的参 考系，称为连体坐标系，以此坐标系相对于移动参考系的转动表示刚体的相对运 动。对于柔性体的运动，特别是小变形情况，也可以采用类似的办法，将柔性体 的运动分解为整体( 即刚性) 运动和变形运动两部分，例如，在柔性体的某微元 上建立一个移动参考系，于是柔性体的运动视为随动参考系的牵连运动和相对于 该动参考系的相对运动的合成运动，这也相当于将柔性体运动分解为其未变形情 况下的刚性运动和相对于未变形物体的变形运动的合成。 根据以上的分析，我们只要对所考察的柔性体建立一个动参考系，把柔性体 空间任意运动分解为随动参考系牵连刚性运动和相对于动参考系的变形运动，则 当柔性体作空间任意运动时，其上任一点的位置、速度和加速度就不难求到。 如图2 1 所示，柔性体上任一点的位置向量为 = r 。+ a u = r 。一十a ( u 。一+ u f ) ( 2 1 ) 式中，r o 为动坐标系0 1 x y z 原点0 的位置向量，a 为动坐标系o x y z7 向整体惯性 第二章柔性转子系统动力学基础 坐标系o x y z 的旋转变换矩阵，u 为p 点相对于动坐标系的位置向量，u 为未变形 时的位置向量u 。，与变形引起的位移向量u ，的迭加。 相对变形位移向量u ，可以用不同方法离散化，例如，经典的瑞利一里兹 ( r e y l i e g h r i t z ) 法、有限单元法和模态分析及综合法。本文将采用有限单元 法进行离散化。在用有限单元法近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位 移，是由有限多个单元节点位移，通过各单元的形函数来描述的，从而实现无限 多自由度的离散。于是，柔性体某单元上任一点p 的位移向量u ，可表示为 u f = q f ( 2 2 ) 式中，n 为该单元的变形模式( 或假设位移场) ，称为单元形函数，q f 为该单元的 节点位移向量。在将所有单元组集后，物体上所有节点的位移向量，就构成了该 物体的弹性广义坐标。 柔性体上任一点p 的速度向量，可以将位置向量式( 2 一1 ) 对时间求一阶导数 得到。即： r p = r 。+ a u 。+ a u = r 一+ a u + a q f ( 2 3 ) 将速度向量式( 2 3 ) 对时间求导，可得到加速度向量。 x 图2 1 柔性体上任一点的位置向量 2 2 有限元法坐标变换 由上一节知道，对柔性体的离散化一般采用三种方法，而本文将采用有限元 法。因为有限元法可以将具有复杂形状、边界条件和裁荷的物体，化整为零，分 割为有限数量、有限大小且具有一定规则形状的单元，使得对每个单元的变形模 式的选取变得非常容易。柔性多体系统动力学控制方程用有限元列式表示时，首 先需要建立单元、物体和整体坐标系间的变换关系，因此，本节将讨论各坐标系 间的变换关系。 柔性轴一转子系统动力学研究 u 图2 2 柔性体有限元划分图 图2 2 所示为某i 物体的有限元划分图，o x i y z l 为i 物体坐标系，o “x ”y “z ”为 i 物体上第j 个单元的单元坐标系，与结构力学中有限元单元坐标系相同，它不是 浮动的，而是与单元上某点邻域的微元固连的。0 x y z 为整体坐标系。 设j 单元上任一点的位移向量铲，可以用该单元的节点位移向量e ，通过在 单元坐标系下单元形函数n “表示为 了：n p ( 2 4 ) 式中( - ) 表示在单元坐标系下描述的向量。设u 。为该点在i 物体坐标系o x l y l z l 下 的位移向量，则u 。与一间的变换关系为 u f = 1 ； ， 式中吖为向量铲从单元坐标系到物体坐标系的变换矩阵， 矩阵。于是式( 2 5 ) 表为 u f = 群n f 而单元节点位移向量；”变换到物体坐标系下，有 ( 2 5 ) 在三维情况下为3 3 ( 2 6 ) e ”= 叫e f ( 2 7 ) 式中e ”为在物体坐标系下的j 单元节点位移向量，i ；| 为节点位移向量在单元坐标 系和物体坐标系下的变换矩阵，其维数等于单元节点自由度总数，例如对于空间 梁单元为一个1 2 1 2 的矩阵。于是 u f = 斟n 硝e ” ( 2 8 ) 此处王憎“掣是在物体坐标系下，对应单元节点位移向景的形函数。 将j 单元组装到i 物体中去时，单元节点位移向量要按i 柔性体上所有单元 节点重新排序，即有 e f = d q ； ( 2 9 ) 第二章柔性转子系统动力学基础 式中掣为布尔( b 0 0 1 e ) 指示矩阵，其元素不是零就是1 ，q ；为j 柔性体的节点位 移向量，于是 ( 2 1 0 ) ( 2 一1 1 ) 为在物体坐标系下的有限单元形函数，它对应i 物体节点位移向量q ；。为了统一 起见，把节点位移向量q ；称为该节点坐标向量，它也就是描述物体变形的广义坐 标。 2 3 柔性多体系统动力学控制方程的一般形式 2 3 1 柔性多体系统动力学控制方程的特点 柔性多体系统动力学问题的主要特点是，系统中的柔性体部件在运动过程中 经历着大的刚体整体移动和转动，同时又有变形运动，而且这两种运动又是高度 耦合的。它不像多刚体系统动力学分析的那样，只要动参考系选定，诸如惯性张 量等都是不随时间改变的量。而在柔性体情况下，除了那些只与选定的变形模式 有关的量不随时间而变外，包括惯性张量等在内都是随物体变形而变的，它们都 是时间的函数，这就大大增加了问题的复杂性。在建立系统动力学控制方程时， 可以采用不同的原理和方法“”，例如，牛顿一欧拉法，该方法是在向量力学的基 础上，用动量定理描述柔性体的移动，用动量矩定理描述柔性体的转动，且这两 方面都包含柔性体的变形运动。还有就是基于高斯原理即极小原理的方法，它开 辟了一条不必建立运动方程而直接用优化方法进行动力学分析的新途径。再有是， 在虚位移和达朗伯原理基础上演变出的拉格朗日方程，它是以标量力学为其主要 特征，通过引入动力学函数建立起系统的动力学控制方程“”。 另外，在多体系统中对运动的描述，可以用绝对描述，即将系统中各物体的运 动交量，直接在惯性坐标系描述，也可以用相对描述，即分别建立各物体的动参 考系，将物体的运动分解为刚性整体牵连运动和相对动参考系的变形运动两部分， 然后直接应用相对运动变量来建立运动方程。 本文所采用的方法是用拉格朗日方程导出自由柔性体动力学方程，然后通过约 束和边界条件的处理得到系统的动力学控制方程。系统中各柔性体在每时刻的位 移，用两组广义坐标描述，即描述动参考系及弹性变形的两组广义坐标。动参考 系的广义坐标描述该柔性体跟随动坐标系的移动和转动，而弹性广义坐标是描述 该柔性体对于该动参考系的相对变形运动“。 由于弹性体都具有无限多自由度，动力学问题的精确解是无法得到的，因此 通常都是将其离散成有限自由度作为近似分析模型。对常见的弹性变形广义坐标， q 掣 = 唾 。u u 霹 一掣 f v n n 耳 掣 = = 一 一 中式 柔性轴转子系统动力学研究 有以下几种离散化方法：经典的瑞利一里兹( r e y l i e g h r i t z ) 法，模态分析及 综合法和有限单元法。因为有限单元法可以将具有复杂形状，边界条件和载荷的 物体，划整为零，分割为有限数量、有限大小且有一定规则形状的单元，使得对 每个单元的变形模式的选择变得非常容易，所以本文将采用有限单元法进行离散 化，并在此基础上列写柔性多体系统的动力学控制方程。 2 3 。2 自由柔性体的动力学控制方程 拉格朗日方程。“的表达式为 罢0 一薏咄捌a ，” 1 2 ) 其中t 为系统的动能，g 为对应全部主动力的广义力，吼为系统的广义坐标，n 为广义坐标的个数。 首先，将拉格朗曰方程写成矩阵形式为 丢蒈一鼍= q c z 1 3 ) 式中 q = 一k q + q f ( 2 一1 4 ) 其中q ，为作用于柔性体上，除变形引起的弹性力以外的全部主动力的广义力， 一k q 为弹性力对应的广义力。 又柔性体的动能可以表示为 丁= 丢p ( 订( 和y = 丢( j ) 7 m ( ；) ( 2 _ 1 5 ) 其中；，为柔性体上任一点在惯性坐标系下的速度向量，m 为质量矩阵。 将动能表达式代入拉格朗日方程得 m ；+ i 一晏( 去j 7m ；) + k q ；q ， ( 2 一1 6 ) d qz 令 q 。= 一“杀fm 如 协1 7 ) 称q 。为与速度二次项有关的广义力，从相对运动学的角度看，q ，相当于离心惯 性力和陀螺力( 包含科氏惯性力) 。于是可得： 第二章柔性转子系统动力学基础 m q + k q = q f + q v ( 2 1 8 ) 上式就是自由柔性体的动力学控制方程。但是，为了以后计算柔性体动力响应的 方便，一般将式( 2 1 6 ) m 4 巅j 一击( m 打k q - q ， 变形为： m ；+ 嶂f 等“k q _ q ， ( 2 - 1 9 ) m “( 一g 罢) “k q ；q ， ( 2 - 2 0 ) z 阋 m q + m 。q + k q = q ， ( 2 2 1 ) 式中m = m l + m 2 ( 2 2 2 ) 其中m 1 = m ( 2 2 3 ) 血：= 一f 筹 z a ， 只要将方程式( 2 2 1 ) 中的系数矩阵m 、州和k 求出，即可得到物体的动力学控 制方程。柔性多体系统的动力学控制方程是强耦合、强非线性方程，这种方程的 求解目前只能通过计算机用数值方法进行。本文中柔性转子系统的动力学控制方 程，就是利用上述各式进行求解的。 2 4 小结 本章重点推导了柔性体上任一点的位置向量、速度向量和加速度向量的表达 式。因为本文采用有限元方法进行离散化，所以接着又讨论了整体惯性坐标系、 物体坐标系和单元坐标系之间的变换关系。最后，给出了柔性多体系统动力学控 制方程的一般形式。柔性多体系统的动力学控制方程是强耦合、强非线性方程， 这种方程的求解目前只能通过计算机用数值方法进行。 柔性轴一转子系统动力学研究 第三章柔性转子系统动力学建模 一个典型的转子系统通常是由一些离散的叶轮，具有分布质量及弹性的轴段 和轴承座等部件组成。可以沿轴线把转子系统分为圆盘、轴段和轴承座等单元， 各单元彼此在节点处赋结。这些节点通常选在圆盘的中心，轴径的中心及轴线的 某些位置上，并按顺序编号。本章将重点建立具有质量偏心圆盘和轴段的动力学 模型，并推导圜盘和任一轴段的动力学控制方程。 3 1 1 阻往的模型 3 1 柔性转子系统模型的建立 因为柔性转子系统模型比较复杂，所以以往的研究都对实际的转子作了许多 的假设，并且是单独分析某种因素对系统的影响，而没有考虑各种因索的综合影 响。历史上比较典型的转子模型是j e f f c o t t 转子模型，现今许多的理论结果都是 在该模型的基础上得到的。j e f f c o t t 转子模型是在跨中装有一个刚性薄圆盘的等 宜轴，为了消除重力的影响，转子垂直地安装在两个轴承内。分析中把轴看作具 有一定弯曲刚度和无限大扭转刚度，并且不计及轴的质量；把轴承简化成铰，并 且认为它的基座是刚性的。由于作出了上述种种假设，所得到的分析结果显然不 可能充分反映实际转子的复杂的动力学性质。同时，以往在推导系统的运动方程 时，是基于向量力学的理论，用动量定理描述系统的移动，用动量矩定理描述系 统的转动。 3 1 2 本文的模型 本文建立的模型，将综合考虑轴的质量及轴的扭转，拉伸变形和圆盘的宽度 对系统运动的影响“3 ，同时也作一些假设：两端的支承为嚣性支承；不计柔性转子 系统的内阻和外阻；不计转子系统的重力和初始静挠度的影响。本文将在该模型 的基础上，应用柔性多体系统动力学的理论将拉格朗日方程与有限元法相结合推 导系统的动力学控制方程，重点推导轴段和具有质量偏心圆盘的动力学控制方程。 3 2 圆盘的动力学控制方程 3 2 1 单元的划分和坐标系的建立。”4 转轴在静止状态时的位置如图3 1 所示， 转轴在静止状态时的位置如图3 1 所示， 两端支承中心的连线与圆盘的几何 两端支承中心的连线与圆盘的几何 第三章柔性转子系统动力学建堪 中心交于o ：点，圆盘的质心到o 。点的偏心距为e ，圆盘的半径为r ，质量为物， 密度为p = p ( x ，y ，z ) ，转轴分为n 个单元，n + 1 个节点，不失一般性，圆盘位 于其中某个单元的节点2 上，各单元的节点位移向量如图3 2 所示。 y q f l 4 图3 2 转轴单元划分 变形后某一瞬时的位置如图3 3 所示，根据变形的特点建立以下5 个坐标系： 整体惯性坐标系0 x y z ，o z 轴通过两支承中心的连线。 固结于转轴上的连体坐标系o x 。y 。z 。( 物体坐标系) ，o z ，轴与o z 轴重合， 并且两坐标系的原点也重台，只是o ，x 轴和o 。y 。绕着o z 轴转动。 固结于圆盘上的连体坐标系o 。x 也z 。，原点o z 为圆盘与转轴的交点，各坐 标轴与物体坐标系o ，x 。y 。z ，静止时的各相应的坐标轴平行。 固结于圆盘上的连体坐标系0 3 x 。y 3 z ，( 质心坐标系) ，原点o 。为圆盘的质 心，各坐标轴与坐标系o 。x 。y 2 z 。的各相应的坐标轴平行。 固结于圆盘上的连体坐标系0 4 池y 。z ( 主惯性轴坐标系) ，原点o 。与原点 0 3 重合，各坐标轴为圆盘的主形心惯性轴。 柔性轴一转子系统动力学研究 图3 3 某瞬时圆盘的位置 3 2 2 圆盘上任一点p 的位置和速度 r d = a 【u + w ( e + r 3 ) + ( e + r ，) 1 ( 3 一1 ) b = d r 4 ( 3 2 ) u = u o + u f ( 3 3 ) 。：慝慧：l 是物体坐标瓢础函到整体惯性坐标系僦的坐标变换矩 l oo 1 j u 0 _ 【o o a 】1 转轴未变形时坐标系o z x j z z 。的原点o z 在o - x i y t z - 中的位置向量。 u ，一坐标系0 。x 。y 。z 。的原点0 。在o 。x 。y ，z ，中的变形向量，即梁单元节点的线位移向 第三章柔性转子系统动力学建模 旷斟 o q mq m w = q = iq 。 o q i 是坐标系o 。x 。y 。z 。到物体坐标系o ，x ，y ，z 。的坐标变换矩 l q n 2 qn 1 oj q 链 e = e 。e ，e ： 7 是圆盘质心在坐标系0 2 ) 【2 y 2 z 。的位置向量。 r 。= 【x ，y ，z ，】是圆盘上的点p 在质心坐标系o a x a y a z 。中的坐标向量。 h = x 。y 。z 。】t 是圆盘上的点p 在主惯性轴坐标系吼x t y t z t 中的坐标向量。 i a 1 1 a 1 2a 1 3l d = la ：a 2 2a 2 3i 是惯性轴坐标系o ) ( 4 y z 一到质心坐标系o a x 。y 。z a 坐标变换矩阵，d l a 3 1 a 3 2 a 3 3 j = 五【u + w ( e + b ) + ( e + b ) 】+ a + 亩( e + b ) 】 = a u + q ( e + b ) + ( e + b ) 】+ a u f + q ( e + b ) 】 ：b “a t + r 6 = 【b 4 r 】 e u f q 式中 b = a 。【u + 砭( e + r 3 ) r = 一a ( 丽) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 1 8 3 2 3 圆盘的动能 氐：坠： 。 圆盘的动能表达为 柔性轴一转子系统动力学研究 s i n ec o s eo c o s es i n 0o oooj 瓦= 圭户( ) 7 e d 矿= 圭( 琉) 7 m 。五 r 1 t 式中 吼2 l o u f q j 为圆盘的广义坐标对应的广义速度 式中：u f = jq 。；一 ；。 76 = i 。 ；。： i 。 q b q nq = fq n lq n 2 q n o jlj b 7 bb 7 ab 7 r 1 m d = l a t ba t aa t rp 矿= r 7 br ar 7 ri 其中用到了 m d = rm l 。m l ： m 2 1m 2 2 l m 3 i m 3 2 l1 a 1 a = io o 1 a e l a 。= fo o l o a e l a = i l o o o lo o o 1o 0 0 0 o 。e o = e b 1 bb 7 a a 7 a 对称 m 1 2 m 2 2 ( 3 7 ) ( 3 8 ) m d 为质量矩阵 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 一1 2 ) ( 3 1 3 ) 矿 卜 n n 蕈 。l = 1，llj ” m m m 瓠 们- _ = 1 第三章柔性转子系统动力学建堪 3 2 4 质量矩阵 由上节可知m 。中各子块的表达式都明显地与物体的广义坐标有关，从整体 说，质量矩阵是时变矩阵。在数值分析时，必须在每一时间步长上迭代求解。但 对质量矩阵的进一步分析发现，其中某些子块，或子块中的某些元素与时间无关， 而有的子块只要选择适当的坐标系，也可以简化甚至消失。下面具体地求解，以 便尽可能地在预处理程序中一次性地把它们求出来，从而使圆盘运动微分方程的 求解迭代过程变得更为简单，提高求解的效率。下面求解质量矩阵中的6 个子块 的详细列式。 ( 1 ) m l l = u + 石( e + r 3 ) + ( e + b ) 1 e 。【u + 石( e + r 3 ) + ( e + r 3 ) 】p d y = u 7 e 。印秽+ 2 l u 7 e 。石( e + r 3 删y + 2 l u 7 e 。( e + r 3 ) p c f 矿 + l ( e + r 3 ) 石7 e 。酥+ r 3 聊y + 2 ( e + r 3 ) 7 茸e 。( e + b ) p d 矿 + j ：，( e + r 3 ) 1e o ( e + b ) 彬y = m ：。+ m ：+ m i ，+ m ：十m i 。+ m j ( 3 1 4 ) 其中 m ：l = j ：，( u 。+ u f ) e 。( u 0 + h r ) y = ( u o + u f ) 1 e o ( u o + u f ) frj 口d 矿= ( u n + u f ) 7 e o ( u o + u f ) m p = ( u 0 7 e o