（基础数学专业论文）逆半群强半格的若干性质.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特n d i - 7 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，c ! 不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在沦文中作了明确的说明并表示谢意。 繇支，俩 翮签字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本八授投堂 越可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫拙等复制手段保存、汇编学位i = 仑文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权二一) 一躲则有 翮箨移炒 签字目期：2 0 0 年月 日签字日期：2 0 0年月日 矿专 山东师范大学硕士学位论文 逆半群强半格的若干性质 刘清 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文，我们主要是讨论逆半群的表示与其强半格的表示之间的关系，并给出了 强半格表示的直和形式除了对逆半群表示的研究，本文还讨论了逆半群的半直积 与其强半格的半直积之间的关系具体内容如下： 第一章，给出引言和预备知识 第二章，主要是讨论逆半群的几种比较常见的一一表示与其对应的强半格上的 表示之间的关系，并给出了这几种表示的直和形式主要结沦如下： 定理2 1 2 设有逆半群强半格s = 骱& ，壬。，0 1 ，令 1 ：s 。_ j ( s o ) ，n h 峨 职：。一1 啊& a ，z 卜z o w ：s _ j ( s ) ，o 卜“， w 。：s a 一1 - + s a ，z 卜x a 则w 1 s 。= 肌0 ( 0 ( w i s o ) s p ) 卢曼a 即v a & ( y ) ，v x s a ，有 w 。：f 。吩，。6s 。一1 n 品， z w 售，z s a - 1 n 昂，( v 口a ) ， 其中b = 。m 。口( v 口曼) 定理2 1 5 设s = 盼s 。，圣。，胡是& 的强半格，则s ”是s ( o y ) 的强半格 定理2 2 2 设有逆半群强半格s = y ；s 。，圣邮 ，令 如：& _ 壬( 玩) ，a 卜醒， 6 ： n 一1 】n 如- a - i n b ，e 卜a - i e n d ：s - 4 垂( e ) ，ne - 铲， 驴： o o 1 】_ 凸。口1 ，e ha - te a 则d k = 如0 ( o ( j k ) 却) 些查堕蕉盔堂堕主堂焦堡窒 即v 。& ( n y ) ，v e 【n d 一1 】有 e d 。：f8 骱5 e a ， e 鸥，z e s ，( 即兰a ) 其中b = 口面。，f ( v 口“) 定理2 3 2 设有逆半群的强半格s = y ；，口 ，令 艮s om ( s 。) ，a 卜目：， 鲤n & 一1 甘c t - i n ，$ 一a - - 1 x a 口：s _ 皿( s ) ，o 俨， 驴：a s a 一1 - + 一s a ，z 卜f z - - 1 z o 则目k = 船0 ( 0 ( 口k ) 岛) 日曼a 即v a 沁，) v z a s a 一，有 。口。= f 。e 袅，2 “s 。一1r l s a ， 。z 。a s a n s s ，( 即n ) 其中b = 。垂。，口( v p 曼) 定理2 4 7 设有逆半群强半格s = 旷；晶，壬郇 ，p ( s ) 是s 的所有子集合构成的 集合，且其运算满足对称差运算：v a ，b p ( s ) a0 b = ( a u b ) 一( a n b ) 即p ( s ) 在此运算之下形成群令 厶：_ t 厂( p ( 品) ) ；s 臂 嚣：m f ( s ) _ m ? ( s ) ；a 卜a s ，：s _ j ( p ( s ) ) ；s 卜厶 ：尬( s ) - 尬( s ) ；a 卜a s 其中岬( s ) = f a p ( s c , ) l a s s 。= a ) ， m ? ( s ) = ( a p ( s 。) i | 4 s 。s = a ) ， m 1 ( s ) = a p ( s ) l a s s 。= a ) ， m 2 ( s ) = 4 p ( s ) i a s 。s = a ) 则，i s 。= 厶0 ( 0 ( ，k ) 昂) 声! o 即v s ， c a 尬( 3 ) 有： a s , ： a 冀a5 m 1 ( 5 ) n p & ， 4 ，4 m 1 ( s ) n 尸( 5 s ) ，( v p ! 。) 2 山东师范大学硕士学泣论文 其中t = 如郇( 即a ) 定理2 4 1 0 设s = y ；s 。，圣。，口 是矗的强半格，则s ，是s 争( d y ) 的强半格 第三章，主要是讨论逆半群的多值自同构表示与其强半格上的表示之间的关 系，主要结论如下： 定理3 1 5 设有逆半群强半格s = 阶乳，圣郇妒( s ) 是，s 的所有子集合构成的 集合，且其运算满足对称差运算，0 ( p ( s ) ) 是由_ p ( s ) 产生的多值自同构的集合， 0 ( p ( 矗) ) 是由p ( 岛) ( 地r ) 产生的多值自同构的集合，f s s ，a ，口尸，a = ua j ，b = ub z ，a j s ，b t s 。：“= l ，2 ，一，7 z ，j = 1 ，2 ， ，p ) ，9 芋q ( p ( s 。) ) ( v f o ：ef y ) ，g 。0 ( p ( s ) ) ，则存在某个集合h 使得 【a ，b ) g s 甘( a t ，鼠j 蘸， 其中磷q ( p ( s 。) ) ，t ，= s 壬。；日 第四章，主要是讨论逆半群的半直积与其强半格上的半直积之间的关系主要 结论如下： 定理4 7 设逆半群s = ( y ；，壬即) ，皇如，g 。陋y ) ，其中& 是半格，g 。 是群，瓯，吼是g 。作用之下玩的半直积，e = u 既；g 是群若( v ney ) a 。 是群g 的子群，v a 三p 存在一个的同态映射矗，口：g 。_ g 口，满足： ( 1 ) 9 。8 口= ( 鼬矗，。口) ( 即由”口) ( v 9 g ，e & ) ， ( 2 ) ( 啦矗，口) ( e 。西“，口) = ( 如e 。) 西n ，口， 则ex ，g = ，9 ) 既瓯j e = u 玩，瓯sg 是g 作用之下e 的半直积，进 a r 而s 竺ex ，g ， 关键词：逆半群的强半格，表示，w a g n e r 表示，m u n n 表示，共轭包表示， 多值自同构表示，局部自同构表示，半直积 分类号：0 1 5 27 3 些查塑蔓盔堂堡堂焦丝皇 s o m ep r o p e r t i e so ns t r o n gs e r n i l a t t i c e o fh l v e r s es e m i g r o u p s l i u q i n g t h ei n s t l t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn m 。m a lu n i v e r s i t y 3 i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p - r - c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec h a r a c t e r i z et h er a l a t i o n o ft h er e p r e s e n t a t i o n so na s t r o n gs e m i l a t t i e eo fi n v e r s es e m i g r o u p sa n dt h er e p r e s e n t a t i o n so ne a c hi n v e r s e s e m i g r o u p ；b e s i d e s ，w eg i v et h es u mo fr e p r e s e n t a t i o n o fi n v e r s es e m i g r o u p s ；f i n a l l y ， w ed i s c u s st t l er a l a t i o no ft h es e m i d i r e c tp r o d u c to nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fi n v e r s e s e i n i g r o u p sa n dt h es e m i d i r e c tp r o d u c to i l e a c hi n v e r s es e m i g r o u p s t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z et h er a l a t i o no ft h ef a i t h f u lr e p r e s e n t a t i o n so n as t r o n gs e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p sa n dt h ef a i t h f u lr e p r e s e n t a t i o n so ne a c h i n v e r s es e m i g r o u p s ；b e s i d e s w eg i v e t h es u mo fr e p r e s e n t i o no fi n v e r s es e m i g r o u p s t h e o r e m2 1 2l e ts = y ；s d ，西。，口 b eas t r o n gs e m i l a t t i c e o fi n v e r s e s e m l g r o u p s ， 1 ：s 。js ( s 。) ，n h 职 职：& n 一1 _ & o ，z z 血 w ：s 寸j 够) ，a 卜w 。 w “：s n “寸s 盘石时5 g a t h e nw l s 。= 眠o ( o ( wk ) s o ) i e ，i f v a s o ( y ) ，z s a 一1 ，w eh a v e 。w 。：f 。职，n 叉， z 矸售，s a 一1f l 昂，( v 卢o ) ， w h e r eb = n 口( v 卢5 ) t h e o r e m2 1 5l e ts = y ；s 。，哦，口 b eas t r o n gs e m i l a t t i c eo f i n v e r s e s e m i g r o u p s ，t h e ns wb eas t r o n gs e m i l a t t i c eo fs 黔( d y ) 4 山东师范大学硕士学位论文 t h e o r e m2 2 2l e ts = y ；& ，圣口 ， d 。：s 。_ 垂( k ) ：a d ：， 鹾： a a 。 n r - a - - 1 a n 风：e a - 1 e a ， d ：s - 3 西( e ) ，o 卜扩， d 。： o o 。 _ a - 1 0 ，e a - 1 e a t h e nd 晶= 如o ( o l 乳) 南) i e ，i f v a s a ( o l y ) ，e o , a 一1 ，w eh a v e e 酽：f8 醒，8 玩， e d 3 ，z e 口，( v 卢s 。) ， w h e r eb = n 垂n ，口( v 卢) t h e o r e m2 3 2l e ts = y ；s 0 ；吼，乩 0 。：s _ ( s o ) ，a 一日：， 毂：口& a 一1 - 手a - 1 s 。a ，ze - + a - 1 x a ， 0 ：s _ 电( s ) ，a 卜0 0 ， 0 。：a s a 一1 矗a - 1 s a z 日a - 1 z a t h e n0j = 目a o ( o ( 0j & ) 岛) i e ，i f v a s o ( 耻y ) ，z a s a 一1 ，w eh a v e z 目。：f z 鳃，z 。s n - 1n & ， z 目3 ，。a s a 一1 n ，( v 卢。) ： w h e r eb = a q ) 。、口( v 卢! 。) t h e o r e m2 4 7l e ts = y ；叉，m 。，口 ，t h es e tp ( s ) o fa l ls u b s e t so fsi sa g r o u pu n d e rt h eo p e r a t i o no f s y m m e t r i cd i f f e r e n c eo fs u b s e t si e ，v a ，b p ( s ) ao b = ( a ub ) 一( anb ) ， l e t 厶：s q 叶j ( 尸( 咒) ) ；s 时圩， 嚣：m f ( s ) - - + n 鸳( s ) ；ah a s ， ，：s - - + ，( p ( s ) ) ；sr 正， 兀：尬( 8 ) _ 尬( s ) ；a a s ， 5 山东师范大学硕士学位沦文 w h e r e n d ? ( s ) = 4 p ( 咒) l a s s 一1 = a ) m 芋( s ) = a _ p ( 5 0 ) l a s 。s = a ) m 1 ( s ) = aep ( s ) i a s s 。= a ) ， 尬( s ) = aep ( s ) l a s 。s = a ) t h e n fj 岛= 厶o ( o ( fj 昆) 岛) i , e ，i f v se & ，a m 1 ( s ) ，w eh a v e 4 厶： a 冀1 a 尬( 8 ) n p ( & ) ； a 芹，a m 1 ( s ) n p ( 函) ，( v 卢兰n ) ， w h e r et = s 西。，口( v 卢0 = ) t h e o r e m2 4 1 0l e ts = ；& ，西a ，口 b eas t r o n gs e m i l a t t i c eo fi n v e r s e s e m i g r o u p s ，t h e ns ，b eas t r o n gs e m i l a t t i c eo f 蹬( o y ) i nc h a p t e r3 ) w ec h a r a c t e r i z et h er a l a t i o no f t h em u l t i a u t o m o r p h i s mr e p r e s e n r a t i o n so nas t r o n gs e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p sa n dt h em u l t i a u t o r n o r p h i s n l r e p r e s e n t a t i o n so ne a c hi n v e r s es e m i g r o u p t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m3 1 5l e ts = y i & ，西。，f 】，t h es e tp ( s ) o fa l ls u b s e t so fsi s ag r o u pu n d e rt h eo p e r a t i o no fs y m m e t r i cd i f f e r e n c eo fs u b s e t s i e ，i fv a ，bi f _ p ( s ) ，aob = ( a ub ) 一( anb ) l e tq ( p ( s ) ) i st h es e to f a l ls u n s e t so fm u l t i a u t o m o r p h i s mo fp ( s ) ，q ( p ( - 咒) ) i st h es e to fa l ls u n s e t so fm u l t i a u t o m o r p h i s m o fp ( & ) ：v se s ，a ，bep ( s ) ，a = ua i ，b = ub i ，a jcs ，b i & 。：( i = 1 ，2 ，一，n ，j = 1 ，2 ，一，p ，) ，g ；q ( p ( s o ) ) ( v el y 7 y ) ，g ，0 ( p ( s ) ) t h e nt h e r ei ss o m es e thw h i c hs a t i s f yt h ef o l l o w i n gr e s u l t ( a ，b ) g 。甘( a i ，日。) 9 茂 w h e r e g ：q ( p ( s 。，) ) ，= s 西。m ， v 。eh i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h er a l a t i o n o ft h es e m i d i r e e tp r o d u c to nas t r o n g s e m i l a t t i c eo fi n v e r s es e m i g r o u p sa n dt h es e m i d i r e c tp r o d u c to ne a c hi n v e r s es e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m4 7l e ts = ( y ；s d ：西n ，口) b et h es t r o n gs e m i l a t t i c eo fi n v e r s e s e m i g r o u p s ，s u p p o s et h a ts “i si s o m o r p h i ct ot h es e m i d i r e e tp r o d u c to f 玩b y g ，。y ，w h e r e 玩i sas e m i l a t t i c e ：gi sag r o u p ，e = ue qi f v eg oi st h e 6 些查竖薹盔堂堕圭堂堡鲨壅一 s l l b g r o u po fg r o u pg 二v 。口rt h e r e i sah o m o m o r p h i s m 矗，芦：g d g 口，i t s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ( 1 ) 夕q 8 口= ( 乳矗，。口) ( e b 壬”口) ( 坳g ：e ) ， ( 2 ) ( 9 。矗，p ) ( e a q ) 。，口) = ( 驰e n ) 西n ，口 t h e ne ，g = f ( e ，9 ) 既g 口i 层= u 玩，g n g ) i sas e m i d i r e c t d r o d u c to feb yg f u r t h e r l y ，s 竺e ，g k e y w o r d s ：as t r o n gs e m i l a t t i c so fi n v e r s es e m i g r o u p s ，r e p r e s e n t a t i o n ，w 8 9 n e rr e p r e s e n t a t i o n ，m u n nr e p r e s e n t a t i o n ，c o n j u g a t er e p r e s e n t a t i o n ，l o c a la n t o m o 。 d h i s my e p r e s e n t a t i o n ，m u r i - a u t o m o r p h i s mr e p r e s e n t a t i o n ，s e m i d i r e c t p r o d u c t c 1 a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 27 7 i 东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 5 1 1 引言 半群是含有一个代数运算且满足结合律的代数系统一个世纪以来，它已发展 为代数学的一个重要分支，其理论作为一门工具已被广泛应用于许多科学领域，而 半群的半格结构作为多种半群的结构也更加受到重视文献【9 1 一 1 2 已对半群的半格 作了比较深刻的研究，半群的半格理论也渐趋于系统化本文主要讨论逆半群强半 格上的表示及半直积 半群的强半格是一种具有良好性质的半群，它是以结构同态作为纽带把一族非 交半群通过一个半格组合而成的一种构造c l i f f o r d 最早在文献 4 ( 1 9 4 1 ) 中提到了 强半格的结构，并给出了群的强半格亦即c l i f f o r d 半群的等价条件的定理以及”每 个完全正则半群都是完全单半群的半格”的重要理论后来，p e t r i c h 在文献【3 】申 明确定义rq = | 圭群的强半格”，及”完全正则半群”之后又在文献【1 j 中给出了由集 合的部分一一变换所产生的表示的定义，并进一步给出了逆半群的”w a g n e r 表示” ”m u n n 表示”，”共轭包表示”的定义，b o r i s m 和s c h e i n 在文献 5 中给出了”局部 自同构表示”及”多值自同构表示”的定义，并给出了一些重要的结论具体内容 如下： ( 1 ) 每个逆半群都同构于由部分一一变换所构成的逆半群的子半群 ( 2 ) 每个逆半群都同构于由群产生的局部自同构所构成的逆半群的子半群 ( 3 ) 每个逆半群都同构于由群产生的多值自同构所构成的逆半群的子半群 另外，w i l l i a m r n i c o 在文献f 6 1 中给出了含幺半群的半直积的定义，并给出了 一些相关的性质 有关半群的的强半格的理论已有很大发展，本文将以上述重要结果为参考，研 究逆半群强半格上的表示与各个s 。上的表示之间的关系同时还研究逆半群强半 格上的半直积与各个s 。上的半直积之间的关系 5 1 2 预备知识 本文主要是讨论逆半群的几种常见的表示与其对应的强半格上的表示之间的 关系，并给出了这几种表示的直和形式除了对逆半群表示的研究，本文还将讨论 逆半群的半直积与其强半格的半直积之间的关系 为了以后应用方便，先介绍下面的概念和引理： 8 山东师范大学硕士学位论文 半群是含一个二元运算且满足结合律的集合半群s 中的元n 称为正则的，如 果存在z s ，使得a 3 ：t 2 = o ；半群s 称为是正则的，如果s 中的所有元都是正则元； 如果半群s 中的元n 满足n 2 = 。，则称。为幂等元如果s 是正则半群，且e 是s 中幂等元的集合，v a s ，v e e ，有o , e = e 0 则称s 为c l i f f o r d 半群设s 是半群， 如果v a s ，存在唯一的n s ，使m o = o ，n 7 n o7 = n ，则s 称为逆半群半群s 到半 群t 的映射妒称为同态，如果对所有的。，b s ，有( o 妒) ( 6 妒) = ( 0 6 ) 妒如果同态妒既 是单射，又是满射，则称妒是同构设s 是逆半群，e ( s ) 为s 的幂等元集，如果 v e e ，s s ，则e s e 辛s e ，或者s e e 辛s e ，则s 称为e 一酉逆半群 设s 是半群，如果v a s ，s a u n ) 称为是由n 生成的主左理想，记作s ，n 类似 的n s l 称为是由n 生成的主右理想如果v a ，b s ，。l 6 甘s l a = s 1b ，关系l 是s 上的 等价关系如果v a ，b s ，a r b 讳a s l = b s - ，关系月是s 上的等价关系 设x 是一个集合，j ，是x 的子集合，令ay _ x 的映射，则称a 是集合x 上的部分变换y 是。的定义域，记为出，集合f z xf = z ，如y l 是a 的值 域，记为m 若a ：y _ x 是单映射，则称a 是集合x 上的部分一一变换 定义111 1 1 】设y 为半格，v o 一为半群，当o p 时，& n 岛= 0 ，令 s = u 叉，且适合以下条件： y 1 ) 对。，口f 。口，存在同态，口：最- 品； 2 ) 如果p 三7 ，贝0 。，口目，7 = 。，1 ； 3 ) 扎，o = i s 。，v 。i t ； 对v a & ，v b 昂，定义。b = ( 。九，。日) ( 6 如卅) ，则( s ，) 成为半群，称为半群 关于y 的强半格，记作【y ；& ，扎，胡若所有的丸，口都是单射，则称为半群& 关于y 的坚强半格，记作( y s 九，口) 引理1 12 【1 1c l i f f o r d 半群是群的强半格 定义113 【1 1 令j ( x ) 是x 上的所有部分一一变换所构成的集合，v n ，口，) ，v z d a ，令z 陋。卢) = ( 。n ) p ，则j ( x ) 关于该运算成为逆半群 定义1 1 4 【1 】设l ，是半格，令e = m 1 n y ) ，嘲是n 生成的主理想，m ( y ) 是 上的所有同构所构成的集合，v 。，卢v 7 d 圣，令d ( 。卢) = ( a o ) 卢，则西( y ) 关于 该运算成为逆半群 s 是半群，a 是s 上的变换，若v z ，v s ，有, x ( z y ) = ( a z ) ，则称a 是s 上的 左变换；p 是s 上的变换，若v z ，y s ，有( z y ) p = z ( g p ) ，则称p 是s 上的右变换； 若z ( a ) = ( z p ) p ，则a 和p 是相连的；p ) 是s 上的双变换；令a ( s ) 是s 上所有 左变换的集合，v a ，a a ( 乳忱s ，( a a 。净= ( a7 9 ) ，则a ( s ) 在此运算下成为半群； 令p ( s ) 是s 上所有右变换的集合，v ，a p ( s ) ，v x s ( p p ) z = p ( p 。) ，则p ( s ) 在此运算下成为半群；双变换不妨看作是a ( s ) p ( s ) 的直积上的元素，且满足： 9 坐查盟整盔堂堡主望焦堡茎一 v ( ，乩( ，p ) a ) o ，【oj ， ( a ，p ) ( ，p ) = ( a a7 ，p p ) 定义l _ 15 s 是半群，a ( s ) p ( s ) 的直积的子半群称为是s 的变换包，记为 n ( s ) 定义l16 【1 js 是逆半群，v ( x ，e a s ) ，则a 5 t p 是s 的子半群令r2 1 s p | v ( 九p ) 岛j ；( s ) 是r 上的所有同构所构成的集合，且其运算满足： 咖，妒 皿( s ) ，v o 却，( 妒。讪) ：( n p ) 妒，则称皿( s ) 为s 上的共轭包 定义l17 f - 】x 是集合，s 是半群，若存在同态妒：s - ，( ) ，则称妒是由x 上 的一一部分变换产生的s 上的表示 定义1 1 8 【l jx 是集合，日是j ( x ) 的逆子半群，z ，g x ，如果z 啊g 铮。x 2 ，玻日，则称t h 是日上的传递关系；d t h = x t 。= ，u ；日若x r n = x ，则称日是有 效逆半群若憎是日上的泛关系，则称i - 是传递逆半群 定义119 t 、】x 是集合，s 是逆半群，表示妒：s - j ( x ) 称为是有效表示，若 s 是j ( x ) 的有效逆子半群；类似的，表示妒：s - j ) 称为是传递表示，若即是 j 伍) 的传递逆子半群 定义1 11 9 - 1 设s 是逆半群， ) 。a 是一族两两不相交的集合，x = 。u ；d x a 若地a ，存在表示：s _ 。，( x 。) ，且v s s ，令 z 妒8 = z 妒：， ( z d 妒8 = ud 妒；) n a 则称妒是 ) a e 一的直和，记为妒2 ，昌 山东师范大学硕士学位论文 第二章逆半群强半格上的表示及其相关问题 文献 1 给出了逆半群的i , v a g n e * 表示，m u n n 表示，共轭包表示等几种表示的 形式及其性质，文献 5 给出了逆半群的局部自同构表示的形式及一些性质本章 主要是讨论逆半群的这几种表示与其对应的强半格上的表示之间的关系，并给出了 这几种表示的直和形式 5 2 1w a g n e r 表示 引理2 1 l 【1 】s 是逆半群，v a s ，令 w 。z 卜x a 扛d w “= s a 一1 ) 则映射： w ：n 卜w 。a s 是s 到j ( s ) 的单同态且该表示称为是s 上的w a g n e r 表示，并把s 在上的同 态象记为s w 口 定理2 1 2 设有逆半群强半格s = 盼& ，o a , 8 ，令 ：& _ j ( s 。) ，a 卜十w 2 ， w g ：& o 一1 - s 口a ，z 卜y , a ； w s - j ( s ) a 卜。， 。：s a 1os a z 卜+ x a 则wi s 。= 0 ( 0 ( wl 岛) s 。) 卢! o 即v a & 陋ey ) ，y x s a ，有 z 。：f 。w ，。s 。n s n ， z w 0 ，s a 。1ns 口，( v b 曼d ) ， 其中b = 。圣。，目( v 口n ) 在证明本定理之前先看下面的引理： 引理2 1 3 设有逆半群强半格s = r ；s 。，壬。，口】，如果v a s 。( 0 】，) ，z s a 。n 昂，y s a n 昂，则z 。昂，y a 。昂，口o 证明令z = r t t , a - 1 函，m 则zes 。，7 1 s z ，所以s 。，= 品，故0 7 = p ，口d ，所 以：b a = , 0 2 a a 一1 & 1 = 品，同理y a 。昂口 些壅塑堇盔堂翌主堂篁塑 引理2 1 4 设有逆半群强半格s = s 。，垂。乩v 。s 。陋y ) ，如果口，5 。一，ns 口 o ，则：s a 一1 n s d = 昂6 ，其中b = a o 础( 如5n ) 证明= ：令z = m 。一1 昂，m _ ，则z 1 n 昂，所以& ，= 品，故a 1 ：，口， 因此 z = m 8 1 = m 西7 ，8 1 ja - 1 壬口，。7 = 盯。西1 ，口一a l 圣n 口 = m 正7 口b 一1 品b 一 # ：令z = n b 一1 岛6 ，则 。= n b l = na j 中。8 = n 口，口a - - i 壬口 = t t a 一1 s a 一1n 岛口 下面证明定理2 1 2 证明( z ) 若z 5 。一1 n 品，贝4x w 。= x a = z w 翟； ( ”) 若z s a 一1 n s 口，邯蔓。，则 x w 。= x a = z ，口口。由。叩 = z 圣卢卢- 。圣。，口 = x b = z 峨， 故v a ，) ，忱s a - 1 ，有： z “：f 。w 。5s 。o s 。 z 矸召。s a 一1 n 品( v 卢兰d ) 其中b = 8 垂。，( b 锣茎。) 口 由引理2 1 1 可知，s 型s ”，品型躞。，v a f 我们容易得出下面的定理： 定理2 1 5 设s = 【y ；& ，西。，口】是& 的强半格，则s ”是黪沁y ) 的强半格 证明：2p f 令 通邶：s 晋。_ s 苫o ，w ! 峙w 抄a 则( i ) 圣刚是可定义的 事实上，。凸h n 2 s 。，令峻- = 瞻：，由引理2 11 可知，s 。! s y o ，v a 故 。= 进而n - 九，口= 。札胁再次利用引理211 可知，孵眈t ，：睇= 札一 ( 。i ) v n2 口雪。、口是同态 山东师范大学硕士学位论文 事实上，v a i ，。2 & ，则 ( w 2 1 职2 ) 田邮= 职“。母即= 咙2 扎_ 4 = 叫“。”。” = 瞄坤”w 苫2 “_ 9 = ( 佴苫1 ) 皿。，口( w ：。) 、卫。口 ( i i i ) v c v f 虬。= 。s ，这是显然的 ( i i i i ) v 血口7 e 皿。，目皿口，1 = 虫。1 事实上，v a & ， ( w 2 ) v 。，目皿口，= 瞄，= 叫= 职。， 综上所述可知，s ”= 阶s a ，f f a , z 是s s o ( a y ) 的强半格口 定理2 1 6 设有逆半群强半格s = 旷；& ，蛋邶 ，令 今 则w=0m 。 d y 即v a s ，有 x w 。= z 皿： ：s - j ( s a ) ，o 卜w 2 ， w 2 ：s n a 一1 _ 乳a ，z 卜3 2 a w ：s - - + j ( s ) ；，a 卜w “， w 。：s a 一1 _ s a ；卜x a s _ g ( s n ) ，卜妒：， s n 一1n s 。二；s a n s 。，z 斗z 。， 若z d w 4 = ud 皿： d r 证明：由引理2 13 ，引理2 14 可知s a 一1n 函= 岛6 一，且v z 品6 1 有 x b = x a ( v a s c z ，v d ，b = a 5 n ，口) 故雪3 = w 2 所以皿是昂( 耶y ) ，上的变换 且v a l ，t 2 2 只易证 d 皿：，。2 = s ( 。1 0 2 ) 一1n & = & ( 6 l b 2 ) 一1 = d w 2 ，b a = d 眈1 d w a 。= 越：2 d 母竽 山东师范大学硕士学位论文 且蚣“一哝m ，所以 0 1 叻皿。= 皿：o 。= 眦! m = 呓1 w 曹2 = 雪警卫警 = ( l 皿。) 旧皿。) ， 故皿是由s 。上的一一部分变换产生的s 上的表示 显然 c aes ，有： x w “= z 皿：，若z d w 8 = ud 皿： 口 引理2 17 设s 是逆半群，则v w 。j ( s ) ，就有： d w 8 = s s js 弧o ) 口 引理2 18 【1 】设s 是逆半群，则s 的任意的w a 昏l e r 表示都是有效表示 证明：y a s ，则嘏8 n ，由引理l 5 可知：d w 。= ( sess 如n ) ，故n d w 。， 所以w 是有效表示 口。 引理2 19 【，】设s 是逆半群，则s 的任意的w a g n e r 表示都是传递表示当且仅当 s 是群 证明：= ：若w 是传递表示，则娩，es ，3 a ，6 s ，使e v e 。= ，w 6 = e ，即 e 。= ，6 = e 故e ，= e ( e 。) = e a = ，e = ，( f b ) = ，6 = e ，所以，曼e ，es ，故e = f ， 所以说s 是群 # ：若s 是群，v z ，y s ，令o = = , v - l y ，则z o , = y ，z = y a 一1 s a 一1 = d w 。，故z w “= y ， 所以说w a g n c ，- 表示是传递表示口 因此我们就得出下面的结论： 定理2 1 1 0 设c l i f f o r d 半群s = 阢g 。，圣叫l 瓯是群，则： ( i ) 彤吼，皿。沁y ) 都是有效表示； ( 嘲w ，皿。( 。y ) 都是传递表示口 2 2m u n n 表示 引理2 2l f ，is 是逆半群，v aes ， o o 。 是由o , a _ 1 生成的e ( s ) 中的主理想，令 铲：8 h 。一1e a ( e 谢“= 一1 】) 则映射： d a h 铲( 凸s ) 是s 到西( e ) 的同态且该表示称为是s 上的m u n n 表示口 1 4 山东师范大学硕士学位论文 定理2 2 2 设有逆半群强半格s = ：品，垂郇】，令 如s n _ 垂( b ) ah 醒， 醒：陋“ n b _ 。- - 1 0 ； n e “，e h 。_ 1 e n d ：s _ 西( 目) ，n h 扩， 铲：【a a 一1 】_ 。一1 0 ，e 卜a - 1 e n ， 则6 i s 。= 如0 ( 0 ( 6 i s 。) 品) 口 圣( e 。) ，a 卜6 ：， 6 ：【a a 。 n 瓯_ 十【a - 1 n 】n e 。，e ha - i e a d s _ 垂( e ) ，n h 俨， 铲：陋。一1 】斗陋一1 乩e a - 1 e n 令 靠：s o 壬( j 屯) ，o 卜鳄， ：【。n 一1 n e 。一 a a 一1 n 既，e o e a ， 则 6 = 0 靠， 口y 即 c a s ，有 z 酽= 。总其中x d d 。= ud ： 口y 证明：由引理2 2 3 ，引理2 24 可知。 n 印= b b 。】n 功，且v e b b 。】n 岛， 有b - z e b = a - 1 e a ( v a 踟， 兰，b = 圣。，口) ，故嚣= 所以锚是如( v 口y ) 上的一 一变换 且v a l 2 s ，易证 d 嚣“2 = f ( 。1 。2 ) ( l 。2 ) _ 1 】n 既 = 正n ( b 1 6 2 ) ( 6 1 6 2 ) 一1 = 出参6 ：= d 船d 蹬 = ：1 蠼2 1 6 山东师范大学硕士学位论文 且管a 2 = 跆“，所以 ( 凸。2 ) 。= 嚣1 毗= d 参b = d 鲁6 擘 = 嚣1 嚣2 = ( a t 矗) ( n z 矗) 故是由玩上的一一部分变换产生的s 上的表示 显然v n s ，有 z d 。= 。嚣，若z d 6 。= ud 嚣 口 引理2 2 6 设s 是逆半群，则v d 。e 圣( e ) ，就有： d 6 0 = e e le 跣e ) 口 引理2 2 7 设s 是逆半群，则s 的任意的m u n n 表示都是有效表示 证明：与引理1 6 的证明类似可得口 引理2 2 8 设s 是群，则s 的m u n n 表示是传递表示口 因此我们就得出下面的结论： 定理2 2 9 设c l i f f o r d 半群s = y ；g 。，西郇 ，g 。是群，则 ( i ) d ，如，缸陋y ) 都是有效表示； ( i i ) 瓦，矗( a y ) 都是传递表示； ( v a s ，v e ( a a 1 ，则 。，e d ：o ，e 玩， y a o s ， e0=e= e d 挚，e e 0 ( v 口墨a ) ，v b o 昂 证明：( i ) ( 嘲的证明由引理2 26 ，引理2 2 7 ，引理2 28 容易得出 ( i i i ) s 是c l i f f o r d 半群，g 。( a y ) 是群，故v a s ，不妨设n s 。，则a c t _ 1 = a - 1 n = e 。所以e 。d ：= a - 1 e a 瓦，因此e a 6 ：= e 。= e j ：o v a o s a v e 口【a a 一1 1 ( ! 。) ，则e 口俨= a - 1 印