（机械制造及其自动化专业论文）空间可展结构展开过程动力学分析.pdf

摘要 可展结构作为一种新型结构形式，近些年来在宇航，建筑结构和军事工程领 域的应用越来越广泛，本文在参阅了国内外空间可展结构的应用情况及其展开过 程研究现状的基础上，论述了空问可展结构展开过程分析的理论基础。 本文以笛卡尔坐标系下节点的自然坐标为未知量，结合广义逆矩阵理论与多 体动力学理论分析周边环形桁架式可展天线及扭簧驱动四面体单元构架式可展天 线的展开运动过程，重点研究了约束系统动力学方程的建立及求解。 本文给出了在可展桁架结构展开分析中考虑弹性变形的计算方法。从可展桁 架结构的运动学关系和平衡方程出发，基于广义逆矩阵理论给出了可展桁架结构 机构运动和弹性变形混合分析方法，分析了机构运动和弹性变形的耦合问题。 本文用细分的平面三角形单元组成的折板近似壳体的几何形状，将三角形板 壳单元用两边和其夹角来描述，并结合广义逆矩阵理论和动力学普遍方程分析了 可展板壳结构的展开过程。 关键词：空间可展结构，周边环形桁架式可展天线，四面体单元构架式可展天线， 广义逆 a b s 仃a c t a san e wk i n do fs t r u c t u r e ，t h ed e p l o y a b l es t r u c t u r ei sm o r ea n dm o r ew i d e l yu s e d i nt h ef i e l d so fa s t r o n a u t i c s ，b u i l d i n gs t r u c t u r ea n d m i l i t a r ye n g i n e e r i n g ，e t c b a s e do n r e f e r r i n gt h ea p p l i c a t i o no fd e p l o y a b l es p a c es t r u c t u r ea n dt h er e s e a r c ha c t u a l i t yo f i t s d e p l o y m e n tp r o c e s s ，t h i sd i s s e r t a t i o nd e s c r i b e dt h et h e o r e t i c a lb a s i se m p l o y e dt o a n a l y z et h ed e p l o y m e n tp r o c e s so fd e p l o y a b l es p a c es t r u c t u r e s w i t ht h en a t r u a lc o o r d i n a t eo ft r u s sj o i n t sa sv a r i a b l e si nt h ec a r t e s i a n c o o r d i n a t e s ，t h ed e p l o y m e n tp r o c e s so ft h ec i r c u l a rt r u s sd e p l o y a b l ea n t e n n aa n dt h e t e t r a h e d r a lt r u s sm o d u l a r d e p l o y a b l e a n t e n n aw a sa n a l y z e db yc o m b i n i n gt h e g e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xa n dm u l t i - b o d yd y n a m i c st h e o r yi n t h i sd i s s e r t a t i o n t h e m o s ta t t e n t i o nw a sp a i dt ot h ef o r m u l a t i o na n ds o l v i n gm e t h o do fd y n a m i ce q u a t i o n s o fac o n s t r a i n e ds y s t e m d e p l o y m e n ta n a l y s i so fd e p l o y a b l et r u s ss t r u c t u r e sw i t hf l e x i b l ed e f o r m a t i o nw a s d i s c u s s e d b a s e do nt h ek i n e t i c sr e l a t i o na n de q u i l i b r i u me q u a t i o no ft h es t r u c t u r e ，a n e wh y b r i dm e t h o dw a sd e v e l o p e dt o a n a l y z e d e p l o y a b l e t r u s ss t r u c t u r ew i t h m e c h a n i s mm o t i o na n df l e x i b l ed e f o r m a t i o nb yu s i n gt h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i x t h e o r y , a n dt h ec o u p l i n gb e t w e e nt h e s et w om o t i o n sw a sc a l c u l a t e d t h i sd i s s e r t a t i o na p p l i e dt a b l e f l a pc o n s i s t e do fb r e a k d o w no ft h e p l a n e t r i a n g u l a ru n i tt os i m u l a t et h eg e o m e t r yo fs h e l lp l a t e s d e s c r i b i n gs h e l lp l a t eu n i tw i t h b o t hs i d e so ft h et r i a n g l ea n dt h ei n c l u d e da n g e l ，t h i sd i s s e r t a t i o na n a l y z e dt h e d e p l o y m e n tp r o c e s sb yc o m b i n i n gt h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t r i xa n dm u l t i - b o d y d y n a m i c st h e o r y k e y w o r d s ：s p a c ed e p l o y a b l es t r u c t u r e s ，c i r c u l a r t r u s s d e p l o y a b l ea n t e n n a ， t e t r a h e d r a le l e m e n tt r u s sm o d u l a rd e p l o y a b l ea n t e n n a ，g e n e r a l i z e di n v e r s e 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注 和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果； 也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任 本人签名：日期2 四墨! 鱼 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 缈g 、b i 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学学皎有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印缩印或其它复制手段保存论文同时本人保证，毕业后结合学位 论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书 本人签名： 导师签名： 同期巡显：左：z f 1 期兰! ! 星! 曼：l 第一章绪论 第一章绪论 可展结构的诞生拓宽了大型空间结构的应用领域，近些年来，在空间和地面 都得到了广泛应用，其总体上可分为空间可展结构和地面可展结构。 空间可展结构 1 0 1 是近三十至四十年内随着航天科技的发展而诞生的一种新 型结构物，宇航高科技的发展和各项宇宙探索活动的深入，推动了空间可展结构 的迅猛发展，现代航天器越来越向轻型化和巨型化发展，但是由于发射成本在整 个宇航项目成本中占据主要部分，而发射成本和被运载物的体积和重量密切相关， 一般来说，被运载体积越大，重量越高，相应的发射成本就会越高。同时，发射 航天器的火箭荷载舱的容量是有限的，其体积远远小于所发射物体在空间正常运 营工作状态的体积。空间可展结构在地面发射时为收纳状态，固定于运载工具的 有效荷载舱内；当被发射到轨道上后，再由地面控制指令使其在空间轨道上按设 计要求逐步完成展开动作，最后锁定并保持为运营工作状态。这种结构形式的出 现极大的提高了航天器的运载能力，同时也使得人类对太空的探索有了进一步的 发展。 地面可展结构主要用于开合屋盖结构。开合屋盖结构可以使建筑物同时具有 室内和室外两个使用功能，已经成为现在体育建筑的宠儿。目前国际上已成功建 成数十座各类型的开合屋盖建筑，为当地带来了很好的经济和社会效益，也为开 合屋盖结构的研究和发展提供了很好的工程实践经验。我国对开合屋盖结构的研 究还处于起步阶段，国内已建成的数座小跨度开合屋盖建筑结构形式和开合机理 较为简单，相应的有参考价值的工程资料也很有限。随着经济和技术的发展，在 未来的几年，国内对开合屋盖结构的需求将更强烈。 由于空间环境的特殊性，对可展结构有一些特殊要求，如( 1 ) 对结构表面 形状和精度有很高的要求；( 2 ) 由于展开过程中人的可干预性差，对展开可靠性 有很高的要求：( 3 ) 对结构变形和振动控制有较高的要求，等等。此外，一些空 间可展结构的展开机理与设计、分析方法在地面可展结构中也具有重要应用。因 此，对空间可展结构进行专门研究尤为重要。 1 1 国内外空间可展结构的应用 国内外空间可展结构按结构形式分类主要包括伸展臂、太阳帆板和可展天线。 其驱动方式可分为电机驱动、弹簧驱动或充气膨胀等。对结构形式做详细说明如 下： ( 1 ) 伸展臂 2 空间可展结构展开过程动力学分析 伸展臂( d e p l o y a b l em a s t ) 作为一种有效的支撑，可以用于大型可展天线、 太阳帆板和望远镜的支撑背架、太空机械手以及空间平台等。卷起式伸展臂和铰 接桁架式伸展臂应用的最为广泛，技术也最为成熟。这两种伸展臂共同特点是压 缩率都非常高。但卷起式伸展臂通常只能应用在较短的对刚度要求不太高的场合； 而铰接桁架式伸展臂则可以应用在距离很长( 一般 l o m ) 或刚度很高的场合。 ( 2 ) 太阳帆板 太阳帆板( s o l a ra r r a y s ) ，是一种将太阳的光能转换成电能的装置，光生伏 打太阳帆板是航空器提供能力的最常用方法。其面积通常很大，像翅膀一样在航 天器的两边展开，所以叫做太阳翼。其上贴有半导体硅片或砷化镓片，就是靠它 们将太阳光的光能转换成电能的。所以，太阳能电池帆板，实际上是太阳能电池 阵。早期航天器上的太阳能电池阵设置在航天器的外表面上，后来由于航天器用 电量需求的增加，才发展为巨大的帆板。 ( 3 ) 可展天线 可展天线( d e p l o y a b l ea n t e n n a s ) ，与太阳帆板和伸展臂相比其展开机理更 为复杂，展开过程更难实现。但其在卫星通讯、太空观测、地球资源勘察等方面 具有重要应用。目前已投入应用或正在研究的空间可展天线，可分为三种基本类 型：固面可展天线、网格状可展天线、充气硬化可展天线。其中网格状可展天线 是研究最活跃最广泛的一种空间可展天线类型，无论在应用方面，还是理论、试 验研究方面都是国内外宇航界的热点，它的具体形式也是最具多样化的。这种类 型天线的共同特点是反射面均是由一种编织的轻质量金属网构成，根据对柔性表 明支撑形式及可展方式的不同，而衍生出各种不同的具体形式。尽管其网面是不 连续的，它仍然能够反射频率大于4 0 g h z 的无线电波。通过采用不同的支撑形式， 网状天线可以有多种可用构形。常用的有径向肋可展天线、缠绕肋可展天线、构 架单元式可展天线、环柱形可展天线、柔性自回弹可展天线、整体张拉可展天线 等。 网格状可展天线是极具发展前景的空间可展天线形式，因其重量轻、表明精 度高、电性能好等优点，已经得到美国航空航天局、日本宇宙科学研究所和欧空 局的广泛应用。由于高性能通讯需求的逐步增长，可展天线的发展趋势必然是口 径越来越大、精度要求越来越高，会给其结构设计、理论分析、仿真和试验带来 新的挑战。 1 2 空间可展结构展开过程研究现状 从国内外已投入应用或正在研究的空间可展结构来看，其展开机理，结构形 式，驱动方式各异。对于可展结构，设计者最关心的是结构能否展开，展丌过程 运动几何协调性如何，结构几何位形如何变化，在何种驱动力方式作用下结构可 第一章绪论 有效运动，以及特定驱动方式下结构展开的动力特征参数。为了分析这些结构展 开特性，了解其工作性能，各国学者对空间可展结构的展开过程动力学分析做了 不同程度的研究，现概述如下： 可展结构展开过程动力学分析的理论主要借助于多体系统动力学的多年研究 成果。多体系统动力学作为空间可展结构动力学仿真的基础理论，其研究的内容 不仅包括运动、惯量和力，而且包括基本运动方程式的推导。描述物理系统动力 特性的原理主要有：牛顿定律、能量原理、动量定理、虚功原理和达朗伯原理等。 从某种意义上说，这些方法都是等效的。但从使用方便的角度，特别是大型多体 系统，它们却是大相径庭的。在多体系统中，最常用的有“牛顿一欧拉 和“拉 格朗日 方法。此外，还有图论法、凯恩法和变分法等方法。 “牛顿一欧拉 法属于矢量力学的思想，以速度、加速度、力和力矩等矢量 形式的物理量来描述物理的运动和相互作用，需要研究系统中每个物体的受力图， 由于对各隔离体单独列写的动力学方程中不可避免的出现理想约束反力，从而扩 大了求解规模，因此以n e w t o n _ e r l e r 方程为基础的各种矢量力学的具体方法多致 力于寻求自动消除理想约束反力的途径。 “拉格朗日”法属于分析力学的思想，以标量形式的广义坐标代表矢径，用 对能量和功的分析代替力和力矩的分析，从而由数学分析的方法代替矢量力学的 几何分析方法来讨论力学问题，可避免引入约束力、对于多余坐标的完整约束系 统和非完整约束系统。用带乘子的拉格朗日方程处理。导出的以笛卡儿广义坐标 为变量的动力学微分方程组的方程数和广义坐标数目相同，需要补充广义坐标的 代数约束方程，其后再研究混合的微分一代数方程组的求解方法。其优点是将力 学原理与现代计算技术相结合，能够形成面向计算机的、程式化的、高效率的建 模方法，成为利用计算机研究工程中复杂机械系统运动规律的有力工具。 航天工程的需要推动了多体系统动力学的发展，随着可展结构在航天、机械、 建筑等领域的广泛应用及需求，基于这些多体系统动力力学理论以及相关数值计 算方法的需要，国内外学者对一些约束多体系统或可展结构进行了展开动力学理 论分析的相关研究，在动力学模型建立、微分方程求解、数值分析、运动仿真等 方面做了大量工作，并取得很大进展，使得可展结构的应用更加广泛。 1 3 本文的主要目的和主要工作 由周边环形可展桁架和四面体单元构架式可展结构支撑的大型可展抛物面天 线已越来越多地投入空间应用，取得了巨大的经济和军事效益 本文主要目的：在广义逆矩阵和多体动力学等基本理论的基础上，对周边环 形可展桁架和四面体单元构架式可展天线结构进行研究，分析其展丌过程几何位 置，速度，加速度等动力学性能，为其研发提供参考 4 空间可展结构展开过程动力学分析 本文主要工作：介绍了m p 广义逆理论和计算方法，利用广义逆矩阵理论给出 了桁架结构运动学关系和形态解析方法根据多体动力学理论和广义逆理论推导 了周边环形可展桁架和四面体单元构架式可展天线的展开过程动力学方程根据 四面体单元构架结构展开收纳机理，推导了该类可展结构的约束方程及其雅可比 矩阵。展开过程动力学分析中考虑粘性摩擦的影响，并计算出展开过程中可展结构 对支撑的动反力从可展桁架结构的运动学关系和平衡方程出发，基于广义逆矩 阵理论给出了可展桁架结构机构运动和弹性变形混合分析方法，对考虑弹性变形 的可展桁架结构展开过程进行了动力学分析用细分的平面三角形单元组成的折 板近似壳体的几何形状，将三角形板壳单元用两边和夹角来描述，给出了可展板壳 结构的运动学分析的基础方程式，然后结合广义逆矩阵理论和动力学普遍方程分 析了可展板壳结构的展开过程，给出了结构展开动力学分析的方法。 第二章空间可展结构展开过程学分析的基本理论 第二章空间可展结构展开过程分析的基本理论 2 1 引言 空间可展结构是由大量节点和构件组成的不稳定结构，各构件间除节点处互 相连接外，还可能有大量约束存在，对其进行展开过程分析需将几何信息和各类 约束形成约束方程组。约束方程组微分所得的雅可比矩阵往往是奇异矩阵或是任 意的长方阵，该矩阵不存在通常的逆矩阵，给求解带来了困难。 1 9 2 0 年e h m o o r e 首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人 们重视，直到1 9 5 5 年，r p e n r o s e 以更明确的形式给出了m o o r e 的广义逆矩阵定 义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，并在数理统计，系统理论， 最优化理论，现代控制理论等许多领域中得到重要应用并逐渐在空间可展结构展 开过程分析中得到应用。 2 2m o o r e - - p e n r o s e 广义逆 2 2 1m p 广义逆定义 设a 为m ”矩阵。若满足式( 2 1 ) 所述4 个条件的一切矩阵x 定义为a + ， 称作矩阵a 的m o o r e - - p e n r o s e 广义逆矩阵，也称加号逆，彳+ 是以m 矩阵，被惟一 确定1 5 】 ( 口) 从】r = a x ， ( 6 ) 【黝】r = x 4 ， ( c ) a x a = a ， ( a ) x a x = ( 2 1 ) 由定义可见，在四个条件中，x 与a 完全处于对称地位因此a 也是彳+ 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，即有： ( 彳+ ) + = a ( 2 2 ) 在式( 2 1 ) 的四个方程中，通常存在只满足部分方程的x ，也是矩阵a 的广义逆矩 阵。其中只满足( 2 1 ) ( a ) 式的称作减号逆，只满足( 2 1 ) ( a ) ( b ) 式的称作自反广义 逆，只满足( 2 1 ) ( a ) ( c ) 式的称作最小范数广义逆，只满足( 2 1 ) ( a ) ( c ) 式的称作 最小范数广义逆，只满足( 2 1 ) ( a ) ( d ) 式的称作最小二乘广义逆。 2 2 2m p 广义逆求解 求解广义逆的算法比较常用的两种有： ( 1 ) 高斯消去法 6 空间可展结构展开过程动力学分析 高斯消去法实际上就是矩阵的l u 分解法，为解线性议程组的一种常用方法， 该方法也可以用来对矩阵a 作满秩分解。 将矩阵a 用其聊刀个元素口。( f 1 , 2 ，m ；j = 1 , 2 ，甩) 表示，并假定 r a n k ( a ) = r ，矩阵a 经过多次选主元并消去后化为： a = l u ( 2 3 ) 式中：l 是一个m x r 阶的单位下梯形阵，u 是一个r xr l 阶的上梯形阵 则a 的广义逆为： a = u7 ( u u r ) 一1 ( l r l ) 一1l r = u r ( l r a u r ) 一1l r ( 2 4 ) 高斯消去法较简单，运算量小，效率高，但极易导致秩亏，因此，当结构较稳定 或从物理意义上已清楚矩阵的秩时，可采用这种方法 ( 2 ) 奇异值分解法 设a 为m xn 阶实矩阵，可利用豪斯荷尔德变换及变形q r 算法对其进行奇异 值分解，其奇异值分解式为： 彳：【，f - o y r ( 2 5 ) l 0 o j 式中：u 为m x m 阶的列正交矩阵( 称为左奇异向量) ；v 为n x n 阶的列正交矩阵 ( 称为右奇异向量) ：= d i a g ( o 。，o2 ，o ，) ( r m i n m ，n ) ) ，且o 。o ：o ， 0 ，o ；( i = 1 ，2 ，r ) 称为矩阵a 的奇异值。 则a 的广义逆为： a + = v ，一u 。7( 2 6 ) 式中：u 。为u 中前r 列列正交向量组构成的m xr 阶矩阵；v 。为v 中前r 列列正交 向量组构成的n r 阶矩阵。 2 2 3广义逆性质 m p 广义逆矩阵具有如下一些特殊性质： ( 1 ) ( a7 ) + = ( a + ) r ； ( 2 ) a + 是唯一的； ( 3 ) a = 0cr “，则彳+ = 0 ； ( 4 ) 广义逆矩阵的秩r a n k ( a + ) = r a n k ( a ) ； ( 5 ) 若a 的秩为r ，则彳，a a + ，a + a ，a a + a ，a + a a + 的秩都为r ； ( 6 ) ( a r 爿) + = a + ( a r ) + = a + ( a + ) 7 ； ( 7 ) ( 州+ ) + = a a + ； ( 8 ) 若p 为胧所正交阵，p 为门刀正交阵，贝j j ( p a q ) + = q r a + p 7 ； ( 9 ) 若a = a7 ，则朋+ = a + a ； ( 1 0 ) 若a = a7 ，a = a 2 ，则彳+ = a ，称a 为正交映射矩阵； 第二章空间可展结构展开过程学分析的基本理论 7 ( 1 1 ) a = a t i ( 1 2 ) 4 ：p l0 a 2 2 口“ 兰 ，则彳+ = ： 2 2 4m 一尸广义逆应用 ，则彳+ = l a l l 1 a 2 2 1 a 3 3 1 口“ 对于非齐次线性方程组： a x = b ( 2 7 ) 式中：a 为m 栉矩阵，b 为m 1 列向量给定，删m 1 待求向量。 若r a n k ( a i b ) = r a n k ( a ) ，则方程组f ，2 砂无解，或称方程组不相容或矛盾方程组。 采用m p 广义逆后，由于它既是减号逆又是最小范数逆、最小二乘逆，故对于 方程组a x = b ，不论其是否有解，均可用m 一尸广义逆来讨论，能够解决一般线性 方程组的求解问题。 ( 1 ) 当a x = b 相容时， x = a + b + ( ，。一a + a ) z 是通解 x = a + b 是极小范数解 式中j z 是任意疗维向量，。为疗阶单位矩阵。 ( 2 ) 当制= 6 不相容时， x = a + b 是最小二乘解 x = a + b + ( ，。一a + a ) z 是最d , - 乘解的通解 因而，对于齐次线性方程组： a x = o ( 2 8 ) 方程组( 2 8 ) 的解为： x = ( i 。一爿+ a ) z ( 2 9 ) 空间可展结构展开过程动力学分析 2 3 可展桁架结构运动学关系和形态解析 2 3 1 运动学关系和刚体位移 z ) l t z l 考虑图2 1 示不稳定桁架结构中的一根杆件口( 口= 1 , 2 ，聊) ，两端点为i , j 。f ，的坐 标用矢量表示： 置- 毛f ，z f 】r ， ( 2 1 0 ) 彳l x j ，y ，z ，j 一 杆长乞和方向余弦丸可表示为： l 。= 【( 一x ，) r ( x 厂置) 】2 ( 2 1 1 ) 以：( x 一x f ) ( 2 1 2 ) z 。和九对时间求一阶导数： w 柏 ( 2 屯2 丢( 髟- ) 幸( 铲 ( 2 乞对时间求二阶导数： 艺= c 一以7 九r ， 娄：) + 卜丸7 屯r ， 娄：) ( 2 1 5 ) 式中? 屯由式( 2 1 4 ) 给出。将方程( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 写成矩阵形式： a x = ， ( 2 1 6 ) 第二章空间可展结构展开过程学分析的基本理论 9 a x + a x = t 式中：a 为m 门矩阵，n 为自由度数。 对于刚性杆件： ，= ，= 0 于是方程( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 变为： 放= 0 a x + a x = 0 ( 2 1 7 ) (2 1 8) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 方程( 2 1 9 ) 的解为： 窘= p 。一4 + 彳k ( 2 2 1 ) 式中：i 。为单位矩阵，彳+ 是a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆矩阵，西为任意的刀维列向 量。 若a 的秩为r ，则： p = r a n k i 。- a + a - - 万一， ( 2 2 2 ) 式中：p 表示刚体运动的自由度数。 将l a + a 矩阵用p 个独立的列向量厅。，而：，h 一表示： 【，。一彳+ 彳】= h l h ：h p 】= 日 ( 2 2 3 ) x = 磁扛+ 舀2 + + 西。h v = h d ( 2 2 4 ) 式中：h i , j i i ：，h ，表示p 个互相独立的刚体运动模态，舀为任意p 维列向量。 2 3 2 形态解析 组成不稳定刚性链结构的杆件，从初始状态( t = 0 时) c o 出发，到达当前 ( t = t 时) 的c ，状态，从t = t + a t 增分后，状态g 变为c f “。杆件节点位置从五 变为x f + l ，增量为a x i 。则有： x f + l = x f + a x i ( 2 2 5 ) 五为参数t 的函数，x ，= x ，o ) ，c 状态为，= t 时的状态。对x f + l ( t + 址) 作麦克 劳林展开： x m ( f + a t ) = x ，( f ) + x f ( t ) a t + 去置( t ) a t 2 + ( 2 2 6 ) 二 对于f = t + a t 的g + i 状态，式( 2 2 5 ) 的位置增量： 从f ( f ) = 岩) 出+ 三戈l ( f ) 应2 + 1 3 z 以) 出3 + 当展开分析要求的数值解精度不高时，仅考虑a t 的一次项，则增分量： a x f 2x f a t 应用式( 2 2 4 ) ，得： a x = 仁l h ，+ 西2 h 2 + + 西p h p ) a t ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 1 0 空间可展结构展开过程动力学分析 e l 西：，应p 的值与载荷有关。 ( a ) - g ； - ( b ) q ( c ) c ， 图2 2 不稳定杆链结构的稳定化过程 图2 2 表示了不稳定杆链结构的移行过程。在载荷厂的作用下，不稳定结构 从初始状态g 经过中间状态c 到达最后的稳定状态c ，。 考虑势能函数万有如下关系： x ( c o ) x ( c f ) 万( c ，) ( 2 3 0 ) 上述关系表明，在移行过程中，势能减小，到达最后稳定状态时势能为极小值， 从g 到c f + 。的增分过程中，势能的变化为： a x ( c , ) = 万( c i + 1 ) 一万( c f ) ( 2 3 1 ) 由式( 2 2 8 ) 得： a x ( c , 1 = 一a x r f = 一膏r f a t ( 2 3 2 ) 式中：f 为可展结构的外荷载向量。 求势能函数的最速下降方向： g r a d a z ( d l ，一，应p ) 】= r f a t ) 可见，当喀，西2 ，西，取成： 即。 a x ( c i ) = 一a x r f = 一( 日7 ，) 7 ( 日r f ) 力a t ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 2 4 本章小结 1 从m o o r e p e n r o s e 广义逆矩阵的定义，求解方法，性质及应用等几个方面系 塑警丝嗨 li 第二章空间可展结构展开过程学分析的基本理论 l1 统地介绍了m o o r e p e n r o s e 广义逆矩阵理论，指出了求解矩阵广义逆时应该注意 的问题，这些理论是后续章节空间可展结构展开过程动力学分析的基础。 2 介绍了基于广义逆矩阵理论和势能函数最速下降法分析可展桁架结构运动 学关系和形态解析的方法。 第三章周边环形桁架式可展天线展开过程动力学分析 1 3 第三章周边环形桁架式可展天线展开过程动力学分析 3 1 引言 由周边环形可展桁架，前索网，后索网，竖向张力索，金属反射网，驱动装置等 构成的周边环形桁架式可展天线已成为各国竞相研究的重点周边可展桁架在驱 动装置的作用下，展开到位后，前索网，后索网，竖向索在内部顶拉力的作用下达到 平衡位置，构成天线所需的抛物面型面，金属反射网附着于前索网完成电波反射任 务这种天线具有收缩比大重量轻等优点，是空间可展天线大型化发展的理想形 式 本章结合广义逆矩阵与多体动力学理论分析可展结构的运动过程，以笛卡尔 坐标系下节点的自然坐标为未知量，建立可展结构系统的动力学普遍方程，利用约 束雅可比矩阵的零空间正交基引入一组准速率，得到独立的用于展开过程分析的 动力学微分方程，进而分析了动力学方程的建立及求解 3 2 约束系统动力学方程的建立及求解 ( a ) 收缩状态 ( b ) 展开过程中 ( c ) 完全展开 图3 1 两个桁架单元的展开示意图 对于复杂的构架可展天线结构，如图3 1 所示直接采用节点的3 n 个笛卡尔坐 标为广义坐标建立动力学方程，其优点是在建立结构模型和动力学方程时不必区 分节点的约束和自由度【1 1 l 。 将杆件的质量和速度转化到两端节点上，体系的动能表示为： 丁：三膏r 磁( 3 1 ) 2 式中：m 为结构系统的等效质量矩阵，是一3 n 3 n 阵，x 为广义坐标。空 间桁架结构的质量矩阵m 可推导如下： u帮融瞄飘瞄觳孵啪髫e b d 1 4 空间可展结构展开过程动力学分析 杆单元在局部坐标中的一致质量矩阵为： 朋：型l 21 l( 3 2 ) 6 l 1 2 式中：m 【2 ) 为杆单元在局部坐标中的质量矩阵，p 为杆单元的密度，彳为杆 单元的截面积，为杆单元长度。然后通过下式将局部坐标系中的单元质量矩阵 转换为整体坐标系中的单元质量矩阵： m ( 。) = 丁( 8 ) 7 肌( 8 丁( 8 )( 3 3 ) 式中：m 和为杆单元在整体坐标系中的质量矩阵，t 抽为单元坐标变换矩阵， 有如下形式： 产) - i 她s s 7 000 i ( 3 4 ) l 000c o s c o s f lc o s 7 j 式中：c o s c z ，c o s f l ，c o s y 分别为杆单元在整体坐标系中的三个方向余弦。求出 整体坐标系中的单元刚度矩阵后，根据可展结构中各杆单元两端编号，应用有限 单元法中组集整体刚度矩阵时“边定位，边累加 的方法得到整体坐标系中的质 量矩阵m 。 根据应用于刚体的第一类l a g r a n g e 方程1 6 j ： 善3 , , ( 石d 瓦a t 一詈一q ) 缸= ( 从九瓦d 西a t 一昙一q ) = 。 ( 3 5 ) 将动能表达式( 3 3 ) 代入式( 3 5 ) 可得构架式可展结构的动力学方程： 舣r ( 磁一q ) = 0 ( 3 6 ) 式中：q 为节点广义力。由于可展桁架之间存在着复杂的运动约束关系，直 接选取的3 以个广义坐标对应的虚位移舣是不相互独立的，因此无法得出式中每 一个括号等于零的结论。 为此需要构造可展结构的各类约束方程及其雅可比矩阵，通过求约束雅可 比矩阵的m o o r e p e n r o s e 广义逆，将约束方程嵌入动力学方程进行求解，具体方 法如下： 综合构架结构的约束可得到结构的几何约束方程组为： 办( 五，工2 ，x 3 。) = 0 ；i = 1 , 2 ，s ( 3 7 ) 式中，工，为选定的广义坐标，矽为和所选取的3 以个广义坐标相关的函数， j 为约束方程数。式( 3 7 ) 对时问求一次导数得： 盟岩，+ 丝：o a x ： j 8 t ( 3 8 ) 因为所研究可展结构的约束一般均为定常约束( 约束条件不随时问改变) ， 所以有： 第三章周边环形桁架式可展天线展开过程动力学分析 1 5 堕力，：0 ( 3 9 ) 0 x ； 。 。 记作矩阵形式： 甜= 0 ( 3 1 0 ) 式中：a 称为约束方程的雅可比矩阵，为s 3 n 矩阵。 采用求解广义逆矩阵方法中的奇异值分解法( s v d ) 求解雅可比矩阵a 的零 空间正交基： 彳，。，。= = u ，。， i 三 ，。，。，z 。， c 3 - ， 式中：u 为s 阶正交矩阵，u = k 。，比：，甜，l “。，“：，“，：，为矩阵彳的， 个奇异值盯= 1 ，) 组成的，- 阶对角阵，为雅可比矩阵a 的秩；v 为3 刀阶正交 矩阵，v = 【v 1 屹，v h 】，h ，v 2 ，1 ，抽为正交列向量。设： p = 3 n 一， ( 3 1 2 ) 式中：p 为雅可比矩阵彳的零空间基底维数，称为可展结构系统的广义运 动自由度数。矩阵v 的右p 列构成雅可比矩阵a 的零空间正交基，记为： h 3 ，。p = 【v r + 19 v ，+ 2 ，1 ，3 。】 ( 3 1 3 ) 式中：咋小v m ，v ，。为零空间基底向量，又称为可展结构的广义运动模态 向量。根据线性代数理论，存在如下关系： 一 4 砌h 3 。p = 0 ( 3 1 4 ) 对照式( 3 1 0 ) 和式( 3 1 4 ) ，可以推导出j 能够表示为矩阵a 的零空间基底 向量的线性组合： x 3 n l = 西1 1 ，+ l + 口2 1 ，r + 2 + + 舀| p v 3 。= h 3 月。尸西| p x l ( 3 1 5 ) 式中：盔，口：，西尸为组合系数，在朋为组合系数组成的列向量。 可展结构体系的广义运动自由度数p 存在如下两种情况：当p 0 时，体系 具有尸个广义运动自由度；当p m 盯t ” 为了表示方便，令式( 6 2 4 ) 中c o s = 。，c o s f l = ：。对式( 6 2 4 ) 求一阶导数得： 一九1 0 丸0 t f f 审聚圳卦 - ( 等+ 等 等 。 等怪 = 。 等一睁等 等一 6 3 质量矩阵 k i j m 私+ 善“+ 崩 芒z + 云屯- 2 z 鹕 ( 6 2 5 ) 质量矩阵是由分布惯性力向结点静力等效简化而得到。采用不同的等效方法 就会得到不同形式的质量矩阵。常用的有一致质量矩阵和集中质量矩阵，这里对 三角形单元在整体坐标中的一致质量矩阵进行推导。 设三角形单元单位面积的质量为丽，面积为。平面三角形单元的形函数矩 阵为： n = i n j n k ￥ ( 6 2 6 ) 式中：i 为2 x 2 的单位矩阵，l = 0 f + 包x + q y ) 2 a ，且 t i 2 x j y k 一也y jl b i = y 厂几 抛，七) ( 6 2 7 ) c i2 一x j + x m 1 - 2 0 ( 6 2 8 ) 求得三角形单元在局部坐标系中的质量矩阵后，需要求其坐标转换矩阵，将 局部坐标系中的一致质量矩阵转换为整体坐标系中的一致质量矩阵。 图6 5 三角形单元局部坐标系 如图6 5 所示，对于三角形单元渺，建立一个局部坐标系锨1 y 1 2 1 ，选取结 点f 为局部坐标系的原点，并以f 一，边为石1 轴的正方向，使三角形单元位于x 1 y 1 平 面内。求得x 1 方向的单位矢量e ，为： q = 尚 2 其中：1 j f l ：乃：板i = 习_ 6 _ 孑万了e = 万是矢量 的长度。 。一i j i k ( 6 3 1 ) p z 2 l u j k l 、u 。 矢量 ，和放矢量积的模等于三角形面积的一倍，即陟i k i = 2 a 。然后按照 右手定则可以决定) ，1 轴的正方向，它的单位矢量乞为： o 0 0 1 4 1 4 o 0 o 0 l 一4 1 4 o o o o 1 2 1 4 o 0 l 一4 0 0 1 2 0 o 1 4 0 o o 1 4 0 o 1 2 l 一4 o o 1 2 o o o 1 2 o o 0 1 2 0 0 1 4 l 一2 0 o l 一4 0 0 0 1 4 o o 1 2 0 0 o o 1 4 1 4 o o o 0 1 4 1 4 o o o 4 2 空间可展结构展开过程动力学分析 巳q = 踹 3 ， 求得三角形单元局部坐标系三个轴的单位矢量后，可将其坐标转换矩阵表示 丁删 热，：卜e 2 x 瓢e 1 l p 3 j p 3 ， 巳 ( 6 3 2 ) q y 、e l z 分别为单位矢量q 在三个坐标方向的 分量值。从而得到三角形单位在整体坐标系中的一致质量矩阵为： m 。= t r m 8 t ( 6 3 3 ) 集合各个单元的一致质量矩阵就可形成整个结构的一致质量矩阵。 6 4 展开动力学分析 为了对可展板壳结构的驱动设计提供参考，需要将运用广义逆矩阵理论求得 的运动学关系和动力学方程相结合进行展开动力学分析 与可展桁架结构展开动力学分析相似，以节点非独立笛卡儿坐标作为广义坐 标，利用第一类拉格朗日方程： 善( 丢署一瓦c a t q ( 如) 缸= ( 似九瓦d 面o t 一瓦0 t q ( 置劫= 。 ( 6 3 4 ) 求得质量矩阵后，将结构的动能表达式丁= 三岩r m x ( 6 3 4 ) 化简得： 从7 ( m x q ( x ，x ) ) = 0 ( 6 3 5 ) 由于可展板壳结构之间存在着运动约束关系，直接选取的3 甩个广义坐标对 应的虚位移a x 是不相互独立的，因此无法得出式中每一个括号等于零的结论。 为此，代入运动学分析中得式( 6 2 1 ) ，得到相互独立的虚位移a 口，再将式( 6 2 0 ) 和( 6 2 2 ) 代入方程( 6 3 5 ) ，得到如下用于展开动力学分析的方程组： ，冬亍肌， ( 6 3 6 ) ，-甲 。 巾、一 h 1m h ( 2 一月1m a a h g t 一日。q ( x ，x ) = o j 求得用于展丌动力学分析的微分方程组后，根据初值条件，逐步积分迭代，即 可求得驱动力作用下展开过程数值解 第六章空间可展板壳结构的展开动力学分析 4 3 6 5 本章小结 本章将三角形单元用两边和其夹角来描述，以广义逆矩阵方法分析了刚体运 动模态和二阶小量以可展开板壳结构为研究对象，研究了此类结构准静态展开过 程和展开过程动力学分析计算方法对三角形单元在整体坐标系中的一致质量矩 阵进行了推导，给出了考虑可展板壳结构展开过程中弹性变形的近似方法 第七章结论与展望 4 5 第七章总结与展望 7 1 本文的总结 可展结构作为一种新型结构形式，近些年来在宇航，建筑结构和军事工程领 域的应用越来越广泛，根据其用途不同可分为空间可展结构和地面可展结构，本 文着重对空间可展天线结构展开过程动力学理论分析进行了系统的研究。 论文首先查阅了国内外的相关文献资料，总结了国内外空间可展结构的应用 情况及其展开过程研究现状，对课题的研究意义和研究思路进行了说明，对于在 展开分析中具有重要应用的m o o r e - p e n r o s e 广义逆理论，详细介绍了其定义，求 解方法，性质和应用，并在此基础上阐述了空间可展结构展开过程分析的理论基 础，进而对周边环形桁架式可展天线结构和扭簧驱动四面体单元构架式可展天线 结构以及空间可展板壳结构进行分析并对弹性变形的影响做了分析。 周边环形桁架式可展天线具有收缩比大，重量轻的优点，已成为各国竞相研 究的天线结构形式。“拉格朗日”法以标量形式的广义坐标代表矢径，用对能量和 功的分析代替力和力矩的分析，从而由数学分析的方法代替矢量力学的几何分析 方法来讨论力学问题，可避免引入约束力，对于含有多余坐标的完整约束系统和 非完整约束系统，用带乘子的拉格朗日方程处理，导出的以笛卡儿广义坐标为变 量的动力学微分方程组的方程数和广义坐标数目相同，需要补充广义坐标的代数 约束方程以求解混合的微分一代数方程组。以笛卡尔坐标系下节点的自然坐标为 未知量，将单元动能和表示为节点速度的函数，由第一类l a g r a n g e 原理建立了空 间可展结构动力学方程，利用约束雅可比矩阵的零空间正交基引入一组准速率， 得到独立的用于展开过程分析的动力学微分方程，进而分析了动力学方程的建立 及求解。 本文对扭簧驱动四面体单元构架式可展天线结构进行了介绍，推导了扭簧驱 动可展结构的展开动力学方程，方程能够反映展开过程中驱动力的变化情况；根