（基础数学专业论文）加权besov空间上离散的carleson测度.pdf

摘要 摘要 本文通过b e r g m a n 树的树条件刻画了加权b e s o v 空间_ ：c a r l e s o n i 9 1 j j 度，得到 了树丁上加权b e s o v 空间的c a r i e s o n 钡j j 度与经典加权b e s o v 空间的c a r l e s o n 澳l j 度之 间的关系以及肛为霹( d ) 到口( 肛) 的c a r l e s o n 测度的充要条件这将n a r c o z z i ，r r o c h b e r g 和e s a w y e r 近期的结果推广到加权，不同指标和高阶导数情形 关键词：加权b e s o v 空间c a r l e s o n 钡, y 度 b e r g m a n 树 a b s t r a c t a b s t r a c t c a r l e s o nm e a s u r e sf o rt h ew e i g h t e dh o l o m o r p h i cb e s o vs p a c e s 霹( d ) o nt h e u n i td i s ci nca r ec h a r a c t e r i z e di nt e r m so fad i s c r e t et r e ec o n d i t i o no nt h ea s s o - c i a t e db e r g m a nt r e et am a r t i n g a l e - l i k ea n a l o g u eo ft h ew e i g h t e dh o l o m o r p h i c b e s o vs p a c eo nt h eu n i td i s ci sp r o v i d e db yw e i g h t e dh o l o m o r p h i cb e s o vs p a c e so n b e r g m a nt r e e s an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o ram e a s u r e 肛 t ob ec a r l e s o nm e a s u r ef r o m 露( d ) t ol q ( p ) t h i se x t e n d st h er e c e n tr e s u l to fn a r c o z z i ，r r o c h b e r ga n de s a w y e rt ot h ew e i g h t e d ，d i f f e r e n ti n d i c e s ，a n dh i g h e r k e yw o r d s ：w e i g h t e dh o l o m o r p h i cb e s o vs p a c e s ，c a r l e s o nm e a s u r e s ，b e r g m a n t r e e l u 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了明确 的说明。 作者签名：王起签字日期：型垒s 1 8 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 口公开口保密( 年) 作者签名：辽丝 签字日期：2 呈! 呈篁：墨 导师签名： 签字日期：型! 里：点，墨 第一章引言及预备知识 1 1引言 第一章引言及预备知识 c a r l e s o n ；涣 j 度理论最早起源于l e n n a r tc a r l e s o n 8 的一篇关于单位圆盘d 上 有界全纯函数的b a n a c h 代数上的日冕问题，经典b e s o v 空间上的诸多性质在 文章【7 ，9 - 1 2 d 尸也得到了很好的结果然而近期n a r c o z z i ，r r o c h b e r g 和e s a w y e r 引入了一种新的研究全纯函数空间的方法，他们定义了 b e r g m a n 树上的离 散型c a r l e s o n 测度，分别研究了全纯情形下和树结构情形下的函数空间性质：参 考 1 ，2 ，4 - 6 这种方法从离散的角度去考虑c a r l e s o n 沏j j 度，揭示了在某些情况下 单位圆盘上的全纯函数在p o i n c a r e 度量下等同于常数本文采用n a r c o z z i ! r r o c h b e r g 和e s a w y e r 的方法研究了加权b e s o v 空间上的离散型c a r l e s o n ；坝l j 度的性 质，将原有的结果 1 - 4 】推广到加权，高阶导数以及不同指标的情形 本文的内容安排如下： 第一章：引言及预备知识；介绍了本文的相关背景知识及文中出现的符号，给出 b e r g m a n 树的构造以及本文的主要定理； 第二章：引理； 第三章：主要定理证明 一1 _ 第一章引言及预备知识 1 2 预备知识 我们记d 为复平面c 上的单位圆盘，日( d ) 为单位圆盘上所有全纯函数全体 7 为d 上的正规化的l e b e s g u e 测度，使得7 ( d ) = 1 记d ( z ) = ( 1 一例2 ) 口计( z ) 本 文中如无特别说明，均假设1 p o o ，口豫 对任意，( z ) = 嚣oa k z 七，定义分式导数 硎加书揣妻k = 0 絮揣啪七 m 1 ， 定义1 1 ( 加权b e s o v 空间) 对任一函数，日( d ) ，若满足： i i ，i i b 卿) ：= ( z ( 1 制归。m z ) ) m + i ，( 0 ) l 一1 ，常数，y 使得佗+ 7 ，佗+ ，y + 亡均为非负整数， r r ，。为分式导数我们则称，属于加权b e s o v 空间，记作，彤( d ) 我们容易看出， 当q = 2 时，即为经典b e s o v 空间 其中 接下来，我们给出单位圆盘d 上的树的构造 首先我们有树的w h i t n e y 分解 d = u 罂ou 枭1a n ，m ， n ，m = z d ：2 一n 一1 1 一i z l 2 一n ，l 百a r gz 一西m1 2 - ( n + 1 ) ) 一2 _ 第一章引言及预备知识 定义单位圆盘上b e r g m a n 树为 t = ，m ) ：n nu o ) ，m = l ，2 ，2 n ， t 中元素( 亿，m ) 为x n 。m 对应指标，称其为树的结点，特别地，o ：= ( 0 ，1 ) t 称为该 树的根结点当两个w h i t n e y ：方- 块n 朋n ，州相交于一段圆弧时，在树结构中结 点( 他，m ) ，( n 7 ，m 7 ) 之间有一条边相连为方便起见，我们记p ：= ( 佗，仇) z 妇= 如- 仇 设z ，秒t ，当z = 夕时，我们记【z ，。】= z ，d ( x ，z ) = o ；当z 时，记 【z ，y 】= x o ，x l ，z n ) ，d ( x ，y ) = t , ， 其中跏= 。，z n = y 巧- i ，为一条边的两个端点，我们称k ，引为z ，秒之间的测地 线 定义树上的偏序( z ) 为 z y z 【0 ，y 】 对任意z zz o ，z 一t ，若有 。一 z ， 且 d ( z ，z 一) = 1 则称为z 一为z 的母结点设t ，称s ( p ) = a t ：q p ) 为p 的c a r l e s o n 盒子 满足 其中 定义1 2 ( 树上加权b e s o v 空间) 对任一定义在树t 上的函数，：t c ，若 川州州= ( p 裂卅川阳枷， 朋牝o 。p t ，p d ，( p ) = f ( z ) d a ( z ) ，d a ( z ) = ( 1 一i z l 2 ) d v ( z ) ， j 8 3 一一u 一 第一章引言及预备知识 我们则称，属于树上加权b e s o v 空间，记作，骘( 丁) 本文主要定理 定理1 1假设 ( i ) 1 q 。，2 p o o ，o t - i ，或 ( i i ) 1 q 。o ，1 p 2 ，o l - 2 弘为单位圆盘d 上一正b o r e l 澳, u 度，使得 上( 1 咄1 2 ) - ( 口+ 2 伽 。o 则下列等价 ( i ) p 为树丁上的( 霹( 丁) ，q ) 一c a r l e s o n 测度，i e ， ( 吾( 薹，c 7 ，) gp c ，) 1 q c ( 磊e tf ( f ) n v a ( f 9 ) ) 1 加，v ，b ；c t ， ( i i ) 肛为单位圆盘d 上的( b 罟( d ) ，口) 一c a r l e s o n n i f f 夏，i e ， ( z i 化) | 口舡( z ) l q 训川即) ，v ，露( 毗 注记：当1 p o 。，1 q 一1 ，1 p 。o ，露( d ) 与乃( d ) 之间配对( ，) p ，p 定义为 ( ，9 ) p ，p = ( 历忽，留9 ) p = 露北) 留岛夕( z ) 咖( z ) p p 7，d pp ， = ( 1 一i z l 2 ) 宁贸，( z ) ( 1 一汗) 宇霹j 两幽，a ( z ) j d pp 由h 6 1 d e r 不等式我们易知 i ( ，9 ) p ，p l i l f l l s 萝l l g l l s ；, 由 1 3 的定理2 1 2 ，存在j e 7 芳( d ) 上的连续线性泛函a 和唯一的9 够( d ) 使得 a ，= ( ，夕) p ，p ，i i g l l e ；, = s u p i ( ，9 ) p 巾i i i l l s 窘= l 一5 第二章引理 引理2 1 设1 p 一l ，彤( d ) 在配对( ，) p ，p 下的对偶空间 为哆( d ) ，其再生核为 础( z ) = ( 吩) q ( 咚) 。磁( z ) ， 其中础z ) = ( 1 一面z ) 一( 斛2 ) 为加权b e r g m a n 空间a ( d ) 再生核 证明首先假设，为一多项式，则 ，( 叫) = ( 瑶) p = ( ( 勿) - 1 历，础) 卢 = ( 纫么，( 叨) 。磁) p = ( 勿 留( 略) - 1 ( 勿) 1 心) 卢 p pp 。 p = ( f ，磁护) 卢 p 又因为多项式在霹( d ) 中稠密，因此我们有心，p ( z ) 为露( d ) 的再生核 - 设p = ( 礼，m ) t ，若有 1 一俐= 丽3 ，百a r g z 一= o ， 则称为口的中心。我们记d ( x ) = l0 ，z 1 = d ( o ，。) + 1 测度肛为( 霹( 丁) ，g ) 一c a r l e s o n 测度是指露( t ) 可以连续嵌入到q ( t ) 中，即 或等价于对偶形式 ( j ，( p ) q p ( p ) ) ；c ( ，( p ) p ； ( 2 2 ) 口t卢t ( j 。( 9 p ) ( p ) p t ( ”矿1 g ( 9 ( p ) 口肛( p ) ) 7 1 ，g 0 ，( 2 - 3 ) 口t卢t 一6 - 第二章引理 矾舻三m 坳袱肛学 一r p u v7 对于一给定的单位圆盘d 上的的b o r e l 测度“，我们定义, b e r g m a n 树上的测度西为 郴) = 舭沪上口咖( 巩 同时，我们定义单位圆盘d 上的两个新测度厨，矿为 嘶) 。篆描础m 础 矿= 肛( 铷) 峨， 其中以为点测度，q 为芦的中心 引理2 2 设1 p ，q o o ，p 为单位圆盘d 上的正b o r e l 测度， 上( 1 一i z l 2 ) _ ( n + 2 ) 咖( z ) 。， 厨，矿定义如上所述则下列等价 ( i ) 肛为( 睇( d ) ，q ) - c a r l e s o n 测度； ( i i ) 厨为( 露( d ) ，g ) 一c a r l e s o n 测度； ( i i i ) 矿为( 露( d ) ，g ) 一c a r l e s o n 测鹿 证明首先我们有 i i 础t p 一硭巾呜 = 上l ( ，一川2 ) 铲吩( 础，p 一碟即( 刀) l ，d ( 叩) = 肛川2 ，叫而寺丐一南卜叩， 第二章引理 c zf = 占鬻咖c 叼，+ ( f = 罢耘如c 叩，) i f ( z ) 一，( t u ) l i ( ，彬护一磁，p ) p ，p i l f l b 罗l l k f f 巾一磁p i | 码 c 忖“彬( zf 二等赫咖c 叩，+ 上f = 嚣咖c 刀，) 1 川田， i fq 以 最后一个不等式的成立是根据( 【1 3 】) 的定理1 1 2 以及p ( z ，训) 为z 与“，之间 的b e r g m a n 距离， 比m 吲1o s 斟揣 我们注意到肛( d ) = 豇( d ) = 矿( d ) 以及此处c a r l e s o n 测度有界固定 f 霹( d ) ，记 郇如t ， 妇) 卢丁分别为甭中序列，满足 1 7i 郇，l5m a x1 ，l 伽jj ，j 八之口j j2m mi 八加j l ，p t i 81 i ，d 存在不依赖于，的正常数c 和c ，使得 c i ，( 纠阢( 酬厶m 枢哪( 酬m 酬， c 叭洲p 耻胚上口惭( 枢c i f ( w 卢) l 叫m ， c 似驯叫m 么8 i f ( 圳p 矿c f ( w z ) l 叫酬 一8 一 c e c l l 一 一 一 第二章引理 若我们记v l ，屹为p ，豇，中任意两个测度，则 i l f l l 工，( d l ，。) i i l f l l l p ( 砒) 一i i ，i l p ( 砒) i + i i f l i l ，( d r 。) ， 由m i n k o w s l 【i 不等式得到 f l l l n ( d v l ) - f i l p ( d v 2 ) i = l ( 磊zi ，c z ，l p d ，) ；一( 磊zl ，c 名，l p d 沈) ；l g ( 磊l ，c 即，一，c 妇，l p 肛c p ，) ；= ：j c 2 4 ， ( i ) 当q - 2 时， 由于对任意p t ，伽卢，妇p ，易知o 妒 口( 妇) r 1 ， ，c ( 暑萝 ( 1 一例z ) 加) ) p c l l ，i i 印 ( 磊c 1 一l u 谚1 2 ，一c 口+ 2 ，肛c p ，) ；+ ( 嘉c 1 一l p 1 2 ，一c 口+ 2 ) p c p ，) ；) c ii ii b 多( 卜”) 七+ 2 ) d z ( z ) c i i f l l b 爹， 其中r 为 o ，1 】之间一常数 ( i i i ) o t = 2 情形在( 4 】) 中已证， - 9 _ 第二章引理 一一 综上， i l f l l l ，( 砒) c , ( d ) l l i b 萝+ i i f l i l p ( d p 。) ， 引理得证1 5 l 理2 ，3 设1 r 对任意的，三1 ( d ) ，定义 t f ( 咖上告黔化m 则有 l f 于厂l l 驴c 由。，g ( 吾( 2 砌薹，n ，) r u 口c 厣，) ； 其中 加) 2 4 i f ( 圳酢) 证明 不妨先假设，0 ， 咖b c 蚓= z ( 上尚繁m ) r 嘶， 上( 南苫2 衅小胁卜毗 其中为处的c a r l e s o n 盒子，= ( 埘) 为锄的正倍数，同时满足l i f ： 2 m ( 1 一i 训i ) 固定常数“使得姜基 肛 o 吾剐卜仞7 轰卜卢， q 6 引理2 4 ( 4 】p 3 1 )给定树t 上的函数g 0 使得c ( o ) 0 满足 j h ( - r ) = g ( 7 ) ，7 t ， 当且仅当 g ( 7 ) 一0 ， n o o ； d h ) = g ( 7 ) 一g ( e j ) 0 ， 7 e j 成立其中为，y 子结点，+ ( ) = ，y 卢 ( 7 ) 一11 一 h 励 x “d 甲 外 v 州 所 2 一，一m 争磊 一 州 矽口 u 、)诤 7 矽口 脚肌 所 h 叭 矿 、l 少h r 御 旧删 p 矿 一 c 艘 g = 第三章主要定理证明 第三章主要定理证明 定理3 ，1 设1 p ，q o 。，p 为单位圆盘d 上的正测度并满足 ( 1 l z l 2 ) 一( n + 2 毗( z ) o 。 j d 若p 为树丁上的( 露( 丁) ，g ) 一c a r l e s o n 测度，则肛为单位圆盘d 上的( 娣( d ) ，g ) 一 c a r l e s o n 测度 证明 设( ，9 ) p = 厶厂( z ) 丽礼( z ) 为l g ( 肛) 与l q ( 弘) 之间的配对，1 口，一y ，- 删2 以9 ( z ) 枞( z ) 将( 2 2 ) 中肛( 矽) 替换成面( ) ，等价于 ( ，+ ( 筇) ( ( p ) ) 多g ( 多( 豇( p ) ) 争， 口t口t 由( 1 3 】) ，有( p ) ( 1 一l z l 2 ) 时2 2 一d ( 国 + 引从而 因此， 2 ( 。+ 2 ) p 7 d ) u 口( p ) 1 + p 7 v 2 v a ( p ) 1 + p ，= u n ( p ) ( 3 4 ) c ( j + ( 茹) ( ( p ) ) 矿1 口t c ( 多( p ) r 豇( ) ) 争 口t 1 5 _ 第三章主要定理证明 另一方面 从而我们有 雪( p ) a 7 口( p ) = 豇( p ) ( z9 ( z ) d 入( z ) ) ， c 础) z 出) 口，酬牡z 出) ( 巩 综上，( 3 3 ) 成立 (多(p)一屈(p)争c(上9(名)啦(z)寺bet 、fj p 又因为f | 罐川l ，( d u o 。) l i t ；g i l l p ，( 砒) ，所以面为( 霹( d ) ，g ) 一c a r l e s o n 测度，由引 理2 2 可知，p 为( 露( d ) ，g ) 一c a r l e s o n 测度 定理3 2设 ( i ) 1 q o o ，2 p 0 0 ，o t 一1 ，或 ( i i ) l q o o ，1 p 2 ，a - 2 若p 为单位圆盘d 上( b 爹( d ) ，口) 一c a r l e s o n 澳1 ，则芦为树丁上( b 萝( t ) ，q ) 一c a r l e s o n i 9 1 1 度 让明 砹肛刀早1 互圆盈助上【上管( 刎，g ) - u a r l e s o n 铡发【3 - 2 j 日j 改与为 41#c(上9cz，rd肛cz，)寺 等式左边等于 归忆s 即u p 。叭上蔫出赢) 丽酬l s ，u pl d t i i 蝣9 c z ，d p c z ，器d u a c 仞，l ( 3 - 5 ) 第三章主要定理证明 其中晶，0 叩 m ) 州z ) = ( 1 - 学历每上燕嘶) 由( 2 - 1 ) 我们有 因此 从而得到 ( 二毛) ，= 咄宁( f 毛) 宁棚， t t f ( w ) = f d 蒜北州 酬班滞2 历每上尚毗， 嗽小者祭2 上毋m 州 u j ( w ) = r 卢一宁宁喝宁瓦，( 叫) 又因为当n + m ，礼4 - - y + t 0 时，册”，t 为b e r g m a n 空间a ；( d ) 上有界算子( 推 论6 5 ( 1 3 】) ) ，故有 t 町f l l 二，( 咖。) = i i u f l l l ，( 帅) = f i r p 一宁争霸一2 ，皆玩州l ，( d u j b ) c l l f i i l ，( 幽口) = c i | t t l f l l l ( d v 。) ( 3 - 6 ) ( 3 5 ) 最后一行为 s 脚u pj j 删b 。妣，协* 咖) 一t j ( w ) d v 驯( 3 - 7 ) 一1 7 第三章主要定理证明 我们注意到当f o 时，( 孓7 ) 中积分为 j f 或9 ( 叫) f ( w ) d v 口( w ) ，d = 上上上( r 芝瓦) 铲+ q + 2 矽筝( r 妄再) 。7 咖( 叫) ，( 扪咖( 扪夕( z ) 毗( z ) = 上上( 南) 叼，( 力咖( 约夕( z ) 咄( 巩( a - s ) 最后等式是因为 ( 毒毛) 铲扣+ 2 = 吩础咐 通过将单位圆盘分解成w h i t n e y 方块口，我们可以将( 3 8 ) 中最后的积分离散 化同时，我们注意到 r e ( 南) 叩q 2 似卧助，z a 口，z 7 a 卢， 其中 ，y ：= 口ap = , n a x , - ：7 - 【0 ，q 】n 【0 ，p 】) q 为一正常数，0 r l 0 ，在7 7 = 1 时上不等式仍不成立我 们得到 l 上删切) t , t f ( w ) d v a ( 蜘) l z 上r e ( 南州) 9 ( 撕 岛吵d 卧所9 p ( a ) ，( p ) ， 口丁f l e t 其中，g 0 ， ，( ) = z ，( z ) d u ( 巩鲋( q ) = z 9 ( z ) 咖( z ) 1 8 第三章主要定理证明 又因为 2 似卧所夕p ( q ) ，( p ) a e t 口t 2 喇h ) g 肛( o o f ( 3 ) a e t p t q ，口1 2 似们g 弘( o o ，( ) y e t0 2 ，y p 7 2 n d h ) ，。9 肛( ，y ) ，。，( 7 ) 叱( 仍 一r t 故对任意9 l q 7 ( 咖) ，有 攀砥1 篆2 似唧衲扩m 地2 c ( 加训) 寺 若9 为非负而且在w h i t n e y 方块口上等价于常数，则上式右边可离散化为 则( 3 - 9 ) 即为 s u p ，o 从z 烨锄喜册肼 ( 3 - 9 ) 赢嘉2 似啦呐矿m m 铲c ( 磊删朋，广 我们令s = p a ，r = p ，6 = ? 7 ，p 充分大，由引理2 3 可得 元，l i l ，。咖。，c ( 喜( 2 叶d ，善，c 7 ，) p c p ，) 5 = g ( 篆c 2 t ，d ，j + ，c p ，p c p ，p + ，) ；， 综合此式与( 3 6 ) ，对树丁上的函数f ，g 0 ，有 2 咧，y ，+ 9 p ( ，y ) j f ( 7 ) v a ( 7 ) 2 7 e t _ 1 9 第三章主要定理证明 sc ? ( 吾夕c p ，a 7 肛c ，) 寺 2 ，q 2 ，口 一1 ，所以我们可取者 叼 l 使得1 一是叩+ 孝 m a x i ，而- i ，1 一r m + ( 乜+ 2 ) m 0 ，其o e o 7 7 1 ，同时g l q 7 ( d 肛) cl 1 ( 批) ( i i i ) 当l p 2 ，口一2 时， 2 - r d ( 1 ( 夕( p ) p ( 圳 u a ( 7 ) 卜p 7 叫删1 2 ) j ( d 岳咖m p ，厂) 5 p ，一1 2 ( 1 - 2 r + 2 ( 酣2 舻1 ) ) 等l 夕( p ) 肛( p ) l d ( 1 ) = p 1 l k f l ) , ( f 1 ) l _ o ， _ o o d ( 7 ) = p 7 最后不等式是因为当1 p 2 ，qs 一2 我们可令( 口+ 2 ) ( p 7 1 ) + ； 叩 i n n 满足l 一2 7 + 2 ( 口+ 2 ) 0 7 1 ) 0 ，g l q ( d 弘) cl 1 ( d p ) 综上，( 3 - 1 2 ) 得证 接着，我们证明条件( 3 1 3 ) 首先我们证明当q 一1 时，( ) ( 7 ) 注意 到当q 而2 【2 一n ( a + 1 ) 一2 一( - - i - 1 ) ( o t + 1 】， 上式显然成立 ( i ) 当p 2 时， 2 - 2 ( a + 1 ) 一3 2 - ( a + 1 ) + 2 0 ， 因为p 7 1 1 ，我们有 ，2 - r j d ( r # ) 睁m p ，厂嘣科叫 c 7 ，1 一矿莩2 一町d c ，( 荟9 c p ，p c p ，) 一1 3p 2 、j u a c 7 ，1 一2 一刁d n ，( 莩乏9 c p ，p c p ，) 一一1 2 3 一 ( 3 _ 1 4 ) 第三章主要定理证明 = u 口c 7 ，1 一矿2 一删【c 1 ，( 荟9 c 卢，p c p ，) 矿一1 ( i i ) 当1 p 2 时， 因为d ( ) = d ( 7 ) + 1 ，歹= 1 ，2 ，由h 6 l d e r 不等式可得 ，2 - , 7 d ( - y j ) ( 乏9 c p ，p c p ，) 一1 2 一叩d n ，一叼2 等( 莩磊夕c ，肛c ，) 南 2 一叩d n ，2 一竹2 署( 莩9 c p ，p c ，) 南 2 一叩d c 们( 莩9 c p ，肛c p ，) 南 最后不等式是因为可取适当的叩使得舞 叼 1 因此我们证明t g ( - y ) = 2 一叼嘶) ( r 夕肛( 7 ) ) 矿一1 满足引理2 4 中的两个条件，所 以( 3 1 1 ) 成立，从而( 2 3 ) 成立定理得证! - 2 4 参考文献 参考文献 f 1 n a r o c o z z i ，c a r l e s o nm e a s u r e sf o ra n a l y t i cb e s o vs p a c e s ：t h eu p p e rt r i a n g l e c a s e ，j i n e q u a l p u r ea p p l m a t h ，v o l u m e6 ，i s s u e1 ，a r t i c l e1 3 ，2 0 0 5 2 】n a r c o z z i ，r r o c h b e r g ，t o p i c si nd y a d i cd i r i c h l e ts p a c e s ，n e wy o r kj m a t h 1 0 ( 2 0 0 4 ) ，4 5 6 7 【3 】n a r c o z z i ，r r o c h b e r g ，e s a w y e r ，c a r l e s o nm e a s u r e sf o ra n a l y t i cb e s o v s p a c e s ，r e v m a t i b e r o a m e r i c a n a1 8 ( 2 0 0 2 ) 4 4 3 5 1 0 4 】n a r c o z z i ，r r o c h b e r g ，e s a w y e r ，c a r l e s o nm e a s u r e sa n di n t e r p o l a t i n gs e - q u e n c e sf o rb e s o vs p a c e so nc o m p l e xb a l l s ，m e r e a m e r m a t h s o c 1 8 2 ( 8 5 9 ) ( 2 0 0 6 ) 【5 】n a r c o z z i ，r r o c h b e r g ，e s a w y e r ， c a r l e s o nm e a s u r e sf o rt h e d r u r y a r v e s o nh a r d ys p a c ea n do t h e rb e s o v s o b o l e vs p a c e so nc o m p l e x b a l l s ，a d v a n c e si nm a t h e m a t i c s2 1 8 ( 2 0 0 8 ) 11 0 7 - 11 8 0 6 】n a r c o z z i ，r r o c h b e r g ，e s a w y e r ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ec a r l e s o n m e a s u r e sf o ra n a l y t i cb e s o vs p a c e s ：as i m p l ep r o o f c o m p l e xa n dh a r m o n i c a n a l y s i s ，1 6 7 1 7 7 ，d e s t e c hp u b l ，i n c ，l a n c a s t e r ，p a ，( 2 0 0 7 ) 【7 】b b s e ，i n t e r p o l a t i n gs e q u e n c e sf o rb e s o vs p a c e s ，j f u n c t i o n a la n a l y s i s ，1 9 2 ( 2 0 0 2 ) ，3 1 9 - 3 4 1 【8 l c a r l e s o n ，i n t e r p o l a t i o n sb yb o u n d e da n a l y t i cf u c t i o n sa n dt h ec o r o n ap r o b - l e m ，a n n a l so fm a t h 7 6 ( 1 9 6 2 ) ，5 4 7 - 5 5 9 2 5 参考文献 【9 】c c a s c a n t ea n dj o r t e g a ，c a r l e s o nm e a s u r e so ns p a c e so fh a r d y - s o b o l e v t y p e ，c a n a d j m a t h 4 7 ( 1 9 9 5 ) ，11 7 7 - 1 2 0 0 【l o 】d l u e c k i n g ，r e p r e s e n t a t i o na n dd u a l i t yi nw e i g h t e ds p a c e so fa n a l y t i cf u n