（基础数学专业论文）四元环上的gh码.pdf

内容提要 设g 为初等a b e l l a n2 一群，f 为特征是2 的有限域，f g 为相应的群代数 1 9 7 9 年。c a m i o n 在f g 中引入一类特殊的a b e l i a n 码，称为h 一码，并证明了群 代数f g 中的h 码总是自偶码。且它是双偶自偶码( 即型i i 码) 的充分必要条 件是h 一码的生成元的h a m m i n g 重量是4 的倍数1 9 8 4 年，b h a t t a c h a r y s 作进 一步的推广，用偶数阶a b e l i a n 群代替初等a b e l i a n2 一群，引入广义h 一码( 也 称为g h 一码) 同时他指出一个g h 一码的投射核类似于h 一码，但是一个g h 一 码未必是自偶码1 9 9 6 年，r w e i 和朱烈为了给出g h 一码是双偶自偶码的判 别条件引入g h 一集，并给出了g h 一码是双偶自偶码的充分必要条件同时指 出，在非二元域上该形式的g h 一码不是型i i 码( h a m m i n g 重量定义下) 本文考 虑四元环上g h 一码 本文由四部分组成第一部分首先给出四元环上线性码的相关概念，符号和 结论，并定义g h 一码，给出四元环上g h - 码是自偶码与型i i 码的充分必要条 件不同的有单位元的四元交换环有4 个tg f ( 4 ) ，f 2 + u f 2 ，f 2 + 马和z 4 本 文在第二、三、四部分分别考虑g f ( 4 ) ，f 2 + u f 2 和f 2 + f 2 上的g h 一码，引入 相应的g h 一集对的概念。给出g h 一码是型i i 码( l e e 重量定义下) 的充分必要 条件在第四部分最后证明了在z 4 上不存在是自偶码的g h 一码 关键词：四元环上的线性码，a b e l i a n 码，型i i 码g h 一码，g h 一集对 a b s t r a c t l e tgb ea l le l e m e n t a r ya b e l i a n2 _ g r o u p ，fnf i n i t ef i e l do fc h a r a c t e r i s t i c2 ，f g t h ec o r r e s p o n d i n gg r o u pa l g e b r a c a m i o n ( 1 9 7 9 ) i n t r o d u c e das p e c i a lc l a s so fa b e l i a n c o d e sw h i c ha r et h e nr e f e r r e dt o h - - c o d e s t h e s ec o d e sa r ep r o v e dt ob es e l f - d u a l a n dt h a tah - c o d ei sd o u b l ye v e ns e l f - d u a lc o d e ( t y p ei ic o d e 、i fa n do n l yi ft h e h a m m i n gw e i g h to fi t sg e n e r a t i n ge l e m e n ti sam u l t i p l eo f4 b h a t t a c h a r y a ( 1 9 8 4 ) d e f i n e dag e n e r a l i z e dh - c o d e ( g h - c o d e ) ，i nw h i c ht h ee l e m e n t a r ya b e l i a n2 - g r o u pi s r e p l a c e db ya na b e l i a ng r o u po f e v e no r d e r h ea l s op o i n t e do u tt h ep r o j e c t i v ek e r n e lo f ag h - c o d ei ss i m i l a rt ot h a to fah - c o d e b u tag h - c o d ei sn o tn e c e s s a r i l ys e l f - d u a l i t w e ia n dl z h u ( 1 9 9 6 ) g a v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rag h _ c o d et ob e d o u b l ye v e ns e l f - d u a lb ym e a n so fg h - s e t w h e nt h ef i n i t ef i e l dfi sn o tf 2 ，t h e ya l s o p o i n t e do u tt h a tag h - - c o d ei sn o tat y p ei ic o d e ( u n d e rh a m m i n gw e i g h t s ) i nt h i s t h e s i sw ec o n s i d e rg h - c o d e so v e rq u a t e r n a r yr i n g s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t o4s e c t i o n s i ns e c t i o n1 w ei n t r o d u c es o m ec o r r e l a t i v e b a c k g r o u n do fo u rm a i nc o n t e n t sa n dr e s u l t s t h e nw ed e f i n et h eg e n e r a l i z e dh _ c o d e s o v e raq u a t e r n a r yr i n g ，a n dg i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rag h - c o d et o b es e l f - d u a lo rat y p ei ic o d e t h e r ea r e4d i f f e r e n tq u a t e r n a r yc o m m u t a t i v er i n g s w i t hi d e n t i t y ：o f ( 4 ) ，毋+ 兄，玛+ f 2a n dz 4 i ns e c t i o n s2 ，3a n d4 ，w ec o n s i d e r g h - c o d e so v e ro f ( 4 ) ，f 2 + u 足a n df 2 + v f 2r e s p e c t i v e l y , i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no f c o r r e s p o n d i n gg h - s e tp a i r s ，a n dg i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rag h - c o d e t ob eat y p ei ic o d e ( u n d e rl e ew e i g h t s ) a tt h ee n do fs e c t i o n4 ，w ep r o v et h a tt h e r e i sn og h - c o d eo v e rz dt ob es e l f - d u a l k e yw o r d s ：l i n e a rc o d eo v e rq u a t e r n a r yr i n g s ，a b e t i a uc o d e ，t y p ei ic o d e ，g l l - - c o d e ， g h - s e tp a i r s 引言 1 9 4 8 年，c e s h a n n o n 的”通信的数学理论”一文标志了编码理论的开端， 首次阐明了在有扰信息中实现可靠通信的方法，提出著名的有扰信息编码定理， 奠定了纠错码的基石；同时证明了好码的存在性自此以后，根据s h a n n o n 的思 想，很多人给出了一系列设计好码和有效译码的方法，例如h a m m i n g 码，b c h 码，g o p p a 码等从而纠错码受到越来越多的通信和数学工作者的重视线性码 是重要的一类纠错码，不仅因为利用线性代数工具，使纠错编码。纠错译码和决 定最小距离都比较方便，而且大多数纠错性能较好的纠错码都是线性码 设g 是域f 上的一个坼，k ，d 】一线性码，那么关于e u c l i d e a n 内积的对偶码 c 上为h t l k ，d j 】一码特别地，若c = c i ，则称c 为自偶码文f 卜1 0 】表明 自偶码在实际应用和理论上都具有重要的地位。因此这类码引起广大学者的关 注尤其，在自偶码中，如果每个码字的重量都是某个常数的倍数，这种自偶码 引起很多人的研究1 1 1 1 3 j 1 9 9 3 年，文 14 】中阐明了环z 4 上的线性码在格雷映 射( g r a ym a p ) 的作用下的象是二元域上的非线性码，而一些重要的二元非线性 码( 如k e r d o c k 码等) 正是z 4 上的线性码在g r a y 映射下的象；同时环上的线性码 还可以应用到模格中n 5 1 8 】t 这正是人们研究环上的线性码的重要原因特别是 四元环上相关的码的研究得到迅速的发展，取得很多优异的研究成果【1 0 - 1 5 ， 1 7 ，1 9 - 2 9 循环码是类重要的线性码。它具有严谨的代数结构，其性能易于分析；并 且其编译码电路。特别是编码电路简单易于实现因此特别引人注意 a b e l i a n 码是循环码的推广一设g 为a b e l i a n 群，f 为有限域。f g 为相应的群代数，则 f g 上的非零理想称为a b e l i a n 码当g 是循环群时a b e l i a n 码就是循环码 1 9 7 9 年，c a m i o n 定义了一类特殊的a b e l i a n 码，即h _ 码【9 ，2 3 ，2 4 】：设g 为基本a b e l i a n2 一群，f 为特征为2 的有限域，f g 为相应的群代数，日为群 g 的个指数为2 的子群，若f g 中的一个元素= 口g x g x 9 满足咋h = 。胡而= 1 ，则称f g 上由元素$ 生成的主理想( $ ) 为h - 码。同时证明了群代数 f g 中的h - 码总是自偶码，且它是双偶自偶码的充分必要条件是h 一码的生成元 的重量是4 的倍数1 9 8 4 年，b h a t t a c h a r y a 作进一步的推广，用偶数阶a b e l i a n 群代替初等a b e l i a n2 一群，引入广义h 码 2 5 ：设g 为偶数阶a b e l i a n 群，f 为 特征为2 的有限域，f g 为相应的群代数，日为群g 的一个指数为2 的子群， 若f g 中存在一个形如= = x o + 。曲z g x g 的幂零元，则称f g 中由元素。生 成的主理想z ) 为广义b 码( 记为g h 码) 同时他指出一个g h _ 码的投射核类 似于h _ 码，但是个g h _ 码未必是自偶码1 9 9 6 年，r w e i 和朱烈 2 6 j 为了 给出g h 一码是双偶自偶码的判别条件引入g 肿集，并给出了g h - 码是双偶自 偶码的判别条件同时指出，在非= 元域上该形式的g h - 码不是型i i 码 本文用四元环代替有限域。引入群环r g 中的广义骷码，并进一步探讨四 元环o f ( 4 ) ，f 2 + u f 2 ，f 2 + r e 2 ，z 4 上g h 一码是型i i 码的判别条件 本文由四部分组成第一部分首先给出四元环上线性码的相关概念，符号和 结论，并定义g h 一码，给出四元环上g h 一码是自偶码与型i i 码的充分必要条 件不同的有单位元的四元交换环有4 个；g f ( 4 ) ，f 2 + “f 2 ，f 2 + f 2 和z 4 本 文在第二、三、四部分分别考虑g f ( 4 ) ，f 2 + u f 2 和f 2 + 马上的g h 一码，引入 相应的g h 一集对的概念，给出g h 一码是型i i 码( l e e 重量定义n 的充分必要 条件在第四部分最后证明了在z 4 上不存在是自偶码的g h 一码 2 1 四元环上的线性码和g h 一码 本节给出四元环上的线性码的相关的基本概念和符号，一些相关定理和已知 结论引入四元环上的相应群环中广义h - 码( g h - 码) 的定义，给出其为自偶 码或型i i 码的判别条件文中出现的符号和应用的相关结论来自m a c w n l i a n s 和 s l o a n e ( 1 9 7 7 ) 2 7 的编码理论f 2 均代表二元域g f ( 2 ) = ( 0 ，1 ) 为模n 剩余类 环，n 为正整数 1 - 1 基本概念和符号 最近几年，作为有限域的自然推广，关于四元环上码的研究引起广大学者的 兴趣，发表了许多文章有限域g f ( 4 ) 上的线性码在1 8 ，1 2 ，1 5 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】等文中得 以研究；1 9 9 3 年，文 1 4 中阐明了环z 4 上的线性码在格雷映射( g r a ym a p ) 的 作用下的象是二元域上的非线性码，而一些重要的二元非线性码( 如k e r d o c k 码 等) 正是甄上的线性码在g r a y 映射下的象；同时环上的线性码还可以应用到模 格中1 5 - 1 8 这正是人们研究环上的线性码的重要原因特别是四元环上相关的 码的研究得到迅速的发展，取得很多优异的研究成果 1 0 - - 1 5 ，1 7 ，1 9 - 2 2 1 本文中所探讨的四元环都是具有单位元的交换环，文1 3 1 l 中指出在同构意义 下具有单位元的不同四元交换环只有4 个，4 元g a l o i s 域g f ( 4 ) f f i o ，l ，卢，卢) ( 其中口= 卢2 = 卢+ 1 ，卢3 = 1 ) ；模4 剩余类环z 4 ；f 2 + f 2 = o ，1 ，u ，面= 1 + t ) ( 其 中u 2 = 0 ) 和环f 2 + f 2 = o ，1 ，口= 1 + ) ( 其中铲= ) f 2 + u f 2 介于 g f ( 4 ) 和z 4 之间，同时具有g f ( 4 ) 和z4 的一些良好的性质而且而+ u 如型 f 2l x ( z 2 ) ，f 2 + f 2 型f 2 f 2 它们的具体乘法与加法运算见表1 - 4 表1 ：域g f ( 4 ) 上的加法与乘法表 3 表2 ：环z 4 上的加法与乘法表 表3 ：环岛+ “马上的加法与乘法表 表4 ：环f 2 + ”f 2 上的加法与乘法表 下面如果没有特别说吼用r 表示任意一个四元环，令 月“= f ( z 1 ，9 2 ，) 柳r ，i = 1 ，2 ，t ，扎) 则j p 构成r - 模 定义1 1 1 r “的予模c 称为r 上n 长线性码；码c 中的元素称为码字 在四元环上可以定义不同的重量，其重量函数定义如下； 定义1 1 2 1 3 2 】函数 为四元环r 到实数集r 上的映射，满足w ( 0 ) = 0 ，w ( x ) o ( 其中$ 0 且z 月) ，则称 为r 上的重量函数；码字的熏量定义为其各分量 的重量的有理和 不同四元环上的具体重量定义如表5 - 6 1 3 2 1 ，分别用h 勺( ) ，耽( ) ，w ( ) 来表示 e u c l i d e a n 重量，l e e 重量。h a m m i n g 重量一个线性码的极小重量是指一个码 中非零码字的重量的最小值，分别记作d e ，d l ，妇 4 z 4f 2 + u f 2 e u c l i d e a nw e i g h tl e ew e i g h t h a m m i n gw e i g h t 0 0 0 00 11111 242l 3u111 表5 ：环劫和环毋+ u f 2 上元素的重量表 g f ( 4 )f 2 + f 2 l e ew e i g h th a m m i n gw e i g h t 00o 0 il 21 口v 11 疗21 l 表6 ：域g f ( 4 ) 和环f 2 + v f 2 上元素的重量表 定义1 1 3 设= ( x l , ，z 。) ，y = ( y l ，班，y n ) 为舻中任意两个元素， 定义酽上的e u e l l d e a a 内积如下： n ( 螂) = x i y i t 兰1 本文中关于对偶理论的内积均指e u c l i d e a n 内积特别地，令 g 上= 嚣i ( z ，c ) = 0 ，茁舻、c g ) ， 若口为n 长线性码，则容易验证g 1 为n 长线性码。称口1 为c 的对偶码如 果g g 且，则称口是自正交的如果口= c 吐，则称g 是自偶的有一类自偶码 引起学者的关注，即码中的每个码字的重量都是某个常数的倍数，在本文中定义 为型i i 码，具体如下； 定义1 , 1 4 设d 为r 上n 长自偶码，则对应的型i i 码定义如下t ( 1 ) 【1 2 ，z s 当r = g f ( 4 ) 或冗= f 2 + u f 2 或毋+ f 2 时，若g 且 帆( ) 10 ( r o o d4 ) ，称c 为r 上的型i i 码 ( 2 ) 【1 1 】当r = z 4 时，若v $ c 且w e ( x ) i0 ( r o o d s ) 称g 为z 上的型i i 码 对于r 上n 长线性码g ，若用l c i 来表示码g 中所含的码字的个数，那么可 定义码的维数如下t 5 定义1 1 5 设c 是r 上n 长线性码，称l 0 9 4 i c i 为c 的维数，记为d i m c = l o g ai c i 特别地，当r = g f ( 4 ) 时，d i m c = l 0 9 4l c l 与通常域上向量空间定义的维数 相等 对于r 上n 长线性码c ，若d i m c = k ，极小重量记为d ，此时码的参数记为 hk ，胡当涉及具体的极小重量时，通常在d 的右下角加上一个相应的大写字 母，如当极小重量是e u c l i d e a n 重量时，用如来代替d ，其它的类似对于m ，k ，d 】 线性码，文1 1 1 ，13 】中定义了码的等价特别地，当r = z 4 ( 或尼+ 尼) 时，在等 价意义下，【n ，k ，司- 线性码c 的生成矩阵形如： g = l 台地a 曼i 其中a ，b 为r 上的矩阵，d 为二元域马上的矩阵，当r = z 4 时， = 2 ；当 r = 玛+ u f 2 时， = “ 前面给出了环r 上线性码的些基本概念，本文将在群环中探讨相关的内 容为此介绍群环的基本概念 设g 为n 阶a b e l i a n 群，运算为加法；r 表示任意一个四元环群环r g 中 的元索用多项式来表示，记r g 中的元素为t z = x g x g ge g 其中z 口最妇g 其运算如下定义： $ + = ( + y g ) x 9 口g z y = ( u h ) x ， k gg + h = k a g = ( 1 勺) x 9 ，a r 口g 若g = 9 0 , 9 t ，g n 1 ) ，定义群环r g 到r - 模r ”的映射，为 ，【$ ) 一扣，x g ，：9 9 n 1 ) 6 其中= k n - - o i z “x “r g ，则容易验证，为群环r g 到r _ 模毋的同构映射 在这个意义上，r g 中一个理想g 可以看作皿模酽上的子模，称理想g 为 r 上n 长线性码因此r g 中的线性码与j p 上的线性码在本质上是一致的，只 不过在表现形式上不一样。从而可以定义r g 中相应的基本概念。这里就不再一 一叙述特别地r g 中的元素z l = 。g x g ，。2 = g e g 的即的内积仍然记为 ( 。l ，施) = 口g x g y g 7 1 2 基本结论 从编码理论中关于码的生成矩阵与对偶码的生成矩阵的关系，容易证明； 命题1 2 1 设c 为月= z 4 ( 或f 2 + u 见) 上的线性码，生成矩阵形如 g h 乏是j 则a 上为线性码且生成矩阵形如 g 十毛爱k 州 其中a ，b 为r 上的矩阵， “表示矩阵的转置，d 为二元域马上的矩阵，当 r = z 4 时，a = 2 ；当r = f 2 + u f 2 时，a = u 由文献 1 3 j 的推论3 2 和文献【1 1 ，1 2 】- 7 程4 如下两个结论t 命题1 2 2 1 1 1 】当r = z 4 时，若g 为n 长型i i 码，则n i0 ( m o d 8 ) 命题1 , 2 3 1 1 2 ，1 3 1 当r = g f ( 4 ) 或f 2 + u f 2 时，c 为n 长型i i 码，则ni0 ( m o d 4 ) 由文献f 3 3 j 可得如下结论t 命题1 2 4 3 3 】当r = f 2 + u f 2 时，c = 卢“( 岛，伤) 是自偶码的充要条件是 c 1 和c 2 为二元自偶码 命题1 2 ，5 3 3 】设c 为r = 乃+ 如上的线性码，c 中的码字c = 卢一( c l ，q ) ( 其中c l 和c 2 为二元码q 和岛的码字) ，则w l ( c ) = w h ( c 1 ) + w 0 ( c 2 ) 命题1 2 6 当r = f 2 + v f 2 时，若c 为 长型i i 码，则0 ( r o o d 4 ) 证明；因为c 为n 长型i i 码，所以c 为n 长自偶码由f 3 3 知必存在”长二 元自偶码a ，劬使得c = 卢( c 1 ，q ) 因为西，岛为n 长二元自偶码，根据【3 4 】 知n = 0 ( m o d 4 ) ，所以命疆成立命题证毕 引理1 2 7 设g 为r 上n 长的线性码，则d i m c + d i m c l = n 证明t ( 1 ) 当r = g f ( 4 ) 时，码g 相当于有限域g f ( 4 ) 上n 维向量空间的子空 间，d i mc = l 0 9 4i d 与通常域上向量空间定义的维数相等，所以d i mc + d i m e 1 = n ( 2 ) 当r = f 2 + u 恐时，由码的等价性可设它的生成矩阵形如t g = i 等u a 。品i 其中a ，b 为r 上的矩阵d 为二元域f 2 上的矩阵码g 包含所有码字h ，u 1 1 g ， 其中t j 0 为r 上k l 长的向量，”1 为毋上k 2 长的向量，那么码g 的码字总数为 4 k 1 2 b ，由命题1 2 1 知i c l i = 铲一k 一b 2 k 。，所以 d i m c = l o g 们f = h + ； 从而 d i m c + d i m e i ；n ( 3 ) 当月= z 4 时，证明过程类似于( 2 ) ( 4 ) 当r = f 2 + 玛时，定义r 到f 2xf 2 的映射卢为t 卢( o ) = ( o ，o ) ，卢( 1 ) = ( 1 ，1 ) ，卢( ) = ( 0 ，1 ) ，卢( o ) = ( 1 ，o ) 由文献【3 3 】的引理4 1 的( h i ) 的证明过程可 知卢是环同构且映射卢可自然推广到舻上从而对于r 上的一个线性码c 存 在二元码c l 和岛使得c = 卢一1 ( q ，圆) ，且c 1 = 卢一( c f ，c ) 所以 d i m g = 1 0 9 4j c i = l 0 9 4l g l | 1 岛1 = l 0 9 4 i g l i 十l 0 9 4 f c l f = ；l o g 。i c - i + 沁i 岛l = ；d i m q + j l d i m q ， 同理可得t d i m c l = j 1u u u u l i ，j 1u u u 。2 i 由( 1 ) 知在二元域上有 所以 d i m c + d i m 甜= n ，t = l ，2 d i m c + d i m c 上：n 9 b l 一2 + 孔 乜争 _ 一 一 p h h 垴一 | | = = 上 ( )md 综合上面的论述可知引理成立引理证毕 引理1 2 8 设c 为r 上n 长的自偶码，v a ，b c ，有下列结论成立： ( 1 ) 当r = f 2 + u f 2 ( 或毋+ 口恐或g f ( 4 ) ) 时，若矸七( n ) ；o ( m o d 4 ) ，w l ( b ) i 0 ( r o o d 4 ) ，则w l ( a + 10 ( r o o d 4 ) ( 2 ) 当r = z 4 时。若h 名( d ) 三0 ( r o o d s ) ，h ( 6 ) 兰0 ( r o o d 8 ) ，则w 名( a + 6 ) 三 0 ( r o o d s ) 证明，( 1 ) 若r = f 2 + u f 2 ，由文献【1 3 】的命题4 3 即得此结论 若r = 玛+ v f 2 ，c 为r 上n 长的自偶码，从而存在- - 元码自偶码c l 稚q 使得c = ；3 - i ( c l ，c 2 ) ，其中卢为引理1 2 7 中提到的环同构故可设 a = p 一1 ( n 1 ，0 2 ) ，b = ；3 - 1 ( 6 1 。5 2 ) a 1 ，6 1 c 1 ，d 2 ，b 2 q 因为卢为环同构，所以有 由命题1 2 5 可知 a + b = ；3 - 1 ( d l + b l ，a 2 十b 2 ) w i ( 口+ b ) = w ( n 1 + 6 1 ) + w 膏( d 2 + 6 2 ) = w h ( a 1 ) + w h ( b 1 ) 一2 ) + ( 扣，x 1 ) + 恤，y 1 ) + ( y ，吼) ) io ( m o d 4 ) 所以 ( 甄x 1 ) + ( y ，y 1 ) eo ( m o d 4 ) ， 另一方面 w i ( n + b ) = w 膏0 + 确) + w 打( 总+ y i ) = w h ( z ) + 仰( v ) 一2 枷，z 1 ) + w ( x 1 ) + w 日( y 1 ) 一2 扫，y 1 ) = w l ( a ) + w l ( b ) 一2 ( ( z ，x 1 ) + 扫，v 1 ) ) 根据已知，综合上面的论述可知w l ( a + b ) o ( m o d 4 ) ( 2 ) 当r = z 4 时。设n = ( $ l x 2 ，n ) ，b = ( 玑，2 t ，鼽) ，记”玎2l k l # k 2 ，o k ：j ，k = 1 ，2 ，一，n ) t j 悻k = j ，挑= e ，k = 1 ，2 ，- 一，n l ，则 耽( 口+ b ) = 勺( o ) + w e ( b ) 4 - 2 n n 一4 n n 一2 n 1 3 8 n 2 2 + 凯3 3 4 n 2 3 = w 叠( o ) + w e ( b ) + 2 ( n n + n 3 3 2 n i 2 一n 1 3 2 n 2 3 ) 一8 n 2 2 ， 因为z 4 上的任意一个元素均可表示为c + 2 d 的形式，其中c ，d 为二元域f 2 上的 元素，所以可设 d = 8 1 + 2 a 2 ，6 = 6 l + 2 k ，( 眦，饥曰， = 1 ，2 ) 因为g 为自偶码，所以( a 一) eo ( m o d 4 ) ，而 ( ，b ) = ( a l + 2 a 2 ，b i + 2 b 2 ) = 缸1 ，b 1 ) + 2 ( a i ，6 2 ) + 2 ( a 2 ，b t ) + 4 ( a 2 ，b 2 ) ， 1 】 所以 ( a l ，b 1 ) 10 ( m o d 2 ) 又因为 ( 1 2 1 ，b 1 ) = n i l + n 1 3 + n 3 3 所以 r i l l + n 1 3 + n 3 3 兰0 ( r o o d 2 ) - - - ( 1 ) 另一方面。因为 ( a ，b ) = n u + 2 n 1 2 + 3 n 1 3 十4 仲2 2 + 6 n 2 3 + 9 n 3 3 ， 所以 n 1 1 + 2 n 1 2 + 3 n 1 3 + 4 n 2 2 + 6 n 2 3 + 9 n 3 3 三0 ( m o d 4 ) 即 n i l + 2 n 1 2 + 3 n 1 3 + 2 n 2 s + n 3 3 三0 ( m o d 4 ) - - - - ( 2 ) 从而( 1 ) 2 一( 2 ) 得： r i l l + n 3 3 2 n 1 2 一h i 3 2 n 2 3 10 ( m o d 4 ) 所以w e ( a + b ) 0 ( m o d 8 ) 综上所述可知引理成立引理证毕 引理1 2 9 设c 为r 上n 长的线性码，v a c ， r ，有下列结论成立： ( 1 ) 当r = f 2 + u 兄时，若耽( 曲e0 ( r o o d 4 ) ，则w l ( a ) e0 ( m o d 4 ) ( 2 ) 当r = z 4 时，若w e ( a ) i0 ( m o d 8 ) ，则( 地) i0 ( r o o d 8 ) 证明；( 1 ) 当r = f 2 + u f 2 时，若w l ( a ) ；0 ( r o o d 4 ) ，则当 = 0 ，1 时，显然 w n ( x a ) e0 ( m o d 4 ) ； 当 = u 时，设n 中分量是1 或面的个数为m ，分量是 的个数为n 2 ， 则有w l ( o ) = n 1 + 2 n 2 ，从而n 1 + 2 n 2e0 ( m o d 4 ) ，所以n le0 ( m o d 2 ) ，又因为 耽( u d ) = 2 n i ，所以耽( a 口) i0 ( m o d 4 ) ； 当 = 面时，地= 0 + l k = u 口十n ，根据引理1 2 8 ( 1 ) 知此时结论成立 综上所述可知该结论( 1 ) 成立 1 2 ( 2 ) 当r = z 4 时。证明方法同上 综上所述可知引理成立引理证毕 但应当注意当r = f 2 + v f 2 时，引理1 2 9 不成立 例如t 口= ( 1 ，0 ，1 ，u ， ，0 ) ，则( o ) 为8 长的线性码，因为w l ( n ) = 2 + 2 + 1 + 1 + 1 十1 = 8 ，所以w l ( a ) 10 ( m o d 4 ) ；但 口= ( ，0 ， ， ， ，0 ，u ， ) ，且 w l ( v a ) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 ，所以w l ( v a ) i2 ( r o o d 4 ) 当r = g f ( 4 ) 时引理1 2 9 不成立例如tb = ( 1 ，卢，卢，o ) ，则为4 长的线 性码，此时w l ( a ) 一2 + 1 + 1 ；4 ，所以w l ( 口) 0 ( r o o d 4 ) i 但肪= ( 成胪，俨，o ) ， 且耽( 口6 ) = 1 + 1 + 1 = 3 ，所以耽( 卢6 ) = 3 ( r o o d 4 ) 1 3 1 3r g 中广义h 一码 设g 为初等a b e l m n2 - 群，f 为具有特征2 的有限域，f g 为相应的群代数， 1 9 7 9 年c a m i o n 引入f g 上h _ 码的定义( 参见f 9 , 2 3 ，2 4 】) 1 9 8 4 年，b h a t t a c h a r y a 2 5 1 把f g 上小码的定义进行推广，用一般的a b e l i a n 群代替初等a b e l i a n2 - 群， 引入f g 上广义m 码( g h _ 码) 的定义1 9 9 6 年，r w e i 和l z h u 2 s 给出二 元域上广义h 。码( g h 。码) 为自偶或型i i 码的判别方法，同时指出当域不是二 元域时，不存在是型i i 码的g h 一码本文作进一步的推广，从二元域推广到四 元环，在相应的群环r g 中定义广义h _ 码( g h - 码) 和给出其为自偶或型i i 码 的判别条件为方便叙述若没有特别说明。本小节中r 表示任意个有单位元 的四元交换环，g 为偶数阶的a b e l i a n 群，其阶数为n ，运算为加法，日为g 的 一个指数为2 的子群，h u z = g 为g 的陪集分解，r g 为相应的群环 定义1 3 1 若存在r g 中形如， z = x o + f z g x 9 g _ | 亍 的幂零元，其中勺兄，对v g 疗，则称理想c = 为r g 中广义h - 码，或 r g 中g h 0 码 特别地，当r 为特征是2 的有限域f 时，r g 中g h - 码为f g 上g h 一码； 若r 为二元域g f ( 2 ) ，g = g f ( 2 8 ) ，蚱疗勺= 1 ，则r g 中广义h - 码为f 2 上 l i _ 码 文献【g j 指出昂上任个h 码e 总是自偶码，且若c = ，则0 x 6 f h 田 是g 的一组基文献1 2 6 】中指出f g 上g h - 码未必是自偶码，同时给出其为自 偶码的判别条件显然r g 中g h - 码未必是自偶码为此感兴趣的是在什么情 况下群环r g 中g h - 码是皂偶码首先证明一个命题t 命题1 3 2 设。= x o + * 曾z g x 9 ，其中勺r ，妇疗，则集合( z x 6 i h 日 为r 上线性无关的集合，即 h a h ( z x “) = o ，口 r ，h h 当且仅当a h = 0 v h 日 证明t 设对v h h ，a h r ，若 h a h ( z x “) = 0 ，因为 fa h ( z x “) h h 1 4 = a h ( x o + z g x g ) x “ = o a x “+ n h z g x g = a h x “+ ( a h z k h ) x 所以 f a h x “；0 ， h e h 从而对v h h 有a h = 0 ，所以集合 z x “i h 硼为r 上线性无关的集合命题 证毕 以下研究g h - 码是自偶码或型i i 码的条件为此记5 = 9 g b g x 一，其中 b = 芝二阳b ”r g 引理1 3 3 设n ，b r g ，则a b = o 当且仅当5 i 证明t 类似于【2 6 j 中的引理2 3 的证明引理证毕 下面定理给出r g 中g h - 码是自偶码的判别条件 定理1 3 4r g 中的g h o 码c = 是自偶码当且仅当i = o 证明：如果厦= o ，则由引理1 3 3 得。= ( i ) 上，这意味着 1 ， 由引理1 2 7 知d i m c + d i m c i = m 所以 d i m d i m 上芸 另一方面，由命题1 3 2 知集合 z x “i v h h ) 中的元素在r 上线性无关，且 z x “i v h 日) ，所以d i m 号，从而有d i m = d i m 上= 号， 故i i - 4 譬，l 上i = 4 量，这意味 ； 上，所以 是自偶码 反之，如果且口中的g h 码c = 是自偶码，则( z ) = ( z ) 上，从而有 z 1 ，由引理1 , 3 3 得。i = 0 定理证毕 从定理1 3 4 的证明过程可得如下推论t 推论1 3 5 如果r g 中的g h 一码g = 是自偶码，则集合 = x “t v h h ) 是码e 的极小生成元系 在定理1 3 4 的基础上，下面给出型i i 码的判别条件， 1 5 定理1 3 6 设g = ( z 是r g 中的g h 一码，其中。= x o + 。 | 孛z g x 9 ， 勺f 2 ，对v g 曰，则下列结论成立： ( 1 ) 当r = g f ( 4 ) 时，c = 是型i i 码当且仅当z z = 0 且w l ( z ) e0 ( m o d 4 ) ， w l ( 卢= ) ；0 ( m o d 4 ) ， ( 2 ) 当r = f 2 + 岛时，c = 是型i i 码当且仅当撕= 0 且w l ( z 1i 0 ( r o o d 4 ) ( 3 ) 当r = 7 4 时，a = 是型i i 码当且仅当。i = 0 且w e ( = ) 10 ( r o o d s ) ( 4 ) 当r = f 2 十v f 2 时，g = 是型i i 码当且仅当z j = 0 且w l ( z ) 0 ( r o o d 4 ) ，w l ( v z ) 10 ( r o o d 4 ) 证明t 如果r g 中的g h 一码c = 是型i i 码，则c = 是自偶码。 从而由定理1 3 4 得撕= 0 ，根据定义1 1 4 可知( 1 ) 一( 4 ) 的必要性成立 反之，如果码c 的生成元z 满足2 j = 0 ，由定理1 3 4 得c = 是r g 中自偶码；对v c ，由已知和引理1 2 8 ，引理1 2 9 ，推论1 3 5 容易得：当 r = g f ( 4 ) ，f 2 + u f 2 ，f 2 + v f 2 时w l ( c ) 0 ( r o o d 4 ) ；当r = z 4 时，w e ( c ) 0 ( r o o d 8 ) ， 所以根据定义1 1 4 知( 1 ) 一( 4 ) 的充分性也成立定理证毕 上述定理已给出一般四元环上g h - 码为自偶码或型i i 码的判别条件，但对 于具体给定的a b e l i a n 群和四元环。在相应的群环r g 中是否存在定义1 3 1 形 式的g h - 码为自偶码或型i i 码，根据定理1 3 4 与定理1 3 6 还是很难判定的 下文就o f ( 4 ) ，f 2 + u f 2 ，f 2 + f 2 上的g 小码构成型i i 码分别给出具体的判 定条件和相应的若干例子并证明z 4 上不存在是自偶码的g h 码 下文中若没有特别说明g 为偶数阶的a b e l i a n 群，其阶数为m 运算为加法； 日为g 的一个指数为2 的子群，日u 曰= g 为g 的陪集分懈对于g 的一个 子集s ，任意的h g ，记s h = 如一h i v 9 s ) 1 6 2域g f ( 4 ) 上的g h - 一码和型i i 码 本节在四元域g f ( 4 ) 上讨论g h - 码本节中r = g f ( 4 ) 文【2 6 】中指出在非二 元域上不存在定义1 3 1 形式的g h 一码为h a m m i n g 重量定义下的型码2 0 0 2 年，文f 12 】中用l e e 重量在g f ( 4 ) 上定义了型i i 码。文中指出g f ( 4 ) 上的用l e e 重量定义的型i i 码在g r a y 映射下的象为马上的型i i 码本节探讨g f ( 4 ) 上是 否存在g h - 码是l e e 重量定义的型i i 码的判定条件 2 1域g f ( 4 ) 上的g h 一码 设四元域g f ( 4 ) = o ，1 ，反西，容易验证域g f ( 4 ) 中的每个元素均可唯一的表 示为触+ 融，其中。，y f 2 因此定义1 3 1 可改写如下t 定义2 1 1 若r g 中存在形如 z = x o + 卢z g x # + 口x 9 g 且9 目 的幂零元( 其中对任意的9 疗有为，4 f 2 ) 则r g 中的主理想。) 称为r g 中 的广义h - 码，或称为g h 一码 根据定理1 3 6 ( 1 ) 可知若r g 中存在幂零元z ( 其中z = x o + 9 z g x 9 ， 却恳，对v g 啻) ，那么 是型i i 码的充分必要条件是生成元z 满足z i = 0 和w l ( z ) = 0 ( m o d 4 ) ，w l ( 卢= ) 0 ( r o o d 4 ) 进一步有下面定理； 定理2 1 2r g 中的g h