人教版数学第八章第三节实际问题与二元一次方程组知识点复习.doc

实际问题与二元一次方程组一、知识要点：1列二元一次方程组的应用题的一般步骤：（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（4）列：根据这个相等关系列出重要的代数式，从而列出方程；（5）解：解这个所列出的方程；（6）验：检验根是否符合实际情况；（7）答：写出答案可以简记为：“审、设、找、列、解、验、答”七个字2常用的数量关系有：（1）距离=速度时间；（2）工作量=工作效率工作时间；（3）商品的销售额=商品销售价商品销售量；（4）商品的总销售利润=（销售价成本价）销售量；（5）商品售价=标价折数（6）商品的利润率=100等等二、典型例题讲解：类型一：古典问题例1、我国民间流传着许多诗歌形式的数学题，令人耳目一新，你能解决“鸡兔同笼”问题吗？“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有一百只，几只鸡来几只免？”设鸡为x只，兔为y只，则可列方程组（）.A、x+y=36 2x+2y=100B、x+y=18 2x+2y=100 C、x+y=36 4x+2y=100 D、x+y=36 2x+4y=100解：（1）中有3个未知数，中不是整式，且只有一个未知数x均不是二元一次方程；、均为二元一次方程，所以选C.（2）中的2x+2y=10同除以2得x+y=5,形式是二个方程实则是一个二元一次方程，所以有无数组解，选D.（3）中将两式相加后再除以6得x+y+z=0,所以选A，用到整体代入的方法.（4）中鸡有2只脚，兔有4只脚，所以选D.例2、九章算术是我国东汉初年编订的一部数图12图11学经典著作在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图11、图12图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项把图11所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图12所示的算筹图我们可以表述为AB C D解：本题主要考查学生的看图能力，只要看懂图1-1、图12图中各行从左到右列出的算筹数，再改写成方程组即可，由图1-1所得的方程组，我们就可以推断出图1-2中的方程组，故选A。评述：古典问题关键是理解题意。类型二：方案问题例3、2002年世界杯韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格是一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元。某服装公司在促销活动中，组织获得特等奖、一等奖的36名顾客到韩国观看2002年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后，计划买两种门票，用完5025美元，你能设计出几种方案供该服装公司选择？请说明理由.解：购票分三种情况：购一等席、二等席两种门票；购一等席、三等席两种门票；购二等席、三等席两种门票.（1）若购买一等席门票x张，二等席门票y张，根据题意可列方程组x+y=36 300x+200y=5025，解得x=-21.75 y=57.75x、y均应为正整数，所以此方案不可行.（2）若购买一等席门票x张，三等席门票y张，根据题意可列方程组x+y=36 300x+125y=5025，解得x=3 y=33.所以可购买一等席门票3张，三等席门票33张.（3）若购买二等席门票x张，三等席门票y张，根据题意可列方程组x+y=36 200X+125y=5025，解得x=7 y=29所以可购买二等席门票7张，三等席门票29张。综上所述，共有两种购票方案，分别购一、三等席门票3张、33张，或分别购二、三等门票7张、29张.评述：解答方案设计题，应先根据题意写出所有可能的方案，然后再从中选择出可行的方案.类型三：数形结合问题62xy32客厅厨房卧室卫生间例4、（2007年重庆市）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示根据图中的数据（单位：），解答下列问题：（1）用含的代数式表示地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多，且地面总面积是卫生间面积的15倍若铺地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？解：（1）观察图形知道：地面由四部分组成，卧室、厨房、客厅、卫生间，其面积分别为：3（22）12、2（63）6、6x、2y，所以地面总面积为： （2）由题意，得 解得 地面总面积为： 所以，铺地砖的总费用为（元） 评述：利用列方程组解这种几何型应用问题时，一定要认真观察、分析图形的特征，充分利用这些特征寻求等量关系，从而求解类型四：看图说话问题例5、张新和李明相约到图书城去买书,请你根据他们的对话内容(如图2),求出李明上次所买书籍的原价.图2解：设李明上次买书原价x元,优惠价y元 根据图景对话有 解得 答：李明上次买书原价160元.类型五：创新应用问题 例6、在解关于x,y的方程组时，甲正确地解出 ，乙因为把C抄错了， 结果解得 ，试求a、b、c的值。解：由题意得，甲的解适合第二个方程，把代入得3c148, c2 甲、乙的解都适合第一个方程，把和代入第一个方程，得 即a4,b5,c2评：在错误的信息中亦有有用的东西。甲正确地解出答案，则这一对数对两个方程都适用，而乙把C抄错了，则a、b没有抄错，则他得到的答案对第一个方程有用！这样，我们发现对第一个方而言，有两对数值，则可得关于它的方程组！挖掘信息，构建模式，进而解决问题。类型六：工程问题例7、在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：， 解之得：x=40，y=60 （2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成 由（1）知，乙工程队30天完成工程的，甲工程队需施工=20（天）最低施工费用为062003530=225（万元）答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是225万元 评述：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维三、醍醐灌顶列二元一次方程组的应用题常用策略：（1）“直接”与“间接转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然（2）“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未