（基础数学专业论文）非次正规子群对有限群结构的影响.pdf

户j 0 气 ， 西南大学硕士学位论文中文摘要 非次正规子群对有限群结构的影响 基础数学专业硕士研究生车杰 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 在群论中，子群和商群是研究群结构的一个非常重要的工具和手段而通过研 究次正规子群的性质来讨论有限群的结构是其中的一个有趣的课题，在这方面已经 取得了许多丰硕的成果现在我们所讨论的是其对偶问题，即非次正规子群的性质 对有限群结构的影响 f r a n c i o s is i l v a n a 等给出了非次正规子群的共轭类类长有限的群刻画冯爱芳等 在【1 】中给出了非次正规子群均共轭的有限群的完全分类，在f 3 】中给出了恰有两个 非次正规子群共轭类的有限群的完全分类本文将继续这方面的研究 本文结果主要有两部分： 第一部分主要结合了非次正规子群共轭类类数为1 ，2 的完全分类，给出了非次 正规子群共轭类类数为3 的有限群的完全分类， 定理3 可见第三节 第二部分主要结合了非次正规子群共轭类类数为1 ，2 以及非次正规子群共轭类 个数与可解性的关系，给出了非次正规子群的共轭类类数为4 的p a q 6 r c 8 d 和矿9 6 r 。 阶群的完全分类 定理4 ( 4 1 ) 设g 为p a q 6 r c s d 阶群，p ，q ，7 ，8 为不同素数，且p ( g ) = 4 ，则g 同 构于下列群之一： ( 1 ) a = p q r s ，p k q ，pkr ，pks 均为非幂零内- a b e l 群， q ，嗣= 【q ，翻= 陋，别= 1 。 ( 2 ) v = p q r s = ，( z ) = x m l m x m 一f 2 z 一1 1 是只上整除护一1 的不可约多项式且8 m 三1 ( 西南大学硕士学位论文中文摘要 m o dp ) ( 4 2 ) 设g 为p d 9 6 产阶群，p ，q ，r 为不同素数p ( g ) = 4 ，则g 同构于下列群 之一； ( 1 ) a = ，y ( x ) = z d 是日上整除 护一1 的不可约多项式且q 兰1 ( r o o dp ) ；9 ( z ) = 矿一厶扩d 2 xd 1 是耳 上整除矿一1 的不可约多项式且r n 三1 ( r o o dp ) ；危( z ) = 矿一l n ：r 铲1 1 2 z z 1 是耳上整除z g 一1 的不可约多项式且p 三1 ( r o o d 口) ( 2 ) a = ，f ( x ) = 扩一厶扩一如z d 1 是b 上整除扩一1 的不可约多项式，且 p 三l ( m o dp ) ，g ( x ) = 扩一k 矿_ f 2 z z 1 是肆上整除妒一1 的不可约多项 式，且p 三1 ( r o o d 口) ( 3 ) a = ： ，f ( z ) = z n 一如z n 一1 一一 d 2 z , 一d 1 是耳上整除妒一1 的不可约多项式，且p 三1 ( r o o dp ) ( 4 ) a = ，y ( x ) = 3 7 n 一如z n 一1 一一 d 2 x d l 是b 上整除矿一1 的不可约多项式且p 三l ( r o o dp ) ( 5 ) ( a ) g = p q r ，p = ，q = ，a p ”= b q = 1 ， p ，q 】= q ，捌= 1 ( b ) p ( 尸kr ) = 2 尸r 同构于 3 】中情形( 4 ) 或( 5 ) 关键词：有限群非次正规共轭类极大子群 西南大学硕士学位论文英文摘要 t h ei n f l u e n c eo fn o n - s u b n o r m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo f f i n i t eg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f g u i y u nc h e na s s o c i a t ep r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：j i ec h e a b s t r a c t i ng r o u pt h e r o y , s u b g r o u p sa n dq u o t i e n tg r o u p sa r ev e r yi m p o r t a n ta p p r o a c h s t od e s c r i b es t r u c t u r e so fag r o u p 。a l s o ，i ti sa v e r yi n t e r e s t i n gt o p i ct od i s c u s st h e s t u c t r u eo ff i n i t eg r o u pt h r o u g hi n v e s t i g a t i n gt h ep r o p e r t i e so fs u b n o r m a lg r o u p s i nt h i sa s p e c t ，m a n yi m p o r t a n tc o n c l u s i o n sh a v eb e e no b t a i n e d h e r et h ea u t h o r s d i s c u s s e di t sd u a li s s u e ，i e ，t h ei n f l u e n c eo fn o n - s u b n o r m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t r u e o ff i n i t eg r o u p s f r a n c i o s is i l v a n a ，e t c ，c h a r a c t e r i s e dt h eg r o u p sw i t hf i n i t ec o n j u g a c yc l a s s e so f n o n - s u b n o r m a ls u b g r o u p s a i f a n gf e n gg a v ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t eg r o u p s w h o s en o n - s u b n o r m a ls u b g r o u p sa r ea l lc o n j u g a t ei n a n da b t a i n e dt h ec o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o no ff i n i t eg r o u p sh a v i n ge x a c t l y2c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n s u b n o r m a l s u b g r o u p si n 3 】t h ea u t h o rc o n t i n u e st h er e s e a r c ho nt h i st o p i c t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i s t so ft w op a r t s ： i nt h e6 r s tp a r to ft h i sp a p e r t h ea u t h o r su s em a i n l yt h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n s o ff i n i t eg r o u p sh a v i n ge x a c t l y1 ，o r2c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - s u b n o r m a ls u b g r o u p s t og i v et h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t eg r o u p sh a v i n ge x a c t l y3c o n j u g a c yc l a s s e s o fn o n - s u b n o r m a ls u b g r o u p s t h e o r e m3s e e i n gt h et h i r ds e c t i o n i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o r se m p l o ym a i n l yt h ec o m p l e t ec l a s - s i f i c a t i o n so ff i n i t eg r o u p sh a v i n ge x a c t l y1 ，o r2c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - s u b n o r m a l s u b g r o u p sa n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - s u b n o r m a l s u b g r o u p sa n ds o l v a b i l i t yt og i v et h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n so ff i n i t eg r o u p sw h o s e i n 西南大学硕士学位论文英文摘要 o r d e r sa r ep a 矿r 。s da n dp a q 6 r ca n dh a v ee x a c t l y4c o n j u g a c yc l a s s e so fn o n - s u b n o r m a l s u b g r o u p s t h e o r e m 4 ( 4 1 ) i fg i saf i n i t eg r o u pw i t hp a q 6 r 伽8 o r d e r ，p ，q ，r ，8a r ed i f f e r e n t p r i m en u m b e r sa n dp ( g ) = 4 ，t h e ngi si s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ： ( 1 ) g = p q r s ，w h e r ep kq ，pkr ，pksa r en o n - n i l p o t e n ti n n e r - a b e l i a n g r o u p s ，旧，嗣= 旧，司= r ，研= 1 ( 2 ) g ：p q r s ： ，a n d ( x ) = z m f m z m 一1 一一f 2 z 一1 1i sa ni r r e d u c i b l e p o l y n o m i do v e rt h ef i e l d 只，w h i c hd i v i d e s 妒一1a n d8 仇兰1 ( m o dp ) ( 4 2 ) i fg i saf i n i t eg r o 。u pw i t hp a q 6 r co r d e r ，p ，q ，7 a r ed i f f e r e n tp r i m en u m b e r s a n dp ( g ) = 4 ，t h e ngi si s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o w l l o w i n gg r o u p s ： ( 1 ) g = ，a n d ( x ) = z d i sa n i r r e d u c i b l ep o l y n o m i do v e rt h ef i e l d 岛，w h i c hd i v i d e s 妒一1a n dq 三1 ( r o o dp ) ； g ( x ) = z n d z n 一1 一一d 2 x d li sa ni r r e d u c i b l ep o l y n o m i do v e rt h ef i e l db ， w h i c hd i v i d e s 一1a n dr n 三1 ( r o o dp ) ；h ( x ) = z n k z 竹一1 一一1 2 x j 1i sa n i r r e d u c i b l ep o l y n o m i do v e rt h ef i e l d 耳，w h i c hd i v i d e sz 口一1a n dp 三1 ( m o d 口) ( 2 ) g = ， a n d ( x ) = z n d n x n 一1 一一d ：x d li sa ni r r e d u c i b l ep o l y n o i n i do v e rt h ef i e l d 耳，w h i c hd i v i d e sx p 一1a n dr n 三l ( m o dp ) ；g ( x ) = x n 一1 x n 一1 一一2 2 z 一1 1i sa n i r r e d u c i b l ep o l y n o m i do v e rt h ef i e l d 耳，w h i c hd i v i d e sz g 一1a n dr n 兰l ( m o dg ) ( 3 ) g = ，a n d ( x ) = z n d z n 一1 一 一c f 2 z d li sa 1 1i r r e d u c i b l ep o l y n o m i do v e rt h ef i e l db ，w h i c hd i v i d e s 护一1a n d r n 兰l ( m o dp ) ( 4 ) g = ，a n d ( x ) = z ，l 一如z n 一1 一 一d 2 x d li sa ni r r e d u c i b l ep o l y n o m i do v e rt h ef i e l d 耳，w h i c hd i v i d e s 护一1a n d 严三l ( m o dp ) ( 5 ) ( a ) g = p q r ，w h e r ep = ，q = ，0 p m = b q = 1 ， p ，q 】= 【q ，捌= 1 ( b ) p ( pkr ) = 2 ，w h e r ep kri si s o m o r p h i ct o ( 4 ) o r ( 5 ) i n 【3 】 k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p n o n - s u b n o r m a l c o n j u g a c yc l a s s m a x i m a l g r o u p v 西南大学硕士学位论文 目录 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 1 背景与引言1 2 符号与引理3 5 3 非次正规子群共轭类类数为3 的有限群8 4 非次正规子群共轭类类数为4 的f q 6 r c 8 d 和p a q 6 r c 阶群3 9 5 问题与讨论4 8 参考文献4 9 攻读硕士学位期间发表的论文5 0 致谢5 1 1 西南大学硕士学位论文背景与引言 1背景与引言 在群论的研究中，子群和商群是重要的研究对象很多工作都是通过对某些特 定子群的研究来讨论群的结构和性质而次正规子群在群论研究中所起的作用及其 本身的性质引起了许多学者的兴趣人们通过它的概念及性质在有限群的幂零性， 可解性和超可解性等方面取得了很多好的结果同时，将次正规性和其他性质结合 在一起，比如：自正规性等，来确定有限群的结构也得到了许多丰富的结果总所 周知，所有子群均次正规的有限群为幂零群，此时u ( a ) = 0 ，其中p ( g ) 表示非次正 规子群共轭类类数幂零群在群论中扮演着举足轻重的作用基于次正规子群在群 论研究中的重要性，这里我们讨论其对偶问题，即非次正规子群对有限群结构的影 响目前这方面的成果有以下几个方面： ( 1 ) 在限定g 中非次正规子群满足某种特殊条件的前提下来给出群的刻画 1 9 9 6 年，f r a n c i o s is i l v a n a 等给出了非次正规子群满足极小条件的群的刻画 1 9 9 7 年，l e o n i da k u r d a c h e n k o 和h o w a r ds m i t h 给出了非次正规子群满足弱极 小条件的群的刻画1 9 9 8 年，l e o n i da k u r d a c h e n k o 等给出了非次正规子群满足 弱极大条件的群的刻画2 0 0 3 年，f d eg i o v a n n i ，a r u s s oa n dg v i n c e n z i 给出 了非次正规子群满足传递正则关系的群的刻画2 0 0 3 年，l e o n i da k u r d a c h e n k o 和p a n a g i o t i ss o u l e s 给出了所有非次正规具有有限秩的群的刻画 ( 2 ) 研究p ( g ) 与原群的关系 2 0 1 0 年冯爱芳在 1 1 】中证明了：若p ( g ) 6 ，则g 可解 ( 3 ) 给定p ( g ) 的大小，对群进行分类 1 9 9 8 年，f r a n c i o s is i l v a n a 等给出了非次正规子群的共轭类类长有限的群的刻 画2 0 0 7 年，冯爱芳等在 1 中给出了非次正规子群均共轭的有限群的完全分类 2 0 0 9 年，在 3 】中给出了恰有两个非次正规子群共轭类的有限群的完全分类 本文继续这方面的研究，给出了非次正规子群的共轭类类数为3 的有限群的完 全分类，以及非次正规子群的共轭类类数为4 的矿口6 r 。s d 和矿口吁。阶群的完全分类 文中主要运用p 一群理论，共轭类，正规化子，可解群和极大子群的性质，通过讨 论p 一群中一些特征子群比如：垂( p ) ，z ( 尸) ，i l l ( p ) ，u 1 ( p ) 等的方法，并结合前人的 1 西南大学硕士学位论文背景与引言 工作，对非次正规子群共轭类为3 和4 的有限群进行了进一步的探讨这个问题的 重点和难点在于这些特征子群关系的证明，及在没有生成关系的情况下，通过群本 身的性质来判断群的存在性 大家都知道单群的每个非平凡的真子群都是非次正规子群，我们通过讨论非次 正规子群的共轭类对有限群结构的影响，从而研究了这些群与单群之间的联系，例 如从 1 l 】知：当u ( a ) 6 时，g 可解，但是* ( a s ) = 7 这也是从另外一个方面研 究了有限群的可解性 注意：( 1 ) 本文在写作的过程中，为了方便起见，作者对群之间的包含关系分这 样几种情形进行讨论：a b ，a = b ，a b 这里的a b 表示：除了上 述三种情形之外的其他所有情形 ( 2 ) 若日为g 的子群，用日表示日所在的非次正规子群共轭类 2 西南大学硕士学位论文符号与引理 2符号与引理 在本文中涉及的群为有限群，文中使用的术语和符号可参考文献 4 】下面列出 的符号是本文中常用的符号 字母g 均表示一个有限群； 岛表示q 元域； h g 表示日为群g 的真子群； h g 表示日为群g 的子群； h 垂g 表示日不为群g 的子群； h g 表示日为群g 的极大子群； 耳表示日的s y l o w7 一子群； u ( c ) 表示群g 的非次正规子群共轭类的个数； 丌( g ) 表示群g 的阶所含全体素因子的集合； 1 7 r ( g ) l 表示群g 的阶所含全体素因子的个数； 西( g ) 表示群g 的f r a t t i n i 子群； z ( c ) 表示群g 的中心； g 表示群g 的导群； q 1 ( q ) 表示群 ，其中q 是口一群； u l ( q ) 表示群 ，其中q 是q 一群； q 4 n 表示4 仃阶广义四元数群； d 2 n 表示2 佗阶二面体群； a 璺g 表示群a 是g 的正规子群； a 璺 一1 g 表示群a 是g 的次正规子群； a 翅g 表示群a 是g 的非正规子群； a 塑碧g 表示群a 是g 的非次正规子群； a b 表示a 与b 的直积； a b 表示a 与b 的半直积，其中a 翼a b ； ac h a rg 表示群a 是g 的特征子群； 3 西南大学硕士学位论文符号与引理 g n 三1 ( m o dp ) 表示q n 模p 与1 同余； s y l , ( c ) 表示g 中所有s y l o wp 一子群的集合； 若m ，n 为整数，则m l r , 表示仇整除n ； 若m ，竹为整数，则mt 佗表示仇不整除仡 定理的证明需要如下一些引理： 引理2 1 【1 j 设g 为有限群，u ( a ) = 1 当且仅当g 是非幂零内a b e l 群 g = ，厂( z ) = 扩一勘z 卢一d 2 z d l 是b 上整除：r p 一1 的不可约多项式，且矿兰1 ( r o o dp ) 引理2 2 【3 】设g 为有限群，p ( g ) = 2 当且仅当g 同构于下列群之一。 ( 1 ) a = 尸kq = ，y ( x ) = z 2 一r z + 1 是日上 整除妒一1 的不可约多项式，且9 2 三1 ( r o o dp ) ( 2 ) a = p kq 8 = ( 3 ) c = ，( z ) = z n - - 1 m 如一1 z n 一2 一 一d 2 z d 1 是日上整除矿一1 的不可约多项式，且矿_ 1 三1 ( r o o dp ) ( 4 ) c 满足下列条件： ( i ) g = p kq ，其中p 是循环p 一群； ( i i ) z ( c ) = 圣( p ) ； ( i i i ) z ( q ) = 圣( q ) = q ； ( i v ) pkz ( q ) 和a z ( o ) 是非幂零内a b e l 群 ( 5 ) c 满足下列条件： ( i ) c = p kq ，其中p 是循环p 一群； ( i i ) z ( c ) = 垂( p ) ； ( i i i ) q - - - - - x x ，其中q q = 1 ，i = 1 ，2 ，s ； ( i v ) p b 和c b 是非幂零内一a b e l 群，其中b = x x 4 - 西南大学硕士学位论文符号与引理 ( 6 ) a - - - - _ ，f ( x ) = 护一d x 一1 d 2 xd l 是日上 整除矿一1 的不可约多项式，且q n 三1 ( m o dp ) ( 7 ) g = ，f ( x ) = 一巩一d 2 x d l 是耳上整除x p - - 1 的不可约多项式，且一兰1 ( m o dp ) 引理2 3 4 1 ( h o l d e r ，b u r n s i d e ，z a s s e n h a u s ) 若g 为有限群，且它的所有s y l o w 子 群都循环，则g 可表示成为： ，且p 三1 ( m o dm ) ，m 为奇数，0 r m ，( m ，n ( r 一1 ) ) = 1 ；相反能表示成这样的群的所有s y l o w 子群都 循环 引理2 4 1 1 0 l 每个极大子群都超可解，则g 本身必可解 引理2 5 1 5 g 为超可解群的充要条件是在g 中每一个二元生成子群为超可解群 引理2 6 6 1 g 为一个群，a 塑翼g 且b 里笪g ，则 塑塑g 引理2 7 1 7 g 为有限群，且g 中的s y l o w 子群都自正规，则g 为p 一群 引理2 8 若pe s y l p ( g ) ，且n a ( p ) h 2 ： ，0 i p 一1 ， ；n = 2 ： ，0 i p 一1 ， ； ( i i i ) ，0si p 一1 ； ( i v ) 佗 3 ： ， ， ；n = 3 ： ， ， ； ( v ) ， ， ； ( v i ) ，i = 0 ，1 ， ； ( v i i ) ， ， 引理2 1 4 【1 1 】g 为有限群，若p ( g ) 6 ，则g 可解 引理2 1 5 若p ( g ) = 3 ，则g 中非次正规极大子群共轭类个数为1 或2 证明：设日，k ，l 是g 中3 个非次正规子群共轭类，若日，k ，己都不是g 的极 大子群，则g 中所有极大子群都正规于g ，于是g 为幂零群，矛盾从而日，k ，l 中存在极大子群共轭类若日，l 都是极大子群共轭类，则对于g 中任何一个真 子群w ，有彤的真子群都是次正规于g ，从而是幂零群，因此g 为内幂零群， 所以g = p kq ，其中p = 为g 的非次正规s y l o wp 一子群且是g 的极大子 群，q 为g 的正规s y l o w 口一子群因为圣( q ) c h a rq 塑g ，所以西( q ) 塑g 由于 尸的极大性知：尸西( q ) = p ，于是西( q ) = 1 ，从而q 为初等a b e lq 一群，则由引理 2 1 知：g 为非幂零内一a b e l 群，从而g 中只有一个非次正规子群共轭类矛盾因 此g 中非次正规极大子群共轭类的个数为1 或2 弓l 理2 1 6 若u ( c ) = 竹，其中3 n 6 ，则2 1 7 r ( g ) i 铊 证明：由引理2 1 4 知，g 是可解群不妨令p 1 ，p 2 ，船，为i g i 中礼个不同素 因子，且只s y k ( g ) ，1 i 佗若1 7 r ( g ) i 礼+ 1 ，则令鳓+ 1 为异于p l ，p 2 ，p 3 ， 6 一 西南大学硕士学位论文 符号与引理 的素因子显然g 中必有一个s y l o w 子群为非次正规子群，不妨设p 1 煎g 由引 理2 1 4 知，g 中存在h a l l 一子群，不妨设存在子群：p 1 只，2 i 佗+ 1 由于 p 1 是非正规子群，则至少有佗一1 个非正规于g ，不妨设为，p 1 只，2 i 礼由于 u ( a ) = 佗，则只r + l 璺g 且只翌g ，2 i 佗+ 1 由于佗3 ，则只岛1 3 塑g ，从 而1 1 = ( p 1 r + 1n 只岛p 3 ) 里g ，矛盾因此1 7 r ( g ) l n 引理2 1 7 若u ( a ) = 3 ，且i 丌( g ) i = 2 设pe s y l v ( g ) 且p 碧g ，则g 中s y l o w 口一子群正规于g ，其中口为异于p 的素数 证明：令qe s y l q ( g ) ，若q 碧g ，则由于l 丌( g ) i = 2 ，于是p q 不能同时自 正规如果p n a ( 尸) ，q 3 ，矛盾现不妨令p = n a ( p ) ，q n a ( q ) = q p l ，1 1 s y l p ( n a ( q ) ) 由于 p ( g ) = 3 ，则只q 中真子群均次正规于g ，于是p ，q 为循环群，从而g 中s y l o w 子 群都循环，因此g 为超可解群，所以g 有正规s y l o w 子群，矛盾于是q 翼g 引理2 1 8 设g 为有限群，i g i = p a q 6 r 。s d ，且p ( g ) = 4 若g 中s y l o wp 一子 群非次正规于g ，则其余s y l o w 子群均正规于g 证明：首先，由u ( a ) = 4 及引理2 1 4 知：g 可解设尸s y l p ( g ) ，qe s y l 口( g ) ， re s y l ，( g ) ，se s y l 。( g ) 且p 碧g 假设结论不成立，不妨设q 碧g 则r ，s 中至 少有一个是g 的正规子群，否则由p ( g ) = 4 有g 中所有s y l o w 子群均自正规，于 是由引理2 7 知：g 为p 一群，矛盾不妨设r 塑g 又由g 可解及引理2 7 知： p 和q 不能都自正规不妨设q g ( q ) ，若p = n g ( p ) ，则p r 碧g ，否则由 f r a t t i n i 论断有g = p r p ，矛盾此时g 中的非次正规子群类为：p r ，p q ，g ( q ) ， 于是s 笪g ，从而p s 塑g ，但由于p = g ( p ) ，则尸s 碧g ，矛盾若p w e ( p ) ， 则如果n d p ) 与a r g ( q ) 在g 中共轭，则不妨设g ( p ) = n g ( q ) = 尸q ，于是 ( p q ) r 碧g 由于u ( a ) = 4 ，则s 塑g ，于是( p q ) s 塑g 又因为g ( p ) x 一 x x x 为初等a b e l 群 ( b ) k b 和 c 均为非幂零内_ a b e l 群，b d = c ，其中b = x x ，c = x x ( 6 ) ( a ) g = p kq ，p = 为循环p 一群 ( b ) z ( c ) = = 圣( 西( p ) ) ( c ) z ( q ) = 西( q ) = q ( d ) p ( pkz ( q ) ) = 2 ，u ( c z ( q ) ) = 1 其中尸kz ( o ) 同构于 3 】情形( 6 ) ( 7 ) ( a ) g = 尸kq ，p = 为循环p 一群 ( b ) z ( c ) = 西( 西( p ) ) ( c ) q ： ，鳄2 = 1 ，i = 1 ，2 ，佗 ( d ) p ( pkq 1 ( q ) ) = 2 ，u ( a a l ( o ) ) = 1 其中pka a ( q ) 同构于 3 】情形( 6 ) 8 - 西南大学硕士学位论文非次正规子群共轭类类数为3 的有限群 ( 8 ) ( a ) g = p q ，p = 为循环p 一群 ( b ) z ( q ) = q = z ( 西( q ) ) ( c ) 肛( 尸西( q ) ) = 2 ，p ( g 圣( q ) ) = l ，p ( g z ( 西( q ) ) ) = 2 其中pk 西( q ) 同构于 3 】中情形( 4 ) ；g z ( 西( q ) ) 同构于【3 】中情形( 5 ) ( 9 ) ( a ) g = p q ，p = 为循环p 一群 ( b ) z ( q ) = 圣( q ) 7 = z ( 西( q ) ) ，q 7 = 币( q ) ( c ) 肛( pk 西( q ) ) = 2 ，p ( g m ( q ) ) = 1 ，p ( g z ( 西( q ) ) ) = 2 其中pi x ：西( q ) 同构 于【3 】中情形( 4 ) ；g z ( 垂( q ) ) 同构于【3 】中情形( 5 ) ( 1 0 ) ( a ) a = pkq ，尸= ，q = ，i 玩l = q 3 ，1 i s ( b ) 垂( q ) = ( c ) p ( pk 西( q ) ) = 2 ，p ( g 西( q ) ) = 1 ，其中pk 垂( q ) 同构于 3 】中情形( 5 ) ( 1 1 ) ( a ) g = p kq ，p = 为循环p 一群 ( b ) q = z ( q ) = b ( c ) p ( p 西( q ) ) = 2 ，p ( g 西( q ) ) = 1 ，u ( a b ) = 2 其中pp ( 圣( q ) ，g b 均同构 于 3 】情形( 5 ) ( 1 2 ) ( a ) g = p q ，p = 为循环p 一群 ( b ) q = b ，z ( q ) = 西( q ) ( c ) p ( pi x ：圣( q ) ) = 2 ，肛( g 币( q ) ) = 1 ，# ( g b ) = 2 其中pk 圣( q ) ，g b 均同构 于【3 】情形( 5 ) ( 1 3 ) ( a ) g = p kq ，p - - - 为循环p 一群 ( b ) z ( q ) = b ，q 。= 圣( q ) ( c ) p ( p 圣( q ) ) = 2 ，p ( g 圣( q ) ) = 1 ，# ( g b ) = 2 其中pk 圣( q ) 同构于 3 】情 形( 5 ) ，g b 同构于 3 】情形( 4 ) ( 1 4 ) ( a ) c = pkq ，p = 为循环p 一群 ( b ) z ( q ) = q = 西( q ) ，q 1 ( 西( q ) ) = b ( c ) p ( pk 圣( q ) ) = 2 ，p ( g m ( q ) ) = 1 ，# ( g b ) = 2 其中pk 圣( q ) 同构于 3 】情 形( 5 ) ，g b 同构于 3 】情形( 4 ) 9 西南大学硕士学位论文非次正规子群共轭类类数为3 的有限群 ( 1 5 ) g = p q = ，f ( x ) = - d 。矿d 2 zd l 是局上整除 矿一1 的不可约多项式，且9 8 三1 ( r o o dp ) ，g ( x ) = 扩一一e n - s x 铲8 _ 1 e 2 x e l 是只上整除矿一1 的不可约多项式，且矿q 三1 ( r o o dp ) ( 1 6 ) ( a ) a = p kq = 其中0 r 1 ，7 2 g 一1 , y ( x ) = z 2 一r z + 1 是岛上整除妒一1 的不可约多项式，且q 2 三1 ( r o o dp ) ( b ) p ( g ) = 2 ，且g 同构予 3 1 中情形( 3 ) ，u ( a ) = 1 ( 1 7 ) ( a ) a = pkq = p kq 8 e = ，其中e 为4 阶循环群 ( b ) p ( g ) = 2 且g 同构于 3 】中情形( 3 ) ，卢( g ) = 1 ( 1 s ) ( a ) c = 尸q = ，f ( x ) = 扩一如一1 x 铲2 d 2 zd l 是日上整除 矿一1 的不可约多项式 ( b ) p ( g ) = 2 且g 同构于 3 】中情形( 3 ) ，p ( g ) = 1 ( 1 9 ) g = p kq = ，f ( x ) = 矿一以矿一d s 一1 矿一d 3 zd 2 是日上整除矿一1 的不可约多项式，且 9 8 - 1 三1 ( r o o dp ) ( 2 0 ) g = p k q 1 6 = ， 且g 为非幂零内- a b e l 群 ( 2 1 ) g = 口，6 i 扩= b q 3 = 1 ，6 n = b t ，2 t 且 g 为非幂零