（光学专业论文）两耦合电荷量子比特与lc共振腔系统的纠缠特性研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘摘 要要 近些年，量子信息和量子计算的研究得到了新的进展。特别是发展了以约瑟夫 森电路为核心的超导量子比特的电路器件，具有低损耗，量子态参数可通过外场及 电路参数来调控的优点。根据摩尔定律可以推测计算机的发展方向，为了实现含有 几百个量子比特的量子计算机系统，固态的量子器件是不可缺少的原件。自从实验 证明了可控的单库珀对盒子是宏观的二能级系统后, 最近, 对应用约瑟夫森结的超 导电路有比较系统的研究。例如，研究了两个耦合电荷量子比特的量子振荡，超导 电路中的腔量子电动力学等。 量子纠缠是量子计算和量子信息的基础。量子纠缠态是量子计算的基本信息。 基于库珀对盒具有二能级的性质，它可看成是一个量子比特。本文利用这一性质研 究了两个量子比特耦合系统的能级变化规律， 并利用两量子比特与 lc 共振腔耦合构 成类似于有耦合相互作用的两个二能级原子在真空场下的模型，研究模型的纠缠特 性。 具体来说，本文主要分为以下几个部分： (1)第一部分是绪论，简要介绍了约瑟夫森器件产生的背景、意义和量子纠缠的 理论； (2)第二部分简述了超导量子比特的基本原理，包括约瑟夫森结的理论，量子化 的 lc 电路，人工原子的腔 qed,并着重介绍了三种类型的超导量子比特； (3)第三部分研究了两个耦合电荷量子比特系统的能级变化规律，分别讨论了单 电子能量，约瑟夫森能，耦合能三个参数对能级的影响； (4)第四部分研究了初态为激发态的两耦合电荷量子比特与 lc 共振腔相互作用 系统的纠缠特性，通过求解纠缠度，讨论两个电荷量子比特之间的耦合相互作用量 j 及电荷量子比特和 lc 共振腔耦合相互作用量 g 对纠缠度的影响。 模型的纠缠度基本 可呈现出周期性的变化， 两耦合电荷量子比特与 lc 共振腔的纠缠及两耦合电荷量子 比特之间的纠缠主要由两电荷量子比特之间的耦合相互作用强度 j 影响，纠缠度随 耦合相互作用强度 j 增大而减小。 关键词关键词：电荷量子比特；lc 共振腔；纠缠度 i 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 abstract in recent years, new progress has been made in quantum information and quantum computing. in particular, superconducting devices consisting of josephson junction circuit have some advantages such as low loss, low noise and high coherence, et al. what is more, quantum state in a josephson junction circuit can be controlled by external field and parameters of the circuit. based on moores law, it was speculated that to realize a scaled-up version of the quantum computing system consisting of hundreds of quantum bits (qubits), its solid-state electronics version is perhaps indispensable. since it has been experimentally demonstrated that a single cooper-pair-box is a macroscopic two level system, the serial researches on superconducting devices by using josephson junction circuit lead to some important results. for example, quantum oscillations in two coupled charge qubits have been observed. in addition, the cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuit is discussed. entanglement plays an important role in quantum information and quantum computing. the entangled states participate as the basic origins of quantum information. the cooper-pair-box is treated as a quantum bit (the so-called josephson charge qubit). in this paper, we analyze the changing regularity of energy levels of two coupled charge qubits, then, we construct a model by using two cooper-pair-boxes coupled with a lc resonator. the model is analogue of two coupled two-level atoms in the vacuum field. we analyze the entangled properties of the present model. the main work of our paper includes the following sections: the first part is the preface, it give a brief review on the development of the superconducting josephson devices and the quantum entanglement; in the second part, we introduce the basic theories of superconducting quantum bit, including the theory of josephson junction, quantized lc resonator, the cavity quantum electrodynamics(qed) of artificial atom, especially three basic types of josephson qubits; ii 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 in the third part, we study on the changing regularity of energy levels of two coupled charge qubits. we separately discuss the influence of parameters, such as the charging energy, the josephson energy and the coupled strength; in the last part, we investigate the entanglement properties of the interaction system of two coupled-charge-qubits and a lcresonator. by analyzing the degree of entanglement in the present system, it is found that the degree of entanglement is influenced not only by the coupling parameter between two josephson charge qubits, but also by the coupling parameter between the lc resonator and the charge qubit. it is also found that when the initial states of the two qubits are both in the excited-state, the degree of entanglement depends heavily on the coupling strength between two josephson charge qubits, and the degree of entanglement evolves periodically with time. key words: charge quantum bit; lc resonator; degree of entanglement iii 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 绪绪 论论 1.1 约瑟夫森器件研究的背景约瑟夫森器件研究的背景 量子计算和量子信息1-2是以量子力学的内容为基础发展起来的交叉学科，其应 用前景广泛，因此这两门学科具有深入研究的价值。自从有了计算机与网络，我们 的地球缩小成了一个“地球村”，快捷方便地与大洋彼岸的人沟通的同时，这个世界 的信息大爆炸似的传播开来，每一秒内就能产生大量的信息。对应信息的快速增长， 我们的计算机也在逐步更新换代，从最初的超大型计算机到现在我们普遍使用的微 型计算机、手提电脑，计算机在朝着体积小、运算速度快的方向前进着，现在计算 机的集成化已经到了一定规模。由摩尔定律我们知道，利用现在的经典电路原理所 制作的计算机体积不能一直小下去，也就是总有一天集成化会走到尽头。当计算机 中的芯片小到纳米量级的时候，会出现很复杂的问题，例如：散热困难，这个问题 会在很大程度上影响计算机的性能。可是为了紧跟信息膨胀的步伐，满足人们对提 高计算机处理器速度、减小计算机体积的需求，人们会另辟他径去发展计算机。这 就迫使人们去寻找新的理论和器件去满足人们日益增长的需要。根据量子力学的理 论，发展起来的量子通信和量子计算像是黑夜里的一道闪亮曙光。因为量子集成电 路具有目前的集成电路无法比拟的优点3 ：(1)超低的损耗。因为量子集成电路一般 是用低温超导物质制作而成的，具有非常低的电阻，使电子在转移过程中没有能量 损失。因此量子集成电路也被称作：超导量子比特。(2)超低的噪音。因为量子集成 电路必须是在极低的温度条件下，这个温度所引起的热涨落的能量kt低于量子态从 低能级0qubit =跃迁到高能级1qubit =的能量 01 h 。所以超导量子比特的频率很 低，所引起的噪声也很低。在 1994 年，贝尔实验室的计算机科学家皮特休尔设计了 适合于量子计算机使用的算法4 。有了一定的理论基础之后，人们开始考虑多种实 验方案，如：腔量子电动力学5-7，核磁共振8-10 ，量子点11-12 ，离子阱13等，并且 进行的实验取得一定的成功，实现了少数的量子比特，这些成功给人以很大的鼓舞。 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 但是与现实的要求相比，还远不能达到实际应用的地步，还要进行更多的努力。虽 然困难重重，但是因为它具有超快速逻辑计算的潜力，量子计算依然具有巨大的吸 引力。自从实验证明了可控的单库珀对盒子是宏观的二能级系统后14-15,人们比较关 注的是以约瑟夫森电路为核心的超导量子比特的电路器件。因为这种电路具有体积 小，低损耗，量子态参数可通过外场及电路参数来调控即可控性强，是一种便于集 成的固体电路等优点。近些年, 对应用约瑟夫森结的超导电路有比较系统的研究3 。 例如，研究了两个耦合电荷量子比特的量子振荡16 ，以及超导电路中的腔量子电动 力学17等。 约瑟夫森器件是介观器件， 尺寸在宏观与微观尺寸中间。 用一般的显微镜可以观 察到这个尺寸的物质，还可以展现出量子性能，是很具发展潜力的微电子器件。文 献18证实了约瑟夫森预言的在两块超导金属中间的绝缘体上有隧穿电流的理论。这 种反常的电流行为就像是电子以配对的形式隧穿两个金属体的费米面一样。在他们 的实验中，用锡和铅的超导体中间夹一块氧化物的势垒形成约瑟夫森结，观察到了 在零电压下有直流隧穿电流。这个实验掀开人们研究介观器件的新热潮。要想真正 意义上实现量子计算机要克服很多问题，例如：为了得到最大的位相相干时间，计 算机要完全的与环境分隔，但是在应用中，计算机又要与环境相接触，所以过去考 虑实现量子比特的物理方法受到很大的挑战。在文献19中学者提出了以在超导量子 干涉环中的宏观量子相干态为量子比特的固态量子器件的观念，这种器件能有效的 保持量子比特与环境分离，得到较长的相干时间。随着理论的发展，人们不在满足 于单量子比特的研究，开始寻找实现多位量子比特的方法。研究量子比特之间的耦 合也是实现量子计算的必经之路。之后，很多基于用超导量子比特实现量子计算的 思想如雨后春笋般地出现。例如：有研究者研究了用耦合的超导位相量子比特实现 量子逻辑门的思想20。 基于约瑟夫森结的超导电路系统需要讨论的内容很多，例如：计算隧穿电荷，位 相因子，约瑟夫森结的耦合特性，约瑟夫森结与 lc 电路的耦合特性等。量子纠缠是 量子计算和量子信息不可缺少的资源基础，量子纠缠已成为量子力学原理工作的核 心，特别是量子不可分，非定域性等，因此考虑一个量子系统的纠缠特性是有意义 2 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 的。 1.2 量子纠缠的基本原理量子纠缠的基本原理 量子信息是经典信息学与量子光学结合发展起来的全新学科，是信息时代革命 性改变的理论。因为量子信息能够处理大量的信息储存与运算，经典计算机的 1 位 数只能存储 0 和 1 两个状态， 而量子计算机的 1 位能存储 0 和 1 的量子叠加态。 1935 年，阿尔伯特爱因斯坦、波多尔斯和纳森罗森发表题目为“物理实在的量子力学描 述能否是完备的?”文章21，产生了量子纠缠态的概念。同年，玻尔在相同期刊上以 同样的题名文章22对阿尔伯特爱因斯坦、波多尔斯和纳森罗森的文章进行了回复。 世界上许多实验室证实了量子纠缠的现象，这是科学最重要的发现之一，对科学界 产生深远的影响。 量子纠缠23-24是指两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联。非定域 性这个特点很奇特，可以举个例子：如果有一个系统，这个系统里包含两个子系统， 把两个子系统分开很远的距离，假如一个在地球上一个在很遥远的星球上，对其中 一个子系统a进行操作，与子系统a相距遥远的子系统b就会有相应的反应，这种反 应是超时空的，可以说是同时的超距作用。 纠缠态的定义为24： 具有关联的多体系统的量子态， 即在一个复合系统中包含 个子系统，如果系统的密度矩阵不能用各个子系统密度矩阵的直积的线性和形式表 示出来，那么这个复合系统就是纠缠的，即 n (1)(2)()n iiii i p k (1.1) 这里，并且0 i p 1 i p = 。 根据量子纠缠的关联性质，可应用于量子通信、量子计算的领域，如量子隐形 传态25-26、量子密集编码27、量子密钥分配28、量子远程计算等等。 纠缠度的定义为：纠缠态所携带的纠缠的量的多少。 量子纠缠态的度量方法有多种29，例如: 二量子位纠缠的度量方法，复杂多体 系统的schmidt正交分解，negativity, 连续变量体系的纠缠判据等。下面简单介绍本 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 文所涉及的纠缠方法。 量子约化熵可以度量一个两量子位系统的纠缠度。下面介绍判据在本文模型中 的表示。系统的纠缠度用量子约化熵来度量30。子系统的熵可以用各自的约化密度 矩阵表示，在本文系统中表示为： ( )( ( )ln ( ) iii s ttrtt=) 1 2 (,i aa f= (1.2) 1 2( ) aa st，( )t aa 21 分别表示两个电荷量子比特的熵和密度矩阵，( ) f s t( )t f 表示lc 共振腔的熵和密度矩阵。在计算本文中两电荷量子比特与lc共振腔之间的纠缠时， 参考araki和leib的文献31，子系统的熵和系统的总熵得到不等式： 1 21 21 2 ( )( )( )( )( ) a afa a fa af ststststst+ (1.3) 式中 1 2 ( ) ( )ln ( ) aa f sttrtt=是两个电荷量子比特与lc共振腔的总熵。由于文献32 中分析系统熵的情况与本文的类似， 所以文献32中分析的结果： “总熵不随时间变化， 且为零”应用于本文。又因为( ) f t的本征值与 1 2( ) aa t的本征值相等，得到等式 。所以，计算电荷量子比特的就可以得到系统的纠缠度。把特 征值带入表达式： 1 2( ) ( ) aaf sts t= 1 2( ) aa st 1 2( ) aa st 1 2 4 1 ( )( )ln( ) a ajj j sttt = = (1.4) 就可以得到两个电荷量子比特与 lc 共振腔之间的纠缠度。 在计算两个电荷量子比特之间的纠缠时，两电荷量子比特子系统由纯态演化成 混合态。此时，不能用约化熵来度量混合态双量子系统（系统中既有两电荷量子比 特的混合态又有电荷量子比特lc共振腔混合态） ，应该用相对熵3032来度量两个 电荷量子比特之间的纠缠。两体混合量子态的相对熵纠缠度定义为： ()m in() d ers = (1.5) 式中()(lnln)str=是量子相对熵，d为两体可分离态的集合，为 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 可分离态。参考文献33 34进行计算相对熵纠缠度。如果一个两体量子态能表示成： 121122 12 , , n nnnnn n n a = (1.6) 式中( nn )是子系统 a（b）的基矢。那么，相对熵纠缠度可以表示为： , ()ln(ln) jjn nn njj n eaatr=+ 1 2 (, )i aa f = (1.7) 1.3 本文工作本文工作 本文首先对 yu. a. pashkin 和 t.yamanoto 等人构造的模型进行两耦合的电荷量 子比特系统能级的研究，再在此模型的基础上构建新的模型，研究新模型的纠缠演 化特性，具体内容组成如下： 第二部分简述了超导量子比特的基本原理，包括约瑟夫森结的理论，量子化的 lc 电路，人工原子的腔 qed,着重介绍了三种类型的超导量子比特； 第三部分研究了两个耦合电荷量子比特系统的能级变化规律，分别讨论了单电 子能量，约瑟夫森能，耦合能三个电路参数对能级的影响； 第四部分研究了初态为激发态的两耦合电荷量子比特与 lc 共振腔相互作用系 统的纠缠特性，通过求解纠缠度，讨论两个电荷量子比特之间的耦合相互作用量 j 及电荷量子比特和 lc 共振腔耦合相互作用量 g 对纠缠度的影响。 模型的纠缠度基本 可呈现出周期性的变化， 两耦合电荷量子比特与 lc 共振腔的纠缠及两耦合电荷量子 比特之间的纠缠主要由两电荷量子比特之间的耦合相互作用量 j 影响，纠缠度随耦 合相互作用量 j 增大而减小。 5 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 超导量子比特的基本原理超导量子比特的基本原理 2.1 约瑟夫森器件约瑟夫森器件 (a) (b) (c) 图 2.1 (a)约瑟夫森结的立体形象图 (b)样品的显微图 (c)约瑟夫森结的简单表示记号 36 因为约瑟夫森器件是介观器件的一种，所以在介绍约瑟夫森器件之前，先介绍 介观器件。我们对于介观这个词相对宏观与微观来说比较陌生，在我们认知物理的 过程中，先接触比较多的是宏观世界，在宏观世界里我们可以用肉眼观察，用手触 碰、衡量物质，一些物理规律直观明了，容易想象出来。随着对物理的深入研究， 慢慢地接触微观世界，如原子，分子，夸克等，它们是组成物质基本的结构单元。 在微观世界里，我们是不能直接用肉眼观察到的，要观察物质必须要借助科技手段， 如原子力显微镜，隧道扫描显微镜。目前，微观世界的理论已形成了内容丰富的学 科，如原子物理，人们已经掌握微观世界的物理基本规律并试图研究更微小的基本 粒子，寻找物质最基本的结构。介观是介于宏观与微观之间，最近发展起来的一门 学科。介观是由微观过渡到宏观的一种中间特殊状态，它能展现出微观与宏观没有 的物理现象，例如著名的玻色爱因斯坦凝聚就是在介观范围内才能产生的。约瑟夫 6 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 森结35是超导绝缘超导这样一种结构的介观器件，绝缘层形成一个势垒，如图 2.1 所示。约瑟夫森结的物理性质可以由与超导电流与两块超导体之间的宏观量子位 相差有关的约瑟夫森方程描述37 ： sin c ii= (2.1) 式中i表示超导电流，表示临界超导电流， c i 表示两块超导体的位相差。 假设约瑟夫森结两端有一直流电压v，则可得出： 2ev t = h (2.2) 由（2.1）式和（2.2）式可以分析出直流约瑟夫森效应和交流约瑟夫森效应： （1）直流约瑟夫森效应为：当电压0v =时，有恒定的电流出现在约瑟夫森结上。 （2）交流约瑟夫森效应为：当电压0v 时，有交变的电流出现在约瑟夫森结上。 2.2 lc 电路量子化电路量子化 lc振荡器3 38 是最简单的量子化电路。如图 2.2 所示，这个电路包含了一个电 容c和一个电感l，其他的金属部分是超导材质。lc电路的运动方程可以用哈密顿谐 振子方程表示。为了简便，我们把电感通量视为正则位移，那么，与之共轭的正 则动量为电容中的电荷数。变量q与变量被认为是一对共轭的量子算符，并且 满足对易关系 q ,qi= h。 图 2.2 lc电路 3 这个电路的哈密顿量可表示为： 22 22 q h lc =+ (2.3) 7 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 式中的坐标和动量可以用粒子的产生算符和湮灭算符 aa表示： ( 2 r aa c =+ h ) (2.4a) ( 2 rc qiaa = h ) (2.4b) 于是方程(2.4)可以写成用光子数算符n表示的形式： 0( 1/2hn)=+h (2.5) 式中 0 1/lc=为谐振腔的共振频率。 由系统的哈密顿量可知系统的能级间隔相 等，两个相等的量子能级是无法区分的，要想对电路能级进行调控，就要区分不同 的能级，可以在电路中加入非线性的元件，使电路达到不相等能级间隔的要求。 2.3 三种基本类型的超导量子比特三种基本类型的超导量子比特 由 2.1 节可知，约瑟夫森结是以位相和电荷数为变量的系统，以这两个变量可以 制作成不同类型的超导量子比特。基于约瑟夫森结的超导量子比特主要有三种基本 类型：电荷量子比特，磁通量子比特和位相量子比特。 2.3.1 电荷量子比特电荷量子比特 最简单的约瑟夫森结量子比特如图 2.3 所示。 电荷量子比特39-41包含了一个具有 n个额外库珀对的小岛 （称为库珀盒） 。 这个库珀盒一端用电容为 j c， 约瑟夫森能为 j e 的隧道结连接在超导电极上。另一端与一个通过门电容 g c耦合这个系统的门电压连 接。在今天的技术条件下，门电容和结电容的值都可以达到很小的数量级。由岛上 所有电容控制的单电子能量为，而约瑟夫森耦合能 2 /2() cg eecc=+ jj e与约瑟夫森 结的临界电流成正比。 在介质的超导能量间隙大于单电子的电荷能量情况下，在很低的温度准粒子 的隧穿被抑制，系统可以达到岛内没有准粒子被激发而只有库珀对以成对的形式隧 8 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 穿约瑟夫森结的状态。系统的哈密顿量表示为： 2 4()cos cgj he nne= (2.6) 式中n为岛内的库珀对数算符，为电子穿过结的位相差，n与满足量子力学的共轭 关系，/ ()ni= hh，为无量纲的门电荷，由门电压引起 /2 ggg nc ve= (a) (b) 图 2.3 (a)电荷量子比特和它的偏压电路设计图 39 (b)电荷量子比特的简化电子图 40 的门电荷作为一个可调控的参数。在单电子电荷能量大于约瑟夫森耦合能的条件下， 以电荷数态为基矢，哈密顿量在新的基矢下可写成： 2 1 4()(11) 2 cgj n he n nn nen nnn=+ + (2.7) 9 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 图 2.4 电荷量子比特电荷能级图 40 根据上式，可以做出以门电荷 g n为变量不同的库珀对数目下的电荷能级图，如图 2.4 所示。当门电荷 g n接近半整数点时，两个相邻态的电荷能级非常接近,这是由于 在半整数点上，两个相邻的能级是简并的，由于存在约瑟夫森隧穿，这些简并会被 分开。在简并点上的能级间隔比其他点上的能级间隔小，并且远低于其他能级，在 这一点上形成一个人工的二能级系统。我们可以调控电路在简并点附近的电压范围 内，并且只有两个电荷态，分别为0n =和1n =，那么超导电荷量子比特可看成是 两态的量子系统。此时，系统的哈密顿量可以用自旋 1 2 的算符表示成： 11 22 zzx hctrlbb x = (2.8) 电荷态和分别对应于自旋基态0n =1n = 1 0 = 和 0 1 = g 。门电压控制电荷能 级的分裂，自旋看成是在磁场的 z 方向上，4(1 2 ) zc ben=。而约瑟夫森能提供了 x 方向的有效磁场， xj be=。 2.3.2 磁通量子比特磁通量子比特 在电荷量子比特的电路中，能通过改变门电压来改变z方向的等效磁场大小，而 不能改变x方向的等效磁场大小。为了能够控制x方向的等效磁场大小，对电路进行 改变形成磁通量子比特3 39 ，如图 2.5 所示。电路由两个约瑟夫森结组成，并且把 两个约瑟夫森结的一端用超导连接起来构成一个环状，在外部加一个线圈的电感装 10 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 置耦合磁通量子比特系统，这样的系统叫直流超导量子干涉仪(dc squid)。它的两 个量子态可以对应于正反两个方向的超导电流。电感的作用是在外部加一个垂直于 环面的磁场，改变外部磁场的大小就可以控制磁通量子比特电路中x方向的等效磁场 大小。 经外场调节的超导环中磁通量为 0 ，为通过超导环的磁通量的位相算 符，改变位相就可改变磁通量的大小。系统总的电容为 12gj cccc j =+，两个约瑟 夫森结的约瑟夫森能哈密顿量40为： (a) (b) 图 2.5 (a)磁通电荷量子比特电路设计图 39 (b)磁通电荷量子比特的简化电子图39 11 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 coscos jjj hee 2 = (2.9) 这里假设两个约瑟夫森结的约瑟夫森能是相等的，通过每一个约瑟夫森结的位相算 符 1 和 2 分别与各自约瑟夫森结的库珀对数目算符 和共轭。令 1 n 2 n 12 2 =和 12 2 + =，上式经过三角公式的变化可得： 2cos cos jj he= (2.10) 对比(2.9)式， 得出在磁通量子比特的模型中， 以自旋 1 2 的算符表示的哈密顿量的 x b 形式为： 2cos xj be= (2.11) (a) (b) 图 2.6 (a)射频量子干涉仪 42 (b)双势阱，势能的形状由约瑟夫森隧道结和射频量子干涉仪的参数以及外加磁场控制。42 另一种磁通量子比特38的结构如图 2.6(a)所示， 用一根超导线把约瑟夫森结两端 连接起来，就得到射频超导量子干涉仪（rf squid） 。这一种磁通量子比特也同样 需要外加的磁场产生超电流来控制这个系统。与上文介绍的结构不同的是，它只用 一个约瑟夫森结，并且没有门电压。此电路的哈密顿量3为： 22 2 cos() 22 jext j qe he cl =+ h (2.12) 式中，l是环路的自感，通过超导环的磁通量与电容中的电荷q共轭，满足对易关 系：,qi= h。超导磁通量子比特的运动方程与双势阱中的小球运动方程具有相同 12 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 的形式。在不同的势阱中分别对应不同的超导环流方向。在一般情况下，我们采用 两个势阱中的最低能级为磁通量子比特的两个量子态，如图 2.6(b)所示，当系统简化 为两能级系统时，此磁通量子比特的哈密顿量与电荷量子比特的哈密顿量一样： 11 22 zzx hctrlbb x = (2.13) 磁通量子比特的约瑟夫森耦合能大于电荷能，以位相为自由度，得到较长的相 干时间,而且超导磁通量子比特受电荷噪声的影响小，但是对磁噪声就很灵敏。磁通 量子比特对磁场很灵敏的特点，可应用于很实际也很广泛的领域。 2.3.3 位相量子比特位相量子比特 位相量子比特3电路如图 2.7 所示，由一个约瑟夫森结与直流电源串联构成。像 超导磁通量子比特一样，这个电路对电荷的涨落与补偿、电荷噪声不敏感。约瑟夫 森结的非线性自感系数可以由结中接近临界电流的偏置电流得到。偏置电流源的表 图 2.7 位相量子比特电路图 3 达式可表示为磁通量与环路电感的比值：/il=。电路的哈密顿量为： 2 000coscj he pii = (2.14) 式中，i是约瑟夫森结的隧道偏置电流，是约瑟夫森结的临界电流。系统的势能图 如图 2.8 所示：图中以 0 i 为横坐标，形状如一个倾斜的洗衣板，倾斜率为：。 0 / i i 13 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 图 2.8 位相量子比特的势能图 3 当隧道偏置电流i接近临界电流时，位相为： 0 i/2 ，在这一点附近，势能 非常接近立方的形式： 3 00 00 ()()(/ 2)(/ 2 6 i uii) = (2.15) 可以算出的变化对势能的影响比较大。当 0 ii 0 ii 时，势能图存在周期性的、势垒 高度为 3/2 000 (2 2/3)(1/)uii=i的势阱，在势阱底部的特征振荡频率（也称为等 离子体振荡频率）为： 2 1/4 0 0 11 1( /) ( ) p jjjj i i li cl c = (2.16) 在小阻尼情况下/2 p kt磁通量子比特电荷量子比特，并且磁通和位相量子的约瑟夫森耦合能大于电 14 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 荷能，所以它们对电荷噪声不敏感，对磁噪声敏感。2.三种类型的电荷能比较，电荷 量子比特磁通量子比特位相量子比特，所以电荷量子比特对磁噪声不敏感，对电 荷噪声敏感。 2.4 人工原子的电路人工原子的电路 qed 在介绍人工原子的电路量子电动力学（qed）之前，我们先介绍自然原子的微 腔量子电动力学。 微腔量子电动力学(腔qed)是研究物质与量子化辐射场相互作用的 规律及其量子效应。描述光场与原子相互作用最简单模型为jaynes-cummings模型 44，其哈密顿量为: 1 ()( 22 rz ha a )g a + =+ h hha (2.18) 式中， r 为微腔的共振频率，为原子跃迁频率和 g 为原子与光子耦合的相互 作用强度。 在微腔量子电动力学中，自然原子与光子是强耦合的。在一般情况下，在一个 大的空间里原子与光子的相互作用是比较弱的，只有在两者比较接近的时候才明显 的表现出它们之间相互作用效果。当原子和光子被束缚在一个光学势阱中（光学势 阱是由两个或多个反射镜为边界的体积很小的空间， 光路经反射， 产生出多条光波） ， 它们的相互作用是非常强的。当一个处于激发态的原子被放入真空腔中，就能反复 的辐射和吸收光子，产生真空拉比振荡。 在最近的文献45报道中描述了固体系统展示出了拉比振荡，真空拉比劈裂，真 空自发辐射的增强和抑制，能级的兰姆移动这些原子在腔中的基本特征，这预示着 固态的腔qed系统可以实现。在原子系统，对时间的控制比较困难，必须要估算原 子在腔中的时间长度。而固态的系统就没有这方面的困难，量子比特是固定在芯片 上的，量子比特可以经过调控放置在腔中驻波的振幅最高点处。最近，wallraff 等人 从原子与光子的腔qed思想出发，设计单个约瑟夫森结耦合在一个芯片上的简谐振 荡模型46 47。利用光谱分析他们的实验，研究发现由于量子比特与波的耦合使两个 激发态分裂，把电磁辐射线射入腔中可以探测基态与两个分裂态之间的转换，来证 15 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 图 2.9 人工原子与腔相互作用系统的能级结构图 明系统的能级结构， 如图 2.9 所示。 在另一篇文献17中介绍把电荷量子比特安装在一 根超导线上的微腔模型，如图 2.10 所示。超导线两端电压为零，形成单模电磁场， 电荷量子比特与单模电磁场的相互作用系统就形成了人工原子与腔的相互作用系 统。同样，实验里观察到了固体量子系统的拉比振荡，真空拉比劈裂等特性。 图 2.10 超导传输线与电荷量子比特的耦合 17 随着技术的进步，可以制作更多的量子器件，例如现在研究很热门的纳米器件。 纳米器件的振动频率量级在 mhz，这一数量级与量子比特的能级差相近，两者在一 个系统中有很强的耦合相互作用。 总之，原子与光场的腔 qed 同样也适用于超导量子比特与腔场的系统。我们可 以运用腔 qed 理论理解本文的系统模型。 16 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 两耦合电荷量子比特的能级研究两耦合电荷量子比特的能级研究 为了实现量子计算，先要能制备出量子纠缠态。量子纠缠态可以是由两个比特 的纠缠，也可以是多个比特的纠缠。在制备量子纠缠态前，要先了解比特之间的耦 合原理。利用比特的耦合特性来制备纠缠态。目前，有文献研究两个电荷比特之间 的耦合16，两个位相量子比特之间的耦合48 ，也有研究不同比特之间的耦合，例如 文献里研究了电荷与位相量子比特的耦合纠缠49 。 本文在别人研究的两个电荷量子比特耦合的模型16基础上，进行两个耦合电荷 量子比特系统的能级研究。 3.1 两电荷量子比特的耦合模型两电荷量子比特的耦合模型 (a) 17 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 图 3.1 (a)两个电荷量子比特耦合结构的电子显微图14 （b）两个电荷量子比特耦合的电路图 上图的模型中， 1g c， 1c c 1j c， 1j e， 1g v分别代表第一个电荷量子比特的门电 容，耦合电容，约瑟夫森结电容，约瑟夫森能和门电压；同样， 2g c， 2c c 2j c， 2j e， 2g v分别代表了第二个电荷量子比特的门电容，耦合电容，约瑟夫森电容，约 瑟夫森能和门电压。两个电荷量子比特用电容耦合。此系统的哈密顿量可表示为： m c 22 1111122222 4()cos( )4()cos() cjcj henngeennge=+ 112 4()( cm2) enng nng+ (3.1) 式中， 2 2 cm m e e c =为两电荷量子比特的耦合相互作用强度， g n为门电压所引起的等效 库珀对数,称为门电荷。 由算符的对易关系可得到关系式, n=i i , i n ee = 。用岛上的额外库珀对数 n为基矢，有如下等式：1 i enn =+与1 i enn =。同时，我们知道三角公式 中有等式：cos 2 ii ee + =。利用这些关系式，系统的哈密顿量可以重新表示成： 11 2 1111111111 1 4()(11 2 cj nn )henngnnennnn=+ 18 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 22 2 2222222222 1 4()(11 2 cj nn enngnnennnn+ ) 12 1111222 4()() cm nn 2 enngnnnngnn+ (3.2) 假设在低温条件下，只有0n=和1n =两个态存在于系统中，则哈密顿量可简单 的表示成以0n=和1n =态为基矢的形式： 22 1111111111111111 1 4(00(1) 11 )( 10102101 2 cj hengnge=+ +) 22 2222222222222222 1 4(00(1) 11 )(10102101 ) 2 cj engnge+ + 121122121122 4(0000(1)11 00 cm eng ngng ng+ 12112212112 (1) 00 11(1)(1) 11 11 )ngngngng+ 2 (3.3) 在11，10，01，00四个基矢下，哈密顿量写成矩阵的形式为： 21 11 21 22 12 33 12 44 0 22 0 2 0 22 0 22 jj jj jj jj ee h ee h ee h ee h 2 (3.4) 其中： 22 11112212 4() cccm he nge nge ng ng=+ 22 22112212 4(1)(1) cccm he ngenge ngng=+ 22 33112212 4(1)(1) cccm henge ngeng ng=+ 22 44112212 4(1)(1)(1)(1) cccm hengengengng=+ 假设两个电荷量子比特为全同子系统，如同