（基础数学专业论文）具有给定平均曲率的圆纹曲面.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究三维欧氏空间中圆纹曲面的几何性质。设礼= 佗( s ) 为每个圆纹所在平 面的单位法向量，则圆纹曲面s 的参数方程可以表示为： x ( s ，t ) = r ( s ) + p ( s ) ( b c o s t + c s i n 芒) ， 其中a = 佗( s ) ，b = ( s ) ，c = n ( s ) a 竹7 ( s ) ，r ( s ) 和p ( s ) 分别为8 一圆纹的圆心和半径，8 为佗 的弧长参数，t 是s 一圆纹的弧度 选取标架 x ；n ，b ) ，其中t = a ，n = b c o s t + c s i n t ，b = 一b s i n t + c c o s t 利用这 个标架，计算曲面s 的第一基本形式的系数e ，只g 和第二基本形式的系数厶m ，用 【，】表示r 3 中的混合积，且令w = e g f 2 ，则圆纹曲面s 的平均曲率可以表示为 日= 嘉， l ，= 其中h i = g 阢，瓦，咒。卜2 f x 8 ，x ，咒t 】+ e 阢，五，玩】 接下来，研究平均曲率满足o h o r = 0 的圆纹曲面。直接计算可见o h o r = 0 等价 于2 h 1 t w 一3 h 1 w t = 0 ，所以只需研究满足后者的圆纹曲面。把2 h 1 t w 一3 h 1 w t 展成关 于t 的f o u r i e r 展式，有 2 h 1 t w 一3 h 1 w t = e o + ：( 鼠c o sn t + rs i n 佗亡) ， s i ，t z n = l - - _ 一 系数最，只是关于8 的光滑函数。故2 h i t w 一3 1 w t = 0 当且仅当e o = 晟= r = 0 ， i = 1 ，2 ，3 ，4 经过研究，我们得到了以下两个结论： 命题1 如果圆纹曲面s 满足o h o r = 0 ，则s 是球面或r a n k ( d 2 2 ) = 3 注：圣2 的具体表达式见本论文1 7 页式( 3 3 2 ) 。 命题2如果s 是由位于平行平面里的单参数圆族生成的圆纹曲面，且o h o r = 0 ， 则s 是旋转曲面或者黎曼极小曲面。 另外，在选取一个合适的标架，给出圆纹曲面的一个参数表示之后，我们还给出了 一种求圆纹曲面腰线的方法，并求出了腰线的方程。 关键词：圆纹曲面；旋转曲面；活动标架；黎曼极小曲面；f o u r i e r 展式 大连理工大学硕士学位论文 c y c l i cs u r f a c e sw i t hp r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r e a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h eg e o m e t r yp r o p e r t i e so fc y c l i cs u r f a c e si ne u c i l i d e a n3 - s p a c ei sm a i n l y s t u d i e d l e t 竹= 死( s ) b et h es m o o t hu n i tv e c t o rf i e l do fe a c hp l a n ei n c l u d i n gs - c i r c l e t h e n c y c l i cs u r f a c ei sp a r a m e t r i z e db y x ( 8 ，亡) = r ( s ) + ；( 8 ) ( b c o s t + c s i n t ) ， w h e r ea = 忍( s ) ，b = 扎7 ( s ) ，c = 死( s ) a 仃7 ( s ) ，p = p ( s ) a n dr = r ( s ) d e n o t er e s p e c t i v e l yt h e r a d i u sa n dc e n t e ro fe a c hs - c i r c l e ，a n d8i st h ea r cp a r a m e t e ro fn ( s ) ，ti st h er a d i a no fe a c h s - c i r c l e l e tt = a ，n = b c o s t + c s i n t ，b = 一b s i n t + c c o s t ，c h o o s em o v i n gf r a m e x ；n ，b ) t h e nu s et h i sm o v i n gf r a m et oc o m p u t et h ec o e 伍c i e n t so ft h ef i r s tf u n d a m e n t a lf o r me ，f ，g a n dt h ec o e f f i c i e n t so ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r ml ，mn l e tu sd e n o t eb y 【1 ，】t h em i x e d p r o d u c ti nr 3a n dp u tw = e g f 2 t h e n t h em e a l i lc u r v a t u r ehc a nw r i t ea s 日= 杀， w h e r eh i = g 阢，托，k 8 】一2 f 阢，k ，咒t 】+ e 区，咒，】 i t i si n t e n d e dt os t u d yt h ec y c l i cs u r f a c e st h a ts a t i s f y0 h & = 0 i ti se a s yt oc h e c k t h a t2 h 1 t w 一3 h 1 w t = 0i se q u i v a l e n tt oo h o r = 0 s oi t i ss u f f i c i e n tt os t u d yt h ec y c l i c s u r f a c e st h a ts a t i s f y2 h 1 t w 一3 1 吼= 0 e x p a n d2 巩w 一3 h i w ti n t of o u r i e re x p a n s i o n a b o u t t h e n 2 1 t w 一3 h 1 w t = e 0 + f ( 晶c o sn t + rs i n 凡t ) ， s i ，t z a l lc o e f f i c i e n t s 蜀，ea r es m o o t hf u n c t i o no n8 s o2 h i t w 一3 h 1 w t = 0h o l d si fa n do n l y i fe 0 = 最= e = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r e ： p r o p o s i t i o n1 i ft h ec y c l i cs u r f a c e sss a t i s f yt h et y p eo h o r = 0 ，t h e nsi sas p h e r e o rr a n k ( 2 ) = 3 r e m a r k ：t h er e p r e s e n t a t i o no f 圣2c a nb er e f e r e dt op a g e17 ( 3 3 2 ) o ft h i sp a p e r p r o p o s i t i o n2 i fc y c l i cs u r f a c esi sf o h a t e db yp i e c e so fc i r c l e sl y i n gi np a r a l l e l p l a n e s ，a n do h o r = 0 ，t h e nsm u s tb eas u r f a c eo fr e v o l u t i o no rar i e m a n nm i n i m a l s u r f a c e f u r t h e r m o r e ，a f t e rc h o o s i n gas u i t a b l ef r a m e ，w eg i v ear e p r e s e n t a t i o no fc y c l i cs u r f a c e t h e nu n d e rt h i sr e p r e s e n t a t i o n ，w eg i v eam e t h o dt ol o o kf o rt h el i n eo fs t r i c t i o no fc y c l i c s u r f a c e k e yw o r d s ：c y c l i cs u r f a c e ；r e v o l u t i o ns u r f a c e ；m o v i n gf r a m e ；r i e m a n nm i n - i m a ls u r f a c e ；f o u r i e re x p a n s i o n i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：位e 日期：礁：口 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：工坚弘 导师签名：脾 j 逐年量月l 日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 活动标架背景介绍 活动标架的概念起源于力学，例如在研究刚体运动时，可以在刚体上联系一个标 架，刚体运动时标架随着运动，这样就得到了一依赖时间参数t 的一族标架，刚体的运动 就可以用含t 作为参数的这一族标架来表示。c o t t o n ，d a r b o u x 等把标架概念推广到与多 个变量有关的情形。在力学理论的推动下，d a r b o u x 首先创造了以活动标架为基础的流 形理论。e c a f t a n 将这个理论发扬光大，他将活动标架从运动群推广到任意李群，建立 起李群与微分几何的联系，并引进外微分形式直接研究几何。外微分与活动标架法相结 合，使得整体微分几何有了突飞猛进的发展。陈省身将e c a r t a n 的方法发扬光大，他关 于纤维丛和示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉的里程碑。 1 2 圆纹曲面研究背景介绍 由单参数圆族所生成的曲面，叫做圆纹曲面，球面，圆柱面，圆环面等都是三维欧 氏空间中圆纹曲面的例子。作为一类重要的曲面，圆纹曲面是微分几何的一个重要研究 领域，关于它的研究，最早是由e n n e p e r 发起的，在1 8 8 6 年，e n n e p e r 就发现了圆纹 极小曲面，即悬链面，并用椭圆积分给出了一个具体的表示。后来，r i e m a n n 也得到了 同样的结果。近年来，人们已经开始研究高维空间由球生成的极小子流形，取得了一些 很好的结果，具体见文献【4 】一【6 】 n i t s c h e 1 1 对三维欧氏空间中平均曲率是常数的圆纹曲面进行了研究，并对其进行了 分类。 l o p e z 2 ，3 1 研究了三维欧氏空间中g a u s s 曲率是常数的圆纹曲面，后来，他又 对g a u s s 曲率k 与平均曲率日满足：a k + b h = c ( 其中a ，b ，c 为常数) 的圆纹 w e i n g a r t e n 曲面的情形进行了研究，也对其进行了分类。 由于圆纹曲面的特殊性质之处，圆纹曲面在机械设计加工中具有重要的意义。例如 在机构运动学中关于轮轴的运动等，具体见文献【2 8 】 1 3 本文内容介绍 本文主要以圆纹曲面为研究对象，首先选取了一种合适的活动标架，并在此标架下 来研究圆纹曲面的性质。 第一章首先介绍本文所讨论话题的历史发展，一些关于该学科领域的国内外学者所 取得的成果，并在最后介绍了本文的主要工作。 第二章主要介绍了关于活动标架和曲面论的一些预备知识，曲面的基本形式，曲面 1 具有给定平均曲率的圆纹曲面 的基本公式，基本方程和基本定理等。 第三章讨论了满足a h & = 0 的圆纹曲面，其中i - i 为圆纹曲面的平均曲率。首先选 取了合适的标架，然后介绍了圆纹曲面的几何，接着分别讨论了圆纹平行和圆纹不平行 这两种情况。 第四章主要研究了圆纹曲面的腰线。 第五章系统地概括了本文所取得的一些主要成果。 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章前两节分别简要介绍了活动标架的基础知识和曲面的基本形式；接下来简单介了 曲面在一点的主曲率，曲面的基本公式，基本方程和基本定理。 2 1 活动标架 首先我们简要介绍曲面上的活动标架的概念。设e 3 中的曲面s 的参数表示为： r = r ( 乱，钞) ，( 缸，勘) d 参数曲面s 上的光滑向量场。( u ，v ) 是指对于s 上的任意一点7 = r ( u ，钞) ，x ( u ，钉) 是从点 7 _ = r ( u ，v ) 出发的一个向量，并且z ( 乱，移) 光滑地依赖于参数( 让，秽) 。对于任意的( 乱，口) ，当 z ( u ，v ) 是曲面s 在点7 = r ( 乱，钞) 的切向量时，z ( u ，口) 称为曲面s 的切向量场，当z ( 乱，v ) 是曲面s 在点7 = 7 ( u ，v ) 的法向量时，z ( 钍，v ) 称为曲面s 的法向量场。 给定e 3 中的曲面s 以及s 的一个参数表示r = r ( 乱，口) ，在s 各点的切平面上取向量 e 1 ，e 2 使得 ( e 1 ，e 1 ) = ( e 2 ，e 2 ) = 1 ，( e l ，e 2 ) = 0 ， ( 2 1 1 ) 而且e l ，e 2 关于( 缸，口) 是光滑的，取e 3 = e lae 2 为曲面的单位法向量场，则 r ；e l ，e 2 ，e 3 ) 构成沿曲面的一个正交标架。曲面s 上的活动标架是指以曲面上的点为原点的三维欧氏 空间的坐标系 r ( u ，口) ；a ( u ，口) ，6 ( ，口) ，c ( u ，钉) ) ，其中a ，b ，c 是曲面s 上处处线性无关的向 量场。特别，如果 口，b ，c 为单位正交标架，则称 7 ( u ，钐) ；口( u ，可) ，b ( u ，移) ，c ( 仳，移) ) 为沿曲 面s 的正交活动标架。 设e 3 的曲面s 的参数表示为r = r ( u ，口) ，和是曲面s 上切向量场的两个自然 的例子，佗= 等是曲面s 上的单位法向量场。显然，r u ，凡相互线性无关，因此 7 = r ( 让，钞) ；r u ，n ) 构成了以r = r ( 缸，v ) 为原点的e 3 的个标架，这些标架的全体称 为参数曲面s 的自然标架场。 ( 正交标架的存在性) 设e 3 中曲面s 的参数表示为r = r ( u ，钞) ，对自然标架气，施 行s c h i d t 正交化，有 e l2 丽2 历 ( 2 工2 1 ) 、( 气，) 、e 、 7 一( r u ，e 1 ) e l 包2 丙j 蒜i 一i 气，e 1 7 e 1 e 一f r t ( 2 1 3 ) e 1 ，e 2 是曲面切平面的单位正交基。令 e 3 呐a e 2 = 佗= 龋 ( 2 ) 容易验证，e l ，e 2 ，e 3 满足 ( e l ，e 1 ) = ( e 2 ，e 2 ) = 1 ，( e l ，e 2 ) = 0 ，e 3 = e 1a e 2 3 具有给定平均曲率的圆纹曲面 则1 r ；e l ，e 2 ，e 3 ) 是s 的一个正定向的正交标架。如果 肚a l l ( u , ，v ，) a 1 2 ( u , ，v ，) a 2 1 ( ua 2 2 ( u ) ( 2 1 5 ) fll 、jv 1 是定义在参数区域d 上的正交矩阵且d e ta = l ，令 ae l ，) 仁邶) 那么 r ；e ；，e ；，= e 3 也是s 的一个正定向正交标架。显然e i ，e ；是s 切平面的正交基 e l ，e 2 经过变换a 得到的。 通过研究曲面上的任意标架来研究曲面与标架无关的几何性质，是微分几何学的一 个基本方法。 2 2 曲面的基本形式 设已给曲面 s ：r = r ( 乱，u ) ，( 2 2 1 ) 其中矢函数7 ( u ，v ) 有连续的偏导数气与，而且r ua 0 设 f ：u = 让( 亡) ，钞= 口( 亡) ，亡l 亡t 2( 2 2 2 ) 为s 上的一条曲线。对于曲线r ， 或者 若8 表示r 的弧长，则 d rd u d u 面5 气面+ 面， d r = r u d u + r v d v d s 2 = d r 2 = r 札2 d u 2 - t - 2 r u r v d u d v + 2 d 勘2 ( 2 2 3 ) 令 e = 咤，f = 气，g = 心， 则( 2 2 3 ) 可以写成 d s 2 = d r 2 = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ( 2 2 4 ) 公式( 2 2 4 ) 右端是对于微分毗，曲的一个二次微分式，称为曲面s 上的第一基本 形式，用，表示： i = e d u 2 - - t - 2 f d u d v + g d v 2 ( 2 2 5 ) 它的系数e ，f g 称为s 的第一类基本量。第一基本形式是曲面的一个基本的几何量，理 解这个几何量是学习微分几何的出发点。 命题2 2 1 曲面s 的第一基本形式与参数选取无关。 证明设( “，口) = 盯( - ，_ ) 是参数变换，在参数( u ，口) 下曲面的第一基本形式为 x ( u ，口) = e d u 2 + 2 f d u d v - - g d v 2 ，( 2 2 6 ) 4 大连理工大学硕士学位论文 在参数( 西，可) 下曲面的第一基本形式为 利用基变换公式 j ( _ ，可) = e d 9 2 + 2 - d 锄+ 召d - 2 我们可以求出第一基本形式系数 e = ( r g ，r g 同理，有 州簇 f = ( r - ，) = e ( 嘉筹) + f ( 瓦o u 历o v + 瓦o vo 铡u ) + g 、掘o v 丽o v ) ； 召= ( ，r - ) = e ( 丽o u ，2 + 2 f ( 丽o u 丽o v ) + g ( 历o v ) 2 这些关系式写成矩阵的形式， 即 所以有 匿驴嘲广， 是变换的j a c o b i 阵又因为 d 乱曲 = d gd 可 ，( ，西) = d _ d - r ，一，_ 1 ld ud 口l lj r ， ， 1 i d ud v l l j ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 抛锄1 磊磊l = d - d - z ( 2 2 1 0 ) 酾酾l 巨| 【_ - j j 阳 瞄习 广圈 d 胡，、 12 - f 【乱，秽j d vl j ( 2 2 1 1 ) 命题证毕。 接下来我们来介绍曲面的第二基本形式，在曲面r ( u ， ) 上的一点( u ，v ) 处，我们作 5 毒瞎 + 卜 抛一扼踟一扼气丝旎 丝惋呱 仉 + 泵砒一掘舨一剜麓嗡咯 ”p e 啪 l l = 丝荔丽丝船丽。l = j 中其 j 昌 j 昌 砚一钶踟一笳 十 + 一u 一也 航 j 軎 抛一扼锄一扼 = = 乩 毗 具有给定平均曲率的圆纹曲面 曲面的切平面，并从它的邻近点( u + d u ，口+ d v ) 引这个切平面的垂线，那么这个垂直距 离是d u ，曲的二阶无穷小量，而其主要部分则等于 一1 佗d 2 r 一一1 2 ( 2 2 i 2 一佗 。r j 其中礼= 亡等是曲面的单位法向量，气，r v 为曲面的坐标且向量。我们把这距离两倍 的主要部分定义为第二基本形式，也就是 i i = n d 2 r 然而礼d r = 0 ，所以佗d 2 r = 一d n d r ，于是 ，= 一d 佗d r = l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 其中 l = 佗r t ，m = 礼7 伽，n = 扎r t l t i ， ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) lm ，称为曲面的第二基本量。 命题2 2 2 设r = 7 ( 让，移) 和r = r ( 西，可) 是曲面的两个不同参数表示。当变换 ( u ，口) 一( 西，可) 是同向参数变换时，第二基本形式不变，即i i ( u ，u ) = 1 1 ，- ) ；当变换 ( u ， ) 一( 西，万) 是反向参数变换时，第二基本形式改变符号。 证明 由a 勺= 鞘r ua ，当参数变换同向时，佗( “，口) = n ( 瓦，动，利用一阶 微分形式不变性，可得 h ( u ，移) = - d n ( u ，口) d r ( u ，v ) = - d n ( 瓦，一) 出( 西，可) ；j ，( 西，_ ) 当参数反向时，n ( u ，u ) = 一佗( j j i ，- ) ，同理可证，i i ( u ，v ) = - i i ( 西，- ) 证毕 2 3 曲面在一点的主曲率 下面我们首先定义一个切平面到切平面的线性变换： m 答a 三r 嚣w ( 小vm 蚶川， 3 m 钐= u + p n _) 2 一( a 礼让+ 肌t ，) ， w 称为曲面的w e i n g a r t e n 变换。 命题2 3 1 曲面的w e i n g a r t e n 变换是曲面切平面到自身的一个自共轭变换，即对 任意v ，伽t p s ， ( w ( 口) ，w ) = ( v ，w ( 彬) ) 证明设v = a 气+ 弘，切= + r r v 是p 点的两个切向量，由于( 氏，) = ( r v ，佗u ) ， 我们有 一( w ( 口) ，如) = ( 入n u + z n ，r u + 7 7 ) ，一 。 = a ( 气，扎u ) + a r ( r ，n u ) + 心( r u ，佗口) + l z r ( r ，佗臼) 6 大连理工大学硕士学位论文 = ( 入r t i + 肛7 t i ，他u + 叩佗”) = - ( v ，w ( 叫) ) 证毕 曲面的w e i n g a r t e n 变换是曲面切平面到自身的一个自共轭变换，由线性代数 的知识知，它的两个特征值是实数。我们把其在p 点的两个特征值称为曲面s 在p 点的 主曲率。特征值对应的两个特征方向称为曲面在p 点的主方向。 为了计算曲面的主曲率，我们首先要求w e i n g a r t e n 变换在坐标切向量下的系数矩 阵。设曲面s 的参数表示为r = r ( u ，秽) ，在切平面基 气，) 下w e i n g a r t e n 变换的系数 矩阵是i a6 i ，即 i - cd j w ( ) = 一礼u = 口气+ 玑， ( 2 3 2 ) w ( ) = 一= + d 将( 2 3 2 ) 式分别与气，作内积，可得 求解以上线性方程组，得 l = a e 牟b f , m = a f + b g 口2 面丽，d2 面万刁f l g mf 。me l f 类似将( 2 3 3 ) 式分别与气，作内积，得 求解，得 m = c e 牟d r , n = c f + d g ， m g n f 。 ne m f c 2 面万j r ，d 2 1 万j f 。 所以w e i n g a r t e n 变换的系数矩阵为 ( 2 3 3 ) 醐三骘习二- 1 l g 鬻e lfmgn e m f “， 1 l m fm l e g f 2i 一f i 。 具有给窒兰塑塑皇箜堕鏊堕重一 一一 从( 2 3 4 ) 式可以知道主曲率七须满足方程 七2 一l g - 丽2 m 巧f + _ n e 尼+ 丽l n - 万m 2 = o ( 2 3 5 ) 舻一1 甄歹二了；广托中葛虿二f 2 一叭 、7 记曲面的两个主曲率( 即上面方程的两个根) 为尼1 、知2 我们把日= 去( 惫l + 庇2 ) 称为 曲面的平均曲率，k = k l k , 2 称为曲面的g 口乱s s 曲率，由根和系数的关系有 日：互1 l g l - 2 薛m r f + n e ， k = 面l n f - m 乒2 2 4 曲面论的基本公式 在本节里，我们假设表示曲面的矢函数r ( 让，移) 有连续的三阶偏导数a 。 现在假定已经选择好了参数钆，”，使曲面上的参数曲线构成正交网，首先，f = 0 其 次，我们引进记号 e ，掌弓警，e 。= 弓茜，e 3 = 礼= e ， e 2 ， e 1 掌了面e 22 了吾e 3 2 礼一吼八 则e 。，e 2 ，e 3 是三个右旋的，彼此垂直的幺矢。他们构成曲面的一种动标三棱形。因此， 我们可以断言， ( e i ) 氍= 勺，( e t ) = 6 巧勺( 待1 ，2 ，3 ) ， ( 2 4 1 ) j = l j 5 1 其中 = ( e t ) u 勺，幻= ( e t ) 啦勺 都是u ，秽，的纯量函数，而且口巧和6 巧都是反对称方阵，即 + q i = 0 ，+ 如t 5 0 我们现在来求。巧和首先 ( e 1 ) u = ( 另) 缸= 兹+ ( 去) 们 ( e 2 ) = ( 品) 缸= 莠+ ( 嘉) 执， ( e 1 ) 钌= ( 箍) t ，= 莠+ ( 去) m ( 吼= ( 另) t ，= 筠十( 嘉) 矾， 8 于是，由于f = 气= 0 ， 但 故 此外， 同样可得 。z 3 = ( e u e 32 - 面n r u u = 。- ( e z 沁3 = 凳= 隽 = 鑫a 3 = 历m ，= 嘉 代入( 2 4 1 ) ，即得f = 0 下的基本公式： 这两组公式可以合成一组。沿曲面上的任意曲线或方向，若令 3 d e 产哟勺 j = l 则由于d e i = ( e t ) u d u + ( e t ) 口d v ，根据( 2 4 1 ) ( i = 1 ，2 ，3 ) ， u 巧= a o d u + d v = 一w i j 9 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 湍价 = 凡兰 2 功l l e菱黯 l = - ， 一2 池轨一 = = 心 二 口 眈功 l切m铲m舻去爹矿杀去去 m铲嘧矿 眈 l i g i 一 去盎告 具有给定平均曲率的圆纹曲面 把口玎和6 玎的值代入，即得 1 0 ) 1 22 l u 2 3 = l 1 0 ) 3 12 l 注意，u 1 2 完全决定于第一类基本量。 一鼠d u + g u d 口 2 e g m d u + n d v g l d u + m d v e ( 2 4 5 ) 2 5 曲面论的基本方程 现在，由于已经假设矢函数r ( u ，v ) 有连续的三阶偏导数，( 龟) u = ( 勖) 讹0 = 1 ，2 ，3 ) 由( 2 4 1 ) ， ( 吼) 伽= ( a t j e j ) 口= ( 。巧) 口勺+ 口巧( 勺) 口 j = l j = ( ) 勺+ 口巧觑 jj k = ( ) u + a i p k jp 同样 ( e t ) 伽= ( ) u + b i , a , j e j jp 由于e j 线性无关，从以上两式得 ( ) 一( 6 够) u = ( d 力一口咖6 力) p 由于口巧和b i j 都是反对称方阵，( 2 5 1 ) 里只包含三个独立得关系，而且右端的和里每次 只剩下一项。这三个关系是 f ( 口1 2 j ， 气( a 2 3 k ， 把( 2 4 ) 中a o 和的值代入，并适当地把公式整理，就得到在f = 0 情况下的 g a u s s 方程 k = 警= 一面1t 。万( v f e ) v ”【唔m ( 2 5 3 ) 1 0 252 2 3 1够彬劬 3 1 2 l 2 3 口 0 0 一 一 一 娩 船 俎 0 0 0 3 1 2 h 抛抛 = = i | u 缸 u、1，、l，、，j， 2 3 l 巩比如 一 一 一 u p u 大连理工大学硕士学位论文 和c o d a z z i 方程 嚣二雾二攀二荤冀 驰， 【c 一c 挣一l 峄一m 訾一o 一 2 6 曲面论的基本定理 从g a u s s c o o d a z z i 方程我们可以看到，一个曲面的第一基本形式和第二基本形式 不是可以任意选择的；他们的系数必须适合基本方程。但是可以证明，只要u ，v 的六个 函数e ，只g 和厶m ，除了满足条件e g f 2 0 ，e 0 外，还适合g a u s s c o o d a z z i 方程，它们就是某些曲面的第一和第二基本形式的系数，而且一切具有相同的第一和第 二基本形式的曲面经过刚体运动可以互相重合。我们有下面的定理： 定理2 6 1 ( 存在性定理) 已给六个含u ，v 的的函数e ，e g ( e g f 2 0 ，e 0 ) 和lm ，其中e ，只g 有连续的二阶偏导函数，厶m ，有连续的一阶偏导函数，而 且它们满足曲面论的基本方程，则一定有某些曲面，以e ，f g 为第一类基本量，以 厶坛为第二类基本量。 定理2 6 2 ( 曲面论的基本定理) 两个曲面可以重合的充要条件是：在适当地选择 参数后，它们有相同的第一类和第二类基本量。 这两个定理的证明和曲线论的对应定理相仿，其差别是，在这里，不变量较多，所 遇到的微分方程是偏微分方程，而且还有积分条件( 即基本方程) 等等。在这里，我们就 不加以证明了，具体证明详见【2 7 】 1 1 大连理工大学硕士学位论文 3 一类特殊的圆纹曲面 3 1 正交标架的选取 设x = x ( s ，t ) 是e 3 中的圆纹曲面s 的参数表示，我们想在s 上选取个合适的标 架来研究曲面s 的性质。首先取佗= n ( s ) 为每个圆纹所在平面的单位法向量，且8 为n 的弧长参数，则有l 死，i = 1 ，令口= 佗( s ) ，b = ( s ) ，c = 佗( s ) a 礼7 ( s ) ，则a ，b ，c 正交，且有 f 孑三二口+ 钞c ， 。3 1 1 ， lc = 一口o ， 其中v 是关于s 的光滑函数，则圆纹曲面的参数方程可以表示为： x ( 8 ，亡) = r ( s ) + p ( s ) ( b c o s t + c s i n t ) ， ( 3 1 2 ) 其中，r = r ( 8 ) 为圆心曲线，p ( s ) 0 为圆的半径。 令 僻。谢咄 坞， iib ：一6 s i n 亡+ c c o s 亡， 则 x ；丁，b ) 是s 上的一个活动标架，在该标架下，( 3 1 2 ) 式可以简写为 x ( 8 ，t ) = r ( s ) + j d ( s ) ( s ，t ) ( 3 1 4 ) 疋= n c o s t bs 血t ， 正= 0 ， 札= 一t c 。8 亡+ u j e 7 ( 3 1 5 ) m = b ， b 8 ：= t s i n t v g , b t = 一n 令 r 7 = e a + f b + g c ，( 3 1 6 ) 其中e ，f ，g 是关于8 的光滑函数。 这样我们就在圆纹曲面s 上取了一个活动标架 0 ，与a 2 = 0 矛盾。 ( 2 ) 当厂= 0 时，由a 2 = 0 可得p 2 = 9 2 ，又由e 3 = 0 可推出= 0 或者e = 0 i ) 当= 0 时，由b = 0 得e = 0 ，又且= 6 p 9 0 ，与f i = 0 矛盾。 i i ) 当e = 0 时，由玛= 0 得p l = 0 ，又f i = 6 p 9 0 ，与日= 0 矛盾。 1 6 o o o o o瑚魄锄珧岛及及忍忍恳忍毋日 大连理工大学硕士学位论文 ( 耋：) ( 量) + ( 詈：) ( 至) = 。， c 3 3 1 ， 卟旺荔 ，6 a 2 i ，l 一3 b 虫22l l 3 a i 0 ；a 1 互a 1 4 岛 4 a 2 2 4 0 一墨2 口1 。1 皿，= l 兰- ；b 1 兰b 0 。二耄0 6 a o 2 6 a 0 6 a 0 。) ，里2 = ( 主至蒌。 皿，= li a l 一耄罗zi ，里2 = i 。，。dr ： 、一；岛兰b 。一oi 鑫三1 黑 4a封2 2 a o+ i 4 岛i l a -， 薹006b。2 i 警b i 0o ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 命题1 如果圆纹曲面s 满足o h o r = 0 ，则s 是球面或r a n k ( 0 2 ) = 3 证明因为a 日况= 0 ，所以e o = 易= 只= 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 又由引理1 ，我们只需 讨论在条件e = ，7 ，9 7 = 0 下，曲面s 的形状。 ( 1 ) 当g = 0 时贝i j 有b 2 = p 2 g = 0 ，b l = 2 矿9 = 0 ，a 2 = 去矿( p 2 + ，2 ) 0 由 岛= 0 可得d 1 = 0 ，又根据f 3 = 0 ，f 2 = 0 可推出 1 2 p a l a ；+ 6 p u a l a 2 一彳t 2 l g 一丽厂， 其中u = p 2 ( 严+ 俨) 又r = 0 ，有 一 差a ；+ 6 p a o a 2 2 一1 矿 将c o ，q 代入f 1 = 0 ，有( 去群一4 u a 2 ) 2 = 0 ，该式经过化简可得p p + ，厂7 = 0 ， 即矿+ ，2 = c o n s t 又r 7 = e a + f b + g c = b = ( a ) 7 ，所以有r = a + h o ，其中 为任一常向量。则圆纹曲面的方程可表示为 i x h o l 2 一，2 + p 2 ， 即曲面s 是半径为 厂2 + 矿的球面。 ( 2 ) 夕0 ，厂= 0 时，有a 1 = 2 p 2 ( p f p e ) = 0 ，b 2 = 0 将a 1 = 0 代入e o = 0 ， 有b 1 ( 3 p a 2 + c 1 ) = 0 ，所以有b l = 0 或3 p a 2 十c 1 = 0 ( i ) 当b 1 = 旬时，代入f 3 = 0 ，有2 a 2 ( c 1 + 3 肚o ) = 0 ，所以a 2 = 0 或q = - 3 p a o ， 由引理1 可知a 2 = b 2 = 0 不可能发生。即只能q = 一3 p a o 将b 1 = 0 ， 1 7 、llii， 2 2 1 a 最a n二n二12 一 一 一 具有给定平均曲率的圆纹曲面 a 1 = 0 ，b 2 = 0 代入f 1 = 0 ，经过整理可得( a 2 一a o ) 2 = 0 ，即a 2 = a o ，所 以有= g = 0 ，与夕0 矛盾。 伍) 当3 p a 2 + q = 0 时，由玛= 0 可得 6 j d 山a 2 = 6 p a ；+ i o d 1 2 ， ( 3 3 4 ) 将( 3 3 4 ) 代入日= 0 可得b 1 = 0 ，所以再根据( 3 3 4 ) 式有( 山一a 2 ) a 2 = 0 若a 2 = 0 ，由引理1 可知，如= b 2 = 0 不可能发生；若a o a 2 = 0 ，则有 p l = 9 = 0 ，与9 0 矛盾。 由以上讨论可知9 0 ，厂= 0 不可能发生。 ， ( 3 ) 当，0 ，9 0 ，= 0 时有b 1 = 2 p 2 # 9 = 0 ，b 2 0 由e o = 0 ，可得 a l ( 3 p b 2 + d 1 ) = 0 ，即a 1 = 0 或者3 p 易+ d 1 = 0 ( i ) 如果a l = 0 时j 有e = 厂7 = 0 ，即，是常数，则有d 1 = 0 ，又由e l = 0 可得 岛g = 0 因为易0 ，所以a = 0 ，又q = 一昙( j d 2 + ，2 + 9 2 ) = - 3 p a o 0 ， 。 矛盾。 ( i i ) 如果( 3 j d 岛+ d 1 ) = 0 ，将( 3 p 岛+ d 1 ) = 0 ，b 2 0 代入t y , 1 = 马= 0 可得， 山= 4 a 2 将( 3 j d 岛+ d 1 ) = 0 ，b 2 0 代入易= 0 可得g = 一去硝1 又 有r = 0 ，可推出a 1 = 0 或者q = 一5 1 p a 2 。若a 1 = 0 ，则有e = ，7 = 0 将 p l = e = ，7 = 0 代入d l ，有d 1 = 0 ，所以有b 2 = 0 ，与b 2 0 矛盾；若 g = 一5 1 p a 2 ，由毋= 玛= 0 可得山= 4 a 2 = 0 ，与山 0 矛盾。 由以上讨论可知厂0 ，9 0 ，= 0 不可能发生。 ( 4 ) 当，0 ，夕0 ，i | d ，0 ，( 毛) = 0 时有a 1 = 0 ，b 2 0 ，b 1 0 ，由蜀= 0 可 得3 p a 2 + q = 0 ，由乃= 0 可得 6 p a o a 2 = 6 p a l + 2 8 2 d 1 + 了op d l 2 ， ( 3 3 5 ) 将( 3 3 5 ) 代入且= 0 可得 b 2 d x = 一j d 磁一p b ；， ( 3 3 6 ) 又有易a 2 + 易b 2 = 0 可得 6 肚；b l 一6 p a o a 2 8 1 + 昙b 1 磁一丢b 1 8 2 d 1 ：0 ， 将( 3 3 6 ) 代入( 3 3 7 ) 可得 6 p a ；b l 一6 p a o a 2 b l + 5 b l 磁一i t d 1 3 = 0 ， 因为b 1 0 ，( 3 3 8 ) 两边同时除以b 1 6 础；一6 p a o a 2 + 5 b ；一i 1d 1 2 = 0 ， 联立( 3 3 9 ) 与( 3 3 5 ) 有 2 d 1 8 2 = 5 p b ；一百j d 1 2 ， 将( 3 3 6 ) 代入( 3 3 1 0 ) 有研+ 五1 b = 0 ，所以b l = b 2 = 0 ， 由以上讨论可知，0 ，9 0 ，p r 0 ，( 毛) 7 = 0 不可能发生。 1 8 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 与b 1 0 矛盾 大连理工大学硕士学位论文 ( 5 ) 当，0 ，g 0 ，0 ，( 毛) 0 时，有a 1 0 ，b i 0 ，b 2 0 ，所以 f 西1 l = 一6 岛( 4 磁+ 4 鹆) 0 ，即圣1 可逆，有 ( 一毒“0 = 3 扎0 = k 羔舢：) 由于( 3 3 1 ) 有解，所以 ( 一圣2 圣f 1 皿1 + 皿2 ) ( 础1 肚2p b ip b 2 ) = 0 有解。即 圣2 x = y 有解。其中x = 圣f 1 雪1 ( 以，以。p b 。p 岛) r ，y = 皿。( 印。础2 j 9 8 1p b 。) t 又因为圣2 有一个二阶子式 芝孝。) 的行列式不为0 ，所以r a n k ( c 2 ) 1 当r a n k ( 2 ) = 2 时经过分析计算有 屿华圳2 令a 1 = l c o s0 ，b 1 = l s i n 伊，则有 a 2 = p c o s 2 0 ，b 2 = p s i n 2 0 ， 其中p = 再同，l = x a ；+ b 2 i ，又由e z = 0 ，f 3 = 0 可得 d 1 = 硝。脚。+ 扣 一研) b 。 2 ( 鸽+ 磁) 翘竺筹3 等2 2 坐嘞山( a；+ b ；) 。工u ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) 将a 2 = p c o s 2 0 ，b 2 = p s i n 2 0 ，a l = l c o s 0 ，b 1 = l s i n p 代入( 3 3 1 2 ) 有 d 1 = o ，q = 一百3 p l 2 3 硝。 2 e be o = o ，有