（统计学专业论文）逐步增加截尾样本下寿命数据的统计分析.pdf

两北t 业大学硕十学位论文 摘要 本文在逐步增加截尾模型下，讨论了双参数指数分布和w e i b u l l 分布两种 寿命数据模型的统计分析问题，主要工作如下： ( 1 ) 在逐步增加i i 型失效模型下，讨论了部件寿命服从双参数指数分布的 冷贮备串联系统可靠性指标的贝叶斯估计和置信区h j 问题。其中损失函数分别 取平方损失，l i n e r 损失和熵损失函数。 ( 2 ) 在逐步增加i i 型失效模型下，利用贝叶斯方法对双参数指数分布及一 类指数型分布的未来观测值作出预测；在单、双样本场合下分别获得了未来观 测值的预测分布及预测区间，并举例加以说明。 ( 3 ) 在逐步增加混合失效模型下，讨论了w e i b u l l 分布试验数据下参数的极 大似然估计和近似极大似然估计，并进行了模拟计算。 ( 4 ) 基于逐步增加混合失效模型，在不同损失函数下研究了w e i b u l l 寿命分 布可靠性指标的经验贝叶斯估计，利用m o n t e c a r l o 方法进行了模拟计算，并 对估计精度进行了讨论。 关键词：双参数指数分布，w e i b u l l 分布，逐步增加i i 型截尾，逐步增加混合截尾， b a y e s 估计及预测，极大似然估计 两北- 厂业大学硕十学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e v o t e dt om o r ee x t e n s i v eo fs t a t i s t i c a li n f e r e n c e so nt h e t w o p a r a m e t e r e x p o n e n t i a ld i s t r i b u f i o na n d 、i b u i ld i s t r i b u t i o nw h e nt h ed a t ea r ec e n s o r e d t h e r e s e a r c h e sm a i ni n n o v a t i o n sf i r el i s t e d 髂f o l l o w s 1 s u p p o s et h a tt h el i f e o fu n i ti sd i s t r i b u t e da st w op a r a m e t e r se x p o n e n t i m d i s t r i b u t i o n t h eb a y e se s t i m a t i o n sa n da p p r o x i m a t ec o n f i d e n c el i m i t so ft h e r e l i a b i l i t yp e r f o r m a n c e sf o rc o l ds t a n d b ys e r i e ss y s t e ma r ed e r i v e db a s e do n p r o g r e s s i v e l yt y p e t ic e n s o r e ds a m p l e s b a y e se s t i m a t o r sa r eo b t a i n e du s i n g s q u a r e de r r o r ( s e ) ，l i n e xa n dg e n e r a le n t r o p y ( g e ) l o s sf u n c t i o n 2 p r e d i c t i o ni n t e r v a l so ff u t u r er e c o r di sd e r i v e da n dd i s c u s s e db a s e do n p r o g r e s s i v e l yt y p e i ic e n s o r e ds a m p l e s p r e d i c t i v ed e n s i t yf u n c t i o n sa r eo b t a i n e di n o n e s a m p l ea n dt w o - s a m p l ec a s e sf o rt w op a r a m e t e r se x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n da g e n e r a lc l a s so fd i s t r i b u t i o n su s i n gb a y e s i a na p p r o a c h a n di l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r e g i v e n 3 t h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( m l e s ) a n dt h ea p p r o x i m a t em a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t o r s ( a m l e ) a r ed e v e l o p e df o re s t i m a t i n gt h eu n k n o w n p a r a m e t e r s f o rt h ew e i b u l lm o d e lb a s e do np r o g r e s s i v e l yh y b r i dc e n s o r e ds a m p l e s an u m e r i c a l e x a m p l ei sp r e s e n t e d 4 ，b a s e do np r o g r e s s i v e l yh y b r i dc e n s o r e ds a m p l e s ，t h ee m p i r i c a le s t i m a t o r so f t h e r e l i a b i l i t yp e r f o r m a n c e sa r eo b t a i n e d a tt h es a m et i m e ，i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h e a c c u r a c yo fe s t i m a t i o n s ，s o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r ed i s c u s s e du s i n gm o n t e c a r l o s i r e u l a t i o n k e yw o r d s ：t w o - p a r a m e t e re x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，w e i b u l l d i s t r i b u t i o n ， p r o g r e s s i v e l yt y p e i ic e n s o r e d ，p r o g r e s s i v e l yh y b r i dc e n s o r e d ，b a y e se s t i m a t i o n a n dp r e d i c t i o n ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r 儿 西北1 = 业人学硕+ 学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及研究现状 1 1 1 研究背景 寿命数据的统计分析是对系统或部件的寿命特性作定量了解的一种重要手 段。通过寿命数据分析，确定寿命分布类型以及获得其参数的估计，或者得到 寿命分布本身的估计。最终可以定量地把握系统或部件寿命的性状，并把所获 的信息反馈到设计、制造和使用维修中去，以期改善可靠性、降低成本或合理 安排维修和更换，使之获得更好的使用价值和经济效果。寿命数据的统计分析 已成为工程、医学和生物科学等领域中研究的热点问题之一，“截尾”是寿命数 掘统计推断中较为普遍的情形。 寿命数掘的分析过程中的数据收集是基础性的工作。只有掌握了系统中元 器件的寿命数据，才有可能对整个系统的可靠性做出比较确切的评价。然而， 获得可靠的寿命数掘并不容易，往往需要耗费大量人力、物力和时间，因此， 需要把寿命数据中的有用信息抽取出来。通常通过寿命试验的结果或现场数据 来收集数据。然而，在工程与生物医学的许多研究中，由于试验设备，试验时 问的局限和观察者的个体因素等种种条件的限制往往不可能获得完全样本。因 此，寻找在缺失数据条件下对截尾数掘的处理进行科学、有效的可靠性分析方 法，现己成为可靠性分析的一个新的十分重要的领域。 传统的系统可靠性评估方法，即经典法，是建立在频率稳定性基础之上的， 依掘中心极限定理，认为被估参数是一个与观测过程无关的确定量，当测量数 掘样本量达到一定数目以后，估计量将趋于被估参数的真值。运用经典法进行 系统可靠性评估时，一般要求具有一定的试验样本容量，才能得出比较合理的 评估结论，通常采用先将单元级试验数据折合等效成系统级的试验数掘，得到 系统可靠度的精确分布，然后进行系统的可靠性评估，此方法的不足在于实际 求解计算十分繁杂，运算量大，不便于实际工程运用。 相比经典法而占，b a y e s 方法的优势在于能够充分利用各类验前信息，包 括可靠性试验数据，历史数据，专家信息和仿真试验信息等，采用由底层向上， 层层折合的“金字塔”式数掘融合方式进行系统可靠性评估，其优点在于，降低 了经典法对现场试验样本容量的依赖程度，使得在相同评估精度要求条件下， l 西北丁业人学硕十学付论文 第一章绪论 现场样本容量可以相对减少。需要强调的是，b a y e s 方法不是少用信息，而是 充分运用产品试验过程中的各类信息( 可靠性试验数据，历史数据，专家信息和 仿真信息等) ，是一种动态离散数据融合方法，这比常规估计更有效，特别是在 处理小样本事件方面具有重要的使用价值，因而十分便于实际工程应用。 1 1 2 研究现状 基于定时、定数等截尾模型进行统计推断，已有大量的研究，发展了许多方 法。邹林全研究了双参数指数分布定时截尾寿命试验，给出了总试验时间的极 限分布，并给出了参数的近似联合置信域。康会光等在l i n e x 损失下，讨论单 边截断型分却族参数的e b 估计，并建立了它的收敛速度，并说明了在较强的 条件下，收敛速度可充分接近于l 。张会槐在多维动态参数的分层模型下，运 用多层b a y e s 估计方法和离散线性模型状态估计方法，给出参数的b a y e s 融合 估计。张玲霞等考虑了一维双边截断型分布族参数函数在平方损失下的经验 b a y e s 估计问题。z e j a h e e n 分别在平方损失和l i n e x 损失下对指数分布的参数 给出经验b a y e s 估计，并与极大似然估计、b a y e s 估计进行比较。然而，在可 靠性寿命试验中，未失效的部件常会在失效之前被移离试验，为了节省时间和 投资就要对这种情形预先考虑，逐步增加截尾模型就是这样一种试验模型。目 前国内外对逐步增加截尾样本的统计方法的研究还不多，n b a l a k r i s h n a n 等基 于逐步增加截尾模型分别对指数型、b u r r - x i i 型分布参数进行估计，涉及到参 数的点估计；然丽对置信限及预测问题讨论较少，且所用方法多为经典的统计 方法。 一般的统计估计问题是在给出某个概率分布或随机过程参数及其函数的点 估计与区l 日j 估计。预测问题是另一类估计问题，它讨论某个概率分确或随机过 程未来观测量及其统计量的点估计与区问估计。讨论预测问题，可用b a y e s 方 法，也可用非b a y e s 方法( 包括经典方法与f i d u c i a l 方法) 。经典统计学家提出 了一些解决预测问题的方案，但根本问题是参数不能被观察到，然而在b a y e s 统计中利用先验分布或后验分布，问题便容易获得解决，而解决问题的关键是 获得预测分布。周源泉等对各种常见的分布：指数分布、双参数指数分布、 w e i b u l l 分布、极值分布、g a m m a 分布等，给出了b a y e s 预测分布，并据此给 出了这些失效分布的可靠性b a y e s 估计；文f 2 3 】对指数分布的双样预测问题用 b a y e s 方法进行了讨论；文 2 4 】对双参数指数分布的无替换定数截尾的当前样 本，给出了双样问题在无信息先验分布下的b a y e s 预测子与精确预测限；文【2 7 】 两北丁业大学硕士学位论文第一章绪论 l n d r a n ib a s a k a 等红逐步增加截尾模型下对失效数据的预测问题进行了讨论，给 出b l u p ，m l p 和c m p ，并将不同预测进行比较，并由此得到相应的预测限。 这些文献主要是在无失效数据或一般截尾模型下对部件进行可靠性预测，未涉 及系统的预测问题。而文【2 9 卜【3 4 】主要对简单系统研究了可靠性指标的估计问 题，但未涉及可靠性预测问题。 基于以上诸位科研工作者的研究，本文主要在逐步增加截尾模型下利用经 典方法和b a y e s 方法讨论系统可靠性指标的点估计和区间估计问题以及单、双 样本场合未来观测值的预测问题。 1 2 研究内容和结构安排 1 2 1 研究内容 本文将b a y e s 统计、经典统计方法与可靠性工程理论相结合，主要在逐步 增加截尾模型下，对系统进行可靠性评估及预测，为工程部门进行产品的质量 管理提供科学的理论依掘和方法。 ( 1 ) 利用概率统计方法( 极大似然法、b a y e s 法和经验b a y e s 法) 研究逐步增 加截尾模型的一些统计推断问题。在不同损失函数下分别构造了双参数指数分 布及w e i b u l l 分布参数的b a y e s 估计和经验b a y e s 估计。建立系统可靠性指标的 估计及可靠性指标的置信限，最后利用计算机模拟方法进行实例分析讨论，为 工程实际需要提供可参考的方法。 ( 2 ) b a y e s 预测问题 b a y e s 预测，问题归结为讨论给定已知样本的情况下，如何给出样本未来观 测值的预测分行。本文基于逐步增加i i 型截尾模型，对不同寿命分布在单、双样 场合下的未来观测值作出预测，利用模拟方法给出实例加以说明。 1 2 2 结构安排 本文主要从逐步增加i i 型失效模型和逐步增加混合失效模型两种截尾模 型来讨论参数的估计问题，共四个方面进行论述。 ( 1 ) 在先验分和确定的基础上，在逐步增加i i 失效数据场合下，讨论了双 参数指数分布参数的贝叶斯估计，在损失函数分别为平方损失，l i n e r 损失和 两j e - f 业人学硕十学侍论文第一章绪论 熵损失函数下得到了参数的贝叶斯估计。 ( 2 ) 在逐步增加i i 型混合失效模型数据场合下，利用贝叶斯方法对双参数 指数分布及一类指数型分布的未来观测值作出预测，获得了在单、双样本场合 未来观测值的预测分布，并举例加以说明。 ( 3 ) 在逐步增加混合截尾模型下，讨论了w e i b u l l 分布试验数据下参数的极 大似然估计和近似极大似然估计，并进行了模拟计算。 ( 4 ) 对w e i b u l l 分布试验数据下的经验b a y e s 估计进行研究。在逐步增加混 合失效场合下，讨论了w e i b u l l 分布分布参数在不同损失函数下的经验贝叶斯 估计，并给出置信区间。 4 两= l t z 业人学硕+ 学位论文第二章逐步增加i i 型截尾f 双参数一 第二章逐步增加i i 型截尾下双参数指数分布可靠性指标的 b a y e s 估计 2 1 引言 系统可靠性研究是可靠性工程理论研究的重要分支。在可靠性寿命试验中， 人们常常采用截尾寿命试验方法来获得失效数据来进行可靠性分析与评定。常 见的截尾寿命试验有定时截尾试验和定数截尾试验，这在已有的文献中都有研 究；无论在理论上，还是具体方法上都比较成熟。然而，在可靠性寿命试验中， 未失效的部件常会在失效之前被移离试验，为了节省时间和投资就要对这种情 形预先考虑，逐步增加i i 型截尾模型就是这样一种试验模型。逐步增加i i 型截 尾是i i 型截尾的推广。 逐步增加l i 型截尾寿命试验模型如下； ( 1 ) 假设有玎个部件同时进行截尾寿命试验，试验在预先确定的m 次重复后 停止。 ( 2 )未失效的部件在失效时刻之前可能被移离试验。也就是说在第一个失效 时刻五。，未失效的行一1 个部件中有个部件被移离试验；第二个失效 时刻五。，未失效的胛一2 一 个部件中有吒个部件被移离试验。当第m 个 部件失效时，停止试验，此时有，册= n - m 一- r 2 一_ 一。个部件被移离 试验。 ( 3 ) 其中c 和m 是预先确定的。 注意到：当r j = 屹一= 一。= 0 时，= n - m ，截尾模型就是型截尾寿命 试验模型；当= r 2 - = 一，= 0 = 0 时，截尾模型即为完全样本情形。 本文在逐步增加i i 型截尾模型下，对部件寿命服从双参数指数分布的冷贮 备串联系统进行了可靠性统计分析。假设冷贮备串联系统由n + k 1 个部件组 成，且系统开关完全可靠。在初始时刻，系统需要k 个部件串联工作，其余n 1 个部件作冷贮备。当k 个部件中有一个失效时，若还有贮备部件，贮备部件之 一立即去替换，系统继续工作。当贮备部件全部用完，k 个串联工作的部件中 有一个失效时，该系统失效。 假设部件寿命服从双参数指数分布，密度函数为： 厂( x ) = 2 e x p 一五( z 一) ，x z ， 其中五 0 是尺度参数，是门限参数。由文【l 】知，本文讨论的冷贮备串联 s 西北+ i ：业大学硕十学位论文第二章逐步增加l 【掣截尾下双参数 系统相当于拧个独立部件的冷贮备系统。其中每个部件z 的失效率为五，其密 度函数和分布函数分别为： f ( x ) = 2 k e x p 一2 k ( x 一) ，x ， ，( x ) = 1 - e x p 一2 k ( x 一) l ，x j ( 2 1 ) 系统可靠度函数及平均寿命分别为： r ( f ) = ：( 2 k ( t - i j ) ) 。，( m e x p ( 一2 k ( t - k t ) ) ，f ， 肘乃f = n a k ，t ( 2 2 ) 现对部件进行逐步增加i i 型截尾寿命试验。设x = ( x l ，x 2 ，j j 乙，) 为来自服从双参数指数分布( 2 一1 ) 式容量为h 的寿命试验的样本，r , r 2 ，。 是试验中相应被移离试验的部件数。 由文【2 】知五。，x z ，以，的联合密度函数为 p ( x l 五，) = 爿r ( ，；屯) 【1 一f ( 一，：旯，) r ( 2 3 ) 其中_ ：一i r , x ”一2 一一匕) 一：“+ 1 ) ) ，( x ) 与f ( 工) 为部件寿命的密度 函数与分布函数。 a 而x = ( x i ，五，以，) 的似然函数为： 7 ( z ，j x ) = 4 1 川- 1 f ( x , 埘一；旯，) 1 一，( t 朋一；a ，) r ( 2 4 ) = 一k ”旯”e x p ( 一旯后：。( 一) ( ( + 1 ) ) ，t2 记x = z 。，i = 1 ，2 ，m 2 2 参数的b a y e s 估计 本文分别在平方损失( s e ) 、l i n e x 损失和熵( g e ) 损失函数下给出参数及可 靠性指标的b a y e s 估计，并进行比较。 这里假设参数的值由4 ，肛，肌确定，先验概率为：p r z = 一) = 协， ，= 1 ，2 ，且有二r , = 1 在= 一的条件下，不妨取旯的先验分布为其共 6 西北1 二业大学硕士学位论文第二章逐步增加i i 帮截尾下双参数 轭先验分布伽马分布( q ，岛未知) 石( a k ) = 盟r ( a j ) a q 一e x p ( 一a 只) ；q ，局 。，a 。 ( 2 5 ) 由似然函数( 2 4 ) 及先验密度( 2 5 ) 式，可以得到 的后验分布密度： 万( 旯i 一，x ) = j ! ! ；：；i 筹1 b m + a t l - i e x p ( 一五( 岛+ l ) ) ；哆，岛 。，旯 。( 2 6 ) 记= t ：。( 一) ( + 1 ) ，= l ，2 ，n a 及一的联合后验分布密度： 石c五，一l乃，。ji妻i考舌；：ii最；：ii器；吗，岛。，五。cz_， 由( 2 6 ) 及( 2 7 ) 式，可得一的边缘后验分布密度： ，渺忙咖= 为，历老焉一脚妒蛳如 2 2 1 平方损失( s e ) 函数下参数及可靠性指标的b a y e s 估计 在平方损失( s e ) 函数上( a ，d ) = ( d 一旯) 2 下，参数的估计就是其后验期望， 由此通过( 2 6 ) 和( 2 8 ) 式，可求得五和u 的b a y e s 估计分剐为 k = r 。：。枷= 羔e 精 风= ：。c 一 足( ，) 的b a y e s 估计氟 危。= r 。二。c ：= ：掣e x p ( 一旯女( f 一一) ) 石( 丑i 一，乃) d 五 = 南。：c ：! = ：而南，而耪 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 西北1 ：业大学硕十学何论文第二章逐步增加i i 型截尾一f 敬参数 其帅2 帮瑚肭砌溅 ，刀f 的b a y e s 估计m t t f s s m f t f s s = c ”：。弓。去州k ，l ) d , t ：丹器蒜贮 q 。2 在平方损失函数下的b a y e s 统计推断已有很大发展，在这种损失函数下认 为低估和高估的风险一样；然而这在某些情况下是不恰当的，例如对可靠度函 数及失效率函数的估计，高估往往比低估的风险大；这种情形下，在对称损失 函数下进行统计推断可能是不恰当的。l 1 n e x 损失和熵损失是两种很有效的非 对称损失函数，下面分别在l i n e x 损失和熵( g e ) 损失函数下给出参数及可靠性 指标的b a y e s 估计，并进行比较。 2 2 2 非对称损失函数下参数及可靠性指标的b a y e s 估计 l i n e x 损失：由于l 1 n e x 损失函数三( 互一五) o ce x p ( 互一z ) ) 一仃( 互一五) 一1 ；a 0 - i r a 的b a y e s 估计毛为 互矗= 一a - il n ( e a e x p ( 一口a ) j ) ( 2 1 3 ) 由此，可得到l i n e x 损失函数下参数五，的b a y e s 估计k ，风分别为 k = 一1 - 1 1 n 盱二。e e x p ( 川) 丌( 五h ，巧) d 州 一_ l l 蛾加+ 焘) _ ( ) 】 弘1 4 = 吲一1 t y , 7 = 。g e x p ( 一口以) 】 ( 2 1 5 ) l 1 n e x 损失函数下r ( 0 的b a y e s 估计蠢虬 西j 匕：r 业大学硕士学位论文第二章逐步增加i i 型截尾下双参数 缸= - a - i l n s o + 。e x p ( _ a ：= ：掣 。x p ( 一舭( f 一一) ) ) 万。( 五i 一，t ) d 兄】( 2 - 1 6 ) 一1 n 【r 。：。c 二导( ：坚等业) ， e x p ( - 2 k s ( t - z , ) ) 万( a i 一，乃) d a l l i n e x 损失函数下脚的b a y e s 估计m 7 t f m m 而i f n l = 叫- l l n 【f ：。c e x p ( 咄斋万l 一，g ) d x ( 2 1 7 ) 熵( g e ) 损失：由熵损失函数岛( 互，旯) * ( 互旯) - 一q l n ( , 2 ) 一1 下五的b a y e s 估计 k 为：k = ( 易【五一- 】) - l ( 2 1 8 ) 可得到熵损失函数下参数a ，的b a y e s 估计k ，风。分别为 k = 【r ：。o 胪石( 兄h ，巧) d a p = 二弓等等( 门圳- q ：1 9 忍。= 【二e 一一9 产 ( 2 2 0 ) 熵损失函数下r ( ，) 的b a y e s 估计j i 盖。= 【c 。二。c ( ：( a k ( 了t - 广o ) e x p ( 一旯女( ，一一) ) ) 一切+ ( 五k ，i ) d 五】- 1 ( 2 2 1 ) 熵损失函数下m 力f 的b a y e s 估计廊 2 2 3 超参数的确定 由于( 2 5 ) 式中的超参数哆，只未知，首先要确定q ，岛的值。经典方法中的 9 等 老屿 以 够 爱 盱垤 两北工业人学硕十学位论文第二章逐步增加i i 犁截尾下双参数 极大似然估计是选取丘，五，使p ( x 阮1 ) 达到最大值，这种方法相应于用众数，即 分布密度的极大值点、出现可能性大的点，“代表”随机变量的具体表现；两贝 叶斯方法认为期望“代表”了随机变量，利用期望和极大似然估计来估计未知 参数，可以合理利用先验信息，是估计参数的一种有效方法。 本文利用部件可靠度函数r ( f ) = e x p ( 一2 k ( t 一2 ) ) 的极大似然估计j l ( ，) 及 r ( t ) 的期望e 睥( ，) 】来估计口，的值。首先，求出r ( t ) 的极大似然估计詹( ，) ： 由似然函数( 2 4 ) 式，有 旦学：i m i - 一t ：( 薯一) ( + 1 ) 觑a 一“r 。7 ( 2 - 2 3 ) 学珊如1 ) 。 ( 2 - 2 4 ) 由( 2 2 4 ) 式知：似然函数随着的增大而增大，而五是在( 2 4 ) 中可秽的最 大值，所以2 的极大似然估计丘为 p = 而 ( 2 2 5 ) 由( 2 2 3 ) 及( 2 2 5 ) 式，可得五的极大似然估计互 互：_ 鬲j l 一 一2 6 ) ( 2 - 2 b ) 肛砸i i 丽丽 由极大似然估计的性质，可得部件可靠度函数e ( t ) 的极大似然估计 j ( ，) = e x p ( 一互t ( ，一j ) ) ( 2 2 7 ) r ( t ) 的期望e r ( 明： e 【矗( ，) 】= j 。e x p ( 一2 k ( t 一一) ) 厅( 旯i 一) d 五 = c 志n 啪一 q 也8 给定，的值 ，2 由( 2 - 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 式，可得超参数q ，色的表达式： 只= 貉= 貉，歹= - 名，q z 钐 两北1 ：业大学硕十学位论文第二章逐步增加i i 刑截尾下双参数 利用数值方法可求出哆，岛的估计值q ，只 2 3 参数的b a y e s 近似置信区间 1 1 失效率丑的置信区间 首先给出一个引理： 若随机变量服从参数为地v 的伽玛分布r ( u ，v ) ，则对任意的正常数 c ，c x 服从参数为“，c - i y 的伽玛分布r ( u ，c - i v ) 。若取c = 2 v ，则可知2 v x 服从 伽玛分布r ( u ，2 - 1 ) = z 2 ( 2 u ) 。最后的等式是因为尺度参数为l 2 的伽玛分布就是 z 2 分布。其自由度为原伽玛分布形状参数的2 倍。 证明：设t = ，因为r ( u ，v ) 。所以x 的分布密度为 f ( x ) = v ”石”一1 e w 【r ( “) 】一，“，v ，x 0 故7 的分布密度为 p ( f ) = ，( ) f 一， = v “( ) 。e x p ( 一v t c 一1 ) 【r ( “) 】一f ， “，v ，f o = ( c 。1 v ) “一e x p ( 一v t c 。1 ) r ( “) 】- l 即t r ( u ，c 。v ) 。当c = 2 v 时，t = 2 v x ，这时有t r ( ”，2 - ) = 矿( 2 “) ，即得证。 从( 2 6 ) x - ，可以看出参数五的后验分布为伽玛分布r ( 肌+ 哆，局+ 弓) ，由引 理知： 2 ( 乃+ 局) 五服从伽玛分布r + q ，2 - 1 ) = z 2 ( 2 m + 2 哆) 设 x l ，：( _ 厂) ，2 ，：( ) 分别是自由度为f = 2 m + 2 口，的卡方分布的分位数，则有： j p z 三。，2 ( 厂) 2 ( t + ) 兄z ，2 ( ) = 1 一a 从而，可得丑的冒信度为1 一口的b a y e s 置信区日j 上限及下限分别为 乃= 端，五= 勰 弘。， 将t ，匆，属的值代入( 2 - 3 0 ) 式，可得旯的1 一口的b a y e s 置信区间上限及下限的估 计分别为 毛= 勰，曩= 勰 “ 2 ( 丁+ p ) “ 2 ( 7 1 + ) 。 2 ) 系统可靠度与平均寿命的b a y e s 近似置信区间 由于 两北1 ：业大学硕士学位论文第二章逐步增加i i 型截尾下取参数” 警= 和) - i 附坼俐一似叫) e - a i ( t - p ) + 2 k 俐( ，- 胁引) 】 = 一k ( t 一z ) e 。肚。声+ j i ( ，一) 口一肚卜朋一k ( t 一) ( 丑七( f 一) ) p m 卜 + 七o 一) ( 五七( f 一) ) e 一肚卜川一 = 一七( ，一) ：i ：! ：；：- ：j 嚣 2 = 二e 一“。一 当f 时，t d r ( t ) 0 ，从而r ( f ) 是五的严格单调递减的连续函数， m i t f 的表达式可见， 打7 f 也是旯的严格单调递减的连续函数。由此，可得r ( t ) 和 m t t f 的置信度为1 一口的置信区间下限及上限分别为 凡( d ：芝垡l 生； 趔e x p ( 一乃豫一) ) 啪) ：芝垃等趔e x p ( 啡( 忡) ) 一 m t t f l2 瓦7 l ，m t t f v2 南( 2 - 3 3 ) 将( 2 3 1 ) 式分别代入( 2 3 2 ) 式及( 2 3 3 ) 式，可得r ( ，) 和 f 刀下的1 - a b a y e s 置信区 间下限及上限的估计分别为 息( ，) ：芝塑正警二丛e x p ( 一毛u 一) ) ， 裥：芝垃等丛唧( 一栅刊) m t 睁f l = 南，痢，2 毒 ( 2 - 3 5 ) 托 fk 。 | 2 4 数值模拟 取= 1 8 ，z = 0 2 ，n = 2 0 ，k = 4 ，利用模拟方法在计算机上产生一组服从双参数 指数分布( 2 - 1 ) 式的随机数： 1 9 7 7 82 1 4 7 52 2 2 2 2 2 2 7 6 22 3 4 0 02 4 7 8 32 4 9 1 42 5 1 1 52 6 3 6 4 2 7 3 4 7 2 7 5 9 62 9 2 0 32 9 9 4 03 5 0 6 83 5 9 1 8 3 8 3 8 94 3 1 9 04 5 0 5 55 1 0 2 06 9 7 2 6 1 2 两北t 业大学硕士学位论文 第二章逐步增加i i 型截尾下双参数 在逐步增加的i i 型截尾寿命试验下产生样本x = ( 五，x 2 ，x m ，) ，如表 2 1 所示： 表2 - 1 逐步增加的1 1 型截尾寿命试验样本阳= 1 0 ，n = 2 0 ) l l23 450789i 0 j 。，1 卯7 82 丝2 2 1 3 4 0 0 2 4 7 8 32 4 9 1 42 酤“2 7 3 4 7 2 蛇3 5 9 1 84 3 1 9 0 rilooio l2i3 取n = 1 0 ，给定，7 ，的值，由表2 - l 数据及( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 式，可得： 丘= 1 9 7 7 8 ，旯= o 1 2 5 2 ；从而由( 2 6 ) 及( 2 2 9 ) 式可得l ，西，矽，的值。对给定的 置信度l - 口，利用矿分布的数值表查得分位数x 王们( 厂) ，：( ) ，将屯，：( ，) ， ，：( ，) 及舀，的值代x , ( 2 - 3 1 ) 式求得五的置信度为1 一口的b a y e s 置信区间 阻 ，a u 】。将t 的指定值乇和( 2 3 1 ) 式的值代入( 2 3 4 ) 及( 2 - 3 5 ) 式可求得【息( ，) ， 毛( t ) 并1 1 m f t f ，脚u 】。取l 一口= o 9 ，t o = 4 0 在计算机上进行随机模拟， 其结果如表2 2 所示： 表2 - 2 先验分布参数值 h 1 il i 玑o 1仉l q 0 3 8 7 40 3 6 5 5 岛0 7 3 2 8 0 , 5 9 4 0 f1 5 i o 1 5 0 1 0 9 6 c 0 0 0 4 00 0 0 6 4 l j 仉l 0 j 2 4 9 乜塑拍 l m l 0 9 6 o m l 7 5 1 8 o - l 0 2 3 2 5 n 7 s g 屯1 0 9 6 们6 6 4 表2 - 3 t a 的b a y e s 估计b s ，b l ，b g ( 其中b s ，b l ，b g 分别表示在平方损失( s e ) 、l i n e x 损失和熵( g e ) 损失函数下参数的b a y c s 估计) b sb l b g 口 g 2mn 55 - 3 2l】 五d 1 1 3 6 n l l 卯0 “帅0 1 1 3 ，仉1 l 仉1 2 鲥0 1 1 9 6n 1 0 1 5n 0 8 9 0 1 7 5 1 91 7 7 7 01 7 5 9 01 7 4 4 i 1 6 3 i 7 6 7 91 7 6 0 41 7 3 i l1 7 3 ”艄蚴|亳螂札m “枷撇叁蚴州蝴哪 = 宝 枷 洲 一 洲n 仉m ” 嬲 册 一 咖 = 啪 蚴 ! 耋 叭删嬲一哪 啪嘲 枷 眦 n 姗伽 一 | 耋。o钇 西北r 业大学硕十学付论文 第二章逐步增加i i 犁截尾下坝参数“ 从表2 - 3 可以看出，当口 一1 时，舫旯和r ( t ) 的b a y e s 估计b l ，b g 均小于b s ； 且随着a ，q 的变大而减小。由( 2 1 8 ) 式可以看出，当q = 一l 时，熵损失函数下的 b a y e s 估计等于平方损失函数下的b a y e s 估计。正如预期的，当aj0 ，q = 一1 时， l i n e x 损失及熵损失函数下的b a y e s 估计与平方损失函数下的b a y e s 估计相当。 理论分析和计算机模拟表明，基于逐步增加的i t 型截尾模型进行寿命试验 是合理可行的，是系统可靠性指标分析与评定的一种有效方法。非对称损失 ( l 1 n e x 损失，熵损失) 函数下的b a y e s 估计与其形状参数( 口，g ) 密切相关，当高 估比低估风险大时，形状参数( 口，q ) 应满足a 一1 。非对称损失比对称损失函数更具灵活性，便 于工程实际应用。 2 5 近似置信限精度的讨论 为评价系统可靠性指标近似置信区i 司的精度，我们进行了模拟计算，具体 步骤为 1 ) 给定，q ，岛的值胁，p o ，利用m o n t e - c a r l o 法在计算机上产生一组参数 为，风的伽玛分布的随机数。取其中的一个记为矗，将，岛及厶一同代 入( 2 ) 式计算r ( t o ) 。，m l r f o 的值； 2 ) 对1 ) 中产生的凡值，再利用m o n t e - c a r l o 法产生服从双参数指数分布( 2 - 1 ) 式的随机数，利用本文3 举例的方法计算出舀，分，【互。，五。】，瞳。，矗。，】和 1 4 箸l l =舛盼科毋蝣啪 l l l l 淼l l = =m鼯竹耐啪 l | l l l = 佰 船 盯啪 船= l l = 们 嚣 舛 刑 埘l l = l ll l = l | l 嗍 眦蝌 螂椰 一 l l 篡l l 帆肼惴嗍脚一 l l l l ： 姗帅蜥 耋| 一 似玑n剪 t l恕毛帆慨 西北- 丁业大学硕士学衍论文第二章逐步增加i i 犁截尾下双参数 【廊。，廊。】的值； 3 ) 重复2 ) n 次( 本文n 取1 0 0 0 ) ，分别得到n 组【互。，互。】， j 圣。，j 。】和 g a f f ，m f t f u 】； 4 ) 以3 ) 中的【互。，互。】， 盖。，爱。】和【肘衍 f 。，肘衍f 。】分别与凡，r ( t o ) 。和a c r r & 的值做比较，考虑它们中覆盖矗，r ( t o ) 。和 n r f o 所占的比例( 分别记为 只。，最。，。) 。模拟结果如表2 - 5 所示： 表2 - 5 近似置信限梢度模拟比较( o t o = o 3 ，屁= 0 5 ，t o = 2 ) 凡 州如km r r v ,l 一4 只。最。 嘞o 0 哪n 9 晰9 4 j 3 9 6仉9 5 00 sn 9 5 6 仉蛞0 9 8 80 9 9 8 m 9 9 8 0 0 9 0 60 孵2 55 毫l s 7 6n 帅0 9 9 70 9 8 8n 粥7 n 蛄 o 9 9 9 0 9 9 9 n 9 9 9 o i n 撕o 8 2 9 54 8 2 6 2 50 舯0 9 4 55 4n 9 4 5 0 蛄 0 t 9 4 0n 9 4 5n 妇5 从模拟结果看，系统可靠性指标近似置信区间的覆盖率均在9 0 以上，本 章得到的系统可靠性指标的近似置信区间是令人满意的。 两北丁业大学硕十学位论文 第二章未来观测值的贝叶斯预测 第三章未来观测值的贝叶斯预测 预测问题是另一类估计问题，讨论预测问题，可用b a y e s 方法，也可用非 b a y e s 方法。经典统计学家提出了一些解决预测问题的方案，但根本问题是参 数不能被观察到，然而在b a y e s 统计中利用先验分布，问题便容易获得解决， 而解决问题的关键是获得预测分布。本章以双参数指数分布及一类指数型分布 为基本模型，基于逐步增加的i i 型删失数据，用贝叶斯方法分别得到单样本和 双样本情况下的贝叶斯预测区间。最后利用数值例子既明了这种方法，并且用 m o n t e c a r l o 方法说明了预测区间的精确性。 3 1 基础知识 对随机变量未来观测值作为统计推断称为预测，例如： 1 设随机变量x p ( x f 口) ，在参数目未知情况下如何对肖的未来观测值 做出推断。 2 设x l ，x 2 ，是来自p ( xj 口) 的过去观测值，在参数目未知情况下，如 何对j 的未来观测值做出推断。 3 按密度函数p ( x l 口) 得到一些数掘石，x 2 ，矗后，如何对具有密度函数 g ( z f 目) 的随机变量z 的未来观测值做出推断，这里两个密度函数p 和g 都含有 相同的未知参数口。 预测问题也是统计推断形式之一，在统计学中受到很多人的关注，一些实 际问题也可归结为预测问题，容许区间就是其中之一，经典统计学家已提出一 些解决方案，根本的困难在于参数口不能被观察到，可在贝叶斯统计中利用0 的 先验分布7 ( 口) 或后验分布万( 口i 石) 很容易获得解决，解决方案有如下两种，其共 同点是获得预测分布，有了预测分布就不难得到未来观测值的预测值或预测区 间。 一种情况是：设随机变量x p ( x 毋) ，在无x 的观察数据时，利用先验分 布x ( o ) 容易获得未知的、但可观察的数据r 的分布m ( x ) = 【p i o ) ，r ( o ) d e 这个 分布常被称为爿的边缘分布，但它还有一个更富于内涵的名称是“先验预测分 布”，这里的先验是指对过去的数据没有要求，预测是指它是可观测量的分布， 1 6 西北t 业人学硕士学位论文第二章未来观测值的贝叶斯预测 有此先验预测分布就可以从中提取有用信息做出未来观测值的预测值或未来观 测值的预测区间。 另一种情况是：在有z 的观察数据x = ( 而，x 2 ，矗) 时，利用后验分布 万( 引x ) 容易获得未来观察值的分布，如果预测同一总体p ( x 1 0 ) 的未来观察值， 则有 m ( x l x ) = l p ( x i 口) 丌( 口i x ) d o 如果预测另一总体g ( z 1 0 ) 的未来观测值，则有 m ( z i x ) = l g ( z l o ) x ( e i x ) d o 这里m ( x i x ) 或肌( zj x ) 都称为“后验预测分布”，有此后验预测分布后，类似地 从中提取有用信息做出未来观测值的预测值或预测