（金融学专业论文）基于非单调效用理论的投资组合选择问题.pdf

硕 士论 文基于非单调效用理论的投资组合选择问题 ab s t r a c t i n th i s p a p e r, w e c o n s id e r a p o r tf o lio s e le c tio n p ro b le m b a s e d o n a c la s s o f n o n - m o n o to n e u til ity fu n c t io n s . t h e a p p r o a c h g i v e n h e r e is to re v is e th e n o n -mo n o t o n e u t ility fu n c t io n s b e in g m o n o to n e u ti lity fu n c tio n s t h e ma i n r e s u l t s a r e a s f o l l o ws : f ir s t o f a l l, w e g iv e a n e x a m p l e w ith m o n o to n e m e a n - v a r ia n c e u t ility f u n c t io n s f o r a s im p l e a p p l ic a tio n in th e f in a n c ia l ma r k e t . n e x t , in th e se tt in g o f th e n o n -mo n o t o n e u ti lity fu n c ti o n r e v i s e d t o b e a m o n o to n e u t ility f u n c t io n , w e a r riv e d a t th e e x t e n d e d m o n o to n e c a p ita l a s s e t p r ic in g m o d e ls , w it h lo o s in g s o m e a s s u m p tio n s. t h e s e m o d e l s a r e c l o s e r to th e r e a l m a r k e tp la c e . a t th e e n d , o n c e th e n o n -mo n o t o n e u ti lity f u n c t io n b e in g r e v is e d to a m o n o to n e u til ity f u n c tio n , w e s tu d y th e m u lt i-p e r io d a n d c o n t in u o u s -t im e o p tim a l in v e s tm e n t c o n s u m p tio n c h o ic e m o d e l, a n d g iv e a n o p t im a l s o l u tio n t o th e m o d e l . t h is r e s u lt c a n b e r e g a r d e d a s th e g e n e r a l iz a t io n o f t h e p o rt fo li o s e le c t io n w ith m o n o to n e u tilit y f u n c ti o n s . ke y w o r d s : p o rt f o li o mo n o to n e m e a n - v a r i a n c e p r e f e r e n c e s mo n o t o n e - c a p m c o n t in u o u s -t im e c o n s u mp t i o n - i n v e s tm e n t n 声明 本学 位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以标注和致谢的 部分外， 不包含其他人己 经发 表或公 布过的 研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的 学位或学 历而使用过的 材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中作了明确的 说明。 研究生签名:邂 迥 里4-,* l 6 jq 4h 学位论文使用授权声明 南京理工 大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以 借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内 容， 可以向 有关部门或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的 全部或部分内 容。 对 于保密论文，按保密的 有关规定和程序处理。 研 究 生 、一w kl 知之 年 6 )4h 硕士论文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 绪论 1 . 1 理论背景 现代投 资组合理 论 ( m o d e r n p o r t f o l i o t h e o r y ) 是西方现代 投资理论的 核心 组成部分之一 ， 也是 近几十年来财务金融领域引起广 泛关 注和深入探讨的重点 课题， 尽管这一理 论在不断的 更新， 但是经济学家 们对研究投资 组合以 及资 本资 产定价问 题的 研究从 未中 断过。 投资组合理论 是建立在西方 经济学的 基础 上的，以 资产的 收 益和风险间的相互 关系作为研究的出 发点， 以 投资者是理 性的，市 场完善，投资 者 最大化效用以 及投资者 具有理性预期为假 设条件， 通过 理论抽象，运 用数学 、 统 计 学等方法，对资产组合的特性进行以定量为主的分析研究. 在 现代金融理论中 研究中，资产定价问 题是经济学 者所一致关 注的 基本领域 . 随 着经济的发 展， 金 融产品 和金融系统 越来越复杂， 这种复杂性日 益受到 经济学家 的关注，经济学家们认识到以往的金融理论仅仅考虑到套利、均衡等问题，而忽略 了 对经济主体的 分析， 这就使得这 些金融理论在解 释现实金融市 场行为时出 现了 很 多问 题。自2 0 世纪6 0 年代中 期以 来， 资本资产定价 模型理论在理 论界得到了 广泛 的 接受并被应用到 实践中去，然而， 近年来，学者 们对该模型进 行了 深入的 研究， 发现该模型在我们国家的金融市场是无法检验的。虽然随后也有取代资本资产定价 模型的 套利定价 模型， 但是 在我国 金融市 场也遭遇同 样的问 题。 正是由 于以 往金 融 理论的局限， 越来越多的学者开始从经济主体自 身出 发来解释纷繁复杂的 金融 现 象，跨期的消费一 投资组合选择以及考虑投资者偏好对资产收益的影响等成为重要 的研究课题， 但是不管是以前的资本资产定价模型理论还是由此发展的一系列金融 定价 理论都是假设 效用函数是随着收益 单调递增的， 且随风险单 调递减的函 数， 然 而我 们发 现马 科维茨的均值一 方差效用函数实际上只是收 益的 二次函数，很显然 它 在整个定义域内并不具有单调性，对追求效用最大化的投资者来说， 用此模型并不 能保证预期收 益大的时候，效用一定高。 这样，对于具 有马 科维茨均值一 方差效用 的投资者可能会浪费投资会，不利于投资者进行投资。 因此，我们很有必要去研 究效 用函 数在整个定 义与内 都具有单调性 下的 投资组合 选择模型。 在本文中 ， 我们研究效用函数不单 调修正为单调的 情况下， 建 立更加 符合实际 市 场的模型给 金融市 场上的 产品 进行投资组 合选择或者估价， 从而使投资组 合选择或 估 价更能贴近真实的预期市场，为投资者提供更加有效的决策支持. 硕士论文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 1 . 2 研究现状 1 9 5 2年， 哈里 马科维 茨c 3 ( h a r r y m a r k o w i t z ) 在 ( t h e j o u r n a l o f f i n a n c e ) 发 表了 题为 投资组合选 择 的 论文，他 提出的 投资 组合理论 是现 代金融 学的 开端， 奠 定了 现代投资理论的基 础。 投资 组合理论 认为 投资者的 效用是 关于投资 组合的期 望收 益率和标准差的函数。 一般而言， 高的收益率往 往伴随 着高 的风险， 任何一个 投资者 或者在一定风险承受范围内 追求尽可能高的收益， 或者在 保证一定收 益条 件下 追求风险的最小化。 理 性的 投资者通过选择有效的 投资组合 ， 实 现期 望效用最 大化。 在这篇论 文中， 马 科维茨明 确提出了 用收 益率的均 值及其方 差来衡量资产的收益和风险。 在资产的收益和风险这一对矛盾的特征之间建立了数 学联系， 从而开 辟了 金融定量分析的时 代。m a r k o w i t z 的 现代投资组 合理论可 表述 为: m ax -;(u (e rd, o (rp )w升 ， 云川 引= 1 : - ,e , 1 (。 ，一 窖 窖 。，co 怀 : )z,acov r, r t 、 一 1 其中 e (u ( ) 是 投 资 者的 预 期 效 用 ， e 引 表 示 风 险 资 产 : 的 期 望 收 益， 。 ( 动是 第: 种 资 产 的 风 险 ， 叫 引 ， ， ( 幼 分 别 表 示 组 合 的 预 期 收 益 和 风 险 ， 。 :表 示 投 资 于 风 险 资 产 的 权重。由 该模 型知道， 投资 者的 投资目 标就 是使效 用最大化，而 投资者的 效用函 数是由 资产的 收益 和风险来定义的。 投资的 过程就是 在风险资产中 进行选择 来使投 资者的 效用 达到最大。 在金融领域中， 我们常用的效 用函 数是: u ( f ) = e if 0 v a r f 其中，e 是 风险 厌恶 系数。若投资者是 理性的，并且 是风险厌恶的， 那么其 效用函 数就是和收益 正相关的， 和风险是负相关的。 并且具 有m a r k o w i t z 型的 投资者 对资 产的有相同的 预期， 这样市 场上所有的 投资者都具有相同的 投资组合， 那么其在 于 一 a ( r ) 的 坐标空间是 双曲 线的一支， 被定 义为最小方 差边界，最小方 差边界的 上 半部 分为有效 边界， 这样无 差异曲 线和最小方 差集的 交点就是 市场组 合m， 反 应在 于 一口 ( : ) 上为: 2 硕士论文 基于非单 调效用理论的 投资组合选择问题 图1 1 2 ,. 1 m a r k o w i t z 虽 然在理论上科学的阐明 了组合 投资能够规避风险的重 要原 理， 但 是，在实际运用中，证券组合的选择和确定面临大量繁重的复杂计算，因为证券市 场价格变动十分频繁，证券价格每变动一次，为了保持投资组合能够获得一个满意 和稳定的收益与风险的关系，则整个计算程序又需要重复进行一次，这不仅使缺乏 数学 基础和计算基础的投资 者深感困 难， 即 便是对具有良 好的 数学基础和计 算基础 的 投资者 而言， 也很是麻烦， 这严重影响 到马科维茨理论的实际 运用。 1 9 6 3 年 ， 马 科 维 茨 的 学 生 威 廉 . 夏 普( w i l l i a m s h a r p e ) 19 1提 出 简 化 形 式 的 计 算 方法 一 一 单指数模型( s i n g l e i n d e x m o d e l ) ， 这一模型假设资产收 益只与市 场组 合有 关， 大大降 低了原 来的 计算量使 得现代资 产组合理论能够在实践中应 用，解决了资 本市场均衡下的收益与风险问题。该模型表明了在资本市场达到均衡时，决定资产 定价的是以贝塔测度的系统风险，非系统风险对资产定价不起任何作用，从而提高 了 投资组合理论的实 用价值。 然而单指 数模型的意义不仅仅在 于此， 更 重要的是为 资本资 产定价模型的 提出 埋下了伏 笔. 我国 对现代 投资 组合理论的研究 是从1 9 9 0 年的m a r k o w i t z 和s h a r p e 等 人获得 若贝 尔经济学奖时候开 始的。 十 几年来， 我国的经济学 界对这一理论的 研究 产生出 了 浓厚的 兴趣， 先后翻译出 版了 几本介绍 现代投资 组合的论理著作，比 较早 期的 学 者有费 方域 ( 1 9 9 4 ) 等，近期 最具有代 表性的 有小詹 姆斯 l . 法雷尔及 沃尔 特 j. 雷哈 特 ( 2 0 0 0 ) .同 时，结 合中国 国 情也发表了 不少讨论现 代投资 组合理论中 如 何构 造有效投资组合方法的文章， 从事这方面 研究的专家学 者有汪寿阳、李仲飞 4 1 等。现 代投资组合理论在我国 证券市场的实 证研究直到 1 9 9 6年才出 现的 一 个重要 原因是很多 人认为我国 的证券 市场成立 之初还很不规范， 存在着过度 炒作和投 机的 问题， 各种股票收益率 之间的 相关程度比 较高，因 此运用现代投资组 合理论来降 低 投资者风险的潜力比较有限。但是，我们需要结合实际数据来检验这一理论在我国 硕士论文基于非单调效用理论的投资组合选择问题 金融市场的 有效性。发达国家的 证券市场上的 各种股票收 益 之间的相关 程度也是 有的， 所以 我 们没 有必要也不可能 等到我国 证券 市场上各 种股票的 相关程度降 低到 发达国 家证券市场的水平时再来开始研究现代投资 组合理 论在我国的实 际应用问 题， 何况根 据证券市场的 效率理论。 应用现 代投资 组合理论于实 证，也 是提高我国 证券市 场的定价 效率， 降 低各种证券收 益率 之间 的相关 系数的一 个重 要的 前提。 不 少学者也 注意到了 这一点，例 如施东晖8 等对我国 证券市 场进行了实证 研究。 现代投资组合理论的核心思想是把多 种证 券的持有看作一个整体来 进行分析 和度量， 把 投资组合的风险分 解为系统 风险以及 非系统 风险。 投资者通 过持有多 种 证券来分散非系统风险， 从而降低整个组合的风险。现代投资组合理论的创立标志 着现代资 本市 场理论的 诞生， 但是它没 有进一 步说明 如何为证 券估 价值和定价， 也 不能说明投资组合期望回报率和风险之间的关系。 1 9 6 4 , 1 9 6 5 和 1 9 6 6 年，威廉. 夏 普( w i l l i a m s h a r p e ) 、 约翰. 林 特纳 ( j o h n l i n t n e r ) 和詹 莫森( j a n m o r s s o n ) 三人分别 独立提出资 本资 产定 价模型 ( c a p m 模型) ， 非常 完美的 解决了 上述问 题. 这一 模型是以马科 维茨的 资产选 择理论为依 据， 来进一步探索均衡市场条件下资产的价格决定及其收益与风险间的相互关系问 题，即对如下两个问题作出解答: 1如 何正确度量某 项资产的风险; 2该 风险与此 项资 产的 预期收益间 有怎样的 关系; 资本资 产定价 模型 认为， 均衡市场 条件下 某资产的预 期收益仅由 其对市场的 相 对风险决定，而相对风险则由该资产与市场投资组合间的协方差来加以描述，由于 资 本资产定 价表述简明和 理论直观， 迅 速被证券 投资业界 认可 和接受成为 指导 投资 行为的 重 要准则，随后资本 资产定价模型 在理 论和实践中又 不断得到 发展和完善， 并在测定投资组合效绩、证券估价、资本预算等诸多方面得到广泛应用，至今己成 为 财务金融 领域的基本理 论工具之一。 1 9 7 0 年， 法玛 ( f . f e m a ) 研究了 多个 持有期的c a p m 模型. 除了 法玛之外， 还有 m e r t o n ( 1 9 7 1 ) , s a m u e l s o n ( 1 9 6 9 ) 、h a k a n s s o n ( 1 9 7 0 )等也对此进行t不少 的 研究 ，在 f a m a等学 者的研究基础上， 1 9 7 8年， l u c a s , m e r t o n 等人 在资本资 产定价模型的基础上提出了 跨期的资本资产定价模型 ( i n t e r t e m p o r a l a s s e t p r i c i n g m o d e l )-i c a p m , i c a p m 分为 离 散时间模 型和连续时间 模型两种。 l u c a s 假设 投资者在离散的时间点上 进行投资 和消费决策 ， 并 且各期的产出量与消费 量相 等.该 模型以 投资者的终期效用最大 化为目 标函 数， 导出 资产价格与边际 效用之间 的关系 ， 再结合 产出 与消费 的均衡关 系， 得到 用边际效 用函 数表示的 资产定价 方程。 森达礼 桑 ( s u n d a r e s a n , 1 9 8 5 , 1 9 8 9 ) 、贝 尔 曼 ( b e r g m a n , 1 9 8 5 ) 、布里 斯、 克劳 伊和 施莱辛 格 ( b r i y s , c r o u h y , a n d s c h l e s i n g e r , 1 9 8 8 ) 等学者放松7跨期 模型的 某些 硕 士 论 文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 严格的 假设 条件 ， 得到了 更加符 合实际的模型。 其中 最具代表性的 是m e r t o n 在1 9 9 0 年提出的，并 经 c o x , r o s s 进一 步发展的连续时间 模型， 这里假 设投资者连续 地进 行投资和消费， 推导过 程的 本质是在既 有财富的 约束下使投资者终身消费的效用 达 到最大， 通过求解最优的消费 一 投资方案 得到资 产定 价的 基本方程， 再结合代表投资 者的间接效用函数 和财富 过程， 解出资 产的价格。 上述资产定价 模型都是 基于在 m a r k o w i t z均 值一 方差效用函 数单调 下建 立的模 型，然而实际上 m a r k o w i t z的 均值 一 方 差效用函 数不具有 全局单调性。 那么， 这些 模型在某种程度上 将会与实际 市场出 现一 定的 偏离。 2 0 0 4 年， f . m a c c h e r o n i , m . m a r i n a c c i , a . r u s t i c h i n i m . t a b o g a ， 首次 针对 这种情况对传统的均值一 方差二次效用函数进行了修正，使之在整个收益空间内都 具有单调性，并在效 用函 数修正 为单调下讨论了c a p m模型。 但是，他们只做了 单 期的投资组合选择和资产定价模型。 单期的投资者唯一的目标就是最大化期末财富 效 用， 由于不能随 着时间变 化而对实际发 生的 情况相应的 做出 灵活调整， 这样的决 策是缺乏效率的。而多期动态理论能够把时间与不确定性结合起来分析动态过程的 投资 情况， 并且允许投资 者在每个 阶段初根据上一阶 段的 情况调整策略 来对冲克服 收 益率的 变化和不确定性因 素带 来的 波动， 这些都 恰恰弥补了 单期的 不足。 因此， 本文研究具有传统均值一 方差偏好关系的效用函数在不单调时修正为单调意义下的 多期 投资 组合选择问 题是 有趣的并具 有一定的 经济意义。 1 . 3 本文所 做的 工作和结构 安排 本论文的主 要工作: 本文是基于非单调效用函数下，研究了资产的投资组合选择问题。 首先，基于 m a r k o w i t z的均值一 方差效用函数不单调修正为单调效用函数的基 础上， 给出了单调均值一 方差效用的一个简单应用。 其次， 放松了单调资本资产定价 模型 ( m c a p m)的 某些假设条 件， 得到了相应的一些更加 符合实际市场的单期 单 调c a p m的拓 展模型。 最后， 将 单期推广为多期 连续的 情形， 得 到了 基于非单调效 用函 数下的多期 连续投资组合选 择模型并给出了 模型 的最优解， 这一研究结果会使 投资组合理论逐步完善。 本章是 本论文的核心部 分。 本文的结构安排: 第一章为引 言部分。 本章 详细阐述了论 文的 选题背景，国内 外相 关的 研究现状 以 及存在的问 题，在此 基础上提出了 本文所要研究的内容以 及研究意义。 第二章为 单调的均 修 方 差偏好的回顾。 这一章回顾了 将 m a r k o w i t z的均值 一 方 差 效用函 数不单调修正为 单调效用函 数的 一些基本结论，并 在这些结论的基 础上， 列举了一个简单的应用。 硕 士 论 文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 第三章是基于 非单调 效用函 数 下的c a p m的拓展。 本章是在效用函 数不单调时 对资本资 产定价问 题的研究， 并 且逐 步放松模型的 假设 条件， 得到了更 加符合金融 市 场的c a p m定 价的拓 展模型。 第四 章详细 讨论了 基于非 单调效用函 数修正为 单调效用函数 下的多期连续投 资组合选择问题。并给出了问题的最优解。 第五 章是结 论和启示部分。 就 本文的研究情 况进行全面的 总结以 及 展望。 硕士论文 基于非 单调效用理论的 投资组合选择问 题 2 单调的均值一 方差偏好回顾 2 . 1 引 言 效 用是 微观经济学的 一个基本概念. 在维多 利亚女王时 代， 哲学家和经济学家 把 “ 效用” 看作是 一个人整个福利的支出. 效用 被看作是 个人快 乐的 数学度量，这 个观念一旦确立，自 然 就认为消费 者进行的 商品 选择是 为了 实现他们的 效用最大 化 ， 也 就 是 使 他 们 尽 可能 的 获得 最大 的 快 乐。 帕 累 托 1 ( p a re to , 1 8 9 6 ) 率 先 对 效 用 函 数 可以 测 量 表 示 怀 疑。 斯 拉 茨 基 151 ( s lu s k y ,1 9 1 5 ) 第 一 次 不 用 可 测 量 的 效 用 却 推 导 出了 需 求 理 论 ， 希 克 斯 l ( h ic h s , 1 9 3 9 ) 指 出 ， 为 了 讨 论 需 求 规 律( 价 格 越 高 ， 需 求量越低;价格越低，需求量越高) ，边际效用递减规律既不是必要的也不是充分 的 。 迪 布 鲁 12 ) ( d e b r e u , 1 9 5 9 ) 完 成 了 标 准 的 消 费 理 论 的 推 导 ， 其 所 用的 效 用 概 念只 依赖于偏好关系。 在投资学中最常用的是 1 9 5 2 年m a r k o w i t z 提出 投资组合理论， 即 均值一 方差 理论， 用收益率的 均值和方差来衡量投资者的 效用。特别是当 t o b i n 利用一种无风险资 产和一种特殊的 风险资产的 组合论证了两基金分离 定理成 立以 来， 均值一方差偏 好被广泛应用于不确 定性资产的 选择问 题， 同时不少 研究者致力 于把资产 组合 理论应用于实际工 作， 例如b o d i e , k a n e 和m a r c u s等对投资 组合选择 理论 有深入的 研究， 到目 前为止已 经有了 一套比 较 成熟的 投资 组合理论， 我们 用珠 来记偏好关系，那么m a r k o w i t z的均值一 方差偏好效用函数为 u s ( 乃= e , p f l 7 _ 旦 v m p . f l 其中p :给定的 概率测度，b : 风险厌恶系数， .r : 不确 定性资产的收益。 这种均值一 方差效用函数只是关于收益的二次函数， 形式比 较简单，而且经济 意义直观，易于分 析。 所以自 从m a r k o w i t z 提出 这个效用函 数就一直沿用 至今， 并 成为各种资产定价的 基础， 但是细心的 读者会发 现这个效用函 数是收 益的二次函 数， 且二次 项系数 是负号， 那么这就会导致 这个函 数在整 个定义域内不具 有单调性. 这样， 它有一个非常不 好的 理论缺陷 ，该函数 并不总是随 着财富的增加而 增加的. 也就是说，在某些情况下，收益高并不预示着效用也高， 但是，在实际生活中人们 通常会认为 收益高的资 产，我的 效用也高，这 样可能 会导 致具有 m a r k o w i t z均 值- 方差效用函数的投资者不能很好的把握投资机会， 从而不能为投资者创造更大的财 富。 为了 便于后 面的 分析，先简单介 绍一些基本的概 念和记号。 硕士论文基于非单调效用理论的投资组合选择问题 2 . 2 基本概念和记号 我 们 考 虑 一 个自 然 状 态 的 测 度空 间 ( s ,幻， 一 个 不 确定 性 资 产 是 一 个e 一 可 测的 实值函数f: s - r ， 即一 个随机损益。 代理人的偏好由 一个不 确定资 产集上的二 项关系 r 来描 述。 定义 2 . 2 . 1 1 一个增加的效用函数 u : r - - r 和一个在所 有概率测度集 合 上凸的不确定 指数集。 : 分 0 , 叫， 满足: 扩、。 . . . r歹 r q . 了八11 ， j 门、 飞、; . . rf r q. ， 山 1 1 g #器1 上 l u t j ) j + c恶戈 七 u (g十 “ ( g j 少 对所有的简 单资产 厂 , g ， 像这样表示的 偏好叫变分偏好. 变分偏好比 较典型的 例 子是g i l b o a 2 2 和s c h m e i d l e r 1 2 2 】 研究的 当c 只取。 和0 0 时 候的 多 样 性 优 先 偏 好 ， 以 及h a n s e n l2 1 和 s a r g e n t12 61 研 究的 乘 子 偏 好， 此 时 (q ) 是 测 度q 关 于 测 度p 相 对 嫡 的 一 个比 例 。 变 分 偏 好 满 足 经 济 理 论 中 最 基 本 的 概 念。 特 别 的 ， 变 分偏 好 是 单 调的 ， 即 任 意 给 定两 种 资 产f 和g ， 对 于 任 意的: e s ， 当 f ( s ) y g ( s ) ，我 们有f g 。 定 义2 .2 .2 1 设 s 是 n 维 欧 式 空 间e 的 一 个 集 合 。 若 对s 中 的 任 意 两 点 ， 连 接 它 们的 线 段 仍 属 于 s ; 换 言 之 ， 对 s 中 任意 的 两 点x 1 , x 2 及 实 数.1 e 0 , 11 ， 都 有 a x , + ( l 一 a ) x e s 则称s为凸集。 给出这个定义是为了证明m a r k o w i t z 的效用函数单调域是凸的， 方便后面的推 导。 定 义2 .2 .3 1 1设 y i : e - ). r 是 凹 的 、 连 续 的 泛函 ， 称w 在 x 的 方 向 导 数 d yr (x ) (v ) 一 怒 y r ( x + t v ) 一 v ( x ) w ee 如果t - + 。 的 极限 存 在， 且， e e， 称w 在x 处的g a t e a u x微分。记 泛函 v g i ( x ) : v -+ d u f ( x ) ( v ) 为g a t e a u x微分的，w 在e 的 子集x 处 的上微 分定义为: 硕士论文 基于非单调效用理论的投资组合选择向题 8 y i ( x ) = x e e : yr ( y ) - y / ( x ) 0 。 设 马是v ( p ) 的 子 集， u b 的g a t e a u x 微 分 是 正 定 的 ， 其 代 数 表 示 为 : g b = 行 。 l z(p ) : f - e 二 要 ta 显 然， r m ， 在g b 上 是 单 调 的 。 集 合 g b 是 凸 的 ， 闭 的 ， 被 称为 是 u e 的 单 调 域。 证 明 :马是闭 集 是 显 然的 ; 下 面 将 证g b 是凸 集。 对 任 意 的石 ，人“ 乓以 及 每 个 实 数a 以0 , 1 ， 此 时 有 硕士论文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 f 一 e 0 f l _ s ， : 一 e 0 f z m ， 的 单 调 域g b 内 变 分 偏 好 ， 有 u a(f ) = qm in ， i e 0f l+ 2b c (q ll p ) b f e g b 其中 : a 2 ( q ) 是所 有关于p 平方可积的 概率测度，qq i i p ) 是相 对g i n i 集中指数， 其表达式为: 一:(dq )j 一 qp ( 2 . 3 . 1 ) 其它 和 香 农 嫡 16 1一 样 ， g i 集 中 指 数 是 最 经 典 的 集 中 指 数 之 一 艺 几 对一 ， 是 离 散 形 式 。 性质2 3 . 1 对于任意 的 ， e 刀( 川， 2 6 (e ry z一 ) 若 e y 1 = 其它 一一 r.，.1钾1 -一 、.j廿 p q 了， c 对比 ( 2 .3 .1 )式子，此时， 是测度q关于测度p 的密度函数，自 然有 ， 0 且e y = 1 . 如果想要 更深入的 学习关于 集中 指数的知识可以 参看文献【 1 3 1 . 如 果 函 数玲 : l z (p ) r 有 下 面 的 式 子 给出 : 硕士论文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 v a ( 力 = mi n y . l . ( p ) e y j- le f yl+ 20 (e y2 -l 一 ) = 二 )i e 口叮 ， -l-e qf l+ 20 c (q ii p )l 可 e l 2 ( p ) 任意b 0 。 我们称这样的偏好为单调的 均值一 方差偏好，与 m a r k o w i t z的均 值一 方 差 偏 好 最 大 的 区 别 是v a ( f ) 在f 的 定 义 域 内 具 有 全 局 单 调 性， 由 以 上 讨 论 可以 的 到 下面的定 理:i 引 理 2 3 .2 由 ( 2 ) 式 给出 的 函 数玲 : l z (p ) -4r 是 在l z ( p ) 上 的 最小 的 单 调的 函 数， 并 且 在g o 内 有v o w = u e ( g ) 对 所 有的 g e g o ， 也 就 是 v , ( f ) = s u p u b ( g ) : g e g ,且g _- u e ( f ) 函 数v a 是 凸 的 ， 连 续 的 。 根 据 定 理i ， 我 们 可以 得 到 以 下 三 个 性 质 : ( i ) v a 是 在u a 的 单 调 域g o 内 与 均 值 一方 差 效 用函 数 一 致 的 。 ( ii )咋 是叽的 单 调 域乌外最 小 的 延 拓 函 数 ， 所以 它 是 均 值 一方 差 效 用 函 数 最 好 的 单调修正。 ( iii ) 玲 是叽的 最 好 的 单 调 估 计 ; 如 果叮是巧单 调 域的 乓之 外 的 其 他 任 意 单 调 逼 近， 那 么 有: v b ( f ) - v a ( f ) 之 u a (f ) ， 并 且 iv a(。 一 。 ， ; 。 一 。 (。 v f s l z ( q ) 有 “ ) 一 (g i i ) 可以 知 ， 单 调函 数玲 提 供 均 值一方 差 效 用函 数 的 一 个自 然的 调 整 ， 这 也是g i n i 集中 指数的一 个突出的 特点. 下 一 个定 理 将 进 一 步 讨论v a 的 特 征: 定 理2 .3 3对f e l z ( p ) ff l 一 旦 v a r if z !了 人 ; 一 号 v a r 。 八 ， 如果了 任 g e 其它 刀e r，weest 一一 、.j 才j r、 ve 硕士论文 基于非单调效用理论的投资组合选择问题 其 中 、 一 ; 艇飞 ， v, :? f 处 的 是 可 g ate au x 微 分 是 ; v , (f ) 一 b (、 一 f i/ scl al 定 理2 .2 .4 设 可e 尸 ( 川， 那 么 : vi(f )一 : (f )、 ， am f e g,lu ,(fakf) a z 其中 k f = m a x t 。 r :f a t 。 g b ) . 显 然，这 样一个具 有单调的均值 一 方 差效用的 代理人被认为仍 然是 用均值 一 方差 效 用 函 数u e 来 估 测 在单 调 域g b 之 外的 资 产 收 益 ， 这 样的 话 代 理 人 不 再 考 虑 原 始 资 产 ， 而 是 它 们 在勺的 一 个 截 断 ， 使 得f a t 最 大 的 常 数 仍 然 属 于吼。 因 为 投 资 者都 认为 高收 益伴随 着高风险， 那 么对于理性的 投资者来说， 宁愿 稳定的 获取 低收 益的 资 产 观 察 上 面 的 式 子， 我 们 知 道 除了 依 赖 给 定 的 资 产 f , 常 数气 也 依 赖 于 参 数 b , 文 献 (3 7 的 附 录 中 给 出 了 气 的 具 体 表 达 式 ， 该 式 子 表 明 气 随 着 的 增 加 而 减 少 。 这 里的 引理2 . 3 . 2 、 定理2 . 3 .3 以及定 理2 .3 . 4 的 证明 参 看文献 3 7 。 2 . 4 应用 本节是2 .3 节的理论结果 在数理金融中的 简单应用， 一般来说 投资者通 过最大 化 自己的效用或者最小化风险来选择最优投资组合。那么，通常情况下效用函数和 风险函数在某些条件下是可以相互转化的，也就是说最小化的负效用也可以表示风 险， 本文结合2 . 3 节将介绍一 个具体的 例子。 性 质2 .4 .1若 关 - 人 则p ( f ) :5 p ( 儿 ) 表明 p 是 递 减的 定 义2 .4 .2一 个 泛 函 p = 若 ( 力” ( 一，司是 一 个 凸 的 风 险 测 度 ， 若 它 是 凸 的 、 递 减 的 且p (.f 十 a ) 二 p ( f ) 十 。对 v a e r 那么，传统的均值一方差泛函相反数可以表示为 一 、 ( f ) = - e 0 f 7 号 va r f i 、 ” (， ) 很 显 然 ， 在 单 调 域g e 内 可以 表 示为 风 险 函 数 ， 但 是 在 单 调 域 g o 之 外 却 无 法 用 它 来 表 示，因为 违背了 风险泛函 单调递减的定义， 而在2 . 3 节中 我们己 经把非单调的 均 硕士论文 墓于非单调效用理论的投资组合选择问题 值一 方差偏好关系 修正为全局单 调效用泛函。 那么， 在 这里我们很自 然的 就可以 利 用 2 . 3 的结 果，则 可得到 下面的 这个结论定 理， 我们以 推论的 形式给出。 推论2 .4 )令风险函数 p e c f ) = - v e ( f ) 即 f介)l仁枉l p的 = 一 q e a 2 ( d ) q - a , ( v ) i e q u ，十 z c ( q ii p ) : 。【刀 + i c (q ii p )20 v f e l 2 ( 月 v f e l z ( p ) 则p , ( f ) 是可以 控 制一 v b ( f ) 的， 并 且是最 大的 凸 风险 泛函 ， 在单 调域马内 与 - v e ( f ) 是一 致的 ， 在 单 调 域g b 外 用p e ( f ) 代 替一 v b ( f ) 作 为 风 险 测 度 函 数是 很自 然 的 ， 因 为 在单 调 域g b 内 均 值 一 方 差 泛 函 表 示 的 效 用 函 数 是 有 意 义 的 . 所以 ， 在 单 调 域g b 内 风 险函 数 也 是 一 致 的 。 硕士论文 墓于非单调效用理论的投资组合选择问题 3基于非单调效用函数 下的c a p m 模型的拓展 3 . 1 单调资本资 产定价模 型 在上一章的 基础上，这一 部分我们将具体回顾一下基于非单调效 用函数下的 c a p m的分析， 首先是 要证明 两基金分离定 理仍然成 立， 这表明 代理人的 最优投资 组合是 风险资产和无风 险资产的 仿射组合。 所以， 最优 投资选 择可以 做成 两个可分 离的 投资资 产， 代理人 首先决 定多少财富用 来投资无 风险 资产， 之后 决定剩下的多 少财富用于投资风险资产， 后面的 投资如果 不考虑代理人对风险的态 度和初始财 富， 那么所有的代理人 投资份 额都是一样的， 下面的 这个性质 将证明两 基金分离定 理是成立的， 先给出 市场组合 的定义。 定义3 . 2 . 1 1 1 2 1 市场资 产组 合: 设市场上有n 种风险资 产和一种 无风险资 产， 其 中风险 资产的 价格为p , t = 1 .2 . . .。 ，第， 种资 产的可 交易数 量为n , ， 记 称 m k t, = ( m k tp ,tn k . n k t. ) 为 市 场资 产 组 合 的 初 始 真 赋。 如果市场上有k位投资者，且在某一时刻，第k位投资者持有第: 种风险资产的数 量为n k ， 若记 则 称 w m = (w o. 4) 为 这 一 时 刻 的 投 资 者 资 产 组 合。 引 理3 .2 .2 3 71 设 o ,y 0 ， 对 于 具 有 不 确 定 性 风险 厌 恶 系 数 是0 的 投 资 者， 如 果 ( “ ， 、 ) 是 投 资 组 合 选 择 问 题 的 解 ， 那 么 ， ( 0 a 8 , * 十 旦 (k ， 一 ， ) 是 具 有 不 确 定 y y 性 风险 厌 恶 系 数 是y 的 投 资 组 合的 解。 对 于 任意 的 0 0 ， 且 了了 0定 义 硕士论文 基于非单调效 用理论的投资组 合选择问 题 a e “= 万下 “. 1 a 0 是市场组合，并且有 v v , (w , 卜v v , ( w , ) 性质3 . 2 . 2 保证了a 是一 个确定的常数， 不考虑风险 厌恶程度b , a 对所有的 投资 者 都 是 一 样 的。 因 为 a 4 = 1 , a ” 是 不 包 含 任 何 无 风 险 资 产的 所 有 市 场 资 产 组 合， 称之为市场组合。 由 于在假设条件中， 所有的 投资者对资产的 收益和风险的 看法一致， 这样市场 上所有的 投资者都持有相同的 市场组合， 在均衡 状态下， 投资组 合包 含了 市场上任 何一种证券。 性质7 13 7 ( 单 调 的c a p m ) 投 咨 者的 不 确 定 风 险 厌 恶 系 数0 0 ， 且。 e 1 0 , 戈表 示 市 场 组 合 的 收 益， 戈表 示 第1 资 产 的 收 益， 如 果 ( a e ， k e ) 的 投 资 组 合 选 择 问题的解，有 e x , - r = / 3 , ( e x . 一 r ) v i = 1 .2 . . . .n 其中 戏=c o v ( v v , 戈) c o v ( v v , x . ) v v = v v , ( w, ) 这就是单调的资 本资 产定价模型 ( 单调的c a p m) o 它表明市场中 某一风险资产的期望超额收益率与市场资产组合的超额收益率 成 正比 ， 比 例系 数 为 j6 , , 6 , 与 投 资 者 对 市 场资 产 组 合的 边 际 效 用 、 市 场 收 益 率以 及 该资产收益率的不确定性有关。由于风险的大小一方面取决于不确定性，另一方面 取决于决策者对待风险的 态度， 我们知 道风险态度可以 通过边际 效用来反映， 风险 爱 好者边际效用递增， 风险中 性者边际 效用不变，