（概率论与数理统计专业论文）几类风险模型破产问题的研究.pdf

摘要 在风险理论的研究中，由于经典风险模型中许多假设与现实情况 不完全相符，因此对现有模型进行更深入的研究于风险理论的发展有 着重要的意义。 事实上，目前对经典的复合二项模型、p o i s s o n 模型和更新模型等 三类基本风险模型的研究，依然存在理论上的很多不完善之处，如在 调节系数不存在的情况下，这些模型的破产概率、破产前即刻盈余分 布等特征都依然值得研究。虽然很多学者对经典风险模型从理论上进 行了多方面的推广，但是对于这些推广的模型，还存在很多值得研究 的问题。为此，本文试图对这些问题作进一步的研究。 本文首先对复合二项风险模型作了进一步的研究，在已有工作的 基础上研究了破产概率的显示解问题以及在索赔分布服从重尾分布 的条件下破产概率的局部渐近估计。 其次，对经典的p o i s s o n 风险模型作了进一步的研究，研究了调 节系数不存在，索赔分布服从重尾分布的条件下破产概率渐近解及其 局部解估计问题。 最后，对从在经典的p o i s s o n 风险模型基础上推广的 p o i s s o n g e o m e t r i c 风险模型作了进一步研究，得到了其g e r b e r - s h i u 折现惩罚函数所满足的更新方程及其破产概率的显示表达式 ( p o l l a z e k k h i n c h i n 公式) ，并且还得到了当模型的赔付随机变量服 从指数分布时破产概率的表达式，当偏离系数为零时立即得到经典风 险模型下的结论。 关键词风险模型，破产概率，局部解，更新方程，p o l l a z e k 。k h i n c h i n 公式 a bs t r a c t s i n c em a n ya s s u m p t i o n so fc l a s s i c a lr i s km o d e l sa r en o ti n a c c o r d i n gw i t ha c t u a ls i t u a t i o n si nr i s kt h e o r y i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c e t os t u d yt h em o d e l sm u c hf u r t h e r a sm a t t e ro ff a c t ，s o m es t a n d i n go p e np r o b l e m ss t i l le x i s ti nt h e t h r e e b a s i cr i s km o d e l s t h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ，t h e c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e la n dt h er e n e w a lm o d e l f o re x a m p l e w i t h o u ta d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t s i ti ss t i l ld e v o t e l e dt os t u d yr u i n p r o b a b i l i t y , d i s t r i b u t i o no ft h ei n s t a n ts u r p l u sb e f o r eb a n k r u p t c yi nt h e m o d e l s i na d d i t i o n f u r t h e ri n v e r s t i g a t i o n sa r ea l s on e e d e di nt h e s e e x t e n d e dm o d e l s ，w h i c ha r ed e r i v e df r o mc l a s s i c a lr i s km o d e l s t h i s t h e s i sa i m st os t u d yf u t h e rt h ea b o v ep r o b l e m s w ef i r s ti n v e s t i g a t et h ec o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l s o nt h eb a s i c o fw o r k sa b o u tr u i np r o b a b i l i t y , w es t u d yi t se x p l i c i ts o l u t i o n s a n da sf o r h e a v y t a i l e dc l a i m s w eh a v ed e r i v e di t sa s y m p t o t i cs o l u t i o n s t h e nt h ec l a s s i c a lp o i s s o nr i s km o d e l sa r ea l s oc o n s i d e r e dw i t h h e a v y t a i l e dc l a i m sa n dn oa d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t s t h ea s y m p t o t i ca n d l o c a ls o l u t i o n so fr u i np r o b a b i l i t ya r ed e r i v e di nt h ea b o v ea s s u m p t i o n s a tl a s t i ti ss t u d i e df u r t h e rf o rt h ep o i s s o n g e o m e t r i cr i s km o d e l w h i c hw a se x t e n d e df r o mc l a s s i c a lp o i s s o nr i s km o d e l s 。砀er e n e w a l e q u a t i o nw h i c ht h eg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o ns a t i s f i e ri s p r e s e n t e d a n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n ( p o l l a z e k k h i n c h i nf o r m u l a ) o f r u i np r o b a b i l i t yi sa l s oo b t a i n e d m o r e o v e r , r u i np r o b a b i l i t yi sd e r i v e d w h e nt h el o s ss t o c h a s t i cv a r i a b l eo b e y st h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n e s p e c i a l l y , t h eo b t a i n e dr e s u l ti sc o n s i s t e n tw i t l lt h a to ft h ec l a s s i c a lr i s k m o d e lu n d e rd e p a r t u r ec o e f f i c i e n ti sz e r o k e yw o r d sr i s km o d e l s ，r u i np r o b a b i l i t y , l o c a ls o l u t i o n s ，r e n e w a l e q u a t i o n s ，t h ep o l l a z e k k h i n c h i nf o r m u l a i i 中南大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 保险是一门古老而至今不衰的科学，人类对保险业务的开展和理论研究起源 于1 4 世纪后半叶在意大利出现的海上保险，至今已有5 0 0 多年的研究历史。1 7 世纪后半叶，世界上两位保险精算创始人荷兰政法家w i t t 和英国天文学家 e d m u n dh a l l e y 的工作使人们对保险的研究取得了突破性的进展，为保险经营创 立了技术工具。到2 0 世纪中叶，在世界范围内对保险的研究达到了顶盛时期， 当今仍然是一个非常活跃的研究领域。现在我国是世界贸易组织中重要的一员， 我国的保险业必须在国际保险行业同一环境中竞争与发展，面临着新的机遇与挑 战。因此，对保险风险问题的研究不仅具有重大的理论意义和应用价值，同时也 具有十分重要的现实意义。 风险是保险存在的前提，风险研究是保险和精算学中极其重要的研究领域， 它使用概率统计方法研究其统计规律，用数学模型定量描述保险经营过程并对其 相关数字特征进行研究，其中破产问题是受保险公司和学术研究者关注的问题。 破产理论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 【1 1 ，至今已有一百多年的历史。不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标 准。后来以h a r a l dc r a m & 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学 基础之上。与此同时c r a m d r 也将破产论建立在随机过程理论的基础之上，并发 展了随机过程理论。l u n d b e r g 与c r a m d r 的工作现已公认为经典破产理论的基本 理论。现今破产理论已经成为使用数学模型来描述和研究保险公司面临风险的一 门学科，利用随机过程中的二项过程、p o i s s o n 过程和马尔可夫过程等来描述保 险公司经营事务，使用概率论与数理统计中的方法、马尔可夫过程的性质、更新 理论和鞅方法等来研究保险公司的生存概率、破产概率、破产时间以及破产前最 大盈余分布等等。尽管在以往的研究当中取得了很多很有理论意义和实用价值的 成剁2 5 】，但与此同时还有很多问题有待进步研究。 风险理论主要是使用随机模型研究保险事务，这类模型通常主要由三个基本 的随机过程组成： ( i ) 保费收入过程 u ( t ) ，0 ) ，通常为时间，的决定性函数； ( i i ) 赔付( 或叫索赔) 计数过程 ( r ) ，t 0 ) ； ( i i i ) 赔付额( 或叫索赔额) 随机序列 x ，f = 1 , 2 ，3 ，) ，通常假设其是独立同分 中南大学博士学位论文 第一章绪论 布的( f f z ) ，本文通篇记共同分布函数为f ，相应的密度函数为厂，有限数学期 望为，且假设 置，f = 1 , 2 ，3 ，) 与赔付计数过程 n ( t ) ) 独立。 一般假设保险公司具有初始资本u ，于是根据上述三个组成部分，保险公司 的资本盈余过程为 u ( r ) = u + c t s ( r ) ，t 0 ， ( 1 - 1 ) 赔付过程 ，“) s ( ，) = 置，r o 。 ( 1 - 2 ) i - - - i 在风险理论研究中，主要问题是研究保险公司的破产概率( 或生存概率) 、 破产即刻前盈余( 记为u ( t - ) ) 和破产时刻的赤字( 记为lu ( t ) i ) 等。 通常破产时刻定义为 t = i n f t ：u ( f ) 0 ，规定i n f 簪$ = o o 。 最终破产概率就定义为 v ( u ) = 尸( 丁 0 为常数，表示单位时间内收取的保费；至于赔付计数过程， 如果时间t 取非负整数，则最基本的有二项过程，如果时间t 取非负实数，则最 基本的有p o i s s o n 过程和更一般的更新过程等，根据它们的不同类型( 1 1 ) 分别 称为复合二项风险模型、复合p o i s s o n 风险模型和更新风险模型。于是模型( 1 1 ) 就变为 n f t ) u ( ，) = u + c t - e x ，0 。 ( 1 - 7 ) f = l 本文将在已有研究的基础上，对复合二项风险模型、复合p o i s s o n 风险模型 及其推广情形作进一步的研究。 2 中南大学博士学位论文 第一章绪论 1 2 国内外研究现状 下面分别就复合二项风险模型、复合p o i s s o n 风险模型和复合p o i s s o n g e o m e t r i c 模型介绍国内外有关的研究现状。 1 2 1 复合二项风险模型 假设在保险公司的事务中只在离散时刻，赔付并收取保费，在连续时间段 o l ，】中进行的赔付以及收取的保费均视为在时刻f 进行。公司在时刻，进行赔 付的次数为孝，有二点分布： p 量= 1 = p ，p 缶= 0 = q ，v t - - 1 , 2 ， 其中p + q = 1 ，0 0 。 ( 1 9 ) 2 瓦_ 地 u 拶 该模型是风险理论中研究的最多的一类模型，所取得的结果也最丰富，索赔 分布是轻尾情形的研究工作有 2 5 3 3 ，6 9 - 7 2 ，9 2 等，索赔分布是重尾情形的研究有 【3 4 - 4 5 。 本文将在第五章研究重尾索赔情况下破产概率的渐近解和局部解。 1 2 3 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 模型 在经典的风险模型中，风险事件和赔付事件是等价的，用来描述风险事件和 赔付事件的随机过程主要是齐次p o i s s o n 过程，但在保险事务中，风险事件和赔 付事件有可能不是等价的。例如在保险公司推出免赔额制度和无赔款折扣等制度 后，风险事件就不一定是赔付事件，在我国汽车保险事务中保险公司就规定车险 损失在某一规定的范围内时公司不再赔付，从而导致风险事件和赔付事件不再等 价，为研究这一保险事务，2 0 0 5 年毛泽春、刘锦萼等引入了一类用来描述这类 赔付的计数过程复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程( 简记为p g 过程) ，定义如下： 设允 0 , 0 p 0 ，有n ( t ) p g ( a t ，p ) 分布，而且 e 酬= 南r ，v a r m = 等r 。 其中p g ( 2 ，p ) 定义如下： 如果某随机变量f 对应的概率母函数为： g ( ，) = e x p ( 掣) ， i 一肛 则称母函数g ( t ) 所对应的分布为p o i s s o n g e o m e t r i c 分布，记为p g ( 2 ，力。定义 中p 称为偏离系数，它刻画了风险事件与赔付事件的差异。 、 当风险模型( 1 7 ) 中的n ( t ) 为p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程时，称这样的风险模型 为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 模型。 尽管复合p o i s s o n g e o m e t r i c 模型引入风险理论中的时间不长，但也取得了 不少成果，如文献 4 6 5 1 ，6 8 ，8 1 8 3 。 关于该模型将在第六章中进行详细研究。 4 中南大学博士学位论文第一章绪论 1 3 本文的主要研究成果 本文的主要研究成果有以下几个方面： 1 讨论了一类带不等式约束的集合 或( 刀，2 n + k ) =( 毛，如，颤一。，吒) ： “+ 毛2 “+ 向+ 乞2 x2 “+ 毛+ 也+ + k l 2 ( n 一1 ) “+ k l + 乞+ + 吒一l + 吒= 2 n 刀，岛，如，k l ，b z + ，甜，k z 的元素个数计数公式。利用得到的色( ，z ，2 n + k ) 的元素个数计数公式，给出了完 全离散的复合二项风险破产概率的显示解，并研究了重尾索赔下二项风险模型破 产概率的局部渐近估计，得到了定理4 3 1 ，即： 在满足安全负荷条件( 4 2 ) 且c = 1 时，完全离散复合二项模型( 4 1 ) 的破 产概率具有如下局部渐近解 肌卅小南f ( x ) ，v z 0 2 研究了索赔为重尾分布( 此时调节系数不存在) 的经典风险模型破产概率 的渐近解与局部解，得到了以下结果( 定理5 2 1 和5 3 1 ) ： 对于经典风险模型： u ( f ) = u + c t - - 置，t 0 。 ( 1 ) 如果索赔分布f s + ( ，) ， 0 ，而且满足 f o e w d f ( 咏1 + 羞。 则破产概率具有如下渐近解 吣) _ 芝讯) 。 v ( 1 _ 五e 吁沈) ( 2 ) 对于满足安全负荷系数p 0 的经典风险模型，如果索赔分布 f s ( ，) ， ， 0 ，而且满足 f o e w d f ( 牝l + 盖， 则破产概率的局部渐近解 中南大学博士学位论文 第一章绪论 尺( x ，x + z 】竖l 二墨丝丛嘎- p ( x ) 。 。 v ( 1 一舡p 但厂 3 研究了p o i s s o n g e o m e t r i c 风险模型，得到了该模型破产即刻前盈余与破 产时刻赤字的折现惩罚期望函数所满足的更新方程以及破产概率的显式解( 定理 6 4 1 一4 3 ) ： 对于p o i s s o n g e o m e t r i c 风险模型，假设c ? 生( 满足安全负荷件) ，定义 艿：c ( 1 - p ) 一1 0 ， 为安全负荷系数。显然当p = 0 时，万= _ c 一1 0 ，这就是经典复合p o i s s o n 风险模型的安全负荷系数。 ( 1 ) 在满足安全负荷条件下，模型的破产即刻前盈余与破产时刻赤字的折现 惩罚期望函数甲( 材，w ，1 ，) 满足如下更新方程 甲( “，w v ) = 垒cr 甲( 弘w ，v ) 瓦 一y ) 方+ 詈f 形 ) 出。 f a x ) = ( 1 - p ) p 卜f 。( x ) ， k = l f a x ) = ( 1 - p ) p 卜f ( x ) ， k = l 形( x ) 5j ：以x ，力厶o + j ，) 咖。 ( 2 ) 锻严儆翠t ( “) 具有如卜表达式： 帅h 一志，薹( 志) ”虿。 ( 3 ) 如果模型的赔付随机变量x 服从参数为的指数分布，则破产概率为 吣，= 击唧( 一罴”砖 特别地若p = 0 ，则 ，= 击唧( 一羔x ) o 此即为经典风险模型的结论。 中南大学博士学位论文第二章重尾分布及相关性质 第二章重尾分布及相关性质 2 1 重尾分布的定义及分类 关于赔付随机变量的分布有很多不同的类型，分类方法也有很多，但如果根 据其矩母函数来划分，则大致可划分为重尾分布和轻尾分布两大类。下面分别给 出随机变量的矩母函数以及轻尾和重尾分布的定义。 定义2 1 1 设随机变量x 的分布函数为只( z ) ，如果e p “d f x ( x ) 存在，定 义其矩母函数为 m f ( ，) = e ( p 埔) = e p “d f x ( x ) 。 如果x 的k 阶矩存在，则显然有 e ( x 7 ) = m p ( 0 ) 。 定义2 1 2 嗍对于给定的随机变量x ，设其分布函数为足( 工) ，如果存在 ， 0 使得m f ( ，) 存在，则是轻尾分布：如果分布函数f 满足矩母函数 膨f p ) = e e 埔= 0 0 ，v r 0 成立。 则称x ( 或其分布f ) 是重尾的，一般将重尾分布全体记作k 。 对于轻尾分布，a s m u s s e ns 5 1 作了比较简单的介绍。在风险理论中，有下 列常见的一些分布【2 1 ： 1 ) 指数分布( e x p o n e n t i a l ) ：对力 0 ，f ( x ) = p 一。 2 ) g a m m a 分布：对吼 0 ， 厂( 力2 南- 1 p 一。 3 ) w e i b u l l 分布：对c 0 ，f 1 f ( x ) = e x p ( - c x 7j 。 4 ) t r u n c a t e dn o r m a l 分布： 后唧。 关于重尾分布，常见的重尾分布函数【2 i ： 1 ) 对数正态分布( 1 0 9 n o r m a l ) ：对卜，) ，仃 o m ，= 志唧 专 o 2 ) p a r e t o 分布：对口 0 ，r 0 ， 中南大学博士学位论文 第二章重尾分布及相关性质 韵= ( 熹) 口o 3 ) b u r r 分布：对口 0 ，k 0 ，f 0 聃( 南) 口。 4 ) b e n k t a n d e r - t y p e1 分布：对口 o ， 0 风) = ( 1 + 警e x p ( - f l l n 2 冲+ 1 ) ) 。 5 ) b e n k t a n d e r - t y p e1 1 分布：对口 0 ，0 0 ，0 0 m ) = 高吣尸一。 8 ) 截断口一稳定分布( t r u n c a t e d 口一s t a b l e ) ：对某一口一稳定的随机变量x ， 其中1 0 时是属于轻 尾分布族的，而当，= 0 时，则就是重尾分布族中的次指数分布族。在这类分布 族的基础上，尹传存【4 3 】定义了一类子分布族s + ( 1 ，) ，v 0 ，本章将全面讨论其相关 性质。 为了后续讨论的方便，本文约定：对于一个具有期望 0 和分布 f ( x ) = p ( x x ) 的随机变量( ，仉) x ，其尾分布记为f ( 功= 1 一f ( x ) 。其平衡分布 记为 e ( x ) = 丢r f o ) a t 。 口o ” 对于任意实函数厂( x ) ，g ( x ) ，用记号f ( x ) g ( x ) 表示满足 l i m f ( x ) ：1 。 。”g ( x ) f ”表示f 的甩重卷积。 根据定义2 1 2 ，显然如果非负随机变量x 的期望不存在，那么自然是重尾 的。因此很多学者都是考虑期望存在的情形。 在期望存在的条件下，苏淳、胡治水、唐启鹤 4 1 1 定义了积分风险函数： 8 中南大学博士学位论文第二章重尾分布及相关性质 名( x ) ；掣。 ( 2 1 ) i f ( t ) d t 另外定义 占( x ) = x ( x ) ， ( 2 2 ) 用其来刻画f ( x ) 的尾部性状利用( x ) 和e ( x ) 在x o o 时的极限性状，下面定义 了k 中一些重要的子族： 定义2 1 3 ( m 族) 【4 1 1 如果非负随机变量x 满足：e a r 0 ，且满足 i f ( x t ) f ( t ) d t 岘竺i 忑一= 2 1 z 。 ，一 。 f ( x ) s 族最初是由k l i i p p e l b e r g 引入的，其具有许多良好的性质，在应用概率中 有广泛的应用。在此主要讨论s 族和s 族的性质。 2 2 重尾分布族的性质 为了第五章讨论问题的便利，在此先讨论重尾分布的常用性质。 性质2 2 1 2 1 ( 1 ) f 属于轻尾分布等价于f 满足：! i m e 盘f ( x ) = 0 ，对某个 9 第二章重尾分布及相关性质 万 0 成立。 ( 2 ) f 属于重尾分布等价于! 鳃口毋f ( x ) = 0 0 ，对所有万 o 成立。 性质2 2 2 ( 1 ) e r v ( - f z ，一) cl a d cs ，s csc 三cm 且 f s 。j 只s 。 ( 2 ) 如果f k ，j j l v z , 对任意， 0 ，有 l i m s u p e “p ( x ) = o o 。( 2 - 4 ) ( 3 ) 若f s ，则l i ml i mr f ( x - t ) f ( t ) d t ：0 。( 2 5 ) 一4 。+ 。趔 。【x ) 该性质的证明见文献【2 】或【3 】或【4 0 】以及其它相关文献。 性质2 2 3 如果f s ( 力， 0 ，那么对任意给定的s 0 ，存在常数 k = k ( 6 ， ，) 使得对一切n 2 有 铬舛2 尽嘲矿广1 。 ( 2 - 6 ) 矾记吒三骝鬻，贝| j 由等= 1 + 可f * n ( x - t ) 卿) ，对每一个 0 t 得到 吒+ 。，+ 恶帮卵+ 哿等等鲁霉导招c ，。c 2 引 记4 三歹蒜 0 可选取t ，使得 吒+ l 1 + a t + 吒( 2 j o 矿护( x ) 一1 + s ) 。 ( 2 - 9 ) 记d 兰2 詹e 惯d f ( x ) 一1 + 占，显然l d o o ，于是根据递推式( 2 9 ) ，立即 得到 吒纠。1 ( 1 + ( 1 圳箭卜1 ( + 等) 。 协 令k 三1 + 号辱，即得( 2 6 ) 的结果。 性质2 2 4 若f s ( 1 ，) ，v o ，则对任意固定a ，0 a 言，有 l o 中南大学博士学位论文 第二章重尾分布及相关性质 l i ml i m j ：2 f ( x 孑- t ) _ f ( 一t ) d t ：广8 wf ( f ) a t ， (211)j _ m j _ f ( x ) o 删x - - m + c t o 紫咧x ；- m a t o o 盥学一o ，协 月_ * f ( x ) 一_ m ，。( x ) l i r a e “”( x ) = 0 。 ( 2 - 1 3 ) 证明：因f s ( ，) ，0 ，根据性质2 2 2 ， 故e s ( 1 ，) ，再根据定义2 1 3 中的( 2 ) ，对于任意固定的a ，有 熙掣：j 脚o 衍。 ，瑚 f ( x ) 一 另外再令么斗o o ，即得结论( 2 1 1 ) 。 对于任意固定的彳，o 玎 m 锚乙脚拦厶 a 譬 扫h加 ： 胁 埘伽，弋 ，1 ： 引卜 ，_ 1“ h 疗 k 细 致 行 l 院 历 撑 撑 ，【 川 啦 枇 h 川 h“ 印 笠k h 叱k ： 剐k = 中南大学博士学位论文第三章一类带约束条件的集合之元素个数计数公式 根据假设，于是得到( 3 3 8 ) 的右端等于 撑o 毛( 刀