（理论物理专业论文）对bz反应3d模型变量变化率脉冲反馈混沌控制的理论研究.pdf

对b z 反应3 d 模型变量变化率脉冲反馈混沌控制的理论研究 中文摘要；奉义介绍t 混沌动力学及混沌拧制的幕奉方法对a r n o d oc ta l 提l 的化学 b z 反应的3 d 模型i f 行r 进步的理论分析指当取特定的参数值时系统呈现混沌运 动。在变量脉冲反馈控制理论的基础l ：，提r 对系统变量变化率进行反馈的混沌挖制 方法，并给出了此方法适用的条件。对比之下，此方法具有控制速度快、稳定性好等优 点计算机仿真模拟结果碰示，可以将系统稳定袖不同的周期轨道，从而证明了所给方 法的有效性。 关键词：混沌；混沌挣制；3 d 模型；变化率脉冲反馈挣制；刷期轨道：功率谱 第一章 引 言 对混沌现象的认识，是非线性科学最重要的成就之一。它揭示了自然界及人类社会中 普遍存在的复杂性，有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。大大拓广了人们的视野， 加深了对客观干鹜= 界的认识。国际上誉称混沌的发现。乃是继本世纪相对论和量子力学问世 以来的第三次物理人革命，这场革命止在冲。l 。平i | 改变儿乎所有科学和投术领域，同时向我 们提出巨大的挑战。 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋辨的不可预见性，棍沌控制就成为混沌 应用的关键环节。1 9 8 9 年砰柏勃( a h u b l e r ) 发表了涮沌控制的第一篇文章l l 】。1 9 9 0 年奥 特( e o t t ) 、格锐柏基( c g r e b o g i ) 录| 约克( j a y o r k e ) 提山的控制混沌的思想( o g y 控制) 产生。泛的响应f j 。同年，佩考拉( l m p e c o r a ) 和 罗尔( t l c a r r o l l ) 提出混沌 同步的思想( 3 1 ，接着笛托( w l d i t t o ) 和罗意( r r o y ) 等完成了控制混沌的实验1 4 。以 后十年，混沌控制与浞湾同步的研究得到了蓬勃的发展，这一方面迅速成了混沌研究领域 的重要热点。其问，人们提山了各种混沌控制的方法1 6 】ii ，并在光学、等离子体、化学反 应、流体、电子线路、人j ：神经网络、生物系统等大量实验和应用中得到验证m l 。 在自然界及实验室淮沌控制与应用上，同时时空混沌控制也在逐渐增加，其他类型的 浅沌控制尚术展开。因此，该领域是需要科学家人婪投入的领域，并且不论是在理论上还 是在现实麻川巾具有重要的价值。一昨线性系统多种多样，泥沌行为也表现为千奇百怪，相 应的混沌控制方法也是多种多样，类删上可分为网火类：一、只产生时间混沌l t 、只产 生空问混沌，二、同时产：生时闻掘沌雨i 空问泄沌，四、产生功能混沌，从目前来看，人们 更多的是集中在第一类深远意义的领域。 混沌控制的日标有两利，一刊，是基丁柏：混沌奇怪吸引子内存在无穷多的周期轨道控 制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效的稳定控制，根据人们的意愿逐一控制所 需的周期轨道，该控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。另一种控制目标则不要 求必须稳定控制原系统中的周期轨道，而只要通过可能的策略、方法及途径，达到有效 控制得到我们所需的周期轨道即可，或抑制掉混沌行为即通过对系统的控制获得人们 所需的新的动力学行为，包括各种周j m 态及其它图样等。 混沌控制方法中，从非线性系统的类型上说，有些方法适于离散非线性系统，有些则 适用于连续非线性系统，从控制原理上可分为微扰反馈控制法及无反馈控制法。前者反馈 的对象可以分别为系统参数、系统变量、外部参数( 强度、相位等) ，等等，对不同对象 的微扰反馈则产生不同的控制方法，它们的共同点都是利川与时间有关的连续小微扰作 为控制信号当微扰趋于零或变得很小时，则将实现对特定所需的周期轨道或非周期轨道 的稳定控制也就是达到前面的第一种控制目标。无反馈控制法用于实现第二种控制目标， 它与一些特定的所需轨道无关，因而当系统达到控制时，控制着的输入信号并不趋于零， 并且受控后的动力学行为可能与原系统的火不相同，即产生了新的动力学行为。 混沌同步，从总体上说，属_ 丁混沌控制的范畴。1 9 9 0 年奥特等人与佩考拉等人分别 独立地提出混沌控制和混沌同步问题，并且在早删两个方向似乎互无关联地并行发展了 段时间，但人们很快认识到两者之间的联系。事实上，许多混沌控制方法都可以直接应用 于同步混沌，反之亦然。自从c h h u y g e n t 于j 7t | = 纪实现两个钟摆完全同步振荡后，同步 化问题成为在力学、电学、光学等各个物理学科，以及化学、生物等多个领域受到普遍重 视的问题，它在自然科学的许多系统中具有重要意义，滟沌同步研究是对儿卣年来周期运 动同步问题的重要发展。 非线性系统混沌行为的主要特征量是李雅普诺大指数a ，它刻划了系统对初始条件的 高度敏感性，通常低维混沌系统只有一个 大于零，而功率谱也是分析非线性系统周期或 混沌的有效和重要的方法。对于研究像混沌这样的复杂运动中的频谱特性，并据以将混沌 与随机运动加以区别，功率谱法是很有效的，其分辨本领可高达 2 7 次喈波，远远比直接观测相空间轨迹法要高，至于频闪采样法，虽然分辨率高达2 ”次 谐波，但它主要用于周j 甜外力驱动r 的系缆，而垅# 莱截面法的分辨本领一般不超过功率 谱法。 为了总观全局，在下图中对迄今主要的混沌控制及混沌同步的各种方法及类型进行了 分类和图解如图1 所示，从中可以看山混沌动力学及混沌控制已经发展成一个比较完整 的体系但还有许多问题尚待进一步深入讨论与研究。 2 精骶 3 蕾瓤林倒熄匿百i颦疆舳暖甾l懈葛曰 剩粼末齄壬剐隧栽窿嘿嘣嘏椒器谢密耀赠牛捌 第二章混沌及混沌控制的理论方法现状 混沌学是- - f j 新兴的科学，兴起于二十世纪七十年代对混沌的研究是当前世界上科 学研究的热点和前沿课题之一，而棍沌现象是非线性系统的共同属性，物理、化学、生物、 地理、经济、工程、医学以及社会系统中均包含着丰富的非线性动力学行为。在许多实际 问题中，混沌是一种有害的运动形式，因此抑制混沌成为控制混沌的个重要任务。这是 由于其长趋势不可预见性和它具有近于随机性的性质所决定。而在实际问题中系统的参 数是客观给定的，不能改变，或火的参数的改变要付h 大的代价。混沌控制的主要任务是， 在保留原有参数条件或仅对参数进行微调情况下，进行抑制混沌，可以尽可能的利用混沌 运动的特点和优点。其理由为：变量空间中的混沌吸引子具有比任何周期吸引子大的维数， 而在混沌运动中系统在混沌吸引子上各态历经，由此可在整个混沌吸引子的广大范围内来 实行控制操作和选择控制目标态，这使得混沌控制具有很大灵活性。此外t 混沌运动具有 初值的敏感性，任何近邻轨道之间的距离随时闸演化会以指数形式迅速发散，这导致混沌 运动长趋势的不可预见性。但可以对系统施加极小的影响就可使系统运动产生重大变化， 即可以在混沌条件下用精心选择的微小信号，灵活有效地控制系统的运动结果，这不能发 生在周期轨道下。在任何稳定的混沌态中，镶嵌着无穷多个周期轨道，这些周期轨道为混 沌控制目标态的选择提供了极为丰富的内容。 因此，非线性系统中的混沌控制的主要任务是：根据不同学科及领域中的实际需要， 从理论和实验两方面，研究如何从各种各样的非线性系统所产生的混沌奇怪吸引子中，按 照实际的需要获取所需的各种周期态或非周期态，并能实现其稳定的、有效的控制。 2 1 混沌动力学研究简介 混沌现象广泛的存在于各种非线性系统中 1 4 1 【2 1 】。1 9 6 3 年气象学家洛仑兹 ( e n l o r e n z ) 在研究人气地表受| j 1 1 i 光照射变热或变冷而发生对流过程中，提出了著名的 简化方程组 出 _ _ 2 一o x 七o - x 甜 咖 d t 2 一船+ 肘一y ( i )lj 鱼：x v b ： 出 。 。 在系统参数盯、r 、b 取适当值时。该确定性方程组的解会出现无规则的行为，微小 的扰动会使方程组的解大不相同。经反复的验证，e n l o r e n z 首先在耗散系统中发现 了混沌运动，并进一步揭示出一系列混沌运动的基本特征，如对初值的敏感依赖性、 长期行为的不可测性等等，还发现了第一个混沌吸引子l o r e n z 吸引子。e n l o r e n z 的工作为混沌动力学研究提供了重要模型，并开创了计算机数值计算的混沌研究方 法，为混沌动力学的发展开创了道路。其基本处理过程如下： 定态方程为 堕：o ，立：o ，堕：0 d fd ld | 令x = x o + 茁，y = y o + y z = z o + z 。则对( 1 ) 式线性化扰动得 j 。 d i x y z 由于上式的线性化结构，它允许有 工。( ，) = z 。( o 弦”。 y ( f ) = y ( o ) p ” z ( ，) = z 。( o ) p w 的简正模解，于是可得( 2 ) 式的本征行列式 一仃一w r z 0 y o 连 0 一f _ 0 b w l ( 2 ) 描述系统重要性质的l y a p u n o v 指数就是线性化系数本征值的实部。当o = 1 0 ，b = 8 3 r = 3 0 时l y a p u n o v 指数分别为 = l ，如= o ，厶= 一1 4 ，5 ，满足关系式 【l 0 ，五! = 0 ，五3 0 这个定义表明了混沌运动的重要特征i 、存在呵数无穷多个稳定的周期轨道：2 、 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；3 、至少存在一个不稳定的非周期轨道。但 它只是表明一种数学上的“存在性”，并没有描述它们的测度和稳定性。 接下来几十年，混沌系统的发现与成功的数学描述如雨后春笋，随着研究的深入， 对混沌运动的特征及含义的认识不断深化。 在生态学中，有著名的l o g i s t i c 映射p - 3 1 。它是一个简单的理想化的生态模型，即 x 斛i = l 一，口 其中“表示第n i f 昆虫的数量，f 代表昆虫的繁衍力。, q j i l 算机进行模拟x 一t 图， 如图2 所示 幽2 ；抛物线映射的分岔l 圭f 从上图可以看出，由周期2 ”到2 ”的分岔，以越来越窄的参量间隔迅速重复，最 6 终在声。= 1 4 0 1 1 5 5 1 8 9 0 9 2 0 5 处周期达到无穷长。这样，从= 0 到= 。，存 在一个倍周期分岔序列，周期为 1 叶2 _ + 4 寸8 寸1 6 _ 2 “一一 在。点右边，存在一个2 “啼2 ”1 的混沌带倍周期合并序列 斗寸2 ”一一1 6 斗8 寸4 寸2 - - 1 在电工学领域，有著名的d u f f i n g 方程2 4 1 ；+ t j + x + x 3 = f e o s ( w t ) 当k 、f 、w 取不同值时，( x ，z ) 表现出有规律的周期或混沌运动，如图3 所示 j 堇i3 ：f 取习；删值时神! ( x ，x ) 、j 埘l ：的轨线 上述解j ( f ) 的性质随参数变化的情形还可以表示如下：用解j ( ，) 的极大值( 或“f ) 与某截面的交点值) 为纵坐标，用方程中的可变参数( 此处是外加周期力的幅值f ) 7 为横坐标画图( 用计算机求解时直接画出) ，可得图4 。这表示当f 小于临界值瓦时， 解随参数变化是倍周期分岔过程，e 口爿冒1 4 是一系列的分岔点。当f ，二时，即出 现混淹，费根鲍姆详细的研究了由倍周期分岔通向混沌的情形，发现一些普适的规律， 如分岔点处参数值的收敛服从如下的普适规律： 儒 羹 ：i 沌s 饕 ! 、晕、尘“ d d ：4 | 璺f4 ：倍周期分翁与混沌 c = 瓦一暑c n 呻o o ) c 为与动力学方程有关的常数。由上式得 艿：l i m 墨! l 二墨：l i m 生 一呻e 十2 一只+ l ”斗出胛+ 】 j 称为费根鲍母常数，不同类型的方程，占值不同，对许多情形占= 4 , 6 6 9 2 0 1 6 0 9 1 。 在化学反应中，有著名的b r u s s e l a t o r 振子口”，p r i o g o g i n e 等人为了说明b z 反应 的耗散结构( 时间有序结构也就是振荡和空间有序结构理论的典型例子，提出了一个 假想的三分子模型，这就是所谓的布鲁塞尔振子，它由以下反应组成： b + x y4 - d 2 x + j ，_ 3 x x e 以上反应的总效果足 a + b d 七e 因此，彳和曰是底物，d 和e 是产物，中间物和y 可看作是催化剂。为了简化， 司以得到速翠方程 警4 ( 川肌脚 d y ：b x x 2 y 讲 当卢o 5 时相空间中解的轨迹在x - y 平面上和在z - y 平面上投影，他们都是极限 环，如图5 所示 盘 暑 呈 去 鲁 苫 呈 口 + + o 口 b r ) + 6 5 z z b 图5 ：轨线在x - y 平面和z - y 平面上的投影( ，= 0 5 ) 在激光系统中，有著名的单模激光方程 d e ：一g e + p d t 坚：曲p e d 珊 堕：c d e p 耐 依据稳定性理论，当参数c 取值大于分支点处取值时，系统变为不稳定，从而进 入混沌态，如下图6 所示 9 图6 ：在( e ，d ) 平面内数值结果 由图6 可以看出，曲线的形状如同一只蝴蝶的翅膀，先在翅膀上绕稳定点 ( e 。e 。d 1 。) 旋转，然后跃到另一只翅膀上绕另一稳定点( e 2 。只o d 2 。) 旋转，然后 再跃回到第一只翅膀。模拟方程若持续下去可以发现：曲线始终不会相交：另外，在 一只翅膀上绕多少圈再跳到另一只翅膀上也是无规则的，所以这些正是混沌吸引子的 特性。 混沌学的研究迅速展开，分形几何学的创立对描绘不规则的、回环旋转的相空间 轨道提供了有效的工具，美国物理学家mj f e i g e n b a u m 则发现了倍周期分岔序列中的 普适常数4 6 6 9 2 ，既著名的f e i g e n b a u m 常数，把相变临界理论中的普适性、标度 性、重整化群方法引入混沌研究，把混沌形成了自己的理论。耗散结构理论创始人 i p r i g o g i n e 在探索远离平衡态、非线性、自组织的过程中创造的处理复杂性、不确定 性系统的方法为混沌学研究提供了新方法，分形几何学从定性研究推到了定量计算的 阶段，实验物理学家用各种形状的水龙头流水进行实验，同样证明了混沌的客观存在， 美国物理学家还将混沌与信息论联系起来，用信息论对混沌进行解释。 2 2 混沌判断工具 可以用l y a p u n o v 指数来定量的刻划混沌运动 1 1 次迭代 o z o工o + 斑，”( 工o ) ，“( 并o + 巍o ) 图7 ：l y a p u n o v 指数的定义 1 0 正的l y a p u n o v 指数是混沌的主要特征，对一维映射 x 。“= f ( x 。) 来说，一维映射只有一个拉伸或压缩方向，考虑初值点和它的近邻+ 疵，用f ( x ) 作一次迭代后，它们之间的距离为函l = ，( + 融) 一f ( x o ) z f 。( x 。) 蠡，经迭代后会指 数分离( 如图7 ) 。l y a p u n o v 指数就是量度这种分离性。 夙。= i ，“( x o + ) ，”( x o ) l ：氅型苏。：。圳瓯 式中五0 ) 就称为l y a p u n o v 指数 砸护。- - 姆- 4 c 0 叫刮 nl 亦o 嗽枷橱“l = 恕c 扣扭i = 0 ，+ 4 l y a p u n o v 指数作为沿轨道长期平均的结果，是一种整体特征，其值总是实数，可 正可负。也可为零。正的l y a p u n o v 指数表明运动轨道在局部都不稳定，相邻轨道指 数迅速分离。轨道在整体性的稳定因素( 有界，耗散等) 作用下反复的折叠，形成混 沌吸引子。因此，a 0 可以作为混沌行为的判据，五= 0 对应稳定边界，初始误差不 放大也不缩小，负的c y 弗u o v 指数表明相体积收缩，轨道在局部式稳定的，对初始 条件不敏感，对应周期轨道运动，c 由负变正，表明运动向混沌的转变。 由微分方程描述的非线性系统的l y a p u n o v 指数由以下给出，考虑n 维相空间的 情形，设n 个变量 、x 2 、而x 。遵守非线性微分方程 鲁吲，”。 “_ l ，2 ，3 ”) 上述方程组可以写成下列简洁形式 _ d x ：7 ( ：) 蘸aalax：吲alcgx 1 玉l 舐2 玉。i l 弧瓠i 2 玉l 2 扼j k l i 弧既 i 知i& z 五= 铷坤届) | 吼= 啼1 ，善n 倒半， 1 2 驴畴1 ) 驴n i n ( 半) 然后计算 p 女= d ：+ 6 ； 通常为许多组j 。计算批p 。，平均后即逼近前面定义的功率谱。 2 3 混沌控制简述 迄今，国内外已经提出各种各样混沌控制方法，其主要的方法介绍如下： 1 、参数微扰法 1 9 0 0 年马里兰大学( m a r y l a n du n i v e r s i t y ) 的奥特，格锐柏基和约克 提出用微小外部信号调控混沌系数，从而实现了混沌控制的思想。他们的工作成为广 泛的混沌控制的起点，其方法被称为o g y 混沌控制方法。 现以二维离散映象为例来讨沦 石”i f ( x n , 力( 3 ) x 。r2 ，p ( p o 一印，p o + 印。) 其中p 为一个系统参数，印。为最大徽扰量，利用( 3 ) 式在不动点k 及参数p 。附 近的一阶线性近似，即 x 。+ l = f ( x 。，p 。) 兰x f + a ( x 。一x ，) + w ( p 。一p o ) ( 4 ) 或盘兰a 6 x 。+ w 印。，a = 见f ( x f , p o ) 是一个疗十2 矩阵，w = ( o f a p p ) ( x 。，p o ) 是一个二维矢量。由于不稳定不动点x ，被嵌套在一个混沌吸引子内，所以以一的线 性化具有一个特征值i 五l 0 ，相应的特征 矢量为e 。，令正及j 是互相正交的基矢，即正e ，= j e ，= 0 及 正e ，= 厶，= 1 。故a = 五，p ，+ 8 ；工于足x “落在不动点稚的局域稳定方向 上的条件是 l - 5 x = 0 ( 5 ) 只要上接近即则线性化( 3 ) 式成立，凡可应用( 5 ) 式控制条件，可导出o g y 方 法在p 。= p 。+ 印。h , i 的线性化控制定律 五 印。= 一7 l ，疵。 ( 6 ) j “， 只有当印。 1 0 ) p 为系统参数，= 穆刮一，是映射寄爿率，对，加扰动昂， x 。+ l ( p + a p ) = x ，( p + 印) + f x ，。一x ，( p + a p ) 】 x s 姊 a p ) = 产净氓m 把p 变到印+ p ，使下一次迭代系统回到x ， x 。+ 1 ( f ，+ a p ) = x ， 故 a p = m 。飞( 剀彤_ 1 ) 寥磊】 即求得控制定律。 o p f 技术具有很人的优点，它不仅只需要小微扰就很容易控制低周期态，而且通过调 整信号限制窗口的宽度及反馈信号的增益量，能够有效地控制很高周期的轨道。 3 、连续反馈控制法”o g y 方法与o p f 技术只适用于离散动力学及连续系统的庞加莱 4 映象情形，自然界中存在大量连续动力学系统，自控制反馈连续控制法有两釉：一是外力 反馈控制法；二是延迟反馈控制法。 实验示意图如图8 所示 酗8 ：构种自控制反馈法的示意图( a ) 外力反馈控审4 法( b ) 延迟反馈控制法 ( i ) 外力反馈控制法 特点是从系统外部注入一个强迫信号，用以与系统的输出量进行比较，并给出控制信 号作为对系统的一种微扰，其前提是：无微扰时的系统，必须存在混沌奇怪吸引子，只有 这样才有提供加以控制的无穷多的周期轨线或非周期轨线。有了实验数据分析之后，再把 欲控制的信号与外部输入信号适当匹配，通过调牡外力微扰量，则能达到控制目豹。描述 系统的非线性常微分方程组为 詈却( ”) + ，。) 等叫y 一 其中f ( t 1 为控制信号，亦称微扰量。当f = o 时，系统具有混沌吸引子，从实验上测得具 有多种周期的信号，形式为y = 只( ，) ，y ；( ，+ 1 ) = 只，相应于不同的 j p o ，根据需要，可 以选择其中某个周期轨道，必须设计一个特殊外部振荡器( 特殊周期信号发生器) 。通常 我们把信号y ，( f ) 与输出信号灭，) 之差d ( 1 ) = y ，0 ) _ y ( ，) 作为一个控制信号，即 f ( f ) = x y ，( f ) 一y ( f ) 1 = k d ( t ) k 为控制因予。女同o g y 方法，此法是利州一个小外力来稳定u p o ，这里靠外部信 号微扰，而o c - y 方法是靠系统参数微扰达到殊途同归的效果。能否将系统控制到所期望的 周期轨道，要考察它们的l y a p u n o v 指数数值a ，当 都小于零时，能达到目的；当 部 15 分小于零，则部分稳定；凡是丑大于零的u p o 当然控制不住了。 外力反馈法的缺点是需要专门设计一个特殊的外部信号发生器。这在技术上要求较 高，有一定难度。 ( 2 ) 延迟反馈控制法 为避免外力连续反馈控制的缺点，后又提出延迟反馈控制法。其基本控制原理如下： 利用系统本身的输出信号的一部分并经时间延迟后，雨与原来输出信号相差，作为控制信 号反馈到系统中去。其微扰形式为 ，( f ) = k y ( t r ) 一，( f ) 】= k d ( o p y r a g a s 和t a m a s e v i d i i s 发计了一个屯子线路试验，见图9 j 璧 垫重鲫控制线路 l - - 。 图9 ：用于实验验证延迟反馈法设计的电f 线路 描述该振荡器的动力学为 出 d t 2 一”+ 。 生d t = - - x - - b n ( y ) 一a y + n s i n w t + f ( y ，c ) 其反馈控制信号为 f ( y ，x ) = 世l “，一r ) 一y ( o 利用图9 底实验实现了对不稳定周期底稳定控制，关键的是有一个可调底延迟线 满足对不同周期底时间延迟要求，类似底实验也证实了这一点，所以对范围广泛的延 迟时间内可调的延迟线或延迟器的研制是本法的主要技术难题，一旦延迟线( 器) 得 以解决，实验控制混沌问题便迎刃而解，目前实验上用时间延迟反馈法可实现对周期 1 6 旃r l i i 弘十上叮 + 警 r 吣一 5 的稳定控制，下图给出了浚实验结柴，用功率谱表示如图1 0 所示 圈1 0 ：实验线路用延迟反馈法的撺制功率潜图抽) 未控制前的瀹沌态功率谱： ( b ) 受控后的心期5 功率谱；( c ) 受挖后的周期2 功率谱。 在多维动力学系统中，只对一个变量进行反馈控制是不充分的。在一些情况下， 要实现对多维系统的混沌连续反馈控制必须用一个以上的变量才是有效的。因此，在 应用连续反馈控制法时，要以不同周期稳定控制所能达到的李雅普指数的稳定范围 内，去寻找有效的控制。 混沌动力学的特性决定着混池控制方法的多样性，每种方法只适合一类混沌控 制。除上述几种典型的控制方法外，还有诸如线性反馈方法、参数共振微扰控制法与 弱周期微扰控制法、相空间压缩法、辅助参考反馈法等等。 第三章b z 反应变量变化率脉冲反馈混沌控制研究 3 1 背景资料正比于系统变量的脉冲反馈法 上述介绍的混沌控制方法一般都是基于对系统参数进行时间微扰反馈，达到控 制某些不稳定的周期轨道，这要求找到一些台适的系统参数可以进行微扰调整。事实 上，诸如生物系统、化学系统等些大多数非线性系统很难找到它们合适的可调参数 这就迫使人们想到町以适当的改变系统变量来进行混沌控制。 j g “e m e 2 和m am a t i a s 提出正比于系统变量的脉冲反馈控制法，分别对离散系 统映象及连续系统实现了对混沌的稳定控制，他们在1 9 9 3 年将此方法用于逻辑映象 等，1 9 9 4 年斩广于洛仑兹系统及三变量的自催化系统。 他们研究了离散系统的例予，考虑一维逻辑映缘 x = 4 a x 。( 1 一x 。) 及指数映象 1 7 j “= x 。e x p 2 ( 1 一) 】 正比于系统变量的脉冲反馈法，简称p p s v ，其控制算法如下：从”次迭代开始， 每隔”次迭代，把正比于系统变量的下列形式 工。= h ( 1 + ，) 反馈到系统中去。它有两个控制参数，一是脉冲间隔a n ，二足反馈系数y ，即反馈 脉冲强度，y 可以取正值或负值，适当的选取一及，值可以实现对逻辑映象及指数映 象中的周期轨道的稳定有效的控制。 例如对逻辑映象，当五= 1 0 时，取控制参数r = 一o 3 9 6 及a n = 4 ，则系统的混沌 态受控后，得到周期1 的稳定轨道；而当五= 0 9 时，取y = 0 5 及a n = 5 时则得到周 期3 的稳定轨道。通常施以此方法控制的头几个脉冲内，系统并不变成周期态，有一 段短暂的过程，然后逐渐的进入稳定周期态，通常达到稳定控制所需要的迭代次数弗 不多。 在指数映象中，当丑= 2 8 ，y = 0 2 及a n = 1 0 时，得到稳定的周5 ： 丑= 2 gy = 一0 0 6 6 ，月= 4 时，则得到稳定周期3 等等。 g u e m e z 等人已臆_ i _ f jp p s v 方法于二维离散映象b n r g e r s 映象 x = ( 1 一v ) x 。一y ： ) 0 + l = ( 1 + + x 。) _ ) ，。 控制算法是：以下列形式在每隔 迭代时分别修改z 和y x 。+ i = t ，( 1 十，1 ) y 。1 = n ( 1 十y 2 ) 这里y 。和，2 分蒲表示对x 和y 施加的脉冲强度，y l 和，2 可以取不同的值，简单起见 可取n = y 2 = ，。也可以达到控制效果。 对”维离散系统，可以以此类推原则上有”个脉冲强度，分别控制系统各变量 适当的调整a n 和y 亦能实现混沌控制。 3 2 混沌控制的化学系统简介 最初的b 2 反应足指在铈离子的催化卜，丙二酸被溴酸盐氧化而呈现化学组分的浓度 随时间振荡的反应。但随后人们逐渐发现，其它有机酸的演化物反应也存在时间振荡现， 催化剂也不仅限于铈离子、锰离子、铁离子等同样可以作为b z 反应的催化剂，甚至体系 不存在有机物时同样得到了振荡现象。更为重要的是，随着bz 反应的不断深入研究， 发现b z 反应不仅呈现时间振荡现象，而且还可以呈现双稳态、空间有序、混沌等多种 耗散结构。f i e l de ta i 阐明了b z 反应的机理，其包括2 0 多种离子，但主要取决于几种 离子，因此有可能把包含诸如丙二酸的氧化产物、不活泼的有机产物、澳化甲烷等9 种 中间的过渡离子的反应描述成一个简化模型。在反应中溴酸盐和铈离子的浓度假定是不变 的，计算中只考虑铈的输入流，这个模型在定性上充分的呈现出b z 反应的主要特征。 这个模型如下 b r o j + 8 r 斗2 h m r o l + h o b r ( r i ) h b r 0 2 + b r 一+ h + j 2 h o b r ( r 2 ) h o b r 十口r 一+ h + b r 2 + h ) 0 ( r 3 ) 肼四+ h b r 0 2 + h + h2 b r 0 2 + 爿2 d ( r 4 ) 2 h b r 0 2 斗研一0 i + h o b r + h + ( r 5 ) 西。+ o + 斗t l b r o + c e 4 t ( r 6 ) h o b r 十m a - - 9 b r m a + h 2 0 ( r 7 ) b r m a + c e 4 + 斗b r 一+ r + c e + h +( r 8 ) r + c 台 c 0 3 + + 尸 ( r 9 ) 反应r 卜r 9 可以表达成有7 个常差分方程的一个体系，通过计算机的数值模拟，可 以产生类似于试验观察到的分岔图，这个可以简化成7 变量的模型表明混沌确实发生在不 同的周期态转变的邻域内。通过模拟和试验获得的所有的研究过的吸引子都可以镶嵌在三 维空间中。b z 反应是在开放的连续搅拌的反应槽中进行的。该反应槽连着3 个管：第一 个管中， n a b r 0 3 = 7 5 1 0 。m o l l - 1【h 2 s 0 4 = 1 5 n ； 第二个管中， c h 2 ( c o o h ) 2 】_ 0 15 m o l l - 1【h 2 s 0 4 - 1 5 n ； 第三个管中， c e 2 ( s 0 4 ) 3 卜5 1 0 。m o l l ，( 日2 s 0 4 1 = 】5 n ，通过蠕动的泵，使三个流量保持基本一 致，反应器中的流速率起着控制参数的作j 1 j ，在这种情况下其被固定在0 1 3 0 m l m n 一。通 过测量溶液的吸收来监测动力学系统搅拌速率是6 0 0 r p m ，同时温度围定在4 1 。c ，依 赖于时间的 c e w 被记承下来。采川微商坐标，因为嵌入维也= 3 ，所以对于b z 反应的 全局重建模型可写为 1 9 d x 一= v t i t , i v o = d t _ d z ：t ( z ，y ，z ) ：i t 其中动力学变量是连续微分的，即 x = ，( ，) = i c e 4 + ( 纠 d j “) ：= _ - 础 a m o d oe ta 1 1 2 9 1 已经研究了蕴藏在b z 反麻中f i 勺突变为混沌的分岔，他们证实这种分 岔是次h o p f 分岔，在控制参数的试验方法的极限内，次h o p f 分岔确实是位于同宿分岔 的近邻，在相空间中可以观察剑螺旋行为。不是用复杂的原始的化学图解来简化模型，他 f j 在研究b z 反应三重不稳定的简正模时得到3 d 模型 疵 i y 坐：z ( 7 ) d t 李- - - r z - v y - t - ”2 一协2 一k 3 x y - k 4 x z - k 5 x 2 z i v 一。2 y 一 5 ” 其中控制参数如下 k 1 = - 1 ，k 2 = ! 4 2 5 ，女3 = 0 ，女4 = 一0 2 ，女5 = 0 0 1 此体系解释了h 叩f 分岔和同宿分岔的相互作用，( 7 ) 式有两个定点 r = | 蚤 和 f 0 = 兰 1 o 0 通过线性稳定性分析，当= 1 3 8 ，口= 1 2 时，通过计算可以得知，此体系的最大李 雅普诺夫指数大于零，因此可以断定此b z 反应系统将出现奇怿吸引子，变量x 、y 、z 的 三维相图如图1 1 所示 入? 。沁、。 v 加5 图1 i ：( x ，弘z ) 的三维相i 芏l 从三维图可以看出轨道内含有无穷多的周期轨道，这些轨道稠密的分布在混沌吸引子 的各个角落，由于这些周期轨道都是原有混沌系统的解的轨道，如果系统初始处于这些轨 道上，那么系统将永远保持在这些轨道上，但由于所有这些轨道都是不稳定的，初始在任 何周期轨道附近运动的系统都会远离这些轨道，而永远不会运动剑这些轨道上。由于无穷 多周期轨道遍布于混沌吸引子上，可以在吸引子的任何部位选择任一合适于条件和实际要 求的轨道，在控制目标的选择上具有极大的灵活性。 同时也给出了x 、y 二维相图及其功率谱： 图1 2 ：( x ，y ) 二维相图 功率谱 从图1 3 功率谱中可以看出，由于存在着谱的连续带，而不是具有明显的分立谱。所 以此时系统是不稳定的，即混沌的。因此可以建立一个简单的开关系统用微小的信号指挥 系统在这一无穷的周期态库中进行任意转换，使系统状态的转换及时地适应实际任务的需 要，在周期态中，这需要消耗足够大的能量才能实现态的转变。 2 l ql叫l叫lqi刮i赳 ” ； ： ， o 附 3 3 控制原理及具体方法 鉴于g u e m e z 及m a t i a s 提出的正比于系统变量的脉冲反馈控制法，本文提出一种 新的混沌控制方法，即正比于系统变昂变化率的脉冲反馈控制法，把反馈量加到整个混沌 系统上，对系统变量的变化率进行反馈控制，即给变量的变化率种扰动，从而可以产生 新的动力学行为其中包括一些根据实际需要的稳定的周期态，进而消除系统呈现出来的 混沌。这种方法适用于有些系统无法找到合适的参数进行时间微扰反馈，有些系统不易找 到对变量进行反馈控制，但容易做到对变量的变化率进行反馈，此种方法能够将系统控制 的很好并且比正比于系统变量的脉冲反馈控制方法更好的优点。这种混沌控制目标属于 第二种控制目标，即通过对系统的控制获得所需要的动力学行为。 其具体的控制算法如下，从，时刻代开始，每隔出时间，把正比于系统变量变化率的 如f 形式 鲁= 等c ，训 反馈到混沌系统中去，它有两个控制参数，一是脉冲问隔f ，二是反馈系数y ，即脉冲 强度，其可以取正值或也可以取负值，适当的选择a 和，可以将3 d 模型控制到任意的周 期轨道，考虑到具体的非线性方程 象叫1 ) 罟( 1 十埔一 一，2 ，3 _ - ( 8 ) d-z=(j，y，z)(1+y34，止，)dt ， 其中f ( x ，y ，= ) = 一r l z w 一肛一k l z 2 一k 2 y 2 一七3 x y k 4 船一七5 x 2 = ， 当用计算机进行模拟时，上式可表示为 x ( n + 1 ) = x ( n ) + y ( n ) d t ( 1 + ，l 瓦，) y ( n + 1 ) = “) + z ( n ) d t ( 1 + y 2 占) j = 1 , 2 ，3 z ( n + 1 ) = z ( ”) + f ( x ，y ，z ) d t o + ，3 j w ) 其中d t = o o l 为步长，适当的选取 和y ，可以把系统稳定到不同的周期轨道。 3 4 计算机数值模拟结果与讨论 当加入脉冲时，不同的参数取值，得到不同的周期轨道，例如图】4 ，1 5 所示 y r 1 0 圈1 4 ：( x y ) 的相闺及其功率潜 p ( w ) 5 0 w 1 0 0 y ) 的相图及其功率谱 图1 4 和图1 5 分别对应参数取值t i = 0 0 i ，y 2 = o 5 2 ，r 3 = o 0 3 - a n = 2 ； k l = 0 2 ；y l = 0 2 。y 2 = 0 6 4 ，儿= 0 0 2 ， = 4 ，从具有明显分立的功率谱峰值可以看 出此时系统确实被稳定到了周期轨道，改变参数值，系统将呈现j u 丰富的动力学行为。 当n ，y 2 ，t 3 取某些值，并且不变时，a n 的取值逐渐增加，且固定在这些值，系 统将出现倍周期分岔现象，如图1 6 1 7 所示 图j 6 ：( x ，y ) 的相闺 o 0 5 o 5 y 画 图1 7 ：( x ，y ) 的相圈 此时，i = 0 4 ，2 = 0 6 4 ，儿= 0 0 2 ，四个相圈分别对麻a n = 3 ，a n = 1 0 ，a n = 1 4 h ：1 6 ，系统依次从稳定周期l 尸一2 j p _ 22 p 斗2 3 p 斗最后进入混沌状态。 当固定n ，控制强度取不同值时，系统将被稳定在2 ”3 ( ，m 为整数) 周期轨道 数值模拟结果如图1 8 所示 o2 图1 8 ：( x ，y ) 的胡图 图1 8 的4 个相幽分别对应控制强度i p ：，l = 0 ，3 ，厂2 = 07 0 2 ，y 3 = o 2 0 2 ；2 p ：y l = 0 2 ，2 = o7 0 2 ，3 = 02 ；3 p ：- i = o 0 4 ，2 = o 7 2 ，y 3 = 0 2 ；6 p ：，t = 0 0 4 ，y 2 = o 6 8 ，3 = 0 2 。 如果”取值为3 或者4 等其它数值时，调节控制强度，亦会! n 现类似的现象。只要使得 在控制相的收敛足以抵消或抑制非控制相的发散，适当的选择参数，就可以实现由( 8 ) 2 4 6 4 2 0 4 y 式所决定的系统趋于预期的周期，正的l y a p u n o v 指数是非线性系统具有混沌的本质特征， 按照( 8 ) 式之所以能够得到预期的目标是由于引入了脉冲反馈后，其最大l y a p u n o v 指数由 正值变成了负值，非线性系统由混沌态转变为周期或拟周期态。 当取某些特定参数值时，也可以将此混沌系统稳定到某些固定值，如图1 9 和图2 0 所示 图1 9 ：y o 曲线幽 图1 9 分另町对应的参数值为n = 0 6 ，2 = 0 9 ，儿= 0 0 4 ，a n = 2 ：n = 0 9 ， y 2 = 0 9 5 ，儿= 0 0 8 ，a n = 4 ，根据实际的需要可以选择适当的参数。判断混沌与否的 重要依据时l y a p u n o v 指数，根据计算得出此时系统的三个l y a p u n o v 指数均小于0 ，可以 断定混沌系统确实被稳定在了定点。 当不加脉冲，取n = 0 0 3 4 ，2 = 0 4 ，3 = 0 0 2 ，a n = 1 时，系统被稳定在1 尸计 算机模拟如图2 0 所示 6 y 4 2 o 2 - 4 o 从功率谱图看出 取为y 。= 0 0 4 ， 5 p f w ) 4 3 2 1 。 w1 0 0 系统的参数 2 5 p ( w p j 【m 05 0 0 0 w 1 5 0 图2 1 ：( x ，y ) 相图及其功翠谐 系统被稳定在4 p 轨道。不加脉冲时，实质上是进行的连续反馈控制，无控制的系统必须 存在混沌奇怪吸引子，只有这样才能提供欲加以控制的无穷多的周期轨道或非周期轨道， 嵌套技术( 或嵌套定理) 已经i i e d ) 1 ：利用延迟坐标哟标准力 珐，可i = 卑孰奇 舞驳引子内大量 的不同周期的不稳定轨道中提取一个变量变化率的标量信号，即可以从实验测得的时间延 迟的时间序列数据中确定各种不同的周期信号，它们相应于不同的不稳定周期态，有了实 进行验数据的分析后，再把欲控制的变量变化率与反馈来的变化率进行适当的匹配，通过 调节耦合强度，则可以达到控制目的。 第四章 总结 本文主要评述了物理学的新的分支之一非线性物理一混沌动力学及控制原理，在对变 量脉冲反馈混沌控制的方法的基础上，提出了对变量的变化率进行脉冲反馈控制的基本算 法，其结果通过计算机数值模拟显示了对选择的3 d 模型的化学系统混沌控制的有效性， 说明此方法是可行的、方便的。 在实际的应用中，可以具体问题具体分析，要实现多维系统混沌的连续反馈控制必须 用一个以上的变量反馈才是有效的，并且要从不同周期稳定控制所能达到的l y a p u n o v 指 数的稳定范围内，去寻找有效的控制。从数值模拟实验中，可以看到此方法具有稳定性好， 控制时方便灵活等优点，即可以根据实际的需要和所研究的系统的性质调节系统的参数特 别多；又由于是脉冲反馈控制避免了不能实行连续反馈控制的系统进行有效的控制；此 外这种方法也具有控制快的优点。 本文提出的方法适用的系统是能够对系统的变化率进行线性反馈的系统，特别是一些 化学，生物等非线性系统。希望我们得到的这些完全符合物理规律的理论结果能对实验工 作者和相关领域的研究提供有益的参考和借鉴。 致谢 我忠心的感谢我的导师吕翎教授，还有物理系的全体教师，是他们在我的学习过程中， 给予了无私的帮助，特别是吕翎教授，本文是在她的亲手指导下完成的，从论文的选题到 具体的计算过程都倾注了导师的心血和汗水。回顾在攻读硕士学位的日子里导师不仅给 我学术上的指导，还给了我做人上的示范，使我受益非浅。同时还要感谢曹海静，在论文 的工作中给我了很多有意义的建议。另外还要感谢所有关心和帮助过我的同学。 本文的工作是在吕翎教授主持的国家自然科学基金项目( 批准号：1 0 1 7 5 0 3 2 ) 以及辽 宁省教育厅自然科学基金项目( 批准号：9 9 0 3 1 1 0 1 2 ) 的资助下完成的。 参考文献 川a h u b l e r , h e l v p h y s a c t a ，6 2 ，( 1 9 8 9 ) 3 4 3 2 】e o t t ，c g r e b o g ia n dj a y o r k e ，p h y s r e i 。e 1 1 ，6 4 ，( 1 9 9 0 ) 1 1 9 6 3 】l m p e c o r a a n d t l c a r r o l l ，p h y s r e e l e r ，6 4 ，( 1 9 9 0 ) 8 2 1 【4 】w l d i t t o ，s n r r a u s c oa n dm 上s p a n o ，p h y s r c v l e l l ，6 5 ，( 1 9 9 0 ) 3 2 l l 【5 】r r o y , t w m u r p h y , t d m a i e r , z g i l l sa n de r h u n t ，p h y s r e v l e l l ，6 8 ，( 1 9 9 2 ) 1 2 5 9 【6 】s r a j a s e k a ra n dm l a k s h m a n a n ，i n t jb i f u r c a t i o na n dc