（基础数学专业论文）具有黏性阻尼的拟线性波动方程的初边值问题.pdf

具有黏性阻尼的拟线性波动方程的初边值问题 摘要 本文研究如下的初边值问题 位一盯( 他z ) z u 船t + 占i t i p 一1 让t = 卢l 札1 9 1 u ， z q ，t o u ( 0 ，t ) = 0 ，u ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， “( 茁，o ) = 妒( 。) ，u t ( z ，o ) = 妒( 口) ， 。豆， ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 其中，d o ，卢 o ，p l ，q 1 为常数，盯( s ) 为给定的非线性函数，妒( 茁) 和 妒( z ) 为给定的初值函数，n = ( o ，1 ) ，下标z 和t 分别表示对z 和t 求偏导数 方程( 1 ) 是一类非线性波动方程，它描述由变率类型材料构成的黏弹性固体的 运动它也可以作为场方程来描述弹塑性杆的纵向运动的y o t 模型 本文分四章：第一章为引言；第二章研究一类具有黏性阻尼的拟线性波动 方程的初边值问题的局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性；第三章建 立一个新的常微分不等式；第四章利用第三章建立的常微分不等式研究问题 ( 1 ) 一( 3 ) 解的爆破，并给出了一个例子主要结果如下： 定理1 假定 ( 1 ) 盯g ”( 兄) ，l 仃( s ) l i s l ”， 盯( s ) i 兰k | s l ”一1 等，其中v 2 ； ( 2 ) 妒h m ( q ) ，妒丑。m 一1 ( q ) 若4 m m i n p + 1 ，口+ l ( 如果m 是奇数，m m i n 切+ 2 ，口+ 2 ) ) ，特别 地，当p = 1 时，4 m 墨口+ 1 ( 如果m 是奇数，m q + 2 ) ，则初边值问题 ( 1 ) 一( 3 ) 存在局部广义解让( 。，t ) ，它满足等式 上1 厶 “一盯( 珏。k 一“删+ d t r l 毗一卢i 让r 1 钍) ( 。，t ) 出出= o ， v 驴( q 。) ，( 4 ) 而且初边值条件在古典意义下成立，其中q 。= q ( o ，t ，) ，解有连续导数 u 。( 戤t ) ( o 曼s m 一2 ) ，。s t 0 ，t ) ( o 茎ssm 一4 ) 和广义导数u 。，t ) ( o 曼 s m ) ，让。，t ( ，t ) ( o s 仃；一1 ) 和托 ，t ) ( o 茎s 茎m 一3 ) 若5 m m i n 扫+ 2 ，g + 2 ) ，则问题( 1 ) 一( 3 ) 的广义解是唯一的 若6 m m i n p + 1 ，g + 1 ) ，则问题( 1 ) 一( 3 ) 有唯一的局部古典解让( 卫，t ) ，而且 解有连续导数札。( 。，t ) ( o s m 一2 ) ，( 。，t ) ( o 茎s m 一4 ) ，u 州t ( o s m 一6 ) 和广义导数u 一( 茹，t ) ( o s m ) ，趾删( 茁，t ) ( o s m 一1 ) ，蚴村( z ，t ) ( o s m 一3 ) ，蚰p ( z ，t ) ( o s m 一5 ) 定理2 设一正的可导函数m ( t ) 满足不等式 i ；f ( t ) + m ( t ) 优孚( m ( t ) ) 字，t t 1 o ，( 5 ) 和 彳( t ) 一f 铲+ m ( o ) t + f ( o ) ， t t l o ， ( 6 ) 其中m ( o ) ，面( o ) r l g o 均为常数，且f 一西南 占 1 ； ( 2 ) 口( s ) g 1 ( r ) ，s 盯( s ) k 上8 盯( 可) 由，z 5 盯( f ) 咖一a l s l 7 + 1 ，其中k 2 ， q o 和7 1 均为常数； ( 3 ) 妒哪( q ) n 三。+ 1 ( q ) ，妒掰( n ) 及 即) + 晶 掣 一南( 铲一 志】者 具甲 即) 刮圳2 一等# ；+ z 上“巾油出， 扯压= ( _ 2 ) 口罴p 贝4 问题( 1 ) 一( 3 ) 的广义解u ( z ，t ) 或古典解u ( z ，t ) 在有限时刻于爆破，即当。于 时， | l 让( ，t ) 0 2 + z 。五i 让。( 。，r ) 1 2 如打+ 上。z 7 上l u 。( z ，s ) 1 2 如d s d 下_ 。 定理4 假定如f 条件成立： ( 1 ) 1 p 毛； ( 2 ) 盯( s ) g 1 ( r ) ，s 盯( s ) 上盯( ”) 咖，上盯( 剪) 由一。i s r l ，其中 2 ，j jj u o o 和7 1 均为常数； ( 3 ) 妒硎( n ) n l g + 1 ( q ) ，妒硪( n ) 及 即) + 拍“一 南一 其中 即) 刮训2 一等# i + 2 五巾) 批， d = 粼，n = 字( 等卮 蚓血掣型 南“= 压_ ( 耳_ 2 ) 。鬟一 则问题( 1 ) 一( 3 ) 的广义解u ( z ，t ) 或古典解( 岱，t ) 在有限时刻于爆破，即当t _ 于 时， l l 钍( ，t ) 1 1 2 + 上。五l 让m ( 写，丁) 1 2 如打+ z 。z 7 二i 让。( 。，s ) 1 2 如d 8 d r _ o 。 关键词：具有黏性阻尼的拟线性波动方程；初边值问题；局部解；解的 爆破 u 1 t h ei n i t i a lb o u n d a r yv - a l u ep r o b l e mf o rq u a s i l i n e a r 饧v ee q u a t i o nw i t hv i s c o u sd a m p i n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ef 0 1 l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： “托一盯( 让。) 一“。t + 占l i p1 钍t = p l 札1 9 1 ， z q ，t o ， ( 1 ) 乱( o ，t ) = o ，钍( 1 ，t ) = o ， t o ， ( 2 ) ( 。，o ) = 妒( 。) ，u t ( z ，o ) = 妒( z ) ， 。丽， ( 3 ) w h e r ej o ，肛 o ，p 1 ，口 la r ec o n s t a n t s ，盯( s ) i sag i v e nn o n l i n e a rf h n c t i o n ，妒( 。) a n d 砂( 茹) a r eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s ，( o ，1 ) = qa n ds u b s c r i p t 8 。a n dti n d i c a t et h e p a r t i a ld e r i v a t i v e 丽t hr e s p e c tt o 口a n dtr e s p e c t i v e l y e q u a t i o n so ft y p eo f ( 1 ) 壮eac l a s so f n o n l i n e a re v 0 1 u t i o ne q u a t i o n sg o v e r n i n gt h em o t i o no fav i s c o e l a s t i cs 0 1 i dc o m p o s e do ft h e m a t e r i a lo ft h er a t et y p e i tc a na l s ob es e e na sf i e l de q u a t i o ng o v e r n i n gt h el o n g i t u d i n a l m o t i o no fav i s c o e l a s t i cb a ro b e y i n gt h en o n l i n e a rv o i 昏m o d e l t 恤p 印e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c 甜g e n e r a l i z e ds o l u t i o n a n dt h e1 0 c a lc l a s 8 i c a ls o l u t i o nf o rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h eq u a s i - 1 i n e a r w a v ee q u a t i o nw l t hv l s c o u sd a m p i n g i nt 1 1 et h i r dc h a p t e r ，w ew i e s t a b n s han e wo r d i n a r y d i f r e r e n t i a li n e ( 1 u a l i t y i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，丑r s t ，w ew i l la p p l yt h ei n e q u a l i t ye s t a b l i s h e d i nt h et h i r dc h a p t e rt og i v et h es u m c i e n tc o n d i t i o n so fb l o 哺r u po ft h es o l u t i o nf b rt h e o b l 呦【1 ) 一( 3 ) ，t h e nw eg i v ea ne x a m p l e t h em 缸nr e s u l t sa t e 让ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a t ( 1 ) 盯g ”( 兄) ，i 仃( s ) i 兰k l s f ”，i 盯( s ) | k i s l ”一1e t c ( 2 ) 妒日m ( n ) a n d 妒日。m 一1 ( n ) w h e r ep 2 i f4 m m i n p + 1 ，q + 1 ) ( i f mi sa no d dn u m b e r ，t h e nm m i n p + 2 ，q + 2 ) ) ， s p e c m c a l ly 14 曼m g + 1 ( i fm i sa no d dn u l b e r ，t h e nmsg + 2 ) a sp = 1 ，t h e n 恤e l v p r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) a d m i t sal o c a lg e n e r a l i z e ds 0 1 u t i o n “( z ，t ) w h i c hs a t i s 矗e st h ef o n o w i n g i d e n t i t y z “五 u t t 一盯( 。) 。一u 。+ 6 | u 。f 一一l 。一卢川。一1 让) 九( 。，t ) 如疵= 。 v l 2 ( q t 。)( 4 ) a n dt h ei n i t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si nc l a s s i c a ls e n s e ，w h e r eq 。= q ( 0 ，t 1 ) t h es 0 1 u t i o n h a s t h ec o n t i n u o u sd e r i 、r a t i v e s “$ s ，) ( os s m 一2 ) ，u 。s ( 茹，t ) ( o s m 一4 ) a n dt h e g e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s 仳驴( z ，) ( o s m ) ，钍。s t ( z ，t ) ( o s r n 1 ) ，珏。s t t ( 。，t ) ( o s m 一3 ) i f5 m m i n p + 2 ，g + 2 ) ，t h e nt h es o l u t i o no f t h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) i s u n i q u e i f6 m m i n p + 1 ，q + 1 ，t h e nt h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) a d m i t sau n i q u e1 0 c a l c l a s s i c a ls o l u t i o n 札如，t ) a n dt h es o l u t i o nh a 3t h ec o n t i n u o u sd e r i v a t i v e s 珏妒 ，t ) ( 0 曼s m 一2 ) ，u z 。t ( z ，) ( o s m 一4 ) ，让。嗡( o s m 一6 ) a n dt h eg e n e r a l i z e dd e r i 、，a t i v e s u 妒 ，t ) ( oss m ) ，乱扩t ，t ) ( oss m 一1 ) ，。毗( z ，t ) ( o s m 一3 ) a n d u 。s t 3 ( z ，t ) ( o ssm 一5 ) t h e o r e m2 s u p p o s et h a tap o s i t i v ed i 雎r e n t i 曲l ef u n c t i o nm ( t ) s a t i 8 f i e st h ei n e q u a l i t y 必( t ) + m ( t ) g t 警( m ( t ) ) 学， t t l o ， ( 5 ) a 彳( t ) 2 一f t 2 + 必( o ) t + f ( o ) ，t 兰t 1 o ，( 6 ) w h e r e 州0 ) 抽( 0 ) ，r 1 ，d0 a r e c o n s t a n 觚n df 2a n dq j 0，0 0 ，一y 1a r ec o n s t a n t s ； ( 3 ) 妒砥( q ) n 三g + 1 ( n ) ，妒硪( n ) a i l d v w h e r e 即) + 赫 掣一( 涉冬 f ! 南 【a 3 ( 1 一e 一孚) j 即) 刊1 2 一希掰+ 。上广删s 如 忙压刈_ 2 ) 。罴弦 4 上h e nt h eg e n e r a j i z e ds o l u t l o n 珏( 茁，”o rt h ec l a s s l c a ls o l u t l o nu ( z ，”o ft h ep r o b l e m ( 1 ) 一【3 ) b l o w s u pi nf i n i t et i m e 于，i e 1 1 钍( ，) 1 1 2 + z 。二l 钍。( z ，r ) 1 2 如打+ z 。r 二i u 。( 。，s ) 2 d z d s 打。o a s t 叶于一 t h e o r e m4a s u m et h a t ( 1 ) 1 p 南； ，s，s ( 2 ) 盯( s ) g 1 ( r ) ，s 盯( s ) 上。o ) 晚f ，上口b ) d 可一口l s i 什1 ， 2 a n dn o ， ，0，0 ，y 1a r ec o n s t a n t s ： ( 3 ) 妒硪( q ) nl q + 1 ( n ) ，妒硪( f 2 ) a n d w h e r e 即) + 拍d o ( o ，t ) = o ，( 1 ，t ) = o ，t o ， ( z ，o ) = 妒( 。) ，u t ( 。，o ) = 妒( 茁) ， z 孬， ( 1 1 1 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中，d o ， o ，p 1 ，g 1 为常数，盯( s ) 为给定的非线性函数， 妒( 茹) 和咖( 。) 为给定的初值函数，n = ( o ，1 ) ，下标。和分别表示对z 和t 求偏 导数方程( 1 1 ) 是一类非线性波动方程，它描述由变率类型材料构成的黏弹 性固体的运动，见 1 4 】它也可以作为场方程来描述弹塑性杆的纵向运动的 y 删班模型，见【5 】当j = p = o 时，关于方程( 1 1 ) 整体解的存在性和其他一 些性质已经有了许多令人瞩目的工作，见 1 ，2 ，6 ，7 】特别地，在【8 】中，当把项 6 i u 。r ，钍。和弘叫u 分别换成项，( 。) 和口( u ) 时，作者已经证明了初边值问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 整体广义解和整体古典解的存在性和唯一性，即证明了下面的存在 性定理： 定理1 1 假定下面的条件成立： ( 1 ) 仃g 1 ( r ) ，盯( s ) g b 且 盯( s ) l g 1 l s l 1 ，h 矗 盯( s ) l g ( 1 + i s l 。+ 1 ) ， s r ， 其中g 为常数，o o ，和g0 = 1 ，2 ，) 为正常数，特别地，当“= o 时， q 一o ，其中= m i n g ，o ) ( 2 ) ，g ( 兄) 且成立： ( 2 ) 1 ，( s ) s 一g b ( s 2 + 1 ) ，l ，( s ) i q ( 1 + i s l 4 + 1 ) ，s r ，其中o 卢2 ( o + 2 1 ) ； ( 3 ) 9 g ( r ) ， 9 ( s ) l ! c t 5 ( i s l 7 + 1 + 1 ) ，8 r ，其中。茎，y o ， 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 有唯一的广义解 u i y l ，。( o ，丁】；日2 ( n ) n 硪( f 2 ) ) nw ，2 ，o 。( o ，t 】；工2 ( q ) ) n 日2 ( 【o ，t 】；硪( q ) ) ( 托) 若盯g 3 ( r ) ，g 2 ( r ) ，9 e 2 ( 兄) 且l p ，妒日4 ( n ) n 硪( n ) ，贝4 对vt o ，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 有唯一的古典解 u 日3 ( o ，卅；瑶( q ) ) n 日2 ( o ，卅；日3 ( n ) n 砩( n ) ) 但是关于问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解的爆破还没有讨论过 本文在一定的假设条件下，证明问题( 1 1 ) 一( 1 ，3 ) 有唯一的局部广义解和局 部古典解为了进一步研究问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解的爆破，我们首先建立一个新的 常微分不等式( 见定理3 1 ) ，接下来应用这个不等式给出问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解爆 破的充分条件为此，我们首先需要证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 局部解的存在性 本文组织如下：第二章证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 局部广义解和局部古典解的存 在性和唯一性第三章建立一个新的常微分不等式( 定理3 1 ) 第四章用第三 章建立的常微分不等式证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 解的爆破，并给出一个例子 2 第二章问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 局部解的存在性和唯一性 本章用g 毹e r m 方法和紧性原理证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 局部广义解和局部 古典解的存在唯一性 令 玑( z ) ) 是由如下常微分方程特征值问题 可”+ a 可= 0 ， $ q ( o ) = ( 1 ) = o 对应于特征值九( = 1 ，2 ，) 的特征函数构成的工2 ( n ) 空间的一标准正交基， 其中，：导 瞳z 设问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的g o f e r 舰n 近似解为 v u ( z ，t ) = a m ( t ) 鼽( 茁) = 1 其中o ；( t ) 是待定系数，为自然数假设初值函数妒( z ) 和妒( 。) 可表为 妒( 茹) = 胁玑( z ) ， t = 1 妒忙) = 6 玑 ) i = 1 其中矶和6 ( 江1 ，2 ，) 是常数将近似解u ( 石，t ) 代入方程( 1 1 ) ，两边同乘 以玑( g ) 并在( o ，1 ) 上积分，可得如下方程 a 。+ a 。a s = 肛( i 札1 9 1 钍，可5 ) 一占( | u t i p 一1 u t ，g 。) + ( 口( 仳。) 。，玑) ， s = 1 ，2 ，( 2 1 ) 其中a v 。= 爰小) 和( - ，) 为空间三2 ( q ) 的内积 将近似解“( z ，t ) 和初值函数的近似 代入方程( 1 1 ) 和初值条件( 1 3 ) 可得 o 。( o ) = 风，a 。( o ) = 毛，s = 1 ，2 ，( 2 2 ) 3 万 玑& 汹 = z 砂 z 玑p 斟 l | z 妒 1 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 近似解的积分估计 为了证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性，下 面要对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的近似解做一系列的积分估计 引理2 1 假定盯c m ( r ) ，i 盯( s ) i i s h 矿( s ) | k l s r l 等，其中p2 1 ，q 1 ，当m 为奇数时，3 m 茎m i n p + 2 ，q + 2 ) ，当m 为偶数时， 2 墨m 茎m i n 切+ 1 ，口+ 1 ，2 为自然数和k 为正常数若 0 骢e ( o ) = a 2 蚤 ( 1 + 九+ a g + ( 1 + k + a ：+ 挂) 尸；+ 1 o ，噩 o 为不依赖于m 和的常数，卢= 半，字， ， _ i v e o ) = ( 1 + a 。+ a ? 一1 ) 矗备。( t ) + ( 1 + a 。+ a ；+ a ? ) o 斋。o ) ) + 1 5 = l = ( 珏， ) + ( u v $ ，“$ ) + ( u $ 2 ，钍$ 2 ) + ( u 。m ，u 。m ) + ( “t ，u ) + ( 札武，乱毗) + ( u 。m 一1 t ，“。m t t ) + 1 ( 2 5 ) 证明初值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 是关于。 ( t ) ，i = 1 ，2 ，的二阶常微分方 程组，因此，我们可以把问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 等价的转化为2 维一阶常微分方程 组由于非线性项是光滑的，则问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在局部解令 o ，码) 为解的 最大存在区间，则容易从下列解的估计看出，野有不依赖于的正下界 方程组( 2 1 ) 两端同乘以2 ( 1 + 九+ a _ ) a 。( t ) ，对5 = 1 ，2 ，求和，两 端都力h 上2 ( 札，u _ v t ) 一( 仳_ 酃，u ) + ( ”。，孔。耐) 一( 一1 ) m 一1 ( u ；。，。z ( m 一- ) t ) ，并关 4 于z 分部积分，得 丢e ( t ) + 2 ( 怖耐n 幽肌怕圳2 ) = 2 ( 肛l 1 9 1 “一6 i 钍t i p 一1 + 盯( 仳 ) ，钍一趾$ 2 t + ( 一1 ) m 一1 u $ 2 ( m 一1 ) t ) + 2 ( 钍，u t ) 一( _ v 。，u t ) + ( u 。，札。t ) 一( 一1 ) 一1 ( u 。，让。t ( m 一，) t ) 】( 2 6 ) 这里及以后，”i i ，( 1 p 。) 和i i 胛分别表示空间口( i 2 ) 和日”( n ) 的范 数，特别”i i = i z 利用g 叼如。r d 0 一i r e n 6 e 叼内插定理 9 和( 2 5 ) ，有 i u i i * ，f ( n ) s 伉i i 钍 1 日m g ( b 0 ) ) ， ( 2 7 ) i | _ v t | | w 二f ( n ) s 研l i u t | l n g ( 蜘( 孵， ( 2 8 ) 其中o 而m 一1 ，o 衔m 一2 ，2 p 。，j i 郦( n ) 和”l | = ，f ( n ) 分别表 示s d 捌e 空间w 研( q ) 和w 而- ( q ) 的范数，正常数g g 不依赖于和t 利用日扰d e r 不等式，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 和引理的假定条件，导出 1 2 ( 肛i 钍1 2 1 让，u t 一钍_ $ 2 t ) l 2 p i i 钍_ l i 勤| i 缸t | | + 口i i 让i l 葑1j | u 。l i h 耐】 g ( 凤( t ) ) 字； l 一2 ( 6 i u t j p 一1 “t ，钍t 一钍$ 2 t ) l 2 d | i t i l 乞0 “t | | + p i i 仳t i i 笛1l l u 。t | | 2 】 茎g l o ( 巩( t ) ) 学； 1 2 ( 盯( u 。) 。，让t 一。) l = 卜2 上 盯( 。) 脚+ 一( 钍z ) 札m “舭t 蚓 s 2 k 川牡。l l 知i i 让 疵| | + | | 钍。i i 等1 i l 。z | | l i u 。t 曼a l ( e ( t ) ) ”+ l i “。t i l 2 + i i 。e t 0 2 5 ( 2 9 ) ( 2 1 1 ) 通过直接计算得 盯( 钍。) 一一，| | sq 2 l i u 0 备m ， ( 1 u l 。一1 u ) 。m l isg | i 3 l i 钍| 1 备m ， ( 1 u | p 一1 钍t ) 。m 一，| | a 4 i l u t i l 备m 一。 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中g ，。一g - 4 为不依赖于的常数应用( 2 5 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 并注意到f 面的条 件成立 嘉也一昙忡蒯k t = o 】 知u 外。1 u 拈。= 知札胛。酬。锄 知钍扩1 钍蒯删= 知蚶。1 酬删_ 0 ) 其中，当m 3 为奇数时，l = o ，2 ，4 ，( 仇一3 ) ，当m 2 为偶数时， z ：o ，2 ，4 ，一，f m 一2 ) 再由( 2 1 2 ) 一( 2 1 4 ) ，有 1 2 ( 口( “。) 。，( 一1 ) ”一1 珏。z ( m 一) ) i = 1 2 ( 一1 ) 2 3 厶盯( ) 一u t 如i a 5 | l t i | 备。| i 钍。m t | i 口6 ( e _ ( ) ) ”+ l l 札_ 。m t i l 2 ； 1 2 ( 卢l 乱1 4 1 “，( 一1 ) m 一1 札。2 ( m 1 ) ) i = 1 2 p ( 1 1 9 1 ) 。m 一，让_ v 。m t t d 。l a ，i i u i i 备。一，j l u 。一。| | g 8 ( 2 0 ) ) 半； l 一2 ( 巧i “t i p 一1 u t ，( 一1 ) m 一1 u j v $ 2 ( m 一1 ) t ) i = | _ 2 6 厶( i u t p 钍t ) 扩，“彬- 1 t 如i 茎c 。l i u 。 l 备。一。l i u 。一，。l lsc t 2 0 ( e ( t ) ) 警， 其中g 。一q 。为不依赖于的常数 6 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 应用( 2 5 ) 可见 1 2 ( 一。，u t ) + ( 钍。，u _ $ 科) 一( 一1 ) m 一1 ( 札一，钍。2 ( m 1 ) t ) 1 i 2 ( | | “| | i l “- t | | + i l 钍t i 科| | + f l “。0 i l 。t | j + | | u 。m l 钍。m t l i ) c j l 石k ( t ) + i l u 武1 1 2 + i l 。t i l 2 + j | ”。m t i l 2 ( 2 1 8 ) 把( 2 9 ) 一( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 代入( 2 6 ) ，并取p = m a x 孚，孚，v ，1 ) ， 推出 墨蜘( f ) 剐蜘) 4 ， ( 2 1 9 ) 其中硒 o 为一个不依赖于的常数 对v ( o ，玮) ，由( 2 1 9 ) 推得 蜘( 邪f f 意赫f f 舞 ( 2 。) 如果选取t 。使之满足 b l 一一1 ) 甄a p 一1 t 1 0 ， 其中o b 1 ，则( 2 4 ) 在【o ，t ，】上成立由上面的式子导出 万习瓦而 。t 。为一个常数上式表明码有正的下界引理证毕 从引理2 1 容易得出下面的引理 引理2 2 在引理2 1 的条件下，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的近似解札( z ，t ) 满足估 计 l f u | | h m + f | 让日m ，墨c 扬， t 【o ，t l 】，( 2 2 2 ) 其中g 。为一个不依赖于的常数 引理2 3 在引理2 1 和m 5 的条件下，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的近似解“( 。，t ) 有如下估计 | | 扎托| j 日m 一3 + i f u v t s | | h m s 岛3 ，t i o ，t 1 ，( 2 2 3 ) 其中常数岛a 不依赖于 证明( 2 1 ) 两端同乘以( 1 + 岬一3 ) a _ 。( t ) ，再对s = 1 ，2 ，求和可得 i 钍_ 摊1 1 2 + | l “_ v $ m 一3 t t i l 2 = ( u 托，乱。矾) + ( u 。m l t ，u 。m 一3 “) + ( 肛| “_ 1 4 1 “一d l 钍t i p 一1 t + 仃( u _ 。) 。，u 仕+ ( 一1 ) 仍一3 仳。2 ( m 一3 ) 扰) ( 2 2 4 ) 应用日刮d e r 不等式，g o u c b 不等式，( 2 1 2 ) 一( 2 1 4 ) 和( 2 2 2 ) ，从( 2 2 4 ) 可断定 g 4 ( 0 钍黜t i l 2 + i l “。m 一1 t i l 2 + l 。一1 u i | 2 + | | u t l p 一1 u t i | 2 岛4 ， t 【o ，t 1 】( 2 2 5 ) 其中国。是不依赖于的常数 ( 2 1 ) 对t 求导，然后两边同乘以( 1 十a ? “) d 。( z ) ，并对s = 1 ，2 ，求和 有 i l u t 3 | | + l i u 。m s t 。| 1 2 = ( “。2 “，钍p + ( 一1 ) m 一5 一一5 ) 3 ) + ( p g l 钍1 9 1 乱t 一勋l “t l p 一1 让托+ 盯( u _ 。) 。t ，u t 8 + ( 一1 ) m 一5 “? v 。2 忡一5 ) 庐) ，( 2 2 6 ) 应用日j f 如r 不等式，g o 让如鲈不等式，( 2 2 2 ) 和( 2 2 5 ) ，由( 2 2 6 ) 得出 l i u f 。| 1 2 + i i 珏。m s 亡3 | | 2 ( 乃5 ( i l 钍 r 。t 。i | 2 + i l 珏。m 一毗1 1 2 + u v 1 4 1 u t i l 2 + 0 l u t i p 一1 趾t t l l 2 + i l 仃( u 。) 武1 1 2 + 0 ( 1 u j 9 1 t ) 。m s l l 2 + | | ( i 珏_ i p 一1 钍壮) 。m s i l 2 + l | 盯( “。) 。m t t 2 ) q 5 ， t 【o ，t 1 ( 2 2 7 ) 综合( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 可知，( 2 2 3 ) 成立引理证毕 8 2 问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 局部解的存在性与唯一性 定理2 1 假定 ( 1 ) 仃g ”( r ) ，l 盯( s ) j k h ”，| 口，( s ) l i s r l 等，其中v 2 ； ( 2 ) 妒日m ( q ) ，妒日仇一1 ( q ) 若4 m m i n p + 1 ，g + 1 ( 如果m 是奇数，m m i n 切+ 2 ，q + 2 ) ) ，特别 地，当p = 1 时，4 ms 口+ 1 ( 如果m 是奇数，m q + 2 ) ，则初边值问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在局部广义解u ( 。，t ) ，它满足等式 z “五一仃( 吐。) 。一u 一十d 坩一1 u t p l “p 牡) 愚( 。，t ) 如出= o ， v r ( q t 。) ，( 2 2 8 ) 而且初边值条件在古典意义下成立，其中q t ，= q ( o ，t t ) ，解有连续导数 “( g ，) ( o s m 一2 ) ，钍( z ，t ) ( oss m 一4 ) 和广义导数 。( 。，t ) ( o 8 m ) ，趾。t ( z ，t ) ( o s 茎m 一1 ) 和牡驴拈( 茁，t ) ( o s m 一3 ) 若5 仃 m i n p + 2 ，q + 2 ) ，则问题( 1 ，1 ) 一( 1 3 ) 的广义解是唯一的 若6 m m i n 切+ 1 ，口+ l ，则问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 有唯_ 二的局部古典解仳( 。， 而且解有连续导数札一( 茹，) ( o ssm 一2 ) ，。( 。，) ( o s m 一4 ) ，让。( o s m 一6 ) 和广义导数“妒( z ，t ) ( o s5m ) ，珏“( 石，t ) ( o s m 一1 ) ，蛐“( 口，t ) ( o s m 一3 ) ，。t 。( 。，t ) ( o s s m 一5 ) 证明由( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 可知，当m = 4 时，应用s o 捌e 嵌入定理【1 0 】得 i f u _ i i c s ，1 ( 再) + f t i i 。2 ，1 ( ) + l l 札行i i 。o 1 ( 瓦) q 6 ， t o ，t 1 ，( 2 2 9 ) 1 其中o o 其中m ( 0 ) 】廊( 0 ) jr 1 ，g 。均为常数，且f 一