（应用数学专业论文）带跳非局部随机kuramotosivashinsky方程解的长时间行为.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务：( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：至堑墓 2 01 0 年5 月2 7 日 论文题目 带跳非局部随机k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程解的长时间行为 姓名王冠英学号 21 2 0 0 7 0 0 5 6 答辩日期 2 0 1 0 0 5 2 7 论文类别博士口学历硕士硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所数学科学学院专 业 应用数学 联系电话 i3 9 2 0 2 9 5 8 8 2e m a i l w a n g g u a n y i n g n k y a h o o c o m c n 通讯地址( 邮编) ：南开大学西区公寓3 号楼3 门5 0 4 室( 3 0 0 0 7 1 ) 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 吣4呲0 93mmmi洲8 1洲y 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 三堑苤2 0 1 0 年5 月2 7 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月 日 审批表编号批准日期2 0年月日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密l o 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 摘要 本论文我们考虑一类由补偿泊松随机测度驱动的非局部k u m m o m - s i v a s h i n s k y 方程的解的长时间行为，并研究其解的指数稳定性最后，我们给 出两个例子说明得出的结论 关键词：非局部k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程；泊松随机测度；s o b o l e v 空间；无 穷维随机微分方程；指数稳定性 a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rac l a s s o fn o n l o c a ls t o c h a s t i ck u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n sd r i v e nb yc o m p e n s a t e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e s w ei n 。 v e s t i g a t et h el a r g et i m eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n a tt h ee n d ，t w oe x a m p l e sa r e g i v e nt oi l l u s t r a t et h em a i nt h e o r e m k e y w o r d s ：n o n l o c a lk u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ；p o i s s o nr a n d o mm e a s u r e ； s o b o l e vs p a c e s ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s ；e x 。 p o n e n t i a l l ys t a b l e c o n t e n t s 摘 a b s t r a c t i i i c o n t e n t s i i i 1i n t r o d u c t i o n 2p r e l i m i n a r i e s 2 1p o i s s o nr a n d o mm e a s u r e s 2 2s o b o l e vs p a c e s 2 3s t o c h a s t i ce q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n s 3t h e l a r g et i m eb e h a v i o ro f t h es p d es o l u t i o n 3 1 l a r g et i m eb e h a v i o rf o rn o n l o c a ls t o c h a s t i ck u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o nw i t h j u m p s 3 2 e x a m p l e s b i b l i o g r a p h y 致谢 个人简历 i i i 1 3 3 4 8 0 o o 2 5 6 1 1 2 2 2 2 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n s t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n sa r eg e n e r a l i z a t i o n so fs t o c h a s t i co r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i rt h e o r yc o m eb o t hf r o mm a t h e m a t i c sa n d t h en a t u r a ls c i e n c e s ：p h y s i c s ，c h e m i s t r ya n db i o l o g y ( s e e ，e g ，【2 ，1 3 ，1 4 ，1 6 ，1 9 ，2 7 】) t h e s ee q u a t i o n sa r eg e n e r a l i z a t i o n so fi t 6s t o c h a s t i ce q u a t i o n si n t r o d u c e di nt h e19 4 0 s b yi t 6 2 5 】a n di nad i f f e r e n tf o r mb yg i k h m a n 【15 f o rs t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w ec a ns e ef o ri n s t a n c e 3 ，2 6 ，2 8 ，3 0 1 i nt h i sc h a p t e r , w ec o n s i d e rac l a s s o fn o n l o c a ls t o c h a s t i ck u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n sd r i v e nb yc o m p e n s a t e dp o i s s o n r a n d o mm e a s u r e s a si sw e l lk n o w n ，t h ed e t e r m i n i s t i ck u r a m o t o s i v a s h i n s k y ( a b b r k - s ) e q u a t i o n w h i c hw a sf i r s ti n t r o d u c e di nf 2 3 1p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h em o d e l i n go ft h ef l o wo f at h i nf i l mo fv i s c o u sl i q u i df a l l i n gd o w na ni n c l i n e dp l a n e ，s u b j e c tt oa na p p l i e de l e c t r i c f i e l d r e l e v a n tt o p i c sc a nb es e e ni n 【6 ，17 ，2 0 ，2 4 1 t h i se q u a t i o nh a st h ef o r m u t + u u z + q u z + 8 u z z z + 1 u 嚣嚣嚣= 0 ， w h e r eo t ，p ，1a r ec o n s t a n tc o e f f i c i e n t s d u a na n dv i n c e n t 【11 】s t u d i e dt h ed y n a m i c sc o n c e r n i n gd e t e r m i n i s t i cn o n l o c a lk se q u a t i o nw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s ， w h i c hh a st h ef o l l o w i n gf o r m 、l ， o ， | | l 0 l z 一 卜 “ i i 口 g斗、：、一|jd 挺 一 z札胁 一删 、l ， 已嚣d础 一也 i l z。， 外功 十厶仉 让 u u ，i-lj(1-l一 c h a p t e r1 n m i o d u c t l 0 n2 w h e r et h en o n l o c a lt e r m 冗( ) i st h eh i l b e r tt r a n s f o r md e f i n e db y 酬沪去扣掣如砌小g i nt h i st h e s i s ，w ea r ec o n c e r n e da b o u tt h es t o c h a s t i ck se q u a t i o nd r i v e nb y c o m p e n s a t e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e sw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h i c hi sd e s c r i b e d b y f 下o x ( f , t ) + 挈+ 掣慨t ) 挈+ a t - ( 挈) 2 厶口( 亡一，x ( ，t 一) ，z ) n ( d z ，d ) ；( 1 1 ) lx ( ，0 ) = z ( ) ，f o r g ：= ( 一l ，l ) ； 、 【xi sp e r i o d i co ng ，i e ，x ( 一l ，t ) = x ( + l ，) ，vt 0 ， w h e r eqa n dla r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，a n dt h en o n l o c a lt e r mh ( ) i sd e f i n e da b o v e d u a n a n dv i n c e n t 【12 】c o n s i d e r e dt h ek - se q u a t i o nw i t h o u tt h en o n l o c a lt e r m ，b u tw i t ha d d i t i v eg a u s s i a nw h i t en o i s e t h ea u t h o r sp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fw e a k s o l u t i o no ft h ee q u a t i o ni nl 4 ( o ，卅；l 4 ( g ) ) t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n sf o rt h en o n l o c a lk se q u a t i o nd r i v e nb ya d d i t i v en o i s e sh a v eb e e ns t u d i e db yy a n g 【3l 】m o r e o v e r h ep r o v e dt h a tt h e r ee x i s t saf i n i t e - d i m e n s i o n a lr a n d o ma t t r a c t o rf o r t h ee q u a t i o n r e c e n t l y , t h e r ea r es o m e w o r ko ns t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hj u m p s i nas u c c e s s i v ep a p e r , t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o n f o r1 - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cb u r g e r se q u a t i o n sd r i v e nb yc o m p e n s a t e dp o i s s o nr a n d o m m e a s u r e sh a v e b e e ns t u d i e db yd o n ga n dx u 【10 b o ，s h ia n dw a n g 【5 】i n v e s t i g a t e dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o nf o r1 - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i ck - - se q u a t i o n sd r i v e nb yc o m p e n s a t e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e s i nl i u 2 5 ，t h ea u t h o rs t u d i e d l a r g e t i m eb e h a v i o rf o rs t o c h a s t i cb u r g e r se q u a t i o nd r i v e nb yg a u s s i a nw h i t en o i s e s a s i sw e l lk n o w n ，t h e r ei sn ow o r ko nt h el a r g et i m eb e h a v i o rf o rs t o c h a s t i ck se q u a t i o n s w i t hj u m p s b a s e do nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no fe q ( 1 1 ) i nb o ， s h ia n dw a n g 5 】，h e r ew ef o c u so nt h el a r g et i m eb e h a v i o rf o rs t o c h a s t i ck se q u a t i o n s d r i v e nb yc o m p e n s a t e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nc h a p t e r2 ，w ew i l lg i v es o m ep r e l i m i n a r i e s u n d e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s ，l a r g et i m eb e h a v i o rw i l lb ei n v e s t i g a t e di nc h a p t e r3 f i n a l l y , w eg i v es o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t et h er e s u l t si nc h a p t e r3 c h a p t e r 2 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r , w ep r e s e n ts e v e r a ld e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t sw h i c hw i l lb eu s e d 1 a t e r w ef i r s tc o n s i d e rp o i s s o nr a n d o mm e a s u r e sa n dt h e nc o n s i d e rac l a s so fn o n l o c a l s t o c h a s t i ck u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n s o m ek n o w l e d g ea b o u ts o b o l e vs p a c e sa n d s t o c h a s t i ce q u a t i o n si ni n f n i t ed i m e n s i o n sa r ea l s on e c e s s a r yf o rc h a p t e r3 2 1p o i s s o nr a n d o mm e a s u r e s i nt h i ss e c t i o n w ew i l li n t r o d u c ep o i s s o nr a n d o mm e a s u r e sb r i e f l y ap o i s s o nr a i l 。 d o mv a r i a b l et a k e sv a l u e si nn o 全 o ，1 ，2 ) c a nb et h o u g h to fa st h en u m b e ro fo c - c u r r e n c e so fap a r t i c u l a ri n c i d e n to fi n t e r e s t w ea l s ow a n tt or e c o r dt h en u m b e ro f j u m p sw h o s es i z ee x c e e d sap o s i t i v et h r e s h o l d 已t h i sr e q u i r e st h a tw en o to n l yc o u n t t h ej u m p sb u ta l s oc l a s s i f yt h e m p o i s s o nr a n d o mm e a s u r ea sas p e c i a lc a s ei sd e f i n e d a sf o l l o w s ( s e e ，e g ，【4 ，2 2 】) d e f i n t i o n2 1 l e t ( q ，厂，p ) b eap r o b a b i l i 秒s p a c e , ( h ，形) am e a s u r a b l es p a c e , a n d am a p p i n gf r o mqt ot h es e to fn o n n e g a t i v ec o u n t i n gm e a s u r e so n ( h ，澎) ，f 巴 叱( c ) n o u ) f o ，- e v e r yu q a n dc 乡垆w ea s s u m et h a tt h em a p p i n g 叫h ( c ) i s 夕l ( n ou ) ) - m e a s u r a b l e ；i 巴，( c ) i sa nn ou o o 一v a l u e dr a n d o m v a r i a b l e f o te a c h f i x e dc 嚣。w es a y t h a tvi sap o i s s o nr a n d o mm e a s u r e 毽： ( i f o re v e r yc e 。形。e i t h e rp ( u ( c 、 ( c ) i sap o i s s o nr a n d o mv a r i a b l e ： = o 。) = 1o re l s e 入( c ) = ae v ( c ) o oa n d c h a p r e r2 p r e l n ，n a r i e s 4 p ( v ( c ) = n ) = e n n o 似f o ra n yp a i r w i s ed i s j o i n ts e t sq ，伽形t h er a n d o mv a r i a b l e s ( c 1 ) ，( ) a r ei n d e p e n d e n t t h em e a s u r ea ( c ) = e ( c ) ic 乡纪i sc a l l e dt h ei n t e n s i t ym e a s u r e 矿 l e teb eap o l i s hs p a c ea n dpaa - f i n i t em e a s u r eo ne w ec a l lar a n d o mm e a s u r e 妒o ne ap o i s s o nm e a s u r ew i t hi n t e n s i t ypi fi ts a t i s f i e st h ef o l l o w i n g f o re v e r yb o r e l s u b s e tbo few i t hp ( b ) 0 0 ，妒( b ) h a sap o i s s o nd i s t r i b u t i o nw i t hp a r a m e t e r 肛( b ) ， a n di fb 1 ，玩a r ed i s j o i n tb o r e ls e t s ，t h ev a r i a b l e sq g ( b 1 ) ，妒( 玩) a r ei n d e p e n d e n t p l a i n l y , 妒i sa s u mo fd i r a cp o i n tm a s s e s l e t ( q ，y - ，( 五) t o ，p ) b es o m ec o m p l e t ef i l t e r e dp r o b a b i l i t ys p a c es a t i s f y i n gt h e u s u a lc o n d i t i o n ，a n do nw h i c h ，n ( d z ，d t ) ：= n ( d z ，d t ) 一i i ( d z ) d td e f i n e sac o m p e n - s a t e dp o i s s o nr a n d o mm e a s u r eo fap o i s s o nr a n d o mm e a s u r e ：b ( z 1xi r + q n u _ o 】- w i t ht h ec h a r a c t e r i s t i cm e a s u r e o ns o m em e a s u r a b l es p a c e ( z ，召( z ) ) s a t - i s f y i n gr i ( z ) 0 a n da 召( z ) 8 e d p , s t 2 2s o b o l e v s p a c e s i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c es o b o l e vs p a c e sa n de s t a b l i s hs o m eo ft h e i rb a s i cp r o p e r t i e s ( s e e ，e g ， 1 ，3 2 1 ) t h e s es p a c e sa r ed e f i n e do v e ra na r b i t r a r yd o m a i nqc 时 a n da r ev e c t o rs u b s p a c e so fv a r i o u ss p a c e 妒( 2 ) f i r s t ，w ei n t r o d u c es o b o l e vs p a c e so f i n t e g e ro r d e rt h e nc o n s i d e rn o n i n t e g e rc a s e s w ed e f i n eaf u n c t i o n a l ”巾，w h e r emi san o n n e g a t i v ei n t e g e ra n d1 p o o ， c h a f 吓e r2 p r e l i 缸n a r i e s5 a sf o l l o w s ： u = ( d 。牡旧；i f1 p o o ， 0 i q i m 。瑟慨让 f o ra n yf u n c t i o nuf o rw h i c ht h er i g h ts i d em a k e ss e n s ea n d j pb e i n gt h ep ( q ) 一n o r m t h e nt h r e es p a c e sd e n o t e db yh ，p ，m 巾，昭巾c a nb ed e f i n e db y ： 日m p ( q ) ：= t h ec o m p l e t i o no fu c m ( q ) ) ， w m p ( q ) ：= 饥l p ( q ) ：d q u l p ( 1 2 ) f o r0 i o l i m ，d 。ui st h ew e a kp a r t i a l d e r i v a t i v eo fu ， 咿巾( q ) ：= t h ec l o s u r eo fc t ( n ) i nt h es p a c ew m p ( q ) w i t ht h es o b o l e vs p a c e so fi n t e g e ro r d e r , w en o wc o n s i d e rt h es o b o l e vs p a c e si n n o n - i n t e g e rc a s e w ed e f i n eaf a m i l yo fh i l b e r ts p a c e a s s u m et h a txa n dya r et w o h i l b e r ts p a c e s ，xcy ，xi sd e n s ei nya n dt h ei n j e c t i o ni sc o n t i n u o u s ，w ep r o v i d ea f a m i l yo fh i l b e r ts p a c ed e n o t e db y ，y 】口，w h e r e0 0 1s u c ht h a t x ，y l o = x ， i x ，v i i = ya n dxc 【x ，r 0cy t h e nt h en o r mo f 【x ，y 】日s a t i s f i e s u l l t x ，吲。c ( o ) l l u l l 芰- 一i l i t l l 多 f o ra n yu xa n d0 0 ，l 】f o rm n ，o ( 0 ，1 ) ，w ec a nd e n o t et h eh i l b e r ts p a c e 日m + q ( q ) b y h m + l ( s 2 ) ，h ( q ) 】1 一。n o ww ec o n s i d e rt h ee l e m e n to fh 8 ( q ) s i n c e t h es o l u t i o no fe q ( 1 1 ) w i t ho r 三0i s p e r i o d i c ，b a s e do nt h ed e f i n i t i o no fs o b o l e v s p a c e si n t r o d u c e da b o v e ，w et a k eq = g = a ( 一l ，l ) a n dd e f i n es o m ef u n c t i o n a ls p a c e s a sf o l l o w s ： 日：= t 上l 2 ( g ) ：饥i sp e r i o d i co ng ，) ， 喂，：= u w 2 p ( g ) ：“i sp e r i o d i co ng ) ，f o r e a c hp n ， 艰，：= 喂。n 日，f o re a c hp n f o ru ( x ) h 8 ( g ) ，i tc a n b ep r e s e n t e db yf o u r i e rs e r i e s ： u ( x )= 珏凫e x p ( 2 i 枷兰) ， k 6 z w h e m 讥= u 卉w es a yt h a t 仳i si n 郦。，( g ) ，8 研i f a n do n l yi f ( 1 + k 2 ) 8 l u 凫1 2 o ) ，b y ( s e e ，e g 【8 】) ， 州= u 6h ；塾( u ，e k ) 2 0 0 ) ， “= 堪u 双) e 知，f o r u d ( a 3 ) ， w h e r e ( ，) a n d ”| ir e s p e c t i v e l yd e n o t et h ei n n e rp r o d u c t a n dt h ec o r r e s p o n d i n gn o 咖 o fh w ea l s oc o n s i d e rt h ed u a ls p a c eo fd ( a 8 ) ，d e n o t e db yd ( a 一5 ) ，i nw h i c h t h e e l e m e n tui sc h a r a c t e r i z e db y k 2 8 2 o 。， k = 1 w h e r c d e n o t e st h er e l a t i o no fd u a l i t yb e t w e e nd ( a 8 ) a n dd ( a 一8 ) t h e nw e c h a p t e r2 p r e l i m ：仆i a r i e s 7 e n d o wt h ed o m a i nd ( a 8 ) o fa 8 ：d ( a 8 ) _ hw i t ht h ef o l l o w i n gi n n e r p r o d u c ta n dt h e n o r m ： ( u ，u ) 2 。= ( a 8 乱，a 8 v ) ， f f u l l 2 。= f i u l i ， f o ru ，v d ( a 8 ) o b v i o u s l y , w eh a v e ， d ( a o ) = h ，d ( a 1 z ) = 矗p 1 口a n dv = 壤 t h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t i e sa r ew e l lk n o w n ( s e e ，e g 【2 9 ，3 3 】) ： ( p o i n c a r et y p ei n e q u a l i t y ) i i “j j 。a 产i i 孔j j p ，f 6 r 口p ，牡d ( a 卢2 ) ， ( 2 1 ) ( i n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t y ) l l u l l s j u l l 0 一。i | 札j j ? 一。，f o r - ya p 7 ， 一口口一口 ( a g m o ne s t i m a t e ) 仳d ( a 7 2 ) ， u 0 l 。( g ) i l u l l j l 乱l i 1 ，f o ru d ( a 1 2 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) f o ru 磙。，i id k ( u ) l li sa ne q u i v a l e n tn o r mi n 雌rf r o m ( 2 1 ) f o rt h eb u r g e r st e r m u d l u ，w ed e f i n eat r i l i n e a rf o r ma si n 【8 】b y ，邴) = u ( 洲印) ( 如( 刚f n o t et h a tf o r 扎， ，z h ，w eh a v eb ( u ，2 ，z ) = - b ( u ，z ，钉) h e n c eb ( u ，v ，秽) = 0 w e a l s oh a v es o m ei n e q u a l i t i e sf o rb ( u ，口，z ) ： b ( u ，v ，z ) lj c i i d , z , lj | i d l v l ll l z l l ， b ( u ，t ，z ) l i c l l u l i d 2 z l l ， b ( u ，u ，z ) l l c i i d x u l m i d 2 z l l ， f o rs u i t a b l eu ，秒，za n dc o n s t a n tc d e f i n eab i l i n e a rc o n t i n u o u so p e r a t o rb ：d ( a 1 2 1 d ( a 1 2 ) _ hb y ( b ( 乱，u ) ，z ) = 6 ( u ， ，z ) f o ru ，u ，z d ( a 1 2 ) f r o mt h ep e r i o d i c i t yo ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n ，i tf o l l o w st h a t ( b ( u ，乱) ，u ) = 0 t h e n ( 1 1 ) m i g h tb e c h a p t e r2 p r e l d m n a r 住强8 r e w r i t t e na st h ef o l l o w i n ga b s t r a c tf o r m ： d x t + ( a 2 托一a 五十b ( x t ) + a 冗( ( 一a ) 3 2 咒) ) d t = 厶a ( t - ，x t 一，z ) n ( d z ，d t ) ， ( 2 4 ) x ( 0 1 = z h e r e a f t e r , w ew i l ls t u d y ( 2 4 ) i n s t e a do f ( 1 1 ) a sf o rt h en o n l o c a lt e r m 咒( ) i n ( 1 1 ) ， b u td e f i n e db y ( 1 2 ) ，i th a st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ( s e e ，e g 【1l1 ) ： d i 咒( u ) = 7 - ( d l u ) ，( v ，7 - t o , ) ) = 一( 乱，冗( 可) ) ， ( 冗( u ) ，咒( 口) ) = ( z t ，u ) ，i i 咒( 让) i i = i i u ( 2 5 ) 2 3s t o c h a s t i ce q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l s p a c e i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt os t o c h a s t i ce q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s ，m a i n l yh i l b e r ts p a c e s h i l b e r ts p a c ev a l u e dw i e n e r p r o c e s s e sa n d ，m o r e g e n e r a l l y , h i l b e r ts p a c ev a l u e dd i f f u s i o np r o c e s s e s ，w e r ei n t r o d u c e db yg r o s s 【18 】a n d d a l e c k i i 【9 】w ew i l lr e c a l ls o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n