（应用数学专业论文）一类新的完备正交系及其在图形图像处理中的应用.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 随着现代数字技术的不断发展，正交函数系的应用受至惋l 来越广泛的关注。本文立 足于国内外该领域的先进成果，充分结合图形图像处理、有限单元法、数字几何等相关 学科的知识，主要探讨了有关正交函数系及其在图形图像处理中的应用。从背景、目 的、发展、现状和应用等方面阐述了正交函数系。本文着重研究了两类新的正交函数 系u 系统和v 系统，并将其应用到图形图像处理中。基于三角域上的w a l s h 函数 和h a a r 函数，并参考高维的正交函数及其u 系统和v 系统的构造方法，我们还尝试构 造三角域上的二维正交函数系，并给出了初步结果。 本文所做的工作分为以下几个部分： i 、正交函数系的综述：正交函数系可以分为标准正交函数系和非标准正交函数 系。通常的标准正交函数系有f o u r i e r 三角函数系、多项式正交系、w a l s h 函数系、h a a r 函数系及u 系统和v 系统等。本文具体详细地分别介绍了它们产生的背景、定义、性 质及其应用，试图为今后探求新的正交函数系提供一些参考信息。 3 、u 、v 系统在图形图像处理中新的应用：u 、v 系统由于具有独特的性质，所以 具有广泛的应用。本文在其原有应用的基础上，将其应用到商业票据和多边形水印中， 并通过试验验证了此方法与传统的方法相比，在某些应用场合，具有较好的优势。 2 、三角域上的正交函数系：目前对高维正交函数系的研究，仍然以张量积形式为 主，对于非张量积空间上正交函数函数的研究尚处于初级阶段，本文借鉴于三角域上的 w a l s h 函数和h a i r 函数，尝试着将u 系统和v 系统推广n - 维空间，并给出了研究的 相关结果。 关键词：正交函数系，三角域，u 、v 系统，多边形水印 北方工业大学硕士学位论文 an e wc l a s so fo r t h o g o n a lf u n c t i o ns y s t e m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si n i m a g ea n dg r a p h i c sp r o c e s s i n g w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e md i g i t a lt e c h n o l o g y , t h es t u d yt os y s t e m so fo r t h o g o n a l f u n c t i o mh a sa l r e a d yb e c o m et h ei n t e m 衢o n a lh o tr e s e a r c h 鲫协e c t b a s e do rt h ea d v a n c e d a c h i e v 矗n e n t si nt h i sf i e l d , t h i st h e s i sd i s c u s s e sm a i n l yt h es y s t e m so f o r t h o g o n a ! f u n c t i o n sa n d t h o ra p p l i c a t i o n si ni m a g ea n dg r a p h i c sp r o c e s s i n gb ym e f l l l so fs o m et e c h n i q u e sa n dm e t h o d s f r o mi m a g ep r o c e s s i n g , f i n i t ee l e m e n tt h e o r ya n dd i 西t a lg e o m e t r ye t c n l i st h e s i s f i r s t l y e x p l a i n st h eb a c k g r o u n d s , d e v e l o p m e n t s , a 皿t a l ts i t u a t i o n sa n da p p l i c a t i o n so ft h es y s t e mo f o r t h o g o n a lf u n c t i o n s , t h e nf o c u so nt w on e ws y s 。t o i l so f o r t h o g o n a lf u n c t i o n s ：us y s t e m sa n dv 毋s c 锄s t h en e wa p p l i c a t i o n so f t h e s et w oc l a s s 秘o f o r t h o g o n a lf u n c t i o ms y s t e m sa r eg i v e ni n l l l i st h e s i s b a s e do i lt h ec l a s s i c a lh i g hd i m e n s i o ns y s t e m so fo r t h o g o n a lt h n c t i o ma n dt h e c o l l s m 碰o nm e t h o d so f us y s t e ma n dv s y s t e m , w ea l s ot r yt og e n e r a l i z et h eus y s t e m sa n dv s y s t e m st oh i g h e rd i m e n s i o n c a s e sa n d g e ts o m ed e m t a r yr e s u l t s 1 1 1 ed e t a i l so f t h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h es u m m a r i z a t i o no ft h es y s t e m so fo r t h o g o n a lf u n c t i o n s ：1 1 s y s t c ，n so f o r t h o g o n a lf u n c t i o n s 锄b ed i v i d e di n t ot w ot y p 嚣：s t a n d a r da n dn o n s t a n d a r d n o w a d a y s , t h e 。 s t a n d a r ds y s t e m so fo r t h o g o n a lf u n c t i o n si n c l u d e f o u r i e rt r i a n g l es y s t e m , p o l y n o m i a l o r t h o g o n a ls y s t e m , w a l s hs y s t 日n , h a 甜s y s t e m , us y s t e m sa n dvs y s t e m s b y l s s i 驷g t h e s e s y s t e m so fo r t h o g o n a lf u n c t i o n sa n dt h d rc h a r a c t e r i s t i c s ，t h et h e s i st r i e st oo f f e rr e l e v a n t i n f o r m a t i o nf o rt h en e ws y s t o no f o r t h o g o n a lf u n c t i o n s 2 t h en e w a p p f i c a f i o mo f us y s t e m sa n dvs y s t e m si ni m a g ea n dg r a p h i c sp r o c e s s i n g ： b a s e do i lt h eu n i q u ec h a r a c t e r i s t i c so fus y s t e m sa n dv s y s t e m s , t h e s et w oc l a s s e so f o r t h o g o n a lf u n c t i o n ss y s t e m sf o u n dl o t so f a p p l i c a t i o n si np r a c t i c a lf i e l d s t h et h e s i sh a su s e d t h e mt oc o m m e r c i a lb i l l sa n dp o l y g o n a lv e c t o rg r a p h i c s t h ee x r 腻i r n e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e p r o p o s e dm e t h o d s 啪r e s i s ts o m ec o l l m l o nm 越匈砌l 撕o n s ，s u c ha st r a n s l a t i o n , r o t a t i o n , s c a l i n g a n dl o c a lm o d i f i c a t i o n 3 t h es y s t e mo fo r t h o g o n a lf u n c t i o n si nt h et r i a n g u l a rd o m a 缸：t h er e s e a r c ha b o u t l l i 出d i m e n s i o nf u n c t i o n 卿s t 即帱i sm a i n l yu s i n gt h ef o r mo ft e n s o rp r o d u c t i o n h o wt o 3 - 北方工业大学硕士学位论文 c o n s t r u c th j i g hd i m e n s i o ns y s t e mo f o r t h o g o n a lf u n c t i o n sw i t hn o n - t e n s o rp r o d u c t i o ni ss t i l l 锄 o p e np r o b l e m t h et h e s i st r i e st oe x t e n dus y s t e m sa n dvs y s t e m st ot w od i r r i e n s i o n sc a s e si n t h eb a s eo f w a l s hs y s t e ma n dh a a rs y s t e mi nt r i a n g u l a rd o m a i n s o m ee l e m e n t a r yr e s u l t s 躺 舀v e 也 k e yw o r d s ：s y s t e mo fo r t h o g o n a lf u n c t i o n s , t r i a n g u l a rd o m a i n , us y s t e ma n d v s y s t e m , p o l y g o n a lw a t e r m a r k 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 友王些太堂或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：却需签字日期：0 7 年臼尹 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j e 友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阎和借阅。本人授权j 友玉些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 靴论文储躲朗嗲导师签名：批 签字日期：译5 月乡 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 签字目期啼b 弓目 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 第一章绪论 当今的时代是一个信息化的时代，是一个飞速发展的时代，然而信息化的高速发展 及进步与数学的发展是紧密联系在一起的。现实中的一些实际问题都与数学分不开，都 可以用相关的数学知识解决。而正交函数系，是数学课题中的一个非常重要部分，作为 强有力的数学工具，其应用领域也是极其广泛，涉及电子工程、信息工程、图像处理、 自动化设计以及统计方面。 对正交函数系的研究，有着悠久的历史，也积累了丰富多彩的研究成果，这给我们 以后的研究工作提供了有利的参照条件。正交函数系就是由一系列正交基构成的一个正 交系统。我们比较熟悉的正交函数系有f o u r i e r 三角函数系和多项式正交系，它们是具 有高度光滑性的正交系，现在已经成为频谱分析与工程计算不可或缺的主流工具。其 中，多项式正交系在统计学中的非线性回归方面也得到了应用。 1 1 研究意义 1 1 1 数学历史发展的需要 f o u r i e r 三角函数系是正交函数系中的一个重要的组成部分，有着悠久的历史。1 9 世纪初，由f o u r i e r 在t a y l o r 逼近的基础上提出：“任何函数，无论多么复杂，都可以 表示成三角级数的形式”【i l ： ，g 卜等+ ( 口c o s k x + b ks m k x ) ，一万石 吖k ( x ) d x ；后， 项式序列 眠( 力) ；满足关系式( y ，i ) 2j p ( 功竹( 功 2 l4 、n ，一 ， 口 o 则称为多项式序列舻。( 习 辟为在【口，纠上带权以力正交。 若首项系数q # o l 鬟jn 次多项式纯，满足 ) = r p 懒= 艮。篙i 扎l ，- ) ( 注：若以= l ，则为标准正交函数系) ，就称多项式序列，仍，碗在【口，b 】上带 权p ( j ) 正交，并称矿。( x ) 是【o ，6 】上带权p ( x ) 的露次正交多项式阅。 2 3 2 正交多项式的分类 ( 1 ) 勒让德多项式 当区间为 - l ，1 】，权函数p ( x ) ；1 时，由 1 ，墨，) 正交化得到的多项式就称为 勒让德0 _ e g e n d r e ) 多项式，并用昂( 功，e d x ) , i oo p c x ) ，表示，这是勒让德于1 7 8 5 年引 进 的。1 8 1 4 年罗德利克删g l 】1 ) 给出了简单的表达式： p o ( x ) = 1 ，只= 去砉似2 - 1 ) 强。= 1 ，2 ) ( 2 ) 切比雪夫多项式 当权函数p ( 力= _ 7 = 兰彳，区间为 - i ，1 】时，由序列 1 ，而，一 正交化得到 v l x 。 的正交多项式就是切比雪夫多项式，它可表示为： 瓦( 力= e o s ( n a r e o s x ) ，l 叫l ( 3 ) 拉盖尔多项式 - 9 - 北方工业大学硕士学位论文 在区间 0 ，+ m ) 上带权e “的正交多项式称为拉盖尔多项式，其表达式为： 厶彰参 ( 4 ) 埃尔米特多项式 在区间( a o ，+ o o ) 上带权e 一，的正交多项式称为埃尔米特多项式，其表达式为： 。( 工) = ( 一1 ) ”e 。矿d n ( e - x z ) m 2 3 3 正交多项式的应用 正交多项式的应用也是非常广泛的，可以用于回归分析旧、概率密度【绷、精馏塔 静态仿真、谐波估计、对测试系统进行静态标定等方面。 2 a h a a r 函数系 2 4 1h a a r 函数的定义 h a m 函数是1 9 1 0 年由荷兰数学教a h a m 提出的定义于区间【0 1 】上的正交函数系 2 9 i ，表达式如下： 知( o ，f ) = 1 , 0 f l h a r o ( 1 ，f ) = h a r l ( 1 ，f ) = 1 0 f 三 2 1 ，i 1 f 1 o ，在 o ，l 】自勺其它点 如。姚三 一压，产1 j 1 o 在【o ，l 妁其它点 1 0 一 北方工业大学硕士学位论文 h a f t ( 1 f ) = 厄扫丢、 一坛s t o ，在【o ，1 瑚其它点 一般地，矗o ，o ) = 4 互；- , h a r , ( 2 一，1 ) ：一歹 b a r ，f ) = _ 2 k - 一2r s 等 一厄等鲻暑 o ，在【o ，l 】的其它点 n = 0 , 1 , 2 ，k = 1 , 2 ，3 ，2 4 2 4 2h a m 函数的图像 从定义可以看出，排在最前面的是取值为l 的函数。以后，分组定义为：第l 组含 有1 个函数，第2 组含有2 个函数，可由前一组函数的压缩与平移得到；第3 组含有2 2 个函数，可由前一组每个函数的再次压缩与平移得到，如此下去，可以得到h a a r 函数 的图像( 如图2 1 ) 图2 1 前1 6 个h a a r 函数图 诋嗽嗽嗽嗽嗽嗽蓍；蓍；嗡吾；嗽嗽燃嗽 北方工业大学硕士学位论文 2 4 3h a a r 函数的应用 h a 盯函数是一种最简单的小波函数0 0 3 ”，引起了人们越来越多的关注。与常用 的w a l s h 函数相比，h a a r 函数具有构造简单、计算方便的特点，因此在信息技术和 图像处理方面得到了广泛应用。另外，h a a r j s 波变换用于图像处理具有速度快、处 理方便、图像压缩比高、去噪效果好、图像特征保持性好等优点，因此更加确立了 h a a r | s 波函数的应用价值。 h a a r j 、波变换理论是近年来发展起来的一种崭新的时频域分析理论，是继傅立 叶( j o s e p hf o u r i e r ) 分析之后的一个重大突破。鉴于小波的多分辨率分析具有良好的 空间域和频率域的局部化特性，对信号的高频部分采用逐渐精细的时域或空域步 长，可以聚焦到分析对象的任意细节，因此特别适合于图像信号这一类非平稳信号 的处理，已成为一种图像信号处理的新手段。此外，小波变换还被应用到了语音分 析、计算机视觉、信号的奇异性检测等众多领域。 h a a r 小波函数还可以用于对灰度图像进行无失真压缩嗍。近年来，图像压缩的 使用范围越来越广泛，大多数压缩算法的研究都集中在有失真算法研究上。在需要 对图像做进一步处理的领域：如医学图像、航空图像等，则需要无失真的压缩。目 前较有效的无失真算法通常线性预测，它也被用于j p e g 静止图像的无失真压缩算 法中d 3 1 。在医学图像的无失真压缩中，常采用序列变换和分层内插等方法嗍。用 h a a r 小波函数对灰度图像进行无失真压缩的效果明显好于目前常用的j p e g 无失真 压缩和分层内插h i n t 。 另外，h a a r 小波函数还可以用于图像彩色人脸检测 3 5 1 、光电混和机器人视觉系 统1 3 6 1 、纹理分类等方面。 2 5w a l s h 函数系 2 5 1w a l s h 函数系的定义 1 9 2 3 年，美国数学家j l w a l s h 提出的w a l s h 函数系定义如下3 7 - 4 2 ： k - !i 1 w a x ) = 1 1 s g n c o s j , 2 7 肛】，0 0 时取值+ l ，x 0 时取值一1 ； 取值0 或1 是序数_ ，的二进制码，_ ，为序数i 1 2 北方工业大学硕士学位论文 的某种编码，_ ，的不同编码将产生不同序的w a l s h 函数系。目前各种序的w a l s h 函数 系定义如下： ( 1 ) 如果，取自然码，即矗一i = 1 。k - ，_ l ，r = o ，k - i ，则得n p a l c y 序的w a l s h i 蚕 数。 ( 2 ) 如果，取g r a y，即，h l = i k _ ，1i k 。r = 0 ，k - 1 ，则得至1 w a l s h 序的 w a l s h 函数。j l w a l s h 最早提出的w a l s h 函数正是这种排序方式。 ( 3 ) 如果j 取反自然码，即 ，_ i = f ，= o ，k - i ，则得到反p a l e y 序的w a t s h 函 数。由于这种排序方式和h a d a m a r d 矩阵有紧密的关系，故也称为h a d a m a r d 序。 ( 4 ) 如果_ ，取反g r a y g ，即是先取序数i 的g m y 码，然后取该结果的反自然码得 到的关于j 的编码，即j o = “，工= ，o ，- 1 ，r = l ，k - i ，则得到反w a l s h 序的 w a l s h 函数系。 ( 5 ) 如果_ ，取逆g r a y 码，即是先取序数i 的反自然码，然后取该结果的g r a y 码得 到的关于i 的编码，即 。= i o ， - ，- i = o “，= 1 , - - - , k - 1 ，则得到逆w a l s h 序的 w a l s h 函数系，又称为x 序。 传统的w a l s h 函数是以r a d c m a c h c r 函数为基函数生成的。实际上，添加所有有限 个r a d e m a c h e t 函数的乘积，就得到了w a l s h 函数系。常见的w a l s h 函数有三种序： p a l c y 序( 记p ) ，h a d a m a r d 序( 记田和w a l s h 序( 记、聊。以自然码和反写自然码为复 制信息，通过平移复制可生成p a l c y 序和h a d a m a r d 序的w a l s h 函数，以自然码为复制 信息，通过对称复制可生成w a l s h 序的w a l s h 函数。 2 5 1 1w a l s h 函数系的p a l e y 序嘲 w a l p ( 0 , t ) = r ( 0 , t ) = l w a l ，( n ，f ) = n 【r ，f ) p k = l 其中r ( n ，d = s g n ( s i n 2 ”瓜) ，s g n 为符号函数，是r a d c m a c h e r 函数的表达式。为n 的二进制表示的第k 个数字： 一= ( 一n i n i - l n 2 n 1 ) 2 当w a l s h 函数系中的序号弗被指定，它的二进制表示中就有有限个1 出现在确定 的位置上，那么按这些位置来取相应的r a d e m a c h e r 函数，相乘起来就是第n 个 w a l s h 函数，图2 2 为w a l s h 函数的图像。 1 3 北方工业大学硕士学位论文 题；军莓再再再囵? 亡= = 乇= = = _ 。 亡= = = f j “ 亡弓= 于= 匕j “” q = 于= 乇= 尸“” q = j 乇于= b “” q j 乇= f 匕p “。 q j 弓于乇f 芒 1 “ 吨= f 巨乇乇往予“。 吒圩乇r j 乇f 毛“。 吒r = f 甘弓只= 丑于“ 吒r 于甘甘h = 蔷毛“” 毛r r r j 甘乇丑尹“o 毛陆陡凫凫凫r f b “o 图2 2 前1 6 个w a l s h 函数图 2 5 1 2w a l s h 函数系的h a d a m a r d 序 由2 “阶h a & u n a r d 矩阵的存在性，令h 2 表示二阶h a d a m a r d 矩阵，则 日r + t = h 2 t 日2 ，后= 1 , 2 ，3 一方面，当给出七= t 时，日：= p 。： ；另一方面，将区间 o 】两等分，分别取鸥第 一行和第二行两个数，分配给两个“半区间”，则可得到两个函数。当| = 2 ，从h 。可 以对应得到四个函数( 如图2 3 ) o ) = l , t e n 争 屯r 如 - 1 4 付1 1 k l 舻2 1 l 一1l j 7 k 一朋 仉一2 ll f f l l -_-_-j、lil-_-l = 、jo 啊 北方工业大学硕士学位论文 矾( f ) = 1 , r e 0 ，尹1 - 1 ，己，二】l 2 暇( f ) = 1 ，拒【主，习 1 ，f o , 1 1 一扯弓，尹1 一l t 1 ，尹3 个 11 1 1 l l1 一l | ，后= 2 ，甩= 2 ： 111 1 l 。 。 1 1 11j c o ) 图2 3h 次序的w a l s h 函数与h 矩阵的对应关系 需要说明的是，若给出了前2 个h a d a m a r d 次序的w a l s h 函数，当考虑前2 “个 的次序时，并不意味着在前2 个的基础上，接着再排出2 个，而是完全按照日删重新 排列。 2 5 2w a l s h 函数的应用 由于w a l s h 函数的独特的性质，所以它的用途也分外的广泛。以w a l s h 函数为基础 的w a l s h 变换，它对于信号与系统分析的变换域方法作了重要的补充。它以+ 1 和一卜 这两个离散值代替了傅立叶变换中的复指数函数，更容易实现快速变换。应用w a l s h 函 数和w a l s h 变换的研究涉及到许多领域，其中包括通信、声纳、雷达、图像处理、语音 识别等。 由w a l s h 函数的特点，可以将它与0 1 序列联系起来，因为w a l s h 函数与0 1 序列都是二值函数，一方面，w a l s h 函数有其自身严格的规律性和特征，同时它还 是完备和正交的；另一方面，o l 序列也有我们所希望知道的规律性和特征，而这些 规律性和特征往往是隐藏的和模糊的，所以是否可以用w a l s h 函数去研究o l 序列 中隐藏的规律性和特征性就成为一个亟待鳃决的问题。还可以从统计的角度探讨 w a l s h 变换与0 1 序列数理统计方法的关系，将它作为一种更严格的随机性检验方法 4 3 1 。另外，根据w a i s h 矩阵与二元域上向量乘法矩阵的关系，可以进一步探讨 1 5 f 1 ) f ( 暇 】3 4l一三2一r n j l 寸科 ， f f l l k j 1 ) f 吸 k寸一，一限j l 寸j 哼 f f f l k l 1 t , 方z e 业大学硕士学位论文 w a l s h 变换谱系数与二元域上方程组的解的关系，并用w a l s h 变换求解二元域上含 错方程组。 w a l s h 函数还可以用于广带域扩谱通讯中，将离散的w a l s h 函数进行平滑化之 后，应用在广带域码分多址扩散频谱通讯中( 简称c d m a 扩谱通讯) 7 0 1 。对比实验 结果表明，平滑化的离散正交型w a l s h 函数与非平滑化的离散正交型w a l s h 函数作 为在扩谱码，信号频带宽度之比为l ：2 ，用w a l s h 函数的正交码，目的是各种信道 之间的相互干扰达到最小化。平滑化技术在同等的条件下，信噪比提高了2 0 d b 以 上。 在人脸识别中，对原始人脸图像进行适当的预处理后，分别利用两种不同序的 二维w a l s h 变换与神经网络相结合进行人脸识别，大大提高了识别的效率和效果 l 。 另外，w a l s h 函数除了在信号处理中应用外，还有其它领域：雷达、通信、声 纳、图像处理和显示、语音识别、遥感遥测遥控、仪表、医学、天文、地质等【3 】。 正如美国著名数学家h f h a r m u t h 预言的那样：“w a l s h 函数将导致一场革命，就 像1 7 、1 8 世纪的微积分一样”【“。 2 6 u 系统 u 系统是2 0 年前由冯玉瑜与齐东旭提出的，并在当时给出了较完整的理论基础 5 9 一。根据u 系统理论，am i c e h e l l i 及y u e s h e n gx u 等进行了关于积分方程求解的一 系列工作，表明了u 系统的应用潜力，但这些成果与本文讨论的内容相距甚远。u 系统 是分层次的，完整的说法是“k 次u 系统，k = o ，1 , 2 , 3 ”。零次u 系统( x - - o ) 就是 w a l s h 正交函数系。k 次u 系统是一类分段k 次多项式组成的l 2 o ，l 】正交完备函数系。 它包含无穷次可微的函数，更包含在 o ，1 】内的点工= 导处出现各种间断的分段函数，其 z 中2 7 为区间 o ，l 】的等分数目，q = 1 , 2 ，2 7 一l 。 2 6 1 分段线性完备正交u 系统 2 6 i 1 分段线性u 系统的构造 【o , 1 】区间上的线性函数空间，记为s t o ，那么如下两个函数 1 6 北方工业大学硕士学位论文 u ：孤一劲，o j l ( 2 - 1 ) 构成氏的标准正交基。进一步考虑 0 ，l 】区间上、以x = i 1 为分点的分段线性函数 空间，记为墨- 。显然墨，的维数为4 。这时须在以上两个函数之外，增加两个分段线性 函数，我们选取： 盼l 撖- 呜4 x ) , 篱 黔巨；黧 但2 其中在式( 2 1 ) 、( 2 2 ) h h ，前3 个函数互相正交，第4 个函数则由分段线性的条件 及它与第2 个函数正交性，经过简单的运算求得。注意，第4 个函数关于并：要点奇对 称，但在区间【o 匀及弓，l 】上不是对称的。式( 2 1 ) 、( 2 2 ) h h 的4 个函数在【o ，l 】构成墨。 的一组标准正交基。 接着， 0 1 】区间上的分段线性函数空间& ，分段点为石= 丢、工= i l 、，= 三。由 于墨：的维数为8 ，那么应该有8 个彼此正交的分段线性函数。也就是说，须在前述的4 个函数之外，再构造4 个以工：三、x ：三、 4 2 “压缩一复制”过程，完成补充的4 个函数。 并= ；为分点的分段线性函数。为此，采用 所说的“压缩- 复制”过程包括两步明。首先，分别取第3 个、第4 个函数，将 它压缩到半区间【o 争；接着，在半区间【三，l 】上做正复制及反复制。于是，每个函数生 成了两个新的函数，它们属于墨：，并且( 关于z = i 1 ) 奇偶性相反。“压缩- 复制”过 程图示如下： 一1 7 北方工业大学硕士学位论文 耷飞弋鲥 嚷净飞一 ：9 书可 ；卜s 。 k 嘞 1 。氏套小苷 关于x = 1 ，明i 绣并。正复嘲” 关于i = i ，z 压缩并“反复制。 关于x = l 2 压缩并“反复剜” 关于# l ，2 压缩并。正复制” 利用第3 、第4 个函数，通过“压缩。复制”过程，得到的4 个新的函数表达如下： 瓣鼢，鬻t 蜘 - 茹，。嚣。 噼鼢，。瑟 佗二 聃 一茹，。嚣， 不难验证( 2 1 ) - - ( 2 4 ) 所示的8 个分段线性函数构成墨：的一组标准正交基。 值得强调的是，上述通过“压缩复制”过程产生新函数的手段具有一般性。换句 话说，当继续考虑【o ，l 】上有8 个等分子区间时，分段线性函数空间& 的维数为1 6 ，需 要增添8 个新函数。而这些函数将由上次生成的砜( 曲一u ，( 工) 四个函数经“压缩一复 制”过程产生。 一般地，当完成墨。的正交基2 ”1 个函数之后，对其中后面的2 4 个函数，分别进行 “五, - n 一复制”，得到2 ”1 个新的函数添加进去，组成墨( 。) 的标准正交基， 疗= 0 , 1 23 。可以证明，当以一c o 时，得到的无穷多个分段线性函数组成的函数 组，具有r o 1 】的标准正交性、完备性。 r 【0 ，l 】上的分段线性标准正交完备系的解析表达为： 1 8 北方工业大学硕士学位论文 掣= 擞写：芝耋 醪= 【u ( 1 - 一6 x ) , ，：芝耋 嘴2 k - i ) 叫荔饕，。嚣， 嘴- - 摹戮? 篙， 其中，在间断点处，函数值取两侧极限平均值。 2 6 2 高次u 系统的构造 现在我们把上面讨论的1 次( 分段线性) u 系统推广到任意七次( 分段七次多项 式) u 系统。 在区_ f f i j 0 , 1 p _ ，有限个函数的集合抚( x ) ，j = j ，2 ，研 ，若满足如下性质： ( i ) z ( x ) 是以z = 号为结点的分段七次多项式，且此时有小= 七+ j ； ( 螽) ( 砂，乃( 力) = 磊，f ，e 坛，所 ； ( i i i ) ( z ( z ) ，x j ) = 0 ，i p ，2 ，m ) ，_ ，和j ，t ( 这里 表示f 【o ，l 仲的内积) ，则称翻( 善) ，扣j ，2 ，m 为函数生成元。 2 6 2 1k 次u 系统的构造步骤： ( 1 ) 取区间 o j 】上的前| + j 个l _ 七g e n d m 多项式，作为| 次u 系统的前七+ j 个函 数，记为( 功，u ( 曲，“( x ) ； ( 2 ) 构造j + j 个分段为后次多项式的生成元缸( 力，i = j ，2 ，| | + j ，它满足前面函 数生成元的性质( n 一( i i j ) ，即们( 力) 中的函数彼此正交，且与( 工) ，u ( 曲，u ( x ) 皆正 交。将f a x ) 依次排在 n ( z ) ，= 以，| i ) 之后，得到： o ) ，( x ) ，以( x ) ，正( x ) ，正( x ) ，正+ ，( x ) ； ( 3 ) 压缩复制生成后续序列：从f a x ) 开始，每个函数都复制出另外两个新函数，一 个是关于x = 点作压缩偶对称复制，另一个是压缩奇对称复制，即 1 9 北方工业大学硕士学位论文 删= 船f j ( 2 - 2 x ，等于艘骝k 鬈j 将它们排在前述函数序列之后，依此类推，即可得到k 次u 系统的正交函数系。 k 次( k = 0 , 1 ，2 ，3 ) u 系统部分函数的图形如图2 5 。 ：巨；孚搴晕荤乏；i 菪幢 c 2 习= = 畦 c 乇= = 尸i i ：= ； 乇2 乇j 皑 气= f 乇= 尸喵 q = f 甘2 b 咄 墨壬乇j 乇p 岵： 习= f 乇r f bu l 辐渊鬟 罂黜露 k 附乇r j 铲咄： 嚣壤 甜嫩掰珀尚嗽 星詈三耋：詈甓： e _ t t = ；，d u ：， ：；茗兰毖： t ，u 。 兰夏杰；o 戮 、k 。p - 口、u ： p 、p u ： o 争一： k ，、4 b + d ，、u ；： b k 乒d b k u ； + o 分 一u i ： + 、卜一u 豁 斗十- 十一u ： r + _ 一u “ 譬三三三呈诧 b _ = ，4 崛i k ；- q 毗】 h t j ，c _ 一u h k ，d j 日。傲。 k - 一弋严l - 。砒 d k u “ ：441 4d u 牲 b 、卅尸、，u ；= ： k ，j 口闰口。k ，、一u 珏 k ，、，a ，一u l t 。气尸，中a v 帔； 。a r b 6 n u 嚣 呻- + u 嚣 甘 一【| ；= i o p d p 啦： o b 垆y _ u 埘 o q 吖w 呻一i l j = j o 、p f 扣t 慷： b v q 、b b 呷喇u ： o o 铲谛呵。嘞u i o 咔 n p 幸、j u 船 o b 峰 唯岛唯嘲u 器 “叩“甲4 + 广l 瞠： q “吖十 _ h 嚏： 。产h b o ”一u 鞋 ”产h o - u 嚣 “斗+ 斗u “ 叫+ + 呻u 嚣 h 斗+ 斗： 斗+ 十啦： 睁o 前1 6 个函数k = l 前1 6 个函数k = 2 前2 4 个函数k = 3 前3 2 个函数 图2 5u 系统部分函数的图形 2 6 3 k 次u 系统的性质 ( 1 ) 标准正交性 ( 嘤，联d ) = 垂磐( 曲晓力( z ) 矗= 瓦，奶 其中m ，n ：0 , 1 “2 ，f = j ，2 只? ，- ，= j 勰，。；【，y 是k 次u 系统分组排列 记号。 、 ( 2 ) f o m i e r - - u 级数收敛性 若给定函数f 的f o u r i e r - - u 级数为： f 一q 吨( f ) ( 2 5 ) 其中虬，为了简化记号，是前面定义的k 次u 系统函数依次排序的第升1 个函数。 记 q = = p ( f ) 蚝( o a t ， i = 0 , 1 川2 并且记式( 2 5 ) 的前n + l 项部分和为 p n + l f = z a t 1 2 0 北方工业大学硕士学位论文 贝q 有 熙忙一p f n ，= d ，e 厶p ，力 劂p 一乃司。= d ，f c o ，妇 ( 2 6 ) 这表明f o u r i e r - u 级数的厶收敛性及完备性；式( 2 6 ) 表明f o m i c r - - u 级数的“分 组”一致收敛性。所谓分组，是指级数中的相加，按2 的方幂的数量一组一组地加上 去。 ( 3 ) f o u r i c r - u 级数的再生性 若函数，为分段七次多项式，且其间断点仅出现在工= 导处，其中g 和，为整数， 那么f 可以用有限项f o u r i c r - u 级数精确表达。 不难看出，上述的u 系统含有丰富的间断信息，特别是分组一致收敛性及再生性 的独特性质可以利用，使得u 系统能够用于几何数据的频谱分析。 2 7 v 系统 v 系统是与u 系统结构不同的另一类正交完备函数系，它也由分段k 次多项式组 成，与u 系统有密切联系，取名为v 系统。在k = o 时v 系统就是h a m ：函数系。v 系统 保持了u 系统的优良特性，且较之u 系统更有结构简单、层次分明、局部支集等特 点，应用起来将更灵活方便。如果说u 系统是w a l s h 函数的推广，那么v 系统就是 h a a r 函数的推广。k 次v 系统具有多分辨特性，是一类实用的小波函数族。 2 7 1k 次v 系统 2 7 1 1k 次函数生成元的定义。 在区间【o ，1 】上，七+ 1 个函数的集合耽( 力，i = 1 , 2 ，七十1 ，若满足如下性质： ( 1 ) z ) 是以石= 为结点的分段七次多项式，且z ( x ) 在x = 吉处为c “连续， f = 1 , 2 , - - - , k + 1 ，这里约定c 1 连续为间断； ( 2 ) - - - - - 磊，l _ ， l ，2 ，后+ 1 j ； ( 3 ) = o ，f e l ，2 , - - , + 1 ，_ ，e o j 。，七 这里 表示厶 o ，1 】中的内积，则称( 善) ，f = 1 , 2 , - - - , k + 1 ) 为k 次函数生成元。 显然，对给定的k ，按待定系数法可以确定k 次函数生成元。 2 1 北方工业大学硕士学位论文 如：0 次函数生成元只含一个函数： ，( 算) = 胁i 怕( 1 - 4 x ) , ，篱： 胁盛篱： f ；f l 缸：一l o x + 1 ) o j 三 z o 2 - 1 6 ( 1 - x ) z + 1 1 6 ( i+ 1 0 ( 1 一曲一i 】： 工1一曲一i 】，妄 工 一i 却噼。蚺1 ) ， 皑“喜 州加1 翩州一4 ( 1 桃扣； m 、一f 他2 _ 1 缸+ l 嘶 三 六2l-40(1-x)2+16(1一算)+，1- 2 ) 按( 2 7 ) 定义。 v 系统是分组分类的。符号嘣表示k 次v 系统中第m 组第i 类的第_ ，个函数， k = 0 12 ，m = 3 ，4 ，i = 1 , 2 ，k + 1 ，j = 1 , 2 ，2 “ 简单说，k 次y 系统的前七+ 1 个函数( 第1 组) 是区间【o ，1 】上的前k + 1 个 l e g e n d r e 多项式，第k + 2 至2 七+ 2 个函数( 第2 组) 就是k + 1 个k 次函数生成元，从 第2 七+ 3 个函数开始，依次对这j + 1 个函数生成元作各种尺度的压缩平移并规范化，就 得到了v 系统。 v 系统中前两组函数不分类，从第3 组开始，每组分成七+ l 类，每类含2 “个函数 ( 如果是第m 组，疗3 ) 。 特别，当k = 0 时， v o 1 ( 力= 1 ，0 j s l ， 蝴趣。翼篙 - 2 3 北方工业大学硕士学位论文 0 次v 系统的一般项为： 嘧：眯j 厅嘲：“( x 一等皓) i o