（基础数学专业论文）关于幂格的若干讨论.pdf

摘要 本文讨论了幂格的一些性质，并推广了一些结果 第一章，我们介绍了文中用到的一些定义和本文的主要：i ：作 第二章，我们讨论了幂格的蒯定元我们首先给出了固定元的定义，并通过一些例子证明了 固定元的存在性接着，我们研究了固定元的唯一性，并讨论了固定元与最大元( 最小元) 的关 系 第三章，我们讨论了幂格的- 并( 交) 次同态我们首先给出了它的定义，并通过一些例子讨 论了幂格的并( 交) 次同态与幂格的并( 交) 同态的关系接着，我们研究了次同态的一些性质在 本章的最后，讨论了幂格的一些性质 第四章，我们讨论了一些生成的幂格及其性质通过利用相对予a 的理想和相对于a 的对 偶理想，生成了一些幂格并讨论了其性质通过利用分配格的理想与分配格的对偶理想，诱导出 一些幂格并研究了其性质 第五章，我们推广了模格的概念，给出了幂模格的定义和两个例子同时，我们讨论了分配 幂模格的充分必要条件和幂模格的一些性质接着，我们推广了幂模格，提出了模糊幂模格的概 念并研究了其性质 关键词：格，幂格，幂模格，模糊幂模格 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fp o w e rl a t t i c e sa n dg e n e r a l i z es o m er e s u l t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sw h i c ha l eu s e di nt h ea r t i c l ea n dt h em a i nw o r ko ft h i s a r t i c l e i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h e 做e de l e m e n to fap o w e rl a t t i c e w ef 戤g i v et h ed e f i n i t i o no f 缸e d e l e m e n ta n dd e m o n s t r a t et h ee x i s t e n c eo fl i 】【e de l e m e n tb ys o m ee x a m p l e s t h e nw es t u d yu n i q u e n e s s o ff i 】【e de l e m e n ta n dd i s c 璐st h er e l a t i o nb e t w e e nf i x e de l e m e n ta n dg r e a t e s t ( 1 e a s t ) e l e m e n t i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ej o i n ( m e e t ) s u b h o m o m o r p h i s mo fap o w e rl a t t i c e w ef i r s tg i v ei t s d e f i n i t i o na n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nj o i n ( m e e t ) s u b h o m o m o r p h i s mo fap o w e rl a t t i c ea n d j o i n ( m e e t ) h o m o m o r p h i s mo fap o w e rl a t t i c eb ys o m ee x a m p l e s t h e nw es t i l d ys o m ep r o l ，e * r t i e so f s u b h o m o m o 印h i s m i nt h ee n do f t h ec h a p t e r , s o m ep r o p e r t i e so f p o w e rl a t t i c e sa r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s s8 0 m eg e n e r a t e dp o w e rl a t t i c e sa n dt h e i rp r o p e r t i e s b yu s i n gt h ei d e a lo f r e l a t i v et 0aa n dt h ed u a li d e a lo fr e l a t i v et oa ，s o m ep o w e rl a t t i c e sa l eg e n e r a t e da n dt h e i rp r o p e r t i e s a l ed i s c u s s e d b yu s i n gt h ei d e a lo fad i s t r i b u t i v el a t t i c ea n dt h ed u a l i d e a lo fad i s t r i b u t i v el a t t i c e , s o m e p o w e rl a n c e sa r ei n t r o d u c e da n dt h e i rp r o p e r t i e sa r es t u d i e d i nc h a p t e r5 ，w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to f m o d u l a r l a t t i c e s ，g i v et h ed e f m i t i o no f t h ep o w e rm o d u l a r l a t t i c ea n dt w oe x a m p l e s m e a n w h i l e 。w ed i s c u s sas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fd i s t r i b u t i v e p o w e rm o d u l a rl a t t i c e sa n ds o m ep r o p e r t i e so fp o w e rm o d u l a rl a t t i c e s t h e nw eg e n e r a l i z ep o w e r m o d u l a rl a t t i c e s ，p u tf o r w o r dt h ec o n c e p to ff u z z yp o w e rm o d u l a rl a t t i c e sa n ds t u d yt h e i rp r o p e r t i e s k e y w o r d s ：l a t t i c e ，p o w e rl a t t i c e ，p o w e rm o d u l a rl a t t i c e ，f u z z yp o w e rm o d u l a rl a t t i c e n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名： 暂毅 时间： i 刃7 年厂月甲日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：莉，教 时间： 夏卯7 年月甲日 导师签名： 淖兰 时间：力舶7 年月午日 宁夏人学硕i ：学位论文第一章 - 3 f苦 皇曼! ! 曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼鼍曼曼曼舅舅! 寰曼舅曼鼍曼皇蔓曼曼曼曼曼! 曼曼鼍曼曼鼍i i i i 曼曼曼曼曼皇曼! 鼍曼曼蔓曼曼鼍曼曼 第一章引言 半群作为代数学中一门新兴的学科，其理论内容不断得到丰富与发展格这一满足幂等律、 交换律、吸收律的? ，群，也随着数学的深入研究，不断取得新的进展在h o w i e3 m 1 l 和m a r i o p e t r i c h i z j 的著作中，有关格的理论内容都有相关介绍幂格作为格的研究内容之一，近年米得到 了很快的发展幂格概念的提出，是由于各种数学结构的提升引起的，这些数学结构的提升要求 把讨论范围推广到幂集上李洪兴、汪培庄l j j 首先对群的结构进行了提升，给出了幂群的概念， 并得到了一些结果之后，钟育彬1 】讨论了幂群的结构及其相互关系；张振良吲研究了幂群的结 构与分类；何清、李洪兴h 则对幂群的概念进行了推广，提出了广义幂群的概念继幂群的研究 之后，明平华、郑崇友给出了幂格l ，j 的定义，有关幂格的内容明平华也做了详细的讨论，相关的 内容有幂格及其代数特征【s l ；分配格中理想诱导的幂格【9 l ；分配格中滤子诱导的幂格【1 0 1 ；幂格 的同态与同余关系【l i j ；幂格的素理想与素对偶理想【1 2 j ；幂格与幂集格的关系【1 3 | ；幂格与商格的 关系【1 4 1 由于超代数理论的广泛研究，郭效芝、辛小龙把超运算应用到了格中，提出了超格【1 5 l 的 概念此后，国内的一些学者对超格进行了研究，韩胜伟、赵彬i i o j 讨论了分配超格；肖滢、赵 彬【1 7 l 讨论了超半格及其理想；李小光、辛小龙【1 8 l 研究了商超格鲁静华则在幂格与超格的研究 基础上，给出了幂超格的定义1 1 9 】，并对其性质进行了讨论【2 引随着模糊数学的研究，彭家寅1 2 1 】1 2 2 】 则把幂格的研究内容推j 到了模糊幂集上，提出了模糊幂格的定义从幂格剑模糊幂格仍然有许 多的内容值得进一步研究本文主要研究了幂格和模糊幂模格方面的一些内容在本章中，主要 介绍格与模糊数学的有关知识以及文中刚剑的基本概念 设尸是一个1 空集合，尸上的一个二元关系称为一个偏序关系，如果v 口，b 。c p ， ( 1 ) a 口 ( 自反性) ； ( 2 ) 口b 义bsa a = 6 ( 反对称性) ； ( 3 ) a b 又b c 口c ( 传递性) ； 那么称( 只) ( 或简称p ) 是一个偏序集 如果偏序集( p ；) 满足条件：v 口，b p 有，a 6 或者口6 ，那么称( 只) 是一个全序集 ( 或称为链) 设s 是偏序集p = ( 尸：s ) 的子集， ( 1 )口s ，如果坛s 都有x a ，那么称口是s 的最人元； ( 2 ) a s ，如果眠s 都有x a ，那么称a 是s 的最小元 在一个集合三上定义两个二元运算v 和a ，如果运算v 和 满足：v a ，b ，c ，有 ( 1 ) av 口= a ：aa 口= 口； ( 2 ) a v b = b y 口；a 易= b a ； ( 3 ) ( a v b ) v c = 口v ( 6 v c ) ；( 口人6 ) c = a a ( b c ) ； ( 4 ) a v n 6 ) = a ；a 口v b ) 2 a ； 那么称( 厶v ，a ) 是一个格 设( l ；v ，a ) 是一个格，如果满足以。卜的任意一条：v a ，b ，c ， ( 1 ) a a ( b v c ) = ( a 6 ) v ( a a c ) ： 宁夏夫学硕 ：学位论文第一荦弓l 肓 ( 2 ) a v ( b c ) = ( 口v b ) a ( a v c ) ； 那么称格( l ；v ， ) 是一个分配格 设x 是给定的1 空集合，x 上的模糊子集彳是指x 到【o ，l 】的一个映射 ：x 专【o ，l 】所 确定的序对集么= ( x ，儿( z ) ) l x 彳 ，其中映射心是指彳的隶属函数，对任意石石，4x ) 称为x 对于彳的隶属度 注l 模糊子集彳完全由其隶属函数所确定，因而总把二者不加区分，而直接把模糊子集彳 定义为映射彳：x 专【o ，l 】，对任意x 彳，a ( x ) 称为x 对于a 的隶属度 注2 石上的模糊子集简称为模糊集，x 上的全体模糊子集记为f ( x ) 设4 ，b f l x ) ， ( 1 ) 若对任意工x ，a ( x ) 曰x ) ，则称召包含a ，记作，彳b 或者曰24 ( 2 ) 若4 b ，bs4 ，则称彳与口相等，记作a = b 设a ，b f i x ， ( 1 ) a 与b 的并记为a u b ，a u b f ( 工) ，其隶属函数为 ( 么u b ) ( 工) = 彳( z ) v b ( x ) = m a x ( a ( x ) ，曰( x ) ) ， ( 2 ) a 与召的交记为彳n 口，彳n 口f ( x ) ，其隶属函数为 ( 彳n b ) ( 工) = 彳( j ) 召( 工) = m i n ( a ( x ) ，曰( x ) ) ， v x x v x x 设7 是任意给定的指标集，v t t ，4 是，x ) 上的模糊集， ( 1 ) 4 甜的并记为u 时4 ，其隶属函数为( u 旧4 ) ( 工) = 善彳。( x ) ，v x ex “v ”表示取 上确界 ( 2 ) 4 拒r 的交记为n 旭r 4 ，其隶属函数为( n 。r 4 ) ( x ) = 会4 ( x ) ，坛x “a ”表示取 卜确界 设五【o ，l 】，a f ( x ) ，五与a 的模糊截积记作2 a ，五彳f ( x ) ，其隶属函数为 ( 朋) ( 石) = 2 a ( x ) 对于其它引用的内容，将在各章内容之前进行说明 本文在杜兰老师的指导f ，讨论了一些幂格与模糊幂模格方面的内容，主要解决的问题如下： 1 研究了幂格的内部特征幂格与一般格的定义1 2 3 2 4 】不同，它是在幂集上给出定义的通 过研究幂格，给出了幂格l i i i l 定元的定义，用具体的实例证明了同定元的存在性，并讨论了f i i i i 定元 的唯一性以及同定元与最人元( 最小元) 的关系 2 讨论了幂格的并( 交) 次同态首先给出了它的定义，并通过实例讨论了幂格的并( 交) 次同态与幂格的并( 交) 同态的关系接着，研究了次同态的一些性质，对幂格的性质也做了一 些讨论 3 讨论了一些生成的幂格及相关性质通过利_ j 相对丁a 的理想和相对丁_ a 的对偶理想， 生成了一些幂格并讨论了其相关性质；通过利h j 分配格的理想与分配格的对偶理想，诱导出一些 幂格，并对其做了有关讨论 4 首先推广了模格的概念，给出了幂模格的定义及实例，并讨论了分配幂模格的充分必要条 件和幂模格的有关性质接着，通过利结合模糊数学的有关知识，将幂模格也进行了推j ，得剑 了模糊幂模格，并研究了其相关性质 2 宁夏人学硕f 学f 证论史 第一一：章幂格l ：的同定元 第二章幂格上的固定元 2 1 预备知识 定义2 1 1 【7 1 设( z ；v ， ) 是一格，在三( 尸( ，) 一 g ) 中，定义运算， c a ，曰厶 有， a v - b = av b l a e a ，beb ) ； 彳丛= 口 6 l 口a , b e b ) 如果( 三；- ) 构成格，那么称( 三；了，) 是( ，；v ， ) 上的幂格 定理2 1 11 7 1 设f ；v ，a l 是格( 1 ；v ， ) 上的幂格规定：v a ，b l ，afb 当且仅当 a v b = b ( 彳丛= 么) ，则 是il ；v ，i 上的偏序关系。 以后将v ，f ，仍记作v ， ，这不至于引起混淆 定理2 1 2 1 7 1 设( ，l ；v 。，a 。) 和( 乞；v 2 ，a ：) 都是格( 厶；v 。，a 。) 是格( ；v ，人。) 上的幂格， 映射矽：，l _ ，2 是格同态，记厶= ( 彳) l 彳厶 ，则( 厶；v ：， ：) 是格( 厶；v ：， ：) 上的幂格，且 是幂格( 厶；v 。，a i ) 剑( 厶；v 2 ， 2 ) 的满同态 2 2 幂格上的固定元 定义2 2 1 设( 厶v ，a ) 是格( ，；v ， ) 上的幂格， avb b ，那么称b 是幂格( 厶v ，a ) 的上同定元 定义2 2 2 设( 厶v ，a ) 是格( ，；v ， ) 上的幂格， 如果存在b l ，对任意a l ，都有 如果存住b l ，对任意a l ，都有 a b b ，那么称曰是幂格( l ；v ，a ) 的r 卜同定元 例1 在如图2 1 所示的格( z ；v ， ) ，取尸( ，) 一 f 2 j ) 的子集：厶= o ) ， 口) ， 6 ) ， c ) ， 1 ) ) ； 厶= 口) ， 6 ， o ，口 ，a ，6 ，a ，c ， 6 ，l ，a ，b , c ，1 ，则( 厶；v ， ) 和( 厶；v ， ) 都构成幂格， 其中( 厶；v ， ) 和( 岛；v ，a ) 的h a s s e n 图如下： b 0 c b 0 c j b ) 1 ) a , c 图2 1 格( 1 ；v ，a )i 型2 - 2 幂格( 厶；v ， ) 幽2 3 幂格( 厶；v ，n ) 3 宁疑大学硕卜学位论义第二辛。幂恪l ：的l 吲定兀 - - i ii_ii mi i_i 可知，在幂格( 厶；v ，a ) 中， l 为上同定元， 0 为下固定元在幂格( 乞；v ， ) 中， 口，6 ，c ，l ， 6 ，l 为上固定元， o ，口) 为下同定元 例2 如图2 - 4 ，格( ，；v ， ) 是二元格，取尸( ，) 一 9 的子集：三= o ) ， o 1 ) ， 1 ) ，则 l ；v ， 构成幂格幂格 l ；v ，a 的h a s s e n 图如下： 1 0 图2 4 格( ，；v ，a ) 考察上同定元： 图2 5 1 ) 0 ，1 ) 0 幂格 三；v ，a 对于 l ，有： 0 , 1 ) v 1 = 1 ； 0 v 1 = 1 对- y - o ，1 ，有： 1 v o ，1 = l 0 , 1 ； o v o ，1 = o ，l 冈此，由上同定元的定义， 1 ) ， o ，1 均为幂格 ；v ， ) 的上同定元由此亦知，上1 1 l i | 定元不 唯一 考察下同定元： x cy - o ，有： 0 0 , 1 = 0 ； 0 八 1 ) = 0 对丁 o ，1 ，有： 1 o ，l - 0 , 1 ； 0 o ，1 = 0 0 , 1 因此，由卜f i i i | 定元的定义， 0 ， o ，1 均为幂格 三；v ，a ) 的。卜嗣定元由此亦知，下州定元不 唯一 对丁- - o ，1 而言， 0 , 1 既为上蝤l 定元，又为下固定元因此，上固定元与下固定元可以是 同一个元素 命题2 2 1 设( ；v 。，a 。) 和( f 2 ；v ：， ：) 都是格( 厶；v 。， 。) 是格上的幂格，映射：_ 乞 是格同态，记厶= 矽( 彳) l 彳厶 如果a 是幂格( 厶；v 。，a 。) 的上同定元，那么矽( 么) 是幂格 ( 乞；v 2 ， 2 ) 的上同定元 证明 由定理2 1 1 ，可知，( 厶；v 2 ，a 2 ) 是格( ；v l ， 1 ) 上的幂格，且映射矽是幂格 ( 厶；v l ， i ) 剑幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 的满同态 a 是幂格( 厶；v l ， 。) 的上嗣定元，由上同定元的定义，对任意x 厶，有v la a 映射：厶一厶是( 厶；v i ，a i ) 幂格到幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 的满同态，有 矽( 彳) 2 矽( 肖v 。a ) = 妒( x ) v ：矽( 彳) 由上f i i i i 定元的定义，可知矽( 爿) 是幂格( 厶；v ：， ：) 的上 i i i i 定元 命题2 2 2 设( ，l ；v ， ，) 和( ，2 ；v 2 ，a 2 ) 都是格g ；v 。， 。) 是格上的幂格，映射：一厶 是格同态，记岛= ( 么) l 彳厶 如果a 是幂格( 厶；v 。， ，) 的f 同定元，那么矽( 彳) 是幂格 ( 厶；v ：，：) 的卜_ 州定元 定义2 2 3 没( 厶v ， ) 是格( ，；v ， ) 上的幂格，b 是幂格( 厶v ， ) 的上吲定元如果对任意 4 宁夏人学硕l ：学位论文第二章幂格l ：的同定元 a l ，有a v b = b ，那么称口是幂格( 厶v ， ) 的平凡上固定元此时，平凡上固定元曰为幂 格( 三；v ， ) 的最大元 定义2 2 4 设( ；v ，人) 是格( 1 ；v ，a ) 上的幂格，b 是幂格( 三；v ， ) 的。f 吲定元如果对任意 a l ，有a b = b ，那么称b 是幂格( 三；v ， ) 的平凡下嘲定元此时，平凡下固定元曰为幂 格( 厶v ， ) 的最小元 命题2 2 3 设( ，；v ，a ) 是格如果( ；v ，人) 是格( ，；v ， ) 上的幂格，b 是幂格( 三；v ， ) 的平 凡上固定元，那么曰是唯一的 命题2 2 4 设( ，；v ， ) 是格如果( 厶v ， ) 是格( ，；v ， ) 上的幂格，口是幂格( l ；v ，a ) 的平 凡下固定元，那么b 是唯一的 2 3 幂格中最大、小元与上、下固定元的关系 命题2 3 1 设( 三；v ， ) 是格( z ；v ，人) 上的幂格如果a 是幂格( ；v ， ) 的上固定元，口是幂 格( 厶v ， ) 的最大元，那么b 彳 证明由上同定元的定义，对任意x l ，有xva a ，取x = b ，则有b va a 由 最大元的定义，对任意y l ，有b vy = b 取y = a ，则有bva = b 因此，bs 彳 注 对于命题2 3 1 中的a 、b ，a 不一定是b 的真子集在例l 中， 厶= 口 ， 6 ， o ，以) ， 口，6 ， 口，c ， 6 ，1 ， 口，b ，g 1 ，其中最人元为 6 ，l ，上同定元为 口，b ，e ，l ， 6 ，1 对于 口，6 ，c ，l 而言， 口，6 ，c ，l 旺 6 ，l 命题2 3 2 设( l ；v ， ) 是格( 1 ；v ， ) 上的幂格如果a 是幂格( ；v ， ) 的卜硎定元，召是幂 格( ；v ， ) 的最小元，那么曰s 彳 注 对于命题2 3 2 中的彳、b ，a 不一定是b 的真子集在例2 中，l = ( i o l ， o ，i i ， 1 ， 其中 o 为最小元， o 、 o ，l 为下固定元，对于下同定元 o ，l 而言， o ，1 ) 旺 o ) 命题2 3 3 设( 三；v ， ) 是格( ，；v ， ) 上的幂格， 41 名人 是上同定元的集合如果b 是 幂格( ；v ，a ) 的最大元，按集合的包含荚系定义序关系，即bg4 b 4 ，那么口是集合 鸣l 兄人 的最小元 命题2 3 4 设( ；v ， ) 是格( 1 ；v ， ) 上的幂格， 4i 五人 是下同定元的集合如果b 是 幂格( ；v ，a ) 的最小元，按集合的包含关系定义序关系，即b 4 b 4 ，那么b 是集合 彳，l 五人l 的最小元 5 宁夏大学硕l ：学位论文第三i 章幂格的荇干件质 量曼曼量曼皇鼍量曼皇曼! ! 曼曼曼曼曼皇曼鼍曼皇曼鼍曼鼍苎曼曼曼皇曼曼孽皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼蔓曼曼曼曼曼曼! 曼曼。 i i i o 量曼曼曼曼曼寡 第三章幂格的若干性质 3 1预备知识 定义3 1 11 2 5 映射：专，2 称为格( ，i ；v l ，a 1 ) 剑格( ，2 ；v 2 ，a 2 ) 的一个并同态如果对一切 a , b ，都有( 口v 。6 ) = ( 口) v ：( 6 ) 定义3 1 2 1 2 5 j 映射矽：专乞称为格( ，l ；v ， 1 ) 到格( 乞；v 2 ，a ：) 的一个交同态如果对一切 口，b e t , ，都有( 口a ，b ) = ( 口) ：痧( 6 ) 定义3 1 3 【2 6 l 设异= ( 日， 1 ) 和昱= ( ，2 ) 是两个偏序集映射：日专罡称为一个保序 映射如果对一切口，b 舅，都有口lb j 矽( 口) 2 夕( 6 ) 定义3 1 4 1 2 7 j 设( ；v ， ) 和( ，2 ； ，o ) 是两个格，给定( ，2 ；。，十) ，这里。和+ 分别是，2 的二元运算对于任意( 口i ，岛) ，( a 2 , 6 2 ) f l f 2 ，有 ( a t , 6 1 ) 。( a 2 , 吃) = a 。v 吒，6 io 眈) ， ( a i 岛) + ( 口：，如) = ( a la a 2 ，6 io 包) ， 则称( 厶；o ，+ ) 是格( ；v ，a ) 和格( f 2 ；o ，o ) 的直积 可以由e 明，两个格的直积仍是一个格 3 2幂格的并( 交) 次同态 定义3 2 1 设厂：厶一厶是幂格( 厶；v i ，a 。) 剑幂格( 厶；v 2 ，a 2 ) 的映射如果对彳，b 厶， 都存在a i f 1 ( ( 爿) ) ，蜀f ( ( 口) ) ，使得 f ( a 。v 。最) = f ( a t ) v ：( e ) ， ( s ( 4a 。e ) = f ( 4 ) a ：( 最) ) ， 那么称厂：厶一厶是幂格( 厶；v l ，a i ) 到幂格( 厶；v 2 ，a 2 ) 的并( 交) 次同态 如果厂：厶厶既是并次同态，又是交次同态，那么称厂：厶专厶是次同态 例1 在图3 - 1 所示的格，；v ，a ) 中，取p ( 1 ) - a 的子集： 厶= o ，口) ，a ，1 ) ， 以) ， o ，口，l ，5 2 = o ) ， 口) ， 1 ) ，则( 厶；v ，a ) 和( 厶；v ，a ) 都构成幂格， 其中幂格( q ；v ，a ) 和幂格厶；v ， ) 的h a s s e n 图如。f ： 1 a b = o ，a ，1 0 c = a ) d = o ，a a 1 = 1 j c 1 - a d i = o ) 幽3 1 6 ( 1 ；v ，a ) 圈3 2 幂格( 厶；v ，a )幽3 3 幂格( 厶；v ，a ) 6 定义映射厂：厶一厶，如图3 - 4 所示： b 图3 4 映射：厶_ 厶 由于，f ( s c ) = 厂( d ) = d l 且厂( b ) 厂( c ) = 4 c i = q ，使得 f ( b c ) 厂( b ) 厂( c ) ， 因此，f ：厶专厶不是幂格( 厶；v ， ) 到幂格( 岛；v ，人) 的交同态但是，：厶厶是幂格 ( 厶；v ，h ) 到幂格( 岛；v ，a ) 的交次同态- 1 ( ( 彳) ) = 彳，b ；，厂叫( 厂( c ) ) = c ) ， f 以( 厂( d ) ) = d ) ，有： f ( a a c ) = s ( c ) = q 且厂( 彳) ( c ) = 4 a c l = g ； s ( a 人d ) = 厂( d ) = d ie f ( a ) f ( d ) = 4 a d i = d i ； f ( c a d ) = ( d ) = q u s ( c ) s ( o ) = q d l = d l ； ( 艿 d ) = 厂( d ) = d l 且厂( 8 ) 厂( d ) = 4 4 = q 例2 格( ，；v ， ) ，幂格( 厶；v ，a ) ，幂格( 厶；v ，a ) 的定义与例1 的定义相同，定义映射 厂：厶专厶，如图3 - 5 所示： b a 1 c 1 d 1 图3 - 5 映射：厶一岛 由于，厂( 8 v c ) = 厂( 4 ) = 4 且厂( 曰) v 厂( c ) = qv c , = c l ，使得 f ( b v c ) 厂( 口) v 厂( c ) ， 因此，厂：厶。厶不是幂格( q ；v ， ) 到幂格( 厶；v ，a ) 的并同态但是，f ：厶哼厶是幂格 ( q ；v ， ) 到幂格( 厶；v ，a ) 的并次同态f 叫( ( 彳) ) = 么) ，f 一( 厂( c ) ) = c ， f 叫( ( d ) ) = b ，d ，有： f ( a v d ) = 厂( 彳) = 4 i 4f ( a ) v f ( d ) = 4 v d i = 4 ： f ( a v c ) = f ( a ) = 4r f ( a ) v f ( c ) = a iv c , = 4 ； f ( c v d ) = f ( c ) = c i 且厂( c ) v 厂( d ) = c iv d , = c l ； 厂( 艿v d ) = ( 艿) = d ir f ( b ) v f ( d ) = 口v d , = d i 例3 设( ；v l ，a 。) 是三元格，其h a s s e n 图如图3 - 6 所示取尸( ，i ) o 的子集： 厶= 口，1 ) ， 口，o ) ， o ，口，1 ) 口 ，则( 厶；v 。， 。) 构成幂格，其h a s s e n 图如图3 7 所示设 ( t 2 ；v ：，a ：) 是格，h a s s e n 图如图3 8 所示取p ( f 2 ) 一 g 的子集：乞= o ， 口 ， 6 ) ， 1 ) ， 则( 厶；v 2 ，a 2 ) 是幂格，其h a s s e n 图如图3 - 9 所示 使得， b = a 图3 _ 6 格( ；v i ，a i )图3 7 幂格( 厶；v l ，a 1 ) o b b l = a 1 c l = b 图3 8 格( 之；v 2 ，a 2 )圈3 9 幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 定义映射厂：厶厶，如图3 - l o 所示， b d d 1 c 1 圈3 - 1 0 嗍t , t f ：厶寸岛 f - , ( 厂( 艿) ) = 彳，b ，f - , ( ( c ) ) = c ，f - , ( 厂( d ) ) = d ，显然有， f ( a a 。c ) = y ( c ) = c l 且厂( 彳) 人：厂( c ) = ea ：c i = q ， ( 彳 。c ) ( 彳) ：y ( c ) 宁疑人竿坝i ：字化论义第二节幂惜阴i i 十件胰 但是映射厂：厶一岛仍然是幂格( 厶；v 。， 。) 剑幂格( 厶；v ：， ：) 的交次同态因为有， 厂( 曰 。c ) = 厂( d ) = 日且厂( 艿) ：s ( c ) = 蜀a ：q = q ； 厂( b 八ld ) = 厂( d ) = q 且厂( 曰) ：厂( d ) = 置a ：q = q ； ( c 。d ) = ( d ) - - d , 且厂( c ) ：s ( d ) = c la ：d l = d l ； 厂( 彳a 。d ) = 厂( d ) = d l 且厂( 彳) ：厂( d ) = 置 ：q = d i 映射厂：厶_ 厶不是并次同态，因为， 厂( 彳) v ：( c ) = 蜀v ：q = 4 i i tf ( a v tc ) = ( 彳) = 骂； 厂( b ) v ：厂( c ) = 蜀v ：q = _ g f ( b v 。c ) = 厂( 4 ) = 骂 综上所述，映射：厶厶是幂格幂格( 厶；v l ，a 1 ) 到幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 的交次同态，但不是 并次同态 例4 设格( ；v l ，a i ) ，格( 厶；v 2 ，a 2 ) ，幂格( 厶；v l ， 1 ) ，幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 的定义与例3 中的定义相同，定义映射f ：厶寸厶，如幽3 1 1 所示： b d 图3 - 1 1 映射，：厶一厶 f 。1 ( 厂( 么) ) = 彳 ，f 。1 ( 厂( b ) ) = 口，d ，f 一( 厂( c ) ) = c 虽然有， f ( d v 。c ) - - ( c ) = q 且( d ) v ：s ( c ) = 骂v ：q = 4 ， 使得 f ( d v 。c ) ( d ) v ：( c ) 但是，映射厂：厶一厶仍然是幂格( 厶；v ， 1 ) 到幂格( 厶；v 2 ， ：) 的并次同态冈为，有： f ( b v c ) = 厂( 彳) = 4 且厂( 曰) v ：( c ) - - 蜀v ：c l = 4 ； f ( b v a ) = 厂( 么) = 4 且( 召) v ：厂( 彳) = 且v ：4 = 4 ； f ( c v 。a ) = 厂( 么) = 4 且( c ) v ：厂( 彳) = c lv ：4 = 4 ； f ( a v 。d ) = 厂( 彳) = 4 且( 彳) v ：s ( d ) = 4v ：墨= 4 映射厂：l i 一如不是交次同态冈为，有 ( 曰 。c ) = ( d ) = 墨且厂( 曰) ：s ( c ) = 墨a ：g = d i ； 厂( d lc ) = 厂( d ) = 蜀1 4 f ( d ) , ：厂( c ) = b i ：c l = q 综上所述，映射：厶专厶是幂格幂格( 厶；v l ，a 。) 剑幂格( 厶；v 2 ，a 2 ) 的并次同态，但不是 交次同态 例5 设格( ，；v ， ) ，幂格( 厶；v ， ) ，幂格( 厶；v ，人) 的定义与例1 相同，映射：厶寸厶 的定义也相同，则可证明f ：厶一厶既为交次同态，义为并次同态冈此，f ：厶一厶是次同 杰 9 宁夏大学坝七学位论文第三荦幂格的看干件质 定理3 2 1 如果映射厂：啼厶是幂格( 厶；v i ，a 1 ) 到幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 的保序映射，幂格 ( 厶；v 。，人i ) 构成链，厂( 厶) = ( 彳) 1 4 e 厶 是幂格( 厶；v ：， ：) 的子格，那么厂：厶一厶是 幂格( 厶；v l ，a i ) 到幂格( 厶；v 2 ， 2 ) 的并次同态 i i f ：1 1 对任意4 ，8 厶。 e 有a e f q ( 厂( 彳) ) ，雪厂1 ( ( 曰) ) 因此，有 厂叫( 厂( 彳) ) 囝 ，f _ ( ( b ) ) g 取4 f q ( 厂( 彳) ) ，b f - i ( 厂( 曰) ) 幂格( 厶；v l ，a i ) 构成链，有4 气丑或者最- - - i4 不妨设4 名 ，称为模糊集彳的名一强截集 显然，4 4 ，以z 4 x 引理5 1 - 1 川设( ，；0 ， ) 是一个格，上的全体模糊子集组成的集合叫做格( j ；v ， ) 的模糊 幂集，i 已为f ( 1 ) o 表示空集合由多元扩展原理，格( ，；v ， ) 中的运算v 和人均可扩展到，( ，) 中：对任意么，b ，( ，) ，有 av b = u z e f o 1 l 见( 4v 易) ，a a b = u 2 e o 。1 兄( 4 易) ， 其中a vb f ( z ) ，a 人口f ( 1 ) ，4 、b 分别是模糊集彳、b 的名一截集，而且 4 v b ；t = av b l a 鸣，b 岛 ，以a b a = a a b l a 4 ，6 毋) 约定对任意彳f ( i ) ，a va = o v 么= a ，彳 o = 彩 a = o 由于打印的关系，将原文中的部分符号进行了改写 命题5 1 1 【2 i j 设( 1 ；v ，a ) 是一个格，f ( 1 ) 为其模糊幂集对任意a ，b f ( i ) ，则 a v b ，a a b 的隶属函数为： ，、 ( 彳v b ) ( z ) = s u p n l i n ( 彳( 口) ，召( 6 ) ) f x - - a v b ，口l , b ， ，x z l ( 彳 曰) ( 石) = s u p m i n ( 彳( 口) ，芎( 6 ) ) i 石= 口 6 ，口j ，b ， ，x ， 命题5 1 2 学( ，；v ， ) 是一个格，f ( i ) 为葶模糊幂冬如果对任意彳，b f ( ，) ，那 么么v b = u 州l 兄【幺v & j ，彳人b = u 硝o - j 名1 4 & j ，其中4 为彳的力一强截集， 为b 的a 一强截集 命题5 1 3 m ( t ；v ，a ) 是一个格，f ( z ) 为其模糊幂集如果对任意4 ，b f ( i ) ，那 么对任意五【o ，1 】，( a vb ) 五= 4v 易，( 彳 b ) 五= 4 毋成立 定义5 1 3 1 2 1 1 设( ，；v ， ) 是个格：上，( ，) j 若( z ；v ，久) 构成格，则称( ；v ，人) 是格 ( 1 ；v ， ) 上的模糊幂格 定理5 1 1 【2 1 j 设( ，；v ， ) 是一个格，l f ( 1 ) ，则( 厶v ， ) 是模糊幂格的充要条件是：x , l 任意a ，b l ，有 ( 1 ) a vb l ： ( 2 ) aa b l ： ( 3 ) a v ( a b ) a ； 宁夏大学硕b 学位论文第五章幂模格与模糊幂模格 lj ! i i _i iim iiz _ _ - - 皇皇曼寰曼曼曼皇皇鼍曼皇暑皇曼置 ( 4 ) 彳 ( 彳v 曰) g 彳 5 2 幂模格 定义5 2 1 设似v ， ) 是一个格，l _ c p ( ，) 一 f 2 j ，在三上定义运算：对任意彳，b 二， 有 。 a v b = a v b l a e a ，6 口 ， a b = a b l a a ，b e b 如果( 三；v ， ) 构成一个幂格，且满足，对任意彳，b ，有 ( 彳 b ) v ( 彳 c ) = 彳人 曰 ( 一 c ) ， 那么称( 厶v ，a ) 是格化v ， ) 上的幂模格 例1 在图5 - 1 所示的格似v ， ) 中，取= 4 ，a ，l ， o 口 ， o 口，l ，则幂模格构成幂 模格，其l a s s e n 图如图5 2 所示 1 a 0 ，a ，1 0 0 ，a a 图5 1 格( ，；v ， )图5 2 幂模g r ( l ；v ， ) 在一般情况下，幂格与幂模格是不等价的如例2 例2 在图5 - 3 所示的格( z ；v ， ) 中，取三= o ) ， 口) ， 6 ) ， c ， l ，则( 厶v ， ) 是幂格 但不是幂模格，因为有( 口 c ) v ( 口 6 ) ) 口 c v ( 口 6 ) h a s s e n 图见图5 _ 4 a b c c 图5 - 3 格( ，；v ，a )图5 - 4 幂格( 厶v ， ) 定理5 2 1 设( ；v i ，a 。) 和( 乞；v 2 ，a 2 ) 都是格，姐罘( 厶；v l ，a ，) 是格( 厶；v l ，a i ) 上的幂模格， 矿：厶一乞是格( ；v 。， 。) 到格【f 2 ；v ：， ：) 的格同态，令厶= ( 彳) i 么厶 ，那么( 厶；v ：， ：) 是格( 厶；v 2 ，a 2 ) 上的幂模格，且：厶一厶是幂模