（应用数学专业论文）模糊集表现定理的研究及其应用.pdf

模糊集表现定理的研究及其应用 摘要 本文首先讨论在模糊集的值格仅为完备格时，分别基于并交映射和交并映 射的模糊集表现定理其次用这种形式的表现定理研究与截集相关的几个公开 问题 第一章为绪论部分主要内容包括文献综述、本文主要工作以及相关的几 个基本概念 第二章分别研究了基于并交映射和交并映射的模糊集表现定理表现定理 是模糊集理论的三大基本定理之一，体现了模糊集合和经典集合之间的联系因 此，许多专家和学者都曾对其进行过深入的研究，研究方法和表现形式也呈现出 多样性但是，值得指出的是，多数文献中的表现定理是对模糊集的值格加强限 制条件下得到的，例如有些文献要求值格为稠密完备格、完全分配格或者实单 位区间等等显然，尽可能地减弱值格的条件限制是大家所期望的几十年来， 若干相关研究工作在不断的进展中但有一点在诸文献中可以达成共识，即值 格是完备格时才更有意义目前，这方面的探索工作已见之文献本章也正是在 值格仅为完备格的条件下，研究一种新的模糊集表现定理 。第三章研究了新的表现定理在处理与截集相关的几个公开问题中的应用 在模糊集理论的形成过程中，产生了若干公开问题其中一些公开问题反映的是 模糊集与经典集之间的联系由于模糊集与值格环境有关，因此，不同的值格环 境解决问题的办法也不尽相同本章在值格仅为完备格环境下，给出了这些公开 问题的新解决办法，主要工具是基于保并交映射和交并映射的模糊集表现定理 关键词：完备格；并交映射；交并映射；截集；表现定理 t h e i n v e s t i g a t i o no nr e p r e s e n t a t i o ! nt h e o r e mo f f h z z ys e t sa n di t sa p p l i c a t i o n s a b s t r a c t f i r s t l y ，t h i spa i p e rd i s c u s s e st h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sw h i c hb a s e do n u n i o n i n t e r s e c t i o n - p r e s e r v h gm 印p i n ga n di n t e r s e c t i o n - u n i o n p r e s e i n gm a p _ p i n gr e s p e c t i v e l y u n d e rt h ec o n d i t i o no fw h i c h t h em e m b e r s h i pd e g r e e s1 a t t i c ei s o n l yc o m p l e t el a t t i c e s e c o n d l y ji tu s e st h i sn e wr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mt os o ；v e s o m ep u b l i cp r o b l e m sc o n c e m i n gw i t hc u t s c h a p t e rl i se x o r d i u m s i tm a i i n l yi n c l u d e st h es u m m a r i z 孕t i o no ft h i sp 舡 p e r 、t h em a i n 晡r o r ka n ds o m eb a s i cn o t a t i o n s c h a p 七e r 2i st h ei 1 1 、，e s 七i g a 七i o n o fr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sw h i 出r e s p e c t i v e l yb a s e do nu n i o n - i n t e r s e c t i o n - p r e s e 州n gm a p p i n ga n di n t e r s e c t i o n 。u n i o n - p r e s e i n gm 印p i n g r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mi so n e o ft h et h r e eb a l s i ct h e o r e m s i 1 1n z z y8 e t st h e o r y i tr e v e l st h er e l a t i o nb e t w e e nf u z z ys e t sa n dc l a s s i c a ls e t s h e n c e ，1 0 t so fe x p e r t sa n ds c h o l a r sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di 乇i n t e n s i v e l y a n d t h em e t h o d sa n df o r m s 缸ea l s ov 甜i e t y w h e r e a s ，w h a tw o r t ht os a yi s 七h a t t h er e d r e s e n t a t i o n t h e o r e mi nm o s to fh t e r a t u r e si so b t a h l e db ys t r e n 甜h e nt h e c o n d i t i o no ft h em e m b e r s h i pd e g r e e sl a t t i c e s u c ha si tn e e d st h em e m b e r s h i p d e g r e e s1 a t t i c ew a sd e n s ec o m p l e t el a t t i c e ，c o m p l e t e l yd i s t r i b u t e1 a t t i c eo ru n i t i n t e r v a j ，e c t o b v i o u s l y w ee x p e c tt ow e a k e nt h ec o n d i t i o n0 ft h em e m b e r s h i p d e g r e e sl a 七t i c ea sp o s s i b l ea sw ec a n f 研y e a r s ，s o m es c i e n t i a cr e s e 舡c hw o r k a r ei nd e v e l o p i n g b u tt h e r ei so n et h i n gw ec a nc o m et ou n d e r s t a n d i n g ，t h er 争 s u l ti sm o r es i g n 进c a n tw h e n 七h em e m b e r s h i pd e g r e e sl a t t i c ei sc o m p l e t el a t t i c e p r e s e n t l y t h ew o r ki nt h i sr e s p e c tc a nb ef i n di nl i t e r a t u r e s i nt h i sc h a p t e r ， i ti i r v 鹊t i g a t e san e wr e p r e s e n t a t i v et h e o r e mu n d e rt h ec o n d i t i o no fw h i c ht h e m em _ b e r s h i pd e g r e e sl a t t i c ei so p l yc o m p l e t e1 a t t i c e c h a p t e r3i st h ea p p l i c a t i o no ft h i sn e wr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mi ns 0 1 访n g 模糊集表现定理的研究及其应用 s o m ep u b l i cp r o b l e m sc o n c e r n i n gw i t hc u t s d u r i n gt h ee s t a b l i s h m e n to ff u z z y s e t st h e o 吼t h e r ea r el o t so fp u b l i cp r o b l e m sb e i n g p o s e d s o m eo f 乞h e ma r ea b o u t t h er e l a t i o nb e t 、7 l r e e nf u z z ys e t sa n dc l a s s i c 缸s e t s f 1 u z z ys e t si sc o n c e r n e dw i t h e n m r o n m e n t t h em e m b e r s h i pd e g r e e sl a t t i c e ，t h e r e f o r e ，t h em e t h o d so fs o l v i n g p r o b l e m sa r ed i & r 6 n tw h e nt h ee i i r o n m e n td i 丘- e r e n t i nt h i sc h a p t e r ，u n d e rt h e e i 1 r o n m e n to tc o m p l e t el a t t i c e ，i tg i v e s8 0 m en e ws o l v i n gm e t h o d so ft h e 七h r e e p u b l i cp r o b l e m s t h et 0 0 1i st h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mw h i c hb a s e do nu n i o n i n t e r s e c t l o n 。p r e s e n r l n gm a p p i n ga n di n t e r s e c t i o n - u n i o n p r e s e r v i n gm a p p i n g k e y w o r d s ： c o m p l e t el a t t i c e ； u n i o n - i n t e r s e c t i o n - p r e s e r v i n gm a p p i n g ； i n t e r s e c t i o n - u n i o n p r e s e r v i n gm a p p i n g ；c u t s ；r e p r e s e n t a 七i o nt h e o r e m x 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络 向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：动力放 导师签专： 签字日期：汤斫年，月，了日 扣渺i 目 替醐：仲歹月7 1 日 第- 1 章绪论 1 1 文献综述 模糊数学的基础是模糊集合论，模糊集是z a d e h 1 在1 9 6 5 年创立的模糊 集合论的最基本的概念对格值模糊集的系统研究起始于上世纪7 0 年代， g o g u e n 2 1 较早地做了这方面的研究工作，n e g o i t a 和r a l e s c u 等人对此做了较为 深入的研究( 见文献 3 5 1 ) 自7 0 年代引入模糊数学研究以来，我国学者对模糊 数学的发展做出很大的贡献，其中l i u 和l u o 的著作( 6 】就是这方面的主要成果之 一值得指出的是，自模糊数学诞生之日起，模糊数学工作者就对模糊集合与经 典集合之间的联系进行广泛的研究为了建立经典集合和模糊集合之间的联系， 国内外学者从各种角度着手做了大量的研究工作( 如文献( 3 5 ，7 1 1 等) 其 中表现定理是建立这种联系的主要形式，如r a l e s c u 4 是这方面较早的文献之 我国学者罗承忠7 1 最早提出集合套的概念，并以此为工具建立模糊集的表现定 理。随后张文修f 9 1 、史福贵f 1 2 1 等又分别研究了不同形式集合套上的模糊集表现 定理更多表现定理的研究见 1 3 1 5 等 随着模糊集理论研究的深入，我们注意到国内外诸多学者在研究各种形式 的模糊集表现定理时总是或多或少地给模糊集的值格加上一定的限制条件如 文献f 8 ，1 4 一1 5 1 研究的是值格为实单位区间时的模糊集表现定理，文献 9 】中的 表现定理要求模糊集的值格为稠密完备格，而文献 1 2 要求值格为完全分配格等 等显然，这样得到的结果逐渐不能满足更广泛意义上应用的需要减弱值格的 限制条件是学者们期望看到的值得指出的是，文献 1 3 在隶属度值格l 为完备 格的条件下，研究了基于集合套的模糊集表现定理是尝试取消值格限制条件的 代表性工作之一因此，本文工作的一个方面正是研究当值格仅为完备格时，分 别基于并交映射和交并映射的模糊集表现定理 当建立了模糊集合和经典集合之间的联系后，模糊集的一些性质往往可 以由经典集合来刻画如截集就是刻画模糊集最基本和最常用的工具之一，许 多模糊集问题的研究正是通过转化成对模糊集截集的研究而得以解决的( 见 文献1 4 ，1 6 1 8 1 ) 随着截集理论研究的深入，逐渐产生了若干公开问题问 题3 1 1 曾在文献 1 9 】中提出并在文献f 2 0 1 中通过构造模糊集之间的等价关系的办 模糊集表现定理的研究及其应用 法得到解决问题3 1 2 曾在文献 6 ，2 1 】中提出并在文献 1 7 ，2 2 】中均得到过解决， 其中文献 2 2 中解决方法见定理3 1 6 问题3 1 3 分别在文献 6 ，1 7 】中有不同解决 办法本文用第二章建立的表现定理从新的角度统一解决了这些问题，方法更 具可读性 1 2 本文主要工作 本文主要做了两方面的工作一是在模糊集的值格仅为完备格时，首先研究 了并交映射和交并映射性质，其次以这两种映射为工具得到了一种新的模糊集 表现定理，建立了模糊集和经典集之间的联系二是利用建立的表现定理解决了 几个与截集相关的公开问题这些问题列举如下： ( 一) 在什么条件下，模糊集肛：x _ l 和：x l 具有相同的截集族? ( 二) 设x 是非空集，f p ( x ) 满足什么条件时，存在一模糊集，使得f 与该 模糊集的截集族相等? ( 三) 设x 是非空集，l 是完备格，f p ( x ) p ：x _ l 是模糊集满足什么 条件时，f 是肛的截集族? 最后，这些问题都得到了圆满的解决，达到预期较为理想的结果 1 3基本概念 本节主要介绍文中涉及到的几个基本概念，可分别参见文献【1 1 ，2 3 2 6 】等 1 3 1 二元关系和等价关系 定义1 2 1 设x ，y 是两个非空集合如果r 是x 与y 的笛卡尔积x y 的 一个子集，即冗c x y ，则称r 是从x 到y 的一个二元关系，简称关系对任 意( z ，可) x y ，若( z ，秒) 忌则称z 与掣具有关系r ，记作z 励；若( z ，y ) 譬r ，则 称z 与可不具有关系冗，记作z a 可 定义1 2 2 设r 是从x 到x 的一个二元关系，若r 同时满足以下三个条件： ( i ) 自反性：任意z x ，恒有z 尼 ( i i ) 对称性：若z 兄可：贝0 夕冗z ； 2 模糊集表现定理的研究及其应用 ( i i i ) 传递性：若z 励和芗r z 同时成立：则z r z 成立 此时，称兄是集合x 中的一个等价关系 1 3 2 偏序集、格、完备格、对偶格 定义1 2 3 设l 是非空集，是l 上的二元关系若满足以下性质： ( i ) 自反性：比三，口盘； ( i i ) 反对称性：v a ，6 l ，口6 ，6 8 兮口= 6 ； ( i i i ) 传递性：b 么，6 ，c 三，d 6 ，6 c = o c 则称为l 上的偏序关系，并称( l ，) 为偏序集 定义1 2 4 设( ，) 是偏序集，若l 关于有限并和有限交都封闭，则称偏序 集( 己，) 为格，也记作( l ，v ， ，o ，1 ) ，或简记作厶这里o = v d ，1 = 0 定义1 2 5 设( ，) 是偏序集，若的每个子集a 都有上确界和下确界，即任 意对a c 厶s 印a 与i n ，a 恒存在，则称l 为完备格 定义1 2 6 设( l ，) 是格，则称( 三，d ) 是( 厶) 的对偶格，其中序关系d 满足 对任意o ，6 厶有以下等价关系成立 o d 6 6 口 3 第2 章基于并交映射和交并映射的模糊集表现定理 本章在模糊集的隶属度值格仅为完备格的条件下，首先研究了并交映射和 交并映射的性质，然后给出了基于这两种映射的模糊集表现定理 2 1预备知识 本文用己记完备格，x 是非空集，x 的子集全体记作p ( x ) 映射芦：x _ l 称 为模糊集，其全体记为三x ( 见文献 8 一l l 】) 三x 从l 中点式地诱导出序关 系“”使得( 己x ，) 仍为完备格对任意o 明铂p 己x ，记两种形式截集分别 为( p ) = zi 弘( z ) 口) 和k ( p ) _ zi 弘( z ) 菇8 1 又记映射口a 弘：x 一使得 任意。x ，( 口八p ) ( 。) = 8 p ( z ) ，映射a v p ：x _ 己使得任意z x ， v 卢) ( z ) 二 口v 肛( z ) 文中不区分x 的子集及其特征函数 下面给出本章所需一些预备结论，其中多数结论在文献中已见( 如( 1 2 】) ，但 为了本文完整性，我们同时提供了其中一些结论在值格l 为完备格条件下成立 的简略证明方法 命题2 。1 。1 ( l 一集分解定理 9 ，1 2 】) 设x 是非空集，三是完备格，p l x ，则 ( 1 ) 卢= v ( o 八气( p ) ) ； ( 2 ) 弘= 八( o v 。b ( p ) ) 命题2 1 2 设l 为完备格，x 为非空集， 肌) t l x 则对任意o 三，有 ( 1 ) ( a 地) = n ( 地) ； ( 2 ) 。凸( v 触) = uk ) 证明( 1 ) 任取z 气( 八胁) ，则有人肌( z ) o 成立从而对v t ，必有肌( z ) o 成 立，即z n ( 他) 因此，( 八他) n ( 肌) 反过来，任取z nl ( 卢t ) ，则对v t t ，有z ( 他) ，即脚( z ) o 成立，进而 a 纯( z ) 8 成立，即z 下口( 八) 证得n 气( m ) 气( a 胁) 综上，( 1 ) 式成立 ( 2 ) 任取z 譬如( v 灿。) ，则有v 触( z ) q 成立，从而对v 亡r ，均有p ( z ) n 成立， 即z 隹h ( 胁) 由此可知z 隹u 口( 地) ，证得u 。口( 地) k ( v 胁) 模糊集表现定理的研究及其应用 反过来，同理易证，。a ( v 肌) u6 口( 儿) ? 综上，( 2 ) 式成立 口 t tt t 命题2 1 3 【1 2 j 设x 为非空集，己为完备格则对任意凸l ，p 三x ，有 ( 1 ) 气( 弘) = n 如( p ) ； 6 兰a ( 2 ) k ( p ) = u n ( p ) 6 口 证明( 1 ) 对任意。( p ) ，则肛( z ) o 由命题2 1 1 知：肛( z ) = 八( 6 v 如( p ) ) ( z ) 凸 则对v 6 l ，w 幻( 芦) ( z ) o ，从而当6 芝。时，z ( p ) ，进而z n 幻( p ) 即 6 兰g 证气( p ) n 幻( p ) 6 兰a 反过来，设z 隹( 弘) ，则p ( z ) 芝o 由命题2 1 1 知p ( z ) = 八( 6 v “( 卢) ) ( z ) 芝口， 则j 芝o ，使得6 0 v ( 弘) ( z ) 芝。成立从而z 圣( p ) ，所以z 隹n ( p ) ，即证n 如( p ) 亿( p ) 罐口6 芝口 结论成立 ( 2 ) 设z 。( p ) ，贝u p ( z ) 菇o 由命题2 1 i 知( z ) = v ( 6 人死( p ) ) ( z ) 菇n ，贝归6 0 菇n 使 得6 0 八( p ) ( z ) 菇o ，因而z ( 肛) 进而z u 乃( p ) ，证得。( 肛) u 乃( p ) 6 菇口6 菇口 反过来，当凸= 1 时，显然成立当凸1 时，设z 譬如( p ) ，则卢( z ) n ，即p ( z ) = v ( 6 八乃( p ) ) ( z ) n 因此对v6 厶6 八乃( 弘) ( z ) o ，故当6 菇。时，必有z 聋丁6 ( 卢) ( z ) 从而。簪u ( p ) 证得u 乃( p ) k ( p ) 结论成立 口 6 菇口6 茗d 命题2 1 4 设x 是非空集，三为完备格，p l x ， 凸ti 挺丁) l 记q = vn t ， p = 砚则下列结论成立， t t ( 1 ) 【9 】( p ) = n ( p ) ； ( 2 ) 印( p ) = u 。口。( 弘) t 证明仅证明( 2 ) 式 印( p ) = zp ( z ) 菇p ) = zip ( z ) 菇入凸t ) t t - u _ zl 弘( z ) 菇瓯) = u k 。( p ) 口 t tt t 推论2 1 5 设x 是非空集，l 是完备格，且p ，l x 则下列推理关系成立 6 模糊集表现定理的研究及其应用 ( 1 ) 弘= z ，兮v n 三，亿( 肛) = 气( ) ； ( 2 ) 弘= 二，事v a ，屯( p ) = ( ) 证明( 1 ) 兮：由截集的定义显然成立 仁：设对v o ，有气( p ) = ( y ) ，则由定理2 1 1 的( 1 ) 式可知： p ；v ( 口人丁口( p ) ) = v ( 口 ( 扩) ) = 口ld l ( 2 ) 证明思路同( 1 ) 式 口 2 2 并交映射和交并映射 本小节着重介绍并交映射和交并映射的概念及实例，并给出描述他们性质 的若干结果 定义2 2 1 设x 是非空集，是完备格，若映射日：_ = p ( x ) 满足 月( v 丸) = n 日( 九) ( 其中v 挺! z 儿l ) ， t rt t 则称映射日为并交映射又若映射日：l _ p ( x ) 满足 日( 八久t ) = u 日( 九) ( 其中v 互九) ， t 丁t t 则称映射日为交并映射口 本文记由到x 的幂集上并交映射的全体为西l ( x ) ，交并映射的全体记 为零l ( x ) 事实上，本文中的并交映射和交并映射的概念分别与张文修【9 】等提 到得集轮和开集轮的概念是一致的，只是本文使用的是更具广泛意义的映射的 形式 以下是分别满足并交映射和交并映射定义的两个实例 例1 设x 是非空集，三是完备格则对任意p 三x ，由命题2 1 4 ( 1 ) 可知， 气一) ( 卢) ：l _ p ( x ) 是并交映射 例2 设y 是非空集，三是完备格则对任意p l x ，由命题2 1 4 ( 2 ) 可知： q 一) ( ) ：l _ p ( x ) 是交并映射 7 模糊集表现定理的研究及其应用 为了研究西( x ) 的性质，首先定义西l ( x ) 上的序关系“”如下：任意日l ，日2 西l ( x ) ，定义序关系：研凰营v 尼l ，研( 七) 飓( 七) 则可证( 垂l ( x ) ，) 是偏序 集定义映射日1 ：l 叶p ( x ) ，满足任意尼l ，日1 ( 尼) = x 时，日1 是西l ( x ) 中的最 大元；又定义映射日2 ：三_ p ( x ) ，满足 日2 ( 尼) ：! x bo 一 【纽七o 时，日2 是圣l ( x ) 中的最小元 易知( 圣l ( x ) ，) 是总有最大元和最小元的偏序集 口 基于上述西l ( x ) 上定义的序关系，下文将得到并交映射的几个重要性质及 相关定理，为本章第三节表现定理的研究奠定了基础 命题2 2 2 设x 是非空集，l 是完备格，则( 圣l ( x ) ，) 是完备格 证明( 1 ) 由于( 西工( x ) ，) 是偏序集，因此要证明( 西l ( x ) ，) 是完备格，只需 证明西l ( x ) 有最大元且对任意交封闭即可由前述已知西l ( x ) 有最大元，现证对 任意交封闭如下：设v t z 鼠西l ( x ) 及v 乜厶定义 ( 凰) ( q ) = n 凰( q ) t tt t 可证八凰西二( x ) ，并阜a 吼是 巩lt t 的下确界证明如下： 首先证明八凰西l ( x ) 由于以下等式 ( 凰) ( v q 。) t t8 s = n 凰( v ) = n n 凰( ) t ts s8 s t t = n ( n 吼) ( ) = n ( 入吼) ( a 。) 矗st r5 s 丁 成立，即证得a 凰孽圣三( x ) t t 其次证明八凰是 凰l 亡t ) 的下确界 ( i ) 因为v q l ，( 八凰) ( q ) = n 矾( q ) 巩( q ) ，从而有不等式八凰风成立 所以八凰是 玩lt t 的下界 ( i i ) 设g 是 凰i t 的任一下界，即v zg 凰从而有不等式g 八鼠成 立所以八凰是 凰it t ) 的最大下界 8 模糊集表现定理的研究及其应用 由( i ) 和( i i ) 即证八凰是 凰it 丁) 的下确界由上述证明可知偏序集圣l ( x ) 有 最大元且对任意交封闭，即为完备格 口 由2 1 节的预备知识和并交映射的性质，可得定理2 2 3 定理2 2 3 设x 是非空集，三是完备格，日垂l ( x ) 若对任意z - x ，p ( z ) = v ( o 八日( 口) ( z ) ) ，其中日( n ) ( z ) 理解为( a ) 的特征函数则对任意9 厶有下面等 o l 式成立， ( 肛) = 日( 口) 证明首先证明( 肛) 日( 口) 设z 丁口( p ) ，则p ( z ) 口，即 v ( 6 八日( 6 ) ) ( z ) n 辛v 6 三l 。日( 6 ) 】口 净| kl 亡丁) l ，6 ：= v 九凸，且v 舌zz 日( 九) 辛z n 日( 九) = 日( 占) 日( o ) 从而丁口( p ) 日( o ) 反过来，证明日( o ) 死( p ) 设z 日( o ) ，则 弘( z ) = v ( 6 日( 6 ) ( z ) ) = v 6 jz 日( 6 ) ) 凸， 6 l6 l 即z 气( p ) 从而日( o ) 亿( 肛) 综上可得气( 卢) = 日( o ) 口 由上述可知，定理2 2 3 建立了并交映射的像和模糊集截集之间的联系 类似于并交映射，我们可以考察交并映射的相关性质定理首先，定 义皿l ( x ) 上的序关系“如下：任意g 1 ，g 2 皿l ( x ) ，定义g 1 g 2 营v 七厶g 1 ( 后) g 2 ( 七) 则可证( 皿l ( x ) ，) 是偏序集定义映射g 1 ：l _ p ( x ) ，满足对任 意七l 当 g ，= 要乞i ? 时，g 1 是皿l ( x ) 中的最大元又定义映射g 2 ：l _ 尸( x ) ，满足对任意尼三，g 2 ( 七) = d 时，g 2 是l ( x ) 中最小元 9 模糊集表现定理的研究及其应用 易知( 皿l ( x ) ，) 是总有最大元和最小元的偏序集 口 基于上述( 皿工( x ) ，) 上定义的序关系，下文将得到交并映射的几个重要性 质及相关定理 命题2 2 4 设x 是非空集，三是完备格，则( 皿l ( x ) ，) 是完备格 证明由于( 皿l ( x ) ，) 是偏序集，要证明( 皿l ( x ) ，) 是完备格，只需说明皿l ( x ) 有 最小元和对任意并封闭即可由于已知皿l ( x ) 有最小元，现证明对任意并封闭如 下，设v t zg t l ( x ) 及v 乜l ，定义( vg t ) ( a ) = ug ( q ) 可证vg t 皿l ( x ) ， 并且vg t 是1 g tit 丁 的上确界证明过程如下： f t 首先证明vg l ( x ) 由于以下等式 ( v g t ) ( 入q 。) t to s = u g t ( q 。) = uu g t ( ) t t毒s。t 7 s = uu g t ( q 。) = u ( v g t ) ( ) 8 s t t8 s t t 成立，即证vg t 皿l ( x ) t t 其次证明vg t 是 g tt t 】的上确界 t 丁 ( i ) 因为v q l ，g t ( q ) ug 。( q ) ( vg t ) ( q ) ，从而有不等式g t vg t 成立 所以vg t 是 g ti t 的上界 ， t t ( i i ) 设日是 g ti 亡t 的任一上界，则v 正g t 日，从而有不等式vg t 日成 立所以vg t 是 g tl 亡t 的最小上界 t 由( i ) 和( i i ) 即证vg t 是 g ti t 的上确界由上述证明可知偏序集皿l ( x ) 有 最小元和对任意并封闭，即为完备格 口 定理2 2 5 设x 是非空集，l 是完备格，g 皿l ( x ) 若对任意z x ，肛( z ) = 八( o v g ( o ) ( z ) ) ，其中g ( n ) ( z ) 理解为g ( n ) 的特征函数则对任意o l ，有下面等 o l 式成立， k ( p ) = g ( 口) 证明首先证明屹( p ) g ( o ) 任取z x ，使得z 隹g ( o ) ，则肛( z ) = 八删z 聋g ( 6 ) ) 口，故z 萑。口( p ) 即证c n ( p ) 篁g ( o ) 1 0 模糊集表现定理的研究及其应用 反过来，证明g ( 口) n ( 弘) 设z 聋k ( p ) ，则肛( z ) n ，从而 八( 6 vg ( 6 ) ( z ) ) 口净删z 隹g ( 6 ) a 6 l 冷j 儿l 亡t ) 己，6 ：= 八入t s n ，且vt 正z 譬g ( k ) t 辛g ( 8 ) g ( 6 ) = u g ( 入t ) ，其中v 挺t 。譬g ( k ) t t 净z 譬g ( 8 ) 从而g ( d ) 。a ( p ) 综上即证6 口( p ) = g ( o ) 口 由上述可知，定理2 2 5 建立了交并映射的像和模糊集截集之间的联系 本节两种映射性质的研究，为第三节模糊集表现定理的建立做了充分的准 备 2 3表现定理 基于前面两节的概念和结论，本小节将得到本章的重要结论，即在l 为完备 格条件下，证明基于并交映射和交并映射的两种形式模糊集表现定理这些结 果表现为以下几个同构定理 首先建立并交映射全体与模糊集全体之间的同构关系，即定理2 3 1 定理2 3 1 设x 是非空集，三是完备格，。则( 西l ( x ) ，v ，八) 笺( 二x ，v ，八) 证明( i ) 定义映射，：( 西l ( x ) ，v ，八) _ ( l x ，v ，八) 使得任意日西工( x ) ，满 足，( 日) = v ( o 八日( o ) ) 则，是一一映射证明过程如下： d l 事实上，若，( 凰) = 厂( 凰) ，则由推论2 1 5 知：对v o l 有( ，( 凰) ) = ( ，( 吼) ) ，进而由定理2 2 3 可得，对v a 三，日l ( n ) = 凰( o ) ，从而皿= 日2 因 此，为单映射下证，为满映射事实上，对任意弘x ，定义映射日：_ p ( x ) ， 使得对vo 三，日( 凸) = 丁凸( p ) ，则日西l ( x ) 由定理2 1 1 ( 1 ) 知 ，( 日) = v ( o 日( o ) ) = v ( n 八丁口( p ) ) = p ， n l口l 于是，是圣l ( x ) 到l x 的满映射 综上，建立了从( 吒( x ) ，v ，人) 到( l x ，v ，八) 的一一映射 1 1 模糊集表现定理的研究及其应用 ( i i ) 现证，保持运算。由推论2 1 。5 和定理2 2 3 可知，对任意o l 及 风) ；t 圣l ( x ) ， 有如下等式成立 亿( ，( 八鼠) ) = ( 八凰) ( a ) = n ，凰( o ) t tt tt t = n 凡( ，( 玩) ) = ( 入，( 鼠) ) ： 挺tt t 从而厂( 八凰) = 八，( 凰) ，即映射，保持交运算 又对任意口l 及_ 凰) 。t 圣l ( x ) ，有如下等式成立 ，( v 皿) = ，( 八 日西l ( x ) l 觇z 日皿】- ) t tt 丁 = ，( 日) 三xl 忱互日凰 挺；t = 入 ，( 日) l xl 耽e ，( 日) ，( 吼) 】 t ? = v ，( 凰) t t 即证，( v 鼠) = v ，( 鼠) 所以映射，也保持并运算 综上( i ) 和( i i ) 证得，为同构映射结论成立 口 其次建立交并映射全体与模糊集全体之间的同构关系，即定理2 3 2 定理2 3 2 设x 是非空集，l 是完备格，则( 皿工( x ) ，v ，八) 竺( l x ，v ，八) 证明( i ) 定义映射9 ：( 皿工( x ) ，v ，八) _ ( l x ，v ，八) 使得任意g 皿l ( x ) ，满 足9 ( g ) = 入( o v g ( g ) ) 则映射9 是一一映射，证明过程如下 下面证明夕为双射事实上，若g 1 g 2 ，即了o 厶使得g 1 ( o ) g 2 ( n ) 令p l = 夕( g 1 ) = 八( o v g l ( n ) ) ；丘2 = 夕( g 2 ) = 八( o v g 2 ( n ) ) ，由推论2 1 5 和定理2 2 5 可 口l凸l 知下式成立 g 1 ( o ) g 2 ( 凸) 兮。口( p 1 ) 6 a ( 肛2 ) 冷p l p 2 令夕( g 1 ) g ( g 2 ) 所以映射夕为单映射下证映射夕为满映射事实上，对任意芦l x ，定义映 射g ：己_ p ( x ) 使得v 8 ：g ( 盘) = 气( p ) ，易知g 霍二( x ) 由定理2 1 1 ( 2 ) 可知以 1 2 模糊集表现定理的研究及其应用 下等式成立 夕( g ) 苎( o v g ( 9 ) ) = 八( o v k ( 肛) ) = p d l口l 证得映射夕是满映射 综上，建立了从( 皿l ( x ) ，v ，八) 到( x ，v ，八) 的一一映射 ( i i ) 现证9 保持运算由推论2 ：l 。5 和定理2 2 5 可知，对任意口三及 g 。) ? 皿l ( x ) ，有如下等式成立 k ( 9 ( v ) ) = ( v o 。) ( n ) = u g ( 口) t t t t t = u k ( 夕( g t ) ) = 。口( v 夕( g ) ) t e r t t 从而夕( vg t ) = v9 ( g 。) 即映射9 保持并运算 挺! tt t 又因为任意口及 g ) ? 皿二( x ) ，有如下等式成立 夕( 八g t ) = 9 ( v g 皿l ( x ) l v t t ，g g t 】) 一 v 夕( g ) 己xi v t ，g g 。) t t v 9 ( g ) l xiv t z 夕( g ! ) 9 ( g t ) ) 蚝丁 = 入夕( g t ) 所以夕( 八g ) = 八夕( g t ) ，即映射夕也保持交运算 t rt 7 综上( i ) 和( i i ) 证得9 为同构映射结论成立 口 显然，由定理2 3 1 和定理2 3 2 中得到的同构关系式易知推论2 3 3 成立 推论2 3 3 设x 是非空集，l 是完备格，则( 圣l ( x ) ，v ，八) 笺( 霍l ( x ) ，v ，a ) 到此为止，我们已经在研究并交映射和交并映射概念及其性质的基础上，利 用已有的结论，建立了2 3 节的几个同构关系，即分别得到了基于这两种映射的 表现定理由于前文所述的结论均是在模糊集的值格仅为完备格的条件下得到 的，因此其应用范围也拓展许多本文第三章即是这些结论的一些具体应用 1 3 第3 章表现定理的若干应用 3 1问题的由来和进展 模糊集的一个基本性质是其可以由特定的经典集来刻画，截集就是刻画模 糊集最基本和最常用的工具之一( 见文献 3 】) 许多模糊集问题的研究往往是通 过转化成对模糊集截集问题的研究得以解决的( 见文献 2 7 2 9 】等) 随着对模糊 集截集研究的深入，逐渐形成了若干公开问题本章着重解决以下三个问题 问题3 1 1 ：在什么条件下，模糊集肛：x _ 工和：x _ 二具有相同的截集 族? 问题3 1 2 ：设x 是非空集，f p ( x ) 满足什么条件时，存在一模糊集，使 得f 与该模糊集的截集族相等? 问题3 1 。3 ：设x 是非空集，三是完备格，f 尸( x ) p ：x _ l 是模糊集满 足什么条件时，f 是肛的截集族7 问题3 1 1 曾在文献f 1 9 】中提出并在文献 2 0 中通过构造模糊集之间的等价关 系的办法得到解决问题3 1 2 曾在文献 6 ，2 l 】中提出并在文献 1 7 ，2 2 】中均得到过 解决，其中文献 2 2 】中解决方法见定理3 1 6 问题3 1 3 分别在文献 6 ，1 7 】中有不 同解决办法本文计划用第二章建立的表现定理统一解决这些问题 在本文第二章中，已经建立并证明了并交映射( 交并映射) 全体与模糊集 全体的同构关系，也即是说，每一个并交映射( 交并映射) 唯一对应一个模糊集 值得指出的是，这给了我们个新的启示：能否借助并交映射( 交并映射) 这个 工具来处理上述三个公开问题研究结果表明，答案是肯定的 本章中，设( 己，) 是完备格，定义( l ，d ) 是其对偶格，其中p d g 当且仅 当g p 对任意p l ，p l x ，定义芦的p 一截集为坳：= z xp ( z ) p ) ，称比：= 脚lp 】为p 的截集族，本章有时对而( p ) 和脚的意义不加区分显然舭在包含 关系下是完备格( 见文献 1 8 】) 设映射日：l _ p ( x ) 是并交映射，则日( ) 是完备格定义l 上的二元关 系“”使得p g 当且仅当日) = 日( g ) 显然，二元关系矗”是等价关系( 见定 义1 2 2 ) 记纠：= g | p g ) 勘的等价类记己日是三的商集，则商集三日中 模糊集表现定理的研究及其应用 的序关系可由幂集p ( x ) 中的包含关系诱导如下：对任意p ，g l ， 眵】 g 】当且仅当日( p ) 曼日( g ) 口 根据上面的定义，易知偏序集( l 日