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变分不等式与广义凸性问题 运筹学与控制论专业 研究生周密指导教师何诣然教授 论文摘要：本文研究了变分不等式和凸分析中的几个问题在第一章中，研究了广 义隐向量拟变分不等式，利用s e h i ep a r k 不动点定理，建立了该向量变分不等式解 的存在定理在第二章中，利用集值映射的择一定理，给出了隐向量优化问题最优 解存在的一个充要条件在第三章中，在获得相同结论的前提下，削弱了( 2 7 】中定 理2 1 5 n 3 1 的假设条件，同时还补充t d 一目一预不变真拟凸函数的其他性质 关键词：广义隐向量拟变分不等式不动点定理隐向量优化问题择 一定理d 一日一预不变真拟凸映射d 一目一严格预不变真拟凸映射d q 一半 严格预不变真拟凸映射 第i 页 v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dg e n e r a l i z e dc o n v e x i t y o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s a u t h o r ：z h o um i s u p e r v i s o r ：h ey ir a np r o f e s s o r a b s t r a c t ：t h i sp a d e ri sc o n c e r n e dw i t hs o m ep r o b l e m so fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sp r o b l e m sa n dc o n v e xa n a l y s i s i nc h a p t e ro n e ，t h eg e n e r a l i z e d i m p l i c i tv e c t o rq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si sd i s c u s s e d t h ee x i s t e n c et h e o r e m o fs o l u t i o n sf o rt h i sv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si se s t a b l i s h e db yu s i n gs e h i e p a r kf i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e rt w o ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n o ft h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m af o ri m p l i c i tv e c t o ro p t i m i z a t i o ni so b t a i n e db y u s i n ga l t e r n a t i v et h e o r e mo fm u l t i m a p i nc h a p t e rt h r e e ，s a m er e s u l t si n 2 z 】 c a nb eo b t a i n e du n d e rw e a k e ra s s u m p t i o n st h a nt h e o r e m2 2a n d3 1o f 2 7 l a ts a m et i m e ，o t h e rp r o p e r t i e so fd 一目- p r o p e r l yp r e q u a i i n v e xf u n c t i o ni s p r e s e n t e d k e y w o r d s ： g e n e r a l i z e di m p l i c i t v e c t o rq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ； f i x e dp o i n tt h e o r e m ；i m p l i c i tv e c t o ro p t i m i z a t i o n ；a l t e r n a t i v et h e o r e m ；d 一 ”一p r o p e r l yp r e q u m i n v e xf u n c t i o n ；d 一一p r o p e r l ys t r i c t l yp r e q u m i n v e xf u n c t i o n ； d - q p r o p e r l ys e m i s t r i e t l yp r e q u a i i n v e xf u n c t i o n 四) 1 i n 范大学学位论文独创性及使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师值i 旨然数援指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：周密 2 0 0 6 年4 月1 0 日 绪论 在现代非线性分析中，变分不等式及应用具有非常基础和重要的作用上 个世纪6 0 年代，h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a 等人在创建变分不等式理论的基础时提 出和研究了第一个变分不等式【1 】，群l h a r t m a n s t a m p a c c h i a 惑分不等式，并在 有限维空间中讨论了解的存在性，后来被b r o w d e r 和l i o n s 等人推广到无穷维空 间f 2 】f 3 4 1 5 1 6 】 1 9 8 0 年，g i a n n e s s i 在有限维空间里引入了向量变分不等式7 1 接下来，许多 作者广泛地研究了各种向量变分不等式 8 】 9 1 【1 0 1 1 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】 1 5 】 1 6 最 近，l e e ； l i k u m 讨论了隐向量变分不等式1 1 7 1 8 】，结合g yc h e n $ 口s j l i 1 9 讨 论的广义拟向量变分不等式，本文第一章提出了广义隐向量拟变分不等式，利 用s e h i ep a r k 不动点定理f 2 0 1 ，讨论了广义隐拟向量变分不等式解的存在性问题 向量变分不等式与向量优化问题有着紧密的联系 在g y c h e n 和w d r o n g 2 4 1 的启示下，本文第二章给出了隐向量优化问题 晟优解存在的等价刻划 凸性在最优化理论和经济学中，有着重要的地位近二十年：关 于函数的j 义凸性研究有了很大的进步作为凸函数的重要推广， 1 9 8 8 年w e i r 和m o n d 2 8 1 首先提出了一类新的函数一预不变函数接下来， v j e y a k u m a r 2 9 】、m o n d 2 8 】 d n o o r 3 0 】 3 1 】( 3 2 等人对预不变函数的性质做 了深入地研究最近，m o h a n 和n e o g y 在3 3 1 中引入了关于数量函数，：x r 的 预不变拟凸定义，y a n g 在1 3 4 中引入关于数量函数f ：x r 的严格预不变拟凸 和半预不变拟凸定义，并讨论了几类预不变拟凸函数的关系l 痢w a n g 在【3 剐中 引入了向量值映射锥真拟凸概念作为预不变拟凸和向量值映射锥真拟凸等概 念的推广，p e n g 在【2 7 1 中引入了向量值映射的d 一日一预不变真拟凸，d q 一严 格预不变真拟凸和d q 一半严格预不变真拟凸概念，讨论了d 日一预不变真 拟凸向量值映射的性质，分别利用f e r r o 和c o r l e y 在3 6 1 和f 3 7 】中引入的向量值映 射的上d 一半连续和下d 一半连续概念，获得了以上三类函数间的关系，还证明 了在一定条件下，向量优化问题的局部弱有效解一定是全局弱有效解本文第 第l 页 绪论 三章进一步研究了d 一目一预不变真拟凸映射，在获得相同结论的前提下，削弱 了 2 7 】中定理2 1 5 n 31 的假设条件，同时还补充t d q 一预不变真拟凸函数的其 他性质 m i z h o u 3 3 0 1 2 6c o n l第2 页毕业论文 第一章广义隐向量拟变分不等式 本章提出广义隐向量拟变分不等式问题( g i q v i ) ，利用s e h i ep a r k 不动点定 理，假设映射具有广义伪单调性，讨论该变分不等式解存在性问题 1 1 基本知识 假设e i f n f 都是实h a u s d o r f f 拓手b 向量空间，x 是e 的一个非空凸子集 设e ：x 一2 是一个多值映射，对每个。x ，c 叠是f 中的一个尖锥且i n t c x o 和c z f 记p ：= n 。x ( 一c 茁) 假设l ( e ，f ) 表示e 到f 中的所有连续线性映射的集合，妒：l ( e ，f ) x x f ，t ：x 一2 l ( 5 t n ，g ：x 一2 x 是一凸值多值映射且对每个z x ，z g 扛) l e e 茅 1 k u m 1 7 提出隐向量变分不等式( i w i ) ( i v v i ) 找到牙x 使得对任意y x ，存在s t 2 满足： 妒( s ，牙，y ) 车一i n t c 2 本章将讨论广义隐向量拟变分不等式i 题( g i v q i ) ( o i v q i ) 找到i g ( 重) 使得对任意y g 士，存在s t 牙满足： 砂( s ，孟，) 隹i n t c 2 如果当e 是赋范空间，f 是有限维赋范空间，1 】f ? ( s ，z ，) = ( s ，x y ) ，c g 是f 中 的一个固定尖锥s ，其中( s , x - y 表示s 在善一v 处的值，那么( g i q v i ) 就退化 成g y c h e n 和sjl i 1 9 讨论的广义拟向量变分不等式问题( g v q v i ) ( g v q v i ) 找到牙g ( 孟) 和豇t ( 孟) 使得对任意y g ( 圣) 满足： ( 面，牙一g ) i n t s 定义1 1 1 设f ：x 一2 7 是一个多值映射 f 称为在z o x 处是上半连续的：如果对y 中任意一个开集u g 有f ( z ) u ，都存在z o 的一个开邻域y ( 印) 使得对任意z 7 y ( x o ) 有f ( x 7 ) u 第3 页 第一章广义隐向量拟变分不等式 f 称为是p 一凸的，如果对任意。，0 x 和o 【0 ，l 】有 a f ( x ) 十( 1 一口) f ( ) c f ( a x + ( 1 一o ) ) 一p 1 其中p 是y 中的一个尖锥 定义1 1 2 设t ：x 一2 ( 8 ，即是一多值映射 t 称为关于妒是广义g 一伪单调的，如果对任意z ，y x ，存在s r z 满足： 妒( 5 ，z ，y ) gi n t c x ：争v t t y ，一砂 ，g ，。) 芒i n t c x ； 丁称为关于妒是广义弱c 一伪单调的，如果对任意z ，y x ，存在s t z 满 足： 妒( s ，。，y ) 盛i n t c x = 争j t t y ，一妒0 ，y ，z ) 隹i n t c x ； t 称为关于咖是广义半连续的，如果对任意z ，y x 和o 0 ，l 】映射 o ，1 】，( 丁( 。+ o ( 一z ) ) ，x ，y ) 在0 + 处是上半连续的，其中妒口 + n ( 口一z ) ) ，z ，y ) = 妒( t ，z ，y ) l t t ( z4 - o ( 一z ) ) ) t 称为是广义g 一伪单调的，如果对任意z ，y x ，存在s ? 。满足： 茌i n t c x 辛v t y ， i n t c x ； t 称为是广义弱g 一伪单调的，如果对任意z ，y x ，存在s t 石满足： 隹i n t c x = 3 t t y ， 圣i n t c x , t 称为是广义半连续的，如果对任意z ，y x 和o 【0 ，1 映射 n 呻 在0 + 处是上半连续的，其中( t ( x + a ( y x ) ) ，x - y ) = ( s ，x y ) l s t ( x + a ( y x ) ) ) 根据以上定义立即可以得到下面的引理 第4 页 毕业论文 第一章广义隐向量拟变分不等式 引理1 1 1 设e ，x ，f ic ，p 1 妒和t 与上面的定义一致则有 t 关于母是广义g 一伪单调的辛t 关于母是广义弱d 一伪单调的； t 是广义半连续的辛t 关于妒( s ，。，) = 是广义半连续的 1 9 9 4 年，s e h i ep a r k 得到一不动点定理【2 0 】，该定理是讨论广义隐向量拟变分不 等式解存在性问题的基础 定理1 1 1 2 0 】设e 是一拓扑向量空间，x 是e 的一非空凸子集，耳是x 的一 个非空紧子集a ：x 一2 x ，b ：x 一2 x 是两个多值映射假定以下条件成立： 对任意z x ，a ( 。) c b ( z ) ； 对任意z x ，b ( z ) 是凸的； 对任意z k ， ( 。) 是非空的； 对任意g x ，a “( 口) 在x 中是开的 对任意有限子集cx ，存在一个非空紧凸集l cx 包含，使得对任 意x 工k ，a ( z ) n l n o 那么，b 有不动点z o ，即是z o b ( x o ) 1 2 广义隐向量拟变分不等式解的存在性 定理1 2 1 设e 是实h a u s d o r 行拓扑向量空间且其对偶空间e + 是可分点的， x 是f 的一个非空子集f 是另一个实h a u s d o r 脚石扑向量空间且其对偶空 间p 是可分点的g ：x 一2 f 是一个多值映射使得对每个z x ，a z 是f 的一 m i z h o u 3 3 0 1 2 6 c o r n第5 页 毕业论文 一笪二空墨堕塑量壑窒坌至箜壅 个尖锥，且有饥c k 口和e t f ，记p ：= n 。x ( 一c x ) 妒：l ( e ，f ) x x ， f 为一个映射，t ：x 一2 l ( e , f ) 为一个多值映射，设是x 的非空弱紧子集， ：x 一2 f ，( z ) = f i t g z 使得彬的图像g - ( 彤) 在x f 中是弱闭的 g ：x 一2 3 是凸值多值映射且对每个z x ，z g ( 。) 假定以下条件成立： 丁称为关于妒是广义e - 伪单调的 丁称为关于妒是广义半连续的： 对任意s l ( e ，f ) ，和z x ，妒( s ，z ，) 是p 一凸的 对任意s l ( e ，f ) ，和茁x ，妒( s ，。，) 是连续的，其中x 和f 都嵌入相应的 弱拓扑； 对任意z x ，7 g ( z ) ，s t x ，1 】f ，( s ，z ，z ) p ； 对任意s l ( e ，f ) ，。，y x i i l a 【o ，1 】 妒( s ，。+ q 0 一z ) ，y ) = ( 1 一口) 矽( s ，z ，y ) 对任意有限子集cg ( z ) ，存在一个弱紧凸子集l cx 包2 ；n ，使得对 于任意z l n k ，存在p 三对某个f 功满足一妒心玑z ) 胁# 那么，广义隐向量拟变分不等式( g i v q i ) 有解 证明设x 具有从e 中诱导的弱拓扑定义如下两个多值映射 4 ( 。) ：2 幻g p ) i j f 巧s 。一妒( ，v ，z 7 ) i n t c x ，地7 g ( z ) ， b ( z ) ：= 可x l v s t x 7s , t 妒( s ，。7 ，分) i n t c x ，b - g ( z ) ) 按以下步骤完成证明： ( a ) 对任意z x ，a ( x ) c b ( z ) m i z h o u 3 3 0 1 2 6 c o i n 第6 页 毕业论文 第一章广义隐向量拟变分不等式 事实上，如果g 岳b ( z ) ，即是b s t x 对每个z 7 g ( z ) ，母( t ，7 ，y ) 隹i n t c a a 根 据假设( 1 ) ，对任意t t y ，z 7 g ( 。) ，都有一妒( t ，y ，z ) 隹i n t c x ，即是隹a ( z ) 因此，a ( x ) cb ( z ) ( b ) 对任意z x ，口( 。) 是凸的 对任意y ，z b ( ) 和【0 ，“根据假设( 3 ) ，对任意一g ( 。) ，s t x ， 中( s ，x 7 ，a y + ( 1 一o ) z ) n 妒( s ，z ，y ) + ( 1 一n ) 砂( s ，z ，z ) 一p c i n t c x 一尸 c i n t c x 一( - c x ) = i n t c x ， 所以，a + ( 1 一n ) z 口扛) ( c ) 对任意y g ( z ) ，a 。( y ) 是x e e 的开集 事实上，设z 是m 。( ) 1 。中弱收敛到加x 的网，则有y 4 ( z ) 于是，对任 意t t y ，一妒( t ，y ，z i ) 隹i n t c x 因此，对任意t t y ，一妒( t ，y ，z i ) ( 巩) 因为( z ，一妒( t ，y ：。i ) ) o r ( w ) ，根据假设( 4 ) 、g ，( w ) 的弱闭性以及g 的上半 连续性，可得对任意t t y ，一妒( t ，y ：z o ) w x o ，即是t t y ，z ；g ( 。o ) ， 一妒( t ，y ，z j ) i n t c x a 所以，y 车a ( z o ) ，等价于z o a - 1 ( ) 因此， a _ 1 ( ) 】。是x 中的闭集进而证明a _ 1 ( ) 是x 中的开集 ( d ) 根据假设( 7 ) ，对任意有限子集ncg ( z ) ，存在一个弱紧凸子集l cx 包 含，使得对于任意z l k ，存在9 l 对某个tet y 满足一妒( t ，z ) i n t c z 因此a 睁) n l n 0 。 ( e ) b 扛) 没有不动点 若不然，存在z x 使得对任意8 t x 7 ，z g ( ) ，矽( t ，z 7 ，。) i n t c x 根据假 设( 5 ) ，对任意z x ，。g ( z ) ，s t x ，妒( 5 ，z 7 ，z ) i n t c x n - c a ：= 0 ，矛盾； ( f ) 从( a ) ( e ) ，根据定理1 11 1 2 0 】推得一定存在2 l w 使得a ( i ) = 0 ，即是对任 意y g ( i ) ，y 隹a ( 2 ) ，等价于对任意y g ( 牙) 和t t y ， 一妒( t ，y ，z 7 ) 隹i n t c iv x 7 g ) ( 1 - 1 ) 于是可得茁是o l q v i 的解 第7 页毕业论文 第一章广义隐向量拟变分不等式 假设2 不是g q v i 的解，则i g ( i ) 且存在g ( z ) 使得对任意s t 牙， 妒( s ，i ，口) i n t c 孟( 1 - 2 ) 设。= i + o 侮一牙) 对任意o l 0 ，1 】因为g 是凸值的，则z 。g ( 牙) 定义如下 映射：h ： 0 ，1 】一2 f 对任意o 【0 ，1 】，( n ) ：= 仰( s ，正，口) | s t x 。) 因为? 关于1 l f i 是广义半连续的，则存在6 ( 0 ，1 】使得对任意【0 ，6 ) ，h ( o ) c i n t c 哥因此，任意o 【0 ，5 ) 和s t x 。， 妒( s ，孟，口) i n t c 2( 1 - 3 ) 固定n ( 0 ，d ) 根据妒( s ，z 。，) 的尸一凸性，可阻推得对任意s t x 。， 妒( s ，z 。，z 。) = 砂( s ，。，。口+ ( 1 一o ) 牙) o 妒( s ，z a ，可) + ( 1 一n ) 妒( 5 ，z 。，岔) 一p 根据( 1 3 ) 式和假设条件( 5 ) 和( 6 ) ，可以推得对任意s t x 。， 一( 1 一口) 砂如，。，童) o 砂( s ，。，口) 一妒0 ，z 。，z 。) 一p q ( 1 一q ) 妒( s ，牙，口) 一p p c i n t c 2 ( 一g 2 ) 一( 一g 牙) i n t c 蜃 因此，对任意s t x 。，一妒( s ，。，孟) i n t c s ：- 与( 1 1 ) 式矛盾 推论1 2 1 设e ，只x ，k ，c ，彬a r ( w ) ：g 和p 与定理1 ，21 中一致设t ： x 一2 l ( 8 ，) 是个多值映射假定定理1 2 1 中的条件除( 1 ) ，( 2 ) 和( 7 ) 用以下 条件代替外，其余都满足： ( 1 ) t 是广义c 一伪单调的； ( 2 ) t 是广义半连续的； ( 3 ) 对任意有限子集ncg ( z ) ，存在一个弱紧凸子集l cx 包含，使得对于 任意。l n k ，存在g l 对某个t t g 满足( ，f 一) i n t c m i z h o u 3 3 0 1 2 6 c o m第8 页毕业论文 第一章广义隐向量拟交分不等式 则，广义拟向量变分不等式( o v q v i ) 有解 证明在定理l21 中取母( s ，z ，_ ) = ( 3 ，z 一) ，即可得出结论 事实上，容易检验定理1 2l 中的条件( 1 ) 一( 7 ) 全部满足再根据e ，f 上弱拓扑的 定义，可以得出s 的连续性：( e ，) 一) ( 参见 2 2 ) 一 定义1 2 1 点牙称为( g i q v i ) 的强解，如果存在f 丁澈得对任意g ( 孟) 妒( t 雪，y ) 聋i n t c 2 定义1 2 2 对某个s f + ，设h ( s ) ：= z f i ( s ，z ) so ) t ：x 一 2 l ( e ，p ) 称为： 关于妒是h ( s ) 一伪单调的，如果对任意z ，y x ，t 7 t x ，t ”r y n 2 = 妒0 ，z ，) 日( s ) = 一妒( t ”，y ，z ) 日( s ) ； 是日( s ) 一伪单调的，如果对任意。，y x ，t t x ，t ”丁满足 ( t ，z 一) 日( s ) = 争# ”，一) 日( s ) 定义如下映射：仉：l ( e ，f ) x x r 饥( t ，z ，口) = ( s 母( t ，z ， ) ) 定义如下两个集合 n ：= c o ( u 。x ( 一e $ ) ) ； 晓：= 训f + i ( w ，y ) 0v y 口) 接下来讨论( g i v q i ) 在一定条件下强解存在性问题 定理1 2 2 设e ，砂，g 和尸与定理l2 1 中一致x & e q a 的一个非空凸子集， f 是一个局部凸h a u s d o r 酶扑向量空间l ( e ，f ) 中的拓扑具有逐点收敛性， m i z h o u 3 3 0 1 2 6c o m第9 页 毕业论文 第一章广义隐向量拟变分不等式 f 是其对偶空间t ：x 一2 ( 8 ，) 是一个多值映射，g ：x 一2 。是个紧凸值 上半连续多值映射且对任意z x ，z g ( z ) 岱 0 ) d 进一步假设以下条件满足： 令s c ：f o 和日( s ) f ，t 关于妒是日( s ) 一伪单调的； 丁关于妒是广义半连续的； 对任意s l ( e ，f ) 芹n z x ：妒( s ，z ，- ) 是p 一凸的； 对任意z ，y x ，一妒( - ，) 是p 一凸的和连续的，其中f 具有弱拓扑； 对任意z x ，z g ( ) ，s t x 7 ，母( 5 ，z ，茁) p ； 对任意s l ( e ，f ) ，t ，y x 和q 1 0 ，1 】， 母( s ，z + a ( 可一z ) ，) = ( 1 一q ) 母( s ：z ，可) ； 对任意z o x ，存在c ( x o ) 的一个有限子集使得 n z x 1 3 t t y ，一妒。( ，g ，z ) 0 ，坳xv z 7 g ( z o ) ) 0 那么 广义隐向量拟变分不等式( g i v q i ) 有解， 如果对任意z x ，t z 是凸的和紧的，则广义隐向量拟变分不等 式( g i v q i ) 有强解、 证明( 1 ) 因为关于妒是日( 5 ) 一伪单调的，即对任意。，y x ，7 t x ， t “t y 满足： 砂。( 矿，z ，y ) 0 = 一妒。( ”，y ，z ) 0 ， 因为t 关于世是广义半连续的，即对任意z ，y x 和d 【o ，1 映射 o c + 中( t ( + a b 一茹) ) ，z ，) m i z h o u 3 3 0 1 2 6 c o m 第1 0 页毕业论支 第一章广义隐向量拟变分不等式 在0 + 处是上半连续的 根据假设( 3 ) 可得仉( t ，x ，) 是凸的和连续的 根据假设( 5 ) 对任意。x ，z g ( 。) ，t t x ，也( t ，茁，z ) 0 设x 具有e 中诱导的弱拓扑定义如下两个多值映射： a ( z ) ：= g ( z ) 1 3 t t ys t 一讥0 ，y ，。) 0 ，v x g ( z ) ) ， b ( x ) ：= 。y i v s t x s t 妒。( s ，z ，可) 0 ，可0 g ( z ) ) 于是，可以直接验证以下条件成立： ( a ) 任意z x ，a ( z ) cb ( 。) ； ( b ) 对任意z x ，b ( z ) 是凸的； ( c ) 对任意g ( 。) ，a - 1 ( ) 是x 中的开集； ( d ) a ( z ) 满足定理1 1l 中的条件( 3 ) ； ( e ) b ( z ) 没有不动点 所以，根据定理1 1 存在牙x 使得a ( 牙) = 0 因此，对任意y g ( 孟) ，t t y d x g ( 雪) ，有一仉( t ，y ，z 7 ) 0 与定理1 2 1 中第二部分证明所用方法类似，可以推得： v y g ( 骨) ，j f t ( 孟) s t 妒。( t 孟，y ) 0 ( 1 - 4 ) 同时有i n t h ( s ) = 8 - - 1 ( ( 一o 。，o ) ) 显然有8 1 ( ( 一。，0 ) ) i n t h ( s ) 反过来， 设y i n t h ( s ) ，则存在r o 使得b ( y ，r ) c 日( s ) 因此，对任意| | zf f y 0 证明 根据c + 的定义，我们有( 旷，c ) 0 假设( 矿，c ) = 0 因为c i n t c ， 对任意y y ，存在一个e 0 使得c4 - 硝c 因此，我们有( 矿，c + c y ) 20 和旷，c e y ) 0 ，于是，( y + ，y ) = 0 从而我们得n y = o ，与题设矛盾 第1 3 页 第= 章隐向量优化问题 定义21 1 2 4 设x ，y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，是x 中的一个非空凸 子集设g 是y 中的一个具有非空内部的闭凸尖锥称向量值映射f ：k 一 】，在k 上是c 一似凸的，如果对任意z l ，z 2 k 和任意a 0 ，l 】，存在。3 k 使 得 入，( z - ) + ( 1 一入) ，( z 2 ) 一，( z 3 ) c ，( 2 - 3 ) 称向量值映射f ：k y 在k 上是c 一拟似凸的，如果找到e i n t c ，对任 意z 1 ，z 2 k s n a 【0 ，l l ，e 0 ，存在3 2 3 k 满足 e + a f ( x 1 ) + ( 1 一a ) ，( 。2 ) 一f ( x 3 ) c ( 2 - 4 ) 注2 11 如果是一个凸集，称，在k 上是g 一凸的，即是对任意l ，z 2 k 弄a f o ，1 1 ， a ，( z 1 ) + ( 1 一a ) ，( z 2 ) 一f ( a x l + ( 1 一a ) x 2 ) c 易知c 一凸蕴涵c 一似凸，g 一似凸蕴涵g 一拟似凸而且对任意y y ，( z ) + 是c 一拟似凸的当且仅当，( z ) 是e 一拟似凸的 定义2 12 2 4 】设x ，y 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 中的一个非空凸 子集设g 是y 中的一个具有非空内部的闭凸尖锥设f ：k k y 为一向量 值二元映射，称f ( x ，) 在上关于是c 一拟似凸的，如果找到e i n t c ，对任意 给定的z k ，y l ，y 2 k ，a 【0 ，1 和 o ，存- - i f - y 3 满足 百+ f ( z ，y 1 ) + ( 1 一 ) f 扛，y 2 ) 一f 如，可3 ) c ( 2 - 5 ) 引理2 1 1 ( 2 6 】设x 是拓扑向量空间a ，b x 是两个凸子集并且a ， i n t b 非空，a 几i n t b = 0 ，则存在一个超平面严格分离a 和b 2 2 主要结果 定理2 2 1 ( 择一定理1 设x 是h u u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 的一个非空凸 子集设y 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间，p 是其对偶空间，g 是y 的一个具 有非空内部的闭凸尖锥设f ：kxk y 在上关于”是d 拟似凸的对任 意z k ，定义集合吒：= f ( x ，y ) l v y ) 则( 1 ) 和( 2 ) 相互排斥 m i z h o u 3 3 0 1 2 6 c 0 1 t i第1 4 页毕业论文 第二章黪向量优化问题 ( 1 ) 存在轧k ，使得一f ( 卸，y ) i n t c ，对任意g 耳； ( 2 ) 存在矿c + 且旷0 ，对任意z k ，使得( + ，吐) 0 证日月根据命题2 1 1 ，我们得到( 1 ) 和( 2 ) 相互排斥 假设( 1 ) 不成立，即是， 一f ( k ，k ) n i n t c = d 因为f ( k ，) = u 。k 圣。，因此我们可得u 。一垂。ni n t c = 0 和对任意z k ， 一圣。n i n t c = 0 由于i n t c 十c i n t c ，可推得一垂。一c a i n t c = 0 令m = 一西。一i n t c 和m 7 = 一m 则m n i n t c = 0 且m ，_ 圣：+ i n t c 我们只须证彬在y 中是一个凸集令6 t m 、i = 1 ，2 和q f 0 ，1 1 于是存 在鼽k ，q i n t c ，i = 1 ，2 使得 0 6 l + ( 1 q ) 6 2 = c y f ( z ，y 1 ) 十( 1 一口) f ( z ，y 2 ) + o c l + ( 1 一a ) c 2 ( 2 - 6 ) 因为f ：kxk y 在k 上关于y 是c 一拟似凸的根据定义21l ，j i i n t c ， v y ，y k ，v 【0 ，1 】，v 0 ，j 口k 使得 已+ f ( z ，掣) + ( 1 一 ) f ( ，可7 ) 一f ( ，雪) c 因为i n t c 是一个锥，o c l ，( 1 - n ) c 2 i n t c 可推得存在e o 0 使得a c l e o i c 对上面的e o 和o ，y l ，y 2 ，存在y + ek 使得 o e + a f ( z ，y 1 ) + ( 1 一a ) f 扛，y 2 ) 一f ( x ，y ) ；c ( 2 - 7 ) 根据( 2 6 ) 式$ i ( 2 - 7 ) 式可得 o b l + ( 1 一c q b 2 f ( x ，y ) 十c + ( n c l 一i ) + ( 1 一a ) c 2 c 垂。+ c + i n t g c 西。+ i n t c 所以，m 在y 中是一个凸集并且m 也是凸集 由于m n i n t c = 0 根据引理2 1 1 ，我们可以得到存在y 。y 且矿0 ， 和r r 使得 ( 一垂。一c ，y + ) r 茎( c i ，口4 ) ，v c i n t c ，v c c ( 2 - 8 ) 因为c 是一个锥，则对任意v 7 o ，ec 再根据( 2 8 ) 式可得( 矿，c ，) 2r _ m i z h o u 3 3 0 1 2 6 t o m 第1 5 页毕业论文 第= 章隐向量优化问题 令1 一o o ，我们得到( 矿，d ) 0 另一方面，y 中的零点口属于g 于是得到 ( 一面。一c ，y + ) 0 ，v c i n t c 因此我们得到 ( 垂。+ t c ，y + ) 20 ，v c i n t c ，t 0 取c o i n t c 和“ 0 且t 。一o m _ o o ) ，则， ( 中。+ t 。c o ，y + ) 0 ，v n = 1 ，2 ， 令n 0 0 ，我们得到( 矿，西。) 0 一 推论2 2 1 在和定理22 1 t f l 同的假设下，设f ：k k y f ( z ，y ) = f ( y ) 一，( 9 ( z ) ) ，v ( z ，y ) k k ，这里，：k y 和9 ：k 一是两个向量值映 射则( 1 ) 和( 2 ) 互相排斥 ( 1 ) 存在k ，使得一i ( k ) + f ( g ( x 0 ) ) i n t c ； ( 2 ) 对任意给定的z k ，c + n 一j ( 耳) ，( 9 ( z ) ) 0 证明依照上面一个定理结合法向锥的定义，容易此推论的证明 定理2 2 2 设x 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 是x 的一个非空凸子集 设y 是另一个h a u s d o r f f 拓扑向量空间，p 是其对偶空间，g 是y 的一个具有非空 内部的闭凸尖锥设f ：k k y f ( z ，y ) = f ( v ) 一，( g ( ) ) ，v ( 。，y ) k x k ， 这里f ：k y 和g ：k 一是两个向量值映射设f 在k 上关于是d 拟 似凸的则z o k 是( i v o e ) 的一个最优解当且仅当存在x o k 和y + c + n _ y + 0 使得i n ，( ，( 耳) ，y + ) = ( ，( 9 ( z o ) ) ，g + ) 证明”必要性”：根据( i v o p ) 的定义，我们可得 一【，( k ) 一，( 9 ( z o ) ) ni n t c = d 因为f ( z ，y ) 在上关于y 是d 拟似凸的利用推论2 21 ，存在y + c + 且旷0 使得 ( ，( k ) 一，( 9 ( ) ) ，y + ) 0 于是，( ，( k ) ，+ ) ( ，( 9 b o ) ，矿) 因为9 扛o ) k ，所以，i n ，( ，( k ) ，旷) = ( ，( 9 ( z o ) ) ，旷) ”充分性”：直接应用推论2 2l 便可以得出结论 m i z i m u 3 3 0 1 2 6 c o r n 第1 6 页 毕业论文 第二章隐向量优化问题 受g y c h e n i f l w dr o n g 【2 4 】的启示，我们给出了隐向量优化问题解存在的 充要条件 2 1 基本知识 设x 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，耳是x 的个非空凸子集设y 是另 个h a u s d o r 晰扑向量空间，p 是其对偶空间，e 是