（机械工程专业论文）基于sr和分解定理的几何非线性问题的无网格galerkin法分析.pdf

基于s r 和分解定理的几何竹线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 摘要 几何非线性问题一般具有大转动、大位移的特点。在建立物体或微元体的平 衡方程时，必须考虑物体的位置和位形的变化，而且在变形过程中应变不能用位 移一次项的线性应变来度量。因此必须采用合理的应变度量方法建立平衡方程。 几何非线性问题的研究在结构分析中具有重要意义。 s - r 和分解定理通过数学方法将运动变换分解为转动变换和形变变换的直 和，以形变张量作为应变的新的度量，该应变度量克服了g r e e n 应变张量对局部 转动的不确定性。因此，从理论上讲，是一种对应变的更为合理的度量方法。 本文首先以s - r 和分解定理下的应变张量作为基础，从虚功率原理出发，推 导出更新拖带坐标下用于增量分析的增量变分方程。研究了各物理量在拖带系内 对时间的导数，证明了拖带系下的应力速率具有客观性，不受刚体转动的影响， 因此可以应用在速率型物性方程中。 然后以得到的增量变分方程作为无网格法的全局变分弱形式，以移动最小二 乘法建立形函数，导出无网格g a l e r k i n 法的离散系统方程。由于得到的系统方程 是与基本插值量位移相关的，具有非线性的性质。本文主要采用n e w t o n r a p h s o n 方法迭代求解，该方法具有很好的收敛性。讨论了在迭代过程中应变增量和应力 增量的计算。 最后由无网格g a l e r k i n 法求解了几类几何非线性问题，其中包括只发生弹性 变形时的几何非线性问题、发生弹塑性变形的几何非线性问题以及带孔洞物体的 几何非线性问题。算例表明基于s - r 和分解定理的无网格g a l e r k i n 法具有很好的 收敛性和精度。 关键词：几何非线性；s r 和分解定理；增量变分方程；无网格g a l e r k i n 法 硕士学位论文 a b s t r a c t g e n e r a l l y ，l a r g ed i s p l a c e m e n t a n dl a r g er o t a t i o na r ef e a t u r e so fg e o m e t r i c n o n l i n e a rp r o b l e m s w h e nw ee s t a b l i s ht h eb a l a n c ee q u a t i o no no b j e c to ri n f i n i t e s i m a l b o d y , t h ec h a n g eo fl o c a t i o na n dc o n f i g u r a t i o nm u s tb ec o n s i d e r e d ，a n do nt h ep r o c e s s o fs h a p ec h a n g e ，s t r a i nc a n tb em e a s u r e db yl i n e a rs t r a i no ft h ef i r s td e r i v a t i v eo f d i s p l a c e m e n t i no r d e rt o e s t a b l i s hb a l a n c ee q u a t i o n ，r e a s o n a b l es t r a i nm e a s u r e m e t h o ds h o u l db eu s e d t h er e s e a r c ho fg e o m e t r i cn o n l i n e a rp r o b l e m si sf u l lo f i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei ns t r u c t u r a la n a l y s i s t h es rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e md i v i d e sm o v e m e n tt r a n s f o r m a t i o ni n t or o t a t i o n t r a n s f o r m a t i o na n dd e f o r m a t i o n t r a n s f o r m a t i o n b y m a t h e m a t i c a l m e t h o d s d e f o r m a t i o nt e n s o ri su s e dt om e a s u r es t r a i n ，w h i c ho v e r c o m et h ep r o b l e mo fg r e e n s t a i nt e n s o ro nt h el o c a lr o t a t i o nu n c e r t a i n t y s o d e f o r m a t i o nt e n s o ri sar e a s o n a b l e m e a s u r em e t h o do ns t a i n f i r s t ，b a s e do nt h es t r a i nt e n s o ru n d e rs rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m i n c r e m e n t a l v a r i a t i o ne q u a t i o ni sd e r i v e df r o mf i c t i t i o u s p o w e rp r i n c i p l e ，w h i c hi s u s e dt o i n c r e m e n t a l a n a l y s i si nu p d a t e dc o - m o v i n gc o o r d i n a t e d e r i v a t i v ef u n c t i o n sa r e r e s e a r c h e do ne a c hp h y s i c a lq u a n t i t yi nc o - m o v i n gc o o r d i n a t e ，a n dt h eo b je c t i v eo f s t r e s sr a t ew h i c hi s n te f f e c t e db yr i g i db o d er o t a t i o ni sp r o v e d s os t r e s sr a t ec o u l db e a p p l i e di nt h er a t em o d e lo fc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n s e c o n d ，c o n s i d e r i n gi n c r e m e n t a lv a r i a t i o ne q u a t i o na sg l o b a lv a r i a t i o nw e a k f o r m ，b a s eo ns h a p ef u n c t i o nc o n s t r u c t e db yt h em o v i n gl e a s ts q u a r e ，d i s c r e t es y s t e m e q u a t i o ni sd e d u c e df o re l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d b e c a u s eo fs y s t e me q u a t i o n r e l a t i n gt od i s p l a c e m e n t ，i t i sn o n l i n e a r t h en e w t o n - r a p h s o nm e t h o d ，o w i n gg o o d c o n v e r g e n c e ，i su s e dt oi n t e r a c t i v e l ys o l v es y s t e me q u a t i o n t h ew a yt oc a l c u l a t e s t r a i ni n c r e m e n ta n ds t r e s si n c r e m e n ti sd i s c u s s e d l a s t ，s e v e r a lg e o m e t r i c a ln o n l i n e a rp r o b l e m sa r es o l v e db ye l e m e n tf r e eg a l e r k i n m e t h o d ，w h i c hc o n t a i ne l a s t i cg e o m e t r i c a ln o n l i n e a r p r o b l e m ，e l a s t i c p l a s t i c g e o m e t r i c a ln o n l i n e a rp r o b l e ma n di n c l u d i n gh o l eg e o m e t r i c a ln o n l i n e a rp r o b l e m e x a m p l e ss h o wt h a tb a s e do ns rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m e l e m e n tf r e eg a l e r k i n m e t h o dh a sg o o dc o n v e r g e n c ea n da c c u r a c y k e yw o r d s ：g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r ；s - rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ；i n c r e m e n t a l v a r i a t i o ne q u a t i o n ；e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d 基于s - r 和分解定理的几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 插图索引 图2 1 拖带系坐标7 图3 1 更新拖带坐标1 7 图4 1m l s 形函数形成的近似函数甜打( x ) 和节点参数, 一2 6 图5 1n e w t o n r a p h s o n 法求解过程一3 6 图5 2a i t k e n 加速的修正n e w t o n r a p h s o n 迭代3 7 图6 1 受均布载荷的悬臂梁4 4 图6 2a n s y s 分析下受均布载荷的悬臂梁形变状态4 5 图6 3e f g 法分析下受均布载荷的悬臂梁形变状态4 5 图6 4 悬臂梁绕度的计算结果4 6 图6 5 受集中载荷的悬臂梁4 6 图6 6a n s y s 分析下受集中载荷的悬臂梁的形变状态4 7 图6 7e f g 法分析下受集中载荷悬臂梁的形变状态4 8 图6 8 线性解、有限元解和e f g 解在端点处的挠度比较4 8 图6 9a n s y s 计算得到的弹塑性形变状态4 9 图6 1 0e f g 法计算得到的形变状态一5 0 图6 1 l 等效应力比较5 l 图6 1 2 单向拉伸的带孔矩形块5 l 图6 13 带孔矩形块节点分布图5 2 图6 1 4a n s y s 分析下带孔矩形块的形变状态5 3 图6 1 5e f g 法分析下带孔矩形块的形变状态5 3 图6 1 6 受单向拉伸的带孔矩形块水平位移比较5 4 v l 硕士学位论文 附表索引 表6 1a n s y s 和e f g 法计算的随机选择节点位移比较5 0 v 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 在工程实际中遇到的力学问题，大部分都可看作线性问题，这些问题基本上 通过小变形理论的应用得到解决，这是因为这些实际问题都可以在基于小变形理 论的假设下得到合理的描述，而对于材料的使用也是尽量控制在屈服强度范围以 内。随着力学的发展以及计算机的广泛应用，小变形理论也日趋成熟，线性问题 基本上能得到妥善解决。人们研究的对象不再仅仅局限于线性问题，非线性问题 越来越成为人们关注的焦点。 非线性问题大致分为3 类，即 ( 1 ) 材料非线性问题：此类问题中，物性方程中的应力和应变关系不再是线 性的。如在结构形状受到的外荷载使结构的应力超过材料的极限强度时，材料进 入塑性状态，此时应力应变的线弹性关系不再适用。当外荷载离开结构体后，结 构体也无法恢复到初始状态。 ( 2 ) 几何非线性问题：此类问题特点是结构在外载荷作用过程中产生大位移 和大转动。例如板壳结构的大挠度，屈曲和过屈曲问题。结构的平衡方程必须建 立变形后的状态，以便考虑变形对平衡方程的影响。同时随着结构体的大位移、 大转动，应变表达式不能再使用c a u c h y 应变张量表述。 ( 3 ) 边界的非线性：此类问题最典型的例子是两物体的接触与碰撞问题。他 们相互接触边界的位置和范围以及接触面上力的分布和大小事先不是给定的，需 要依赖整个问题的求解确定，另一种情况是外荷载在结构体位移和转动过程中大 小和方向呈非线性变化。 在许多实际问题中，遇到的是三类非线性问题中的一种情况。但是同样有许 多实际问题是这三类非线性问题同时发生的情况，例如汽车的碰撞，材料锻压成 型等情形，在碰撞和成型过程中，结构和材料发生巨大的变形，材料进入塑性流 动状态，而且接触面及其相互问的作用也将快速变化，同时还伴随着和热等非线 性因素的相互作用，由此可见非线性问题是相当复杂的【l l 。只有对于非常特殊的 问题才能够通过解析的方法求得解答，但对于绝大部分非线性问题而言，是很难 求得其解析解的。人们希望从数值方面入手，求得非线性问题的解答，有限元在 非线性分析中的应用取得了很大的进展，并且已经获得了很多不同类型问题求解 方案，已有批大型通用的非线性有限元分析商业软件如a n s y s ， a b a q u s ，n a s t r a n 等进入实际应用。然而对于几何非线性问题，解的乖确性、 基于s r 和分解定理的几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 可靠性、求解精度及效率依然存在很大问题。为了得到更加可靠的结果，不能仅 仅从数值计算方法上来解决这些问题，同样可以从经典力学理论出发，寻求更为 合理、正确的运动描述来改进和完善非线性大变形理论，也就是说从数值计算方 法和非线性理论两方面结合来获取更为满意的结果。 1 2 几何非线性问题的数值理论简述 本文主要目的是求解第二类非线性问题，即几何非线性问题，也就是指由于 大位移大转动引起的非线性问题。由于在大位移大转动情况下，通常都伴随着材 料的塑性变形，因此在大变形大转动分析中经常包括几何非线性和材料非线性分 析。在早期的几何非线性分析中，依然采用小变形理论，其实质也就是线性分析 的扩展，并针对各种具体问题进行分析，尽量消除非线性的影响。由于求解大变 形大位移的解析解是非常困难的，人们只能希望从数值方面得到解答。近年来非 线性连续介质力学理论得到高速发展，许多学者提出过各种求解几何非线性问题 的数值方法，通常都采用增量分析的方法，它基本上采用两种不同的表达格式， 第一种格式中，所有的静力学量和运动学量总是参考初始位形，即在每个增量步 中的状态量都已初始参考系为基准来表达。这种表达式称为完全拉格朗日格式 ( t o t a l l a g r a n g ef o r m u l a t i o n ，简称t l 格式) 。o d e n | 2 , 3 j 、m a r c a l l 4 1 、h i b b i t t l 5 】和 s t r i c k l i n t 6 j 等提出过这一方法的某些形式。在第二种格式中，所有静力学和运动学 量都参考于每一增量步的位形，即在非线性分析过程中，参考位形不断变化。这 种格式称为更新拉格朗日格式( u p d a t e dl a g r a n g ef o r m u l a t i o n ，简称u l 格式) 。 m u r r a y 和w i l s o n t 7 1 、y a g h m a i 和p o p o v i 引、y a m a d a 【9 1 、s h a r i f i 和p o p o v 1 0 1 等研究 过这一方法。a r g y r i s i 注意到运动描述的重要性，提出了一种新的增量方法一一 自然描述法( n a t u r a la p p r o a c h ) 。在几何非线性问题中的应变和应力度量，通常采用 g r e e n 应变张量和k i r c h h o f f 应力张量。g e o r g eg r e e n 在研究光在晶体中传播时， 提出弹性体的势能函数的概念，证明独立的弹性常数仅仅只有2 1 个，提出度量大 变形伸长的微分二次式也就是g r e e n 张量。a e g r e e n 首先正确使用张量数学建 立有限变形弹性力学理论，l o v e 在他的著作中对于g r e e n 张量作了系统分析。而 o r t h w e i n i l 2 i i e 明：g r e e n 应变张量在曲线坐标系下是不正确的。m a b i o t 1 3 j 指出 了g r e e n 应变张量作为有限变形应变张量的基本缺点，并采用f i n g e r 方法定义有 限变形应变分量。w i l l i a n mt h o m s o n 在研究物体大变形时变形与转动的几何定理， 证明叠加原理的不适用性。j o s e p hf i n g e r 对各向同性材料弹性大变形的一般方程 作了详细的叙述，提出分离转动与纯变形的对称变换与正交变换的相乘法一一极 分解定理。b l u m e 研究了运动变换的极分解定理，此定理提出物体的运动是转动 和形变的简单叠加，而事实上转动和形变不是独立的，结果是不唯一的，因此该 定理给出的应变定义是不合理的。陈至达1 1 4 l 教授采用拖带坐标描述法，提出了尺 硕士学位论文 规变换的概念，继而提出了s r 和分解定理，指出物体的运动是转动和形变的共 同结果，两者是相互关联的，并给出了转动与形变分离的合理描述。 为得到几何非线性问题的数值解，可采用有限元法、有限差分法、边界元法、 无网格法等。有限元法是用来求解非线性问题最常用的一种方法，它在非线性数 值计算方面发展的已经相对成熟。近年来许多人把s r 和分解定理运用到有限元 分析中，在解决板壳【15 1 、橡胶1 16 1 、钢筋混泥土板【1 7 1 等有限变形中取得了一些进 展，李平把它运用到非线性大变形有限元分析中【l 引，得到了比较满意的结果。但 是在求解大变形问题时，有限元法依然存在许多不足。由于在求解过程中要不断 重新划分网格，而且网格也可能发生畸变，这样既增加了计算量又降低了计算精 度。无网格法是近3 0 年新兴起来的一种新的数值方法，它在求解几何非线性问题 上具有很大的优势，因为它是直接通过节点构建形函数，无需再划分单元，也不 会由于产生单元畸变而影响求解精度。因此无网格法在求解非线性大变形问题上 拥有广阔的应用前景。 1 3 无网格法简述 无网格法起源于2 0 世纪7 0 年代，l u c y i 挎j 在解决无边界天体物理问题时， 运用了光滑粒子动力学( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c ，简称s p h ) 方法。 m o n a g h a n l 2 0 2 2 1 在对s p h 方法深入研究后，将其解释为核( k e r n e l ) 近似方法。 s w e g l e l 2 3 】等指出了s p h 方法不稳定的原因，并提出了一个黏度系数来保证其运动 稳定。d y k a l 2 4 l 提出了改善其应力计算的方法。s p h 在解决一些复杂问题如流体力 学、爆炸力学等问题时具有其他数值方法如有限元法无法比拟的优势。进一步的 研究，修正光滑粒子动力学【2 5 j ( c o r r e c t e ds m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c ) 方法、 规则光滑粒子动力学1 2 6 , 2 7 l ( r e g u l a rs m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c ) 方法、b 样 条有限元插值的s p h 法【2 8 】等提出了改善该方法的精确性和稳定性，并解决了磁流 体动力学振动、拉伸和压缩的材料动力学稳定性、弹塑性波和弹丸侵彻入混凝土 等问题。 l i uwk t 2 9 1 等在1 9 9 5 年提出再生核粒子法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l e m e t h o d ，简称r k p m ) r k p m 也是一种基于核近似的无网格法，它通过引入修正函 数施加再生条件和采用高斯积分，使边界上的一致性条件得到满足并提高了求解 精度。再生核粒子法不仅解决了s p h 方法的在边界条件上的不一致性，还完全消 除了s p h 方法的张力不稳定性( t e n s i l ei n s t a b i l i t y ) 。r k p m 在结构动力学1 3 0 】、大 变形【3 、流体动力学1 3 2 】等许多领域得到广泛应用。 移动最小二乘( m l s ) 近似最初由l a n c a s t e r i 1 等提出并用于数据拟合及曲面 构造上。m l s 近似的引入对于许多无网格弱式法的形成是至关重要的，因为m l s 可提供一个在全局问题域上的连续近似场函数。许多类型的无网格法都用m l s 基于s r 和分解定理的几何1 线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 近似来构建形函数。n a y r o l e s 3 4 等首先在一种称为扩散元素( d i f f u s ee l e m e n t ) 的伽辽金( g a l e r k i n ) 方法中采用了m l s 近似。m l s 近似函数是一种光滑的能与 各取样点的值达到最佳的近似函数。1 9 9 4 年，b e l y t s c h k 0 1 3 5 】等基于扩散元素提出 了采用m l s 函数近似的新方法，称为无网格伽辽金( e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ， 简称e f g ) 法，这是一种基于全局弱势的m f e e 全局弱势法。目前基于m l s 近似 的e f g 法已被广泛应用于工程力学的许多领域【3 6 4 ，如二维和三维裂纹扩张动 态模拟、三维弹性和弹塑性材料变形、不连续材料的断裂和多相多孔介质渗透模 拟等。研究表明，e f g 法计算稳定、精度较高，是无网格方法较为成熟的一种方 法。另外l i uwk t 4 2 】等也利用m l s 近似提出了移动最小二乘再生核( m o v i n gl e a s t s q u a r er e p r o d u c i n gk e r n e l ) 方法，建立了较为完善的理论体系。1 9 9 8 年，a t l u r i 和z h u 4 3 , 4 4 j 利用所谓局部弱式形成了无网格局部p e t r o v g a l e r k i n ( m l p g ) 法。 m l p g 法无论是函数近似还是积分都不需要全局网格。a t l u r i 和z h u 应用m l p g 法对l a p l a c e 方程、p o i s s o n 方程和势流问题进行了求解，并对m l p g 法进行了改 进和扩展。m l p g 法已被用于解决固体中的弹性静力学 4 5 】和弹性动力学问题【4 6 1 、 薄梁1 4 7 1 和厚梁的4 阶o d e s t 4 8 1 ( 或p d e s ) 、板结构4 9 1 、线性断裂问题【5 0 1 、流体力 学问题f 5 卜5 3 】等等。k i m 和a t l u r i 还对m l p g 法进行了误差分析。基于m l s 近似 的无网格法存在不足之处，m l s 近似构建的形函数不通过参考点，不具备6 函数 性质，使得施加边界条件存在困难，对此人们提出了多种处理方法如罚函数法、 拉格朗r 乘子法和有限元耦合法等等。 点插值法1 5 4 j ( p o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，简称p i m ) 是由g rl i u 和他的同 事提出的一种无网格插值技术，它采用局部分布的节点构造形函数以形成无网格 弱式法。与m l s 近似不同，p i m 采用多项式插值构造形函数，使其具有k r o n e c k e r 6 函数性质。然而在多项式p i m 中的力矩矩阵可能发生奇异。l i u 和g u 提出一 种2 阶段矩阵三角化算法【55 j ( m a t r i xt r i a n g u l a r i z a t i o na r i t h m e t i c ，简称m t a ) 来 解决力矩矩阵奇异的问题。然而由于多项式p i m 形函数的不相容性，使得基于 g a l e r k i n 弱式的p i m 对于不规则分布节点不够鲁棒，特别是当局部支持域中的节 点数太多而造成多项式的阶数太高时，将导致p i m 形函数变化过于剧烈。grl i u 和g u 提出了基于径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，简称r b f ) 的径向基点插 值法【5 6 0 8 l ( r a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，简称r p i m ) 。r p i m 对于任意节点 分布均是稳定而鲁棒的，故目前r p i m 较多项式p i m 应用更为广泛。r p i m 现在 已成功地应用于2 d 和3 d 固体力学【5 9 1 、几何非线性问题、智能材料问题【6 0 , 6 1 】、 板壳问题【6 2 , 6 3 】和土木工程中的材料非线性问题1 6 4 , 6 5 】等等。由于r p i m 形函数不具 备全局相容性，这对于使用全局能量原理，如g a l e r k i n 弱式带来了一定影响。g r l i u 等应用m l p g 的思想形成了无网格局部弱形式的两种变化形式，即局部点插 值法1 6 6 1 ( l o c a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，简称l p i m ) 和局部径向基点插值法1 6 7 _ 6 8 l 4 硕l 学位论文 ( l o c a lr a d i a lp o i n ti n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，简称l r p i m ) ，l p i m 采用多项式p i m 形函数，由于采用了多项式基函数，其插值力矩矩阵可能发生奇异，从而可能需 要使用矩阵三角化算法1 6 9 1 ( m t a ) 。而l r p i m 采用r b f 和多项式构建形函数， 由于r b f 拥有很好的鲁棒性，使得l r p i m 对于任意分布的节点域具有很强的适 用性，此外局部弱形式无网格法中并不要求全局相容性。l r p i m 已成功应用于固 体力学【7 0 1 、岩土力学【7 1 1 、流体力学【7 2 1 、梁结构的4 阶o d e s l 7 3 1 ( 或p d e s ) 等等。 此外还存在基于其他近似的无网格法包括h p 云法、单元分解( p u ) 法等。 1 4 论文研究的意义和内容 几何非线性问题r 益受到人们的关注，s r 和分解定理为我们提供了更为精 确而又合理的应变与转动的度量，体现了转动与形变的内在联系。近2 0 年来，新 的应变度量运用到有限元分析上取得显著进展，在解决大变形问题上得到许多满 意的结果。相对于有限元，无网格法在求解几何非线性问题上拥有巨大的优势， 许多学者将传统几何非线性理论运用到无网格法中。赵光明和宋顺成【7 4 】将传统非 线性理论成功运用到无网格g a l e r k i n 法( e f g ) 中，表明e f g 法在求解几何非线性 问题是可行的，同时也具有较高的精度，但是计算效率并不是很高。熊渊博和龙 述尧等【75 j 将非线性理论进一步运用到无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m l p g ) 法中， 证明m l p g 法在求解几何非线性问题是有效可行的，其解拥有较好的精度。而本 文的目的是把s r 分解定理下的应变度量运用到无网格法中解决大转动大位移问 题，通过算例与基于传统几何非线性理论的计算结果想比较证明该方法的合理性 和有效性，其解具有很好的精度和收敛性。 本文第一章在查阅大量文献的基础上，大致的介绍了几何非线性理论、数值 计算理论和无网格方法的发展史，简洁的概述了本文的写作目的。 第二章介绍了s r 和分解定理及其给出的应变张量，比较了c a u c h y 应变张 量、g r e e n 应变张量和本文所采用的应变张量，指出g r e e n 应变张量在度量应变 中所存在的问题。 第三章基于s r 和分解定理，从虚功率原理出发推导了增量分析中更新拖带 坐标法下的增量变分方程。讨论了在弹塑性状态下的速率型物性方程。 第四章详细介绍了无网格g a l e r k i n 法，并讨论了其中的形函数和权函数选择。 将上一章所得到的增量变分方程张量形式转化为矩阵形式，并以速度作为基本插 值量离散系统方程。 第五章介绍了在增量法中用于求解非线性方程的几种解法，包括欧拉法， n e w t o n r a p h s o n 法和修i fn e w t o n r a p h s o n 法。以及a i t k e n 加速法。讨论了增量 步长的选择。 第六章编制了求解几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法的f o r t r a n 程序，通 基于s r 和分解定理的几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 过算例与有限元软件a n s y s 的计算结果比较，表明基于s r 和分解定理下的应 变度量的合理性和正确性。 6 硕士学位论文 第2 章s r 和分解定理和应变度量 形变度量是连续介质力学的基础。s r 和分解定理是通过数学方法将运动变 换分离为转动变换和形变变换两个部分，以形变变换作为应变的度量。对于大变 形大转动问题，c a u c h y 应变已经无法正确度量应变，g r e e n 应变张量是以变形前 后度规张量的差来度规应变，无法反映刚体转动现象，在数学意义上是不完备的。 s r 和分解定理以数学方法得到了形变度量，从理论上是更为合理而正确的形变 度量。本文通过实例比较了三种不同形变度量方法。 2 1 物体运动的拖带坐标描述 物体的运动过程可分为几种：有位移，无变形；大位移，小变形；大位移， 大变形；小位移大变形；小位移，小变形。当物体平动的时候，物体各点无相对 位移，仅有转动与变形时物体各点才有相对位移发生。因此要知道物体的真实变 形状态，必须将转动部分分离出来。物体的转动与变形是一种状态的改变，要度 量这种状态的改变必须指定一个参考态，并选定参考坐标系。人们通常选定一个 标准的直线直角坐标系作为固定参考系。当物体在初始状态时，可在物体内选定 一个嵌含坐标系也就是拖带坐标系作为初始参考拖带系，为计算方便，习惯上选 取直线或曲线正交坐标系作为初始参考系。 图2 1 拖带系坐标 7 基于s r 和分解定理的几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 2 2s r 和分解定理 为了得到物体形变前后度规张量的变换关系，如图2 1 所示，设亍和r 分别 表示物体内任意一点p 变形前后的位置矢量，x 7 为物体在初始时刻的拖带系坐 标，则拖带坐标系f 变形前后的协爻基矢量分别为： g ! ，= 嘉 ( 2 1 ) f = 石 【2 ， 0 。 驴等 ( 2 2 ) 岛= 百 【2 z ) o 点p 在初始位置尸和变形后的位置p 的尺规分别为 阱g i 压， 亿3 ， 引= g ) ( 2 4 ) 由物体变形前后的尺规变化可以精确描述物体内各物质点的运动状态。为得 到变形前后协变基矢量的变换关系，位移矢量 历= 辰一尹 ( 2 5 ) 存在如下微分变换关系 扳= 筹如昙( 彬 ( 2 6 ) 融舐卜 7 、。 又位移矢量历可以通过初始拖带系下的协变基矢量表示： 汹嘻0 嘉叫萄0 ( 2 7 ) 历= “蚕 云= “1 季， ( 2 7 ) 由d r 7 的任意性，可以将式( 2 7 ) 变换为 000 蚕= 雷，+ “1 彭= ( 彰+ “乱) 彭 令协变基矢量的变换函数为 f ，= 彰+ “q ( 2 8 ) 式( 2 9 ) 也就是物体位形变换前后的拖带那坐标系的协变基矢量变换系数。 它把物体内任意一点p 的运动变换转化为该点处拖带坐标基矢量的尺规变化，即 蚕= f 7 邑 ( 2 9 ) 由物体的形蛮运动客观存在性，变换后的拖带坐标系依然保持右手标架，目 8 硕士学位论文 体积不缩减为零，要求 l f l o ( 2 1 0 ) s r 和分解定理证明：给定一个可能的位移函数，此函数在形变体点集域内 是单值连续的，处处具有一阶导数，则此运动变换总可以唯一分解为正交与对称 变换的直和。正交变换表现点集的转动，而对称变换表现点集的形变。即 c = + 甜l ，= 影+ 蟛 ( 2 11 ) 其中 影= i ，“眇一e k l k j ( 1 一s o ) ( 2 1 2 ) 碍= + e j s i n0 + l k g ( 1 一c o s o ) ( 2 13 ) o = + a r c s i n 一叫】l ，2 ( 2 1 4 ) t = 叫s i n o ( 2 15 ) 嘭= 捌，叫，) ( 2 1 6 ) c 为运动变换张量，譬为应变张量，蟛为转动张量，o 表示物质点的平均 整旋角，r i 为转轴方向余弦。s r 和分解定理表明物体在运动过程中转动和形变 是同时进行的，不能把它表述为转动和形变的简单叠加。该定理的唯一性、存在 性和客观性在文献【7 6 】中已得到证明。这些张量都是在拖带坐标系中表示的，因 此在实际计算中，必须将这些量以标准尺规中的物理分量形式来表示。 对于速度场，我们有广义欧拉运动学公式， y 7 0 ，= l j o + s j ( 2 1 7 ) 2 3 应变度量 一点的应变其实是表示该点的变形状态，也就是说，应变是一种状态量，1 8 8 2 年，c a u c h y 在他的研究报告中指出，当连续介质中一点邻域的变形十分微小时， 可以用6 个位移梯度来度量材料的变形和角度变形，这6 个位移梯度也被称为 c a u c h y 应变分量。c a u c h y 应变分量合理的度量了点的应变状态，微小变形力学 9 基于s r 和分解定理的几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 的数学理论都是以此为基础发展起来的。然而对于大变形问题，c a u c h y 应变分量 度量应变存在很大的误差，甚至是产生很大的谬误，因此在有限变形力学理论中， 必须采用新的应变度量来表示点的形变。g r e e n 应变张量直接用变形前后的度规 张量作为应变的尺度，定义应变分量为 1 0 7 7 ：l = i ( 岛一g o ) ( 2 1 8 ) 将式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 代入式( 2 1 9 ) 可以得到 = 万1 ( i j + u j l j + u k l i l d k i ，) ( 2 1 9 ) 在平面问题上，可表示为： ，= 篑+ 吉l ( 孑) 2 + ( 等) 2l c 2 2 。， = 萋+ 三2 f ，t , 亟m 2 、1 ) 2 + ( 等) 2 ( 2 2 1 ) 2 编：= 2 仉。= 等+ 丽o u l + l 堕& l 堕0 x 2 4 - 两o u 2 爵0 u 2l ( 2 2 2 ) g r e e n 应变分量是的定义是内禀性质的，即应变分量决定于物体内部质点的 相对位移，而和物体的空间整体转动的方位无关，传统有限变形理论大都采用 g r e e n 应变分量作为基础。但是g r e e n 应变张量是由度规张量的内积建立起来， 因此无法确定微元体的局部整旋量，在数学上是不完备的。s r 和分解定理通过 数学的方法将转动与变形合理的分离出来，在数学意义上是对转动与形变的精确 描述，而且s r 和分解定理还给出了点邻域的局部转动量，因此比较全面反映一 点处的形变状态，从理论上讲，是对应变更为合理的描述。下面通过实例来反映 三种应变度量的不同之处。 例如对于平面问题，已知位移函数 “= i x = 【( 1 + 五) c o s 秒一1 x - s i n o y v = y 一- y = ( 1 + 3 , ) s i n o x + ( c o s l 7 1 ) y 此问题为单向拉伸和刚体转动的复合。假如以初始位形作为变形基准，那么 实际应变应为( ，勺) = ( 旯，0 ，o ) ，采用c a u c h y 应变分量计算，即 1 0 硕上学位论文 锄 = 瓦 加 2 万 锄 = i 。 砂 = ( 1 + 2 ) c o s 8 1 = c o s 8 1 + 生= 五i s i n 秒+ = 九 舐 如果刚体转动角度8 = 9 0 。，则( ，) = ( 一i ，一i ，兄) ，显然结果是谬误的， 只有当p o 。时，( ，) = ( 彳，0 ，0 ) 。可见出现大转动时，c a u c h y 应变分量无 法正确度量应变状态。 如采用g r e e n 应变张量， k = 咒+ 去彳2 e 侈= 0 e 9 = e 搏= 0 可见g r e e n 应变消除了刚性转动的影响，结果比较合理，但实际上，对于单 项拉伸问题，位移梯度完全可以度量应变而无需再添加位移梯度的二次项，且无 法反映刚体转动现象。 如采用s r 和分解定理给出的应变张量，取初始拖带系与固定直线直角坐标 系同胚，变形前后的度规张量， 墨 = 三： g 扩 = 1 苫27 计算位移梯度的物理分量， 五； = l f 0 8 茅 由公式( 2 15 ) 可以得到在一点的平均整旋角，o = 秒，号选择由位移函 数的特性判别，如果规定逆时针转动为正，则o 取正，这反映了刚体转动现象。 对于平面问题，转轴方位数的物理分量：骞= 露= 0 ，宣= 一昱= 1 。将位移梯度 物理分量、平均整旋角和转轴方位数的物理分量代人式( 2 1 3 ) ，得到应变分量的物 1，j 、- 、 ，1 秒 一 洫 秒 s s 一 0 c 基于s r 和分解定理的几何非线性问题的无网格g a l e r k i n 法分析 理分量， 良= 南 s 料= 0 s 拶= s 爆= 0 以上应变分量表明是单向拉伸，此时拖带系处于变形后的状态，故应变描述 是以变形后位形为基准建立的。虽然与以初始位形为基准考察形变的度量值不一 样，但都是对应变的合理度量方法。 2 4 小结 本章主要介绍了拖带坐标以及拖带坐标下的s - r 和分解定理。通过实例比较 了c a u c h y 应变张量、g r e e n 应变张量以及s - r 和分解定理定义的应变度量对于同 一问题的应变不同的表达形式。可见g r e e n 应变张量在度量形变上存在一些不足， 采用新的应变度量是有必要的。 1 2 硕十学位论文 第3 章增量变分方程 增量变分方程是做增量分析的基础，本文从虚功率原理出发，基于s r 和分 解定理，得到更新拖带坐标下以速度作为变分的增量变分方程，为下一章的无网 格法分析做理论基础。 3 1 虚功率原理 当结构体产生大变形大转动时，外力与位移通常呈非线性关系，边界条件随 时问变动，有限变形的变分原理以变形后的基准建立。下面以虚功率原理建立增 量变分方程。 假设在变形后的位形，保持外力的大小和方向不变。而给以速度，角速度和应 变速率有一虚变动，且假定这些虚变动满足协调条件： 删= 训，一万( 彰o ) ( 3 1 ) 又在速度边界r 。上，虚速度和己知速度相容，即 v = v ( 3 2 ) 而在表面力边界r 上： 叫乃= p ， ( 3 3 ) 虚功率变分原理：在一切满足速度、角速度与应变速率协