（应用数学专业论文）桩基弹性波传播的数值模拟与仿真.pdf

摘要 本文首先介绍了低应变桩基检测的研究方法，以及有限元和有限差分理论 在弹性波求解方面的研究进展。在研究弹性波在介质中传播的性质和不同边界 条件对弹性波传播的影响的基础上，建立起三维弹性波传播的桩土数学模型， 并用有限元进行求解、仿真。在模型中设置了不同的缺陷参数和不同的信号接 收点，以分析不同情况下弹性波信号样本的振动特征。本文主要工作如下： 1 对弹性波在桩土中传播的相关理论进行研究，并建立了三维弹性波传 播的桩土数学模型。将圆柱形、半球形、球形等多种几何参数形体应用于桩 土模型中；对自由面、不同介质交界面、孔洞及人工边界的边界条件进行了合 理设置： 2 对弹性波在桩土中的传播模型进行有限元理论变分并给出了求解的具 体步骤及实现方式；讨论了不同的边界处理方法，最终得到信号的数值模拟仿 真样本； 3 在模型中设置了不同的缺陷参数和不同的信号接收点，以得到不同参 数下的信号样本并分析其振动特征；将信号进行比较，分析不同缺陷参数和接 收点位置对信号振动特征的影响； 4 在综合考虑运算时间和计算精度两个因素的情况下讨论不同规模的模 型对仿真信号的影响程度，获得了模型几何参数设置的最优范围。 本文的研究成果对桩基应力波实地检测信号的分析具有一定程度的参考意 义，对桩基应力波检测的模拟仿真发展起到一定的推动作用。 关键词：弹性波，有限元求解，桩土模型 a b s t r a c t a tt h eb e g i n n i n go ft h i sd i s s e r t a t i o n , t h et h e o r yo fl o ws t r a i np i l ed e t e c t i o nh a s b e e ni n t r o d u c e d , a sw e l la st h ed e v e l o p m e n to ft h ee l a s t i cw a v es o l u t i o nu s i n gt h e m e t h o do ff i n i t ee l e m e n ta n df i n i t ed i f f e r e n c e o nt h eb a s i so ft h ed e e pr e s e a r c ho n t h en a t u r eo f e l a s t i cw a v et r a n s m i s s i o ni ni n f i n i t ed o m a i n sa n dt h ee f f e c t so f d i f f e r e n t b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w e ：e s t a b l i s ht h e3 - dp i l e s o i lm a t hm o d e lo fe l a s t i cw a v e t r a n s m i s s i o n l a t e r , w es o l v et h em o d e la n dd oe m u l a t i w i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h em o d e l , v a r i o u sd e f e c tp a r a m e t e r sa n ds i g n a lr e c e i v ep o i n t sh a v eb e e ns e tt o a n a l y s i st h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r so ft h ee l a s t i cw a v es i g n a ls a m p l e si nd i f f e r e n t s i t u a t i o n s t h ep r i m a r yw o r k so f t h i sd i s s e r t a t i o na r el i s t e db e l o w ： 1 t h et h e o r yo f e l a s t i cw a v et r a n s m i s s i o ni np i l e - s o i lh a sb e e ni n t r o d u c e d a n d t h et h r e ed i m e n s i o n a le l a s t i cw a v et r a n s m i s s i o nm a t hm o d e li np i l e - s o i lh a sb e e n e s t a b l i s h e d p u t t i n gs e v e r a lg e o m e t r i e si n t ot h ep i l e - s o i lm o d e li n c l u d i n gc y l i n d e r , h e m i s p h e r o i da n ds p h e r i c i t y ；s e t t i n gr e a s o n a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n ss u c ha sf r e e s u r f a c e ，m e d i u mi n t e r f a c e ，h o l ea n da r t i f i c i a lb o u t , 2 t h ef i n i t ee l e m e n tt h e o r yv a r i a t i o ni ss t u d i e di nt h ed i s s e r t a t i o no ft h e t r a n s m i s s i o nm o d e la n dt h es o l v i n gd e t a i l e da p p r o a c h e sa n di m p l e m e n t a t i o ni sg i v e n o u t ；v a r i o u sb o u n d a r yt r e a t m e n t sa r ed i s c u s s e d , a n df i n a l l yt h es t i m u l a n ts i g n a l s a m p l e sa l eo b t a i n e d ； 3 d i f f e r e n td e f e c tp a r a m e t e r sa n ds i g n a lr e c e i v i n gn o d e sh a v eb e e ns e tt i pt 0 o b t a i ns i g n a ls a m p l e sw i t l ld i f f e r e n tp a r a m e t e r sa n da n a l y z et h e i rl i b r a t i o nc h a r a c t e r s ； s i g n a ls a m p l e sa r ec o m p a r e dt oa n a l y z et h ei n f l u e n c eo f t h es i g n a ll i b r a t i o nc h a r a c t e r s w i t hv a r i o u sd e f c c tp a r a m e t e r sa n dr e c e i v i n gn o d e s 4 o nt h es i t u a t i o nb o t l lc o m p u t i n gt i m ea n dc a l c u l a t i o na c c u r a c y , t h ei n f l u e n c e a b o u ts i m u l a t i o nd a t ai sd i s c u s s e du n d e rd i f f e r e n ts i z e so fm o d e l a n dt h eo p t i m u m r a n g eo f g e o m e t r yp a r a m e t e r so f t h em o d e li so b t a i n e da tl a s t 1 1 圮r e s e a r c ha c h i e v e m e n t si nt h i sd i s s e r t a t i o nh a v ear e f e r e n c e ds i g n i f i c a n c ei nt h e f i e l dt e s t i n gs i g n a l sa n a l y s i so fp i l es t r e s sw a v ei nc e r t a i nd e g r e e ，a l s oh a v es o m e i i p r o m o t i n gf o rt h es i m u l a t i o nd e v e l o p m e n to f p i l es t r e s sw a v et e s t m g k e yw o r d s ：e l a s t i cw a v e ，f i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n , p i l e - s o i lm o d e l m 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：圣遇基日期：! 里! ! ：璺 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：堡 篁羹日期：盟 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 随着我国建筑工程的高速发展，高层建筑、海港码头、桥梁、重型工业厂房 和粮仓等都广泛使用桩基，目前我国每年的用桩数量达1 0 0 万根以上【l 】。如何使 桩基既满足桩承载力和安全性要求，又降低成本，对我国工程建设具有重大意义。 同时，随着现代科学技术的发展，桩基的类型、施工工艺和设备、桩基理论和设 计方法都有了很大的进展。 桩基深埋于地下，是个隐蔽工程。虽然桩基设计理论和施工方法已有了很大 提高，然而，地质条件的复杂性、岩土性质的多变性和现场施工的局限性，致使 桩承载力的设计值与桩的实际承载能力有时还有较大的差别，在施工时桩身中也 会出现各种缺陷i 甜。因此，为了保障桩基的质量，进行桩基检测就十分必要。 长期以来，桩基检测采用的是静荷载试验方法。由于它是破坏性检测，成本 高，检测周期长，因此被检测的桩数目较少，难以满足基础工程的广泛需要。随 着工程建设规模的扩大和现代科学技术的发展，一种无损检测技术一桩基应力波 检测应运而生，并自2 0 世纪8 0 年代以来获得了迅速的发展和广泛的应用，现已 成为基础工程建设过程中一个必不可少的组成部分。 桩基应力波检测是一项复杂的高技术。它的理论基础是波传播问题理论。桩 基应力波检测理论比较复杂，影响试验结果的因素较多，需要检测人员深刻理解、 掌握分析理论和测量技术，同时还必须有足够的经验才能对检测结果做出相对正 确的分析和判断。因此研究一种合理的三维弹性波传播的桩一土数学模型，对实 测信号进行较正就显得非常重要。 1 2 低应变桩基检测的研究方法 应力波反射测桩法，是以手锤或力棒等激振装置撞击桩顶，在构件内部产生 应力波，再由传感器( 速度型或加速度型) 记录桩身缺陷及不同界面的反射信号， 并通过一系列分析处理来判定桩身质量，如图i - i 。但是基于一维应力波理论的 武汉理工大学硕士学位论文 应力波反射法存在理论上的多解性，并且桩底反射波、多次反射波以及背景噪声 等信号在某一时间段内线性和非线性迭加的结果，记录波形复杂，各种波的波形 特征常常不明显，使得缺陷尤其浅部缺陷位置、类型及大小检测困难；由于测量 系统原因也会引起信号基线漂移；土阻力对信号也存在一定影响。这是应力波测 桩必须面对而又非常棘手的问题。 图1 - 1 在应力波反射法使用中，如果出现多个反射波( 如空洞缺陷) ，多个波形叠 加后很难判断反射体是何种缺陷，缺陷形状和大小的判定就更为困难。而目前实 际使用时只是在时域或频域进行简单的分析，这样只是利用了反射波的部分信 息，缺陷信息往往隐藏在其中，所以对反射波的数据处理及分析是非常重要的一 个问题。目前主要有以下研究方法： ( 1 ) 波速测量 对混凝土结构进行无损检测时，一般需首先测量波在混凝土结构中的传播 速度，因为它是估计混凝土结构浇注质量、测量结构厚度、探测缺陷所在位置的 基础。如果用2 个传感器来测量波速，一般是测量应力波到达2 个传感器的时间 差，但确定应力波到达时间传统方法是用肉眼观察易产生较大的误差。文 3 】中 利用希尔伯特变换进行时间延迟估计，其基本原理是将检测相关函数峰值的运算 转变为相应的过零点检测。减少了相关分析时延估计中在相关函数峰值的位置处 估计时问延迟时因为信号带宽及噪声等影响，有时相关峰会被变平坦而产生估计 误差。文献 4 】提出了一种简单有效的方法对波速进行修正，即认为传感器首先 接收到的入射波信号为锤击时产生的表面波，因此它把表面波传播时间与波速也 2 武汉理工大学硕士学位论文 考虑进来，进行基桩中应力波波速修正 ( 2 ) 时频分析法 最早人们从时域波形上判断哪个是缺陷的反射波，但这往往凭技术人员的经 验进行对比分析得出，带有很强的主观性。后来人们又开始研究用频谱来判定缺 陷，但由于所测信号是瞬态信号，能量小，反映缺陷特征的信息往往只在时域信 号很短一段时间内存在，如果用整段时间信号分析容易淹没缺陷信息。时频分析 法将时域和频域分析结合起来，相互验证而且应用简单，能够更准确地对基桩进 行综合分析。但是虽然时频结合比仅从时域或频域上分析要好，细节信息仍然被 淹没，仍然容易产生误判、错判的现象。 ( 3 ) 小波分析方法 小波变换 小波变换是在f o u r i e r 变换的基础上发展起来的，具有自适应的时域和频域 局部化特性。利用连续小波进行时频转换如下： r ( 口，6 ) ： - h f e 砸) 矿( 生鸟a r tr ( 口，6 ) = f 砸) 矿( 三与 q a 二 a 其中工( f ) 是时域信号，q o ( t - b ) 是由d 、波基妒( f ) 经平移和缩放的结果。 a 小波分析法能将一维的信号拓展成为二维的信号分析，避免了使用传统傅立 叶变换处理信号时的多种缺陷。通过小波和小波包滤波对基桩干扰信号进行滤波 可消除由于传统数字滤波器的相位问题，也可以对含有噪声的信号进行降噪处理 和信号恢复，并保留原信号中的突变特征；运用小波分解根据不同奇异类型时频 特性的差异，区分缺陷和“干扰”，提高反射波法的判别桩身缺陷类型的技术水 平；通过对适当频带波形的清除，还可以消除由于测量系统原因引起的信号基线 漂移及实现对土阻力的影响的消除【5 1 。文献 5 和文献 6 】即利用小波分析进行桩 基的完整性检测。 模极大值法 小波函数的模极大值可表述为： 生e ! ! ：丛：o 曲 模极大值可用来小波变换的模量极大点可用来刻画信号石( f ) 的奇异性，因此 信号的二进小波变换w 2 x ( f ) 的模量极大点可以用来作为信号模式的特征描述。 3 武汉理工大学硕士学位论文 又虽然小波变换的模量极大点饮食了原始信号的近似完整的信息，体现了信号的 特征，但并非所有的模量极大点都对缺陷识别都有重要的影响，为了处理过程中 降低维数提高处理效率的考虑一般需要对极大点进行提炼，保留真正反映原始信 号主要特征的模量极大点，剔除其它次要的和噪声产生的模量极大点。文献【7 】 和 8 】中都有利用模极大值法进行信号检测的运用。 ( 3 ) 遗传算法 遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m s o r g a ) 是基于自然选择和自然遗传机制的搜索 算法，它是一种有效的解决最优化问题的方法。最近几年，有研究者将遗传算法 引入到桩基检测中来。如文献【9 】在多参数反演中引入遗传算法，认为动力测桩 的多参数反演问题可归结为一个非线性优化问题，采用遗传算法求得的最优解即 是参数的最优值。文献 1 0 n 根据实测桩基结构动力特性对桩土体系有限元进行 动力修改，将其转化为在一定约束条件下拟合桩顶频响函数的优化问题。采用遗 传算法求解得到了关于桩身横截面积、桩长、波速等参数的有用信息。不过这些 研究毕竟还处在尝试阶段，仍然有很多问题需要解决。 ( 4 ) 其它 还有文章利用一些数学方法建立起信号与缺陷之间的直接联系，如神经网络 等。神经网络就是以一定的学习准则进行权向量的调整，最终得到输入向量与输 出结果的一个非线性关系。将采集到的信号分为两类，一种用来训练神经网络称 为训练样本，另一种则作为检测神经网络的有效性称为测试样本。输入向量的选 择也各有不同，有的直接将采集到的信号作为输入向量，也有的采用小波滤波等 方法对信号进行处理后的结果作为输入向量，输出向量则为研究人员所希望得到 的结果，如缺陷的严重程度、缺陷的大小、位置等。 ( 5 ) 理论性研究 有一些研究致力于应力波反射过程的理论性研究。应力波反射法是建立一维 应力波理论的基础上，假设桩基为一无限长的理想弹性杆，这种假设只有在理想 化状态下才具有，在实际生活中，桩基的反射波是一种三维信号。因此基于一维 应力波理论的应力波反射法在应用中存在诸多的问题，这在前面已经介绍过。 从目前的研究成果来看，在方法上时频分析法和小波分析法在研究中占了很 大比例，是研究的最为广泛的两种方法，但是在实际检测中研究人员的主观经验 仍然是最常使用的。许多方法往往只限于理论分析，虽然提供了一种解决问题的 途径，但效果只是停留在实验的基础上，未能得到广泛性的验证。并且由于桩长 4 武汉理工大学硕士学位论文 的不同、场合不同或是由于硬件设备引起的误差，使用时还是存在较大主观性， 未必能得到最优效果。应力波反射法测桩是基于一维应力波理论的方法，其理论 本就具有很大的局限性。综合上述分析，本文认为应力波反射法测桩基完整性问 题的研究和发展将主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 应用多种方法进行分析，不仅仅局限于某一种手段，而是发挥各方法 的优点综合处理； ( 2 ) 将现有的方法与其它学科理论交叉结合，寻求更有效的处理方法。 ( 3 ) 进行数学领域的探索和研究，基于三维应力波传播，建立起更为合理 的理论与数学物理模型； 1 3 有限元与有限差分的研究进展 ( 1 ) 有限元法 有限元法是正演模拟的有效手段之一，它的出现是数值分析方法研究领域内 的一个重大突破性进展l l l 】。1 9 4 3 年，c o u r a n t t 2 8 】首次尝试应用定义在三角形区域 上的分片连续函数和最小位能原理相结合的方法来求解s t v e n a n t 扭转问题。 1 9 5 6 年，t u r n e r 和c l o u g h 等人【2 9 】首次给出了用三角形单元法求解平面应力问 题的正确解答。几十年来有限元的理论得到了迅速和持续不断的发展，国内外研 究工作者已经发展了很多用于计算动力问题有限元分析的时间域数值积分方法， 它们可基本上归纳为显式和隐式两种直接积分方法。隐式积分法相对于显式积分 法的特点是算法的无条件稳定性和较高的计算精度，特别在非线性问题中，保证 计算结果的可靠性，但随着问题的规模增大和有限元网格单元数目的增多，其计 算机数据存储量和运算量都将急剧增加。相反地，显式积分法仅为条件稳定，对 时间增量步长提出了严格的限制，此外计算结果的可靠性，特别对于非线性问题 计算结果可靠性缺乏保证。由于网格剖分的任意性及它所依据的变分原理，引起 众多相关学者的兴趣。此外，b e l y s t c h k o 和h u g h e s 【30 】基于节点分离法和单元分 离法提出了两种不同的显隐式混合算法。h u g h e s 和h u l b e r t 3 1 小l 首先将间断 g a l e r k i n 方法引入到弹性动力学和结构动力学中，用于线性波传播和结构动力问 题的解决，并应用于二阶双曲问题。“和w i b e r g 3 5 枷】提出了一个结构动力学时 域间断g a l e r k i n 有限元法，其中位移和速度在时域内均作分段线性插值近似以 及在离散的时段间允许间断。李锡夔和姚冬梅 3 8 , 3 9 1 在已有的数值求解结构动力学 5 武汉理工大学硕士学位论文 和波传播分析等瞬态( 时间相关) 问题的间断的g a l e r k i n 有限元法的基础上提出 了一个新的时域间断的g a l e r k i n 有限元法，并将所提出方法进一步发展到弹塑性 固体连续介质和弹塑性饱和多孔介质范畴，发展了相应的显式及隐式算法。该方 法在时间域内位移采用三阶插值，速度采用一阶插值，因而位移向量在离散时间 段之间将自动保证连续，而仅仅是速度向量存在间断。与现有的间断g a l e r k i n 有限元法相比，明显的节省了计算工作量。张剑锋【帅】通过在空间域引入高阶有 限单元，时间域采用了一种考虑四阶导数影响的差分格式，对弹性波场进行了模 拟。l e i j i a n g 和h a d d o w 4 l 】采用有限单元方法模拟了各向异性线性粘弹性固体中 的平面波传播问题。周辉等【4 2 】利用六面体单元和三线性插值函数进行了二维各 向异性介质中三分量波动方程有限元法模拟。刘天云等 4 3 1 基于半解析波动方程， 推导了无限域粘弹性人工边界单元，提出了合理的人工边界反射系数公式，s h 波数值分析表明该模型具有多向波动透射能力。杨顶辉【4 4 】研究了双相各向异性 介质中弹性波方程的有限元解法并做了波场模拟。杜启振和杨慧珠【4 5 l 模拟计算 了方位各向异性黏弹性介质中的波场。 虽然有限单元法成功地模拟了很多波传播问题，但同样存在许多不足之处。 为使结果达到可接受的程度，一般说来低阶的有限单元每个波长需要至少布置 1 0 个节点。由此导致计算时需要的内存较大，耗时较多，计算效率较低；此外， 低阶有限元法传播特性较差，频散误差较大，而高阶有限元法则会产生一些问题， 如伪波的出现。以致有限元法在大型的弹性波方程模拟领域一直没有得到很好的 应用。 ( 2 ) 有限差分法 有限差分法是一种最常用的正演模拟方法，它利用对空间和时间的差商来代 替微商，然后通过求解差分方程来逼近微分方程的解。a l f o r d 等人【l2 】对有限差 分法的精度进行了研究，指出差分网格必须明显小于最小波长的一半，且只要网 格足够精细，就能够得到精确的结果。v i r i e u x 1 3 , 1 4 提出了一种基于应力、速度混 合变量的一阶弹性波方程的交错网格差分法，它可适用于任何泊松比的介质。 l e v a n d e t i 巧l 对v i r i e u x 的方法进行了改进，使其在空间上具有四阶精度，在时间 上具有二阶精度。c r a s e 璩】贝0 发展了精度可以达到任意阶的高阶交错网格法，但 其计算量和对内存的要求比低阶有限差分法大大增加。g r a v e s ”】贝4 将交错网格差 分法用于模拟三维弹性介质中的波传播问题。m a g n i c r 等人1 18 】提出了最小网格有 限差分法，它能限制非最小网格时的人为频散现象。s h o r t l e y i l 9 】首先研究了 6 武汉理工大学硕士学位论文 l a p l a c e 方程中的不规则网格有限差分方法。j a s t r a m 和t e s s m e r 2 0 i 、f a l k 2 1 】等给 出了交错网格上的可变网格差分方法。t e s s m 一2 2 l 、h e s t h o l r n 和r u u d 2 3 】用坐标 变换方法模拟曲线边界。m u f t i 2 4 1 研究了三维模型复杂边界的处理方法。o p r s a l 2 5 1 给出了非均匀介质中的二维波动方程的矩形不规则网格差分方法。p i t a r k a 2 6 提出 了各向同性介质中矩形不规则网格的有限差分方法。田小波等人【2 7 l 使用隐式差 分的多重网格算法进行弹性波数值模拟的研究，加速了隐式迭代求解过程。 有限差分法现已比较成熟，但它在单个波长内需要足够的网格点才能达到所 期望的精度，而且当结构复杂时，有限差分法难以确保模拟精度，适应性和灵活 性较差。 1 4 本文的研究内容 本文以数学、力学理论为基础，借鉴已有的各种介质散射的模型及弹性波在 介质中传播的人工边界设置方法建立三维弹性波传播桩土数学模型，采用一系 列数学方式求解，通过有限元仿真得到一个较为完整的信号样本体系，具体研究 内容如下： 1 ) 建立三维弹性波传播桩土数学模型，用有限元求解及进行正演信号的数 值模拟仿真： 2 ) 建立完整桩土模型及带有缺陷的桩土模型，仿真出不同模型下的信号 样本并对其特征进行分析； 3 ) 在模型中设置桩内不同位置的缺陷，将仿真的信号样本进行对比，分析 不同位置下缺陷对模拟信号的影响； 4 ) 在模型中设置不同的接收点，对同一个接收点下不同模型的模拟仿真信 号进行对比分析； 5 ) 对不同大小的模型进行求解，试得到模型的较优几何参数设置； 本文主要分为五部分。第一章是绪论，介绍了低应变桩基检测的研究方法， 以及有限元和有限差分理论在弹性波求解方面的研究进展；第二章介绍了弹性波 方程的建立及有限元理论来源；第三章重点在三维桩土模型的建立，边界的设 置及具体的理论求解过程；第四章为模型的数值模拟仿真；最后一部分为第五章 结论与展望。 7 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章弹性波传播理论 2 1 弹性波方程的建立 2 1 1 弹- 性力学基本方程 建立波动方程要利用弹性力学中的基本问题，即在已知物体本身的形状位 置、弹性参数以及外力分布情况下求物体的位移、应变和应力的分布状态。这些 基本问题可归结为三组十五个方程。 平衡方程( 应力部分) ： 监+ 盟+ - a x - - + ：0 掰卯四 等+ 等+ 等+ 力= 。 协， 冬+ 冬+ 冬+ z ：o c 摊卵仍 几何关系( 应变部分) ： 气2 面2 。j 【瓦+ 面) a ，1o w 加 2 瓦2 岛2 j 瓦+ 孛 a w1 锄伽 乞2 西气2 。j 西+ 犁 ( 2 2 ) 物态方程( 应力与应变的关系) ： i 仃。= 兄护+ 2 心叮。= 2 坞 = 2 0 + 2 a c = 2 a t ( 2 - 3 ) l c r = 2 0 + 2 a 6= 2 肛咚 所有的平衡方程、几何方程以及物态方程即构成一组完整的微分方程组。波 动方程的推导过程就是从该方程组中消去应力和应变，以位移的三个分量“，v ， 表示的方程。将( 2 2 ) 式代入( 2 3 ) 式得： 8 武汉理工大学硕士学位论文 = 2 0 + 2 罢 四 “舢和考 屹= 2 0 + 2 _ o w 院 2 面+ 哥 = 若+ 参 吒叫笔+ 挈 冉将( 2 - 4 ) 式代入( 2 1 ) 的第一式得： 五筹州窘芬+ 州窘+ 岳+ 0 z w ) + z - - 0丑瓦+ 丽+ 萨+ 矽+ 万+ 丽+ 妣+ z 标记 窘+ 雾+ 万0 2 u 一一，2 。一- - 血 a 2 u铲va 2 wa 口 萨+ 丽+ 瓦2 面 则( 2 5 ) 可写为 ( 旯+ ) 掣+ s a u + z ：o 同理，其他两个分量为 ( 狮) 等+ 础+ 乃= o ( 娜) 警+ 础+ z = o ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 将( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 和( 2 8 ) 三式写为向量形式为： ( 2 + , u ) g r a d o + u v 2 疗+ 7 = 0 ( 2 9 ) 式( 2 6 ) ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 均为弹性力学的基本方程，设定了适当的边界 条件与外力边界条件后即可解出位移u ，v ，w 。 2 1 2 弹性波方程 ( 2 6 ) ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 是在平衡状态下得到的弹性力学基本方程。在运 动状态下( 小扰动) ，位移口不仅是坐标( x ，y ，z ) 的函数，还是时间r 的函数，即： d = 疗( z ，y ，z ，f ) = ( “( 工，y ，z ，f ) ，v ( 工，y ，z ，f ) ，“工，y ，z ，f ) ) ( 2 1 0 ) 9 就质点的运动情况看，点明位置也是町1 日jr 明幽戤，即： “弘力= c x c t ) , y ( t ) ，z ( f ) ) ( 2 - 1 1 ) 在推导方程过程中，还应附加一个惯性力j 俨p 笋，p 为密度。则可得到 运动状态下用位移表示的弹性力学基本方程或位移运动方程： ( 砷) 警+ 肚+ 正一p 窘= 。 ( 2 1 2 ) ( a 啪署+ 础+ 一p 万d 2 v = 。 ( 2 - 1 3 ) ( 五州罢+ 础+ z 一户拿= o ( 2 _ 1 4 ) 又 塑：丝生+ 盟生+ 鱼堕+ 塑 ( 2 1 5 ) d t缸d ta yd t c 3 zd ta 其中晦，等，为质点的运动速度在小形变的条件下，( 2 - 1 5 ) 式的前三 项是小量的乘积项，可忽略不计，因而有害= 詈。 所以有 垒：坐坐：坐一d 2 w ：塑 ( 2 1 6 ) 万2 萨，万2 可孑5 虿 “。 则( 2 1 2 ) ( 2 1 4 ) 可写为： ( 砷) 罢+ 肚+ 上= p 窘 像1 7 ) ( 砷) 署+ 础+ 乃= 芬 泣1 8 ) ( 砷) 警+ 脚+ 正= p 拿 协1 9 ) 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 考虑三维弹性波万程，将兵写成同重，眵瓦，口j 得： ( 砷) 倒p + 2 疗+ 于= p 害 ( 2 - 2 0 ) 其中，2 ，为拉梅常数，p 为密度，口为体应变：口= 娑+ 宴+ 娑，疗为 o x 卵0 2 位移列微量：疗= “i + 谚+ 靠，歹为外力列向量：于= 正i + 工歹+ z 石。 将方程中的未知量均用位移表示，则有： p 窘一z 脚一胛v 一v x v x u = 厂 ( 2 - z 1 ) 2 2 右限元变分原理 2 2 1s o b o i e v 空间 有限元交分的函数空间多定义在s o b o l e v 空间，因此本节先给出s o b o l e v 空 间的定义，接着引出有限元变分原理。为定义s o b o l e v 函数空间，我们先介绍泛 函分析中的相关的内积和范数的概念【4 s 1 。 定义一内积是从线性空间到实数到复数域的一个映射 ： h x h 斗k ：协力专 ，若它满足下列条件： ( 1 ) o o ， 假设q 。中有一个由边界r 所围成的孔洞q 。c c l 4 ，其中口( o ，1 1 ，则五，p 分 别为q 。中对应部分的拉梅常数及质量密度。定义三维半空间q 。的自由表面为 s = ( 卣，岛，最) i 磊= o ，为叙述方便我们定义盯为不包含孔洞在内的三维无界半 空间，因而有q 一= q 。、( q 。u r 9 。假设桩基为轴对称的圆柱形有界连通区域g ， 因此有qc - q 一，在笛卡尔坐标下则有：q u q 。u r = ( 卣，岛，参) i 磊2 + 磊2 a 2 ， 参( 0 三) ，其中a , l 为常数分别为该圆柱的半径及高度，并定义围成区域q 。的 光滑边界为r l ：，且有q = f 2 - ( q u r ，：) 。 为计算位移( 善，f ) 在q 和q ：中的数值解，需使问题能够在一个有界范围内 进行计算，因此有必要选取一个人工边界将无穷区域转为有界区域同时需要有界 区域选取足够大。设人工边界r 且= ( 卣，参，磊) l 磊2 + 受2 + 磊2 = r 2 ) 将q ：分成两部 分：由边界r 。围成的内部区域q 。及外部区域q 。一 设激振方向垂直向下则有激振面f 1c s 和激振力f = f ( t ，f ) ，f f z ，因此在 外部区域q 。一中弹性波方程满足： 窘一e v v u + e v 概删 - ， 在q = q 。u q 。内，弹性波方程满足： 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 户窘一2 肚一胛v 一v x v x u = 厂洫q ( o ，乃 ( 3 2 ) 其中，p 为介质密度2 , z 为介质的拉梅常数，q ，c j 分别为弹性波在介质 中传播的纵波和横波波速，巳，c j 与参数p ，五，的关系满足： c ；= 等乒参。 图3 - 1 模型示意图 记拉梅算子工为： 工= 胛2 + ( 2 + z ) v v ( 3 3 ) 则对于e c 2 ( q ) n c l ( q u r 。：u r u s ) 方程( 3 - 2 ) 可简化为： p 等咄+ ，加q ( o ( 3 - 4 ) 3 1 2 初始及边界条件设置 无论是研究弹性波的正演、反演，还是弹性波场的散射和透射问题，通常都 是假定介质为半无限空间，但由于受到计算机存储容量和运算速率等硬件的限制 以及有限元方法的软件限制，当模拟弹性波在介质中如何传播时往往只能在某个 有限的范围内进行求解，因此有必要引入合理的人工边界( a r t i f i c i a lb o u n d a r y c o n d i t i o n ，简称a b c ) 将无界区域转为有限区域并减少人工边界的反射。常用 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 的人工边界有d i r i c h l c t 边界( 即刚性边界) 。刚性边界假定模型边界为刚体，不 产生位移，因此这种边界将产生全反射。在有衰减的弹性波传播时需将该边界的 范围设置的足够大( 近似于无穷远) 可相对减小反射，但计算机量及计算机时间 将大大增加。 衰减性边界通过阻尼衰减方法，给出弹性波动方程的吸收边界条件。其实质 是将阻尼衰减看成在边界附近加一吸收带，使波到边界处时衰减成零，从而达到 减少入射波反射的目的。衰减性边界条件原理简单，程序容易实现，在有限时间 段内可达到本文所建模型的要求。 一般来说，结构材料的强度通常要比四周土体的强度高得多，因此通常都假 定其为线弹性。严格来说，地基土是非线性的，但是在基桩低应变法动力检测中 所用激振能量小，地基土基本处于弹性范围内。另外，在这种振动过程中土体和 结构物之间并未产生显著的滑动，可以认为两者之间变形是连续的【剽，于是在 设定桩土交界面的边界条件时可假定桩土界面无相对滑动，使其满足连续性和 相容性边界条件。 基桩存在缺陷时的模型中则必须考虑缺陷与基桩和土交界处边界条件，在本 文中考虑一种孔洞缺陷模型，由于孔洞不会产生相对移动，因此设定其为第二类 边界条件。 ( 1 ) 初始条件 ( ：0 ，旦掣：o ；孝q ，f ：o ( 3 5 ) 研 ( 2 ) 边界条件 设q 。中所有光滑曲面都有单位法向导数n ，则对于位移向量存在三维法 向导数算子f ( ；“) ，有： f ( 善；即) = n ( 善) c ：v ( 善) ，善 ( 3 6 ) 其中c = 2 1 ：o i ：+ 2 z i 为各向同性的弹性张量，