（应用数学专业论文）gabor框和littlewood问题.pdf

摘要 g a b o r 分析的一个基本问题：如何刻画参数a ，ber 以及g 口( 尺) ，使 得( g ，口，功是一个g a b o r 框。文章通过l i t t l e w o o d 问题与当a = b = 1 ，g 是集 厶口u 栅k - i n i ，n i + 1 ) 上的示性函数( 其中慨l 譬cz ) 的时候，u 葛陬以+ 1 ) ，l ，1 ) 是否成 为g a b o r 框的问题的等价性，部分解答了k 5 时g a b o r 框的存在性问题。具体我 们做了以下几个方面的工作： ( 1 ) 讨论了当七= 5 的时候，部分u 锗嘶朋+ i ) ，1 。1 ) 不是g 勘厂框的充分条 件。 ( 2 ) 继续讨论了当k 5 的时候，部分似u 锚咖朋+ 1 ) ，1 ，1 ) 不是g 曲d r 框的充分 条件。 关键词：框；g a b o r 框；l i t t l e w o o d 问题 a b s t r a c t ab a s i cq u e s t i o ni ng a b o r a n a l y s i si sh o w t oc l a s s i f ya l lt h et r i p l e s0 ，a ，易) s u c ht h a t gg e n e r a t e sag a b o rf l a m ew i t hr e s p e c t st ot h ep a r a m e n t e r saa n db b ys o l v i n gt h e e q u i v a l e n tl i t t l e w o o dp r o b l e mw ec h a r a c t e r 器czf o rw h i c h 优u 嚣哳l 棚+ 1 ) ，1 ，1 ) i s af r a m e ，w es t u d yt h ec a s c0 f u 嚣慨棚+ i ) ，l ，i ) a n dw i l lg e ts o m ec h a r a c t e r z a f i o nw h e n k 5 t h ec a s e sw es t u d yr e a da sf o l l o w s ： ( 1 ) 帅锄七= 5 , w eg e ts u f f i c i e n tc o n d i t i o no f n o n g a b o r f r a m ef o rs o m e 口崛嘶朋+ 1 ) ，1 ，1 ) ( 2 ) w h e n 七 5w eg e ts u f f i c i e n tc o n d i t i o no f n o n - g a b o rf r a m ef o rs o m e 优崛嘶，i | + i ) ，1 ，1 ) k e yw o r d s ：f r a m e ；g a b o rf r a m e ；l i t t l e w o o dp r o b l e m 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。 储签名谁蚌吼丝弘彩 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名。疹却叶 导师签名： 日期： 社香 第一章引言 f o u r i e r 分析是一种频谱分析，它能揭示信号的频谱结构。f o u r i e r 变换是信 号及其频谱分析中最常用的工具，但是f o u r i e r 变换存在着不可避免的缺陷，如 不具备时频同时局部化的特性，因此，不适合用来处理非平稳和实时的信号。 为了解决这种局部性的问题，1 9 4 6 年，g a b o r 提出了加窗f o u r i e r 变换( w f t ) ， 即g a b o r 变换，为非平稳信号处理提供了有效途径。 框的概念最早是1 9 5 2 年足j o u f f i n 和a g s c h a e f f e r 在文献【3 】中研究非调和 傅里叶级数中首先引入。1 9 8 6 年d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n n 和m e y e r 在文献【5 】中第 一次将g a b o r 分析和框理论联系起来，为g a b o r 分析和框理论的发展指引了全新 的方向。 框架理论用于信号处理、图像处理、数据压缩以及抽样理论，现在更被广泛用 于光学、信号探测以及b a n a c h 空间理论中的b e s o v 空间等的研究中。我们要讨论 的g a b o r 框是框理论中最重要的运用之一。 1 9 6 8 年，l i t t l e w o o d 研究了复变函数理论中由多项式组成的形如f a l z i ( a i 0 ，1 1 ) 的一类函数，并提出了经典的l i t t l e w o o d 问题【8 】。c a s a z z a 和k a l t o n 在文 献【2 】中发现并证明了如何刻画所有使得锘喇( n l 棚+ i ) ，1 ，1 ) ( 其中i n i ) t k f - - o i cz ) 成 为r ( r ) 上的g a b o r 框的七个不同的整数慨j 譬的问题与l i t t l e w o o d 问题等价。下 文简记e 【伽肌胙l j = u k 扭- o i h i ，n i + 1 ) ，其中慨 葛cz 。 在总结和汲取前人已有研究成果的基础上，本文将就l i t t l e w o o d 问题、g a b o r 分 析和框理论作进一步的研究和探讨。 第一章 1 1 基本概念和已有结果 定义1 1 h设j 是可数指标集，慨l 是h i l b e r t 空间纠的一个序列，如果存 在常数0 b a + o o ，使得对于任意的妒舛，都满足 b l l o l l 2 i 1 2 a i k o l l 2 ， 则称该序列慨 甜是w 的一个框，a 和b 分别称为该框的上下框界：如果a = b ，称l 仇 甜为紧框；如果a = b = l ，称慨l 砑为规范紧框。 定义1 1 2 ：对于实数a 、b ，定义l 2 ( r ) 上的平移酉算子瓦和模乘算子西分 别为t o g ( t ) = s ( t a ) 和e b g ( t ) = p 咖g ( f ) ，其中ger ) 。记i 死g ：m ，n e z 为 ，a ，易) ，如果 g ：m ，n z 是r ( r ) 中的一个框架，那么称( g ，口，b ) 是 一个g a b o r 框。 g r o c h e n i n g 的著作【7 】中有关于g a b o r 框的介绍，另外还可参见著作【5 】、【6 】、【4 】 和【1 】。 1 9 6 8 年，l i t t l e w o o d 对形如苁z ) = f 口f 方( a i ( 0 ，l ) 的一类复函数进行了研 究，提出了一个经典问题，即 l i t t l e w o o d 问题【8 】：任给自然数k ，找出七个不同的整数 n 1 _ k ，- 。l 应满足的条件， 使得函数，( z ) = k 扫- o i 砂在复平面单位圆上不存在零点。 l i t t l e w o o d 问题另一种表述为：任给自然数七，找出k 个不同的整数h i l j 七- i = 0 1 应 满足的条件，以保证对于任意实数0 ，都有锚砂掰0 。在此我们想到相反的一 个问题：任给自然数七，找出七个不同的整数ni ，k - 。1 应满足的条件，以保证存在 实数0 ，使得锚矿= 0 。为了下文方便讨论，我们把这个问题命名为“非l i h - 题”。 g a b o r 分析的一个基本问题是：如何刻画使得q ，口，b ) 是一个g a b o r 框的参 数g l 2 ( 尺) 以及口b r 。对于g a b o r 框的具体刻画的另一个子问题，即 当g = x e t 小雌l l ，口= b = 1 时的情况。为了下文方便讨论，我们命名两个问题： “g 问题”：任给自然数七，找出七个不同的整数慨 葛应满足的条件，使 第一章 ( x e t o 即唯i l l ，1 ) 成为口( r ) 上的g 咖，框。 “非g 问题一：任给自然数k ，找出七个不同的整数ni k ；- 。 应满足的条件，使 得优即 i l 1 ，1 ) 不是铲( r ) 上的g 勘r 框。 “非g 问题”将是本文讨论的主要问题。 c a s a z z a 和k a l t o n 【2 】已经发现并证明了“g 问题”与l i t t l e w o o d 问题等价，其 定理如下： 引理1 1 1 1 2 ：设常数0 bsa + o o ，对于七个不同的整数慨 留，n o n i n k - i ，下列三个陈述等价： ( i ) 对于集合肌加。】- u k 卢- o i ( 【o ，1 ) 蜘j ) ，伍小雌l j 1 ，1 ) 是框界为a ，丑的g 口6 d ，框； ( i i ) 对于任意模为1 的复数z ，bsi 葛z j is a ； ( i i i ) 对任意包含在【0 ，1 ) 中的测度为正的可测集e ，定义f o = u k - - o i ( e + 唧) ，那么 磊砜 删e z 是l 2 ( f o ) 上框界为a ，君的框。 根据引理i i 1 ，寻找w 叼心i l l ，1 ) 成为g a b o r 框_ 的条件，本质上归结为 g e ll i t t l e w o o d 问题的解答。而寻找w 吩雌t l ，l ，1 ) 不是g 咖r 框的条件，亦可归 结为对“非l 问题”的解答。 朱钱华在【9 】中基于以上引理，完整地解决了当k l ，2 ，3 ，4 时的“g 问题”， 其主要结果如下： 引理i i 2 1 9 ：如果n o = 0 ，n lez + ，e 嘶一l 】= 【0 ，1 ) u n l ，n l + 1 ) ，那么 ( x e l o ，l i ，1 ，1 ) 不是g 动d r 框。 引理1 1 3 1 9 ：设拗= 0 ，挖l ，n 2 z + ，r n l n 2 ，记刃i 朋】= u 2 0 i n f ，n i + 1 ) ，k l = 。阳饥) t 3 1 ，勉= k t , u t o l i + ，1 2 ) 3 】，以下三个陈述等价： ( i ) ( x e t , , o ，i l ，1 ，1 ) g a b o r 框； ( 田伽l + 啦) m o d3 k 1 o ： ( i i o ( n l + n 2 ) m o d3 乜0 。 引理1 1 4 1 9 ：设n o20 ，n l ，n 2 ，n 3 z + ，且n l n 2 ：两个单位向量共线； ：三个单位向量在单位圆上均匀分布； ( 2 ) m ：各组两个单位向量共线，共有m 组； 3 ) m ：各组三个单位向量在单位圆上均匀分布，共有m 组： 第一章 ：n 个单位向量在单位圆上均匀分布。 如； + ( 2 ) 表示：五个单位向量中，其中有三个单位向量在单位圆上均匀分布， 另两个单位向量共线。 + m 表示：3 + 2 m 个单位向量中，其中三个单位向量在单位圆上均匀分 布的有一组，两个单位向量共线的共有m 组。 本文将给出 + ， + m ， ， 2 ) m ， 3 ) m ， 这六种分布的 特殊位置关系的部分不是g a b o r 框的充分条件，其中作为证法类似的结论，我们 将以推论的形式给出。 定理2 1 5 ：设( 啦l 二cz ，0 = n o n l n 2 n 3 n 4 ，记臣一l 1 2 ，1 3 ，1 1 = u 刍m f ，n i + 1 ) ，k l = k i n i 地j t l 捌，恕= k i n l + j 眨朋咄2 1 。如果满足下列三个条件： ( 1 ) 3 1 2 娩l l + 啦) ； ( 2 ) 3 咖i ( 3 h n t 一一北) 。 ( 3 ) 2 3 k ti ( 笺鲁一梦，) ， 那么仉目 o 川j - 2 ，以l ，l ，1 ) 不是g 口幻r 框。 定理2 1 6 ：设集合a = l l ，2 ，3 ，4 l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一在上映 射，对于j a ，以砌z ，且0 = n o n l n 2 n 3 n 4 ，令m = n o ( 1 ) - 4 - n 一2 ) ，l = n o ( 1 ) ，2 = ，3 ) 一n o - ( 4 ) ，记目n o , h i , n z , n s , n 4 2u 圭o n i ，n i + 1 ) ，k l = k s c , v i ，3 】，恕= q 肘儿，2 1 。如果满足下列三个条件： ( 1 ) 3 2 。2 七2i 膨； ( 2 ) 3 驴i ( 鼎一垆) ； ( 3 ) 2 3 七- l ( 精n 一3 ) ， 那么o 。也内心i ，l ，1 ) 不是g 咖r 框。 推论2 1 7 ：设集合a = 1 1 ，2 ，2 + 2 m ，映射矿是集合a 到集合a 的一一 在上映射，对于任意j a ，疗砌z ，且0 = n o n l n 2 + 2 m ，令m = n c r t l ) + n o - ( 2 ) ，n 1 - - n o - ( 1 ) ，对于每个r l ，2 ，m ，r + l = n o r 2 r + 1 ) 一，2 r + 2 ) ， 第一章 记而伽一一舳1 = u 驴h ，n i + 1 ) ，k t = 嘶m ，渤，七，+ i = q 版。t 2 1 如果满足对于每 个r l l ，2 ，m l 都有下列三个条件成立： ( 1 ) 3 七- 2 k - i 肘； ( 2 ) 3 2 如i ( 措一2 如- ) ； ( 3 ) 2 3 - l ( 热一3 1 ) ， 那么似m 吨+ 抽l ，l ，1 ) ：是g a b o r 。 推论2 1 8 ：设集合a = l l ，2 ，3 m + l l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一在 上映射，对于任意jea ，n 咖z ，f io = n o n l n 3 肿i ，令n o = n o ( i ) ， 对于每个厂i l ，2 ，m ，尬= n o _ ( 3 r + 1 ) + n c ( 3 r ) 一知一3 一i ) ，n r = 恸3 ，) 一m 3 一l ， 记墨抛乩，i 撕。】= u 甜1 哳i ，n i + 1 ) ，b = k t s , 坼3 】，群= 七【o m 翻如果满足对于每 个r 1 ，2 ，m l 都有下列三个条件成立： ( 1 ) 3 k , 2 k i 坼； ( 2 ) 3 i ( 貉一) ； ( 3 ) 2 3 k , l ( 击- 3 b ) ， 那么n 0 , m i l l l ，1 ) 不是g 咖r 框。 定理2 2 3 ：设集合a = i l ，2 ，2 m l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一在 上映射，对于任意j a ，n 砌z ，no = n o n l n 2 m 一1 ，令n o = 疗咖) ，对 于每个， l ，2 ，m l ，m r = 以咖) + n 一，) 一n 嘲+ ，) ，记b = k m , j v o 2 1 。如果满足 对于每个， l ，2 ，m l l 都有下列两个条件成立： ( 1 ) 2 - l 坼： ( 2 ) 2i ( 鹅一1 ) ， 那么优局 o 即t l l ，1 ) 小是g 口6 d r 框。 定理2 3 3 ：设集合a = ( 0 ，l ，2 ，3 m l l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一 在上映射，对于任意歹a ，万一力z ，且0 = n o _ ( o ) = n o n l n 3 m l ， 令n o = n i ) ，对于每个s l ，2 ，m l ，膨卜i = n 1 ) + n 以3 j i ) 一n 一3 j 一3 ) ，m 2 卜2 = 2 n i ) + n 一3 ，2 ) 一，3 ，- 3 ) ( s 1 ) ，对于每个r l ，2 ，2 m l l ，记b = k i m , ，o 渤。 如果满足对于每个， l ，2 ，2 m l l 都有下列婀个条件成立： 第一章 ( i ) 3 bi 尬； ( 2 ) 3i ( 器一1 ) ， 那么小i i 1 ，1 ) 不是g 曲d r 框。 定理2 们：设集合a = l o ，l ，2 ，n - l ，s = ( 孚，竽，- 1 ，0 ，l ，2 ，孚l ， s = l 等，譬，- 1 ，0 ，l ，2 ，丁n - - 4 ，孚 ，t = i l ，2 ，n 一3 ，疗一2 设映射矿是 集合a 到集合a 的一一在上映射，对于任意j a ，万砌z 。设映射r 是从集 合s 到集合丁的一一映射，使得对于任意的s s ，有“d = n + 2 广s - i 。设映射p 是 从集合s 到集合r 的一一映射，使得对于任意的s s ，有烈d = n + 2 广s - 2 。令0 = n o ( 0 ) = n o n l n n - i 。当n 为奇数时，令o = n o ( 1 ) ，肘孚= n 舐孚) + n 巾一孚) ， 对于每个s 孚，警，- 1 ，地d = n 一一曲) + n o ( n - r ( ，) ) ，地一曲) = ( 丁( s ) + 1 ) ，1 ) + 以嘶叫沪i ) 。当以为偶数时，令o = n o ( 1 ) ，对于每个s f 等，6 - 2 n ，一l ，o l ，坛d = n t r c 4 9 s ) ) + n o - ( n - a ( j ) ) ，( p ( j ) ) = ( p ( j ) + 1 ) n o ( 1 ) + n 巾叫j 卜1 ) 对于每个，t ，记七，= 缸坼舶州。如果满足对于每个r t 都有下列两个条件成立： ( 1 ) ，扣i 坼； ( 2 ) 厅i ( 格一1 ) ， 那么优即。l ，l ，1 ) 不是g 口6 d r 框。 第二章 当忌5 时关于( y u ：- 0 1 n 棚+ 1 ) ，1 ，1 ) 不是g a b o r 框的讨论 在本章中，我们试图寻找当七5 时，口川排i i l ，1 ) 擘爹驴( r ) 上的g 口b o 厂框 的充分条件。根据引理1 1 1 ，我们将此问题转化为对n f ；芯0 d o d 问题的解答。 需要说明的一点是，在我们接下来讨论似却 i l l ，1 ) 是否成为g 曲d 厂框的过程 中，总是让 n ， 锚满足0 = n o n l n k - i ，这是因为在l i t t l e w o o d 问题中， 对于i z l = i ，胸= k - - o i 砂在复平面上是否存在零点与g ( z ) = k = o - i 孝- 抛在复平面 上是否存在零点完全等价。 命题2 0 1 1 9 设0 = n o n l f ， 使得纩i 肘和纩1i 同时成立，这与f 为满足旷1im 和纩1i 同时成立的最 大正整数矛盾，所以im 和l 必有一个不成立。口 本文将满足命题2 0 4 的f 记作k s 4 。v , l 。需要强调的是，对于记号缸m 朋的理 解将是下文证明过程得以顺利进行的关键。 根据七= 缸m ，町的定义可知扩1ln ，即格z 。基于舞z 有以下引理： 引理2 0 5 ：设尬l ，2 ，m ，n z o ，且m ，n 2 ，g c d ( m ，n ) = i ，令k l = k t s t ：。州，恕= 缸批川，如果满足下列三个条件： ( 1 ) n k l ，扣im ( 2 ) 舻l ( 格一舻) ( 3 ) m n 乜i ( 南一n k 。) 那么存在实数0 ，使得 f 2 7 ri im p 2 7 r ( n l o - j 万) i2 n ( n 2 0 - 砉丌) 证明：由n k l ，以im 知，存在唯一整数p ，有m = p 矿i ，水，即告= 鬲杀成 立。令8 = 嚣2 丌= 瓦i 万2 丌，那么n k l 舻口= 2 丌，m o = p 。2 7 r ，所以2 n m o ； 又因为已知，l 舻i ( 格一，以) ，所以存在唯一整数q ，有，l 础q = 且i - i 一，世，那 么舻- 舻8 g = 1 9 一坐产，即打9 = n i o i 2 a ，所以2 丌i i ( i p 一；丌) ；同理可 第二章 1 0 得2 丌i i ( 2 8 一鬲2 i - ) 。口 引理2 0 6 - 设m , n , n z o ，且n 2 ，令k = 缸m i 】，如果满足下列两个条 件： ( 1 ) n kim ； ( 2 ) ni ( 并一1 ) ， 那么存在实数0 ，使得 f i im e i2 丌i i ( 姗一；丌) 证明：由n kim 知，存在唯一整数p ，有m = p 矿，所以台= 士。令p = 畚 2 丌= 专2 丌，那么n k e = 幼，m o = p 2 月r ，所以2 x i im o ；又因为已知咒i ( ；筹一1 ) ， 所以存在唯一整数g ，有尼q = 昔- 1 ，那么n k o q = m 一宇，即2 丌q = n o 一警， 因而hi i ( 口一；万) 。n 引理2 o 7 ：设p ，q ，r ez o j ，矾仇，晚分别为任意实数，且仇+ 如= r 纫，以 下两个命题等价： ( f ) 2 丌( p 一一日1 ) ，幼( q 口一晓) ； ( i 0 2 丌( p 目一口1 ) ，2 丌( p + q ) o 。 证明：若命题( f ) 成立，根据引理2 0 3 可得2 丌i i 【q + q ) e 一慨+ 晚) 】，即幼i i 【( p + g ) 9 一，刎，又因为2 丌l i ，2 丌，所以2 丌( p + g 妒；反之，若命题( 哟成立， 根据引理2 0 3 可得2 丌( 和+ 口1 ) ，又因为2 丌i i r 2 丌，所以2 丌( q o + 仇一r 刎， 即2 丌( g p 一晚) 。口 引理2 0 8 ：设口为任意不为零的实数，以下两个命题等价： ( d1 1 + 矿l = 0 ； ( f f ) 2 丌( 口一丌) 。 证明：根据欧拉公式e 贷= c o s 0 + i s i n 0 ，命题( d 等式变形得 1 1 + c o s 口+ i s i n 口l = 0 第二章 等式( 1 ) 等价于 f1 + c o s = 0 【 s i n d r = 0 等式组( 2 ) 等价于c o s = - i ，所以2 丌( 口一丌) 。 引理2 o 9 ：设口，卢为任意不为零且互不相等的两个实数，以下两个命题等 ( 0 1 1 + + i = 0 ： ( 泖 2 丌缸一警)或者 2 万( 口一扣。 i 2 n i i 够一等) l2 丌i i 够一等) 证明：根据欧拉公式= c o s 0 + i s i n 0 ，命题( d 等式变形得 1 1 + c o s 口+ i s i n a r + c o s f l + i s i n 剧= 0 ( 3 ) 1+cso；sna口+cso；ns卢fl：=。0 1 + = 三：三 l + 2 c + 烹暑 ：箸二i或者 ：葛二君 菩二荔2 x ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 第二章 则c o s 口= 一互1 ，s i n = 一萼，c o s p = 一芝1 ，s i n b = 单，所以 s 1 诅+ 口c o + s s a m + 卢e ：o s f l 萼= + 1 + 萼( - ：圭) 。+ ( 一 = 。 根据欧拉公式= c o s 0 + f s i n 8 可得1 1 + + i = 0 。同理可证若 箸二耄 口 2 1 在特殊 + 位置关系下的讨论 从几何向量问题上考虑，我们首先在满足存在实数0 使得e j 甜= 0 的5 个 单位向量，在单位圆上满足其中三个单位向量在单位圆上均匀分布，另两个单位 向量共线分布的位置关系下关于溉。峋卟川。，l ，1 ) 不是g 口易d r 框的讨论。 引理2 1 1 - 设慨l 圣lcz o l ，p 为任意实数，则以下两个命题等价： ( 02 nl i ( n l o 一警) ，2 j r ( n 2 0 一警) ； ( f 力2 丌( n l o 一譬) ，2 丌( 疗l + n 2 ) o 。 证明：根据引理2 0 7 得证。口 引理2 1 2 ：设慨 cz ，0 = n o n l n 2 n 3 n 4 ，记k l = l 地，i l , 3 1 ，晚= ，地尚- n 4 2 ，如果满足下列三个条件： ( 1 ) 3 k 2 k 2i ( n l + 以2 ) ； 第二章1 6 对于每个， l ，2 ，m ，坼= n o o ，+ i ) + n o - o r ) 一拓1 ) ，= ，3 ，) 一，k 3 卜1 ) ， 记目瑚肌 j i 姗i i = u 3 翥- i i n f ，n f4 - 1 ) ，七r = 七【r m 羽，群= 七【o m 翻。如果满足对于每 个，i l ，2 ，m l 都有下列三个条件成立： ( 1 ) 3 b 2 0i 坼； ( 2 ) 3 2 k l ( 器一“) ： ( 3 ) 2 3 l ( 老- 3 ) ， 那么仉。，l ，l ，1 ) 不是g 西d r 框。 说明：该推论证明过程与定理2 1 5 的证明过程非常类似，因此在此省略证 明。只是需要说明的一点是：对于任意实数0 ， 幼j i 【( m 3 ，一恸3 ，- 1 ) ) 日一了2 7 】，l l ，2 ，优 i i ( n 一3 ，+ 1 ) 一m 3 卜i ) ) 日一了4 i 】r i l ，2 ，m l ( 1 0 ) 2 7 ti i ( 卅一警) 令n o = n t f f l ) ，对于每个厂e l ，2 ，m l ，坼= n o - ( 3 ，+ 1 ) + n o , o r ) 一2 n o _ ( 3 ， 1 ) ，= ，3 ，) 一，3 ，_ i ) ，根据引理2 0 7 可知，等式组( 1 0 ) 等价于 f 2 , - ri im r 0 ，f l ，2 ，l l 2 丌i i ( r 口一警) r 1 2 ，m 【2 a r ( n o o - 警) 2 2 在特殊 m 位置关系下的讨论 从几何向量问题上考虑，接下来在满足存在实数8 使得：嚣1 砂斑= 0 的2 m 个 单位向量，在单位圆上满足其中各组两个单位向量共线分布，共有m 组的位置关系 下关于似局j o - l l ，l ，1 ) 不是g 口幻，框的讨论。 引理2 2 1 ：设集合a = 1 1 ，2 ，2 m 一1j ，映射矿是集合a 到集合a 的一一在 上映射，对于任意j a ，n dez ，且0 = n o n l n 2 m i ，令n o = n m ) ，对 第二章1 7 于每个r l ，2 ，肌一1 l ，坼= n 酬+ n 一，) 一万嘶+ ，) ，记= h 坼舳翻。如果满足 ( 2 ) 2i ( 鹞一1 ) ， k 一一菇2 2 ， t刎( w 一等) o 动 令n o = n 嘶) ，对于每个r i l ，2 ，m 一1 ，m r = b ( 卅) + ，k ，) 一，瓴肿r ) ，式( 1 2 ) 等 圳( 卅萼) 0 3 引理2 2 2 ：设集合a = l ，2 ，2 m 一1 l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一 在上映射，对于任意j a ，n 0 0 3 z ，go = n o 尼l p 一孕) 等价于j l + e n o t m ) 饼i - 0 。又因为 r = - m - 1 r = - m - ! i l + 刖饼+ ，掰+ 加+ ，嘲1 1 + 刖掰l + i , - ) 0 + 抄n 掰l ，=l，=l 所以对于每个r ( i ，2 ，m l l ，都有i l4 - 棚一叫+ 墨f 1 ( 水+ e 晰，) 研) i - 0 ， 结论得证。口 定理2 2 3 ：设集合a = 1 ，2 ，2 m 一1 ，映射矿是集合a 到集合a 的一一在 上映射，对于任意j a ，n o , 0 i ) ez ，且0 = n o n i n 2 m - ! ，令n o = ，m ) ，对 于每个rei l ，2 ，m l l ，鸩= 厅嘶) + n o ( r ) 一n o - ( m + r ) ，记= 奴肼，舳翔。如果满足 对于每个r l ，2 ，m l l 都有下列两个条件成立： ( 1 ) 吵l 坼； ( 2 ) 2l ( 拱一1 ) ， 那么即。l l l ，1 ) 不是g 口易d r 框。 证明：根据引理2 2 1 ，如果满足对于每个rel l ，2 ，m l l 都有条件( 1 ) ( 2 ) 成 立，那么存在实数0 ，使得式( 1 1 ) 成立；根据引理2 2 2 可知，如果式( 1 i ) 成立， 那么对于每个r l ，2 ，m l 都有i l + 矿州壤+ 君- 1 ( 删r ) 研- 4 - 矿州一彬) i = 0 ， 即2 ，= o n - - 1e j 饼= 0 ；根据引理1 1 1 ，如果满足对于每个r i l ，2 ，m l 都有条 件( 1 ) ( 2 ) 成立，那么即临i l 1 ，1 ) 不是g 咖r 框。 2 3 在特殊 m 位置关系下的讨论 从几何向量问题上考虑，接下来在满足存在实数p 使得：写e j 饼= 0 的3 m 个 单位向量，在单位圆上满足其中各组三个单位向量均匀分布，共有m 组的特殊位置 关系下关于优小。，i | l ，1 ) 不是g 口幻r 框的讨论。 引理2 3 1 ：设集合a = 0 ，l ，2 ，3 m 一1 l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一 在上映射，对于任意j a ，露武力z ，且0 = 疗以o ) = n o n l n 3 m l ， 令n o2n o ( i ) ，对于每个s 1 1 ，2 ，m ，m 2 j i2 ，i ) + o ( 3 j i ) 一n o - ( 3 j 一3 ) ，尬p 2 = 第二章 1 9 2 n o - o ) + n a ( 3 卜一n o - o $ - 3 ) 0 1 ) ，对于每个r 1 1 ，2 ，3 m l l ，= k l m , , j n , o , 3 1 。如 ( 2 ) 3i ( 措一1 ) ， r 加2 ) - n o 圳- ( 3 s - 3 ：2 7 r = 二季 ， f 圳( 删一萼) 2 玎i i ( n o - ( i ) + n 一3 j - i ) 一n o - ( 3 s - 3 ) 妒s ( 1 ，2 ，m l ( 1 5 ) f 2 7 r m , 0 ，i l ，2 ，3 m l l t圳( 驴等) 0 6 对于每个， l ，2 ，3 m l ，记= 幻坼肺3 】，根据推论2 0 6 ，如果满足对于每 引理2 3 2 ：设集合a = 0 ，1 ，2 ，3 m l l ，映射i t 是集合a 到集合a 的一一 在上映射，对于任意j a ，以咖z ，ro = n o - ( o ) = n o n l n 3 m i ，0 为一 确定实数，对于每个墨 l ，2 ，m ，如果式( 1 4 ) 成立，那么 ( 水贷+ 蛐贷+ 水3 i - 3 l 斑) i - o j = l 证明：因为对于任意的z = l ，都有 呻 严 脚 = 即 触 = 矿 脚 第二章2 0 所以对于每个s l ，2 ，m i 抄i 饼4 - 蛐斑+ 蛐掰i = l14 - 加3 1 1 咖蛐瑚+ 少一3 卜刁嘲咖卸聊i 根据引理2 0 9 ，式( 1 4 ) 等价于i 砂口卜t 饼4 - 砂恤2 拜4 - p m 3 卜3 炒i = 0 。又因为 l ( 即枷贷4 e n 一3 m 2 ) 饼+ 办3 - 毋掰) is i ( 掰+ 办，确硝+ 3 - , , o ) 1 j = ls = l 所以对于每个s ( 1 ，2 ，m ，都有i 羔i ( 叫扣t + 扯2 ，掰+ 删，一却斑) i = 0 ，结 论得证。口 定理2 3 3 ：设集合a = 0 ，1 ，2 ，3 m l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一 在上映射，对于任意jea ，z ，且0 = 以衲= n o n l n 3 m - l ； 令n o = n 烈1 ) ，对于每个s l ，2 ，m l ，卜l = m i ) 4 - n o ( 3 卜i ) 一m 3 卜3 ) ，尬川= 知吠i ) + n o o 卜2 ) 一n o - ( 3 s - 3 ) 0 1 ) ，对于每个， l ，2 ，2 辨一l ，记鬈= 麓坼加渤。 如果满足对于每个，l l ，2 ，2 m l 都有下列两个条件成立： ( 1 ) 3 bi 尬； ( 2 ) 3l ( 播一1 ) ， 那么似臣 ” 3 。1 1 ，1 ，1 ) 不是g 口6 d r 框。 证明：根据引理2 3 1 ，如果满足对于每个， 1 ，2 ，2 m l l 都有条 件( 1 ) ( 2 ) 成立，那么存在实数0 ，使得式( 1 4 ) 成立；根据引理2 3 2 可知，如 果式( 1 4 ) 成立，那么对于每个s l ，2 ，m ， m iy ( 3 州掰+ 矿一3 卜2 ) 掰- i - 3 卜3 ) 掰) i = 0 $ 。- - - 。i 即3 瑚m - 1 砂饼= 0 ；根据引理1 1 1 可得，如果满足对于每个厂( 1 ，2 ，2 m l l 都 有条件( 1 ) ( 2 ) 成立，那么叼m l l ，l ，1 ) 不是g 口易d r 框。口 2 4 在特殊 位置关系下的讨论 从几何向量问题上考虑，接下来在满足存在实数p 使得蜀e j 斑= 0 的，1 个 第二章 单位向量，在单位圆上满足n ( n 5 ) 个单位向量均匀分布的位置关系下关 于( 叼小。i ，1 ，1 ) 不是g 曲d r 框的讨论。 引理2 4 1 ：设集合a = i o ，l ，2 ，n 一1 l ，s = i 挚，4 - 2 - 生n ，- 1 ，0 ，l ，2 ，譬l ， s 7 = l 警，孚，- 1 ，0 ，l ，2 ，丁n - - 4 ，孚l ，t = 1 1 ，2 ，万一3 ，n 一2 。设映射矿是 集合a 到集合a 的一一在上映射，对于任意j a ，万彻z 。设映射1 是从集 合s 到集合丁的一一映射，使得对于任意的s s ，有“d = 吐掣。设映射p 是 从集合s 到集合丁的一一映射，使得对于任意的s s ，有从d = n + 2 广s - 2 。令0 = 疗删= n o n l ，慨一呦= 似s ) + 1 ) n “i ) + 以咖巾) - - d ，对于每个厂t ，式( 1 9 ) 即 为 f2 a , m r o 【0 一侧 第二章 2 3 当n 为偶数时，式( 1 7 ) 更具体的形式为 2 = i i n 删日一丢刎 扫i i 日一言刎 圳i 呐专刎 ( 2 1 ) 妨i i 【咒一) 9 一云。刎 2 丌i i 孚) 口一寺。刎 ； 2 = i ii n 州胪孚倒 在此，设集合s = 等，譬，- 1 ，0 ，l ，2 ，孚，孚 ，t = l l ，2 ，孚，n 一 3 ，n 一2 ，映射p 是从集合s 到集合t 的一一映射，使得对于任意的s s ， 有p ( s ) = 下n + 2 s - i 。根据引理2 0 7 ，式( 2 1 ) 等价于 f 圳胪二i 侧 圳( n o 似s ) ) + n u ( n - p ( s ) ) 帅 字，字，- l 0 ( 2 2 ) 【圳( ) + 1 ) i ) 4 - n o ( n _ p ( s ) - 1 ) ) 只j i 字，丁6 - n ，- l ，o l 令n o = n o - ( 1 ) ，对于每个s i 字，孚，一l ，o ，坛，) = n o q o ( 呦+ 刀页，吲，) ) ，m 口( p ( 枷= p ( s ) + 1 ) n i ) + n o ( n - p ( ，) - d ，对于每个r t ，式( 2 1 ) 即为式( 2 0 ) 。 根据引理2 0 6 ，如果满足对于每个厂t 都有条件( 1 ) ( 2 ) 成立，那么存在实 数0 ，使得式( 2 0 ) ，结论得证。口 引理2 4 2 ：设集合a = l o ，l ，2 ，n l l ，映射矿是集合a 到集合a 的一一在 上映射，对于任意j a ，以砌z ，1 4 _ 0 = n o ( o ) = n o i l l n n i ，日为一确定 实数，如果式( 1 7 ) 成立，那么l i + 水t + 咖：所+ + 已- 一l - 0 。 证明：因为 1 + 翠：c o s j 2 万 第二章 2 4 = ( 1 + 车：c 0 sj 刎s i n , - 2 万s i n ；2 丌 = ( s i n ；2 j r + n 一- l l n 2 a c o s ：刎s i n ：2 丌 = ( s i nj 2 u + s i n = 亭2 n + s i n 譬2 丌+ s i n ：2 7 r ) s i n ! 一2 n = ( s i n 2 7 r + s i n 2 万+ s i n = 2 n ) s i n 2 万 率：s i n j 2 丌 = 瑶( s i n ；2 丌+ s i n 等2 力 b - - 1 = 磊2 s i n 7 r c o s 字扫 翠：s i n j 幼 = 墨善( s i n ；2 丌+ s i n 字孙+ s i i l 吾2 万) = n - 2 ( 2 s i n a c o s 半丌+ s i n 力 1 + 妻n - l l ：萋：三兰 c 2 3 ， 定理2 4 3 ：设集合a = f o l ，2 ，n - l ，s = 专芝，等，- l ，o 1 ，2 ，孚 ， s = 等，孚，- 1 ，0 ，l ，2 ，孚，孚l ，t = l ，2 ，n 一3 ，n 一2 1 。设映射旷是 集合a 到集合a 的一一在上映射，对于任意j a ，n 砌z 。设映射1 是从集 合s 到集合t 的一一映射，使得对于任意的s s ，有“曲= 下n + 2 s - i 。设映射p 是 从集合s 到集合t 的一一映射，使得对于任意的s s ，有p ( s ) = t n + 2 s - 2 。令o = 第二章 n 删= n o n l + n “州曲) ， 纽一呦= ( 1 - ( j ) + 1 ) 万一1 ) + 甩舐州沪i ) 。当玎为偶数时，令o = ，k i ) ，对于每个s - v ，孚，- 1 ，o j ，坛j ) = n a c u o ( s ) ) + 叫呦，坞铽勘= p ( s ) + 1 ) ，k j ) + 以哟叫炉1 ) 。对于每个，t ，记= k 肼, a v o 川。如果满足对于每个，t 都有下列两个条件成立： ( 1 ) n k , im r ； ( 2 ) 以i ( 格一1 ) ， 那么似小i l l ，1 ) 不是g 曲d 厂框。 证明：根据引理2 4 1 可知，如果满足对于每个，t 都有条件( 1 ) ( 2 ) 成立， 那么存在实数0 ，使得式( 1 7 ) 成立；根据引理2 4 2