（应用数学专业论文）具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的cauchy问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 摘要 本文讨论了一维和高维的具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的c a u c h y 问 题 全文分两部分： 第一部分考虑一维具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的c a u c h yf 司题t 地“k 钏2 蜘 ) 蚝r b 0 ( i ) 【 “( 。，0 ) = u o ( x ) l 。( r ) ， 其中，( “) ，9 ( t ) 是r 上的一阶连续可微函数，o 0 ，0 口 0 ，0 0 ，0 0 0 口 1a r eb o t hc o n s t a n t s w ec a no b t a i nt h eg l o b a lc g d s t e l l c es i m i l a r l y k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ；d e g e n e r a t ev i s c o s i t y ；m a x i m u mp f i n c i - p l e ；l o oe s t i m a t e ；t h eg l o b a le x i s t e n c e 1 1 硕士学位论文 m a s r er s t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：乡当乒 日期：砷年、月j o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：乡a 块 日期：砷年岁月；，日 导师签名： 网 - _ - j 日期：力咿年，月1 0 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程” 中的规定享受相关权益。圃童途塞堡套后澄压! 旦兰生；旦= 生；旦三生发查! 作者签名：江兵 日期堋年，月如日 导师签名： 日期：弘刁 | 寻。日 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 第一章引言 本文重点讨论了如下具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的c a u c h y 问题 + 。+ ，( t 正k = a 2 t 。让材+ 9 ( u ) ，一0 0 0 时，方程( 1 1 ) 是抛物型方 程我们知道，对具有工。初值的抛物型方程当t 0 时，在存在区间内的解是光 罱的基于这性质，许多作者研究了当，( u ) = 譬，9 ( “) = 0 ，口= 1 时，c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解的整体存在性( 见参考文献【1 0 ，1 2 9 此外，参考文献【1 1 】得 到了如下广义b u r g e r s 方程的c a u c h y 问题 地+ ( 萼) 。_ ，( 她，。r ，t 。， 【 让( z ，o ) = t 1 0 ( 。) l ”( r ) 的相关结论参考文献【1 2 】已给出了 f u t + ，( k = n 2 t o ，z r ，t 0 ， 1 u ( z ，o ) ：t 0 ( z ) 1 硕士学住论文 m a s t e r s t h e s i s 的整体光滑解的存在性及稀疏波的稳定性本文在参考文献【1 2 】的基础上，进一步 研究具有非齐次项9 ( ) 的情形，给出了c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的整体光滑解的 存在性定理 对于二维情形。参考文献【1 】给出了 lu t + ，( “k + 9 ( t ) ，= a 2 俨( 弘路+ t o p ) ， ，y ) r 2 ，t 0 ， iu ( z ，y ，0 ) = t o ( z ，y ) l ”( r ，2 ) 的整体光滑解的存在性本文在参考文献【1 】的基础上，进一步研究具有非齐次项 f ( u ) 的情形，给出了其对应非齐次方程的c a u c h y 问题的整体光滑解的存在性定 理 本文共分为三部分， 第一部分介绍具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的c a u c h y 问题的物理背 景和相关问题研究的历史进展，叙述本文的主要结果 第二部分研究一维的具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的c a u c h y 问题 在第一节讨论了与( 1 1 ) 对应的线性齐次方程的c a u c h y 问题； f 驴批嘲锄锄 o ， ( 1 5 ) i t ( z ，o ) ；呦( z ) ， 一o 。 z o o 由 利用相似变换法求出( 1 5 ) 的解的表达公式，并讨论( 1 5 ) 的解的衰减性质在第二 节，利用与( 1 1 ) ，( 1 2 ) 等价的积分表达式构造逼近解序列，进而得到c a u c h y 问题 ( i ) 的解的局部存在性在第三节，利用极值原理获得解的”估计，再由解的延拓 定理得到解的整体存在性 第三部分研究二维情形，用与一维类似的方法，证明了整体光滑解的存在性 2 国m a s t e r s t h e s 。 第二章一维情形 我们考虑如下具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的c a u c h y 问题 u t + ，( u k = a 2 t 。u z z + 夕( t ) ，一o 。 z 0 ， 具有初值 牡( z ，0 ) = t 幻( z ) l ”( r ) 分为三部分给出其解的整体存在性 第一节相应的线性齐次方程的基本解 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 这一节中，我们将讨论与( 2 1 ) 相对应的线性齐次方程的c a u c h y 问题； 毗= a 2 t 。u z z ，一 z 0 ， ( 2 1 1 ) 具有初值 u ( 而0 ) = 伽( z ) ，一 0 均为常数利用相似变换法( 见参考文献【1 8 d ，我们将给出c a u c h y 问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解的表达公式为此，首先给出方程( 2 1 1 ) 的解的如下性 质 性质2 1 设( z ，t ) 是( 2 1 1 ) 的解，则对任意的y r ，u 扛一y ，t ) 也是( 2 1 1 ) 的解 性质2 2 设札( 墨t ) 是( 2 1 1 ) 的解，则它关于z 的各阶偏导数，。，龆， 也是( 2 1 1 ) 的解 性质2 3 设8 ( x ，t ) 是( 2 1 1 ) 的解，则对任意连续函数夕( 掣) ，有 t ，( z ，t ) = s ( z y ，t ) 9 ( y ) d y 一一 也是( 2 1 1 ) 的解 下面我们寻找( 2 1 1 ) 的自相似解假设q ( 参) 为方程( 2 1 1 ) 的解，其中卢为 待定常数令f = 声，则有 讯) + 旦o , 2 南q ，( f ) 0 ( 2 1 3 ) 3 m a s t e r s t h e s 玛 取p = 下a + l 即有 f = 嘉= 南 则方程( 2 1 3 ) 为常微分方程 二q “( ) + a z + n i f q g ) = o ( 2 1 4 ) 所以，( 2 1 4 ) 的通解为 q ( f ) ：a 厂e - 崇矿咖+ q ( 2 1 5 )q ( f ) = a j i j 矿咖+ q ( 2 ) 其中a ，q 是两个积分常数因此 。靠z q 扛，t ) = q e - 学1 2 d ，7 + c | ( 2 1 6 ) 淝t ) = 瓦oq ( z ，t ) = c 1 t 一孚e 一描 ( 2 1 7 ) 是方程( 2 1 1 ) 的解，从而由性质3 知对任意连续函数夕( ) ，) ：厂。s ( x - - y , t ) 夕( ) 咖：g t 一学o oe-v(x t yg te - 甓磐夕( 胁 ( 2 1 8 )，) = s t ) 夕( ) 咖=一乎气带f 卜夕( 胁( 8 ) j 一，一 也是方程( 2 1 1 ) 的解 为了求出c a u c h y 问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解，利用初始条件( 2 1 2 ) 确定( 2 1 8 ) 式中的常数a 及9 ( z ) ，作变换 2 n 3 笋 甜2 z + 了丽叩v u l _ 则( 2 1 8 ) 式改写成 出埘= 卅2 a c t u f ”。e 嘞g + 篙扣 巾，o ) = 器仁e - ，1 2 9 ( 蚺= 筹缸) 因此，要使其满足初始条件( 2 1 2 ) ，必须取 咖) = 蒜嘶) m 删a s t e r s t i l e s 砖 将其代入( 2 1 8 ) 式。得到c a u c h y 问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解为 出，t ) = 丢器仁e 一甓群砒地 ( 2 1 9 ) g ( 卅= 器e 一槲， 下面证明( 2 i 9 ) 式在咖( z ) 满足某种假设时，确为c a u c h y 问题( 2 1 1 ) ，( 2 2 2 ) 的解 定理2 1 1 若撕( z ) c ( 一，( 3 0 ) 且有界，则由( 2 1 9 ) 所确定的函数“( z ，t ) 是c a u c h y 问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解 证明见参考文献【1 2 ，1 8 】 第二节局部解的存在性 在这节中，我们将证明c a u c h y 问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 解的局部存在性。利用与( 2 1 ) 相对应的线性齐次方程的基本解g ( z ，t ) 和d u h m a l 原理，写出c a u c h y 问题( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 的解的积分表达形式： ， f tf o o u ( x ，) = g ( 。一掣，t ) u o ( y ) d y + g ：( z 一玑t 一8 ) f ( u ( y ，s ) ) d y d s “夸r 。 加几” + g ( x 一可，t s ) 夕( t 国，s ) ) d y d s ( 2 2 1 ) 加j 一 构造( 2 2 1 ) 的近似解序列 矿( ，f ) ) ，并证明其极限为c a u c h y 问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的局 部解为此，先给出( 2 1 1 ) 的基本解g ( x ，t ) 的衰减估计其证明通过直接计算即得 引理2 2 1 设g ( z ，t ) 是啦一口2 。= 0 的基本解，即 晰) = 器e 一躺， ( 2 2 2 ) 5 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 则 厂”f g z ( z ，t ) i 如c o - i - a ) l t 一掣，f g z ( z ，t ) i 如一半， 一- o o 其中e 为常数 定理2 2 2 ( 局部存在性) 设锄( z ) l ”( r ) ，0 d 0 使得c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 在0 t s t o 内存在局部解。其中 n f ( 丽) 击，去， ( 蒜) 击，上2 c ( m 2 ) ) ， 仁。渤 + o t 。o o g z ( x - - y , t - - s ) f ( u n - 1 ( 舭肭幽 ( 2 2 4 ) + g ( z 一! ，t s ) 夕( 矿一1 ( v ，s ) ) d y d s ，n = 1 ，2 ， 当n = 0 时，( 2 2 5 ) 显然成立假设( 2 2 5 ) 对i t ，7 l 一1 时成立则由引理2 2 1 6 m a s t e r s t h e s 碍 及归纳假设可得到。 l u m ( z ，t ) i m + k 仁咄蹦”脚d 叫 + k 仁g ( x - y , t - s ) 舻- 1 ( ”) ) d y d s i m + 舰i z 仁鸭叫 + 尬仁g ( x - y , t - 8 叫 m + c ( 尬) ( 1 + a ) 。小s ) 一掣d s + c ( 蚴 m + c ( 帆) ( 1 + 。) i 击t 孚+ c ( 尬) t 由此证明( 2 2 5 ) 成立 其次，我们证明序列 u “( z ，t ) ) 在区间0 t t o 内是一致收敛的 i u n ( 。，t ) 一u n - 1 ( z ，t ) i j f o tf _ ”g = ( x - y , t - s ) ( 缈。1 ( ”) ) 叫“”2 ( ”) ) ) d y d s i + k 仁g ( x - y , t - s 地- l ( ”) ) _ 舻- 2 ( 舻) ) ) d y d s l 一 i 卅一2 w 一。g 。( z - y , t - s ) d y d s i + m 4 m a x l u - 1 2 哳仁g ( x - y , t - s 叫 ( 坞c ( 尬) ( 1 + 口) r 2 五。争+ 尬c ( 尬) t ) m a x i 矿一矿一2 i ) 用类似方法容易得到： i , f n ( z ，t ) 一矿_ 1 ( z ，t ) i ( 尬e ( m ) - ( 1 + q ) 击t 字+ 尬c ( m 2 ) t ) - m a x i u l 一护i ) ( 蜗c ( m ) ( 1 + 口) 1 ：r 2 i 。号+ 尬c ( ) t ) “4 m 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 由t 的范围可知，序列 矿( z ，t ) ) 是一致收敛的则对( 2 2 4 ) 式两边直接求极限可 知方程存在唯一解t ( z ，t ) 定理证毕 第三节整体解的存在性 在这一节中。我们将证明c a u c h y 问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解的整体存在性利用极 值原理获得解的l 。估计，再由解的延拓定理得到解的整体存在性 引理2 3 1 假设u o 俨( r ) 且i i o l l n - m u g ( u ) 0 ( z ，t ) 为c a u c h y 问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 在 n ( t ) = ( z ，t ) ：z r ，0 t 1 ，考虑区域 q l = ，t ) ：- l z 厶0 t t ) ， 并令 u ( 列) = 砒+ m + 芸( z 2 + c ) ， ( 2 3 1 ) 其中n 为“( z ，t ) 在o ( t ) 上的局部上界c 为待定的正常数 将( 2 3 1 ) 代入( 2 1 ) ，( 2 2 ) 得如下初边值问胚s 砚+ ，( 皿+ 芸( 乩e + 缸厂( u ) 一2 口2 t d ) = n 2 产k + 9 ( - ( 霸+ m + 茄( 霉2 + ，c k ) ) ， ( 。3 。) 面( z ，o ) ；u ( z ，o ) 一m - - 豢( 2 + 吐) o ， 、“ 豇( 垴t ) = “( 地t ) - m 一尝( l 2 + o l d ) o 由( 2 3 2 ) ，可以证明西( z ，t ) 0 ，( z ，t ) 【- l ，叫x 【o ，卅 若不然。令i = s u p t ：面( z ，t ) 0 ，坛f l ，目 ，则0 2 m a x i 厂( u ) j ， 缸( z ，) 0 ，( 3 , 1 ) 具有初值 t ( z ，y ，0 ) = u o ( ，y ) 已”( r r 2 ) ( 3 2 ) 用类似的方法得到整体解的存在性，并能推广到高维情形 第一节相应的线性齐次方程的基本解 这一节中，我们将讨论与( 3 1 ) 相对应的线性齐次方程的c a u c h y 问题 t = n 2 矿( t 骝+ t i 卯) ， ( z ，y ) r 2t 0 ， ( 3 1 1 ) 具有初值 t ( z ，y ，0 ) = t l o ( z ，掣) ，( z ，) r 2( 3 1 2 ) 其中d 0 ，o 0 均为常数利用相似变换法( 见参考文献【l8 】) ，我们将给出c a u c h y 问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解的表达公式为此，首先给出方程( 3 1 1 ) 的解的如下性 质 性质3 1 设“( z ，y ，t ) 是( 3 1 1 ) 的解，则对任意的z l ，y x r ，t 0 一z 1 ，y y 1 ，t ) 也是( 3 1 2 ) 的解 性质3 2 设“( z ，y ，t ) 是( 3 1 1 ) 的解，则它关于z 和y 的各阶偏导数，嘶， 。，乜w 也是( 3 1 1 ) 的解 性质3 , 3 设8 ( 。，挈，t ) 是( 3 1 1 ) 的解，则对任意连续函数g ( z ，可) ，有 t ，( z ，y ，t ) = 8 ( 霉一z l ，y y l ，t ) 9 ( z l ，y 1 ) d x l d y l ，r 2 也是( 3 1 1 ) 的解 1 0 m 删a s t e r 雠 s t h 文e s 碍 下面我们寻找( 3 1 1 ) 的自相似解假设q ( 2 ；萨) 为方程( 3 1 1 ) 的解，其中口 为待定常数令f = 孚，则有 q ，( 卅( + 硒) 眺) = o ( 3 1 3 ) 取口= a + 1 即有 = 字= 等 则方程( 3 1 3 ) 为常微分方程 叭卅( ；+ 虿a + l q k ) = 。( 3 1 4 ) 所以，( 3 1 4 ) 的通解为 眯) = a z ”；e 蟛”咖慨 ( 3 1 5 ) 其中g ，g 是两个积分常数因此 0 0 讹舭) = c 1 龙w 矿i ) e 一学+ g ( 3 1 6 ) j 忙2 + 铲) t 一抽+ i ) 由性质2 知 s ( z ，删：c , t 一( 州) e 一坦毯尝芦( 3 1 7 ) 是方程( 3 1 1 ) 的解，从而由性质3 知对任意连续函数夕( z ，) 钉( z ，可，t ) ：- s ( z z 1 ，秒一! ，l ，t ) g ( x l , y 1 ) d z l d y l 。r 1 ，r( 。+ 1 ) ( ( 1 ) ，+ ( ，一，) 2 ) ( 3 1 8 ) ：a t ( 口+ 1 ) 厂e 一型骘喾# 丝9 ( x l , y 1 ) 如1 d y l “叫 也是方程( 3 1 1 ) 的解 为了求出c a u c h y 问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解，利用初始条件( 3 1 2 ) 确定( 3 1 8 ) 式中的常数a 及9 ( z ，掣) ，作变换 。+ 筹铷+ 筹( 2 2 1 + 了丽叩，y 21 ，1 + 了舌葺彳( 则( 3 1 8 ) 式改写成 巾m 牡4 州a 2 c 1 知 e 叫冉( z 筹删+ 筹2 a t 油d ( 由此立得， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s t ，( z ，。) = 4 n a + 2 c 1 1 ，f 舻e 一( ，产印) g ( 毛耖) 咖必 ：等9 ( 哪) 厂。一舻们喇 2 而9 l 一”1 q 删 ：4 ：7 r a 汀2 ( i9 ( z ，y ) 5 i i t 9 因此，要使其满足初始条件( 3 1 2 ) ，必须取 9 ( 毛) = 互a 丽- t - 1 眦, z ，妒) 将其代入( 3 1 8 ) 式，得到c a u c h y 问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解为 让( 硎) = 毒杀业尝# 盟毗蛐。 ( 3 1 9 ) 记 眠3 ，t ) = 瓣a + 两l e 一螂舻， 我们称它为方程( 3 1 1 ) 的个基本解 下面证明( 3 1 9 ) 式在( z ，鲈) 满足某种假设时。确为c a u c h y 问题( 3 1 1 ) ， ( 3 1 2 ) 的解 定理3 1 1 若t o ( z ，y ) c ( f p ) 且有界，则由( 3 1 9 ) 所确定的函数t ( z ，玑t ) 是c a u c h y 问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 的解 证明见参考文献【1 2 ，1 8 】 第二节局部解的存在性 在这节中。我们将证明c a u c h y 问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 解的局部存在性，利用与( 3 1 ) 相对应的线性齐次方程的基本解g ( z ，t ) 和d u h m a l 原理，写出c a u c h y 问题( 3 1 ) ， 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s ( 3 2 ) 的解的积分表达形式。 “( z ，y ，t ) = g ( z x l ，y y l ，t ) t 幻( 露l ，y 1 ) d x l c h j o o tf rg = ( x - x a , y - y a , t - - s ) f ( ( z ，饥，s ) ) 出。白- 幽 一o 厶q ( z - z l , y - y l , t - s ) 咖( 舭) ) 出，觑d 8 4 - i ( 7 ( z z l ，一虮，t s ) f ( u ( x l ，y l ，s ) ) 如l d y l d s ( 3 2 1 ) ，0 ，r 2 构造( 3 1 ) 的近似解序列u - ( x ，玑t ) ) ，并证明其极限为c a u c h y 问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 的 局部解为此，先给出( 3 1 1 ) 的基本解g ( x ，3 ，t ) 的衰减估计其证明通过直接计 算即得 引理3 2 1 设g ( z ，y ，t ) 是u t a 2 垆( 缸。4 - “押) = 0 的基本解，即 g ( x , y , t ) = 意告e 一峨弹， ( 3 2 2 ) 则 i g ( z ，y ，t ) l d x d y c ( 1 + 口) t 一( 1 托) ， i g v ( 霸y ，t ) l d x d y c ( 1 + o ) t 一( 1 + 口) ， 其中c 为常数 定理3 2 2 ( 局部存在性) 设坳( z ，y ) l ”( r 2 ) ，0 n 0 使得c a u c h yr e 题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 在0 t t o 内存在局部解， 其中 t n ( 翥端) 击，( 瑞南) 击) 呼。， c ( m ) = m a x s u pi f ( u ) l ，s u pi g ( u ) l ，s u pi f ( u ) i ， 邮4 盯 m肼 、( 3 删 s u pi ，( “) j ，s u pl g l ( 缸) l ，s u pl ，( t ) i 1 3 翁m 蒯学a s t e r 8 t h e s 。 证：我们用序列逼近法证明此问题构造近似解序列： 矿( z ，玑t )y l ，t ) 伽( z l ，y 1 ) d x l d y l ( z z 1 ，暑一y l , t s ) ，( t ，一1 ( z 1 ，y l ，s ) ) d z l d y l d s ，( z z l ，! ，一y l ，t s ) 9 ( t 产一1 ( z l ，f 1 ，s ) ) d z l d y l d a ( z z l ，y y l , t s ) f ( t ，一1 ( z 1 ，玑，s ) ) d z l d y l d s ( 3 2 5 ) 定义 ， 扩( z ，t ) = t 0 ( z 1 ，y 1 ) c ( x z 1 ，童一y l ，t ) d z l d y l ( 3 2 6 ) j i p 首先对0 t s t o 用归纳法证明； i 缸”( z ，| ，t ) i 4 m ,( 几= 0 ，1 ，2 ，) ( 3 2 7 ) 当n = 0 盯， ) i m 厶茄e 一掣出咖 = 警舞e 一嘲如) 2 令z = 罢盐( z 1 一z ) ，有 2 m t 叭删，圳m 丌( ，r e - zd z ) “= m 4 m ( s 删 假设( 3 2 7 ) 对n m 一1 时成立则由引理3 2 1 及归纳假设可得到。 i 俨( t ，z ，们i i u o ( x l ，y 1 ) c ( x x l ，”一y l ，t ) l d x l d y l ，口2 + r 厶| ，( 矿1 ( x l , y l , s ) ) q p + z 厶m 扩1 ，s ) 胤 + z 厶m q ) ( x l , y l , s 黼 = i l + 2 + 1 3 + h 1 4 一x l ，y y l ，t s ) l d x l d y l d s z 1 ，y y l ，t s ) l d x x d y l d s x l ，掣一鲈l ，t s ) l d x l d y a d s ( 3 2 9 ) p g g g g上厶厶厂、，r凡r广厶 = 一 一 + m 剩蜉a s t e r 雠 s t h 文e s 璐 我们采给出2 佰计。 如c ( m ) z 厶l 倪( z - - x l , y - - y l , t - - 8 ) i 如- 由d s = c 口( 何m ) f 。( t 一矿孚d s = 掣击t 字 n 、7 r l q m 买似明日j 以得到1 3s ，1 4sm 田此让明融2 风豆兵次，我们让明厅则 t “( z ，y ，) ) 在区间0 t t o 内是一致收敛的 妒( z ，鲈，t ) 一u n - 1 ( z ，y ，t ) l 厂厂i ( ，( 矿一，) 一f ( u - 2 ) ) g z ( z - - z l , y - - y l , t s ) i 出。d 玑d s j oj 舻 + z 厶( 矿- 1 ) 一夕( u p 2 ) ) g ，( z - - z l , y - - y l , t - - 8 洲如句，如 + z 上，i ( f ( 扩- 1 ) 一f ( 矿2 ) ) g ( x - - z l , ! - - y l , t - - 8 ) f 出t 咖d s 厂i ，( 巩) ( “n l 一矿一2 ) g 。( z 一，一掣1 ，一d x l d y 2 1y t 8 ) l d = d y l d s ，( 巩) ( “”一1 一矿一2 ) g 。( z 一，一掣1 ，一11 d s j oj r 2 + o t r g 池) ( u n - - 1 - - u n - 2 ) g ，( z - - z l , y - - y l , t - - 8 r ) i 如t d 讥幽 + z 厶i ，慨) ( 札”l 一矿q ) g ( x - x , , y - y l , t - z 训如，匆- d s 警( 1 刊t 争击吲旷l ( t 忍们- - “n - 2 ( 纰川i 9 ( 警c - 刊特击) 4 ， t j 2 - l o ) 其中o l ，0 2 ，如是介于矿- 1 和u n - 2 之间的某个数由t 的范围可知，序列 t “( z ，可，) 是一致收敛的则对( 3 2 5 ) 式两边直接求极限可知方程存在唯一解t ( ，t ) 定理 证肇 1 5 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 第三节整体解的存在性 在这一节中，我们将证明c a u c h y 问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 的解的整体存在性利用极 值原理获得解的l 。估计，再由解的延拓定理得到解的整体存在性 ： 引理3 3 1 假设如工”( r 2 ) 且l i t o i i p m ，u f ( u ) s0 t ( z ，耖，t ) 为 c a u c h y 问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 在 f ( t ) = ( z ，t ) ：( z ，y ) r 2 ，0 t 1 ，考虑区域 q l = 0 ，t ) ： ，y ) ( - l ，工) 2 ，0 t t ) ， 并令 “( x , yt ) = 瓦o ，暑，t ) + m + 昙( z 2 + 暑，2 + c l e t ) ， ( 3 3 1 ) 其中为( z ，y ，t ) 在n c t ) 上的局部上界c 为待定的正常数 将( 3 3 1 ) 代入( 3 1 ) ，( 3 2 ) 得如下初边值问题： 砚+ 厂似) 面。+ 9 ( “) + 西n ( c l e t + 2 z ，扣) + 2 y g ( u ) 一4 a 2 t a ) = 口2 t 口( f i z = + f i w ) + f ( 面( z ，玑t ) + m + 茄( 矿+ 2 + c 如) ) ， 面( z ，o ) = t 幻( z ，g ) 一m 一苦( 矿+ 暂2 + 比) o ， ( 3 3 2 ) 面( 士l ，弘t ) = t ( 士l ，! ，t ) 一m 一尝( l 2 + y 2 + c l e ) o ， 面( 为士l ，t ) = t 扛，士工，t ) 一m 一百n z 2 + l 2 + 以e ) o 由( 3 3 2 ) ，可以证明面( z ，弘t ) 0 ，( z ，可，t ) 【- l ，剀2 l o ，刀 若不然，令z = s u p t ：面( z ，y ，t ) 0 ，v ( 。，可) 【一厶工】2 ) ，则0 4 u ( m ) ， 则 c l e + 2 f f ：f ( u ) + 2 刃( u ) 一4 尹 0 由( 3 3 2 ) - ( 3 3 7 ) 知 面t ( 云牙，牙) o 方程( 3 3 2 ) 在点( 薯，可，刁处产生矛盾，因此 面( z ，y ，t ) 0 ，( z ，y ，t ) 【- l ，翻2 【o ，刁 成立故 u ( z ，掣，t ) o ， 、 括1扛1 【u ( z l ，x n ，0 ) = u o ( x a ，) l ”( r “) ， 讨论形如 q ( 挈) 的自相似解，用类似方法，可以得到其光滑解的整体存在性 1 8 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 参考文献 f i 】j c h e na n dx w x ue x i s t e n c eo fg l o b a ls m o o t hs o l u t i o nf o rs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s w i t hd e g e n e r a t ev i s c o s i t yi nt w os p a c ed i m e n s i o n s ，a c t am a t h s c i ，2 7 ( 2 ) ( 2 0 0 7 ) ， 4 3 0 - 4 3 6 1 2 】d g g r i g h t o n ，m o d e le q u a t i o no fn o n l i n e a ra c o u s t i c s ，a r e v f l u i dm e c h ，1 1 ( 1 9 7 9 ) ， 1 1 3 3 【3 】d g g r i g h t o na n dj f s c o t t ，a s y m p t o t i cs o l u t i o n so fm o d e le q u a t i o n si nn o n l i n e a r a c o u s t i c s ，p h i l t r a n s r s o e l o n d ，2 9 2 ( a ) ( 1 9 7 9 ) ，1 0 1 1 3 4 【4 】y h a t t o r ia n dk n i s h i h a r a ，an o t eo nt h es t a b i l i t yo ft h er a r e f a c t i o nw a v eo ft h e b u r g e r se q u a t i o n ，j a p a nj n d n s t ，a p p l m a t h ，8 ( 1 m 1 ) ，8 5 - 9 5 【5 le h o p f , t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt t + t t k = i t u z z ，c o m m p u r ea p p l m a t h 3 ( 1 9 5 0 ) ，2 0 1 2 3 0 【6 】s l e i b o v i e h ，s c e b a s sar ，e d s n o n l i n e a rw a v e s ，l o n d o n ，c o m e l lu n i v e r s i t yp r e s s 1 9 7 4 吲p ls a u c h d e r ，n o n l i n e a rd i f f u s i v ew a v e s ，n e wy o r k ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ， 1 9 8 7 【8 】j f s c o t t ，t h el o n gt i m ea s y m p t o t i co fs o l u t i o nt ot h eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n 。 p r o c r o y s o c l o n d ，s e c t a ，3 7 3 ( 1 9 8 1 ) ，4 4 3 - 4 5 6 f 9 】j w a n ga n dg 。w a m e c k e ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o ra 丑一u n i f o r m l y p a r a b o l i ce q u a t i o n ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 6 0 ( 2 0 0 1 ) ，2 6 0 - 2 8 4 f l o 】j h w a n g ，a n dh z h a n g ，e x i s t e n c ea n dd e c a yr a t e so fs m o o t hs o l u t i o n sf o ran o n u n l - f o r m l yp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g h ，1 3 2 a ( 2 0 0 2 ) ，1 4 7 7 - 1 4 9 1 【1 l jj h w a n g ，a n dh z h a n g ，1 d s t e n c ea n dd e c a yr a t e so fs o l u t i o n st ot h eg e u r a l i z e d b u r g e r se q u a t i o n ，j m a t h a n a l a p p l ，2 8 4 ( 2 0 0 3 ) ，2 1 3 - 2 3 5 【1 2 】y lx ua n dm n j i a n g ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fr a r e f a c t i o nw a v ef o rg e n e r a l i z e d b u r g e r se q u a t i o n ，a c t am a t h s c i ，2 5 ( 2 0 0 5 ) ，1 1 9 - 1 2 9 1 1 3 h z h a n g ，e x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n sf o rad e g e n e r a t eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n w i t hl a r g ei n i t i a ld a t a ，a c t & m a t h s c i ，2 2 ( b ) ( 2 0 0 2 ) ，2 4 1 2 4 8 【1 4 jh j z h s oa n dc j z h u ，s o l u t i o n si nt h el a