（机械电子工程专业论文）热轧开坯机主传动系统自激振动机理及防治措施.pdf

武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：二d 虹日期：兰掣7 c j l 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 二盟堑点幽 皿纽鹕 墨一 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 轧机主传动系统发生自激振动会影响产品质量，更为严重的是可能会造成设备的破 坏，为了提高产品质量和生产效率，避免设备的破坏，必须对轧机主传动系统进行分析， 找出引起自激振动的原因并提出相应的防治措施。 将武钢二热轧r l 轧机主传动系统抽象简化为多自由度扭转振动系统。将主电机转子、 减速机、人字齿轮、轧辊及联轴器等刚度很大的元件简化为集中的转动惯量，将联接这些 刚性元件的主电机转子轴、减速机的齿轮轴、人字齿轮轴、万向接轴以及轧辊辊颈等变 形较大的元件简化为扭转弹簧，从而建立轧机主传动系统四自由度扭转振动模型。计算出 系统的各阶固有频率和主振型，第一阶固有频率计算值与实测值相符。 将系统扭振模型进一步简化为二自由度系统，求出该二自由度系统主振型的节点位 置。从节点处将二自由度系统分解为两个独立的单自由度系统，从而建立轧辊辊系扭转振 动的单自由度模型，并利用多尺度法对该模型进行求解，得出辊系扭振响应的解析式。 对辊系单自由度扭振响应的解析式进行仿真，找出响应解析式中初始条件和阻尼大小 变化对响应的影响。进而根据该轧机发生自激振动时的扭矩实测记录曲线确定响应解析式 中初值条件参数口0 和阻尼参数b ，得出速度和摩擦系数间的关系。最后根据仿真结果提出 防治该轧机主传动系统自激振动的措施。 关键词：主传动系统；自激振动；轧机；多尺度法；仿真 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es e l f - e x c i t e dv i b r a t i o no nm a i nd r i v es y s t e mo ft h er o l l i n gm i l l sn o to n l yd o e sb a da f f e c t s o np r o d u c t s ，b u ta l s oe v e nm o r es e r i o u s l yi tc a u s e sd a m a g et ot h ee q u i p m e n t i tn e e d st oa n a l y z e t h em a i nd r i v es y s t e m ，i no r d e rt oi m p r o v ep r o d u c t i o nq u a l i t ya n dp r o d u c t i o ne f f i c i e n c y a tl a s t t h er e a s o n so fs e l f - e x c i t e dv i b r a t i o ns h o u l dc o m eo u ta n dt h e ni tc a np u tf o r w a r dc o r r e s p o n d i n g m e a s u r e st oa v o i d s i m p l i f ym a i nd r i v es y s t e mo fr lr o l l i n gm i l li nn o 2h o tr o l l i n gp l a n to fw i s c oi n t o m u l t i d e g r e es y s t e m t h ec o m p o n e n t sw i t hl a r g es t i f f n e s ss u c ha sam a i nm o t o r , ar e d u c e r , h e r r i n g b o n eg e a r sa n dc o u p l i n g sa r es i m p l i f i e di n t oc o n c e n t r a t e dm a s s e s t h ej o i nc o m p o n e n t s w i t hl a r g ed e f o r m a t i o ns u c ha sar o t o rs h a f to ft h em o t o r , g e a rs h a f t so ft h er e d u c e r , s h a f t so f h e r r i n g b o n eg e a r s s p i n d l e sa n dr o l l s n e c ka r es i m p l i f i e di n t ot o r s i o ns p r i n g s s ot h em o d e lw i t h f o u r - d e g r e e f r e d o mi se s t a b i s h e d s o l v et h en a t u r a lf r e q u e n c ya n dm a i nv i b r a t i o nm o d e l so ft h e s y s t e m t h ec a l c u l a t e df i r s tn a t u r a lf r e q u e c yc o r r e s p o n d sw i t ht h em e a s u r e d f u r t h e rr e d u c i n gt h ed e g r e e f r e e d o mo ft o r s i o n a lv i b r a t i o nm o d e li n t ot w o ，t h en o d ep o s i t i o n o ft h et w o d e g r e e f r e e d o ms y s t e ms h o u l db eo b t a i n e d d e v i d et h et w o d e g r e e f r e e d o ms y s t e m i n t ot w oi n d e p e n d e n ts i n g l e - d e g r e e - f r e e d o mp a r t s s ot h es i n g l e d e g r e e - f r e e d o mt o r s i o n a l v i b r a t i o nm o d e lo fr o l l si se s t a b i s h e d t h er e p o n s ea n a l y t i ca b o u tt o r s i o n a lv i b r a t i o no fr o l l si s o b t a i n e db yt h em u l t i s c a l em e t h o du s i n gt h em o d e l s i m u l a t i o nt ot h er e s p o n s eo ft o r s i o n a lv i b r a t i o ni si no r d e rt og e tt h ei n f l u e n c eo fc h a n g i n g i n i t i a lc o n d i t o n sa n dd a m p i n gi nt h ee x p r e s s i o n t h e nd e t e r m i n et h ep a r a m e t e ra ai ni n i t i a l c o n d i t i o n sa n dt h ep a r a m e t e rbi nd a m p i n ga c c o r d i n gt om e a s u r e dd a t a sa n dg e tt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e ns p e e da n df r i c t i o nc o e 伍c i e n t a tl a s tt h ec o n t r o la n dp r e v e n t i o nm e a s u r e ss h o u l db e p r o p o s e do nt h eb a s i so fs i m u l a t i o nr e s u l t s m a i nd r i v es y s t e m ；s e l f - e x c i t e dv i b r a t i o n ；r o l l i n gm i l l s ；m u l t i s c a l em e t h o d ； s i m u l a t i o n 武汉科技大学硕士学位论文第1 i i 页 目录 摘要i a b s 打a d i i l 综i 苤l 1 1 课题的研究意义i 1 2 轧制主传动系统自激振动研究现状1 1 3 非线性振动系统解析方法【1 9 】【2 0 1 6 1 3 1 谐波平衡法6 1 3 2 摄动法( 小参数法) 7 1 3 3 林兹泰德庞加莱法8 1 3 4 平均法9 1 3 5 多尺度法。l o 1 3 6 渐进法。l o 1 4 主要研究内容1 3 2 轧机主传动系统动力学分析1 5 2 1 轧机主传动系统力学模型1 5 2 2 系统转动惯量和扭转刚度的计算1 7 2 2 1 各元件转动惯量的计算1 8 2 2 2 各元件扭转刚度的计算2 l 2 3 主传动系统固有特性2 9 2 3 1 数学模型的建立一2 9 2 3 2 系统的固有频率和主振型3 0 本章小结3 2 3 主传动系统单自由度数学模型及其解析解3 3 3 1 主传动系统单自由度数学模型3 3 3 2 主传动系统单自由度数学模型解析求解一3 6 本章小结4 0 4 主传动系统自激振动仿真分析4 1 4 1 在自激振动状态下的扭矩实测信号。4 1 4 2 系统响应仿真4 3 4 2 1 待定参数的提取_ 4 3 4 2 2 待定参数口0 ，b ，少。对系统响应信号的影响4 4 4 3 工程实测数据中摩擦系数与速度的关系5 0 4 4 仿真结果分析5 l 第1 v 页武汉科技大学硕士学位论文 4 4 1 a o ，b ，沙。物理意义5 2 4 4 2 工程中相应的预防措施5 2 本章小结5 3 5 总结与展望5 4 5 1 总结5 4 5 2 展望。5 4 参考文献5 5 至| 【谢5 8 攻读硕士期间发表的论文5 9 武汉科技大学硕士学位论文第1页 1 1 课题的研究意义 1 综述 在现代社会中，钢材产量和质量是衡量一个国家国力的重要指标。社会对钢铁轧制品 数量和质量要求越来越高，轧制设备也同趋自动化，精密化。作为轧钢生产中的重要设备 轧机的稳定性直接影响到轧制品的生产，产品是否合格一定程度上取决于轧制系统是 否稳定，而轧机主传动系统作为轧制系统的一个重要环节愈发引起人们的高度关注。轧机 主传动系统主要是由机械、电气以及控制等多个部分组成的，系统庞大，它的振动容易造 成设备的破坏，影响产品的质量。在世界范围内，轧机振动一直是金属板带材轧制生产中 普遍存在和亟待解决的问题。尤其是主传动系统的自激振动，具有比较高的突发性和难预 测性，压下率越大，板带越薄的时候越容易发生自激振动。因此人们在解决这一类问题上 存在着很大困难。不仅如此，这种自激振动的破坏力还非常巨大，轻则造成板带材表面出 现振纹，影响产品质量，重则导致主传动系统主要受力零件的应力值严重超标，造成设备 的破坏。 研究轧机主传动系统的自激振动不仅能够给以后出现的这类问题提供很好的参考性 意见和建议，还能带来经济效益。 1 2 轧制主传动系统自激振动研究现状 目前对主传动系统自激振动的研究主要体现在：第一，对自激振动产生起因的探讨， 由哪些因素能够引发自激振动；第二，如何解决实际生产中遇到的自激振动现象，针对各 种影响因素采用相应措施来避免自激振动的发生，但目前很多问题都尚未能得到圆满的解 决；第三，寻求新的方法来对振动问题进行尝试，结合实际数据和新的理论方法对振动问 题作出定量分析。下面将简要介绍一下对自激振动的影响因素及解决方法。 与轧机主传动系统相关的主要因素有以下几个方面： ( 1 ) 轧制参数的影响 对现有系统以及正在设计的系统，如何判定其在一定条件下是否会产生自激振动，是 设计人员和现场工作者所关心的问题。目前，从理论上可以将自激振动归于对极限环的研 究，但在工程实际中，有一些其他的研究方法，例如可以用k r i l o v - b o g o l u b o v 方法对轧机 系统打滑状态下的非线性力学模型进行求解，确定主传动系统产生稳定振动时的轧制速 度与轧制力之间的关系【2 】【3 1 ，计算该系统产生稳定振动所需的最小轧制力，推出同一轧制 速度下由于自激振动导致的扭矩放大系数和轧制力之间的关系【4 1 。 轧制力很小时，容易引起自激振动。随着轧制力的增加，引起自激振动的几率会降低， 但一旦发生自激振动，扭矩放大系数会急剧增大到一个足以使系统产生瞬时破坏的值【5 1 。 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 低速咬钢也是如此，在低速下不容易打滑，但是一旦打滑，引起振动的可能性比较大，产 生后果也很严重。此外过多的氧化铁皮，咬入角过小都会引起打滑，从而产生自激振动。 在实际生产中，应避免在打滑状态下的大轧制力，尤其是轧制温度低于预定的轧制温度的 时候【6 】。 轧制力的大小，咬入角，轧制温度等一些轧制参数，还有结构本身的特性，如轧辊表 面粗糙度等都可能引起打滑，打滑是主传动系统产生自激振动的前提。下面将定性分析各 种因素之间的关系。 振型与频率结构分析【4 】 由轧机的自激振动理论，振动形成于一定速度条件下的辊缝变化，并由此导致入口张 力与轧制力的变化。如果他们之间保持一定的相位关系，就会形成自激振动条件。振型按 照上下辊的位移方向可以分为三种典型运动状态【4 1 。 第一类上下辊中间位置相对位移基本为零或者是非常小。轧辊就像是以中点为固定铰 作摆动，轧辊的振动相对位移如果是这种相位关系的话，显然不能引起张力的变化，也就 不容易导致自激振动的发生。 第二类上下辊的相对位移方向相同，轧辊如以相对位移较小的振型振动时，辊缝变化 很小，不容易引起轧机的自激振动。但当轧辊以相对位移较大的振型振动时，虽然轧辊的 位移方向是一致的，但是由于上下轧辊的相对位移较大，上下轧辊的振型比很高。如果振 幅比较大，也会引起较大的辊缝变化，也能引起轧机的自激振动。 第三类上下辊之间振型的位移是相反的，如果在轧制过程中，轧机产生与该阶次同相 位和同频率的位移时，导致比前两类状况大得多的辊缝变化，相比之下最容易产生自激振 动。 由以上分析可知，轧机发生自激振动是与轧机本身的固有频率及其振型密切相关的。 在多自由度系统中，当两个频率可以进行通约或接近通约的时候，这种通约关系会引 起相应模态很强的耦合关系，形成内共振，可能会导致自激振动的产生。因此在设计轧机 系统的时候，应该调整各种弹性元件和质量元件的力能参数，避免频率通约情况的发生。 系统动态刚度的改变，意味着系统频率也随之发生变化，这样使得轧机出现颤振的临 界速度也在改变，由下式可以看出【4 】 ， n ，2 万薪他列 n _ 式中e 带材的弹性模量； ，轧件出e l 速度( 辊速) ； 盯。二带材的强制屈服限； 仃l 张应力； r 工作辊半径； 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 相邻机架的中心距离； h 。轧件入口厚度； 国系统固有角频率； 乙平均压下量。 式( 1 1 ) 是轧机是否产生自激振动的判别式，如果条件不满足的话，轧机将出现自激 振动，这时速度v ，称为临界速度。不等式表明，其他参数不变的情况下，临界速度坞会随 着轧机系统的固有频率缈的变化而变化，要想提升临界速度的话，可以采用提高系统固有 频率的方法，我们希望能够提高轧机的固有频率就是希望它有较高的刚度，因此在轧机的 设计时就应该注意到这些问题，不要等到准备投产再去挽救。 有时候由于机电系统的设计问题，或者结构损伤等问题，会使得在轧制过程中出现辊 缝位移信号的响应延迟，由此引发电液控制系统产生强烈的自激振动，再迫使整个主传动 系统发生剧烈振动。对于这种情况，必须对机电液系统的结构进行修改，最大程度地减小 位移反馈信号的延迟时间【7 】。这样也能避免自激振动的发生，提高生产效率。 轧制速度 在一定的轧辊表面粗糙度条件下，决定润滑状态最重要的因素是轧辊与轧件解出弧中 油膜厚度。轧制速度的变化，会对润滑油的厚度产生影响。如果轧制速度越大，润滑油的 油膜厚度就会增大。随着速度的增大，油膜厚度不断地增大，润滑状态就会越趋于动压润 滑状态，摩擦系数减小【4 】。 另外，轧制速度的增大会提高摩擦热和变形热的增加，改变润滑油的温度，由理论研 究可以得出，其摩擦系数就会不断减小。摩擦系数的减小会增大打滑现象发生的几率。根 据式( 1 1 ) 也可以得出系统临界速度，根据临界速度采取相应的措施，将轧制速度控制 在一定的范围内，是避免传动系统发生自激振动的一种行之有效的方法【4 】。速度过高会导 致摩擦系数减小。但是在实际生产中，高速轧制意味着高的生产效率，意味着经济效益。 因此，不能过多得降低轧制速度，最好的方法是采取其它措施来遏制打滑，但在紧急情况 下，降低轧制速度或是立刻停止轧机的工作是最有效的方法。 。 轧制压力 轧制压力的变化也会对油膜厚度产生影响，轧制压力增大会使得压下率也跟着增大。 那么辊缝间油膜的厚度就会变小，从而使得轧辊与轧件之间流体动力润滑成分会相应地减 小，摩擦状态随之恶化，具体表现为轧辊与轧件间摩擦因数增大【4 1 。 轧制压力增大会使得摩擦因数增大，这样能够减少自激振动的发生，根据式( 1 1 ) 也 可以看出，轧制压力的提高，可以增大压下率，埘，提高临界速度，使得自激振动不容易发 生。但是如果发生自激振动的话，高的轧制压力会使得扭矩增大到一个非常高的值，这样 也会产生非常严重的后梨5 1 。如果轧件表面存在氧化铁皮，高轧制力就容易产生打滑。另 外，高的轧制力可能会导致设备本身产生疲劳破坏。 所以对具体情况要具体分析，在充分估计到可能诱发自激振动的情况下，对轧制压力 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 进行调节。 张力的影响【4 】 8 1 在轧制过程中，存在着前滑区和后滑区之分，二者使得轧件发生塑性变形。 图1 1 前滑区和后滑区 轧件在出口时的速度比轧辊的圆周速度要大，因此，轧件就会在出口处产生相对滑动，称 为前滑。如图1 1 所示，口的右侧为前滑区。在轧件入口处，轧件的速度低于轧辊圆周速 度，轧件就会相对得向后滑动，称为后滑，口点左侧为后滑区。在前滑和后滑之间，必定 有一点，圆周转动速度与轧件速度相等。这一点称作中性点，即图中a 点。 前后区的张力都会使得轧件所受单位压力降低，并且后张力影响更为显著。在张力的 影响下，变形区的金属会在轧制方向产生附加的拉应力，这种拉应力引起三个方向的水平 方向主应力减小，从而降低单位压力。由于中性面偏向出口方向，所以后张力影响大于前 张力影响。张力使得单位压力降低，且后张力影响更大。因此后张力必然导致单位压力减 小得更多，单位压力减小使得油膜的厚度增大，摩擦系数也会随之减小。因此后张力更容 易使轧辊与轧件表面产生打滑。 轧辊粗糙度【9 】【1 0 】 有的时候，打滑的产生会与轧辊自身的粗糙度有关。轧辊越光滑，辊身表面与轧件之 间的摩擦系数就很小。摩擦系数减小就容易使轧件与轧辊发生打滑。 轧辊粗糙度增大能够增大摩擦，抑制自激振动的产生。增大轧辊表面粗糙度的主要方 法有，在加工轧辊时采用合理的加工方法，如采用车削的办法，不要对轧辊表面进行进一 步的磨削等加工方法。另外，即时换辊也能够保证轧辊表面粗糙度处于合理的状况。 ( 2 ) 间隙对主传动系统的影响【l l 】 研究发现，传动间隙引起的非线性可以加大自激振动的周期，白j 隙的存在对系统动态 性能的影响很大。若主传动系统存在间隙，在进行理论分析时若忽视这个因素，会给计算 带来很大误差。一旦将间隙引入系统模型，就变成非线性问题。间隙使质点所受弹性力变 成分段函数。 ( 3 ) 润滑和摩擦对主传动系统的影响 武汉科技大学硕士学位论文第5页 对润滑油而言，润滑油是通过粘度来影响油膜厚度变化的，如果润滑油的粘度增大， 从吸附性角度分析，粘度越高，润滑油越容易吸附在轧辊和轧件的表面，致使润滑油的厚 度也会相应地增大【4 】。润滑油厚度增大使得摩擦系数减小，因而引起打滑地发生。润滑油 的浓度和温度也会对油膜的性能产生影响，浓度提高、温度降低都会导致润滑油粘度的增 大，减小摩擦系数【1 2 】【1 3 】【1 4 】【1 5 】。 摩擦力矩非线性是决定自激振动的主要因素。轧机在运转时不可避免会存在阻尼， 辊间的阻尼状态随摩擦状态的变化而变化。对轧辊来说，主要存在干摩擦、液体摩擦和混 合摩擦。在实际过程中出现最多的是混合摩擦，也是最为复杂的一类摩擦【4 】。 研究表明，轧辊与板带材之间的运动一般为粘滑运动。从黏着开始，摩擦力的初始量 值为r ，随着黏着时间延长，摩擦力也逐渐增大，趋向于只【1 6 】。 黏着一经破坏，在干摩擦情况下，摩擦力的量值迅速回到r ，并随着相对滑动的增大 而减d d l 6 。 f 图1 2 黏着阶段摩擦力变化示意图 在实际情况下，辊缝间干摩擦出现的几率是很小的，对于其他情况的摩擦，诸如，边 界润滑，混合摩擦和动压润滑摩擦等情况下，摩擦因数的变化是完全不同的，因此在考虑 实际问题的时候，应该考虑得更为完备一些，将这些情况的摩擦因素进行分析，定性分析 d 图1 3 干摩擦阶段摩擦力变化示意图 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 d v lv 2 匕 图1 4 摩擦因素随运动速度，变化的曲线 如图1 4 所不。 在1 区域，辊缝间是处于于摩擦状态，是一种非线性阻尼；当速度h ， ，。时，摩擦因素随速度增大而 增大，发生自激振动的可能性比较小，整个过程处于完全润滑状态【4 】。 当乳化液的浓度低于某个值的时候，该值设为蝴，它对油膜厚度和摩擦因数的影响 非常敏感，有轻微的变化就会显著影响油膜厚度和摩擦因数。在其它情况下，即浓度高于 或等于蝴，其他因素不改变时，乳化液浓度摩擦因素的变化量以及油膜厚度影响比较小。 所以，应该特别注意使用浓度小于a 的乳化液，作为一种调控手段【8 1 。 另外对润滑剂温度的调节也是一种调控措施，温度越高的话，粘度就越低，摩擦系数 就越小，越容易引起自激振动的产生。控制润滑剂的温度，对润滑剂进行冷却是必要的。 同时，还应该注意改进乳化液的喷涂方法【8 】，因为吸附于轧辊表面及轧件表面的油量 不仅受乳化液性能的影响，还受喷涂条件的影响。实验表明：两轧辊接触时润滑层厚度比 变形区润滑层厚度要大得多，即使在小压下率的情况下，二者的比值也达到2 3 。因此， 对于四辊或四辊以上的轧机来说，工作辊和支承辊接触区对润滑剂的通过能力高，因此， 推荐在四辊或多辊轧机上采用从轧件出口侧往支承辊喷涂工艺润滑剂的方法。 1 3 非线性振动系统解析方法【1 9 】【2 0 】 1 3 1 谐波平衡法 谐波平衡法的基本思想是将振动系统的激励和方程都展开成傅里叶级数。从物理意义 上来说，为保证系统作用力和惯性力的各阶谐波分量相互平衡，必须使方程两端的同阶谐 波系数相等，从而等到一系列包含未知数的代数方程，以确定待定的傅里叶级数系数。 对般的非线性系统的振动 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 5 + f ( x ，j ) = f ( t ) ( 1 2 ) 设，( f ) 为偶函数，且不含常数分量。将f ( f ) 展开成周期为丁的傅里叶级数： 其中 f ( f ) = 丘c o s ( h o o t ) n = l 以= ；f ：二，( d c o s ( ”c o t ) d r ( 刀= l 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 则方程( 1 2 ) 的解也可以展开成傅里叶级数，频率不变，如式( 1 4 ) 三 x ( t ) = 厶+ c o s ( h o o t ) + 或s i n ( n t o t ) 】 ( 1 5 ) n = l 函数f ( x ，i ) 中包含非线性恢复力和阻尼力，通常是含有x 和文的多项式。代入式( 1 5 ) 后总能转换为各阶谐波的线性式。令方程左右两边的各阶谐波系数相等，可以得到包含已 知和未知系数的方程组。当级数收敛时，谐波频率越高，振幅越小，因此在实际计算的时 候，可以近似地用有限项来取代无穷级数。 1 3 2 摄动法( 小参数法) 摄动法是泊松在研究单摆振动时提出的，将非线性系统的解按小参数s 的幂级数展开 的近似计算方法。带小参数的动力学方程描述的单自由度非自治系统为： j + 2 x = f o ) + 矿( z ，戈) ( 1 6 ) 阻尼项非常微弱，被并入到矿( 石，神中。而当s = 0 时，就变为线性方程，即为式( 1 6 ) 的 派生系统。将式( 1 5 ) 的解展开为s 的幂级数： x ( t ，s ) = x o o ) + 反l ( t ) + 9 2 x 2 ( f ) + ( 1 7 ) 再将式( 1 7 ) 代入到原式( 1 6 ) 中，将f ( x ，j ) 看作x 和j 的解析函数，然后展开为泰勒 级数。得到 矗+ 反i + s 2 戈2 + + 国0 2 ( + 岛l + 占2 x 2 + ) ：占 厂( h ，岛) + 掣( 翻，- 1 - e 2 x 2 + ) + 掣( 西。+ g z j ：+ ) + + 0 出 刍等( 积1 - f s 2 x 2 - ) 2 + 丢掣( 掰。+ 占2 屯+ ) ( ( 瓯+ 占2 也+ ) 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 + 壶学( 反。+ 9 2 文：+ ) 2 + 】+ f o ) ( 1 8 ) 若要求此方程对任意占都成立，则上式两边s 的同次幂的系数相等。由此导出各阶近 似解的递推线性微分方程。 + 国0 2 x o = ，( f ) 5 i + 缈0 2 x l = f ( x o ，) j ：+ 国。2 x ：= z 。望 生笔 塾! + x l 0 f 丁( x o , j o ) ( 1 9 a ) ( 1 9 b ) ( 1 9 c ) 将上一式的派生系统的解代入到下一式中，从而求出各阶系统的解。这一类方法主要 是解决一些弱非线性系统，按小参数占的幂级数展开。最早提出这种基本思想的是泊松， 后来庞加莱证明了此方法的合理性，指出当占足够小的时候，在一定情况下系统也有相近 的周期解。在实际运用小参数法的时候，只需要取前几项即可，略去高阶项对精确度影响 较小。 1 3 3 林兹泰德一庞加莱法 林兹泰德庞加莱法实际上是对摄动法的一种改进。该方法的基本思想是认为非线性 系统的固有频率c o 不等于派生系统的固有频率，而应该是关于小参数占的未知函数。 在将基本解展开为占的幂级数的同时，也应该将c o 展开成占的幂级数，幂级数的待定系统 根据周期运动的要求而定。 以达芬( d a f f i n g ) 系统为例，动力学方程为 5 + c 0 0 2 + 黜3 ) = 0 ( 1 1 0 ) 令其初始条件为x ( o ) = a ，支( o ) = 0 。将原系统的解展开为占的幂级数，如式( 1 7 ) 所示。 同时将原系统的自由振动频率c o 也展开成s 的幂级数 c o = 国o + 蜀l + 占2 c 0 2 + ( 1 1 1 ) 或者将c 0 2 展开成s 的幂级数 c 0 2 = c o o ( 1 + c t r l + 占2 口2 + ) ( 1 1 2 ) 引入新的自变量 f ，= c o t ，然后对原式两边同时对缈进行求导，令s 的同次幂的系数相 等，得到以下近似线性方程组： + = 0 ( 1 1 3 a ) 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 戈l + x l = 一( 仃l 叠o + x 0 3 ) 戈2 + 屯= 一( 仃2 + 盯l 葺+ 3 x 0 2 x 1 ) 对于带有微弱阻尼的达芬( d a f f i n g ) 系统，也可以采用这种方法进行求解。 1 3 4 平均法 ( 1 1 3 b ) ( 1 1 3 c ) 以上的几种方法对于弱非线性系统可以求出满足任意精度要求的周期解。但在具体分 析时，占的次数越高，计算就越繁琐。若果说s 仅限于一次项，则可以采用更为有效的平 均法进行求解。 以动力学方程方程 量+ x = 矿( 工，j ) ( 1 1 4 ) 为例，当s = 0 时，系统为线性保守系统 叠+ 功。石= 0 ( 1 1 5 ) 令其派生系统的解为 x = 口c o s ( 卜秒) ( 1 1 6 ) 对该式两边关于时间t 求微分 j = _ 口s i n ( o o t 一功 ( 1 1 7 ) 当占0 时，原系统的解不一定是周期函数。但如果占充分小的话，观察到的结果与 周期运动十分接近，只是振幅和初相角会随着时间t 的变化而缓慢变化。与占= 0 不同的是， 在f 0 的情况下，a 和口不再是常数，是关于时间t 的函数。 将式( 1 1 6 ) 代入式( 1 1 7 ) 得 西c o s 沙+ a o s i n 少= 0 ( 1 1 8 ) 式中y = 国o t - 8 。将式( 1 1 6 ) 和式( 1 1 7 ) 代入式( 1 1 5 ) 中，得到 一s i n + 口矽c o s 缈= | - 厂( x ，戈) ( 1 1 9 ) 由此可以导出a 和秒的微分方程 西= 一厂( 口c o s 缈，一口缈os i n 杪) s i n y 纨 矽= 厂( 口c o s 少，一口国os i n y ) c o s y a ( 1 2 0 ) 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 当参数g 足够小的时候，a 和目是在某个常数左右缓慢变化。平均法的物理意义是，在前 一个周期内认为该系统是简谐振动，但在后一个周期内则认为幅值和相位角会随着时间发 生微小的改变。 1 3 5 多尺度法 多尺度法是时间尺度划分得更细一些，从而提高计算精度。它的优点在于，多尺度发 不仅能计算周期振动，还能够计算耗散系统的衰减振动，对于稳态响应和非稳态响应也都 能计算。 对于自由振动，首先将振动频率缈展开成s 的幂级数， 缈= 缈o + 缈l 占+ 缈2 s 2 + ( 1 2 1 ) 然后将上式代入自由振动方程的解中，得到 工= a c o s ( 0 ) o f + 缈i 甜+ 2 占2 f + ) ( 1 2 2 ) 上式的表达式中包含有不同的时间尺度t ，口，9 2 t 等时间历程。不同时间尺度描述了变 化的不同节奏，阶数越低，那么变化就越慢。阶数越高，变化得就越快。 引入表示不同尺度的时间变量 l = g ”f 仍= 0 ，l ，2 ，) ( 1 2 3 ) 那么非线性振动系统可以表示为不同尺度的时间变量函数。 双f ，占) = 占”x , ( t o ，五，正，l ) ( 1 2 4 ) n = 0 m 为占的最高幂次，它的耿值根据所需要的精度来决定。将式( 1 2 4 ) 代入原方程中，比 较同次幂的系数，就可以得到各阶近似的线性偏微分方程组。在依次求解方程组的过程中， 利用消除久期项的附加条件和初始条件就可以确定各项待定系数，得到确切表达式。 1 3 6 渐进法 上面介绍的多尺度法是通过将时间的尺度划分得更为精细一些，来提高近似解的精 度。另外还有一种方法可以提高近似解的精度，这种方法就是渐进法。 平均法的优点在于可以避免繁琐的中间运算，能够快速而直接地得到最终的近似解。 但缺点是平均法的精度仅限于与占同阶的一次近似，因而只能进行一些定性分析，对于工 程实际中的问题不能进行高精度的定量计算；而摄动法可以满足任意精度要求。平均法和 摄动法之间互有优劣，渐进法正是将平均法和摄动法结合的一种新的方法。最早提出这种 方法的是雷洛夫和包戈留包夫。后人对这种方法进行过严密的数学论证并加以推广。 还是以自治的弱非线性系统为例，动力学方程表示为 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 戈+ ( _ 0 0 2 x = 矿( x ，j ) ( 1 2 5 ) 若s = 0 ，系统为简谐振动，派生的线性系统的解可以写为 x = a c o s 沙 ( 1 2 6 ) 若占0 但足够小，方程( 1 2 5 ) 右边的摄动项会使得原来系统的解中还含有微小的高次 谐波项，并且它们的振幅和频率都会随着小参数的变化而缓慢变化。所以对于弱非线性 系统而言，它们的解可以构造成 工= a c o s g + 反l ( 4 ，g ) + e 2 x 2 ( 口，l 吵) + ( 1 2 7 ) 式中的而似，y ) ，工：( 口，沙) ，均为关于y 的以2 7 r 为周期的周期函数，a 和y 均为与时 间相关的慢变函数。可以由以下微分方程确定 h = e a i ( 口) + s 2 彳2 ( 口) + ( 1 2 8 ) 【沙= + 谚l ( 口) + 8 2 8 2 ( 口) + 该方程的一次近似解为平均化方程。而渐进法是在平均法的基础上加上了占的高次项。 将式( 1 2 7 ) 关于时间f 求微分，整理得到 扣绯o s 缈竹鲁竹2 鲁+ ) + 沙( 吲s i n y 竹嘉托2 嘉) ( 1 2 ” 0 n0 0 0 wo w 再进行一次微分，得 扣a ( c o s g + 拿竹2 鲁+ ) + 炽- a s i n g + cd ax10a托2 嘉扣) + o q o vo w 以g 鲁化叭- s i n g + s c 3 2 x 岳+ + 以一s m 等等+ ) ( 1 3 。) 将式( 1 2 8 ) 也对时间f 进行求导，得到 = 9 2 4 掣+ ，矽：s 2 4 挚+ ( 1 3 1 ) 1 如 1 如 将式( 1 2 8 ) 和( 1 3 1 ) 代入到方程( 1 2 9 ) 中，可以得到 j ：= - a ( o os i n g z + z ( a 。c o s 少一a b 。s i n + 晏) + e 2 ( 彳2c 0 s y a b 2s i n g + a l 竽+ 蜀雯+ 纨篓) + ( 1 3 2 ) o a o vo 将式( 1 2 8 ) 和式( 1 3 1 ) 代入到方稗( 1 3 0 ) 中可以得到 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 叠一蚴2 c 叫坝勘。印i n y 地础。c 。s 沙讽2 等) + 占z ( 4 望当一相。2 2 a c o o 召：) c o s g - ( 训。皇当+ 2 国。彳：+ 2 彳。b 。) s i n g + a aa a 2 叫。岛砌 等耐等卜” 由式( 1 2 7 ) 和式( 1 3 3 ) 的表达式可以得到 戈+ 缈。2 x = g c 0 0 2 ( a t 9 y 2 x _ _ _ _ l 2 + _ ) 一2 4s i n 9 - 2 c o o 媚c o s y 】+ 占2 c 0 0 2 ( 等) + ( 4i d a i 一碣2 _ 2 c o o 删一 ( 2 c o o a 2 + 2 鹕b 1 ) s i n 9 + 2 c o o a l a a拿o a o i p 勘。曰。】+ l 一 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 将方程( 1 2 5 ) 右边在x 0 = a c o s g ，矗= - a c o os i n g 处展开为泰勒级数，根据式( 1 2 7 ) 和式( 1 3 2 ) 整理得到 矿( x ，曲= 矿( ，毛) + 占2 【x l 掣+ ( a ic o s 9 - a b is i n g + c o o 要) o xo l i ， ( 1 3 5 ) 令式( 1 3 4 ) 与式( 1 3 5 ) 相等，并且令占的同次幂系数也相等，就可以得到下面的渐进 方程组： 其中 订( 等训= f o ( 州) + 2 c o o a ，s i n g + 2 c o o 碣c o s y 订( 等蝇m ( 口，y ) + 2 c o o a 2 s i n g + 2 c o o 础：叫 兀( 口，沙) = f ( x o ，x o ) ( 1 3 6 a ) ( 1 3 6 b ) ( 1 3 7 a ) 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 胞沙) ：而a f ( x - o , 戈o ) + ( 彳。c 。s 少一媚s i n y + t o o 要) 业掣+ 瓯 o u ， a x ( a b i z a i 华) c 。s 少+ ( 2 a ，b 。+ 矾华) s i n 少 a aa a 2 0 ) o a l 导一2 ( o o b i 等 ( 1 3 7 b ) o a o 5 ud 缈 非线性多自由度系统很难得到精确解，在计算这种复杂系统的时候多采用数值的方法 或近似解析方法，或者是数值和解析二者相结合的方法。 对于非线性多自由度系统，可以利用数值方法求解该微分方程组的初值。若求解周期 解，还需要讨论边值，可以采用打靶法、差分和变分等方法。对于连续系统，数值方法可 以分为两大类：有限差分法，有限元法。在时间和空间上都可以采用有限差分法，或者是 在时间上采用有限差分法而在空间上采用有限元法，又或者在时间和空间上都采用有限元 法。 对于弱的非线性系统来说，上面介绍的谐波平衡法，平均法，多尺度法以及渐进法等 解析方法都可以使用。若是强的非线性系统，必须先求出与之相近的但又比较精确的非线 性系统的解，然后对该解进行摄动，通常情况下，导出的微分方程和代数方程组是无法求 出精确解的，还是需要利用数值方法。 1 4 主要研究内容 本课题研究的对象来自于武钢二热轧r l 粗轧机主传动系统自激振动研究这一项目， 综合考虑各种因素对轧机自激振动的影响并进行定量分析。研究的主要内容如下： ( 1 ) 建立主传动系统的动力学模型 根据系统实际结构进行抽象简化，建立该机主传动系统的动力学模型。并据此计算出 该系统的各阶固有频率和主振型。 ( 2 ) 对主传动系统的数学模型进行求解 在实际生产中，系统可能处于混合摩擦和动压润滑摩擦的不同阶段，在这种情况下， 系统的摩擦因数变化非常复杂。而对自激振动的分析，主要是分析辊缝问的润滑摩擦情况。 在本课题的数学模型中，对摩擦因数的确定是采用自适应的方法，将诸多因素一并归 纳在自适应公式中，并根据实际情况来进行修正。然后求解非线性系统，得到系统的响应。 ( 3 ) 对数学模型进行仿真分析 运用某些软件对求解出的数学模型进行仿