（概率论与数理统计专业论文）高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较.pdf

0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 摘要 随机序及其相关不等式的研究近年来得到越来越多的重视，这是由于它们在 诸多理论和实际研究领域有着广泛的应用。在统计学、可靠性、排队论以及精算 数学等研究领域，随机序都是不可或缺的重要工具。而且，在风险管理等经济学 领域，随机序也为决策者提供了一种有效而且可行的决策工具。 在随机序及其相关不等式的研究结果中，关于随机变量二次型的结果较少， 相关的可见文献【7 】和【2 2 】。这主要和随机变量二次型的分布函数很少有显式，且 相关的工具也不足有很大的关系。 文献 2 2 】中，n k b a k i r o v 首次将控制序概念引入到高斯向量二次型分布的不 等式研究，并且证明了下述结论：令墨，置，并。为相互独立的标准正态变量， a = ( ，屯，九) 和p = ( 鸬，肫，心) 为两个正的实向量。若a - 肛，那么对于任 意z 2 ，有p ( 罗冬砰s 并) s p ( 罗雎霹s z ) 。近来，g j s z 6 k e l y 和n k b a k i r o v 舒符 针对这个问题做了进一步的讨论【，j 。 针对高斯向量二次型问题，本文考虑了系数在强p 。优序下p ( 了 x ? 墨x ) 与 爿 p ( 罗肫霹s z ) 的不等式关系，并得到了相应的结果( 定理1 1 ) 作为 符 n k b a k i r o v l 9 9 5 年结果( 即文献 2 2 】中的主要结果) 的补充。另外，本文考虑了柯 西向量二次型分布同样的问题，并相应得到的两个不等式( 定理1 2 ) 。文章还进一 步讨论了独立的g a m m a 分布卷积和的情形，并讨论了高斯向量和柯西向量二次 型分布的分布函数的极值问题。 关键词：随机序；二次型；高斯向量；柯西向量 中图分类号：0 2 1 1 3 塑! ! ! ! 塑! 堂垄鱼 壹堑塑堡塑型堕塑量三姿型坌塑竺堕! ! 生竺 a b s t r a c t s t o c h a s t i co r d e ra n dr e l e v a n ti n e q u a l i t ya r er e c e i v i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s r e c e n t l yf o rt h e i rw i d ea p p l i c a t i o ni nt h e o r ya n dp r a c t i c a lr e s e a r c h s t o c h a s t i co r d e r i s a ni n d i s p e n s a b l et o o li nt h ea r e a sf i e l do fs t a t i s t i c s ，r e l i a b i l i t yt h e o r y , q u e u i n gt h e o r y ， i n s u r a n c em a t h e m a t i c s ，e t c i na d d i t i o n ，i ne c o n o m i c s ，s t o c h a s t i co r d e r sa r ev a l u a b l et o o l si nt h et h e o r yo f i n d i v i d u a ld e c i s i o n su n d e rr i s k ，w h e r ead e c i s i o nm a k e rh a st oc o m p a r ea c t i o n s l e a d i n gt od i f f e r e n tu n c e r t a i np a y m e n t s t h e r ea r ef e wr e s u l t sa b o u tq u a d r a t i cf o r m so fr a n d o mv a r i a b l e si nt h er e s e a r c h o fs t o c h a s t i co r d e ra n dr e l e v a n ti n e q u a l i t y 7 1 【2 2 1 ，b e c a u s ei t sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni s h a r dt og e ta n dt h er e l e v a n tt o o li sd e f i c i e n t i nt h ep a p e r 2 2 ，n k b a r k i r o vi n t r o d u c e dm a j o r i z a t i o ni nt h er e s e a r c ho f q u a d r a t i cf o r mo fr a n d o mv a r i a b l e sa n dg o tt h er e s u l ta sf o l l o w i n g ：i f x l ，x ”，x 。b e i n d e p e n d e n t n o r m a lr a n d o mv a r i a b l e s，t w o p o s i t i v e v e c t o r s a - ， t h e n p ( 善 霹主x ) s p ( 善肫x ? s x ) r e c e n t l y ，g js z 6 k e l ya n dnkb a l 【i r o vg o t m o r ei n g r e s sd i s c u s s i o no nt h i sp r o b l e mi np a p e r 7 i n t h i s p a p e r ，i t d i s c u s s e dt h ei n e q u a l i t yb e t w e e n p ( 霹s 工) a n d p ( “x ? s x ) u n d e rp 。l a r g e ，a n d g o tt h er e s u ha st h e m 哪! 1 ，w l l i c hi s t h e c o m p l e m e n t a r i t i e sa st h em a i nr e s u l to fp a p e r 2 2 o t h e r w i s e ，t h ep a p e ra l s od i s c u s s e d t h es a m eq u e s t i o no fc a u c h yr a n d o mv a r i a b l e sa n dg o tt h er e s u l ta st h e o r e m1 2 a t t h ee n do ft h ep a p e r ，i td i s c u s s e dt h ee x t r e m u mo ft h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no f q u a d r a t i cf o r m so fg a u s s i a nv e c t o r sa n dc a u c h y v e c t o r s k e yw o r d s ：s t o c h a s t i co r d e r ；q u a d r a t i cf o r m s ；g a u s s i a nv e c t o r s ；c a u c h yv e c t o r s t h ec h i n e s el i b r a r yi n d e xc o d e ：0 2 1 1 3 2 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 第一章绪论 1 1 随枫彦的定义纹性质 首先给出偏序的定义： 给定集合s 上的任意两个元素之问的关系- 3 _ 如果满足下述条件，则称为偏序 关系： 1 自反性( r e f l e x i v e ) s ，工墨x ； 2 反对称性( a n t i s y m m e t r i c ) 妻口果x 兰y 且y 三z ，贝0 x = y ； 3 传递性( t r a n s i t i v e ) 如果x 墨y ，y 三z ，则x 墨z 。 随机序是一种特殊的偏序关系( p a r t i a lo r d e r ) ，所以它可以符合偏序的定义。 随机排序讨论的是随机变更之间的一种序关系，和随机序概念有关的最早的研究 工作始于h a r d y 。l i t t l e w o o d 与p o l y a ：j ：1 9 3 4 年发表的关于不等式的名著。他们在两 个非负向量之间引入优势关系，即一阶停止损失序，此后，随机序在排队论、可 靠性、统计学等多种领域中得到了广泛的应用。最近全面介绍随机序及其应用的 当属s h a k e da n ds h a n i k u n a r 【2 4 】以及m n l l e ra n ds t o y a n 1 1 。此外，在风险管理和保险 精算学领域中系统介绍随机序及其应用的应属g o o v a e r t s 与k a a s 等人近期发表的 著作。 下面给出几个本文涉及到的随机序的定义： 假设f ，( f ) 和f ，o ) 分别是随机变量x 和随机变量y 的生存函数，即 f ，( r ) = p ( x ，f ) ， 如果对于所有实数t ，f 。o ) s f f r ( t ) 都成立，则称x 在通常随机序下小于y ，记 作x s 。y 。 s h a k e d 和s h a n t h i k u m a r 在文献【2 4 】中也是采用通常随机序这种称谓。通常随 机序历史比较悠久，m a n n 和w h i n e y ( 1 9 4 7 ) 以及( l e h m a n n l 9 5 5 ) 把它引用到随机问 题的研究中，k a r l i n ( 1 9 6 0 ) 把它引用到存货问题的研究中。在经济领域中，通常 随机序又被称作一级概率优势( f i r s to r d e rs t o c h a s t i cd o m i n a n c e ，简称f s d ) ，记作 墨m 。 假设f x ( t ) 和f y ( t ) 分别是随机变量x 和随机变量y 的分布密度函数，如果对 于所有5t t ，o ) 矗( 5 ) 车，( s ) 矗( f ) 都成立，则称在似然比序意义下x 不大于 y ，记作xs 。y 。 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯两向量二次型分布的随帆比较 随机序目前已知的还有很多种，常见的有一般随机序、似然比序、随机凸序 等等。由于效用函数均要求具有凸凹性，因此凸( 凹1 序在风险管理中用的比较多。 一般随机序是通过比较分布函数而来，它是一种比较直接的随机序，在统计学和 可靠性领域里常常用到它。一般随机序要比单调凸( 凹) 序强，似然比序又比一般 随机强，当然还有比似然比还强的序，这里就不介绍了。 下面介绍几种实值向量之间的偏序关系： 令a = ( ，如，九) 和；( 地，u ：，以) 为两个实向量】2 ：】皂 。】和 p 【，】2 竹2 】苫苫】分别是它们的次序统计量。如果对于所有m - 1 , n 一1 ，不 等式善 f j2 善托。1 都成立，且善l 一善【】，则称a 在控制序( m a j 。r i z a t i o n ) 下大于，记作a _ “。 控制序在随机序问题研究中有着广泛的应用，a 卜意味着在向量的和一定 的情况下，较a 分散，通过下述例子可以看到这个关系： 1 ( 坼，州盟，盟，盟) ； z ( 1 ，o ，o 卜哇，三，o ，o ) j 1 ，；，j 1 ，o ，o ) 卜e ，i 1 ，。 另一种实值向量之间的偏序关系是p 优序伊一l a r g e ) ： 令a 一( ，九，- ，屯) 和；( 肫，肛：，以) 为两个正的实向量， 1 】 ：】 。】 和竹，】2 所：】2 】分别是它们的次序统计量。如果对所有m - 1 , 。n ， 兀】苫兀p i t 都成立，则称a 在p 一优序( p l a r g e r ) 下大于p ，记作 缸；如果 对所有m = k ，h 一1 珥 f 】2 珥竹t 1 都成立，且珥 】2 珥竹矿则兄在强p - 优 序下大于口，记作a 暑。 很显然，控制序与p 优序之间存在下述关系： 如果a = ( ，如，九) 和p = ( 以，心，心) 为两个正的实向量，则有 i na - i n 尊a 墨肛哗a ：， 其中m a zo n ，i n 五，l i l ) ，i n 肛n 衄h ，i n 肛2 ，l n 以) 。 相应地，a 知意味着在向量积一定的情况下，较a 分散，通过下述例子可 以看到这个关系： ( ，t ，九) # ( t ， t 九， 如九) 。 1 2 常兕分布及关f 随机变量二次型分布比较昀一些结果 随机变量的分布包括离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，离散 4 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向照和柯西向量二次型分布的随机比较 型随机变量的分布主要有：两点分布、二项分布、普阿松分布、超几何分布、几 何分布、负二项分布等等；连续型随机变量的分布主要有：均匀分布、正态分布、 卡方分布、t 分布、f 分布、g a m m a 分布、减布尔分布、柯两分布、幂函数分布、 极值分布等等。具体可参见文献 2 8 1 。 由于正态分布的分布函数一般教材都会给出，下面只给出本文要涉及的其他 一些分布的定义： 柯西分布若随机变量x 的分布密度为 c ) 2 面两1胤l l + l 一) _ l ( 1 1 ) 其中a ，0 ，一。c o t0 0 ，一0 0czco o ，则称x 服从位置参数为0 、尺度参数为a 的柯西分布，记作工一c ( o ， ) 。 当0 = 0 ，a 一1 时，( 1 - 1 ) 化为 。0 1 ) 。志“x 删， 通常称它为标准柯西分布。 由于柯西分布的期望值不存在，使得它在分布理论中占有特殊的地位，几乎 在所有的教科书中，柯西分布均作为常用矩( 均值、方差等) 的反例而出现，从 而易使人们误认为它是人为需要杜撰出来的，并没有什么实际意义。实际上，柯 西分布不仅在统计学上有着重要应用，而且在力学、电学、心理学、人类学和计 量学中也有很多重要的应用。 柯西分布的密度曲线很象正态分布曲线，曲线单峰且对称，尺度参数a 越小 曲线越陡，a 越大曲线越平坦，曲线关于x 一0 对称，众数为0 ，通过对密度函 数求二阶微商等于零的办法，可得曲线的两个拐点为0 = 32 a , 。通过比较我们还 会发现标准柯西分布的密度曲线介于n ( o ，1 ) 和n ( o ，2 ) 的密度曲线之间。 如果x c ( o ，a ) ，很容易求得其分布函数为 c ( x ；叫) 一1 a r c t a l l ( 孚) + j 1 , p g z 一般的柯西分布可以由标准柯西分布作一个线性变换来获得： 设x c ( o ，1 ) ，y - a x + 0 ，贝0 y c ( o ，a ) 。 证明：由于 p ( y 工) ；p qs 掣) 塑1 。口；才雨疵 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 2 j 一面乏甄出 所以y c o ，九) 。 口 如果爿c ( o ， ) ，其特征函数是p ) ；e x p i t o h ，详细证明过程见文献 【2 9 9 2 2 6 页。 通过比较分布密度可以发现，标准柯西分布就是自由度为1 的t 分布，园此， 若随机变量墨和x z 为独立的标准正态分布，y 。夕伍：i ，贝, j v - c o , i ) 。 通过特征函数可以证明柯西分布具有再生性，即： 设置，x ：，x n 相互独立， 且x i c ( q ， ) ， iz 1 ，2 ，。 ，则 y 善五c ( 荟岛，善 ) 。 g a m m a 分布族g a m m a 分布族是个比较重要的分布族，在统计学、可靠性理论和 风险理论等诸多领域中都有着广泛的应用，它包含了一些重要的分布，如指数分 布和卡方分布。 如果随机变量z 的概率密度函数f ( x ) 一而1a 。1 e ，x ，0 ，则称z 服从 g a m m a 分布，记为x r ( x ；a ， ) ，这里a ，a 是参数，a 称作为尺度参数，a 为 形状参数，r 是g a m m a i 弱l 数。g a m m a 分布的特征函数是妒p ) 一o - i t a ) ，分布 函数及生存函数可以分别写成 f o ) 2 f 南a v - 1 e “d x = j = 4 南x a - l e - 。d r 及f ) 。l 南x a - l e - x d x a 显然，r “；1 ，a ) 即为参数为a 的指数分布，而且，当吐为正整数是，g a m m a 分布可以由独立同尺度参数的指数随机变量的卷积得到。如果随机变量l ，服从标 准正态分布，贝t j a y 2 显然服从r 0 ；吉，壬- ) 。因此b a r l 【i n o v l 9 9 5 年的结果也可以写为： 令x ，x ：，x 。为相互独立的随机变量，且置r 0 ； ，去) ，a ；( 凡，如，九) 和 a ( 肫，心，以) 为两个正的实向量。若a - 岸，那么对于任意z 2 ，有 p ( 善x ，s x ) s p ( 善x t 主工) 。本文在此基础上将尺度参数推广到一般情形，讨论 相互独立的随机变量墨的卷积，其中置f ( x ；a ，劫。 关于随机变量二次型分布比较的一些结果 在推导某一类不等式时，控制序是有用和得力的工具。在文献【2 2 】中， n k b a k i r o v 首次将此概念引入到高斯向量二次型分布的不等式研究，并目证明 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 了f 述结论： 令x l ，x ：，x 。为相互独立的标准正态变量， a = ( ，屯，九) 和 p ；( “，肛：，以) 为两个正的实向量。若 - 肛，那么对于任意j 2 ，有 e ( 善4 x 7s 工) s p ( z u , x 7s 工) 。 ( 1 t 1 ) 而当z c2 时存在反例使得( 1 1 ) 式不成立。 反例：取n z 4 ， = 如= 瓦1 ， = 九= 百1 ，且满足土2 p + 刍2 1 ，由于 去霹r ；丢，p ) ，石1 置；一r i 1 ，p ) 则由g 锄m a 分布的再生性可以求得 z ? + 如工；r 寺+ 寺，p ) ，即 砰+ 屯x ；p e 一，同样可以求得 x ；+ 九盖：q e 一，即为两个参数分别为p 和口的指数分布。对它们继续再做 卷积则有 x t + t 丑；+ 丑；+ 九x j j 生0 一一e 一一) ， 那么 p 砰+ 九咖 珞九霹“m 一嚣( 一万1 e 叫) a 令 i 九1 0 9 ，九= 九；0 1 ， = 九= 0 9 ；h = ：一0 6 ，“i 2 ；0 4 ，取 工= 0 5 ，贝 p ( 霹+ 九x ；+ 霹+ 九盖：s 善 ；0 3 5 4 4 ； p _ “1 x t + “2 x ：+ 1 3 x ；+ # 4 x ：薯x - o 2 6 9 2 。 则( 1 1 ) 式显然不成立。 近来，g j s z 6 k e l v 和n k b a l ( i r o v 针对这个问题做了进一步的讨斟7 】，得 到了更一般的结果，并讨论了高斯向量二次型的极值问题，同时指出t ( 1 1 ) 式在 工c 2 时不成立的原因在于：在区间1 c 工c 2 ，分布函数p 似霹+ 九x ；5 工 不是 ( os s 去) 的单调函数，详细说明请参见文献【2 】。 作为文献【2 5 】的主要结论的推论，下述结论给出了正态变量二次型的分布函 数在另一个参数空间下的不等式： 令置，丘，瓦为相互独立的标准正态变量，a 一( 1 a , ，1 如，i z ) 和 p = ( 1 地，1 肛：，1 以) 分别为两个正的实向量。如果a 卜口，则对于任意x ) 0 ， 下述不等式恒成立： p ( 善 霹s 工) s p ( 善h 霹s x ) 。 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 1 3 本文主要内容镝介 本文的第二章主要将b a k i r o v l 9 9 5 年的结果推广到a 墨“的情形，得到了定理 1 2 ，并对服从柯西分布的随机向量的二次型，分别在a - 和 ；情况下讨论 了其随机序，得到了定理1 1 。第三章对高斯向量的二次型的结果做了进一步的 推广，并分别在 = 1 ， o ，i = 1 2 ，l 和丌 = 1 ， ，o ( f = 1 ，2 ，n ) 情况下 t = i材 讨论了高斯向量和柯西向量二次型分布的分布函数的极值问题。文章附录给出了 一些文中要用到的表及一维随机变量的随机序结果。 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 第二章高斯向量和柯西向量二次型分布的不等式 本章主要证明两个不等式：一个不等式是由b a k i r o v l 9 9 5 年的结论推广到 a 的情形得到的定理1 2 ：另一个不等式是对服从柯西分布的随机向量的二次 型讨论了同样的问题得到的定理1 。1 。 2 1 两个不等式 关于柯西向量二次型的随机序有以下结果： 定理1 1 令墨，j ：，z 。为相互独立，同分布的柯西随机变量，其共同分布的概 率密度函数，0 ) = l c 一2 ( x _ v ) 2 ，其中c ，0 ，一o 。c ，c 。a ；( ，九，九) 和 肛= ( 地，i z 2 ，以) 为两个正的实向量a ( i ) 若a 卜i z ，贝0 p ( ( 墨一，) 2s x ) 苫p ( 肫( 置一，) 2s 茗) ； ( 2 1 ) ( i i ) 若a # 肛，则 p ( 隅一，) 2s x ) p ( 肫( x i 一，) 2s x ) 。 ( 2 2 ) 关于高斯向量二次型的随机序，b a k i r o v l 9 9 5 年的结果是在 - 的条件下得 到的，由于p 优序和控制序之间存在着密切的关系，所以比较自然地想到把 b a k i r o v l 9 9 5 年的结果推广到a # 的情形。虽然p 优序和控制序之间可以通过 函数进行转换，但高斯向量二次型的随机序在这两个情形下结果的证明却截然不 同，这一点可以从第二节的证明中清楚地看出。下面就先给出高斯向量二次型的 随机序在p 优序下的结果： 定理1 2 令x ，x ：，x 为相互独立的标准正态变量，a = ( ，九，丸) 和 一= ( h ，肛：，。以) 为两个正的实向量。若 兰肛，则 p ( 盖? s 工) 妄p ( 暑雎砰s 石) 一 ( 2 3 ) 证明需要下列引理： 引理2 1 1 1 0 】若a - 口，则存在有限个实向量( 如r 个) a 1 , a 2 ， 7 ，使得 a a 1 - _ a = ，并且和刀“之间至多有两个分量不同，其中 i = 1 ，2 ，r 一1 。 由绪论可知，和控制序有着密切关系的偏序是p 一优序，因此自然可以将引理 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量一次型分布的随机比较 2 1 进行如f 推广： 引理2 2 若a 王，则存在有限个向量( 如r 个) a l , a 2 ，使得 a ：a1 # 二a7 = 并且和“之间最多有两个分量不同，其中 i 一1 ，2 ，r 一1 。 证明：令 + = i n ，? = i n - t i ，i = 1 2 ，玎r 则r - + 。由引理1 即得。 接着给出s c h u r - 凹函数的定义。 令九和口为两个，l 维的实向量，如果 _ p ，函数妒( x ) ：r “一r 都有 ( a ) e 庐似) ，那么则称庐( x ) 为s c h u r 凹函数。下述引理给出t s c h u r 凹函数判定 的充要条件。 引理2 3 f 2 】若多元实值函数妒暇) 置换、对称且可导，则其为s c h u r _ 凹函数的充 要条能对脯不等式呱- x j x 警一警脚都魁 随机变量之间的随机序具有下述的性质： 引理2 4 如果xs 。y ，且z 与x 和y 独立，则x + zs 。y + z 。 证明：注意到 f 。；l ld f x ( x 1 ) d f z ( x z ) j l + z 2 f 2 l ? x b x 2 ) d e a x 0 芑f 。s o - - x , 2 ) d 1 7 z ( x z 。ssd f y 旺j 1 i d f z b 墨+ ：o ) ， 所以，引理显然成立。 口 从引理2 4 的证明可以得到独立随机变量之间的随机序的其它一些性质： ( j ) 如果xs 。y ，且z 与x 和y 独立，则j z 5 。y z ； ( i i ) 如果xs 。y ，且非负随机变量z 与并和y 独立，则x zs 。y z ； ( i i i ) 如果ze 。y ，且正随机变量z 与一和y 独立，则x zs 。y z 。 下面开始证明定理1 1 和定理1 2 ，为了证明的简化，不妨假定 如芑芑屯，“心苫心。 定理1 1 的证明 根据柯西分布的线性变换性质，只需证明v ；0 这种情形，分n ；2 和n ，2 两 步证明。 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 商斯向量和柯西向量二次犁分布的随机比较 步骤1 ；当n = 2 时，结沦成立； 首先证明( i ) ，即对所有 芑肌， + 九= z 。+ p ：，恒有 工? + t x ；毛一x ? + 口：工；， 等价于 了 - 石? + _ 争_ 丑；s 。卫矸+ 盟x ；。 + 屯 1 + t 。 “l + z 2 1 肛1 + 2 2 令a = 表，z = 焘，则( 2 4 ) 式变为 4 x ? + ( 1 一a ) x ；s 。u x ? + ( 1 一) x ； 其中1 a 苫苫i 1 。 由引理2 3 ，只需证明：对所有a 【 ，1 ) ，z ( 一0 0 ，m ) ， 盍相叫矗( x ) oa 1 矸+ ( 1 1 ) 雎、7 。 都成立，其中砰+ ( 1 叫砖o ) 是a 盖卜( 1 一a ) j ；的分布函数a 注意到 则 f + o - a ) x ；吣一s f ( x , ) f ( x 2 ) d x l a x , - 和叫z ；护) 一珏，( 压) ，( s i no ) d , d o ( 2 4 ) ( 2 5 ) = 三一( 1 一玎誓f 等矿巧忑而苦再i 丽删一 ；圭等一，一鬈4 毒捌一 弓争沁盯r4 南捌口 2 2 ，5 f 瓦茹丽咖 + c 2 琊1 叫一瓦彘杀丽咖 ：- - 2a r c t a n 4 2 1 0 一a 、一 耳 + 三a r c t a n 【a 一。( 1 一 ) 万 = 扣n 膝n 压季h ， 岳 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 击郴圳，；o ) z o 警1 。案丽( 1 - 1 + 篇 ) 21 + 驾竽a 2 一a 辱廿a ，乓焉 一兰， 1 一aa 最后一个不等式在石0 ，a 【 ，1 ) 时显然成立，而xjo 时，( 2 5 ) 式显然成立。 其次证明( j i ) ，即对于所有 一， 九= 盹心，恒有 工? + z ；。一x ? + ：x ；， 等价于 志砰+ 焘玲荫丽1 2 令a 2 击，肛- 焘， 其中a 苫“芑1 。 则( 2 3 ) 式变为 九x ：+ ；x ； l 由引理2 3 ，只需证明：对所有a 1 ，x ( 一鸭o o ) 击州o ) s o 都成立。注意到 渺乓2 【a r d 孤气芋+ a r c t a n 扩等】_ 1删蜘i 【a r d 孤j 等 、等】_ 1 则 击申 ) s oa a “+ ；、7 一萼c 却s 舞c 嘉+ z 专 营( a a 3 扛+ ( 1 一a 4 ) c 2s 0 ， 最后一个不等式在工芑0 ， z 1 时显然成立，而xe 0 时，( 2 7 ) 式显然成立。 步骤2 ：当n ，2 时，结沦成立。 1 2 ( 2 6 ) ( 2 7 ) e 1 一p +x l ! ! 垫! ! 坚! 堂堂竺 堕塑旦兰塑塑旦堕些兰兰型兰坌塑塑堕型! 堕 由引理2 1 和引理2 2 ，只考虑a 和肛之间至多有两个分量不同，不妨设 九= 地，九。以，即要证明： ( i ) 若a _ 口，则 x ：+ 九x ；+ 耋 x ? 毛肛z ：+ 肛：z ；+ 荟 x ? ； ( i i ) 若a ；肛，则 霹+ t x ：+ 毫 x 怎舻2 + t 2 x ；+ 荟 x ? 口 该结论可以从步骤1 的结论和引理2 4 可以得出。 定理1 2 的证明 定理2 的证明也分 = 2 和n ) 2 两步进行。 第一步：证明，l 一2 的情形； 只需证明：对所有 苫地， t ；h 肛：，恒有 x ? + 九x ；。卢。x ? + ：x ； 等价于 焘矸+ 志净2 “赢霹+ 志垮2 令a 一舞毒，肛一孟卺，则( 2 5 ) 式变为 a x ? + i l x ：2z 霹+ 丢昂2 其中a 苫口2 1 。即要证明对所有a 肛1 ，z ( 一。，o 。) ， + 埘o ) 。 + 翘( z ) 2 9 都成立。 注意到 f z x ? + f x ；m 五i ：嘎e 掣蚺 孝口 l 砰中；= 瓦1 ，h e 一华峨出z ， ”+ 言1 ：“ 令d 1 = “，z z ) ：a , q + i l z ：2s x ) ，d 25 “，x ：) ：衍+ 吉x ：2s x ) ，d t d l n d ： 记积分区域d 1 ，d 2 ，d 的面积分别为s l , s ：，s ，容易得出s = s ：i j g x 。椭圆 a + i 1 。：2 = x ( 图1 中的e l l i p s e l ) 和椭圆砰+ 古= z ( 图1 中的e l l i p s e 2 ) 有4 个交 点，假设其中一个交点为( ，b ) ，见图1 。 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼高斯向量和柯两向量二次型分布的随机比较 j 。 、p s e 1 簇 熟( a ，b ) 糕狲 粪i ! 豳 薹塑鞫 l 蒸熏蠢溺l一 噍醚 鬟i ) e l l i p s e 2 镬震誉 翱 融蒸蓬 飞慧攀 隧 图1 ：示意图 f i g 1i l l u s t r a t i o n 注惹剑：从点( o ，o ) 到椭圆口+ 卢工；一z ( 口 卢 o ) 上的点( x l ，x 2 ) 的距离是 厄丽a 2 x ，则毛2 越大，厄1 丽a 2 x ，孙。则 t 砰+ 攫i - - 去f 。f e 一掣如咄 ：芝缸峨：+ 毛s l h 如： t 丢罐e 埤蛐：+ 去驰孑掣a x 社2 ：圭， 一华如咄+ 丢岱，一s ) 。一学 ；丢肌一华出。d x 2 + 去( s 2 一s ) e 一学 ：兰 e 一绰缸出：+ i 1 f fe _ 越d r n d x 2 t - - 2 9 e 一华如如+ 石1 左r ! c 。e _ 4 里2 蛐： ：三e 一华出。出： 1 4 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯两向量二次型分布的随o l l l 较 2 z ? + 埘( 茗) ， 故( 2 9 ) 式成立。 第二步：证明n ) 1 2 的情形。 由引理2 1 和引理2 2 ，同样只考虑九和之间至多有两个分量不同，不妨设 丸；k t 3 , - - 丸= 以，即要证明： x ? + 九x z 2 + 荟 f2 x ? 鸲x ；+ 荟 x 2 ， 该结论可以从第一步的结论和引理2 4 得出。 口 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量一次型分布的随机比较 第三章其它推论 本章将高斯向量二次型的结论推广至l j g a m m a 分布e ，并讨论了高斯向量和 柯西向量二次型分布的的极值问题。 3 1 高斯向量二次型分布结果的推广 先介绍一些准备知识： 拉普拉斯变换设函数f ( x 1 当工z 0 时有定义，且积分 v ( s ) 一cf ) e 4 d x ( 3 1 ) 在复平面区域( r e ( s ) c = 0 ) 内收敛，则式( 3 1 ) 称为f ( x ) 的拉普拉斯变换，简 称为拉氏变换，记为f ( s ) 一l 【，0 ) 】，f ( x ) 称为f ( s ) 的拉普拉斯逆变换，记为 f ( x ) ；上，- 1 【，( s ) 】，并有 ，o ) 一击j r p - i 。_ ( s ) e 。d s ， ( 3 2 ) ( 3 2 ) 称为拉氏反演公。值得说明的是：此积分是在s 平面上沿着r e ( s ) ；卢直线进 行的，而且要求f ( s ) 在r e ( s ) 苫卢内无奇点。拉普拉斯变换可以看成自变量和值 域均为函数的广义映射，所以常称v ( s ) 是f ( x ) 的象函数，而称f ( x ) 是f ( s ) 的 原函数。 本文中需要用到拉普拉斯变换下述性质和定理如下： 1 线性性质： l 【妖o ) + 魄o ) 】一a l i a ( x ) + b l l ( x ) | 1 a f l ( s ) + b f 2 ( s ) ；口| 1 【丘0 ) 】+ 6 | 1 【，2 0 ) 】。 2 微分性质： 设f ( s ) 一l 【，o ) 】，且f ( x ) 在( 0 ，。) 内可微，而，0 ) 在z ，0 的任意有限区 间内除有限个第一类间断点外连续，n l f 。0 ) 】存在，且有 l f o ) 】= s f ( s ) 一f ( o ) ，( r e ( s ) c ) ， 其中，( o ) = l 螈f ( x ) 。 3 积分性质： 设f o ) = 【厂 ) 】，n l f f ( t ) d t 一i 1 f o ) ，( r e o ) c ) 。 4 卷积定理： 设 o ) ，2 ) 满足拉氏变换存在定理，且e ( s ) 一l i f , ( x ) l ，f 2 0 ) = 【 ) 】， 则l i f , ( x ) ，2 ) 】= e 0 ) e o ) ，l - 1 i f , ( x ) f 2 ( x ) l ：，1 0 ) 。，2 0 ) 。 若j r ( a ，a ) ，则其分布密度f ( x ) 的拉氏变换为： 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼 高斯向量和柯西向量二次型分布的随机比较 f 0 ) = l ) 】 = f 南拖”1 e “e 4 出 = 石南j 击a a x 。- l e - x d x z ) o m + j o “ 1 ( 1 + 纵) “ 单峰分布和m o d e 如果一个分布密度函数f ( x ) 至少存在一点x = a ，使得对所有 的x t a ，o ) 是非降的；对所有的x ) a ，f ( x ) 是非增的，则称其为单峰的， 点a 称为m o d e 。 对于任意给定的分布密度函数f ( x ) ，若n j ，f 1 为其m o d e ，易知 n ；s u p a ；，iz 1 ) c0 0 。下文中若无特殊说明，分布密度函数， ) 的m o d e 均指该极 大值。 下述引理给出了单峰分布判定的充分条件： 引理3 1 如果( x ) 是对数凹的，则它是单峰的。 引理3 2 【2 6 】分布族l 中的随机变量都是单峰分布的。 随机变量x 属于分布族l ，当且仅当其特征函数，( f ) 满足：对任意c ( 0 ccc 1 ) 和所有t e r l 有 ，o ) = ，( c f ) 正o ) 其中正o ) 为特定的特征函数，详细请见文献【9 】，5 1 1 节。 从上述定义可以得出，分布族l 中相互独立的随机变量的线性组合仍然在分 布族l 中。 引理3 3 所有g a m m a 分布都属于分布族l 。 引理3 3 的证明见文献【2 0 】中定理5 1 1 2 。 由引理3 2 和引理3 3 知，所有g a m m a 分布及其独立随机变量的线性组合都是 单峰的。 对于a = ( ，如， ) ，记n 。( f t l ，2 ，l 一1 ) 为随机变量 ：工土+ 聋+ + 。：舅 的m o d e ，其中，z ，( i = l 2 ，h ) 为相互独立的g a m m a 分布( 尺度参数分别为， i i 共同形状参数为口) ，矗( = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是相互独立的标准正态变量，且与 x ，( i = 1 ，2 ，h ) 独立。下面给出高斯向量二次型分布推广的结果。 i 定理3 1 令x 。( x 。) ，i = 1 ，2 ，n ，服从独立的g a m m a 分布，分别有尺度参数 1 7 塑! ! 垄塑! 堂堂皇 堂堑塑量翌塑堕堕量三堡翌坌塑塑堕! ! ! ! 翌 ( 土) 和共同形状参数a 。a = ( ，九，z o ) u p = ( 地，肛z ，以) 为两个正的买向 纯 量。若j ；l 卜弘，则：对所有x 捃 p ( t ! s x ) p ( 荟x 土s 工) z 一1 州 其中口is u p a ，：a - a _ ，i = 1 , 2 ，- ，n 一1 ) a 证明：记a r2 s + ( 1 一s ) _ f l j ，o s 量1 ，j o ，z ) = p ( 善x 古5 x ) ，易得随机变量x 击 的分布密度函数的拉普拉斯变换为百_ 圭i ，由拉普拉斯变换的卷积定理得 l 上+ z j 印专豇d 杀。 因此有 业盟= 面a ：ii ”! i ( 1 + 。i a s砑 以z k ( 1 + z a i ) 8 一i 刍 一a za s 毒寿i ：【南z a i 台( 1 + = a j ) “ 0 ( 1 + f ) 。 一i ：i 矗杀喜c ，击 ，口( 雎一 ) r 其中i 是随机变量耋奄“的分布密度的拉普拉斯变换以，k = 1 , 2 是与t ，i = 1 ，2 ，卅，独立的标准正态分布。 l 通过加减项可以发现： 竞( 地一 ) i = ( 地一 ) a 。+ ( ：一九) ：+ + ( 以一九) 。 一 ；【( “一 ) ，一( 肫一 ) ：】+ 【( p ：一九) ：+ ( m 一 ) ：一( 卢，+ ：一 一九) ，】 + f ( 心一如) 3 + ( 一+ ：- z , 一如) 3 一( 地+ 肛：+ 心一 一 一 ) 。】+ = 罗 一咋) ( 。- a 。) ， “ 其札一 ， 所以只需证明：对所有的i ， ( 3 _ 3 ) 下面证明 ，一a 。一( “一l ( 矛d 2p s x ) ) 一o v i s “ 呜由每 兰 j _ 0 3 2 0 2 5 0 3 5 潘进鱼高斯向量和柯西向量一次型分布的随机比较 其中，1 = ：x 土+ a i x + a i + 1 聋。 注意到 c 刀。( 著叫，= 扛r t ) n ：志志x 志 ；兀1 1 + z l 3 k 面1 一南 = a ：一a 。i 。 根据引理2 1 ，对于给定 和，a 的个数是有限的( 如r 个) ，而 a 。jc m ( ，f = 1 2 ，n 一1 ) ，可得口c 。由于g a m m a 分布及其独立随机变量的线性 组合都是单峰的，所以随机变量也是单峰的，因此，对所有x z a ， 万d 2 p s 工 s o ，a j + 。一j l * is o ，( 3 3 ) 式显然成立。 口 关于独立g a m m a 分布的卷积，k o w a r 得到下述结论： 定理3 2 【1 8 j 令x ( x 。) ，iz l 2 ，n ，服从独立的g 嘲m a 分布，分别有尺度参数 ( 肫) 和共同形状参数a ( az 1 ) 。a = ( ，t ，一) 和= ( h ，肛：，以) 为两个正 的实向量。若a _ 口，则 善善。 驺2 关于高额