（金融学专业论文）含有信用风险的债券及期权定价问题研究.pdf

摘要 信用衍生工具是2 0 世纪9 0 年代以来兴起的新型金融衍生工具，其功能是将信用 风险与基础资产的其他风险剥离，并转移给交易对手。信用衍生工具能够使得信用风 险以一种更具流动性和可交易性的形式显现出来，在提高收益组合和表现高度结构化 的风险组合方面有重大应用；同时，信用衍生工具可以在投资市场上规避风险，进而 调动了信贷市场的活跃性。因此，研究信用衍生工具对于金融市场具有重大的实践意 义。 本文主要是在风险中性测度下，基于浮动利率条件，讨论带有违约风险的多时期 附息票债券的定价问题及基于该类债券的期权定价问题。本文建立了基于多时期，每 时期末定期支付息票且考虑每时期违约概率的企业债券价格模型。首先求出企业资产 价值的公式，分析企业价值与违约概率之间的关系，然后研究涉及到各种违约情形下 的企业债券定价问题，给出了债券定价的具体解，并根据实际情况修正模型，举例指 出如何在实际市场上计算企业附息票债券价值。在此基础上，讨论附息票债券上欧式 期权的定价问题，给出美式期权在一定条件下不提前执行的定理，最后分析期权费的 上下界问题。 关键词：附息票债券信用期权期权定价 a b s t r a c t a st h en e w l y - e m e r g i n gf i n a n c i a li n s t r u m e n t ss i n c e1 9 9 0 s ，c r e d i td e r i v a t i v e sh a v e b e e nu s e dt os e p a r a t oc r e d i tr i s kf r o mo t h e rr i s ko ft h eb a s i ce q u i t y , a n dw a n s f e rc r e d i tr i s k t ot h ed e a l i n go p p o n e n t c r e d i td e r i v a t i v e sc o u l dr e v e a lc r e d i tr i s kw i t hm o r el i q u i d i t ya n d t r a n s a c t i o n , a n da m o r ei m p o r t a n tt o r i s kc o m b i n a t i o no fi m p r o v i n gp r o f i ta n d h i g h l i g h t i n gs t r u c t u r i z a t i o n ；f l l r t h f f f m o r c ，t h ei n s t r u m e n t sk e e pa w a yf r o mr i s k i nt h e i n v e s t m e n tm a r k e t , s o 鹊t oa c t i v a t et h ec r e d i tm a r k e t t h e r e f o r e 。t h er e s e a r c ho fc r e d i t d e d v a t i v e si so fs i g n i f i c a n tp r a c t i c a l i t yt of i n a n c i a lm a r k e t i nv i e wo ff i s k - n e u t r a lp r o b a b i l i t ym c a s n r c , t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep r i c i n go fc o u p o n b o n di ns e v e r a lp e r i o d sa n dt h ep r i c i n go fo p t i o n so nt h eb o n di nf l o a t i n gi n t e r e gr a t e t h e a r t i c l es e t su pam o d e lo fb o n dp r i c ei na ne n t e r p r i s e d i v i d e di n t om a n yp e r i o d s ，t h e e n t e r p r i s ep a y sc o u p o na tt h ee n do fe a c hp e r i o d , a n dd e f a u l tp r o b a b i l i t yo fe a c hp e r i o dh a s b e e nc o n s i d e r e di nt h em o d e l a tf i r s t , t h ec o n t r i b u t i o na n a l y z e st h ef o r m u l ao fa s s e t sp r i c e a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nd e f a u rp r o b a b i l i t ya n da s s e t sp r i c eo ft h ee n t e r p r i s e ；t h e n d i s c u s s e st h ep r i c i n go fb o n d , b a s e do na l lk i n d so fd e f a u l ts i t u a t i o n s ；s h o w sc o n c r e t e s o l u t i o no ft h ep r i c i n g ；c a l i b r a t e st h em o d e la c c o r d i n gt ot h ea c t u a ls i t u a t i o n ；a n di n d i c a t e s h o wt oc a l c u l a t et h ev a h mo fc o u p o nb o n di nt h ef i n a n c i a lm a r k e tw i t ha l le x a m p l e c o n s i d e r i n gt h ep r i c i n go ft h eb o n da b o v e , t h ea r t i c l ed e s i g n sc r e d i to p t i o n ；d i s c u s s e s p r i c i n go fe u r o p e a no p t i o n ；r e v e a l sa t h c o r e l no fn o te x e r c i s i n gt h ea m e r i c a no p t i o ne a r l y 0 1 1s p e c i f i e dc o n d i t i o n si nr e a lm a r k e t , a n da n a l y z e su p p e ra n dl o w e rb o u n do ft h eo p d o n p r i c ea tt h ee n d k e y w o r d s ：c o u p o nb o n d c r e d i to p t i o n o p t i o np r i c i n g 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 b 在论文中作了明确的说明。 研究生签名：丝盔主山“年6 月刁日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：趣盏 泐6 年6 月岭日 硕士论文含有信用风险的债券及期权定价问题研究 1 引言 信用衍生工具【2 】【1 1 】 2 9 】是2 0 世纪9 0 年代发展起来的以贷款的信用状况为基础 资产的新型金融衍生工具，其功能是将信用风险与基础资产的其它风险剥离，并转移 给交易对手信用衍生工具可以定义为一方允许另一方( 即购买保险者) 将与相关资 产联系的信贷风险转移给其他一方或多方( 即出售保险者) 的金融安排具体的说， 信用衍生工具是一种双边金融合约安排，在这一合约下，双方同意互换商定或者根 据公式确定的现金流，现金流的确定依赖于预先设定的未来一段时间内信用事件的 发生f 2 6 1 。1 9 9 2 年，信用衍生工具在巴黎的国际互换与衍生工具协会( i n t e r n a t i o n a l s w a p sa n dd e r i v a t i v e sa s s o c i a t i o n ，i s d a ) 年会上被提出1 9 9 3 年，日本信孚银行发 行了一种与其持有的贷款信用质量相关联的债券，成为信用衍生品交易的开端f 2 5 1 。信 用衍生工具一经问世就不断创新，演化出多个品种因而可以说，信用衍生工具是一 系列目的相同、但可能不同特点的金融衍生工具的总称。信用期权就是市场上常见的 一种信用衍生工具。 信用期权【8 】【1 9 】【2 7 】【3 0 】是专门针对违约风险的信用衍生工具，其中期权购买者是 信用风险的出售者，期权转让者是信用风险的购买者。期权购买者通过向期权转让者 支付手续费( 期权费) 以交换未来违约事件发生时，期权购买者要求期权转让者执行清 偿支付的权利。市场参与者可以通过在信用衍生产品市场购买保护来规避信用状况恶 化而带来的信用风险，就是尽量把外界条件对信用期权的购买者( 即投资者1 的资产的 不利影响降到最低。而对于信用期权的出售者来说，他们愿意通过销售担保承担该风 险，并因此而提高其投资组合上的预期收益。 对于与违约事件相关联的信用衍生证券评估的模型有以下几种：传统方法( t r a d i - t i o n a lm e t h o d s ) ，公司价值模型( f i r mv a l u em o d e l s ) 、首越边界时间模型( 丘嘣p a m a g e t i m em o d e l s ) 与密度模型( i n t e n s i 七ym o d e l s ) 。传统的定价方法关注的是从历史数据 中推得违约信息于是信用风险债券是这样定价的：根据历史数据估计债券的期 望损失，并据此补偿投资者的损失。例如，f o n s ( 1 9 9 4 ) 1 0 确定得出的信用风险债 券价格，是与可比证券过去违约所致的损失相一致公司价值模型通过给相对于 其负债的公司资产价值建立模型来推得违约风险价格最初为信用风险债券或类 似金融工具的定价建立的模型之一是m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 1 7 1 创立发展的虽说b l a c k - s c h o l e s ( t 9 7 3 ) 【3 1 已经提出了用期权合约来解释资本结构的见解，但m e r t o n 提出了 分析框架m e r t o n 的零息债券信用风险模型有多种扩展方式。有些是适应不同类 1 硕士论文含有信用风险的债券及刺权定价问题研究 型证券的扩展，如可赎回债券、抵押证券、可转化债券、可变票面利息率债券等； 另一些扩展可用来处理那些有着不同到期日、不同资历或是特殊契约条款的要求 权的评估。例如，h o 与s m g e r ( i o s 2 ) 1 1 2 在m e r t o n 框架下分析了诸如到期期限、 公司融资约束、优先原则以及支付时间安排这些契约条款的不同对债券的信用风险 的影响h o 与s i n g e r ( 1 9 8 4 ) 1 3 还进一步分析了沉没资金条款对风险债券价格的影 响。c o x 、i n g e r s o l l 与r o s s ( 1 9 8 0 ) 【6 1 将m e r t o n 的探讨方法应用于可变票面利率信用风 险债券的评估，以此确定可变票面利率支付结构，这种结构有助于消除或减少利率风 险。运用m e r t o n 模型，c l a e s s e n s 与p e n n a c c h i ( 1 9 9 6 ) 5 1 从布雷迪( b r a d y ) 债券价格中 推得隐含的违约概率c h a n c e ( 1 9 9 0 ) 【4 l 在m e r t o n 模型框架内考察可违约零息债券的 持续期当利率遵循v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 2 1 1 演变时，s h i m k o ，t e j i m a 与d e v e n t e r ( 1 9 9 3 ) 2 0 推得零息风险债券的闭解首越边界时间模型试图解决到期日前发生破产的问题。 此模型假设，如果公司价值超过了某个通常与时间相关的特定界限，那就发生破 产它是b l a c k 与c o x ( 1 9 7 6 ) 1 1 引进的，对m e r t o n 的公司价值模型进行了调整， 促进对契约里所谓的安全条款的建模密度模型中的违约或破产通过破产函数来表 示。违约函数通常被定义为一个跳函数，即可以从无违约跳到违约典型的密度模型 是j a r r o w - t u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 1 5 模型。他们推出了可能违约的债券价格满足的s d e 。 f l e s a k e re ta 1 ( 1 9 9 4 ) 9 的论文是关于信用风险衍生工具的第一篇文章这篇论 文提供了信用风险衍生工具定价问题的方法这个定价问题的基本假设条件是： 公司债券的违约真实次数对于投资者和所有到期日的公司债券来说都是不可预知 的这个假设条件将反对非平凡的违约风险然而，提出关于公司债券的违约过程 的m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 1 7 和b l a c k - c o x ( 1 9 7 6 ) 1 1 与此想法相反。m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 1 7 】和b l a c k - c o x ( 1 9 7 6 ) 1 1 用把资产净值看作公司资产的看涨期权的方法来给公司债务构建模型违 约被模拟是发生在公司债券的首次定期偿还日，这时公司资产不再足够多，因而对于 股份持有者来说提供足够现金去支付不再是理性行为违约只在零息票债券的到期日 和附息票债券的息票日( 或到期日) 发生因为资产值被假定为可以观察的过程，所 以随着支付日期的临近，违约就越能被精确地预测出来。结果，以这种方法，违约就 不会以意外的形式出现( 不同于f l e s a k e re ta 1 1 9 9 4 年) d 蠲( 1 9 9 5 ) 吲是第一个把这种方法应用到信用风险衍生工具定价问题的人虽然信 用风险衍生工具能被构建成债券价差期权，但是d a s ( 1 9 9 5 ) 7 的论文只解决了债券价 格的期权定价问题。不过在同一年，l o n g s t a 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 b ) 1 6 1 的论文解决了债 券价差的期权定价问题d a s ( 1 9 9 5 ) 7 】和l o n g s t a i l - s c h w a , r t z ( 1 9 9 5 b ) 1 6 的论文的另一 2 硕士论文含有信用风险的债券及期权定价问题研究 不同点在于：d ( 1 9 9 5 ) 吲考虑的是某一特定公司发行债券的价格上的期权定价问题， 而l o n g s t s f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 b ) 1 6 考虑的是一种种类债券( 比如，所有b a a 等级的债 券) 的债券价差( 无风险利率以上的) 的期权定价问题。j a r r o w 和t u m b u l l ( 1 9 9 5 ) 1 5 的论文就是延用了l o n 园s t a f f 和s e h w a n z ( 1 9 0 5 b ) 1 6 的方法在d 鹅( 1 9 9 5 ) 1 7 】论文的基 础上，y i a n n c 6a p i e r i d e s ( 1 9 9 7 ) 1 8 类似的考虑了某一特定公司发行债券的价格上的 衍生品定价问题。与d a s ( 1 9 9 5 1 的论文不同的是：y i a n n o ea p i e r i d e s 考虑的是证券价 格和证券价差上的衍生品；y i a n n o sa p i e r i d e s 不仅研究定价问题，而且建立一系列不 提前执行的美式信用风险衍生证券的结果；y i a n n o sa p i e r i d e s 论文中附息票债券的违 约边界是内在决定的；y i a n n 0 6a p i e r i d e s 论文中的利率设为常量。 本文主要是在m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 和b l a c k - c o x ( 1 9 7 6 ) 的企业债券定价模型的基础上， 研究有违约风险的附息票债券的定价问题及基于此类债券上期权的定价问题本文的 特点在于：企业债券定价模型不是单时期，而是多时期情况下的；利率不是常数，而 是随时间变动的；信用期权的定价不是基于零息债券价格，而是基于有违约风险的附 息票债券价格。文章具体安排如下： 第二章研究企业债券定价问题。考虑到企业在息票臼要支付息票，本文建立企业 价值满足的随机过程，求出企业资产价值的公式在违约概率基础上，得到关于企业 价值的附息票债券价值公式第三章研究企业债券上的期权定价问题本文求解出附 息票债券上欧式期权的定价公式；讨论了在一定条件下，附息票债券上美式期权不提 前执行的定理；在无套利条件下，分析期权费的上下界问题 3 硕士论文 含有信用风险的债券及期权定价问题研究 2 基于n 时期的企业附息债券定价问题 本文模型采用m e r t o n 模型的部分假设条件：( 1 ) 合约对应资产可以自由买卖；( 2 ) 没有税收、交易成本和保证金的要求；( 3 ) 企业的资产价值与利润的变化在有效期内保 持一致：( 4 ) 破产假设为没有任何相应成本。 为了研究的需要，在以上m e r t o n 模型的条件基础上，本文进一步假设：( 5 ) 市场 存在唯一的风险中性测度，即市场上不存在套利机会；( 6 ) 企业只发行附息票债券， 而不发行其他类型的可交易证券；( 7 ) 附息票债券在到期日前要向债券持有人支付息 票；( 8 ) 利率r 不是常数，它满足c i r 模型；( 9 ) 违约可能发生在债券到期日，也可能 发生在息票支付日；( 1 0 ) 一旦企业的资产价值在息票支付日低于需支付的息票值( 或 业违约破产f 2 8 】，并获得企业价值，而且，未来的企业债券价值为零。 表示在正一l 时刻至正时刻之间的时间段( 蜀s n 死矗； = 1 ，竹；t o = 0 ) ，( p b ) 表示第i 时期的违约概率。设企业在正时刻支付附息债券持有人息 票q “= 1 ，t l 1 ) ，在矗时刻支付附息债券持有人息票c n 及偿还价格d 。令取 既= 三+ 。，：二三n 一1 令k 表示第i 时期的企业价值k ( t ) ，五皇五( t ) 表示第 时期企业的附息票债券的 价格g = 1 时，t m ，正1 t = 2 ，l 时，t ( 正一l ，正1 ) 令 耻t o , 一，三m 4 型壅 鱼壹堕旦垦堕箜堕鲞墨塑壑塞丝塑望里塞 2 1 企业的资产价值及违约概率 假设企业价值y 遵循随机过程： 怒卅肌州吣删) = 1 时，t ，乃】；i = 2 ，n 时，t ( l ，矧 ( 2 1 ) 这里，w ( t ) 是维纳过程，参数d 和8 分别是y 的期望收益率和矿的波动率，到第i 时期末为止支付的息票总值可写成如下形式： = 州旧，羞一 ( 2 2 ) 其中，j ( ) 是d i r a cd e l t a 函数。 下面考虑第i 时期的企业价值。 定理2 1 企业价值满足如下公式： k ( t ) = e 印 ( 。一i l s 2 ) ( t 一2 ：- 1 ) + s ( w ( t ) 一w ( 1 ) ) ) 【隐：一厶。唧 一一j 1 。扣一砭，) 一s ( w ( 一( 曩。) ) ) 删 i = 1 时，t i 矗，n 】； = 2 ，n 时，( 砧1 ，z 】 ( 2 3 ) 证明：当i = 1 ，t ，噩】时，可以由i t o 公式和独立性假设条件得到( 2 3 ) 式： k ( 。= i 乞8 印 。一吾1 占2 ) 0 一而) + 君( 矿( t ) 一 矿( 而) ) 当i = 2 ，n ，t ( 正一1 ，互1 时，考虑到方程( 2 1 ) 是一个线性非齐次随机微分方 程，这里先求解它的线性齐次随机微分方程： 以= a v d t 4 - s v , d w 5 硕士论文 含有信用风险的债券及职权定价问题研究 根据i t o 公式易求得： k ( t ) = 吩一，e 印 ( a 一：s 2 ) o 一。) + s ( w ( ) 一( 丁：。) ) ) 记p 艰。( t ) 皇v , c t ) i 。，即日味。o ) 2a h , , 。( t ) d t + 8 p 艰，( t ) d 诈( t ) ，那么 。鬯基。o ) = 一p - + 2 。( ) 堍0 ) + i 2 p 毒3 _ ，( t ) d j 峨，( t ) d j 哪- ，o ) 。= 一醒。( q 味。( t ) d t + 睨，( t ) 椰( t ) ) + 喊。( 。s 2 噍。( o a t 2 蚤加南洲c 利用多元i t o 公式【3 1 】，有： d ( 压主，( t ) k ( t ) ) = 【( o k ( ) 一巧乏。( t ) + ( 一口+ 矿) 店主。( t ) k ( ) + s k o ) ( 一d p 让- 1 。( 亡) ) 】出+ ( 一畦。o ) k ( t ) + s m ( t ) p ；乏。o ) ) d 矸7 ( t ) = 一喊。( t 冲 对上式积分，并且联系其特解p - 珞1 ，( e 1 ) = 1 ，得： k ( t ) = e 印 一互1 s 2 ) ( 亡一砭1 ) + 8 ( w ( t ) 一w ( 2 0 。) ) 一 晚- l - 厶。唧 - ( n 一；8 2 ) ( u 一卑- ) 一s ( ( “) 一( 4 1 ) ) ，酬 证毕 考虑到企业资本的流动性、市场预期变化等因素，假如企业在正时刻“= 1 ，n 的资产价值低于需支付的息票值，企业就会发生违约破产，其违约概率 用( p b ) l 来表示。放违约概率与企业价值之间的关系可以用下面公式表示： o 砚： 以吣b 1 ) ， 江l ip ( l ，( t ) 】 + + 亘”( 删瓣l e 【e 井广巾娜1 + 垂( 1 _ ( p b ) f ) ( + d ) e 胁 一厂巾) 酬删，t m 捌 i = 1 ( 2 7 ) ( 2 ) 企业在任意时期的附息票债券价格。 f h 第1 时期的附息票债券价格的分析，可以类推企业在第i 时期的附息票债 券价格五0 = 1 ，几) 。企业只有在第1 、i 时期都没有发生违约的前提下 才能在正时刻支付息票，违约不发生的概率为n 尘l ( 1 一( p b ) t ) i 同理，只有在 第1 、i + 1 时期都没有发生违约的前提下才能在正+ 1 时刻支付息票，违约不发 生的概率为r i l = 一x ( 1 一( p b ) j ) ；只有在第1 、n 一1 时期都没有发生违约的 前提下才能在t k - 时刻支付息票，违约不发生的概率为n 葺( 1 一( p b ) 1 ) ；只有在 第1 、扎时期都没有发生违约的前提下才能在已时刻支付息票和偿还价格，违约 不发生的概率为n z = l ( 1 一( p b ) 1 ) 因此，企业在第i 时期的附息票债券价格 为： = 垂( 1 - ( p 眦e 【e 耐一厂小糊】l = l 。o !墨01 +n(1一(pb)1)c-卜le【唧一上r“)也】1= 1 。 +fl(1一(pb)i)(+。)e【e印一(t)dul，()】= 1 f t t r 8 硕士论文 舍有信用风险的债券及期权定价问题研究 即 五= e l i ，( 1 一( p b ) z ) c ，e e z p 一上巾) 酬删 j - - t = 1 + f i ( 1 一( p 砚) d e 咖 一广小) d u l y ( 明 ：壹血( 1 一( p b ) 。) 马e 【唧t 一广，( 。) 乩 l ，( t ) 1 i = 1 时，t m ，t 4 ；i = 2 ，n 时，t ( 正一l ，正1 ( 2 , 8 ) 2 2 2 基于企业在某个时期发生违约破产的附患债券定价问题 如果在第j 时期末0 ( 1 ，n 一1 ) 不能支付息票白，或在第n 时期末不能支 付+ d ) ，企业就发生违约破产，此时企业的资产价值0 ( 1 ，n ) ) 就要全部 用来支付给债券持有人。 ( 1 ) 当企业在第1 时期末发生违约破产时，企业不能支付息票c l ，即v h c l 。那 么，第1 时期的债券价格 = ，1 ( t ) 为企业在第1 时期末发生违约破产的基础上，企 业资产价值的贴现值；而第2 、，l 时期的债券价格厶= 丘( t ) 、厶= 厶( t ) 为 零： ，l = ( p b ) t i 缸e 陋印( 一r 0 ) 如 1 只纠，m ，五】 j t 1 2 = = j ；= 0 ( 2 ) 当企业在第2 时期末发生违约破产时，也就是说，企业在第1 时期末能支付息 票c 1 ，在第2 时期束不能支付息票c 2 ，即魄c l 且b c 2 那么，第1 时期的债 券价格 = ，l ( t ) 为企业在第1 时期末没有发生违约破产的基础上息票值的贴现值，与 9 硕士论文含有信用风险的债券及期权定价问题研究 企业在第l 时期末没有发生违约但在第2 时期末发生违约破产的基础上企业资产价值 的贴现值之和；第2 时期的债券价格，2 = 丘( t ) 为企业在第1 时期末没有发生违约但 在第2 时期末发生违约破产的基础上，企业资产价值的贴现值；而第3 、n 时期 的债券价格，3 = a c t 3 、厶= 厶( t ) 为零： = ( 1 一( p b ) o c l e e z p - r ( t ) d u ) l ，( t ) 】 j t ，乃 + ( 1 一( p b ) 1 ) ( p 且) 2 ie 【e 印 一r c u ) d u l y ( t ) ，t t o ，丑】 厶= ( 1 一( p b h ) ( p b ) 2 i 乞e e z p - r ( t i ) c f u i ，0 ) 】，t ( 正，t 2 】 ，乃 j t = = 厶= 0 ( 3 ) 当企业在第n 一1 时期末发生违约破产时，也就是说，在第1 、几一2 时期末能支付息票c 1 ，、岛，2 ，在第n 一1 时期末不能支付息票g ，l ，即、 c 1 、，k 。q ，2 且v k 一。 g ，1 。那么，类似可得各时期的债券价格： ，丑 = ( 1 一( p b ) o c l e e z 4 ， - 7r ( 缸 l 芦c t ) 】 ，如 + ( 1 一( p b ) 0 ( 1 一( p b ) z ) r c e e x p - r ( ) c k f 爿t ) 】 n - 2 ，l 2 + 一+ ( 1 _ ( 船) 1 ) “：e 姒一j ( 巾m 】 n-2，l一1 + 娶( 1 一( e b ) f ) ( p b ) 一k - e 唧卜上“埘垆( t ” 1 2kr n = i i ( 1 一( 尸b ) 1 ) 仇e 【e 印t f 。r “) d “ l ，( t ) 】 女之lk l 。 n - - 2 ，l 一1 + ( 1 一( p s ) 1 ) ( p b ) t 卜1 e 【唧 一上( 汕 挪) 】，。【t o ，t 1 】 1 0 硕士论文 含有信用风险的债券及期权定价问题研究 厶= ( 1 一( v b h ) ( 1 一( p b ) 2 ) c 2 e e x p - r ( u ) a k l ，( t ) 】 ， j t ：= 兰，0 4 + + ( i - ( p b ) ) 岛，2 e 【e 印 一。r ( t ) d u l ，o ) 】 “一2，一1 + i i ( 1 一( p b ) 1 ) ( p b ) ，1 y r 、。e 【e z p t 一”r ( u ) d l ，o ) 1 ：n - 2 k ( 1 一( p b ) 1 ) 靠e 【唧 一厂珏，( u ) d 。) i ，( t ) 】 + 前( 1 一( p b ) 以p b ) ，卜l v k 一。e 【e 印 一广1r ( u ) d u ，f ，( 饼，t ( 噩，列 缸z = 营( 1 一( 尸吼k 2 e 唧 一厂巾) 叫t ) 】 ”一2 ，矗一l + i i ( 1 一( p b ) 1 ) ( p b ) 。一l y r 一。e 陋印 一一r c u ) d u l j ：c t ) ，t ( 2 k 3 ，矗一2 】 1 = 1 j t n 一- 2 ，一i 缸l 。g ( 1 一( p b ) i ) ( p b ) t 卜- 一- e 胁 一上r ( 如) i ，( 吼t e ( t _ 2 l 】l ；i o 厶= 0 即，当j = 行一1 时， 五= 董i i ( 1 一( p b ) 。) c k e e x p 一z nr c u ) d u l 乒 c t ) k 五= ( 1 一一。 - - , 1 = 1 o =；ll + ( 1 一( p 口) 1 ) ( p 占) 。一l l 乞一。e 【e 烈一一r ( “) 出) l ，( t ) 】， 1 = 1 。t 这里，t = 1 时，t t o ，五】；l = 2 ，n 时，t ( 正一l ，列 t p 2 个 缸1 2 ( 1 - ( 舶) 1 ) ( p 踮- v t _ , e e x v 一厂巾删小( 】i = 1 o 硕士论文 含有信用风险的债券及期权定价问题研究 厶= 0 ( 4 ) 由( 1 ) 一( 3 ) 的分析计算可以类推得知，当企业在第j 时期末发生违约破 产0 = 2 ，f l 一1 ) 时，各时期的债券价格为： = 善j - 1 k ( 1 - ( p 巩) “e 蛔 一j ( n r c u ) d u l j ：c t ) = ( 1 一( 尸b ) ) “e 蛔 一f 蛔扛l 。 + 1 i 1 ( 1 - ( p b ) z ) ( p b ) j v t ，e e x p 一j ( 巧r ( u ) a u i l ，( t ) 一| j i k l 。 这里，i = l 时，t t o ，正1 ；i = 2 ，n 时，t ( 噩一l ，习 办= i i i i ( 1 一( p b ) , ) ( p b ) j v t je 【e 印t j ( 码r ( u ) d u i l y c t ) ，t ( 乃一。，乃】 办=( 1 一 e 【e 印t f 。 ，t ( 乃一l ，乃】 l = l 。 5 + 1 = 厶+ 2 = = 知1 = 厶= 0 ( 5 ) 当企业在第几时期末发生违约破产时，也就是说，在第1 ，n 一1 时 期末能支付息票c 1 ，“1 ，在第n 时期末不能支付息票龟和偿还价格d ， 即v h c 1 ，、v k 一。岛，1 且k c r i + d 。那么，各时期的债券价格为： 冉 = ( 1 一( p b ) 1 ) c l e e x p - r c u ) d u i l y c t ) 】 + ( 1 一( p b h ) o 一( p b ) 2 ) c 口e e x p - r ( t ) d u ) i 芦( t ) 】 + + n - 1 ( i - ( p b ) ；) 钲。e 脚 一_ 砧1 ，( 蝴。) m ) 】 n 一- - i ，死 + ( 1 ( p b ) i ) ( p b ) n 魄e 【e 耐一( u ) d u l l r ( t ) 一n - - 1 ，n = i i ( 1 一( p b ) 1 ) c k e e x p - f _ _ r ( u ) d u 1 r c t ) n - - 1 ，矗 + i i ( 1 一( p b ) 1 ) ( p b ) 。v ke 【e 印 一。r ( u ) d u l j 亡c t ) ，t t o ，t , i 1 2 硕士论文 含有信用风险的债券及期权定价问题研究 ，2 = ( 1 一( p b ) 1 ) ( 1 一( p b ) 2 ) c e e e x p 一r ( t ) c 轧 l ，( t ) 】 + + i i ( 1 - ( p b ) l e e 印卜广小】 + i i ( 1 - ( p b ) 1 ) ( p b ) 。比e 咖 一f 靠m 】 ， ：n - 1 k ( 1 一( p b ) 。) 龟e 【e 印 一，( u ) d 吣l ，( 州 七= 2 l = l 。 + ”h 1e 1 一( p b ) 1 ) ( p b ) 。v ke 【e 印 一广，( 。) 砒 i ，( t ) 】，t m ，列 厶一1 ：i i ( 1 一( 尸b ) 1 ) 岛，。e f 。印 一i t - , r ( ) d t 。) i ，( t ) 1 l ；l j t + 垂i i ( 1 _ ( p 驯删m 一厂小娜( f ) 】) t 啦咄酬 + ( 1 一( p b ) i ) ( p b ) 。i 乞e 【e 耐一”r ( t 上) d u l ，( t ) 】， t ( 瓦一2 ，正卜l 】 l ；l o 厶：矗( 1 一( p b ) i ) ( p b k v r e e 印 一，矗r ( u ) d u l ，( t ) 】，t ( 2 k l ，列 即，当j = t l 时， 一n - 1 ，n 五= i i ( 1 一( p b ) 1 ) “e 【e 印 一厂r ( u ) 埘忡) 】 “一l ，矗 + i i ( 1 一( 尸b ) 1 ) ( p b ) 。；e 【e 印 一，”r ( u ) d u l i c t ) ， 这里，i = 1 时，t t o ，乃】； = 2 ，n 时，t ( 正一l ，z 1 厶= 垂( 1 一( p b ) i ) ( p b ) 。- k e 【e 印 一t r ( u ) 如 l ，( t ) 】，t ( 砧。，t d i it d 厶= ( 1 一( p b ) ) ( p b ) 。e 【e 印 一( u ) 如 l ，( t ) 】，t ( 已一l ， | ；l 硕士论文 含有信用风险的债券及期权定价问题研究 综合以上( 1 ) 一( 5 ) 的分析，如果在第j 时期末0 = 1 ，f 1 ) 企业发生违约，那么 各时期的附息票债券价格分别为： 当j = 1 时， f t l = ( p b ) i e 【e 印 一r c u ) d u l y = c o ，t t o ，乃】 j t ，2 一= 厶= 0 ( 2 9 ) 当j = 2 ，n 一1 时， 工：- 1 k ( 1 一( p b ) 她e l e 烈一广小) 酬， = - i = l o # 卜l，b + i i ( 1 一( p e ) o ( v e b e e w ( - 厂r ( 叫l ，( t ) 】 l ；l 。 这里，i = l e $ ，t m ，正】；i = 2 ，n 时，t ( 艮1 ，矧 乃=卜111(1一(pb)1)(p巩ee印卜 r 小协 i ，( t ) 1 ，t 仍“矧 乃=( 1 一( p b ) 1 ) ( p b ) ，e e 印t 一。r ( t ) d u i ，( t ) 1 ，t ( 乃一1 ，乃】 f f i l 。 当j = 竹时， 厶+ 1 = 厶+ 2 = = j , ”- i = 厶= 0 ( 2 1 0 ) 五= 喜n - 1 k ( 1 - ( p 鼽m m z n r 酬删知= i i = l 。 + 差i i 卜( p b ) o ( p b ) 眦【唧 - 厂r c u ) d u l ；( t ) ， ( 1 一 。魄e 【e 印 一。 ， l _ l o 这里，i = l 时，t 【而，正1 ；i = 2 ，n 时，t ( 正一1 ，z 】 厶=”111(1(p酬pb)。酬唧一z矗r(u)duljrct)1 m 引厶= ( 1 一( p b ) 1 ) ( p b ) 。i e 【e 印 一f ，t ( ? k l ，引 = 1 。 ( 2 1 1 ) 1 4 硕士论文 舍有信用风险的债券及期权定价问题研究 2 2 3 附息债券定价问题 综合2 2 1 和2 2 2 ，我们可以求得各时期的附息票债券价格 圳= ：；羔 ( 1 ) 企业在第1 时期的附息票债券价格 ( i ) 如果企业在第1 时期发生违约，那么，第1 时期的附息票债券价格 等于第1 时期末企业资产价值的贴现值； ( i i ) 如果企业在第l 时期没有发生违约，而在第2 时期发生违约，那么，第l 时期 的附息票债券价格 等于正时刻息票值b 1 的贴现值与第2 时期末企业资产价值j ( i v ) 如果企业在第1 、n 一1 时期都没有发生违约，而在第n 时期发生 违约，那么，第1 时期的附息票债券价格 等于n 、乃、砧l 时刻息票 值b l 、岛、j 9 f ，l 的贴现值与第n 时期末企业资产价值v k 的贴现值之和； ( v ) 如果企业在第l 、 t l 时期都没有发生违约，那么，第1 时期的附息票债券 价格 等于是，乃、兀一l 时刻息票值b 1 、b 2 、e ，1 的贴现值与死时刻 因此，参照文献【2 4 】的分析思路，企业在第1 时期的附息票债券价格 为： = e i g 酬一上 ( d n 、五饥c 且， + 妻( 薹e 丹厂州桃+ e 印卜r ( u ) d u 嘲，2 2b l 。 + 壹。印 一广，( d 吣b k z 风， = 。，。l 曩t ) 】，t t o ，噩】 k ：l j t 硕士论文 含有信用风险的债券及期权定价问题研究 即 ，l = 、e 【唧 一r ( t ) 砒 l ，( t ) 】( p b ) l + n ( j - i 风e 【唧 一f n ，( u ) 砒) l ，( ) 】 ，= 2i = i j t mt - x + e 【e 印 一。r ( t ) d 札) i ，( t ) 】) r i ( 1 一( p b ) t ) ( p b ) j k l + 壹鼠e 【e 酬一f n ，( 札) 姗l ，( t ) 】n ( 1 一( p b ) 。) ，t m ，川 ( 2 1 2 ) ( 2 ) 企业在第i 时期( i = 2 ，n i ) 的附息票债券价格 当i = 2 ，n 一1 时，企业在第i 时期的附息票债券价格五可以类似于( 1 ) 中 推得： = e 【e 印 一上7 ( ) d u z h 风，j i = l ，扣l ；魄 风 + 砉，( 善j - - 1 唧卜nr ( u ) 姗风+ 唧 一，乃小) 乩慨)j + l = o j t z 吃巩括1 ，j l ；v t j b j + n 唧 一广小) 执) b 瓯k 抵帆，。限期，t 。，列 k - - - _ 。 = l e 【唧( 一f r ( u ) d u l y c t ) 1 - i ( 1 一( p b ) 1 ) ( p 日) 。 k 1 + n ( , f - 1 鼠e 【唧 一广巾) 砒舻( f ) 】 j = h lk = i “ ，lj l + e 【唧t f 。r ( u ) 砒 i ，( t ) 】) i i ( i 一( p 8 ) 1 ) ( p b ) j + 壹鼠e e 印t f n ，( 。) 托 l ，。) 】f l ( 1 一( p b ) 。)