（机械工程专业论文）标准型双圆环面二次包络环面蜗杆传动啮合性能的研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文 第1 页 摘要 本文建立了双圆环面二次包络环面蜗杆副( 双圆环面二包副) 传动啮合分 析的数学模型；结合啮合原理、数值运算，分别得出了第一次和第二次啮合过程 中的啮合函数、蜗杆螺旋面和蜗轮齿面方程、以及包括啮合界限函数在内的一些 列啮合特性参数。通过算例，基本搞清楚了双圆坏面二次包络环面蜗杆的啮合特 性，以及设计参数对啮合质量的影响。结果显示，双圆环面二次包络环面蜗杆传 动具备一系列优良的啮合特性，例如，蜗轮齿面上存在宽阔的接触区，较长的蜗 杆双线工作长度，尤其是双圆环面二次包络环面蜗杆能够有效地避免根切和边齿 顶变尖。另外，平面产形砂轮、锥面产形砂轮、双锥面产形砂轮及球面产形砂轮， 都可看成是双圆环面产形砂轮的特例。而且双圆环面产形砂轮的可调参数较多， 这为进一步改善双圆环面二次包络环面蜗杆的根切特性，提供了广阔的空间。 关键词：双圆环面，二次包络环面蜗杆副，啮合特性 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fd u a lt o i ld o u b l e e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v eh a s b e e ne s t a b l i s h e di nt h i sp a p e r b ym e a n so f c o m b i n i n gm e s h i n gt h e o r yw i t hn u m e r i c a l c a l c u l a t i o n ，w eo b t a i n e dt h em e s h i n gf u n c t i o n ，w h i c hi nt h ef i r s ta n dt h es e c o n d m e s h i n gp r o c e s s ，w o r mh e l i c o i df u n c t i o n ，w o r mg e a rt o o t hs u r f a c ee q u a t i o n ，a n da s e r i e so fm e s h i n gc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r sw h i c hi n c l u d em e s h i n gl i m i t a t i o n f u n c t i o n s t h r o u g hs o m ee x a m p l e s ，w ec l a r i f i e dt h em e s h i n gc h a r a c t e r i s t i c so fd u a l t o i ld o u b l e - e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v e ，a n dt h ei n f l u e n c eo f m e s h i n gq u a l i t y w h i c hc o m ef r o mt h ed e s i g np a r a m 栅i nt h em a i n t h er e s u l t ss h o w e dt h a td u a lt o i l d o u b l e - e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v eh a sl o t so fs u p e r i o rm e s h i n gp r o p e r t i e s ，s u c h a s ，w i d e rc o n t a c ta r e ai nw o r mg e a rt o o t hs u r f a c e s ，l o n g e rw o r mt w o - l a n ew o r k i n g l e n g t h t h eg r e a t e s ts t r e n g t ho ft h ed u a lt o r id o u b l e - e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v ei s t h a tt h ew o r mc a na v i o dt h eu n d e r c u t t i n ge f f i c i e n t l ya n di t se d g e - t o o t hh a se n o u g ht o p t h i c k n e s s i na d d i t i o n , o t h e rt y p e so f w o r mc a nr e g a r d 鹬as p e c i a lc a s eo fd u a lt o r i d o u b l e e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v e w h a ti sm o r e ，t h ea d j u s t a b l ep a r a m e t e r so f d u a lt o i ld o u b l e - e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v ei sm o r e t h a tp r o v i d eab r o a ds p a c e t of u r t h e ri m p r o v i n gt h eu n d e r e u t t i n gc h a r a c t e ro fd u a lt o i ld o u b l e - e n v e l o p i n g k e y w o r d s ：d u a lt o r i ，d o u b l e - e n v e l o p i n gt o r o i d a lw o r md r i v e ，m e s h i n gc h a r a c t e r 第1 v 页武汉科技大学硕士学位论文 吃砂轮半径咖 s 。砂轮顶厚姗 符号列表 t 双圆环面二次包络环面蜗杆副齿根高姗 吃双圆环面二次包络环面蜗杆副的分度圆环半径m 双圆环面二次包络环面蜗杆在其分度圆环面上齿间宽度半角 砂轮工作时名义压力角 在磨削加工双圆环面二次包络环面蜗杆过程中砂轮轴线的安装角 p ，q 砂轮工作弧面在其轴截面的中心坐标姗 p砂轮工作弧面在其轴截面的半径咖 伊，0 砂轮产形面d 的两个参数 ，向径，珊 厅单位法向量 毛，乞砂轮产形面d 的两个主曲率m m 。1 岛，岛砂轮产形面d 的两个主方向 a 双圆环面二次包络环面蜗杆副的中心距舳 0 。双圆环面二次包络环面蜗杆喉部的齿根半径舳 ：双圆环面二次包络环面蜗杆副的传动比 仍，伊刀座和蜗杆毛坯的旋转角 吼，国刀座和蜗杆毛坯的角速度矢量，r a d s 吼，国。：一次包络和二次包络中的相对角速度矢量，r a d s 屹，k ：一次包络和二次包络中的相对运动速度矢量，m m s d ，一次包络和二次包络的啮合函数 武汉科技大学硕士学位论文第v 页 q 双圆环面二次包络环面蜗杆轴截面的旋转角 f 双圆环面二次包络环面蜗杆的齿距角 s - 蜗杆喉部分度圆环上轴向弦齿厚m m s - 理论上蜗杆喉部分度圆环上轴向弦齿厚m m s 双圆环面二次包络环面蜗杆喉部分度圆上轴向弧齿厚m m k 双圆环面二次包络环面蜗杆螺距m i l l 足。双圆环面二次包络环面蜗杆顶弧半径m m 双圆环面二次包络环面蜗杆在其轴截面上边齿顶厚度m i l l 恕环面蜗杆边齿顶厚度系数 吒环面蜗杆双线工作长度系数 以环面蜗杆副的端面模数i l l n 彬，棚 一次包络和二次包络各自的啮合界线函数 二次包络时瞬时接触线的法向量 甲d ，、王，一次包络和二次包络各自的曲率干涉界线函数 掣，硝，双圆环面二次包络环面蜗杆螺旋面的曲率参数 m r t l k n ，k 2 曲面l ，2 的高斯曲率，m m 2 仍，仍 二次包络中蜗杆和与其配合的蜗轮的旋转角 q ，吼二次包络中蜗杆和蜗轮的角速度矢量 r a d s 色双圆环面二次包络环面蜗杆副的滑动角 z 双圆环面二次包络环面蜗杆副的头数 t 诱导法曲率半径系数 吒与产形砂轮连接的坐标系 吒。，吒：两个固定的坐标系 第v i 页 武汉科技大学硕士学位论文 仃。，c r 2 两个移动的坐标系 。，。砂轮产形面和产生的双圆环面二次包络环面蜗杆螺旋面 ：，：，e 2 b 蜗轮齿面，原接触区和新接触区的共轭区域 掣次包络罩的啮合界线曲线 牟，叠2 二次包络罩的啮合界线曲线和曲率干涉界线曲线 z双圆环面二次包络环面蜗杆的轴 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 环面蜗杆发展和研究概况 第一章绪论 1 1 直廓环面蜗杆副 环面蜗杆的历史可以追溯1 8 世纪中期诞生在英格兰的h i n d l e y 蜗杆，由于 当时没有弄清环面蜗杆副的啮合特性，工艺水平又不高，与圆柱蜗杆传动相比， 无论在承载能力或传动效率方面都未显示出明显的优势，在2 0 世纪前都没有得 到推广和应用n 3 。1 9 0 9 年美国弗吉尼亚州的s i c o n e 研制成了直廓环面蜗杆副， 并发展形成了美国著名蜗轮减速机品牌c o n ed r i v e 瞳1 ，从此环面蜗杆才在工业 界获得推广应用。2 0 世纪4 0 年代到6 0 年代日本和前苏联科学家对此也做了大 量研究工作。我国从上世纪5 0 年代也开始了对环面蜗杆传动的研究，并取得了 一批成果。 这类蜗杆副现在一般被称作直廓环面蜗杆副，蜗杆螺旋面是直线刀刃的轨迹 曲面，为a r c h i m e d e s 螺旋面。因此这种蜗杆不存在所谓根切的问题，边齿顶也 不会变尖，可以用于各种传动比和不同头数的环面蜗杆传动n _ 1 。但是a r c h i m e d e s 螺旋面是一种不可展的直纹面，很难按照其形成原理精确磨削，这不利于提高环 面蜗杆的加工精度及其齿面硬度、降低其表面粗糙度。 1 2 平面二次包络环面蜗杆副 为了改善环面蜗杆的磨削加工性，1 9 7 2 年在日本以酒井高男为代表的科学 家提出了平面二次包络理论，并在实践中运用。1 9 7 1 年我国首钢机械厂成功的 研制成平面二次包络环面蜗杆副口一1 ( 平面二包副) ，并很快应用于生产。 这类环面蜗杆的螺旋面是单参数平面族的包络面，为可展曲面，能够按照成 形原理精确磨削加工。理论分析和工程应用都表明，平面二包蜗杆副的承载能力 大、使用寿命长、传动效率高，是一种品质优良的机械传动装置。但是，在蜗杆 头数多、传动比小的情况下，平面二包蜗杆容易发生根切或边齿顶变尖，所以平 面二包蜗杆副的应用范围受到限制，研究表明，平面二包蜗杆的头数一般不超过 6 ，传动比一般不小于8 n 一1 。 1 3 锥面二次包络环面蜗杆副 为扩大包络环面蜗杆副的应用范围，上世纪7 0 年代中期日本科学家，以及 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 8 0 年代中期我国相关科研单位都对锥面及双锥面二次包络蜗杆副传动( 锥面及 锥面二包蜗杆传动) 都进行了较为系统的研究n 1 。 这两种环面蜗杆的螺旋面，都是单参数圆锥面族的包络面。因此，相应的环 面蜗杆能够在一定程度上避免根切及边齿顶变尖。蜗杆头数可以达到9 ，蜗杆副 传动比可以达到5 。另外，在承载能力、使用寿命及传动效率方面，这两种蜗杆 传动也都有较为理想的表现。特别是双锥面二次包络蜗杆传动，还具备良好的制 造工艺性，蜗杆毛坯一次装夹，可以磨削蜗杆齿槽的两侧螺旋面。 1 4 小结 文献中，除了上述的三类环面蜗杆，渐开螺旋面包络环面蜗杆砸1 ，球面包 络环面蜗杆口1 和圆环面包络环面蜗杆陋1 ，都曾经得到过研究。随着科学技术的发 展，人们发现包括双锥面二次包络蜗杆副在内的这些环面蜗杆副在传动过程中还 是不能很好的解决边齿顶变尖的问题，并且接触区域也比较窄，双线工作长度较 短，这样的环面蜗杆副的寿命也就相对较短，噪音也比较大，不能很好的满足工 程实际需求。所以在前人的基础上，我们提出把产形砂轮的轮廓改变成关于自身 中间平面对称的两个圆环面，通过两次包络运动，改变蜗杆螺旋面和蜗轮齿面的 形状，这样也就对环面蜗杆传动的啮合性能做出了调整。因此对这种双圆环面二 次包络环面蜗杆副( 双圆环面二包副) 传动进行比较系统的研究是具有一定的现 实意义的。另外，平面产形砂轮、锥面产形砂轮、双锥面产形砂轮及球面产形砂 轮，都可看成是双圆环面产形砂轮的特例。所以对双圆环面二次包络环面蜗杆副 的研究也是对之前诸多类型的环面蜗杆副进行理论上的总结，从这个角度看，这 项研究也是具有一定的理论意义的。 2 论文的主要工作内容 基于目前发展成熟的齿轮啮合理论，研究双圆环面二次包络蜗杆副的啮合性 能，并进一步探索双圆环面二次包络蜗杆副的啮合理论，以此理论为基础，通过 计算机仿真技术研究设计参数对双圆环面二次包络蜗杆副装置的啮合性能的影 响。为此论文中进行了以下几个方面的工作。 l 、建立双圆环面二次包络环面蜗杆啮合分析的数学模型。在此基础上对双 圆环面二次包络环面蜗杆副进行啮合分析。其主要内容包括：对产形砂轮进行设 计、求得砂轮产形面的向量方程和它的特征参数、分析一次包络的相对运动、推 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 出一次包络的啮合函数和啮合特性参数、推导出蜗杆螺旋面的方程、计算砂轮项 厚度和双圆环面二次包络环面蜗杆边齿顶厚度；分析二次包络中的相对运动、推 出二次包络的啮合函数和啮合特性参数、推导出蜗轮齿面的方程、推导出二次包 络中的两类啮合界线方程、计算双圆环面二次包络环面蜗杆副的局部啮合质量参 数。 2 、计算蜗杆副共轭区边界关键点并确定接触线同时给出多组数值算例，据 此定量的分析各个参数对啮合质量的影响。 3 、对比双圆环面二次包络环面蜗杆副与其他类型环面蜗杆副的啮合质量， 总结双圆环面二次包络环面蜗杆的优势。 3 双圆环面二次包络环面蜗杆副齿面成型原理及加工方法 3 1 蜗杆副齿面成型原理 双圆环面二次包络环面蜗杆副是经过两次包络形成的。第一步：由两个圆环 面关于自身中间平面对称的产形砂轮，按照一定的传动比和相对位置对蜗杆齿坯 做磨削加工运动，首先包络出蜗杆螺旋面。第二步：用与第一次包络成型的蜗杆 螺旋面一致的滚刀按照一定的传动比和相对位置对蜗轮齿坯做切齿加工运动，再 包络出涡轮齿面。 3 2 蜗杆副齿面加工方法 ， 图1 1 双圆环面二次包络环面蜗杆的产形过程 图1 1 是双圆环面二次包络环面蜗杆螺旋面的产形示意图。加工工具为双 圆环面砂轮，它安装在水平回转工作台上。砂轮的安装方法为：先使双圆环面砂 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 轮的轴线与蜗杆的轴线处于同一个水平面里；砂轮的轴线与回转工作台的轴线垂 直交错。再根据蜗杆的螺旋方向，绕砂轮轴线与蜗杆轴线的公垂线转过一定角度。 这样就得到了产形砂轮的安装位置。在磨削加工过程中，蜗杆绕其轴线回转，砂 轮随着水平回转工作台一起回转，用展成法将蜗杆磨削成型。 蜗轮齿面是在第二次包络过程中形成的。用与一次包络蜗杆齿面一致的滚刀 产形面按照蜗杆副的传动比和中心距，与蜗轮作展成运动包络出蜗轮齿面。 武汉科技大学硕士学位论文 第5 页 第二章第一次包络过程一包络蜗杆 双圆环面二次包络环面蜗杆螺旋面的产型过程通常叫做：第一次包络( 一次 包络) 。 l 产形砂轮的设计 如图2 1 ，坐标系( o o ，石，y ) 固定在产形砂轮的轴截面里。x 轴固定砂 轮对称中心线上，y 轴沿着砂轮轴线方向。产形砂轮的轴截面交其产形圆环面于 工作轮廓弧a b 。 矽a ( 毋) ) 图2 1 产形砂轮轴截面里的几何关系 由图2 1 可知a 点的坐标：x a = r a ，y a = 毛2 。由于蜗杆的齿根高为， 双圆环面二次包络环面蜗杆在它参考圆环面上齿间宽度半角为。分析产形砂 轮和蜗杆毛坯安装到机床上的相对位置，可以得到b 点的横坐标： 3 白一 ，一吒( 1 一e o s5 f ，：o ) 。 在图2 1 中o ( p ，q ) 点是工作轮廓弧a b 的曲率中心，c 点a b 弦的中点。根据 图2 1 示的几何关系，可以得到直线b o 和c o 的方程。这里我们设儿是b 点的 纵坐标。 对于直线b o ：由于与b o 垂直的直线与x 轴的夹角，即为蜗轮工作时的名 义压力角。所以直线b o ：斜率：l ；得到直线b o 的点斜式方程为： 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 y y b x x b t a n a d 整理得：x y t a n t z d 一+ y 口t a n a d = 0 ( 2 1 ) 对于直线c o ：由于c 点是a b 弦的中点所以a b 是与c o 垂直的。a b 的斜率： c 点 可得直线c o 的斜率：_ = 2 ( r e 一- x b ) 2 y b 5 a 蜘t = 半= 半一半= 华懈： 三二二s o + 2 y s ：堑二型。 ：垒 ：垒垒二盘2 x 一x b + r d 2 y 矗一巴 2 整理得：8 ( ，= ，一冷一4 ( 2 儿- s ) y - s ：+ 4 z + 砂；- 4 8 = 0 ( 2 2 ) 将方程( 2 王 和( 2 2 ) 结合得到含有两个未知数x ，y 的两个线性方程的方 程组： x 2 x y t a n a d 2 x b y bt a n a d 【8 ( 吃一) z 一4 ( 2 虼一巳沙= 一4 - 4 y + 4 4 根据克拉默法则： 1一t a n o d 8 ( 白一x b ) 一4 ( 2 y 矗一5 。) ，y 2 1 x b y b t a n a a 8 ( 屹一) 2 - 4 4 4 以+ 4 8 1 一t a n c t di 8 ( 一) - 4 ( 2 儿一s a ) l 这里解出的o ，y ) 对应的就是0 点的坐标( p ，g ) ： p ：笠塑生竺坚l 4 ( s d 一2 x bt a n g t d 一2 y 口+ r dt a n c t d ) 。一 2 + q g 2 4 ( s - 2 x bt a n a 卫d - 2 y b + r d t a n a d ) 这里p l = 4 ( x a - y b t a n o t d ) ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) = 一4 t a n a a + 4 y 2t a n t x d 一8 j ，矗+ 4 8t a n a a ， q = 4 4 - 4 y ；一8 儿t a n a d 一眈+ 8 r d y 占t a n a a + 4 8 。 兰飞蔓2 一白 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 由于a 点在工作轮廓弧ab 上，司以得出： ( p 一乃) 2 + ( g 一鲁) 2 - - p 2 = o ( 2 5 ) 屯的值给出后，将方程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 代入方程( 2 5 ) 可以得到一个关 于y 口的四次代数方程。这个方程可以通过数值迭代的方法来求解。为了确保砂 轮可以插入蜗杆齿间隙，得到的值必须满足o 0 时q 工= 一a r c t 肌p 华) ，当华 0 时 q 工= 万一a r c t 锄r 看”) 。 假设双圆环面二次包络环面蜗杆喉部在其分度圆环上的轴向弦齿厚是j 。， s - = 一2 蟛。另一方面有关理论蜗杆在其分度圆环上的轴向弦齿厚是s - ， ；- = 2 5s i n ( s 2 r ：) 。因此，占。的值必须符合p 一；- i 。， + r e k o 。，仍一缈】伽) 。l ( - a 屯。) 第2 4 页武汉科技大学硕士学位论文 = ( c o l 2 ) 。i 研露o l 仍一妒】【( 吒) 。l ( 以) 。i 】+ 露。l 屯l ，仍一妒】( 以) 。l = ( 国1 2 ) 。l c o s ( 饿一9 ) 【( ，1 ) 。l ( 即) 。i 】+ 【l c o s ( 仍一缈) 】 ( ) 。i ( 刀) 。l 】k 。i k o , + s i n ( 仍一伊) k o l 【( ，；) 州( 以) 。i 】) + 导五。l c o s ( 仍一缈) ( 栉) 。l + 【l c o s ( c , 一伊) ( 一) 。i k o i k o i + s i n ( q i 一6 p ) k o l ( 以) 。l z 1 2 = e o s ( ( a l 一妒) 【( c p l 2 ) 。l ，( ) 。l ，( 以) 。l 】+ 【l c o s ( 铣一妒) 】【( ) 0 1 ，( 以) 们，k 。l ( c 口1 2 ) 。l k 。l 】 + s i i l ( 仍- q ) ) ( o j l 2 ) 。l k o i 【( ，i ) 。i ( 刀) 。i 】) + 兰 c o s ( 仍一妒) ( 靠) 。l k 。i + 【1 一c o s ( 仍一妒) 】【( n ) 。i k o l 】) h 2 = c o s ( 鲲一妒) 【( q 2 ) 。i ，( 吒) 。l ，( 栉) 。l 】+ 【1 一c o s ( 妒l 一矿) 】【( 吒) 。l ，( 刀) 。l ，屯l 】 + 三8 i n ( 馈一伊) 【乞i ，( 吒) 。l ，( 以) 。i 】+ _ ac o s ( 仍一伊) 【( 拧) 。l 屯l 】+ # - - 1 一c o s ( 魏一缈) 】【( 厅) 。l k o l 】 2 1 1 21 1 2 = c o s ( 仍一伊) 【( q ：) 小( ，i ) 小( 刀) 。】+ 【伽) 口1 k o 。】) + s 酞仍一咖_ 1 【j o 。，( ，i ) 小( 一) 。】 + 【1 一e o s ( 吼一缈) 】 【( 吒) 。l ，( 以) 。l ，七。l 】+ 【( 刀) 。l k o d 令：么：【( ) 。，( 一) 小k o 。】+ 导【( 刀) 。丘。】，b ：士【毛。，( 吒) 护伽) 胡】， 1 i f2 1 2 c = 【( q ：) 小( ) 小( 刀) 。，】+ 是( 栉) 0 1 k o i 】。那么： 1 2 = a 1 - c o s o p l 一伊) 】+ 曰s i n ( 仍一q , ) + c c o s ( q , l 一伊) 圳s ；n 2 掣铷s ；n 竿c o s 掣+ c 酬仍刊 柏t n 华m 如掣+ 胁掣】+ c 州仍刊 对a ，b ，c 进行化简： 彳= ( ) 。，( 以) 。，i , o 。】+ ； ( 刀) 。，露。，】 l + a 一乃儿l 2 l 台- - o n z l + i = 一吃( + 口) + n o x z d + = 一n ( x dc o s 伤一儿s i n 仍+ 口) + ( n xc o s 仍一勺s i n 伤) 白+ 武汉科技大学硕士学位论文 第2 5 页 = c o s ( f l d ( ? l x z d 一吃吻) + s i n 仍( ，l ：儿一乃) 一口他+ 昙 = c o s e c ( 一饬) + s i n g d ( 一4 ) 一a n z 口 _ ， 2 口 + _ ， 1 1 2 。 一a ? l z a ds i n g a b dc o s q d 由于d = 以s i n ( g ，d ) + 仍c o s ( 纺) + q = 0 ，所以4s i n q a + 仍c o s 仍= 一q 。 因此：爿= q a n ：+ _ a ，= c + _ a ( ，一i 1 2 胛：) z 1 2 1 1 2 oo x 口d + a z dy o d 一他 ：士( 他一乃) 2 ：三【( 而s i n + 儿c o s 纺n z z d ( n ，s i n f a a + n yc o s 纯) 】 1 1 2 = 士【s i l l 仍( 他一乃以) + c o s 纺( 乃吃一白) 】 1 1 2 1 ， _ ( 一4 1 1 2 1 ， 一_ ( 坞 1 1 2 c o s 仍+ 饬s i l l 仍) c o s 伤一饬s i n 伤) 由前面已经计算的一次包络啮合界线函数可以知道： d 口：三 4 ( ，p ) c 。s ( 伊：) 一仍( ，卵s i n ( 伊：) 】 1 2 1 4c o s ( 伤) 一仍s i n ( 伤) 】 1 1 2 由此得：b = 一o d c ：【( q ：) 。，( 吒) 。，( 以) 。】+ 导【( 刀) 们乞。】 1 2 1 i jl 托 ，il ，l l p - _ _ l 一k = 口 一k ：【三z 。，( 也，( n ) 。】+ ，( 帆，( 肛) 。】+ o l - 露。】 l 0 10 ll 0 0 1 1 2 牲口- - 他z d 州口- - 一z 他d 非 h zi 他ll k一他| 1 2 = 一1 - ，- ( x o d + 口) - y o a n o 。】+ 【z d n o x - - ( k a + 口) ，l = 】+ 景以掣 ；一l x o d n o y - - y o d l o x + z d n o x - - ( + 口) 玎：】 1 2 ：一三【( c o s 仍一y d $ i n e p d ) ( 刀，s i n 仍+ n y c o s 仍) 一( 而s i n 缈a + 儿c o s 伤) ( 攸c o s 仍一s i i l 仍) 】+ 【z d n o x 一( 如+ 口) 刀：1 = 一三【嘞取s i n 伤c o s + 而唧c o s 2 伤一y d n xs i n 2 仍一y d n y s i n 口o ac o s 吼】 + 三【以s i n 仍c o s 缈d - - x d n ys i n 2 伤+ y , ，n , c o s 2 一y d n y s i n c ac o s 伊# = 一三( 而万，一y a n k ) + 【乃，k 一( j + 口) 刀：】 z 1 2 = z d ( ? l xc o s 仍一穆s i i l 仍) 一( x dc o s 一儿s i i l 仍) 他一口他+ 吉均以一而) = s i n 呼o d ( y d n z - z d n y ) + c o s 纺( 白以一x d n ：) 一口吃+ 专儿以一吻哆) = 一如仍 z 芝l + c o s 仍l 之z d - a n ：i ni x d z l 】 = 一以s i n 仇一b ac o s c p d q 由此可以得到；c ：0 我们最终得到如下啮合函数的表达式： 吲以) o 。2 s i i l 孚( 心n 孚m s 竽即似即州 4 ) 这里：4 = q + 吼肛一扣酬北z h s 酬u 】 2 蜗轮齿面方程 在二次包络中，蜗轮齿面的共轭区：是由曲面z 。包络产生的，曲面：是单 参数曲面族匹。) 的包络。通过万。，到仃。：的坐标变换，可以容易的得到如下z 的 武汉科技大学硕士学位论文 第2 7 页 向量方程。 ( 吒) ：= 尺【后：，一( 仍】i ：) 】 尺 乞：，一9 0 。 ( 吒。) 。一口屯： = 而之+ 咒五一允。k 2 中d = 0 ( 3 5 ) = 0 1 0 0 f e o s ( q , 。4 2 ) s i n ( q ，li 4 2 ) 虹乞：，_ 9 0 1 = io ol l ，尺【如，一( 仍：) 】= l - s i n ( 6 p , i i ：) e o s ( q ，, i i ：) 10 - 10il 00 所以：( 吃) ：= 尺【如，- ( q , , 4 ：) 啦 乞：，一9 0 。 ( + ) d i _ 碗：) f s i n ( 州q 、4 3 掣0 孵00 嘲l i ty - t - t f | 0 0 10 - l00 = i _ ：) c o s ( 何：) 。 l i o i il i i ) ，。liii =降螭sin(q，1i12),，0。蚓it 01 = i - s i n ( 仍2 ) c o s ( 仍2 ) i o | l y ：。i 删： 儿x ：= ：( 屯x ：l - 刊a ) e o s s i n ( ( c p 州l n ) ：) + + y o ds i 酬n ( 妒l 州i n ) ：) 。 i t t l 面：是由：一和z 2 口两部分组成。由方程( 3 4 ) 可知要使= o ，要么 咖竽删者是( 触竽m s 竽) _ o ，所以结厶方程( 3 5 ) ，这两部 第2 8 页武汉科技大学硕士学位论文 ( 吒) 2 = 恐丘+ y 2 j 2 一以l k 2 d ( 痧，0 ，伊) = 0 爿s i n 翌l 二竺+ b c o s 翌l 二竺：0 22 ( 3 6 b ) 因为当仍= 缈时，得到：_ ，它叫做原接触区。因为：占是二次包络形成的， 所以叫做新接触区。另外，曲面：4 和：口是很平顺的连接在一起，它们的公法 线沿着它们的界线，这时s i n 红孑= o 并且( 么s i n 红+ b c o s 红产) = o 。由此 我们可以得到如下：和：b 的界线的方程： ( 吒) ：= 屯厶+ 耽五一z 。屯 呜( ，秒，伊) = o ( 3 7 ) 馈一缈= 0 占( 矽，0 ，伊) = 0 假设当饩= 伊时，秒，缈中的一个固定，我们就可以从方程( 3 6 a ) 得到曲面 ，z z a 之间的接触线，同时它也是曲面：的特征线。此外，这条接触线也叫 做曲面：_ 的原接触线。用同样的方法，假设矽，0 ，9 ，仍中的一个固定，通过方程 ( 3 6 b ) 我们可以得到曲面。，：暑之间的接触线。这条接触线是曲面：口的特 征线，相应的也叫做新接触线。双圆环面二次包络环面蜗杆副之所以有比较高的 承载能力的一个重要原因就是因为有这两条接触线的同时存在。 实际上，。，z 2 a 之间的接触线是一次包络时的接触线在曲面：上的再现， 同时它也是曲面：彳的母线。因此，曲面：也就是砂轮产形圆环面d 的再现。 在曲面。上，这些接触线与螺旋面的母线是一致的。 3 二次包络中的两类界线 依照齿轮啮合理论睁j 门对方程( 3 4 ) 求关于仍的偏导数； 武汉科技大学硕士学位论文第2 9 页 卟署 一s 竽m 罕s 竽) “n 9 0 , z - - - - - - 里( , 4 c o s 竽墙i n 竿) 一2 a ( i n 罕c o s 竽) + b ( c o s 2 竽“n 2 竽) = 彳s i n ( 仍一伊) + b e o s ( q ，l 一伊) 由此就可以得到如下二次包络单的啮合界线函数： 竹= 嚣2 妫( 矽，只缈，仍) = 彳s 试仍一咖+ 曰c o s ( 仍一咖 ( 3 8 ) 令d = 确= o 并结合方程( 2 1 6 ) ，我们就可以得到二次包络里啮合界线i g 的方程。 _ ( 吒) i = r k i ，叩】( ，i ) 。l = 五+ y l j l + y o a k i j 吼彩，秒，力= o( 3 9 ) l 仍一缈2o 【i b ( 矽，0 ，缈) = 0 事实上，曲线碍是新接触线族的包络线。对比方程( 3 9 ) 和( 2 2 3 ) ，可以 知道曲线群与曲线霹的共轭线相同。因此，原接触线与曲线学相交于二次包 络的第二边界点，并且分别出现在这个边界点的两侧，与此同时新接触线只出现 在它的一侧。 从方程( 3 7 ) 和( 3 9 ) ，也可以知道曲线牟的共轭曲线是曲面：一和：矗的 公共边界曲线。另一方面，从方程( 2 2 3 ) 和( 3 7 ) 我们知道公共边界曲线是曲 线霹在：上的重现。从而，我们可以确定曲线碍的共轭曲线也是：上原接触 线族的包络线而且构成了原接触区：一的自然边界。 在齿轮啮合原理阳1 的基础上，二次包络中瞬时接触线的法向量可以如下表示： ( ) 。= 也( 彳) 。+ ( 西) 。l ； ( 3 1 0 ) 这里： ( 吒) 。l = r k 。i ，仍一矽】尺 乞。，9 0 。】( 岛) 。2 = 口。乞。+ z 。+ g 箩k 。，m = 1 ，2 ； 第3 0 页武汉科技大学硕士学位论文 口附= 9 2 c o s ( 纯一缈) + g 。s i n ( o t 一9 ) ，o t 掣= 9 2 s i n ( o i 一伊) 一g 。c o s ( e l 一够) ； 也= 硭n ( v l ：) 。( 口：) 。+ ”( k ：) 。( 口；) 。+ ( 彩t ：) 。，+ ( 口；) 。t ， m = ”( k ：) 。( 口：) 。+ 霸”( k ：) 。( 呓) 。一( 缈。：) 。( 口i ) 。； ( 毗心。= 等+ ，( 贼) o l = 等- y ”铲等( 私口) o1 2 1 21 2 在方程( 3 4 ) 罩，假设曲面：的两个参数是矽和仍。由此，就可以得出关 于的偏导数，过程如下： -锄：竺兰兰=竺笠：竺竺!窆翌x-7 0 9 ,a 西 = 望! 丝【! 二竺呈! 亟二翌! ! 里! ! 璺! 亟二翌! ! ( 3 1 1 ) 却 = 挈1 一酬仍刊】+ d o b 伊s i n ( 仍刊 当鲲= 矽且曰= 0 时，带入方程( 3 8 ) 和( 3 1 1 ) 可以得到q = 妒l = 0 按照齿轮啮合理论m ，此刻向量( ) 。是一个零向量并且不定向。由此，曲线鹭和 它的共轭曲线分别是二次包络时曲面z 。和：上瞬时接触线奇点的轨迹。这两条 曲线上的任意点都是原接触线和新接触线的交点，同时也是双圆环面二次包络环 面蜗杆副的瞬时接触线奇点。但是，这些点都不是他们所在曲面的奇点。 按照啮合理论阳1 ，二次包络的曲率干涉界线函数可以表达为： 、王，= ( ) 。l ( k 2 ) 。l + 妫 = 【也( 吖) 。+ ( 暖) 。 。( k z ) 。t + o 竹 = 也( k ：) 。( 西) 。+ ( k ：) 。，( 口；) 。+ 竹 在：上令甲= 0 就可以得出二次包络的曲率干涉界线4 2 。因为曲面：是 由：一和：占两部分组成，所以曲线叠2 也是由两部分组成。 对应于曲面：的一部分4 2 是蜗轮齿面接触线奇点的轨迹。这一部分是曲 面：特征线族的包络，但是，因为沿着这部分甲= 。- 0 ，所以它不会导致：一 武汉科技大学硕士学位论文第3 l 页 根切。 如果曲线墨2 的另一部分存在，那么它一定是：占上新接触线族的包络线。 观察新接触线的分布趋势，一般情况下这一部分都不会出现在蜗轮齿面上。 综合以上分析，可以得出这样一个结论：双圆环面二次包络环面蜗杆副基 本不会产生根切现象。 4 双圆环面二次包络环面蜗杆副局部的啮合质量参数 双圆环面二次包络环面蜗杆副局部啮合质量参数包括诱导法曲率半径系数 吒和滑动角民两个系数。 因为是双圆环面二次包络环面蜗杆副啮合时的诱导法曲率半径系数，它 直接反映接触应力的水平以及在两个线接触共轭曲面之间啮合点附近的一些重 要的啮合特性。根据啮合啮合理论，口为齿面接触点处沿任一方向的单位切向量， 则共轭齿面在此方向的诱导法曲率墨：口有如下的计算公式： 玩= 华 当口与方帅前这就钒= 寄= 等= 华， 而= 芴丢。所以这个系数可以表示成：。甲 口( 孵+ 孵) 。这里需要指 出的是：在任意瞬时接触线奇点系数k 不能用上述公式计算，因为 = 0 研= o 。然而，曲面。和：占是沿着蜗杆副瞬时接触线奇点的轨迹密 切的。因此诱导主曲率沿着这条轨迹等于0 。所以在任意瞬时接触线奇点，吒的 值趋向于无穷大。 此外，曲面。和2 _ 不是沿着蜗杆副瞬时接触线奇点的轨迹密切的。由于系 数的数值连续性，它在区域：口里的值通常大于在区域：里的值。正是因为 这个原因，区域：b 的局部啮合质量通常比：一里的要好。 第3 2 页武汉科技大学硕士学位论文 通过上面的阐述，可以清晰的知道：共轭曲面，和：上的正常啮合点是抛 物点，同时瞬时接触线奇点是平点。 一对共轭曲面对应的滑动角巩是相对运动速度之间的锐角和瞬时接触线的 正切值呻1 钔。在大多数情况下，以为直角时润滑性能最好，因为这时容易在啮合 的曲面之间形成弹性流体动力润滑( e h l ) 油膜。 按照前面提到的定义，双圆环面二次包络环面蜗杆副的滑动角可以如下表 示： s ；岭粉刺 ( ? v y o 。= 【也( 研) 。，+ ( 哦) 。】2 = 哐傅) ：。+ 孵( 呓) ：+ 2 以m 【( 口：) 。幢) 。】 由前面可以知道( 西) 。，和( 磁) 。是相互垂直的单位向量，所以可以得到： ( ) ：。= 孵+ 孵，进而i ( ) 。i = 哐+ 孵又由齿轮啮合原理知道： y = ( ) 。i ( k 2 ) 。l + 9 l ，所以： s i r , 铊= 由此，得到：01 1 坠 ( 3 1 2 ) 龇砸叽，, = a r c s i n 菇精麓 1 2 这里： i ( k ：) 。i ：士板瓦二i 忑丁i 瓦乏丁i 而。如果是在瞬时接触 线奇点，由于( ) 。= 赡+ 孵= o ，滑动角就无法明确了 此外，通过微分几何和齿轮啮合原理1 2 3 里确立的方法，在共轭区域，里任 意普通点的高斯曲率可以表示成： k 2 ) - ( 碟一唾、l ，) ( 磷n 一啊甲) 一( 一他甲) 2 。 武汉科技大学硕士学位论文第3 3 页 第四章数值算例讨论 1 蜗杆副共轭区边界关键点和瞬时接触线的确定 蜗杆螺旋面和蜗轮齿面有一定的高度和宽度，齿面接触区被限制在一定的范 围内；残留的前后过渡曲面又覆盖掉齿面接触区的一部分。因此，需要计算出接 触区边界，绘出接触区图形，才能进行宏观啮合质量的分析。 为了使接触区图形更加直观，清晰，在蜗轮轴线截面内坐标系( d 2 ；吃，z 口：) 里 绘出蜗轮齿面的边界线；在蜗杆上则将啮合面边界线投影到( d i ；儿。，乙) 坐标平面 卜 图4 1 蜗杆螺旋面的边界 r 如图4 1 为蜗杆螺旋面边界；半径为兄，的蜗杆齿顶圆弧为螺旋面顶部的边 界，同时它也确定了蜗轮根部的接触区边界线；由蜗杆工作长度岛确定的垂直 于蜗杆轴线的平面与蜗轮螺旋面的交线为蜀和厶。这里的心表示齿面上的点在 蜗杆径向上的长度，e = 0 研2 + 2y 厮2 2 。 第3 4 页武汉科技大学硕士学位论文 图4 2 蜗轮齿面边界 如图4 2 为蜗轮齿面的边界：半径为兄：圆弧形成的圆环面和直径丸：的 圆柱面构成蜗轮齿顶面，它同时确定了蜗杆螺旋面根部的接触区边界线；蜗轮两 端3 0 。倒角，锥面r 和厶确定蜗杆啮入端的边界线。这里的r b 表示齿面上的点 在蜗轮径向上的长度，且心= 厢= 0 丽。 蜗杆副共轭区边界关键点，是不同边界的交点，需要通过迭代求解啮合方 程与蜗杆副啮合边界条件方程组成的非线性方程组才能确定。以表4 1 中算例c 为例说明具体如何确定蜗杆副啮合区关键点的确定方法。图4 5 中绘出了此算例 的共轭区。 在蜗轮齿面上，区域脚是原接触区：，区域刷弼日是新接触区：j 。 么b 线是蜗轮齿面共轭区：与前过渡曲面的分界线，与蜗杆的啮入端相对应， 因此确定么点的方程组为： 武汉科技大学硕士学位论文 第3 5 页 叱= 0 气= l 2 a , o 一厢) 2 + z ；一9 2 a 2 = 0 曲线b d f h 与蜗杆齿顶相对应，于是确定b 点的方程组为： 叱= 0 而= k 2 ( 口一石i ) 2 + z 卜= o c d 线与蜗杆啮出端相对应，于是确定c 点的方程组为： 呜= 0 毛= 一l 2 ( 屹一厢) 2 + 之一砭= o 确定d 点的方程组为： i 呜= 0 刁= 一l 2 【( 口一厢) 2 + 彳一r 2 a l = o ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 由于仍= 伊，( 4 1 ) 一( 4 4 ) 中的未知数实际上是，p ，伊，可以通过数值迭 代的方法来求解。 e f 线是共轭区：一和：矗的交界线，也是二包二界线及其共轭线。因此确定 e 点的方程组为： ja d 2 + 彰2 兰2 o ( 4 5 ) 【( 屹一+ 尤) 2 + z ；一砭= o 确定，点的方程组为： i 彳+ 研一四= o 【( a - 彳+ 拜) 2 + 彳一= o ( 4 6 ) 第3 6 页武汉科技大学硕士学位论文 在( 4 5 ) 和( 4 6 ) 中有： 仍= 伊，s i n 缈d = 一4 q ( 彳+ 砑) ，c 0 s 伤= 一岛q ( 彳+ 砑) ，所以实际上 的未知数只有矽和0 。 g h 线为蜗轮齿面的倒角线，g 点是蜗轮齿顶直线边界与g h 线的交点， 因此确定g 点的方程组为： d = 0 霹+ 以= ( 叱2 2 ) 2 ( 4 7 ) z ：+ r bt a n 3 0 。一【口一夏手= _ 二丽 t a n 3 0 。一如2 = 0 日点是倒角线g h 与蜗杆齿项边界的交点，所以确定日点的方程组为： iq = 0 ( 口一+ 拜) 2 +