（应用数学专业论文）minkowski空间中涡线方程的泊松几何.pdf

摘要 在叵i 顾m i n k o w s k i 空间中涡线方程相关知识的基础上，我们在泊松儿何框架内 证明了m i n k o w s k i 空间中的h a s i m o t o 变换是泊松映射，同时还验证了m i n k o w s k i 空 问中涡线方程递归算了的遗传性，然后应用递归算_ 了产生了涡线方程的两串对称 性，并证明了这两串对称性构成一个封闭的李代数。 关键词：涡线方程，h a s i m o t o 变换，泊松儿何，双哈密顿结构 a b s tr a c t b a s e du p o nt h er e v i e wo fs o m er e l e v a n tk n o w l e d g eo nt h ev o r t e xf i l a m e n te q u a - t i o ni nm i n k o w s k is p a c e ，w em a i n l ys h o wt h a th a s i m o t ot r a n s f o r m a t i o ni nm i n k o w s k i s p a c ei sap o i s s o nm a pi nt h ec o n t e x to fp o i s s o ng e o m e t r y a n da tt h es a m et i m e ，w e a l s oc h e c kt h eh e r e d i t yo fr e c u r s i o no p e r a t o rf o rt h ev o r t e xf i l a m e n te q u a t i o ni n m i n k o w s k is p a c e ，t h e nw es l l o wt h a tt h er e c u r s i o no p e r a t o rc a ng e n e r a t et w os e - r i e so fi n f i n i t es e q u e n c e so fs y m m e t r ya n dp r o v et h a tt h e s es y m m e t r i e sf o r mal i e a l g e b r a k e y w o r d s ：v o r t e xf i l a m e n te q u a t i o n ，h a s i m o t ot r a n s f o r m a t i o n ，p o i s s o ng e - o m e t r y ，b i h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所早交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：春堕1 髓鹇 日期：2 0 啄年当月万日 首都师范大学位论文授权使用声明 奉人完全了解旨都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电了版和纸质版有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论义的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：鹅乇。r 鹤 日期：7 耐年s 月芩e 1 第一章引言 涡线方程是流体力学中，类重要的非线性演化方程，其形式为 鲁硝， ( 1 ) 这里1 ( s ，) 为曲线族( s 为弧长参数) ，k 为其曲率，b 为副法向量。h a s i m o t o 1 通 过引入h a s i i n o t o 变换证明了涡线方程与非线性薛定谔方程相联系。m a r s d e n 和 w e i n s t e i n 2 给出了涡线方程的哈密顿表现形式，l a n g e r 矛1 p e r l i n e 3 1 引入了平衡渐 进线性曲线( b a l ) 作为涡线方程的态空问，并得到了h a s i m o t o 变换的微分公式， 进而揭示了h a s i m o t o 变换实际 ：就是从b a l 到非线性薛定谔方程的态空间的泊松 映射。y a s u i 和s a s a k i 4 弓i 入了b a l 上的微分运算( d i f f e r e n t i a lc a l c u l u s ) ，并将其应 用到涡线方程，验证了递归算子的遗传性以及利用递归算子得到了无穷多个对称 性以上的研究都是在欧氏空问中讨论的。 g u r b u z 5 给出了m i n k o w s k i 空间中h a s i m o t o 变换的微分公式。本文将在此 基础上，利用l a n g e r 和p e r l i n e 的方法在泊松几何的框架内证明m i n k o w s k i 空问中 的h a s i m o t o 变换是泊松映射，同时我们还将验证m i n k o w s l 【i 窄问中涡线方程递归 算子的遗传性，然后应用递归算子产生了涡线方程的两串对称性，并证明了这两 串对称性以下李代数关系： 类时曲线情形， 【，】：0 ，】= ( 一n + 2 ) + m ，陬，y m 】：( m n ) k + m ；( 2 ) 类空曲线情形， 陬，】0 ，阢，y m 】= ( 一佗一2 ) 瓦+ m ，陬，y m 】= ( m 一佗) 碥+ m ( 3 ) 从而这些对称性构成了一个李代数。 下面简要介绍一下本文框架。本文在第二部分回顾一些基础知识：m i n k o w s m 空问中的曲线，m i n k o w s k i 空问中的甲衡渐进线性曲线，n l s 一以及非线性热方程 的双哈密顿结构，h a s i m o t o 变换及其微分公式。在第三部分，我们将存泊松几何 框架内证明m i n k o w s k i 空间中的h a s i m o t o 变换是泊松映射。在第四部分，我们将 对m i n k o w s k 空间中涡线方程的递归算子和对称性进行研究。注意在本文中，对于 类时和类空曲线的相关算子，我们使用i _ j 样的符号。 1 第二章预备知识 2 1 m i n k o w s k i 空间中的曲线 在这罩我们先介绍一下m i n k o w s k i 空间中的曲线理论，这部分可以参考 6 】 m i i l k o w s k i 空间兄 是r 上由 ( z 1 ，x 2 ，x 3 ) l x l ，z 2 ，z 3 捌 组成的二维线性空间，并被 赋予如下的内积： 1 - - - - - - x 1 y l + z 2 y 2 + x 3 y 3 ，( 4 ) 这里 1 的下标1 是为了与欧式内积相区别。 定义2 1 如果曲线c ：i 一研满足： ( 1 ) l 0 。 j ! l j 称c 是类空r i o ( s p a c e l i k e ) ； ( 3 ) l - - - - 0 ，则称e 是类光的( 1 i g h t l i k e ) o 向景a 与b 的又乘积可以按照如下方式定义， 1 ：- - d e t ( a ，b ，c ) ， 对任意c 硝成立。 现在我们按照如下方式定义研上的标架。首先取向量e l 与e 2 ，满足 1 = 土l 与 1 = 0 ，如果定义第三个向罱e 3 = e l e 2 ，则这三个向晕就 够成了一个正交标架。同时如果再定义 l = ， l = 叩，其 中，叩 1 ，一l ，则 1 - - - - 一研。于是对于任意l 句量x 磁，我们有： x = l + ? 7 1 一7 7 1 定理2 2 ( m i n k o w s k i 空问中的n e n e t 公式) 没c 是以弧长s 为参数的类时或类空 曲线，且满足 l 0 ，则曲线c 产可定义一个m n e 标架：t = e 1 = c ，n = e 2 = c 忻i 万酮，b = e 3 = e l e 2 并且肯 ( 考) = (! 霸一叩) ( 考) c 7 ， 这里“是指对s 的导数o ： 对于类i l f ( t i m e - l i k e ) i 封t 线，我们取e = 一l ，卵= l ：对于类空曲线，我们 取= 1 ，田= l 。 2 2 2 m i n k o w s k i 空间中的b a l 理论 3 】 首先记a l = ，y ：( 一0 0 ，o 。) _ 研：7 是以弧k 为参数，曲率和挠率 均不为零，且渐进于z 轴的曲线 ，这里渐进于z 轴是指存在常数a + 与入一，使 得l i 珥 s e 3 7 ( s ) 】= a + e 3 。再i 尸, b a l = 7 a l ：0 = a + = a + + a 一 。 下叫取7 b a l 。假定m ( s ) = 1 ( ，s ) 是，y 的变分，也就是说对仟意t ( 一e ，e ) ，m b a l 并且加= 7 。再令w ( s ) = 幽o t i t = o , 则w 可以用7 的f r e n e t b j 架 表示l 叶j 来，即彤= e n + q g n e q h b 。又由j ：m 是以弧长为参数，所以 = 0 ，从而，= 酊1 ( g k ) ，这里靠1 ( 厂) ( s ) = ； f 。f ( u ) d u ff ( u ) d u 。这样我们得 到， 已b a l = ：f = c o ：1 ( g k ) ) 下而我们在b a l 卜引入度量和泊松括号。首先在b a l 卜引入内积，取瞰= e f , t + q g i n e r ；h b ( i = 1 ，2 ) ，我们令 m ，吣= 仁，眈- e q h l h 2 ) 如 为了描述b a l 卜的泊松结构，我们再引入参数化算子( p a r a i n e t e r i z a t i o no p e r a t o r ) 纱。对于任意7 上的切向量场w = e f t + q g n e q h b ，定义 v ( w ) = 酊1 ( g k ) t + r g n e t i h b ( 8 ) 卜血再定义兀b a 三上的反对称线性算子， j w = p ( t ) ， 于足在b a l 一卜的泊松括号可以定义为： f ，g - - ， 同时还可以定义递归算子： 瞬w = p ( t w ，) ( = j w 7 = k j 一1 w ) ， 这里k = j ( d d s ) j 。 2 3 n l s 一和非线性热方程的双哈密顿结构 m i n k o w s k i 空间中的涡线方程仍具有同样的形式， 害硝 3 ( 1 0 ) ( 1 2 ) 经过h a s i m o t o 变换( 其定义见2 4 节) ，涡线方程在类时曲线情形将变成n l s 一方 程 7 ，5 】 i 矽十砂一去矽2 万= 0 ， 在类空曲线情形将变为非线性方程 7 ，5 】 j ，吼= 一吼s q 2 r 、n = + r 2 q 下面我们按照m a g r i 文章 8 州j h - 法来讨论它们的双哈密顿结构。 首先考虑n l s 一方程。在这里我们引) k n l s 一方程的态空间皿， r _ c ，这里我们假定0 在边界快速衰减，在上引入内积： = 三仁( 蚺啪地仁瓣， 在切空问死皿上先定义反对称线性算子， ，9 = i 妒，妒死，雪 这样我们可以在皿卜给定一个泊松结构， fg = ， f g 皿 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 记皿= 砂： ( 1 5 ) ( 1 6 ) 然后我们再定义另一个反对称线性算子， 凰，( 妒) = 一妒7 + 去砂酊1 ( 万妒一妒) ， ( 1 7 ) 这罩，露1 ( 厂) = 瓠f 。f ( u ) d u ff ( u ) d u 。于是通过定义 fg = ， f , g 虫 我们就j 以得到上的另一个泊松结构。 町以证明沔露是相容的，也就是7 + 露也町类似诱导一个泊松括号，从而得 到了n l s 一的舣哈密顿结构，于是我们有递归算子， 骚t ，妒= 面。产1 妒= i 妒7 一吴砂薛1 ( 如+ 矽) ，( 1 8 ) 根据f u c l l s s t e i i l e r 和f o k a s f 9 1 的理论，我们可以得到无穷多个泊松括号： f g 。= ，n 0 ( 1 9 ) 对于非线性方程( 1 4 ) ，我们记m = ( 口，r ) l ( q ，r ) ：r r 2 ，在m 上引入内 秘： ( 盼 ( 2 0 ) 舅d 、- ， 2 rr+ 昵g， = 4 、，他您 ，、 我们可以用类似的办法得到非线性方程( 1 4 ) 的双密顿结构： j= 砧。( r q ) 同样我们可以得到递归算子： 翕。，。( ，q ) = 詹 q l r l 于1q ) = ( - - n q s + - - r q ，酊l o f 。l ( n ( r q l q + t r r q q ，) l ) ， 从而j 类似的，我们仍丌j 以得到无穷多个泊松括号： ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 只g ) n = ，7 7 , 0 ( 2 4 ) 2 4 h a s i m o t o 变换及其微分公式 对于类时的情况，h a s i m o t o 变换定义为 5 ，7 】， ( 7 ) ( 5 ) = k ( s ) e i ，8r ( t 胁， 这罩，j ：b a l e s 1 。为了计算的方便，我, i r i s 定义 h ：b a l _ 皿 其中 危( 7 ) ( s ) = k ( s ) 盯( s ) ，盯( s ) = e i o ；1 ( r ) ( 5 ) 则 h = 7 r0 危 这里7 r 是m _ m s 1 的投射。 下面来看类时隋形的h a s i m o t o 变换微分公式。 君l l p e r l i n e 3 】的方法可以得到， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 为此，我们先通过利用l a n g e r 炙( s ) = 0 ， 文( k ) = 1 ， 文( 7 - ) = ：一 1 ， 这里x ，= v 。x ，7 = o , f 。 5 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) 、 r r r r 一 一 g 口 g q)露露 o o 叫 0 1 如 ， 接下来我们取w 暑b a l ，利用( 2 8 ) - ( 3 0 ) 则有， d h ( w ) = 盯“( 圪) + i 仃k 爵1 ( 几( 7 ) ) 盯 l + i 口k 9 f 1 ( ：一 1 ) 啊，) 一i 妒0 - 1 1 ( ，) 一渺三( f ( ) + f ( 一o 。) ) ， 其中f = 1 。 另外，我们用睨作用在w 上，可得瓣( w ) = p ( t ) = t w + p t ，其中 肛= 酊1 1 。再次用蛇作用可得， 若引入 瓣2w 1 f g ( t ( t 7 w 7 + t w + 肛7 t + p t 7 ) ) 妒( t ( k n + t w + p 7 t + p k n ) ) p ( 一w + 爵1 1k b ) 粤：已b a l _ 皿，e ( w ) = ( g + i h ) a ，w = - f t + g n + h b ，( 3 1 ) 则有p 噼( w ) = 一z ( 、) + i 矽酊1 l 。于是通过比较( f 厅( w ) 与e 泥2 ( w ) ，我们 就可以得到类时情形下的h a s i m o t o 变换微分公式： d h ( w ) = 一粤睨2 ( w ) + i c e 下【f 【f 我们再考虑类空的情形，l i t b , j h a s i m o t o 变换定义为 5 ，7 】， 危：b a 一m ，危( 7 ) = 。砺1 ( k ( s ) 盯l ，k ( s ) 眈) ， 这晕仃l = e l o r d u ，观= e - 岳r d u 。 类似前面的公式( 2 8 ) - ( 3 0 ) ，我们有， 文( s ) = 0 ， 文( k ) = 1 ， 文( 7 ) = 侥 1 + 1 首先利用( 3 5 ) ( 3 6 ) 我们类似可以得到， 州w ) 叫砺1k ( 6 舅彩w 竺；乃0 2 ) 一簖1 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 另外，与类时情况类似，我们利用( i i ) n - - 以计算出， 铲( w ) = 护( 一酊1 1 庙) 于是若引入 ：t y b a l m ，= 砺1 ( ( 9 + 帅，( 夕一懒) ，叫= ，t + n 一肺，( 3 7 ) 则有 嬲w h ( 伽 砺1 圪( - o ：，锄嬲。) v 么、 “”，一。z 比较d h ( w ) 与z 蹰2 ( w ) ，我们可以给出类空情彤的h a s i , n o t o 变换微分公式： d h ( w ) = 粤泥2 ( w ) 7 ( 3 8 ) 第三章h a s i m o t o 变换是p o i s s o n 映射 3 1 类时曲线情形 为了证 班j m i n k o w s k i 空间中的h a s i m o t o 变换是p o i s s o n 映射，首先我们给出如 下引理， 弓l 理3 1 e 瓣= 跄粤 瓣j =l ，瓣+ j = g j g + d h j d h + = ( f 7 r 静施7 r + 这里“桫代表伴随算子，泥指吩护其中矽= k 口。 ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) 证明：对于第一个式子，取w 五b a l ，w = 一鹭1 ( k g ) t + g n + h b ，利用( 1 1 ) ( 3 1 ) 可得 睨( w )= p ( t w 7 ) = 护( 一( 9 7 十，7 ) n + ( 一贫1 ( k 夕) k + 9 7 一，1 7 ) b ) ，( 4 3 ) z 驼( w ) = 盯 一( 夕7 - + h 7 ) + ( 一嚣1 ( k g ) k + g 一h v ) i ( 4 4 ) 另外由( 3 1 ) 可知， ( ( w ) ) 7 = 0 t 0 + i h ) + ( 9 7 + i h 7 ) = 盯 ( 9 7 一 7 ) + i ( 7 + 9 7 ) 】 令妒= p ( w ) ，有砂+ 砂砂= k ( 9 + i h ) + k ( 9 一i h ) = 2 k 9 ，于是 瓣咖= i 矽7 一( i 2 ) , 砂o - j 1 ( 矽+ 砂咖) = 盯 一( 7 + 9 7 - ) + i ( 一h r + 9 7 一k 酊1 ( k g ) ) 】， 所以通过比较上式与( 4 4 ) 可知驼= 掀。 对于第二个式子，利用j _ 1 = j = 一j 以及k 的反对称性可得证 为了证明第三个式子，我们先通过利用伴随算子的定义计算得出 粤+ = r e ( 5 ) n + h n ( 5 砂) b ，( 4 5 ) 于是利用( 9 ) 有， j g + 咖= p ( t ( r e ( a ) n + i m ( 5 咖) b ) ) = p ( - i m ( 5 ) n + r e ( b ) b ) ， g j g + = ( 一i m ( a ) + i r e ( 5 ) ) 口= i a 方砂= i 砂= j 咖 8 对于第四个式了，我们可利用( 2 7 ) ( 3 9 ) ( 4 1 ) 得到， 命题得证 d h j d h + = z 蹰2 j 蹰* 2 z + = d 丌p 瓣2 了铲2 矿打+ = 打噼j g + d 7 r + ：d 丌巍4 粤j 矿c 打 ：打铲施矿 引理3 2 如荣m 和是两个r i e m a n n ；g 形，h ：m _ 和f ：n - r 都是光滑 的，则有 这里p m 。 v ( f oh ) i p = d h + ( v f ) l h 如) 证明：对于仟意的w 0 m ，我们有， = d fod h ( w ) = - - - - 所以由w 的任意性可知：v ( foh ) i p = d h + ( v f ) i h ( p ) 。 命题得证 下_ 血我们利用引理3 2 将( 3 2 ) 应用到h a m i l t o n i a i l 向量场上， d h ( x f 。| 1 1 ) =d h ( j v ( f0 ) ) d h ( j d h + v f l ( f 7 r 辩了，d 7 r t v f d 丌辩j v ( fo7 r 1 打辩( x 胁) ( 4 6 ) 从而， d h ( x f 。_ 1 1 ) i ，= d 7 r 萨( 坼。) i _ l ( ，y ) ， ( 4 7 ) 这里，f c o o ( s 1 ) ，义f 。，l = j v ( f0 ) ，x f 。= j v ( f 07 r ) 。 最后，我们得到如下定理， 定理3 3h a s i m o t o ：变换h ：b a l _ v s 1 是一个p o i s s o n 映射，其中鲋l 的游松括 号为m a r s d e n w e i n s t e i n 泊松括号( 1 0 ) ，两固? s 1 的为t ，、4 ( 其定义魁( 1 9 、) o 9 证明：任取eg c ( 皿s 1 ) ，利用( 4 6 ) ( 4 7 ) 可得， f g 4 ( ( ，y ) ) = fo 丌，go7 r 4 ( 7 r 一1 ( 7 ) ) = ( 7 r - 1 ( 7 ) ) = ( i f - 1 ( 7 ) ) = ( ( ，y ) ) = = = ( 7 ) = f oh ，go ( 7 ) 命题得证 3 2 类空曲线情形 类似的我们也口j 给山如下的引理 0 l 理3 4 艘= 黜，( 4 8 ) 蹰j = j 辩，( 4 9 ) j = 粤j 矿，( 5 0 ) d h j d h + = d 7 r 铲j d 7 r + ，( 5 1 ) 这型”代表伴随算。了，瓣搬 。，其中( g l ，r 1 ) = 击( k ( s ) 盯1 ，k ( s ) 眈) 。 证明：对第二个和第四个式子完伞类似于类时情形，这里我们仅验证第一个和第 四个式子。 对于第个式子，我们取w 已b a l ，w = 酊1 ( k g ) t + g n 一九b ，则利 用( 1 1 ) ( 3 7 ) 有， 瓣( w ) = 妒( 一( 9 7 + h r ) n + ( 露1 ( k 9 ) k + 矿+ h r ) b ) ， 泥( ) = 去( - g g - 丁r - 一h ，+ - 霹o f ，l ( ( g 妒a ) ) k a + - 夕g ， + - h 丁t ) ) 0 r 2 a l 另外，r l t 2 ( w ) + q l e , ( w ) = ( ( g + 忍) k + ( g 一 ) k ) = g k ，所以 酥以啦去( 黜i 善l 芬- 第搠窆1 ) 于是通过比较可得p 瓣= 戳。 为了证明第三个式子，我们需要先计算一下矿，类似于类时情形我们可以得 到： 矿( ；) = 砺1p ( q a l + r a 2 ) n + ( q a l - r a 2 ) b 】 ( 5 2 ) 下血开始第三个式子的证明， 了矿 z j 歹( r q r q ) 最后通过比较上面表达式， 命题得证 护 ( 口盯l r 眈) n + ( q 0 1 + r 0 2 ) b (901-一r02+-q01+-r02)a1)=(-tq01(72 q 0 1r ( ：7 2 ) 0 2 q ) 、( 一+ 、， 1 1 ) ( r q ) = ( 了) 我们有粤，矿：j 。 类似( 4 7 ) 我们还可以得到： d h ( x f 。 ) 1 1 = 静( x f ) i 联7 ) ( 5 3 ) 于是我们得到如下定理， 定理3 5h a s i m o t o 变换h ：b a l m 是一个p o i s s o n 映射其中b a l 的泊松括号 为m a r s d e n w e i n s t e i n f f 3 松扦号f ，i 砂，而m 的为 ， 4 ( 定义见( 2 4 ) ) 。 证明：任取eg c 0 0 ( m ) ，e h ( 5 3 ) 町得， 只g ) 4 ( 方( ，y ) ) = 危( ，y ) ) = 危( 7 ) ) = = = ( ，y ) = f oh ，go 危 ( 7 ) 命题得证 上以 一1 2 o 1 = = ( ，)一 l g r 第四章涡线方程递归算子和对称性的研究 4 1 类时曲线情形 首先对于已b a l = w ：厂= 一酊1 k ) ) ，定义 z ，y 】= v z y v x ，比，y 暑b a l ( 5 4 ) 则e b a l 有一个l i e 代数结构 4 ，l o 。 由于l b a 中元素的t 分量完伞由n 分量决定，所以为简便起见，我们引入映 射妒：l b a l _ 妒( 耳b a l ) ，这里 妒( 一露1 ( 夕k ) t + g n + h b ) = g n + h b ， 其中p ( n ) = n ，妒( b ) = b 。同时在妒( 正b a l ) ，我们还可以引入如下内积 4 】： ( 5 5 ) _ l ：- - - - g i 9 2 + h l h 2 ， ( 5 6 ) 若令亏x ：= 妒。v s ) ( x ) 。纱，贝i j c p ( t r b a l ) 自然诱导了一个l i e 代数结构 4 】，即 x ，y 】：= v x y v y x ，( 5 7 ) 其中， 寺x y = 站( x ) 上+ 6 护( x ) 上b 一酊1 上妒v 。妒( x ) 一 上( 上一 上b ) ， 于是对于任意的妒( l b a l ) 上的线性算子f ，我们有 4 】 其中， 下面我们冉定义。 l x ( f y ) = ( l x f ) y + f l x y , 护l ( g n + h b ) ( x ) k 1 ( x ) r ( x ) l x y = 【x ， 一西1 ( g a ) t + g n + h b ， 一 上+ 上b ， 妒k p ( x ) = j l 妒v 。妒j l ( x ) ， k 1 打1 ( x ) = 妒v 。p ( x ) 1 2 ( 5 8 ) ( 5 9 ) d 为了简便起见，我们仍将纱1 ，以，k 1 记为纱，z k ，则( 6 1 ) 一( 6 3 ) 可以改写为： j ( x ) = 一 上+ 上b ， ( 6 4 ) k ( x ) = j 妒v 。p j ( x ) ， ( 6 5 ) n ( x ) = j 妒v 。纱( x ) ( 6 6 ) 这里r 为递归算子，并且r = 妒盼p 。 另外，对于似= g n + h b l b a l ，我们有， 妒v 。p ( x ) = ( 9 7 一筇1 ( g n ) 片一九7 ) + ( 7 十g t ) b ，( 6 7 ) 妒v 。v 。p ( x ) = ( g - g n 2 - - g t 2 - 霹1 ( 9 片) k 7 2 h 7 丁一h t 7 ) + ( 一h t 2 + 2 9 7 r + g r - - 酊1 ( 9 圪) 圪7 - ) b r ( x ) = 一( 7 + g r ) n + ( 9 7 一酊1 ( 9 k ) k h r ) b 下面让我们来验证递归算子r 是口j 遗传性。 定理4 1 递归芹子r 是可遗传的。 证明：我f f l q 需证明r 的n i j e i l l l u i s 张量是0 b u 可。 ( 6 8 ) ( 6 9 ) r ( x ，y ) ：= ( l r x r r l x r ) y = 【r x r y 】一r x ，r y 】一r r x ，y 】+ r 2 i x ，y 】， ( 7 0 ) 菪定义 ( v x r ) y ：= v x ( r y ) 一r ( v x y ) ，( 7 1 ) 则可以证明 ( 亏x r ) y = 一酊1 j - , r x + ( 酊1 ) k b ( 7 2 ) 于是，( x ，y ) = ( v a x r ) ( y ) 一r ( ( v x r ) ( y ) ) 一( xhy ) 。 令r x = a ，r y = 6 ，则有r a = ( 一 7 一以 ) + ( 以 一 丁一酊1 尤) b 。 于是， ( v n x r ) ( y ) 一r ( ( v x r ) ( y ) ) = 一露1 j 一1 r 2 x + ( 爵1 ) k b + r 霹1 j - 1 r x 】一r ( ( 爵1 ) k b ) ， 又一嚣1 j 一1 r 2 x = ( 一9 f 1 上伉 上+ a ：f 1 上 上7 ) + ( 一露1 上 上下一露1 上以 上) b + x y 对称项， ( 霹1 ) 圪b = ( 一9 了1 ( 侥 上 上) ，c + 9 f 1 ( 上以 上) k 一爵1 ( 上露1 上k ) k ) b + x y 对称项， r o j l j - 1 r x 】 = ( a ! f 1 上侥 上一a ! f 1 上 上7 - ) + ( 上 上+ p _ 1 上0 8 上 一爵1 ( 酊1 上 上) k + 露1 上 上r ) b + x y 对称项 所以， ( v n x r ) ( y ) 一尺( ( v x r ) ( y ) ) = ( 一0 2 1 ( 上9 f 1 上k ) k 一9 f 1 ( 9 f 1 上 上) k ) + ( 9 f 1 ( j - 以 上) k + 9 f 1 ( 上伉 上) k ) 】b + x y 对称项= x y 对称项。 所以= 0 ，r 为遗传算子。 命题得证 下血我们来研究涡线方程的对称性，为此令k = 舻( 圪b ) ，y m = 眇( s j o b ) ， n = 0 ，1 ，2 ，n = 1 ，2 ，3 ，则有如下弓i 理， 6 1 霉1 14 2 ( 1 ) t x , ，r = 0 j ( 2 ) l y , r = r 2 ，( 3 ) x o ，m j = 2 x 1 证明：首先利用( 7 1 ) ( 7 2 ) ，我们有( l x r ) ( y ) = ( v x r ) ( y ) 一v 矗y x + r ( v y x ) 令妒v 。p ( y ) = “v 。纱( y ) = b ，贝0 有n = 妒( 6 1 ) ，b l = 上n + 上b 。 ( 1 ) ( l x u r ) ( y ) = ( v x o m ( y ) 一v r y + r ( v y x o ) 。 第一项： ( v x o r ) y = 一9 f 1 上j - , r j + ( 9 f 1 上) 圪b = j 7 、r ( k 7 暂1 上) + b ( 仇k 露1 上+ 暂1 ( 侥k 上) 圪 一露1 ( t 上) k ) ， 第二项： 一v r y = - 6 p ( r y ) ( k ) b 十 上n = ( 鳄 上一 上7 2 2 以 上7 一 上以r + 9 f 1 ( k 上) k 7 ) + ( 醒 上一 上k 2 一 上7 2 一p f l ( k 上) 以k + 2 侥 上7 - + 上o 卵- ) b ， 第三项： r ( v y x o ) = r ( 6 p ( y ) ( k ) b 一 上n ) = ( 上7 - 2 一鳄 上+ 2 侥 上7 + 上以7 ) 1 4 + b ( 一2 0 。 上7 - 上以7 一砖 上 + 9 f 1 ( 上t a ) a + 9 f 1 ( 以 上仡) 仡+ 上7 2 ) ， 所以l 冗= 0 。 ( 2 ) l v 。r = r 2 的证明与( 1 ) 类似。 ( 3 ) 妫，m 】= v m v m x o = ( 一2 a 7 ) + ( 一2 x v ) b = 2 r ( n b ) = 2 x l 。 命题得证 定理4 3 ( 1 ) 【，】= o ；( 2 ) i x ，y m 】= ( 一n + 2 ) x 。；( 3 ) i f ，y m 】= ( m 一礼) k + m 证明：由于r 是遗传递归算子，所以冗= 0 ，从而根据r 的定义式( 7 0 ) 有如。卜公 式： 兄”x ，j 秽n y 】= - t ( l y r ) x 十r “( l x r m ) y + r m + n x ，y i ， ( 7 3 ) ( 1 ) k ，义】= - t 妒( l x o t p ) x o + r n ( l x 。r ) 十r ”+ n ，x o 】= 0 ， ，y m 】_ r n x o ，r m - - 1 m 】一舻- 1 ( n 形_ 1 ( l r ；r ) ) x o + r m 扣_ 1 2 x 1 = ( 一n + 2 ) 抑， ( 3 ) 【k ，】= 一一1 ( l y 。t u _ 1 ) k + r n - 1 ( m r m - - 1 ) m + 棚_ 2 ，m 】 = ( m 一犯) + n 。 命题得证 x o = n b 是涡线方程的流，与可交换的方程的对称性，所以x 。可以看成方 程的对称性。由于这些对称性可以由米生成，所以y m 是m a s t e r 对称性。这样我 们就得到了涡线方程的两串对称性，由定理4 3 日j 知它们构成了一个封闭的李代 数。 4 2 类空曲线情形 在类窄情形下，墨b a l = w ：，= 霹1 ( 9 k ) ) 仍为l i e 代数，其中p ，引= v z y v ”z 。 同样，互b a l e o 元素的t 分量仍# i n 分量决定。于是，我们还可以类似引入 q o ：已b a l 一妒( 耳b a l ) ，这里妒( 露1 ( 9 k ) t + 9 n h b ) = g n 一 b ，其中妒( n ) = n ，妒( b ) = b 不过此时妒( 耳b a 工) 卜的内秋变为： 上：= 9 1 9 2 一h l h 2 ， ( 7 4 ) 令亏x ：- - - - - q o 。v p ( x ) op ，则妒( 暑b a l ) 也i _ j 样诱导了一个l i e 代数结构，即 ，y 】：= w x y v y x ，其中 v x y = 如( x ) 上一岵( x ) 上b + 露1 上妒v 。p ( x ) + 上( 上n 一 上b ) ， 1 5 与前而类时情形类似，我们可以令： p 1 ( g n h b ) j l ( x ) k i ( x ) n ( x ) 嚣1 ( 9 k ) t + g n h b ， 妒j p ( x ) = 一 上+ 上b ， 以妒v 。矽以( x ) ， k 1 打1 ( x ) = 五妒v 。p ( x ) ， 我们同样将护l ，j 1 ，k 1 记为护，zk ，则( 7 6 ) ( 7 8 ) 可以改写为， j ( x ) k ( x ) n ( x ) 注意这里r 为递归算子。 一 上+ 上b j 妒v 。p j ( x ) ，妒v 。矽( x ) 另外，对于v x = g n h b 置b a l ，我们有： ( 7 5 ) ( 7 6 ) ( 7 7 ) ( 7 8 ) ( 7 9 ) ( 8 0 ) ( 8 1 ) 妒v 。p ( x ) = ( 9 7 + 酊1 ( 9 k ) k + h t ) n 一( h 7 + g r ) b ， ( 8 2 ) v 。v 。p ( x ) = ( 水) t + ( 9 + 9 k 2 + g t 2 + 9 f 1 ( 夕k ) 咒+ 2 h 7 r + h r 7 ) n + ( 一h r 2 - 2 9 t - - g t 7 9 f 1 ( 9 k ) 托7 - ) b n ( x ) = 一( 7 + g r ) n + ( 9 7 + 薛1 ( 夕圪) k + h r ) b 下面我们开始类时情形下涡线方程递归算子遗传性的验证。 定理4 4 递归算7 ：r 是可遗传的， 证明：同样只要证明r 的n i j e n h u i s 张量是0 1 l j 可。 n r ( x ，y ) = ( v n x r ) ( y ) 一r ( ( v x r ) ( y ) ) 一( xhy ) ， ( 8 3 ) ( 8 4 ) i 狸n r ( x ，y ) 以及( 亏x 兄) y 的定义和类时情形( 7 2 ) ( 7 0 ) 完全。样，不过( 寺x r ) y 的 计算公式变为 ( 亏x r ) y = + 茁1 j - 1 r x + ( 酊1 ) k b ， ( 8 5 ) 剩下的部分的证明完全和类时情形类似，命题得证 下血让我们来看一下类空情形下涡线方程的对称性。 同样令= 形( k b ) ，y m = 胛- 1 ( s k b ) ，n = 0 ，1 2 ，m = 1 ，2 3 1 6 定理4 5 ，】= 0 ， x n ，】= ( 一n 一2 ) + m ， 碥，y m 】= 胁仃) 碥+ 仇 证明：由于r 是遗传递归算子，所以有如下公式： 冗n x ，r m y 】= - r m ( l y r ”) x + r ”( l x r m ) y + r + ” x ，y