（应用数学专业论文）hilbert空间中两类算子矩阵特征函数系的完备性.pdf

量&。 c o q 至之叠弭 。一u 协3 noo乏6i认史u 彳弓年之碧蚤叮乏i亏冬拿2曼曼 墨ilbort寸a习又寻宇殳重是平强髯乏习季薯是 才妻之目a 蛩乏萎 c o m p l e t e n e s so fe i g e n f u n c t i o ns y s t e m so f t w oc l a s s e s0 fo p e r a t o rm a t r i c e si nh i l b e r ts p a c e f e n gy a n s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rh u a n gj u n ji ea l a t a n c a n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，010 0 21 m a y , 2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：三圣垫 同 指导教师虢啦己 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：塑垫 日 指导教师签名：瑚专坦乡 h i l b e r t 空间中两类算子矩阵特征函数系的完备性1 2 学生j冯燕 导师：黄俊杰教授( 博士) 阿拉坦仓教授( 博士) 专业：应用数学 摘要 本文研究了h i l b e r t 空间l i 两类算子矩阵特征函数系的完备性，给出了一类无穷维 h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下完备的若干充分必要条件，还得到一类非h a m i l - t o n 算子矩阵特征函数系在c a u c h y 丰值意义下完备的充分必要条件，此外还举例说明结 果的有效性 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子，特征函数系完备性 中图分类号：0 1 7 5 3 m s c ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b 1 国家自然科学基金项目( 1 0 9 6 2 0 0 4 ) 资助 2 内蒙古自治区科学基金重点项目( 2 0 0 5 0 8 0 1 0 1 0 3 ) ( 2 0 0 9 b s 0 1 0 1 ) 资助 c o m p l e t e n e s so fe i g e n f u n c t i o ns y s t e m so f t w oc l a s s e so fo p e r a t o rm a t r i c e si nh i l b e r t s p a c e l 2 f e n gy a n a d v i s o r ：p r o f e s s o rh u a n gj u n j i e ，p h d a l a t a n c a n g ，p h d ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i d e r st h ec o m p l e t e n e s so fe i g e n f u n c t i o ns y s t e m so ft w oc l a s s e so f o p e r a t o rm a t r i c e si nh i l b e r ts p a c e s e v e r a ln e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sc o n c e r n i n g a b o u tt h ec o m p l e t e n e s si nt h es e n s eo fa b l ef o rh a m i l t o no p e r a t o ra r eg i v e n ，a n da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nc o n c e r n i n ga b o u tt h ec o m p l e t e n e s si nc a u c h yp r i n c i p a l v a l u ef o rac l a s so fn o n - h a m i l t o no p e r a t o rm a t r i c e sf o re i g e n f u n c t i o ns y s t e m s m o r e o v e r w ep r e s e n ts o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so fr e s u l t s k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o no p e r a t o r ，e i g e n f u n c t i o ns y s t e m ， c o m p l e t e n e s s c l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：( c l ) 0 17 5 3 m s c ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b 1p r o j e c t1 0 9 6 2 0 0 4s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a 2 p r o j e c t2 0 0 5 0 8 0 1 0 1 0 32 0 0 9 b s 0 1 1s u p p o r t e db yn a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fi n n e rm o n g o l i a i i 主要符号表 目录 第一章绪论+ 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子研究的背景及现状 。1 2 本文的主要结果一+ 第二章 一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性 2 1 预备知识 2 2 无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性 第三章h i l b e r t 空间中一类算子矩阵特征函数系的完备性 3 1h i l b e r t 空间j | 1 。类算子矩阵特征函数系的完备性 3 2 算例 总结与展望 参考文献 致谢 i v 2 4 2 6 1 l 4 5 5 7 5 5 9 3 1 l 1 2 1 2 i。 冗 c r d ( t ) 冗( a ；t ) 蚓i p ( t ) a ( t ) 唧( t ) 或5 ( t ) 口。( t ) c r r ( t ) ( ，) 主要符号表 单位算子 空集 实数域 复数域 线性算子t 的伴随算子 线性算子r 的定义域 线性算子t 的预解式，即( 入，一t ) - 1 元素x 的范数 线性算子r 的预解集 线性算子t 的谱集 线性算子丁的点谱 线性算予t 的连续谱 线性算子t 的剩余谱 h i l b e r t 空间x x 的内积 i v 内蒙古人学硕l 学位论文 第一章绪论 1 1 无穷维h a m i l t o n 算子研究的背景及现状 无穷维h a m i l t o n 算子是从无穷维h a m i l t o n 系统中抽象出来的一类具有特殊结构的线 性算子无穷维h a m i l t o n 系统是数学力学的重要研究内容，是经典力学的基础h a m i l t o n 系统的发展过程：经典h a m i l t o n 系统( 偶数维h a m i l t o n 系统) 最早是h a m i l t o n 本人从几 何光学着手创建的理论模式，它的相空间是2 n 维的；其后为了使h a m i l t o n 观点能够应用 更广泛存在于实际研究中，p a u l i ( 1 9 5 3 年) ，m a r t i n ( 1 9 5 9 年) 分另嵫立发现了广义h a m i l t o n 系统( 奇数有限维h a m i l t o n 系统) ；而无穷维h a m i l t o n 系统的概念正式形成于1 9 7 8 年左 右【1 】1 2 】无穷维h a m i l t o n 系统的研究对象是连续介质的稳定问题、动力问题、弹性理论、 复合材料力学、断裂力学问题等 定义1 1 我们称如下发展型方程阻，为无穷维h a m i l t o n 正则系统： u 7 = j - i 鲁 划( 二铬为变分导数咒为- 函 由v a i n b e r g 定理【3 1 ，线性h a m i l t o n 正则系统( 有限维或无限维) 可以简化为如下的 变量分离形式： 定义1 2 设x 是h i l b e r t 空间，h ：口( 日) cx x _ x x 是线性算子，如果h 满 足c j 日，+ = j 日，其中j = ( 二0 ，则称发展型方程c 组， 为线性h a m i l t o n 正则系统，日为无穷维h a m i l t o n 算子 下面给出无穷维h a m i l t o n 算子的另一种定义 定义1 3 设x 是h i t b e r t 空间日= ( 三一b a + ) ：。c h ，c x x x x 是稠定闭 线性算子，其中a - 为a 的共轭算了，b ，c 均为白伴算予，则称h 为无穷维h a m i l t o n 算 子 特别地，当c = 0 时称日为上二角无穷维h a m i l t o n 算子；当c = 0 ，b = 0 时我们称 日为对角无穷维h a m i l t o n 算子：当a = 0 时称日为斜对角无穷维h a m i l t o n 算子 绪论 给出本文所需的几个定义和性质： 定义1 4 设x 是b a n a c h 空间，a ：口( a ) cx _ x 是闭线性算子，称集合 p ( a ) = a c ：( a i a ) 一1 存在且7 z ( m a ) = x ) 为a 的预解集p ( a ) 中的元素称为a 的正则值称a ( a ) = c p ( a ) 为a 的谱集谱集可 以分以下三个部分 一 。a ( a ) = a p ( a ) oa c ( a ) ua r ( a ) 其中 一 a p ( a ) = a c ：( a j a ) 一1 不存在) 为a 的点谱 a t ( a ) = a c ：( 入，- a ) 一1 存在，瓦瓯同= x 但7 z ( ) d a ) x ) 为a 的连续谱 。 盯，( a ) = a c ：( a j a ) 一1 存在，但瓦蕊两x 为a 的剩余谱 性质1 1 设x 为复h i l b e r t 空间，h ：口( 日) cx x _ x xx 为无穷维h a m i l t o n 算 子，日磊= 九已，h 白= 白，则有 。 。 ( 九+ ) ( 矗，白) = 0 其中( ，) 是xxx 的常规意义下的内积 定义1 5 已矢口& x x ，白x x ，若 ( & ，j 白) = 0 则称& 与白是辛j 下交的 在数学物理方程中常应用分离变量法求解偏微分方程，是以自伴算子的谱理论为基 础的，本质是把偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分算子的特征值问题，把 它的解表示成按特征函数展开的级数形式；其次此方法的可行性是以该算子特征函数系 的完备性为基础，而具有这个性质的原因足算子的自共轭性和紧性但人量数学物理问题 中出现的算子都是非自伴的，因此该方法具有局限性上世纪9 0 年代，钟万勰院士利用发 2 内蒙古大学硕l ：学位论文 现的结构力学与最优控制相模拟的理论【2 】| 4 】，通过引入对偶变量，将弹性力学方程导向了 h a m i l t o n 体系，基于无穷维h a m i l t o n 算子特征函数的辛正交性，产生了新的f o u r i e r 级数 展开法一辛f o u r i e r 级数展开，形成了弹性力学求解新体系【l 】 近几年来，国外许多学者都从不同的角度考虑过无穷维h a m i l t o n 系统，如a r n o l d ， l a x ，o l v e r 5 ，a d i j k s m a 6 等在国内，内蒙古大学无穷维h a m i l t o n 算子讨论班建成，开 始了对无穷维h a m i l t o n 算子的研究，在无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系完备性方面得到 了一系列较好的结果( 【7 1 ) 在层层空间讨论了可由传统分离变量的方程导出的无穷 一维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性；( 【8 】) 讨论了无穷维h a m i l t o n 算子辛正交的反问 题，指出了无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系与辛正交归一没有关系；( 【9 】) 就一类无穷 维h a m i l t o n 算子的特征函数系分别在a b e l 意义、算术平均意义下、广义a b e l 意义、p 平 均、g a u s s - w e i r s t r a s s 平均意义下的完备性进行了讨论；( 【1 0 】) 得到了l a p l a c e 方程导出的 无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在c a u c h y 主值意义下完备、a b e l 意义下完备，但在一 般意义下不完备；( 【l l 】) 中给出了无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系c a u c h y 主值意义下完 备的充要条件 3 绪论 1 2 本文的主要结果 本文基于前人的研究工作，主要对算子矩阵特征函数系的完备性进行了考察，得到的 结果有： 1 证明了一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性，给出了无 穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下完备的充分必要条件，并给例子来说明它 的有效性 2 证明一类算子矩阵的特征函数系是在c a u c h y 主值意义下完备的充分必要条件，并 举例说明其有效性 - _ 4 内蒙古大学硕l 学位论文 第二章一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下 。 的完备性 本章主要讨论了一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性，给 出了无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下完备的充分必要条件，并给出具体 例子来说明它的有效性 2 1 预备知识 定义2 1 【9 1 设曼u 七是给定的级数，若量札膏r i k l , 0 r 乏i 收敛，记其收敛核为 七= 一 托= 一o o 南0 k o a ( 7 ) ，且1 1 a ( r ) 存在则称级数u k 在a b e l 意义下收敛 1 一” 血= 一o 。 k # 0 定义2 2 7 h i l b e r t 空间x 中的向量集合 u 士n ) 巽1 称为c a u c h y 主值意义下完备，如 果对任意z x 存在常数序列 瓯) 芒l ， c 一知) 各1 使得 成立 定义2 3 【1 2 】对称线性算子t ：口( t ) cx x 称为非负算子，如果对任意z 矽( t ) 有 ( t x ，z ) o ；如果对z 口有( t x ，z ) 0 ，则称为正定算子同理可定义非正算子和负定算 子 定义2 4 【1 1 】h i l b e r t 空间x 中有界线性算子t 称为k 一紧，如果存在正整数k ，使得 一是紧算子 有关七一紧算子有如下性质： 引理2 11 1 1 】如果算子t 是k 一紧算子，则算子t 具有至多可数个不同的特征值，并 且除了0 以外，这些特征值是离散的 引理2 21 9 1 i 受o o u k 足给定的级数，则量u 七既a b e l 意义下收敛，又在c a u c h y 角= 一七= 一o o k ok # o 主值意义下收敛的允分必要条件：u 知可分解如下形式： 七= - - 0 0 k # o 札七= a k + b k 5 七一 u k e+ 奄 ug 腻 i | 2 一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性 其中曼6 七收敛，o oa k r l k l 绝对收敛，且毗：一n 一七 七= 一= 一o o k # ok # o 引理2 3 【1 1 】设 h = 三。) ：) ( h ) c xxx - - - + xxx+ 是可逆无穷维h 锄i l t o n 算子且逆为k 一紧算子，如果b 是正定算子，c 是非负算子， b 一1 a a b 一1 是稠定算子，并且对任意z d ( a ) 有( b a x ，z ) 冗，则无穷维h a m i l t o n 算子h 的特征函数系在h i l b e r t 空间x x 中c a u c h y 主值意义下完备当且仅当特征函 数系的第1 分量在空间x 中c a u c h y 主值意义下完备 引理2 4 【1 1 】设 日= ：d ( h ) c xxx _ xxx 是可逆无穷维h a m i l t o n 算子且逆为k 一紧算子，如果b 和一c 是j 下定算子，b a a b - 1 是稠定算了，并且对任意( ：) 口c 日，有r e c a t ，y ，。且c b - 1 4 z ，z ，冗则无穷维 h a m i l t o n 算子h 的特征函数系在h i l b e r t 空间x x 中c a u c h y 主值意义下完备当且仅 当特征函数系的第1 分量在空间x 中c a u c h y 主值意义下完备 6 内蒙古大学硕士学位论文 2 2无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性 ， 定理2 1 设 日= ( 三一b a 。) ：。c 日，c 。c c ，口c b ，_ x x 是可逆无穷维h a m i l t o n 算子且逆为k 一紧算子，如果b 是正定算子，c 是非负算子， 。i n ：f 1 ( b - l x , x ) 0 b - 1 a _ a + b 一1 是稠定算子，并且对任意z 刃( a ) 有( b 一1 a x , x ) 冗， 则无穷维h a m i l t o n 算子h 的特征函数系在h i l b e r t 空问x x 中a b e l 意义下完备当且 仅当特征函数系的第1 分量在空间x 中c a u c h y 主值意义下完备 证明：由文献( 【1 1 】) 可知算子日只有实特征值，并且正负成对出现，又因为日可逆 且逆为k 一紧算子，从而日有可数多个特征值，且不存在特征值为0 的情况因此不妨设 为 a 士n ) 罂l ，对应的特征函数为 u 士n ) 箍1 令h 所对应的特征函数为 则由文献( 【1 l 】) 中定理3 1 叫得 ，a 、 2 k 鼽j a 一竹= 一a r n = 1 ，2 ， “n = ( a 。口一。厶j ! ：b 一。a a ) 并且a 一。所对应的特征函数为 = 0 。急厶) 其中u n = 一u n 由引理2 3 中证明知，该算子h 的特征函数辛正交归，故 ( t 正n ，t m ) = 0当m 一n ，n ，m = 1 ，2 ， 从( 1 1 1 ) 中证明可知b a a + b 一1 = 0 ，即得 ( b 一1 厶，厶) = 0当m 一n ，m ，礼= 士1 ，士2 一类无穷维h a m i l t o n 算了特征函数系在a b e l 意义f 的完备性 ( ，j u n ) = 2 a n ( b 一1 厶，厶) 0 n = 4 - 1 ，4 - 2 对于任意) e xxx , 辨f o 嘶展开 其中 ) ”：p 0 0 七 仉：姓( u k , j u - k ) ? ) ，；象k 一。篇a ) 一， 垒业盐2 a # 掺b 黠f 掣a 一rl ( “ ，) 肚 l 一2 枭丛譬耥黥严幽厶一丛啮游锫笋幽b _ l 觚 根据引理2 3 可知在该条件f ，7 t 1 + 。一o o 在空间x x 中c a u 。c h y 主值意义譬备 由题意知证明算子h 是否在a b e l 意义下完备，只要能找到级数a k ，与级数b k 尤= 一。o拧= 一0 0 满足引理2 2 的条件即可取 k # o k o 。，一锷卷糕铲 钆2l 蝴筹蕊胪a 厶) b ，黜a、 k 2l 潞掣袋骗a ) 首先证明曼r i 七i 的收敛性由于h 一1 是有界算子，因此h 一1 的谱集盯( 日一1 ) 是 拧= 一o o k o 有界的，而走是h - 1 的特缸f 值因此 _ 1 盯( h 1 ) 瓦盯( 月1 ) 所以 女) 器i 有界，即存在正数仇，使得对每一个七有 l 击l m 内蒙古人学硕j ：学位论文 由于d ( b ) cv ( a + ) ，则a b 一1 是有界算子再根据b a a + b 一1 = 0 ，得 ( z ，b 一1 a r k ) = ( a 4 b - 1 z ， ) 则 i 丝2 a 娑k ( b 错铲 l o a ，厶) 川 j = i 丝2 a 关k ( b 噤笋刚。一 = l - 一j l j o a ，a ) 一一 ! m 蝼里二巡剑幽 。 其中f - i n ：f 1 ( b - l x , x ) o 故o on 七r 的第一分j 旱r - 1 在0 r 1 时关于r 是绝对收敛的同理可证明曼n 知r 七= 一o o 胃2 一0 0 k # 0 k # o 的第二分量也绝对收敛显然毗：一。一南因此量n 膏r 在0 r 1 时关于r 绝对收 尤= 一 k # 0 一 敛又由引理2 4 的证明可知 量b 七在x x 中c a u c t l y 主值意义卜完备即得在该算 拧= 一) 0 缸0 子日的特征函数系在空间x x 中存a b e l 意义下完备即 | f 类似地得到如下结论： 推论2 1 役 日= ( c a b a 。) ：刃( 日) c 口( c ) 口( b ) 一x x 是可逆无穷维h a m i l t o n 算子且逆为七一紧算子，如果c 是正定算子，b 是非负算子， i n ：f 1 ( c 一1 z ，z ) o ，c - 1 a 一a c 一1 是稠定算子，并且对任意y d ( a + ) 有( c 一1 a 秒，剪) 冗 则无穷维h a m i l t o n 算子h 的特征函数系在h i l b e r t 空间xxx 中a b e l 意义下完备当且 仅当特征函数系的第2 分量在卒间x 中c a u c h y 主值意义下完备 三。) ：刃c 日，c 秒c c ，。c b ，_ x x 是无穷维h a m i l t o n 算了且逆为惫一紧算了，如果b 和一c 是止定算了，i n ：f l ( b - i x , x ) o ， b 1 a a + b _ 1 是稠定算子，并且对仃意( 0 矽c h ，有r e c a z ，可，。且c b _ a z ，z ，冗， 9 a c ，ii、 1 1 日 没 o2 理定 一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数系在a b e l 意义下的完备性 则无穷维h a m i l t o n 算子日的特征函数系在h i l b e r t 空间x x 中a b e l 意义下完备当且 仅当特征函数系的第1 分量在空间x 中c a u c h y 主值意义下完备 。 ，巾、 证明：设b 和一c 是正定算子，b 一1 a a b 一1 是稠定算子，并且对任意i 4 l 矽( 日) y 有r e ( a x ，y ) 0 且( b a x ，z ) 冗，从而应用文献( 【1 1 】) 可知，算子h 只有纯虚特征值， 并且正负成对出现因此设算子日的特征值为 入士n ) 罂1 ，对应的特征函数为 u h ) 罂1 令k 所对应的特征函数为 一 。 似、 u n2i i 一 协 则由文献( 【l l 】) 可得 a n = i a 二n = - a n几= 1 ，2 ， u n = ( a 。b 一。 2b 一，a 厶) = b 。意厶) 对于任意g 暑) x xx ，其辛f o u m r 展开为 ) ”：p 七 q ：鞋耻2 ， 1 0 内蒙古大学硕1 ：学位论文 ：日= ( 三三。) ：。c 日，c 。c c ，。c b ，一x x 是无穷维h a m i l t o n 算子且逆为七一紧算子，如果一b 和c 是正定算子，i n ：f 1 ( c - i x , x ) o ， c - 1 a + 一a c - 1 是稠定算子，并且对任意( 0 。c 日，有m c 加川。且c 伊k 冗， 忙乱i z = o = 簪u 乙 【 “l 掣= o2 妒( z ) ，u l f = l2 ( z ) 为( ：) = ( 一募：) ( ：) 其中u = 骞，令x = l 2 o ，1 】则导出的h a m i l t o n 算子为 。 日= ( 三二+ ) = ( 一：) 其中刃( c ) = z x ：z 7 绝对连续，z 7 ，x ，z ( o ) = z ( 1 ) = o ) 此时易知日一1 存在且是 乱七= ( 七丌s i s n ；n k l 尼r x ，z ) 后= 士，士2 ， 并且对任意的( 三芝；) x x 义，取 仉：业壮2，k 得 其中 一类无穷维h a m i l t o n 算了特征函数系在a b e l 意义下的完备性 o o k = 一 k # o 0 0 口七十b k k = - o o k # o 一笳篡苎a 6七=(菇夕f。(zx，)ssiinn后k丌crzx妇dx。siinn七k丌rzx) 首先考虑a k r 纠的收敛性 七= 一o 。 k # 0 击办z ，s i n k t r x 9 ( z ) 1 2 z j j 1 所以曼毗r 第一分量在x 卜绝对收敛，同理得到第二分量也绝对收敛故 七= 一0 0 k # o 在x x 上绝对收敛，显然a 七= 一a 一七 七= 一o o k # o 0 0 b k = 知= 一0 0 七0 0 0 七= 1 0 0 a k r l 詹 七= 一o o 惫0 恰好是，( z ) ，9 ( z ) 在l 2 0 ，1 】中按正交系 s i n 七7 r z ) 茫1 的f o u r i e r 级数展开，因此收敛由 引理2 3 可得该算子在a b e l 意义下完备一 例子2 2 考虑波动力程 嬲0 2 u 一巍：0 酽一砰一 u i z ：0 = u l z ；1 = 0 u i ：0 = 妒( z ) ，u l ：1 = ( z ) 1 2 、l z z 丌 丌 七 七 n n 吼 吼 翻叫 正 d z z 丌 丌 七 七 n n 弓暑 龇 z z 9 9 詹詹 。l 窭+ + 如 砌 胁 丌 n 后 一 盘动， 八詹 詹栅 、l、，、， z z ，i，、，9 z土例 、l z z 丌 丌 七 n n 5暑 弓兰 础 砌 丌 丌 后 七 n n z z ，9 詹詹 、l z z 丌 丌 七 七 n n 西 一 如 如 z z 丌 丌 七 七 n n m 乩 、，、， z z ， ， 9 詹詹 2 2 内蒙古人学硕i 上学位论文 利用矩阵多元多项式带余除法，得到h a m i l t o n 正则方程 南( ：) = ( 曼三) ( ：) !。 其中t ，= 0 叼u ，l 2 【0 1 1 则导出的h a m l l t 。n 算子为 日= ( 三三。) = ( 耋三) 。 ， 其中秒( c ) = z x ：z 绝对连续，一，x ，z ( o ) = z ( 1 ) = o ) 此时，易知b ，一c 是正算 子，h 一1 存在且是2 一紧算子，且对任意的z x ，( b 一1 z ，z ) r ，从而h 在特征函数系在 h i l b e r t 空间x x 中a b e l 意义下完备 另一方面，经计算可得h = i k r 对应的特征函数为 u 七= ( i 七s 丌i n 。k n ，r 后x 丌z ) 七= 士，士2 ，- ， 并且对任意的( 三善；) x xx ，取 得 其中 瓯：擎耻2 ，一 ) “副船篙篡嬲然= ：圆 = 毗+ b k 甩= 一o o k # o 一船篡：高 虻f l f ( x ) s i n k t r x d xs i n k t r x ) 1 3 二耋塑笙旦兰竺! ! ! 竺翌篁王堑笙堕墼至查垒皇生重墨! 堕薹鱼竺生一i _ - _ _ - - - - _ i _ - - _ _ _ - - _ - _ - - - _ _ - _ _ - - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ - - - - _ - _ 一一 首先考虑o o 妣r i k l 的收敛性 = 一o 。 k # o i 磊1 小z ) s i n k r c x d x s i n k l r x i 忐( 1i g ( z ) 1 2 d x ) 丽( 川z ) r 2 所以曼鲰r i k l 第一分量在x 上绝对收敛，同理得到第二分量也绝对收敛故七曼小l _ 一k # o 。 一幻o 存x xe 绝对收敛显然a 蠡= 一口一k 恰好是，( z ) ，9 ( z ) 在l 2 0 ，1 】中按正交系 s i n k ，r z ) 芒1 的f o u r i e r 级数展开，因此收敛由 引理2 3 可得该算子在a b e l 意义下完备- 1 4 、ii， z z 丌 丌 七 七 n n 吼 融 如 如 z z 仃 丌 七 七 n n 5暑 龇 z z ，j g 詹詹 ，一 一扩 | l 矿 、l z z 丌 丌 七 七 n n s s 如 如 z z 丌 丌 七 七 n n s s z z ，j 9 詹詹 2 2 随 l l 内蒙古人学硕l ：学位论文 第三章h i l b e r t 空间中一类算子矩阵特征函数系的完备性 。从微分方程转化为微分系统时，导出的系统不一定是h 锄i l t o n 系统因此我们考虑 一般的微分系统时，能否采用分离变量法，取决于算子矩阵特征函数系的完备性本文研 究了一类非h a m i l t o n 算子矩阵特征函数系的完备性 3 1 h i l b e r t 空间中一类算子矩阵特征函数系的完备性 例子3 1 考虑二阶椭圆型方程 一 l2 貉+ 南+ 皆= o = 赫刮秒， 化成h a m i l t o n 系统为 杀c ：) = ( 鬻瑚( ：) 凶而得到无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系： 圪屯霉s i n 栅k ，可r y + ) 址2 ，耻b 镪( 届僦训，j 忙姐上2 ， 易证 琏惫) 七- i - ：o 1 是辛正交归一，但在l 2 【o ，1 】l 2 【o ，1 】中c a u c h y 主值意义下4 i 完备 注：以上例子说明有些偏微分方程导向h a m i l t o n 系统以后，但特征函数系在c a u c h y 主值意义下不完备说明了一个算子特征函数系与c a u c h y 主值意义下完备与该算子是否 为h a m i l t o n 算子没有关系，看下面的定理： 定理3 1 设算子矩阵 日= ( ：z ) ( h ) c x x - - - * xxx 的特征值是实数，且d 隹a p ( h ) ，一生隹a p ( b c ) ，其中。冗，d 为常数若( b c ) = b c ， ( b c ) - 1 为k 一紧算子，b 是正定算子，且 u l b c u = a b c u ) c u i c u = a c 札) 则算子h 的 特征函数系在审问x x 中c a u c h y 主值意义下完备当且仅当算子b c 的特征函数系在 空间x 中c a u c h y 主值意义下完备 h i l b e r t 空间中类算了矩阵特征函数系的完备性 有 证明：设a 为日的特征值，( u ，p ) r 为相应特征向量，即 将算子b 作用于式( 3 2 ) 两边得 将式( 3 1 ) 代入式( 3 3 ) 得 日( ：) = 入( ：) c u + d p = 却 b c u = ( a d ) b p b c u = ( 入一d ) ( a a ) u ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 设b c 的特征值为b ，则有 a ：一a + d 士v i ( a - d ) 2 一+ 4 b ( 3 5 ) 由一娅4垡a p ( h ) ，知( n d ) 2 + 4 b 0 ，由算子( b c ) 一1 是紧算子可知算子b c 具有 至多可数个特征值，不妨设为6 七( 七= 1 ，2 ，) ，相应的特征函数为u 七由式( 3 5 ) 知日的 特征值有至多可数个不妨设为a 七，a 一七 ( k = 1 ，2 ，) ，其中 、n + d + ( n d ) 2 - t - 4 b k 七一r 一 、 o + d 一 ( n d ) 2 + 4 b k a - k 一r 一 相应的特征向量分别为 铲氐一泌) “= 0 u k 矿k ) 其中缸一七= u k 由( b c ) + = b c ，知 ( u 詹，u j ) = 0 ，k j ，七，j = 1 ，2 1 6 内蒙古大学硕l 学位论文 又 u l b c u = a s c u c u l c u = 沁让) ，从而 c 删= c ( 甜t ， ：， = 丢1 ，c 小南( c 嘶) = 再蚓一岛蚓 一 。 ：0 七一j ，忌，j ：士l ，士2 ，。一一 ( 3 6 ) 于是 同理 由b 为正定算子，知 ： ( b u k ，u k ) 0 c 矗肛c k 七h m u k 帅岛) ) = = 一识i 丽瓤( b 一1 乱七，u k ) k = i ，2 ， ( 3 7 ) ( 3 8 ) 根据题意，要证明 缸七) 七- - ：( 3 0 1 在t t i l b e r t 空间x 中c a u c h ) r 主值意义下完各，即诌e 明对 任意的( ，) x x ，存在常数序列t q ，罂，和t c 一七，芒。使祷 伊妻k = 1 m 在七 融9 ， 成立 根据( 3 7 ) ( 3 8 ) ，取 则有 伉：缝“：磐囊 三0 0 嘶七= 乩i 棼( g , ，, k ) b - 嗽l u lu k ) i n = ln = 、ih 一 ， 1 7 h i l b e r t 空问中一类算r 矩阵特征函数系的完备性 由于算子b 是正算子，且 乱 ) 罂1 在空间x 中完备，则 b 一1 u t ) 罂1 在空间x 中也完备 故 ， 俨委龄蔫u k , b - l u k b - l u k h ，, b - l u k 瑚， 同理 。 c 9 一砉高缸七学m ? 山m k - - - 1 , 2 , - 从而 ，= 喜龄蔫以 9 = 委凼高 即( 3 9 ) 式成立，结论得证- 1 8 内蒙古大学硕：j ：学位论文 3 2 算例 本节将通过具体算例说明定理的有效性 例子3 2 设x ：l 2 ( o ，7 r ) ，算子b ：x _ x ，对任意u 秒( b ) ，b u = 一貉，其中 口c 引= t u l u 础c 。，丌灌令日= ( 2 ：) ，则算子h 不是h 锄；n 算子 显然，b 是正定算子，( b c ) + = b c ，( b c ) 为紧算子，且 。 一 u l b o u = a b c u c u l c u = 入c u 】 手是，算子日符合定理3 1 的条件又b c 的特征值和相应特征向量分别为 b 膏= ( 七) 2 ，u k = s i nk t ，七= 1 ，2 ， 且 姗) 譬p 在l 2 ( 0 ，7 r ) 中完备，因此，由定理3 1 ，算子h 的特征函数系在窄问x x 中 c a u c h y 主值意义下完备 下面，通过具体计算验证h 的特征函数系在空间叉x 中c a u c h y 主值意义下完备， 进而说明与定理3 1 的结论吻合 由 日( ：) = a ( ：) 可得 代入边界条件，可得 从而有 2 一p ，“u 【| u = 却 旧岩 r 忙由毗。 l a 2 + 2 1 ：一七2 、 h i l b e r t 空问中一类算了矩阵特征函数系的完备性 此时特征值为 对应的特征函数为 通过计算得 。 ( 鼠厌叫= 譬v 萨- + 1 丌后= 1 ，2 睡“：一譬丌 2 一一 对任意( 三：三；) x x ，取 研：鲤( u k , j u - k ) n 知：盟( u - k , j u k ) = 氧一= 一曲沌，) = o o ( 2 ( 妒f , s m i nk 啪t ) s 呲i nk 。t ) 上式的两个分量恰好分别是，( z ) ，夕( z ) 在x 中按 s i n 尼t 】。o o ：l 的f o u r i e r 级数展开，因此收 敛到( ，9 ) t ，于是算子h 的特征函数系在h i l b e r 空间x x 中在c a u c h y 主值意义下完 备 例子3 3 设x = l 2 ( o ，7 r ) ，算子b ：x _ x ，对任意t d ( b ) ，b u = 一砸0 2 u ，其中 d ( b ) ：u i u h 0 2 ( 0 , - ) 令日：f 1b 1 ，则算子h 不是h a m i l t 。n 算子 21 类似于例3 2 的讨论，该算子何符合定理3 1 的条件，因此算子日的特征函数系在 空间x x 中c a u c h y 主值意义下完备 、i 七 托 盎 n s 晶七 = 七 、li 七 七 n n 吼 s。瓦 ，一 = 七专 内蒙古大学硕上学位论文 即 可得 另一方面。由 代入边界条件，可得 从而有 此时特征值 日 l ” i t 一p 2a u 1 【2 u + p = 旧二篆。 r j 忙8 i 毗。 i ( a 一1 ) 2 ：2 k 2 k 纂协 k = l + 以七，a 一知= 1 一以七 对应的特征函数为 妊( 嚣小一- ( 南s i n 咖k t 后。) 并且( f 七，j 一后) = 一譬7 r k = 土1 ，士2 对任意( 三譬；) x x ，取 q ：灶( u k , j u - k ) ，钆：缝 2 l h i l b e r t 空间中一类算子矩阵特征函数系的完备性 于是 f 伉靠+ c 七毒一七 。 o，纪融掣sinkt+(f,望trsink压t)+(9,-sinkt)| - - s i 溅、k 2三【、生已二三金#：lr(j芋丌s；n七。)+量厶三薹争k l r (