（应用数学专业论文）landaulifshitz方程的有限差分格式与整体正则解.pdf

一一! 竺! 竺：! ! 堡! 坚查墨塑夏堡差坌鳖壅兰鳘堡里! ! 鲤 摘要 本文由两部分构成在第一部分，我们研究一维l a n d a u - l i f s h i t z 方程非齐次边值问 题和二维柱对称l a n d a u l i f s h i t z 方程n e u m a n n 边值问题的有限差分格式第二部分我 们研究一维l a n d a u l i f s h i t z 方程齐次n e u m a n f l 边值问题和二维柱对称 l a n d a u l i f s h i t z 方程n e u m a n n 边值问题解的正则性 本文共由五章构成。第一章，介绍l a n d a u l i f s h i t z 方程的物理背景，研究状况及本 文的工作内容第二章，考虑一维l a n d a u l i f s h i t z 方程非齐次边值问题的有限差分格式 首先我们建立一个保范( 保持了连续模型的性质) 的差分格式，应用有限维欧氏空间上连 续映射的不动点定理( l e r a y s c h a u d e r 定理) 证明了离散解的存在性，然后证明了格式在 适当的条件下逐点收敛于问题的光滑解，并得到了误差估计在一系列先验估计的基础 上，在日1 意义下，建立了收敛性和稳定性定理最后数值实验表明，格式具有很好的精度 和稳定性第三章，我们将建立保范差分格式这一思想推广到二维柱对称 l a n d a u l i f s h i t z 方程并得到了收敛性和稳定性定理第四章，首先我们利用空间半离散 方法及先验估计得到了一一维l a n d a u l i f s h i t z 方程齐次n e u m a n n 边值问题局部正则解的 存在性，继而在整体先验估计的基础上证明了整体正则解的存在性与唯一性第五章，我 们研究二维柱对称l a n d a u l i f s h i t z 方程n e u m a n n 边值问题解的正则性及渐近性首先 对方程半离散，通过利用常微分方程组局部存在性定理及建立与方程组个数无关的先验 估计得到局部正则解的存在性，借助于带参数的g r o w a l l 不等式，我们证明了方程存在唯 一整体正则解，且当参数趋近于零时，正则解趋近于参数等于零时方程的解 关键词：l a n d a u l i f s h i t z 方程，有限差分格式，收敛性，稳定性，数值实验，。正则解 ! ! ! ! ! ! ：! 堕! i ! ! 塑堡堕曼堡茎坌塑塞量些竺重型堑 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft w op a n s i nt h e f i r s t p a r tw ec o n s i d e rt h e c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t 5 o ff i n i t e d i f i e r e n c es c h e m ef o rl a n d a u l i f s h i t z e q u a t i o n i no n ed i m e n s i o n s s p a c ea n d2 dr a d i a ls y m m e t r i cl a n d a u - l i f s h i t z e q u a t i o n t h e n ，i ns e c o n dp a r t ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f g l o b a lr e g u l a r s o l u t i o nf o ro n e - d i m e n s i o n a la n d2 - dr a d i a l s y m m e t r i c l a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 w eb r i e f l yi n t r o d u c e t h eb a c k g r o u n di np h y s i c sa n dd e v e l o p m e n t sf o rt h el a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n i nw h i c ht h em a i nw o r ko ft h ed i s s e r t a t i o ni sd e s c r i b e d i nc h a p t e r2 w es t u d y f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eo ft h en o n h o m g e n e o u sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e l a n d a u l i f s h i t ze q u m i o ni no n e d i m e n s i o n a ls p a c e w ef i r s td e r i v ead i f f e r e n c e s c h e m e t h a tw es h o wt op r e s e r v ea ni m p o r t a n tp r o p e r t yo f t h ec o n t i n u o u sm o d e i 坊ec o n s e r v a t i o no ft h en o l t l lo fm a g n e t i z a t i o n 弭台t h e np r o v et h a t u n d e r c e r t a i ns u i t a b l ec o n d i t i o n t h es c h e m ei sc o n d i t i o n a lc o n v e r g e n ta n ds t a b l e i n c h a p t e r3 w ee x t e n dt h ei d e ao fc h a p t e r 1t of i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o r2 - d r a d i a is y m m e t r i cl a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o na n do b t a i nat h e o r e mf o rt h es t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e o ff i n i t ed i f i e r e n c es c h e m e i n c h a p t e r4 ，u s i n g a s p a c e d i s c r e t i z a t i o na n de m p l o y i n gt h em e t h o do fi n d u c t i o n ，w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t s au n i q u eg l o b a lr e g u l a rs o l u t i o nf o rh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fo n e d i m e n s i o n a ll a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n i nc h a p t e r5 ，w es t u d y t h er e g u l a r i t ya n dt h el i m i tb e h a v i o ro fs o l u t i o nf o r2 一dr a d i a ls y m m e t r i c l a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n e m p l o y i n gg r o n w a l li n e q u a l i t yw i t hp a r a m e t e r , w e s h o wt h a tt h e g l o b a lr e g u l a r s o l u t i o no fl a n d a u l i f s h i t z e q u a t i o nc o n v e r g e ， g l o b a l l yi nt i m e t ot h a to f i t sl i m i te q u a t i o na st h ep a r a m e t e rt e n d st oz e r o k e y w o r d s ：l a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n ，f i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e ，c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t y , n u m e r i c a lm e t h o d ，r e g u l a rs o l u t i o n 。 ：! i 6 6 2 9 3 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，包不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 邑永5 教签字日期：如移牛年厂月2 阚 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文堆者签名：l 芝永5 兹 导炜签名 牵孵 签字日期：三卯牛年朋2 厂日签字目期：力哗妨2 归 第一章绪论 第一章绪论 近十五年来，材料科学迅速成为应用数学研究的主要领域。1 9 3 5 年，l a n d a u 和 l i f s h i t z 在研究铁磁体的结构和铁磁体色散理论中提出了磁化运动方程- - l a n d a u h i f s h i t z 方程，它所描述的磁畴壁动力学( d y n a m i c so fd o m a i nw a l l ) 对计算机存储 记忆系统中磁盘的研制、维护与使用有重要的理论意义。从微分方程的角度看，l a n d a u - - l i f s h i t z 方程是一个强退化、强耦合的拟线性抛物方程组。此外，l a n d a u - - l i f s h i t z 方程在某些特定意义下，同其它的著名方程( 如调和映照热流、s c h r s d i n g e r 映照、 s i n e - g o r d o n 方程和n a v i e rs t o k e s 方程( 1 1 7 3 2 4 0 ) 有着密切的联系。因此 l a n d a u l i f s h i t z 方程是一个非常有意义、难度极大的研究课题。随着实际的需要以 及非线性偏微分方程理论研究的发展，l a n d a u l i f s h i t z 方程引起了国际上越来越多 数学家和物理学家的关注，正成为国际数学物理界研究的热点问题之一。 1 1l a n d a u l i f s h i t z 方程的物理背景 依据l a n d a u 和l i f s h i t z 的微磁学理论，铁磁材料的行为( 在c u r i e 温度以下) 可由一单位向量场m 表示，m = ( ，鸭) 称为磁化强度向量。l a n d a u l i f s h i t z 自由 能为 e ( 埘) = i i a i v m l 2 + 中( 掰) + m v “一2 吃蹦1 出 ( 1 ，1 ) 其中q 为铁磁材料所占空间区域，魄为外磁场。( 1 1 ) 中第一项为交换能，a 为交换常 数。第二项中( 删) 为各向异性能，它依赖于物质的晶体结构。第三项为静磁能，不考虑电 流的作用，铁磁体自身产生静磁场一v u 其中“在r 3 中满足方程 “= v ( m 磊) ( 1 2 ) 这里z 。为q 的特征函数( 1 ，1 ) 最后一项为外磁场产生的z e e m a n 能， 有效磁场h 定义为 ：一譬：4 m v “一曲。( 埘) + 吃 ( 1 3 ) 0 埘 l a n d a u l i f s h i t z 方程的有限差分格式与整体正则解 其中中表不中的梯腰 的磁化运动由l a n d a u l i f s h i t z 方程 m t = m x h 一口m ( m h ) ( 1 4 ) 描述。( 1 4 ) 式右端第一项为有效场h 所产生曲率，第二项为l a n d a u 和l i f s h i t z 引入的 阻尼项，是由粘性引起的，因此它是耗散的通常情况下o 0 1 a o 0 5 由( 1 4 ) 式可知 ! 塑埘：旦l m l 2 ：0( 1 5 ) 拼d 。 因此，如果m o ( x ) = m ( x ，t = o ) 满足( 1 4 ) 式，则有i m ( x ，f ) l = i r a 。i ，x q ，f o ；如果 m x h o ，则埘，m x h ；f t m x ( m ) 形成一组正交基他们在球= i i 的切平面上，故( 1 4 ) 式对应于m 在球面上的一个耗散的非线性发展方程 静磁场日= 一v u 和m 满足m a x w e l l 方程： v 。h ：三娑+ 竺，桃，中， v 。e ：一三昙( 风h + 4 口m ) ，在豫3 中， c ( 7 1 由o h m 定律有： j = c r ( e + 厂) ( 1 7 ) 其中e 表示电场，表示电流密度，盯为电导率，占为电解质的磁导率，c 为光速，f 为给 定的非感应的电动力，通常有b = h + 4 石m 初始条件为： e ( o ) = e o ( x ) ，曰( o ) = 玩( x ) ，v - 岛= o ( 1 8 ) 1 2l a n d a u l i f s h i t z 方程的研究状况 1 2 1 理论研究 对l a n d a u l i f s h i t z 方程，已有很多研究成果 1 3 7 ，但当空间维数2 时，许多基 本的数学问题，比如整体鼹的存在唯一性或解在有限时间爆破等，仍是尚未解决的公开 问题。为此考虑简单情形，在能量函数e ( m ) 中，略去低次项，仅保留交换能，这样方程 第一章绪论 ( 1 4 ) 变为 = m x a m d m f m a m ) ( 1 9 ) 虽然方程( 1 9 ) 仅适用于某些铁磁材料，( 1 9 ) 仍是重要的物理模型，此外( 1 9 ) 也有其独 立的数学意义。 从( 1 9 ) 容易得到 m ，+ a m x m r = ( 1 + 口2 ) m x a m ( 1 1 0 ) 口，q m x m r = 一( 1 + a 2 ) m x ( m x a m ) ( 1 i i ) ( 1 1 0 ) 通常称为l a n d a u l i f s h i t z g i i b e r t 方程 ( 1 9 ) 的两种特殊情形是特别有意义( 相对于a = o 与口= + m ) 8 磁：m x a m ， ( 1 1 2 ) m l = 一脚( m x a m ) ( 1 1 3 ) 或 m t = a m + l v m t 2 m ( 1 - 1 4 ) ( 1 1 3 ) 描述的是球面上调和映照的热流，在几何与分析方面有详细的研究，详见 m s t r u w e 5 8 1 9 9 3 年郭柏灵，洪敏纯在 5 5 中证明了方程( 1 1 3 ) 与( 1 1 4 ) 在数学上的等价性，t a _ t 方程( 1 1 4 ) 与调和映照的紧密联系，并利用调和映照的某些技巧证明了2 维l l 方程存 在整体的“几乎处处”光滑解 ( 1 1 2 ) 描述的是球面上s c h r 6 d i n g e r 流。在一维情况下，方程( 1 1 2 ) 是完全可积的。 为得到这一结果，最简单的方法是将向量聊看作畔中一条具曲率茁( x ，r ) = l 罢卜挠率 哪) = 毫窘) 的螺旋线x 哆切向量。因l m l - 1 ，j 可以弧长为参量。可简单 证明 1 ，当切向量m 按方程( i 1 2 ) 演化时，x 满足方程 z j - 砌 ( 1 1 5 ) 其中6 为副法向量。方程( 1 1 5 ) 描述了理想流体中一条涡旋线的首次动力行为，由 h a s i m o t o 变换 l a n d a u l i f s h i t z 方程的有限差分格式与整体正则解 痧( x ，f ) ：k ( x ，。旧胁 ( 1 1 6 ) 方程( i 1 5 ) 化为可积的非线性$ c h r s d i n g e r 方程 一f 破= 九+ i 2 妒 ( 1 1 7 ) 对一维方程( 1 1 2 ) 的车可西初值问题，周毓麟、郭柏灵、谭绍滨 4 3 在1 9 9 1 年应用独 特的方法作出了( 1 1 2 ) 解的2 阶导数的先验估计，从而证明了整体光滑解的存在性，并 由此证明了长期未解决的整体解的唯一性问题。 对二维l a n d a u l i f s h i t z 方程( 1 9 ) 已有许多研究成果 1 。1 9 9 0 年，m l a k s h m a n a n 和k p o r s e z i a n 4 0 研究了( 1 1 2 ) 的柱对称情形 轧：“+ 旦兰m “，(118)x “j = “+ 蹦“r 1 + 在适当的变换下，证明了( 1 1 8 ) 等价于广义的柱对称非线性s c h r s d i n g e r 方程 地坛刊g 2 q + n 一- i ，一亨州”1 ) q 蜘 ( 1 1 9 ) 从而得到二维方程( 1 1 8 ) 可积性结果。 2 0 0 0 年，c h a n gn a f h e n g ，j a l a l s h a t a h ，k a r e nu h l e n b e c k 在 1 1 中，借助于 s c h r 6 d i n g e r 方程的s t r i c h a r t z 估计，证明了在小能量初值条件下，二维方程( 1 1 8 ) 柯 西初值问题整体光滑解的存在性 2 0 0 0 年，g u 。b o l l n g ，h a ny o n g q i a n ，y a n gg a n s h a n 在 3 6 中构造出了二维方程( 1 1 2 ) 的“b l o wu p ”解： - 力一专如s 志如南 2 受( 1 2 0 ) 启示，最近g u ob o l i n g ，h a ny o n g q i a n 4 8 研究了如下问题： 1 “f = 甜祥什+ = 甜甜， “( r ，f ：o ) = ( r ) ， ( 1 2 1 ) 乳旷n 其中。：q 。职+ j s 2 ，= 1 4 ，x q c 豫2 ，q = x 职2 r ，常数民 o 得到了 定理a ：假如 庐( r ) s 2 a 声r h “( q ) ，” - b ，那么对任意丁 铒问题( 1 2 i ) 存在解“满足 s 2 第一章绪论 “，。：( x ，f ) c ( o ，丁；玖q ) ) ( 1 2 2 ) 其中1 2 k l + 如s m + 1 当m 3 时，解是唯一的 2 0 0 2 年，s t e p h e ng u s t a f s o n 和j a l a ls h a t a h 3 7 研究方程 “，= u ( a u + 2 u 3 ) ( 1 2 3 ) 这里“( 工， ) s 2 = u 科：h = l ，r r 2 ，= ( o ，0 ，1 ) ，a o 其主要思想是： 因与方程( 1 2 3 ) 相对应的能量函数 脚) = 丢( j 1 v “1 2 出+ j 0 - u ，2 ) d x ) ( 1 2 4 ) 在旋转群s o ( g ) 作用下是不变的( 目标空间s 2 ，方向( o ，0 ，1 ) 固定) 自然可寻求方程 ( 1 2 3 ) 具如下形式的孤立波解 u ( x ，f ) = r ( o o v 。( x ) ( 1 - 2 5 ) 其中v o ( x ) ：r 2 。s 2 进一步假设 v ( 血) = r “v ( x ) ( 1 2 6 ) 其中m z ，v r s o ( 2 ) - 得到了如下结果： 定理b ： ( i ) 对v m z o 且o c o o ( o o ，存在6 o ，若“0 蓠；d 2 5 ) 。1 1 2 - - ，。8 0 ，当i i v z 。恢对) n 2 ) ，那么存在常数c 及常数 五：巧( c ，i d 1 2 ，) ，使得在区间【o ，互 上，方程( 1 - 1 2 ) 有唯一解 u ( x ，f ) 满足1 “( x ，f ) 1 = i ，d u r ( o ，互；符”。( 群) ) 最近，郭柏灵和韩永前 4 8 利用定理f ，对 = 2 ，3 时方程( 1 。1 2 ) 的柯西问题给出了如 下结果： 定理g ：若对任意t 0 ，方程( 1 1 2 ) n f 墀u ( x ，f ) 满足 第一章绪论 l i l y “( ，r ) 峨，、d tc 。o 那么对任何满足z f 。s 2 k v u 。e h 。( f ) ( v m 3 ) 初始函数“。，方程( 1 1 2 ) 有唯一解 “( x ，t ) a z = 1 ( x ，r ) 1 = 1 ，v “出( t f ) r ( o ，五；日“ ”) ) 其中1 0 有 “，b ，b c ( o ，t ；l 2 o ，伽 其中l s 2 t + 置m + 1 此外当聊3 时，解是唯一的 第五章我们对二维柱对称l a n d a u l i f s h i t z 方程研究如下问题 l a n d a u l i f g h i t z 方程的有限差分格式与整体正则解 z 屯= 甜甜 + _ u x u r 一见“( 甜“) - 等- u x ( “甜，) ， u ( r ，t = 0 ) = 庐( r ) ， 雾l ，：r 0 2 0 ， ( f ，) r + r o ，帕) ( 1 3 6 ) 解的正则性( 1 3 6 ) 解的局部存在性及整体解的h 2 估计是问题的难点首先建立( 1 3 6 ) 的半离散差分方程( 方程个数为无限个) ，先对有限个求解，再对个数取极限得到( 1 3 6 ) 的差分方程局部解，最后建立与个数无关的先验估计得到( 1 3 6 ) 解的局部存在性借助 于带参数的g r o n w a l l 不等式得到了整体解的日2 估计从而得到如下结果： 定理i 对任意给定的t 0 ，存在无 0 ( i ) n 0 ( x ) s 2 , 妒( x ) 日2 ”( q ) ，聊1 ，兄( o ，x o l 时，存在问题( 1 3 6 ) 的解满足 “s 2 ，“，q 一( f ，r ) c ( o ，丁；r ( q ) ) 其中q = r o ，+ c 。) ，0 2 南+ 也2 m 此外，当脚2 9 j ；，解是唯一的 ( i i ) 在空自_ | 缈”( o ，r ；2 却一( q ) 冲，当五斗o 时，问题( 1 3 6 ) 的解收敛于五= o 时( 1 3 6 ) 的解其中0 s m ，珑1 1 0 一! ! 三翌一二生! ! ! 坚! ：! ! ! 些：! ! 查堡! ! 查盗垫堕塑壁竺童堕薹坌堂苎 第二章一维l a n d a u l i f s h i t z 方程非齐次边值问题的有限差分格式 2 1 引言 在本章中，我们在g = o ，1 1 0 ，刀上讨论如下方程的有限差分格式 掰l r = a = 中( x ) ，z ( o ，1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) m j ；。= g o ( f ) ，m j 。，= g l ( r ) ，( 2 3 ) 其中m = m ( x ，) ：( o ，1 ) x ( o ，2 r 寸s 2 ，表示豫3 中向量积，q 五 凡，凡为常数。 、1 g 。( f ) ，岛( f ) e c 2 “1 ( o ，丁 ，s 2 ) ，中( x ) 2 “( ( o ，1 ) ，s 2 ) ( 2 4 ) 岛( o ) = o ( o ) ，g ，( 0 ) = o ( 1 )( 2 5 ) 我们以直线x = ( = o ，l ，- ，) ，r = 屯( n = o ，1 ，) 分q = 【o ，1 x 0 ，t 为许多小网 格，其中x ，= 肋，t ，= n k 且肋= 1 ，n k = 丁。 对方程( 2 ，1 ) ( 2 3 ) 我们取相应的差分方程为 孚n * ln = 半l + ln 掣h 一丑迎2 ( 赵2 掣h 墟6 )七2 2 、 。 川0 z ，d ， j = 1 ，2 ，- - ，一1 ；”= 0 ，1 ，n 1 m g = g 。( 础) ，彬= g l ( 疵) n = l ，2 ，n ( 2 7 ) m ? = o ( 矽) ，j = o ，1 ：2 ，j( 2 8 ) ( 2 6 ) 与m 专a + l + 士m 作点积，我们得到 mn一+l-m竺n+l!堡ntm；+,12+；i2。 k2k 这意味着j 彤j = 1 ，( 2 6 ) 一( 2 8 ) 保持了( 2 ，1 ) 一( 2 3 ) 的重要性质一磁化强度范数守恒。 本章主要结果是证明当寺诱时，差分方程( 2 6 ) 一( 2 ，8 ) 的解收敛到方程( 2 1 ) - ( 2 3 ) 的 l 光滑解，而且具o ( a + h 2 乒阶精确度。特别，当g o ( t ) ：单位常向量及蜀= 单位常向量 l a n d a u l i f s h i t z 方程的有限差分格式与整体正则解 时，在h 1 意义下，差分方程( 26 ) 一( 2 8 ) 是收敛和稳定的。当 j0 时，差分方程( 2 6 ) ( 2 8 ) 的解收敛到五= 0 时方程( 2 1 ) - ( 2 3 ) 的光滑解。数值结果表明差分格式( 2 6 ) 一( 2 8 ) 具很好 的精度和稳定性由于我们研究的问题是非齐次边值，因而与边界点相关项的估计是本章 难点。通过定义w：型塑及假设90(f)：草位常向量及(f)：单位常向量，将差分b 方程( 2 6 ) - ( 28 ) 转化为关于f - 的齐次边值问题，部分的解决了这一难点。 本章将采用如下记号 慨川，( 鬈l 学m 汽慨挑= 岣m 。a xi 学| 其中z l = 铷，ij = o 1 一，以，h = ，0 ， 0 ， 当 e ( o ，如 时，方程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 存在唯一整体光滑解m ( x ，f ) 满足 m ( x ，f ) ：( o ，1 ) r + 斗s2 且m ( x ，f ) e r ( o ，丁 ；日2 ( o ，1 ) ) ，女1 ， 定义2 1 ( 3 d e f i n i t i o n2 2 i ) 微分方程三v = ，的近似差分方程骂“j = g ? 称为逐点收敛 格式，假如对任意x 和r ，当缸斗0 ，a t 哼0 ，( ，缸，研+ 1 ) a t ) 寸( x ，t ) 时，“? 斗v ( x ，f ) 为以后的需要我们给出如下引理 引理2 3 令盯= 寺，假如o 盯s 丽1 ，那么差分方程( 2 1 6 ) 。( 2 1 8 ) 的解与方程( 2 1 ) f 2 3 ) 的光滑解有估计 l 蟛一巩，a ，n 女) 怿丢( 3 一1 ) ( 。( t 2 ) + d ( 珊) ) = o ，1 ，咖= o 凡，j ( 2 1 1 ) 证明令而；= m ( j h ，础) ，0 9 ；= 棚；一而；( ， ，n k ) n ( 2 1 ) ，廓? 满足 掣：兰蔓：! ：垦三。掣一a ! 笠塑。( 兰竺：_ = 二璺! 。掣) + 0 ( 0 + o ( ：) k2h 22 、 2h 。 +。 由( 2 6 ) ( 2 1 2 ) ，0 9 7 满足 ( 2 1 2 ) 堡塑竺兰坚壁垒三_ 查望塑壹堡! ! 坌塑鉴兰兰箜垩! ! 笙 够“2 叫十弘o 叶n + i + q ) ( + 一彤+ 1 ) + 詈( 彤“+ 蟛) ( + q + 3 ) 一 譬鼢卜删m ；+ 1q - i r 7 ) a a0 4 + ( 2 。1 3 ) ( 蹦，+ 彬) ( ( 蟛“+ 蟛) ( + 一彤+ 1 ) ) + ( 磷“+ 叼) ( ( 彤+ 1 + 彤) ( + 一彤+ ) ) j + 。( t 。) + d ( 肋。) 其中玎。寺假如0 仃面，由i 脱；l - i 彤 = 1 ，从( 2 1 3 ) 我们有 这里”= s u p 防 阿1 f 兰蚓+ ：仃( 阿h 吖f ) + o ( 协n + 1 h 硎+ 旧j ) + 醐( 衅箸卜2 眩“h 蟛+ ：1 ) +( 2 1 4 ) 4 以( 阿“h 蟛f ) + o ( k 2 ) + o ( k h 2 ) 扣“一 卜o ( k z ) + 。( 肋 ( 2 1 4 ) 左边关于取上确界得 j g o n + lj 3 p l j - o a 2 ) + o ( k h 2 )( 2 1 5 ) 重复应用f 2 1 5 ) 有 妒1 3 川+ o ( k 2 ) + o ( k a 2 ) 3 2 矿1 i + ( 1 + 3 ) ( 。( 女2 ) + o ( k h 2 ) 】 鲥“i n , 0 1 + 告( 3 一1 ) ( 。( 2 ) + o ( k h 2 ) ) 因= o ，f 彤“一蟛“ 眇1 ，所以 阿一弼+ 1 b 导1 一1 ) ( 。( 酽) + o ( k h 2 ) )( 2 1 6 ) 引理证毕 下面的论证我们假设g o ( t ) = 单位常向量，蜀( ，) = 单位常向量 第一二章一维l a n d a u l i f s h i t z 方程非齐次边值问题的有限差分格式 2 3 离散解的估计 本节的目的是对差分方程( 2 6 ) 一( 2 8 ) 的解m 乳= o ，1 ，j ；n = o h i - ) 给出一系 列先验估计，为此先给出几个引理 引理2 4 1 2 对离散函数 “，) 和 v ，) ，有等式 j lj “j + _ 一z v j a 一“j 一“。吒+ q v ， j = o j = l 一( 一) ( ) u o + ”o + 1 2 j 一， ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 引理2 5 1 2 对 o ，1 上的任意离散函数= “，ij = 0 , i ，j ) ，h = ，下列不等式成立 i | 巧2 “。l l p c il “。i e 一( 1 l a “。i l + l l “。l b ) ( 2 1 9 ) 其中，= 古( f + 一吉) ，2 玉p l ，那么存在一个常数瓦使得 q 1 l ( j ，( 0 t t o ) 其中k 充分小，常数g 不依赖于0 9 。和c l ，c 2 证明对充分小的女，苯等式 v 一 “ h 同 l a n d a u l i f s h i t z 方程的有限差分格式与整体正划解 等价于积分不等式 c i + c 2 k 丑q 9 ( r ) c ，+ c 2 f o l c o ( s ) 9 出，te o ，丁 这里m ( ，) 0 是 o ，t 】上的连续函数且c o ( n k ) = ( o n 考虑常微分方程 满足初始条件y ( o ) = c 则易得方程的解 且有 矿( f ) = c 2 眇( r ) 9 v ( t ) = c l 1 一c 一( p 一1 ) c 2 t 。 y ( f ) = c l + ：) y ( j ) r d s ，s o , 7 - o 以下证明( f ) c o ( o 假如存在t l 0 ，使得当0 f ( f 1 ) ，功( f ) 蔓y ( f ) 则有 o v ( t 。) 一曲( f 。) = c ：( y ( s ) 一 o ) r ) d s ，s o ，t 1 这是不可能的因当0 j r 时， y ( 5 ) 9 ( s ) 9 引理证毕 引理2 8 差分方程( 2 6 ) 一( 2 8 ) 的解m ? 有如下估计 1 l 占m ；l l ：c 。，n 扎1 ， 其中常数c 不依赖于h ，k 和兄 证明方程( 2 6 ) 与( 垒等芷) 砌作内积并对从1 到，一1 求和我们有 势“哪学h + 芸i 华 ( m ；) 等+ l 半 f = 1 j 2 i l 一 由引理2 4 可得 1 l 毋m ：+ 11 9 i i j 聊：i g o 由此即得引理 1 6 半 第二章一维l a n d a ul i f s h i t z 方程非齐次边值问题的有限差分格式 引理2 9 在引理2 3l 躲, f c t ，假如h ( 击) 2 ，那么存在常数瓦 0 使得差分方程 ( 2 6 ) 一( 28 ) 的解m ? 有如下估计 s u p l l 万2 蚓l ：托s u p l i s m 2 1 1 。s c 0 r 毛 o s r ! ? s u p f 3 吲l ：sc 0 e r ! l s u p 妒蚓l 。sc 翟怦华”c ，翟1 1 牮，删，卜， 其中常数c 不以赖于h ，k 和旯 证明- 令f = 生。( ，2 o ，1 ，j ；”= 0 , 1 , - , n - 1 ) ，那么由 罕n + l , n = 华n + ln 笔竽一 五( 牮) ( 华a + a 。- ：m ，* i h ， 及 坚n + 2 产n + l = 孕n + 2n + l 兰拦一 五孚n + 2n + l ( 丁m y + 2 + m f l a + a _ f 2 2 - m y + z ， 我们得到 华：华瓮乒+ 譬瓮攀一 甜赫+ 2 哟州( 甲( m j l ：+ 吣m y 攀) x - - - 7 i - - ) + 仁2 ， ( 聊；“+ m ? ) ( ( 曙“+ 哆) 等笋) + ( 吁+ l + 吁) ( ( m ；+ 2 + 学) 满足有限差分边界条件 及初始条件 ( j = 1 ，2 ，j l ；n = 1 ，2 ，n 一2 ) 曙= o ，哆= o ，n = o 1 一，n 一1 y 卜 掣驴o ，1 ，j c 1 7 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 些堂堂堕塑塑塑塑至必 由j 加? 户1 ，我们有 ( 哆“+ 彬”) a + a 一1 = ( 一“+ + 形”2 ) ( + ( 孵+ 2 十蟛+ 1 ) ) 一k ? j ( + 一( 川? “+ 埘“) ) 何j ) ( ( w 1 ) x 垒令2 ) 一兰 吁“ y 七y l 垒! 咝：型! 九 a + a 一，2 + m ) 。二。! - h 2 + ( 2 2 4 ) + 扣嘭“吖1 ) 瓮呈 方程( 2 2 1 ) - 与( u “+ 彤) 舶作内积并对从1 到，2 求和，并应用引理2 5 ，2 8 ，易得 j w “f f w c ( 归曙+ 1 + 忪曙+ f 曙+ + 0 曙d( 2 2 5 ) 方程( 2 ，2 1 ) - 与一( 型) 肋作内积并对，从i 到，1 求和，对左手边由引理2 4 我们有 去+ - 1c c a 彳v ? 叫+ i 州a v + & i 垒菩) 啦抛咿昏蚓d ( 2 2 4 ) 由f 2 2 4 ) 对右军访有 第二章一维l a n d a u i f s h il e 力程非齐次边值问题的有限差分格式 一砌善半掣华 j l k h 二孚( 1 + 掰? “磁；“) 一吁“+ + 吁“ a + a 哆+ 掣+ i 竺哮h 塑) 2 n 7 d 三- i k h 号燃+ - + 珑；) ( + ) 掣三号 ( m ；“+ 珑；) ( 吁州+ j 等笋 + ( “+ ) ( 埘；+ + 彬“) 型 一砌等窆掣。 筠 2 1 ：! ：堕：! ：! ：竺 2解 。一吖“ m ；“) h a 一1 2 i 丁l 砌( ，n 。十2 + m 圳啡州剥啡( n + 2 捌h “) b + 足见( 。) ：圳扩v 。n “4 ： 一篆华半一a + a v j + l 一砌d 到- 1 + 2 竺坚f h ： i + k c 2 ( i a v ：m 蛙+ 忪嗜哐+ 忪曙“蛙+ 忙嘭虻+ 忪2 。n + 2 眨+ 忙2 ：卅眨+ 忪2 m ： 其中我们已用了引理2 5 ，2 8 由方程( 26 ) ，结合l 埘? 户1 可得 由此推得 m ，n + i m 船詈州1 由( 22 6 ) 一( 2 2 9 ) 得到 + m ? ) x ( + 一m ；“) 十- i ( 聊，n + lm ，n 、m ，n + j + m ；) ( + 一蟛+ 1 ) l ( 2 - 2 6 ) 1 4 0 - + 4 0 - 2 m ；+ 1 i 1 ，( = j ，2 ，；n = 1 ，2 ，一，一1 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 5 ) 瓤 一 砌 也 h ， 坍+