（机械电子工程专业论文）stewart平台的多体系统动力学分析与仿真.pdf

摘要 s t e w a r t 平台已在诸如机器人等很多领域获得广泛应用，本文将以在l t 5 0 m 模 型中应用的s t e w a r t 平台为例，研究其动力学特性。 以s t e w a r t 平台为例，介绍了基于笛卡儿坐标的多刚体系统运动学与动力学分 析方法，充分考虑了动平台惯性、支腿惯性等因素，解决了已知动平台运动轨迹， 求关节驱动力的动力学逆问题。 基于经典的n e w t o n e u l e r 方法建立了s t e w a r t 平台的动力学模型，克服了计算 动力学模计算型规模庞大的缺点，并对两种建模方法进行了一个简单的比较。 利用模态综合法建立了s t e w a r t 平台的多柔体动力学模型，并讨论了模态集的 选取原则和正交化处理技术，给出了c r a i g b a m p t o n 模态集的生成方法，最后得出 柔性效应对机构精度的影响。 通过j a c o b i a n 矩阵研究了多体系统奇异性的数学解释和运动学奇异性、静力 学奇异性及动力学奇异性三者之间的关系。 关键词：多体系统动力学s t e w a r t 平台部件模态综合法j a c o b i a n 矩阵奇异性 a b s t r a c t s t e w a r tp l a t f o r mh a sw o naw i d ea p p l i c a t i o ni nv a r i a b l ef i e l d ss u c ha sr o b o t i c s d y n a m i cb e h a v i o ro fs t e w a r tp l a t f o r mi ss t u d i e dw i t ha ni n s t a n t i a t i o no fo n ei nu 1 5 0 m m o d e l k i n e m a t i ca n dd y n a m i ca n a l y s i sm e t h o d sb a s e do nc a r t e s i a nc o o r d i n a t e sa r e i n t r o d u c e db yw a yo fi l l u s t r a t i o no fs t e w a r tp l a t f o r m ，w h i c h t a k i n ga c c o u n to fi n e r t i ao f m o b i l ep l a t f o r ma n dl e g sa n do t h e r sf a c t o r s ，s o l v e dt h ei n v e r s ed y n a m i cp r o b l e mf o r d r i v e r i n gf o r c e so f j o i n t sw i t h t h e a c eo f m o b i l ep l a t f o r m g i v e n d y n a m i cm o d e lo fs t e w a r tp l a t f o r mi s o b t a i n e db a s e do nc l a s s i c a ln e w t o n - e u l e r m e t h o d ，w h i c he l i m i n a t e st h eb u l k i n e s so fc o m p u t a t i o n a ld y n a m i cm o d e l a l s oas i m p l e c o m p a r eb e t w e e n t h et w o m o d e l i n g m e t h o d si sm a d e f l e x i b l em u l t i b o d yd y n a m i cm o d e lo fs t e w a r tp l a t f o r mi se s t a b i s h e db yc o m p o n e n t m o d es y n t h e s i s t h ep r i n c i p l eo fm o d es e l e c t i o na n do r t h o g o n a l i z a t i o ni sd i s c u s s e d ，a n da l s ot h e g e n e r e t i o no fc r a i g - b a m p t o nm o d es e t i s g i v e n f i n a l l ye f f e c t so ff l e x i b i l i t y o nm e c h a n i s ma r e o b t a i n e d m a t h e m a t i c a le x p l a n a t i o no f s i n g u l a r i t yi nm u l t i b o d ys y s t e ma n dt h er e l a t i o n s h i p s a m o n g k i n e m a t i cs i n g u l a r i t y , s t a t i cs i n g u l a r i t ya n dd y n a m i cs i n g u l a r i t ya l ee x p o r e db y j a c o b i a nm a t r i x k e y w o r d s ：d y n a m i c so fm u t t i b o d ys y s t e m s t e w a r t p l a t f o r mc o m p o n e n t m o d e s y n t h e s i s j a e o b i a nm a t r i x s i n g u l a r i t y 声明 创新毽声疑 本人声明所鼙交的论文是貔个入在导师指导下进行的研究工作及取得韵研究 残鬃。尽我所知，除了文中特嬲加以摭注秘致谢申所罗列救内容以外，论文中不 包宙其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育撬梅的学位或证书嚣笈惩遗麓耱籽。与我一目王作瓣瓣恚霹本职究掰傲 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 串请学位论文与资籽稽有不实之愁，本入承担一切稻关责任。 本人签名：毅熟型i日期一沙i 关于论文使嗣授权赘诞锈 本人完全了解话安电子科技大学裔关傈鬻和使鞠学位论文酌瓶定，静：研究生 在校攻读学位期阅论文工作的知识产投单饿属珏安电子科技大学。本人保诞毕业 离校后，发表论文或使用论文正作成果时署名单彼仍然为西安电子科技大学。学 校鸯叛侯辩送交论文黪复零爨，竞诲套阕露辔阕论文；学校霹以公移论文熬垒嫠 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密螽遵守魏纛窥) 本人签名： 撂烀签名； 整盘剩日期鲨! ：! ：l 日期型! ：! ：! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多体系统动力学发展概况 现代机械系统的构型越来越复杂，表现为系统在构型上向多回路方向发展， 如航天器正由单个主体加若干鞭状天线的卫星走向由庞大的多个部件在轨拼装或 展开的空间站，大型的星载天线也要求发射后在轨展开，机器人与操作机械臂在 工业与生活中普遍采用，要求高速与准确的操作以及能在恶劣环境下工作，这些 都对系统的构型提出更高的要求，而基于经典力学的建模分析方法无法对这些系 统进行快速建模。 回顾目前在工程技术领域中尚在采用的基于n e w t o n 力学的系统分析传统建模 方法。在系统的运动学分析中，工程技术人员习惯用作图法或缩比模型进行研究 分析。由于系统的构型复杂与各部件的运动幅度可能很大，作图法已很难胜任三 维的非线性关系的分析，而缩比模型不但使产品的开发成本增高，也使开发周期 变长。在动力学分析中，习惯的方法是利用第二类拉格朗日方程或n e w t o n e u l e r 法导出系统位置与姿态坐标的运动微分方程1 2 】i3 1 。对于简单的、只有几个自由度的 系统，通过巧妙的选择广义坐标，利用手工推导可得到简单的微分方程组。然而， 对于愈来愈复杂的构型与多自由度的系统，用手工符号推导动力学方程将面临相 当繁重的代数与微分运算，极易出错。并且利用这种方法建模需要丰富的工程力 学经验与极强的数学基础，并非般工程技术人员能够胜任。 另一方面，传统的建模与求解方法严重依赖于系统的构型，系统构型只要稍微 改变，如自由度一改变，繁琐的建模推导就得重新开始。传统建模方法具有很强 的技巧性，广义坐标选取的不同，研究对象的不同以及化简方法的差异都会导致 不同的力学模型，其复杂程度也不相同。 同时，随着市场和国际竞争的加剧，要求产品尽可能地快速上市，并且要尽量 降低成本。通过对物理样机的实验来获得产品动力学性能的做法已无法满足实际 需要，迫切要求用新的方法代替物理样机。在机械系统的设计与评估中，虚拟样 机【4 ( v i r t u a lp r o t o t y p i n g ) 变得越来越重要了，有了虚拟样机，那些以前要在试验室 里通过实体模型利用物理样机才能获得的信息，现在可以在计算机上更快、更有 效的通过虚拟样机获得。这样就能够减少对制造和测试许多物理样机的需要，能 够显著的节约开发成本并大大缩短产品的上市时间。 现代开发技术要求产品开发的每一环节都能够集成在一起，对产品的设计数据 进行统一管理。产品的设计和制造过程从设想开始到最后的产品结束，中间的每 个环节都借助于计算机系统，构成计算机辅助工程( c a e ) 。其中结构力学部分的有 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 限元部分已使结构分析已实现程序化，开发出了相当完备的大型商用软件，如 a n s y s 、n a s t r a n 、s a p 等。这些软件具有完备的数据可视化功能，大大提高 了结构力学的分析效率与精度”】。 因此，人们迫切需要一种通用的多体系统动力学建模方法从而使建模过程程序 化，这样就可以丌发出象有限元样的通用动力学分析软件，利用高速发展的计 算机技术对各种系统进行快速的建模仿真【6 】，并将整个分析过程集成到产品的统一 丌发过程中。 因此，在现代工程对象复杂性f 1 益增大的冲击下，传统的以经典力学为依托的 建模分析方法已不能应付由大量部件组成的复杂工程对象的动力学分析问题。飞 速发展的计算技术使得对复杂系统进行大规模数字仿真的可能性成为现时，于是 多体系统动力学作为经典力学与计算技术的完美结合应运而生。考虑到该领域与 计算方法、软件工程等紧密相连，豪格于首先将该领域称为计算多体系统动力学 7 1 ， 其任务为： 1 建立复杂多体系统运动学和动力学程序化的数学模型，开发实现这个数学 模型的软件系统，用户只需输入描述系统的最基本数据借助计算机就能自 动进行程序化处理； 2 丌发和实现有效的处理数学模型的计算方法和数值积分方法，自动得到运 动学规律和动力学响应； 3 实现有效的数据后处理，采用动画、图表和其他方式提供数据处理结果。 另一方面，目前工程中的复杂机械系统的部分部件已采用轻质柔性材料，如航 天器的机械臂，加之系统运行速度的加快，运行精度要求的提高，如高速精密机 械，系统的动力学性态越来越复杂，部件做刚体假设的动力学模型已无法描述系 统复杂的动力学性态。因此必须同时考虑部件大范围运动和部件本身的变形，导 致出现刚柔混合系统。 2 0 世纪7 0 年代中期，有关柔性多体系统动力学理论研究就已经展开，但到目 前为止，柔性多体系统动力学的研究虽然取得不少成果，但是还没有达到多刚体 动力学的研究水平，其主要原因是对大范围运动与弹性变形耦合问题的认识与处 理方法上遇到困难。 最早处理柔性多体系统动力学问题的方法是k e d 法，即运动一弹性动力学方 法。该方法不考虑部件的弹性变形对其大范围运动的影响，认为柔性多体系统问 题是其多刚体动力学和结构动力学的简单叠加，而不考虑它们的耦合。随着轻质、 高速的现代机械系统的不断出现，k e d 方法的局限性r 益突出。为了考虑部件变 形对其大范围运动的影响，人们提出了混合坐标法，将部件的位形认为是浮动坐 标系的大范围运动与相对于该坐标系变形的叠加。 第一章绪论 现在，混合坐标法中的部件模态综合法已经比较成熟，但该方法只考虑部件的 弹性变形，通过引入浮动坐标系使部件的变形可以描述成几个线性场的叠加，因 此所建模型的规模也比较小。但部件模态综合法在处理非线性问题上遇到了困难， 很难象非线性有限元一样考虑部件的任意材料和几何的非线性问题。同时，所选 部件的模态是在某一时刻该部件的模态，而没有考虑到部件在运动过程中其模态 特性可能会发生变化。尽管如此，多年来的研究表明，采用部件模态综合法得到 到柔性多体系统动力学分析结果和很多工程实际还是比较接近，尤其是当部件的 大范围运动速度不大的时候。 1 2s t e w a r t 的研究背景 s t e w a r t 平台由于具有刚度大、负荷自重比高、载荷分布均匀、运动平稳的特 点，适合于高精度、大载荷且对工作空间的要求相对较小的场合。s t e w a r t 平台已 在许多领域得到了广泛的应用，成为机器人以及医疗设备、天文仪器等多种应用 领域的热点之一【i l 【8 1 ，最主要的应用集中在虚拟轴机床上。以s t e w a r t 平台为代表 的并联空间机构，在1 9 9 5 年以前主要是由飞行仿真器与机械人学的学者在研究。 而s t e w a r t 平台自从应用到加工机床上以后，就迅速涉及到其他众多的领域。 1 9 9 4 年英国g e o d e t i c 公司在芝加哥工具机展展出h e x a _ p o d 五轴加工机， 美国g i d d i n g s & l e w i s 公司也同时展出v a r i a x 三轴工具机，于是s t e w a r t 平台机 构在机械加工业声名大噪。1 9 9 5 篇标题为“m a c h i n e s f o r t h e 2 1 s tc e n t r y ”的研究 论文指出：未来模具工业需要大量高精度( 精度5 0 微米以内) 、高切削速度( 1 0 0 0 m m i n ) 、高进给( 5 1 0 m r a i n ) 的自由曲面加工，这些加工必须用并联轴加工机床 进行加工才符合经济原则【9 】。因为传统机床的运动机构很难突破以下四项限制： 1 机架及运动轴重量太大导致结构弯曲变形； 2 运动质量过大导致加减速不易且耗能而导致温升； 3 进给轴加速不易导致动态误差； 4 各轴及组件误差累积导致系统整合误差难以下降。 而平行机构因为其高刚性、低惯性、构造简单，可以克服前述困难。提供下一代 加工机床所需的运动机构。 典型的六轴s t e w a r t 平台是以六根支腿和六个上接点与六个下接点将上、下二 个平台结合在一起的，通常下平台作为基座静止不动，而上平台是输出端为可动 平台，当系统经过液压或电力作动使支腿来回伸缩时，由六根支腿的相互牵制与 各个铰点的旋转效果而使动平台可做有限度的六自由度运动。该文探讨一种应用 在l t 工程中的大型s t e w a r t 平台。 4 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 对于一般串联机械人手臂( r o b o t i c s ) 的开环结构，支撑力为悬臂梁的形式，而 s t e w a r t 平台则是一并联六连杆闭环结构，支撑力为二力杆形式，所以s t e w a r t 平台 可以具有高刚性、低惯性的特质。在进行s t e w a r t 平台机构的设计前首先要订定系 统的自由度及舰格以便选定s t e w a r t 平台的形式和尺寸，其次必须在满足系统规格 下探讨工作空间大小，同时要保障在工作空间内没有奇异点存在，以避免系统结 构失效的可能。 s t e w a r t 平台属于一种并联机器人，由于并联机构的复杂性，其动力学模型通 常是一个多自由度、多变量、高度非线性、多参数耦合的复杂系统，寻找高效的 动力学分析方法一直是人们研究s t e w a r t 型并联机构的热点问题之一j 。已有很多 文献并采用不同的方法对s t e w a r t 平台刚体动力学进行分析1 1 0 1 【1 2 】，如文献 1 1 基 于n e w t o n e u l e r 法对s t e w a r t 平台进行了逆动力学分析，文献 1 2 则采用虚功原 理对s t e w a r t 平台进行了动力学分析。 虽然有很多的动力学分析方法，但考虑柔性的s t e w a r t 平台动力学分析还未见 刊载。如今随着s t e w a r t 平台在高精密机床上的应用，讨论柔性对系统精度的影 响有着现实的意义。在重荷载作用s t e w a r t 平台系统除了发生挠度变形以外可能 会有自由振动，这些都对系统的运行精度构成影响，为了向高速和高精度方向发 展，需要研究s t e w a r t 平台的动态性能。s t e w a r t 平台类并联机构运动学和动力学特 性比较复杂，考虑结构变形的弹性动力学的研究尚不够深入，目前的做法是针对 s t e w a r t 平台工作的典型位置建立其有限元模型，分析其静态刚度和模态，以此对 系统的动态性能进行预估来指导设计。 1 3 本文的主要工作 本文从实际应用的角度出发，建立了s t w e t a r t 平台的计算动力学刚体模型和柔 体模型，在该动力学模型的基础上，又讨论了系统的三种奇异性与j a c o b i a n 矩阵 之间的联系。本文所做的主要工作概括如下： 夺利用多体系统的第一类拉格朗日方程建立了s t e w a r t 平台的动力学模型，在已 知动平台运行轨迹的条件下对关节驱动力进行求解，并进一步求解了各铰处的 约束反力。 夺基于经典的n e w t o n e u l e r 方法，建立了s e t w a r t 平台的动力学模型，使动力学 求解速度可以大幅度提高，并比较两种建模方法的异同。 夺探讨了模态综合法中模态集的选取与处理技术，并详细讨论了一种在工程中常 用的模念集的产生原则和方法，以便使模态集的选取不再具有主观性。 冷利用部件模态综合法建立了s t e w a r t 平台的柔体动力学模型，针对柔性支腿 s t e w a r t 平台系统的已知轨迹进行驱动力与约束力的求解，判断支腿柔性对系 第一章绪论 统的力和运动精度的影响。 夺利用多体系统动力学模型的j a c o b i a n 矩阵分析了系统的奇异性问题，指出系统 的运动学奇异性、静力学奇异性和动力学奇异性都归结为系统的j a c o b i a n 矩阵 的行列式为零。 分析了舱索广义s t e w a r t 平台机构的奇异性问题，指出奇异性产生的原因，同 时指出在一定工作空间内修改结构可以避免奇异性。 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 2 i 引言 计算多体系统动力学是涉及多体系统动力学、计算方法和软件工程的交叉学 科，是一般力学面向工程实践的新学科，其根本特点是最大限度地发挥计算机对 复杂系统运动学、动力学和控制系统的分析与综合的能力。 现代工程的特点是在其每一个环节都广泛应用计算机，图2 i 为现代计算机辅 助工程( c a e ) 的示意图，其中一个很重要的环节是计算机辅助设计( c a d ) ，而c a d 中必须有功能相当完备的计算机辅助分析( c a a ) 环节，以实现结构有限元分析、机 构的静力学、运动学、动力学和控制分析等。c a a 与计算机辅助优化( c a o ) 一起实 现了虚拟设计过程。 计算结构力学； 计算多体系统动力学 图2 i 计算多体系统动力学在c a e 中的地位 计算结构力学中的有限元、边界元等理论的发展使结构分析实现了程序化，开 发出了功能完备的大型应用软件，使工程技术人员能将主要精力用于对结果的分 析和方法的改进上，从而大大提高了结构分析的效率和精度。这启示人们可以采 用类似的程序化方法，利用计算机来解决复杂系统的运动学与动力学的建模与分 析问题，这种思想促进了多体系统动力学的发展，使之最终成为- - f q 新的学科。 本章将利用多刚体系统的建模法分析s t e w a r t 平台的动力学特性，解决已知动平 台运动规划，求关节驱动力的动力学逆问题。 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 2 2s t e w a r t 平台概述 s t e w a r t 平台属于并联机构，由六条支腿和一个活动平台构成。支腿分为上下 两部分，由滑动关节相连，该关节为主动关节，关节间的相对运动通过滚珠丝杠 或液压缸来实现。在支腿长度的驱动作用下，动平台实现六自由度运动。s t e w a r t 平台的特点是刚度大、负荷大、运动精度高，应用极为广泛。在l t 中仅靠悬索控 制不足以保证馈源达到毫米级的动态跟踪精度，因此在馈源舱中加装了并联机器 人s t e w a r t 平台作为馈源精调稳定平台。 下部支腿与静平台之间由虎克铰a 相连， 图2 2 是s t e w a r t 平台的结构示意图， 上部支腿与动平台之间由球铰b 相连。 图2 2s t e w a r t 平台结构示意图 克铰 平台 为描述s t e w a r t 平台系统在空间的位置和姿态，建立如图2 2 中所示的坐标系： e 为全局惯性基，固结在静平台上；p ，为固结于动平台的连体基，原点在平台的 质心处。同时建立支腿的连体基，? 为下部支腿的连体基，原点在下部支腿的质 心，z 轴沿腿的轴线方向，x 轴沿虎克铰与支腿固连轴的轴线方向；p ? 为上部支腿 的连体基，原点在上部支腿的质心处，指向与p ? 相同，如图2 3 。由于二者指向 相同，将它们通称为坐标系岛。这些与刚体固结的坐标系通常称为刚体的连体基。 将平台连体基p 一的原点关于全局惯性基的矢径记为，一，连接点爿关于全局惯性基 的矢径记为b ，连接点置关于连体基p 和p ? 的矢径分别记为p j 和雹。 2 3s t e w a r t 平台的运动学分析 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 描述刚体姿念坐标的方法有多种，比如可用欧拉角和卡尔丹角坐标表示，在这 黾采用欧拉四元数坐标，这是因为与用转角坐标相比，欧拉四元数对应的方向余 弦阵是二次多项式，不出现三角函数，无奇异点，有利于数值计算。 定义：欧拉四元数是四个标量的集合 a = ( 九o i 7 ) 7 = ( 九。九l 九2 九3 ) 满足以下条件，a a 7 = 磕+ 1 7 2 = 磕+ t + 砭+ 蝎= l ( 2 一1 ) 同时引入2 个辅助矩阵 r = 一i2 + 九0 1 3 l = - 2 2 + 九o i3 】 其中，2 是向量l 对应的坐标方阵，记为 1 0 一九3九2i 2 = i 九3 0 一九li 卜九2 九l 0 i 这样，欧拉四元数对应的方向余弦阵为 2 ( 碡+ 圮) 一12 ( x l 九2 一九。九3 ) 2 ( 九l 九3 + 九。九：) a = r r = l 2 ( 九l 九2 + k 九3 ) 2 ( x 2 0 + 砭) 一1 2 ( l 2 九3 一k 九1 ) j i2 ( 九1 九3 一z o l 2 ) 2 ( 九2 九3 + 九。九i ) 2 ( 磕+ 圮) 一ll 多刚体系统的运动学分析是求解系统各刚体的位形、速度与加速度之间的关 系。对于有”个坐标，6 个自由度的系统，运动学分析也就是在己知这6 个坐标、 速度与加速度的时间历程的情况下，求解其余的疗一6 个坐标、速度与加速度的时 间历程。对于s t e w a r t 平台就是已知支腿长度驱动的时间历程，求解各支腿的运 动规律。 s t e w a r t 平台中各刚体的姿态可用刚体的连体基的姿态来表示，其位置用连体 基原点关于全局坐标系p 的坐标( 工。，y 。，：) 来表示。在确定连体基的方位时引入了 欧拉四元数。 这样，描述刚体i 位姿的笛卡儿坐标阵为 q ，= ( x ，y z ，九0 f 九九2 九“) 1 ( 2 2 ) 对于支腿和上平台，整个系统的坐标记为 q = ( q ：g j。q ：2 ) 。 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 其中，下标0 代表动平台，1 6 代表上部支腿，7 1 2 代表下部支腿。这些 坐标并不是独立的，除了存在以下欧拉四元数约束外， a - a j = 磕，+ ，+ 砭，+ 九j ，= l( 2 3 ) 各刚体间还存在连接铰的约束。假定这些铰的约束都是理想约束。 为了方便分析，取s t e w a r t 平台的一条支腿，如图2 3 所示。系统中共存在3 种类型的铰，虎克铰、滑移铰和球铰，在此将分析系统中各铰产生的约束方程。 图2 3s t e w a r t 平台单跟腿示意图 1 、球铰约束 动平台和上部支腿之间存在球铰约束，它限制了动平台和上部支腿的相对位置 移动，保留了3 个相对转动自由度，该铰共产生3 个约束方程。对应的约束方程 在坐标系p 中为 ，i ”+ p ? 一，9 一p = 0 又可写成 圣? = r j ”+ 4 7 p ：。一，一爿p = 0 ( 2 4 ) 式中，9 和r 为分别为动平台和上部支腿的连体基的原点相对于p 的矢径。p ：。为e 点在连体基e ? 中的坐标阵，p 为矢量p 在连体基e 9 中的坐标阵，二者为常值阵。 一，为动平台相对于的p 方向余弦阵，钟为上部支腿相对于的e 的方向余弦阵。今 后约定用r 表示向量，在全局坐标系p 上的坐标阵，表示该向量在特定连体基上 的坐标阵。 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 2 、滑移铰约束 上下部支腿之间由滑移铰连接，它使邻接刚体只能沿轴向移动，限制了上下部 支腿其他2 个方向的相对移动和3 个方向的相对组转动，保留1 个自由度，共产 生5 个约束方程。在图2 2 中，2 个连体基的z 轴都与支腿重合，并且x 和y 轴指向 分别相同。设这2 个连体基的坐标轴对应的单位向量分别为口：，4 ：，口：和 口! ，口0 口! 。对应的约束方程为： 限制相对移动的2 个约束方程 限制相对转动的3 个约束方程 又可写成 口：口。d = 0 口：口! = 0 口：- 口! = 0 垂：= 一r ? 丫雀n ： 一r ；丫雒口1 ； ( a ? 口：) 7 叫d 口t d ( 爿? 4 ：) 74 7 4 ( 4 7 口簧) 7 月知， = 0( 2 - 5 ) 式中，口：= 口。t d = ( 1 0 o ) 为各自连体基沿x 轴的单位向量，其他单位向量与此 含义相同。 3 、虎克铰约束 下部支腿和静平台之间由虎克铰相连，它限制了邻接刚体间的相对移动，同时 也不允许产生沿腿方向的转动，保留了2 个相对转动自由度，共产生4 个约束方 程，设虎克铰的两个旋转轴对应的向量分别为d l 和d ：，其中d 轴与静平台固结，d ： 轴与下部支腿固结，旋转时d 和d ：始终保持垂直。对应的约束方程为： 限制相对移动的3 个约束方程 r ? + p ：- b ：0 限制相对转动的1 个约束方程 d l ，d 2 ，= 0 又可写成 o o l | = “ 盯 口 ) ) d d 一 一 ( ( ，f【 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 圣y = r j d + a ? p ：。一6 = 口 ( z e ) 式中，a ? 为下部支腿的方向余弦阵。d 。为旋转轴向量吐在p 中的坐标阵，d ；为 旋转轴向量d ：在连体基p ? 中的坐标阵，二者均为常值阵。 4 、驱动约束 对于有n 个坐标，s 个独立约束方程的系统，若6 个独立坐标p 为时间的已知 函数，记为 v = p ( ，) 上式可以认为是对独立坐标v 的一种非定常约束，称为驱动约束。s t e w a r t 平台系 统中滑移关节是唯一的主动关节，驱动腿长发生变化。对于一条给定的轨迹，腿 长的变化是己知的，可根据动动平台运动时的位姿很容易求出。支腿长度变化的 驱动约束方程记为 中? = l ，一l 。o ) = 0( f = 1 6 ) ( 2 - 7 ) 为有所区别，将各铰产生的约束方程称为主约束方程，用圣表示，共有 ( 3 + 5 + 4 ) 6 = 7 2 个；驱动约束产生的方程称为驱动约束方程，用垂。表示，共有 6 个；由于采用欧拉四元数而产生的约束方程称为欧拉四元数约束方程，用垂“表 示，共有1 3 个。它们的表达式如下 圣= ( 西“，庐7 ，币“) 7 圣o = ( 中? 7 ，o ? 7 ，o ? 7 ) r ( 2 8 ) 币“= ( o ? 7 ，o ：7 ，o 怠7 ) 7 式中，币3 ，圣和咖“分别为球铰、滑移铰和虎克铰产生的约束方程，表达式为 圣3 = ( 西? 7 西；7 圣；7 ) 7 ，垂= ( 西? 7 西；7 联7 ) 7 ， 西“= ( 西y 7 咖y 7 蟛7 ) 7 系统中的这些约束方程组合在一起构成多体系统的约束方程组 圣= 0( 2 9 ) 这些方程共有7 2 + 6 + 1 3 = 9 1 个，与系统坐标数相等，构成封闭的方程组，称为系 统的位移约束方程组。求解该非线性方程组便可求解出系统的位移运动规律。将 式( 2 - 9 ) 对时间r 求一阶和二阶导数，得到系统相应的速度和加速度约束方程 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 币。口= 一西， 咖。奇= y ( 2 1 0 ) ( 2 一1 1 ) 热一( 帆盼钆= 詈= 。9 l o 并且 搠) 咖= a 2 州( a ( ) a ( ) ) 。咖口称为约束方程咖的j a c o b i a n 矩阵。j a c o b i a n 矩阵在多 刚体系统运动学与动力学分析中占有主要地位。 2 4s t e w a r t 平台的动力学分析 l 、第一类拉格明日方程 根据达朗贝尔原理，质点系运动的任意时刻，任一质点k 在主动力矸，惯性 力一肌吒和理想约束力群作用下处于平衡状态，即有 联+ f ：+ 卜m k 、= 0 根据虚位移原理和理想约束的定义，有 6 ( 矸- - m ，吒) = 0 ( 2 1 2 ) i 称为虚功形式的动力学普遍方程，或拉格朗日形式的达朗贝尔原理。 对于由 个质点组成的质点系，系统的坐标为 叮= ( ，7， ，) 7 在全局坐标系上，式( 2 - 1 2 ) 可合并为如下形式为 6 9 7 ( f 8 一小牙) = 0 ( 2 - 1 3 ) 式中，肌：d i a g ( m 。珊：肌。) ，f 。= ( f 7e 7 砰7 ) 7 ， 6 叮= ( 6 06 6 0 ) 7 。变分6 口中只有6 个是独立的，与系统自由度相同， 故仅由式( 2 一1 3 ) 还得不到微分形式的方程。考虑系统的s 个约束方程的变分，并将 它两边转置得 6 叮7 彰= 0 引入j 个待定系数o ，( f = l s ) ，称为拉格朗r 乘子，用拉格朗日乘子列阵右乘 上式，并用式( 2 - 1 3 ) 减去该项，得 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 6 9 7 ( f 4 一小茸一中j 盯) = 0 ( 2 1 4 ) 选择适当的拉格朗日乘子，令事先不独立的坐标变分前的系数为0 ，于是式( 2 1 4 ) 中只包含独立坐标变分的前6 个和式。既然这些坐标变分是独立的，便可得到如下 微分形式的方程 卅牙+ 圣：盯= f 。 ( 2 1 5 ) 上式称为带拉格朗日乘子的动力学方程，或第一类拉格朗日方程。由于引入了s 未 知的拉格朗日乘子，式( 2 1 5 ) 须与约束方程币( 叮，f ) = 0 一起才能求解。将式( 2 一1 5 ) 与牛顿方程相比，可以看出，拉格朗日乘子项圣二仃的负值与作用于系统的理想约 束反力相对应。 2 、s t e w a r t 平台系统的动力学方程 对于连体基在质心的刚体，由n e w t o n e u l e r 方程得 ( 2 1 6 ) 叫= 2 l j - ，西：= 2 厶力，面：= 2 l t 三? ( 2 1 7 ) 小1 0 讣7 x 7 牡陔 ，x i ， 小：i 口”：工。i ，6 ；= 钇工r ，：上。五。 ， l l j【一彳 j ，x i 懈，肛。 c z 一 根据第一类拉格朗日方程( 2 - 1 5 ) ，由单刚体动力学方程( 2 一1 8 ) ，可得到系统的 、rj h f 叫 ，l + 、l，j 口 f 叫 ，、l + 、l，j 珊，口面 ，、l i i 、fj 函 ，、l 1j 口 口 l 4 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分辑与仿囊 嫩牵+ 疹；疗= b 。+ f 。 ( 2 2 0 ) 式巾，搬= j i a g ( m ；，磁? ，。，煅乏) ，b = ( 7 ，办乏7 ) 7 ， ，“= ( 矗4 ，一“，一r ) 7 。幽于引入未知的拉格朗同乘子，上式须与约束方程联 立，l + 能求麟，蔻数值污算上韵方便，与l 逮凄夔秉方程( 2 - 1 1 ) 联立，缮鬟整个系 统的动力学模型，写成矩阵形式为 暖础= 一。 z ， 这援是系绫戆动力学模型，求瓣该方程组稷霹褥到系统豹动力学性叁。 3 、系统约束反力的求解 在多潮体系统动力擎分轿审，已麓井力求系统中各个运动学星嚣为动力学正闷 题，反之称为动力学逆问题。逆动力学分丰斤在机械系统动力学与控制中占商重要 地位，它能够计算出产生特定运动需要的驱动力( 矩) 。对于多剐体系统动力学的 正逆闽题，其笛卡，l 模型是一致的。驱动铰控制力( 矩) 的计算与拉格朗f | 菜子有 关，下面将给出计算公式。 嘲2 4空间多刚体系统切断铰约束反力 如图2 4 所承，考虑雕体麓，设与它邻撩的铰为h 。，辩应的约束方程兔零。= 0 ， 摆应的拉捂甥舅乘子为尊。，鼹开式( 2 一1 5 ) 可季导刚体置对应的动力学方程为 j m t i l i + p i o l = 4 譬一+ 式 扛i , l + k ( 2 - 2 2 ) 式中，s 为系统中约束方程的个数。如果将此铰切断，在刚体鼠和与它邻接的刚体 上g 入瑾您约束力( 矩) ，在诧力( 矩) 作用下，该刚体酶动力学设态不嶷。方程( 2 2 2 ) 中数一蟛疗。项姻当予约束反力( 矩) 向连体基原点等效的终力( 矩) 。二力( 艇) 所作 的虚功率相等，有 6 p ，舻= 蚓t k t 盯 ( 2 2 3 ) 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 式中v ? = ( ”j ) 7 ，经整理可得在全局坐标系p 下，该铰对刚体b ，的反力( 矩) 为 ，f “= _ k 。r g p 。r o 其中，k ，为一变换矩阵，满足 口，= c 7 v 7 对于刚体，当用欧拉四元数作为姿态坐标时，有 弘舶二， 2 5 l t 5 0m 模型s t e w a r t 平台的计算结果 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) l t 5 0 m 模型采用的s t e w a r t 平台是一个倒置的平台，静平台与馈源舱固连，伺 服电机装在各支腿的虎克铰附近，工控机安装在馈源舱内。由于实际工作中舱体 运行缓慢，故此处分析时认为静平台静止不动。 图2 5l t s 0 m 模型s t e w a r t 平台铰点分部水平投影图 当动平台归零时，虎克铰和球铰的分布见图2 5 。球铰分布在半径为2 0 0 r a m 的 圆周上：虎克铰分布在半径为8 0 0 r a m 的圆周上；妒l = 3 0 。，p 2 = 9 0 。：据此可算出虎 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 克铰、球铰坐标和虎克铰固定轴的单位矢量。各刚体的惯量张量根据各支腿的实 际尺寸进行计算。其中 讲= 1 6 k g ，m 。= 1 2 k g ：m = 1 6 8 k g ：r o = 【o ，0 ，o 】；r d , o = 【o 5 ，0 ，o 】m = 【- o 4 ，0 ，o h ；沪【o ，0 ，o 卜m 。，= o ，0 ，o n 设动平台中心以4 c m s 的速率在以( 0 0 ，0 0 ，1 2 ) ( m ) 为圆心，o 2 m 为半径的 水平园上运行，运行过程中动平台只作平移运动而没有转动。运动以( o 2 ，0 0 ，1 2 ) 点为起点，经3 1 4 s 运行一圈。图2 6 给出动平台中一t l , 的位移和运行轨迹的水平投 影曲线。 t i m e is x ，s 图2 6 动平台中心的位移及轨迹投影曲线 出 型 幽2 7 支腿 = = 度变化曲线 竹m e ，s 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 荟 r 臀 群 乏 r 髂 醺 e 三五三豆三三团 图2 8 滑移铰处的马匾动力曲线 n 小e s 图2 9 虎克铰对下部支腿的约束反力 7 s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 图2 7 给出了使动平台按预定轨迹运行时六条支腿的长度变化曲线。分析时该 腿长的变化是作为驱动进行施加的。图2 8 给出当动平台运行一周时六个关节处驱 动力的变化曲线：当t = o 时，动平台位于点( 0 2 ，o o ，1 2 ) 处，此时支腿l 、2 ；4 、 5 ：3 、6 的受力分别对称，所以支腿1 、2 ；4 、5 ；3 、6 的驱动力分别相等。 图2 9 给出当动平台运行一周时虎克铰对下部支腿的约束反力：图2 1 0 给出球 铰对上部支腿的约束反力。图2 1 1 给出作用在动平台上的x ，y 方向的合力，其= 方向的合力如图2 1 2 中f s z 所示。图2 1 3 给出作用在静平台上的x y 方向的合力， ：方向的合力如图2 1 2 中f u z 所示。 t i m e s t i m e s 图2 1 0 球铰对上部支腿的约束反力 当动平台运行一周时，各约束反力均按相同的周期变化一周，图2 1 1 中f x 和 f y 以及图2 1 2 中f s z 的是通过对图2 1 0 中各约束反力的负值求和得到的a 分析图 2 1 1 ，f 好与动平台作圆周运动所需的向心力相等。图2 1 3 中的f x 、f y 和合力矩 以及图2 1 2 中的f u z 是通过对图2 9 中的约束反力求合力和合力矩得到的。动平 台姿态保持不变，但重心沿圆周运动，对x 、y 轴会产生力矩。图2 1 2 中的z 向合 第二章s t e w a r t 平台的计算多刚体动力学分析 力一f s z 正好等于动平台的重量，f u z 等于动平台以及各腿的重量之和，从而证明了 分析结果的正确性。 冬 r 怄 t i m e ，s 图2 1 1 作用在动平台上的 x 、y 方向的分力 t i m e ，s 图2 1 2 作用在静平台和动平 台上的z 方向的合力 图2 1 3 静平台蛩到的反作用力和力矩 小结 本章以s t e w a r t 平台的刚体动力学分析为例，介绍了基于笛卡儿坐标的多刚体 系统运动学与动力学分析方法。该模型充分考虑了动平台惯性、支腿惯性等因素， 解决了已知动平台运动轨迹，求关节驱动力的动力学逆问题。文中解出了各关节 处的约束反力，为平台机构设计提供了力学方面的参考a s t e w a r t 平台的多体系统动力学分析与仿真 第三章基于n e w t o n e u i e r 方程的s t e w a r t 平台动力学分析 3 1 引言 s t e w a r t 平台以其特有的大刚度、高精度和高载荷自重比等特点，在许多领域 得到了广泛的应用。但由于并联机构的复杂性，其动力学模型通常是一个多自由 度、多变量、高度非线性、多参数祸合的复杂系统，寻找计算效率高的动力学分 析方法一直是人们研究s t e w a r t 型并联机构的热点问题之一【1 4 】一【2 5 】。f i c h t e r 2 0 l 根据 动平台的力与力矩的平衡方程推导了s t e w a r t 平台的动力学方程，但忽略了连杆及 铰链的质量，把各驱动杆当作理想的二力杆来处理；c o d o u r e y l 2 l j 介绍了基于拉格 朗同方程和虚功原理建立动力学模型的方法。 实现s t e w a r t 平台机器人控制的难点在于计算的实时性。直接应用计算多刚体 系统笛卡儿动力学方程求解系统的运动学和动力学特性将因为参数过多而使运算 量增大，不利于实时计算，无法用在实时控制中。 本章将基于经典力学分析推导一种计算效率较高的s t e w a r t 平台动力学模型。 首先从各铰的约束力出发，通过适当的变换，从与每根支腿相关的1 3 个未知力( 矩) 中选择一个恰当的量，利用支腿的n e w t o n e u l e r 方程得到1 2 个方程，使其他1 2 个未知量可表示成这个未知量的函数，从而使方程解耦，大大降低了运算量。本 章推导s t e w a r t 平台系统的动力学模型目的也在于将经典力学的分析建模与计算多 体动力学的建模方法进行对比，比较二者不同的建模思想。 3 2s t e w a r t 平台的经典力学建模 s t e w a r t 平台示意图见图2 2 。对静平台和动平台建立与第三章相同的坐标系， 详细叙述见2 2 。在本节的前两小结中首先对平台系统的各支腿进行运动学和动 力学分析，为简便起见，在公式推导中暂时忽略表示标示支腿的下标i 。