（机械设计及理论专业论文）双圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析.pdf

南京航空航天大学硕士掌侥论文 摘要 本文主要研究了双圆弧齿轮的齿面生成、齿面的几何特点、齿面的啮合 特性、双圆弧齿轮传动的轮齿弯曲应力和齿面接触应力，并在此基础上开发 了双圆弧齿轮的应力分析软件。 在双圆弧齿轮齿面生成的的研究中，推导了双圆弧齿轮的齿面方程、加 工中的齿面接触线方程、传动的接触迹线和啮合线、端面齿廓方程，研究了 其啮合特性。在双圆弧齿轮传动的轮齿弯瞌应力研究中，利用有限元法对双 圆弧齿轮的弯曲应力作了分析；总结了齿形工艺角、名义压力角和齿轮的全 齿高对弯曲应力的影响；获得了对弯曲应力的影响规律。在双圆弧齿轮的齿 面接触应力研究中，利用有限元法对双圆弧齿轮的接触应力作了分析：总结 了名义压力角、螺旋角和齿轮的全齿高对接触应力的影响；获得了对接触应 力的影响规律。基于结构参数化设计思想，使用a n s y s 软件中的参数化语 言( a p d l ) 和可视化编程语言( v b ) ，开发了参数化的有限元建模及后处 理软件。 关键词：双圆弧齿轮，有限元分析，弯曲应力，接触应力，参数化设计 双圆弧齿轮传动的仆凼台特性及应力的有限元分析 a b s t r a c t t h eg e n e r a t i o no fd o u b l e - a r ch e l i c a lg e a r s ( w n 1 t h eg e o m e t r i cc h a r a c t e r o ft o o t hs u r f a c e ，t h em e s h i n gc h a r a c t e r i s t i co ft o o t hs u r f a c e ，t h eb e n ds t r e s sa n d c o n t a c ts t r e s so fw ni n d r i v i n g a r es t u d i e di nt h i s p a p e r t h e s o f t w a r ei s d e v e l o p e df o rt h es t r e s sa n a l y s i so f w n i nt h er e s e a r c ho nt h eg e n e r a t i o no fw n ，t h ee q u a t i o n so fw nt o o t h ， c o n t a c t i n gl i n e so nt h et o o t hi np r o c e s s i n g ，c o n t a c t i n gl i n e sa n dm e s h i n g l i n e si n t h e m e s h i n g ，t r a n s v e r s a l t o o t hi sd e r i v e d t h e m e s h i n gc h a r a c t e r i s t i c s a r e d i s c u s s e d t h eb e n d i n gs t r e s so fw ni sa n a l y z e db yt h eu s eo ff i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e a ) ，f r o mw h i c hi t c a nb eo b t a i n e dh o wt h et o o t hs h a p et e c h n i c a l a n g l e ，p r e s s u r ea n g l ea n d t h ew h o l eh e i g h to ft h eg e a ri n f l u e n c et h eb e n ds t r e s s t h ec o n t a c t i n gs t r e s so fw - ni sc a l c u l a t e db yf e a ，f r o mw h i c hi t c a nb e o b t a i n e dh o wt h en o m i n a lp r e s s u r ea n g l e ，s p i r a la n g l ea n dt h ew h o l eh e i 曲to f t h e g e a r i n f l u e n c et h ec o n t a c ts t r e s s b a s e do nt h e p a r a m e t r i c m e t h o d ，a p a r a m e t r i cf e am o d e l i n ga n dp o s tp r o c e s ss o f t w a r ew a sd e v e l o p e db yu s i n g a n s y sp a r a m e t r i cd e s i g nl a n g u a g e ( a p d l ) a n dv i s u a lb a s i cl a n g u a g e k e y w o r d s ：d o u b l e a r ch e l i c a lg e a r s ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，b e n d i n g s t r e s ，s c o n t a c t i n gs t r e s s ，p a r a m e t r i ca n a l y s i s 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外， 本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标 明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许 论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 亚兹壶! i 差 日期： 翌主：主 翌堕塑! ! ! 堕垫塑堕鱼塑壁墨生垄塑查堡垂坌堑 注释表 妒，刀具转过角度 妒! 被加工齿轮转过角度 曲滚刀沿齿轮轴线的位移 妒滚刀上某点的向径与轴正 向的夹角 而小齿轮齿数 历大齿轮齿数 p 滚刀基本齿廓各段圆弧的 曲率半径 “压力角 e 滚刀基本齿廓中各段圆弧 中心的x 。轴的坐标值 f 滚刀基本齿廓中各段圆弧 中心的y 。轴的坐标值 滚刀的螺旋升角 r 节圆半径 k 滚刀的螺旋参数 a 中心距 r z i 轴和印轴正向的夹角 i ：。分度机构速比 i ”差动机构速比 。角频率 b 齿宽 厅分度圆的半径 口螺旋角 p 输入最大功率 ”输入轴转速 v l i i m 。法向模数 z 齿数 h 全齿高 时间 恤 - t 时间剧隔中的节点位移 增量 i 迭代步数 占畦接触面在z 方向的初始间 隙 局 物体a 的刚度矩阵 凰 物体目的刚度矩阵 u 泊松比 吼齿宽系数 e e 杨氏弹性模量 d 。名义压力角 西凸齿齿形工艺角 西凹齿齿形工艺角 吃齿顶高 h ，齿根高 x 。凸齿齿廓圆心移距量 x ，凹齿齿廓圆心移距量 成凸齿齿廓圆弧半径 p ，凹齿齿廓圆弧半径 z 。凸齿齿廓圆心偏移量 ，凹齿齿廓圆心偏移量 0 ，凸齿齿面接触点法线与节 圆柱面的交点 一 查塞堕室堕茎叁鲎堡圭主焦笙奎 0 凹齿齿面接触点法线与节 圆柱面的交点 k l ，l4 齿凸齿面接触点 足：，2 齿凸齿齿面接触点 k ：。2 。齿凹齿齿面接触点 胛啮合节线 玎凸齿齿面啮合线在节圆柱 上的投影 朋凹齿齿面啮合线在节圆柱 上的投影 h ，l 4 齿凸齿齿面接触迹线 在节圆柱上的投影 注：本论文中凡未注明的，长度单位为t a r a 度单位为v a d s ，力的单位为n 。 2 ，一2 7 、24 齿凸齿齿面接触迹线 在节圆柱上的投影 2 1 - 2 i 2 4 齿凹齿齿面接触迹线 在节圆柱上的投影 r ，齿腰连接圆弧半径 齿根圆弧半径 s 。凸齿接触点处弦齿厚 p ，凹齿接触点处槽宽 h 。接触点到节线的距离 侧向间隙 角度单位为t a d ，时间单位为s ，角速 l x 南京航空航天大学硕十学位论文 1 1 论文的背景 第一章绪论 传动机械是机器的重要组成部分，用于将原动机的运动和动力传递给工 作机，并改变原动机运动的速度和形式、力或力矩的大小与方向，使之适应 工作机的需要。任何机器都必须包括传动机械，很多机器的工作性能、使用 寿命、能源消耗、振动噪声，在很大程度上取决于传动机械的质量。因此， 发展传动机械学的研究，对提高机械产品的质量有极为重要的意义。 传动机械包括机械传动、流体传动和电传动。在这些传动中，机械传动 的优点是恒功率输出，效率高而节约能源，相对而言，其成本l 皇l 较低。故在 多数机械中它仍然是主要的传动形式，而难于为其它传动所代替。因此，国 内外学术界和生产厂家对机械传动的研究与开发均倾以很大的关注。目前， 几乎每年都有国际学术会议对这方面的研究成果进行交流和讨论。 齿轮传动是现代各类机械中应用最广的基本传动形式，经过2 0 0 多年的 实践，渐开线齿轮由于在制造和安装上的优越性，获得了广泛的应用和发展。 如今它仍是最主要的齿轮传动方式。但渐开线齿轮传动也存在着下述缺点： 1 ) 在节点处啮合时，两齿面之问的相对运动是纯滚动。但啮合点离节 点越远，则两啮合面之间的滑动速度也越大。这种滑动，对于齿面的磨损、 发热、传动平稳性和效率以及使用寿命都很不利。 2 ) 渐开线外啮合齿轮传动就是凸齿对凸齿的传动。从接触强度来看， 由于相对曲率半径较小，承载能力受到限制。随着生产和科学技术的发展， 对高速、重载、大功率的齿轮传动装置，提出了更高的要求。为了提高齿轮 的承载能力和传动质量，可以从材料、热处理和加工工艺上进行研究，乜可 以改变啮合齿制，采用新齿形。 圆弧齿轮即是针对渐开线齿轮的缺点而提出的一种点啮合制齿轮传动。 它将渐开线齿轮的凸面与凸面相接触，改变成齿廓为圆弧，使凸圆弧齿廓与 凹圆弧齿廓相啮合，增大了当量曲率半径，提高了接触强度 5 卜( 8 】。 大量的理论分析和实验证明，双圆弧齿轮的接触强度高于渐开线齿轮的 敢圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 接触强度。双圆弧齿轮的强度，不论是齿面接触强度或是轮齿弯曲强度，都 比渐丌线齿轮和单圆弧齿轮高得多，若与同尺寸、同材料的渐开线斜齿圆柱 齿轮传动比较，其齿面承载能力可提高2 3 倍 2 1 。齿轮的损坏常常是由于 轮齿的弯曲断裂而引起的，因此齿轮的承载能力受到它的弯曲强度的限制， 为了提高双圆弧齿轮的承载能力和推广它的应用，许多学者应用有限元法研 究它的变形状况和齿根应力分布。由此可见，双圆弧齿轮传动的使用能够带 来很大的利益，因此开展双圆弧齿轮的研究是非常值得的。 1 2 齿轮传动技术的现状与发展 在工业生产中，看来似乎很简单的齿轮传动却是工业体系中非常关键的 基础零部件，是机器和仪表中应用最广泛的一种机械传动，也是历史最为悠 久的机械传动之一，自1 7 6 5 年欧拉( l e u l e r ) 创立渐开线圆柱齿轮以来， 迄今已有二百余年的历史。近代齿轮的发展大体可分为四个阶段 1 1 6 7 1 。 1 8 9 0 1 9 3 0 年，赫兹( h e r t z ) 公式( 1 8 9 1 ) 和l e w i s 公式( 1 8 9 2 年) 的提出奠定了现代齿轮强度计算的基础，齿轮制造进入工业化生产，在欧洲 和北美出现了不少工厂。在此期间己出现了渐开线直齿轮、斜齿轮、锥齿轮、 准双曲面齿轮和蜗杆等传动形式。工业通用齿轮仍用铸造生产，随着汽车工 业的兴起，批量生产的精密齿轮则用滚齿或插齿加工。此间动载荷已引起重 视并开始研究。 1 9 3 0 1 9 6 0 年，四五十年代基本完成了各种类型啮合几何学和切齿刀具 设计的研究，2 0 。齿形角得到更多的应用，6 0 年代多头滚刀的应用显著地提 高了切齿效率。燃气轮机的发展要求制造出高性能的齿轮，因而研制出不少 大尺寸的高速重载齿轮试验台，并进行较系统的基础试验。剃齿工艺的应用 制造出高精度齿轮，台式齿轮精密检查仪应运而生。极压添加剂的出现和变 位齿轮的广泛应用大大提高了齿轮承载能力，并相继出现各种较为综合的齿 轮强度计算方法。 1 9 6 0 1 9 8 0 年，齿轮技术在这一时期有了快速发展。航天事业的发展要 求运载工具和航空齿轮以很小的体积传递大功率，并要求9 9 9 以上的可靠 度。因此，材料及热处理质量控制得到高度重视和发展，中硬齿面和硬齿面 重载齿轮广泛应用，珩齿技术使齿面的质量空前提高，同时促进了各种润滑 南京航空航天大学硕士学位论文 技术的发展和应用。在此期间，刀具齿形角更多采用为2 0 。至2 5 。，并对 齿轮疲劳寿命和材料疲劳特性进行广泛研究，美国齿轮制造协会( a g m a ) 、 德国( d i n ) 以及国际标准化组织( i s o ) 先后制定了较为配套的齿轮标准。 进入8 0 年代后，齿轮技术有了飞速的发展。国外已可生产功率5 0 0 0 0 k w 以上，圆周速度2 0 0 m s 以上的齿轮。对行星齿轮传动的研究开发已有很高 水平，国外已可生产功率达5 0 0 0 0 k w 的行星减速器，以及输出扭矩大于 4 0 0 0 k n m 的行星齿轮装置。少齿差( 摆线针轮、渐开线少齿差及谐波传 动等) 行星传动己经普遍地取代了中小功率的圆柱齿轮减速器普通的圆柱 蜗杆传动也广泛地发展为点接触蜗杆传动和环面蜗杆传动。 国外对齿轮啮合理论的研究已有很高的水平，并用于开发曲面齿轮、环 面蜗杆传动、点接触蜗杆传动以及圆弧齿轮等新型齿轮传动，且已取得创造 性的成果。近年来，还开始进行弹性啮合理论的研究。 以大量试验为基础、应用经典力学进行的渐开线齿轮强度计算，己经比 较完善。其代表是i s o 的渐开线齿轮强度标准。当前的发展趋势是用现代计 算力学的方法进行承载能力计算，并引入可靠性设计，动态设计等内容，以 提高计算的科学性和可信度，改善目前承载能力设计中半经验的状态。 齿轮装置的c a d c a m 技术国外发展较快，一些有名的厂家己经开发了 自己的c a d 系统，用于产品设计。数控滚齿机和准双曲面齿轮磨齿机已经 开发出来并投入使用。 综观学科的现状，其发展主要趋势如下： 1 ) 追求承载能力大、振动小、节能、高效、体积小、重量轻、以及能 在高速和重载条件下工作的传动。 2 ) 改变传统的设计方法，广泛采用新的技术与科学成就，诸如：c a d 技术、优化设计技术、动态分析、计算力学、可靠性与寿命预测、以及摩擦 学设计技术等，使传动既有很高的性能，又有最低的成本。 3 ) 将齿轮等机械传动与流体传动、电传动结合起来，组成新的复合传 动。例如，将非圆行星齿轮与液压传动结合起来组成高性能的低速液压马达； 以液压柱塞驱动的章动( 锥齿少齿差) 传动；将电传动、流体传动与双自由 度差动传动结合起来，既保证有较高的效率，又实现无级调速的双流传动， 以电磁波发生器代替机械波发生器，从而取消高速电机的低惯量步进电机 ( 电磁谐波传动) 等。 双圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 我国已能生产功率达3 6 0 0 0 k w ，以及线速度达1 5 0 m s ，精度达3 4 级 的高速齿轮装置；功率为1 2 0 0 0 k w 的行星增速箱和输出扭矩达1 0 0 0 k n m 左右的行星减速器；各种少齿差、蜗杆减速器己组织专业化生产并达到年生 产总数十万台的水平。在学术研究方面，我国也取得了一批有国际先进水平 的成就。例如，关于齿轮啮合原理的研究、圆弧齿轮的强度计算及这种齿轮 的工业应用研究、平面二次包络环面蜗杆传动的研究、齿轮( 特别是锥齿轮) 整体误差测量技术的研究等。 但是，我国齿轮传动产品与国外先进水平相比尚有很大差距，总体浣来， 是质量差、寿命短、承载能力低、噪声大。我国存在的主要差距是：基础 研究跟不上齿轮产品开发的需要。如国外有名厂家普遍采用了c a d 、c a m 技术，而我国有关厂家尚很少应用，与此有关的研究也未达到实用化的程度。 不少产品往往停留在样机试制或初步引进开发上，缺乏深入系统的消化吸 收，更谈不上创新。不少有应用前景的科研成果往往停留在理论阶段或实 验室试验阶段，缺乏中间试验，形不成产品。这一方面反映了对齿轮进行基 础研究的部门与生产部门的脱节，也反映了科研课题与生产实践结合不够。 我国在齿轮传动的研究方面虽然有一支强大的队伍，并在不少领域建立了 专门的研究机构，有的还具备比较先进而完整的研究手段，但由于组织不好， 规划不够，特别是部门分割，一些热门方向大家在低水平重复，而另一些难 度大，费时费力的基础性研究又被弃置一边。 由于齿轮传动在工业生产中应用的重要性与广泛性，对齿轮的研究应作 为机械传动研究中的重点。 1 3 双圆弧齿轮传动的特点和研究现状 双圆弧齿轮由于其齿廓形状，具有比渐开线齿轮高得多的承载能力。渐 开线齿轮是两个凸齿面相接触，综合曲率半径很小，接触应力很大，接触强 度低，齿面上容易出现疲劳点蚀。双圆弧齿轮传动是凸凹齿面接触，齿面的 综合曲率半径比渐开线齿轮大许多倍，所以接触强度有很大提高。 双圆弧齿轮的齿形参数可以灵活设计，齿腰和齿根的厚度可按强度要求 调节，加之齿根用一段大圆弧连接，这就非常有利于轮齿弯曲强度的提高。 双圆弧齿轮啮合传动时，因其运动特性，接触区以很高的滚动速度沿齿 南京航空航天大学硕士学位论文 宽方向移动。当0 = 1 0 0 2 2 0 时，滚动速度是圆周速度的5 6 7 2 。7 5 倍，齿 面f a j 容易形成油膜。早在1 9 6 0 年与e s s e n 国际齿轮会议上曾指出圆弧齿轮 的主要优点之一是润滑性能良好，油膜厚度为渐开线齿轮的1 0 倍。此外， 齿面间的滑动速度很小，综合起来，啮合摩擦损失减小5 0 6 0 ，磨损减 轻2 3 3 4 。 渐丌线齿轮滑动速度沿齿高不同，离节线越远，速度愈大。因而引起不 同的磨损程度而导致齿形变化，使啮合传动质量恶化。双圆弧齿轮滑动速度 沿齿高方向均等，所以，齿面磨合时，啮合齿廓更趋于圆弧，有良好的跑合 性能。齿面的跑合磨损无损于齿形精度，而且双圆弧齿轮的跑合工艺，实际 上起到了装配后的对研精加工工艺的作用。综上所述双圆弧齿轮能有效地提 高承载能力。 由于圆弧齿轮的优点，我国从1 9 5 8 年就开始了研究和应用。 在7 0 年代中期以前，我国主要研究应用单圆弧齿轮。但由于单圆弧齿 轮的缺陷( 一是齿形限制，齿根弯曲强度略显不足；二是加工一对相啮合的 齿轮需要两把滚刀) ，1 9 7 5 年以后，主要致力于双圆弧齿轮的研究和应用。 各种试验和实践表明，双圆弧齿轮克服了单圆弧齿轮的两个缺点。从8 0 年 代后，我国就开始重点发展双圆弧齿轮。圆弧齿轮在我国的研究和应用主要 取得以下几方面成绩： ( 1 ) 在基础理论和设计计算方面 先后进行了圆弧齿轮点啮合理论、承载能力计算、轮齿受载变形及修形 计算、弹流润滑分析、珩齿工艺机理、滚刀齿形设计与计算、精度检测与测 量尺寸计算、计算机辅助设计( c a d ) 与绘图等项研究。 ( 2 ) 在圆弧齿轮的标准方面 在大量的试验和工业应用的基础上，制定了一整套圆弧齿轮的国家标 准。它们是：g b l 8 4 0 1 9 8 9 圆弧圆柱齿轮模数、g b l 2 7 5 9 1 9 9 1 双圆弧圆柱 齿轮基本齿廓、g b t 1 3 7 9 9 1 9 9 2 双圆弧圆柱齿轮承载能力计算方法、 g b 1 4 3 4 8 1 1 9 9 3 双圆弧齿轮滚刀型式和尺寸、g b t 1 4 3 4 8 2 - 1 9 9 3 双圆弧齿 轮滚刀技术条件、g b t 1 5 7 5 2 1 9 9 5 双圆弧圆柱齿轮基本术语、 g b t 1 5 7 5 3 一1 9 9 5 双圆弧圆柱齿轮精度。 ( 3 ) 在加工工艺方面 热加工工艺 舣圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 调质工艺，8 0 年代前以软齿面为主，齿面硬度不大于3 0 0 h b s 。8 0 年 代后开始发展中硬齿面调质工艺，齿面硬度达3 5 0 h b s 。 齿面离子渗氮工艺，其特点是渗后轮齿变形小。离子渗氮分浅层( 0 5 r a m 左右) 渗氮和深层( 大于o 7 m m ) 渗氮两种，多用于高速重载齿轮传动。 齿面碳氮共渗工艺，最好是离子碳氮共渗。其特点是变形小，可有效地 提高齿面硬度、提高承载能力。 齿面渗氮淬火工艺是提高齿面硬度、提高承载能力最有效的方法，但因 处理后轮齿变形大，受磨齿工艺限制，圆弧齿轮一直未采用这种工艺。 冷加工工艺 最常用的制齿工艺是滚齿，而常用的齿端修形方法，无论是径向进刀法， 切向窜刀法和变挂轮法，也都是用滚齿法修形。 目前齿面精整加工方法有研齿、磨齿和刮削等3 种。研齿工序具有生产 率高、成本低的优点，但它不能消除径向跳动、周节误差、齿形误差和其它 由于热处理变形引起的误差。 ( 4 ) 在滚切刀具方面 目前用的最多的是高速刚滚刀。为了滚切中硬齿面齿轮发展了钴高速刚 滚刀，有m 3 5 和m 4 2 两种牌号。滚切中硬齿面齿轮，最经济的方法是采用 t i n 涂层刀具，可提高切刃硬度到h v 2 0 0 0 以上( 相当于8 0 8 5 h r c ) ，大 大提高了滚刀的切削性能。涂层刀具的使用寿命比原刀具一般可提高两倍左 右。 镶片式双圆弧齿轮硬质合金刮削滚刀的研制成功，标志着应用渗碳淬火 硬齿面双圆弧齿轮时代的开始，对圆弧齿轮的发展具重大意义。 ( 5 ) 圆弧齿轮在我国的应用 圆弧齿轮在我国是边研究边工业产业化应用，即使在没有统一标准的情 况下，应用也十分广泛 2 ”。主要应用在冶金轧钢、矿山运输、建材水泥、 交通航运、轻工榨糖、发电设备、采油炼油、化工化纤等行业。在低速传动 中，应用的最大模数是3 0 m m ；在高速传动中，最高线速度达1 1 7 m s ：齿轮 箱传递的最大功率为9 0 0 0 k w 。 综上所述，从基础理论到实际应用，圆弧齿轮在我国己发展成为一套独 立完整的齿轮传动体系。 南京航空航天大学硕士学位论文 1 4 本文的研究内容 迄今为止，双圆弧齿轮传动还是一门新的技术，从它的基础理论到实际 应用，还有许多问题需要解决。双圆弧齿轮的齿形参数直接影响着双圆弧齿 轮的承载能力。如果按传统方法解决上述问题，需要做大量的试验。这种方 法需花费大量的资金，时问周期也会很长，重复性差。所以，考虑采用计算 机仿真的方法。仿真是通过对系统模型的试验来研究一个存在的或设计中的 系统。计算机仿真是指借助计算机，用系统的模型对真实系统或设计中的系 统进行试验，以达到分析与设计该系统的目的。 本文主要围绕双圆弧齿轮传动过程中齿形参数对应力的影响，做了较为 全面的研究。主要内容包括双圆弧齿轮的齿面方程；双圆弧齿轮的几何特性； 双圆弧齿轮的端面齿廓方程；双圆弧齿轮的啮合特性：双圆弧齿轮的弯曲和 接触有限元分析；基于参数化思想，使用a n s y s 软件中的参数化设计语言 ( a p d l ) 和可视化编程语言( v b ) ，在确定双圆弧齿轮结构参数化的基础 上，开发了参数化建模及后处理软件，具有一定的理论意义和工程应用价值。 通过对双圆弧齿轮应力的研究，获得了有益的结论，为将来设计双圆弧齿轮 提供了必要的理论基础。 双圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 21 引言 第二章双圆弧齿轮齿面方程 双圆弧齿轮的齿形是把两个单圆弧齿轮的凸、凹齿廓组合在一个齿轮的 齿廓上。双圆弧齿轮的基本齿廓，目前在生产中所采用的，基本上有用公切 线连接凸、凹圆弧的双圆弧齿轮和分阶式双圆弧齿轮两种。本文研究的是分 阶式双圆弧齿轮。 双圆弧齿轮的齿面几何方程己不是常用的渐开线齿面和其它常用的曲 面，其齿面形状相当复杂。由于本文研究的是双圆弧齿轮的应力分析，齿廓 曲面的生成是基础。因此本章首先以双圆弧齿轮为研究对象，对其齿面的生 成问题做出研究，其主要内容为：；自h q - 过程中参数的描述和双圆弧齿轮方程 的形成；点接触共轭齿面的形成；双圆弧齿轮传动的端面齿廓方程；双圆弧 齿轮传动的啮合特性。 2 2 双圆弧齿轮加工中的坐标系与刀具齿面 2 2 1 坐标系的建立 参照齿轮啮合分析的特点，根据图2 1 所示的滚刀和齿轮的位置关系， 建立图2 2 所示的四个坐标系。其中蜀( 0 1 ，x l ，y l ，2 1 ) 和$ 2 ( 0 2 ，娩，y 2 ，2 2 ) 图2 1滚刀和齿轮的位置关系 南京航空航天大学硕士学位论文 z 幽22 四个坐标系 分别为与滚刀和齿轮相固连的动坐标系，s ( o ，x ，y ，z ) 为固定坐标系，品( d 口， 却，y p ，z p ) 为辅助固定坐标系。和品的关系为，当& 沿着g ，轴相对品移 动一个距离西的同时，又绕着该轴线转过一个妒，角。滚齿加工双圆弧齿轮 ( 也包括渐开线等其它齿轮) ，是滚刀和齿轮绕各自轴线转动、滚刀沿齿轮 轴线移动的复合运动过程，齿轮齿面即是在这一运动过程中由滚刀齿面包络 而成的。用蛾和妒，分别表示刀具和被加工齿轮转过的角度，则有如下各坐 标系之间的常用的基本转换矩阵。 从s 。到s 的变换矩阵为 从s 到的变换矩阵为 m o i2 m ，o 从s 。到s z 的变换矩阵为 c o s 妒1 一s i n 妒l 00 s i n o 】c o s t p l 00 0010 000l oo c o s y一$ 1 1 1 y , s i l l yc o y oo ( 2 1 ) ( 2 2 ) 双圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 m ! 。 从s 到的变换矩阵为 c o s ( 0 2 一s i l l 妒， o 0 s i n 妒， c o s 口， o o 00 00 l击 0l ( 2 - 3 ) m 2 l = m 2 p m p o m 0 1 ( 2 - 4 ) 2 2 2 刀具齿面方程 图2 3 所示为双圆弧齿轮滚刀的基本齿廓，它包括七段圆弧。用该基本 齿廓包络出的双圆弧齿轮滚刀的齿面方程2 3 1 为 。n y 2 ，j。“1 ) z 】= 一k + e t a n 3 s i n a c 。t 口一p c 。s 盘c o s 2 一，c 。s 旯i 弧中心的x 。轴的坐标值；f 为滚刀基本齿廓中各段圆弧中心的h 轴的坐标 值； 为滚7 j 的螺旋升角；p 为滚刀上某点在j 】o l y l 平面上的向径与x l 轴正 爹：=cppsinc旯t+r五+encoso!ecot：!sipna旯一，c2-7z e t a ns i nc o tc o s c o sfc o s ， = ( p + 口) () = 旯五 a p a旯一 l 1 0 烈圆弧齿轮传动的i 啮合特性及廊力的有限元分析 则式( 2 - 6 ) 可化简为 y 。兰m c o s s i n 搿n s l n c o 妒s ( 0 1= 一妒+ = ，= 一k c o + z j ( 2 8 ) 令m ，n ，互分别为m ，n ，z t 对a 的导数得 驽， ：= 一, o c o s a ( ps i n a + e ，s i n ：口，s i n c 2 - 9 ，= 一a + e 2 口) () z ：= 一e t a n 3 s i n 3 s i n2 口+ ps i n a c o s a l x l ，y 1 ，z 1 别对口的偏导数为 璺：m c o s 妒+ s i n o 些= 一m s i n 妒+ n + c o s 华) o z a _ 1 ：z ： 石 ，y i ，z 1 别对p 的偏导数为 教1 a 秒 砂 a 出1 a 蛰 一ms i n o 十n c o s ( p m c o s o n s i n | 4 0 一庀 滚刀齿面的法向量为 亓j = 挖i + n h j + 盯：t k 式中n 。，h 。，。的表达式为 ：翌要一婴璺：( 饼+ n z ；) s i n ( p 一( k n l m z ：) c o s ( o d ad 口d 口0 0 5 ：导笺一要要= ( 肼+ z i ) c o s 妒+ ( w 一m z ；) s i n c , o ”a 垡a 移a 够a z 、。、 。一：堕亟一垫亟：一删，一n n ， 1 a 口a 妒a po c t 对式( 2 - 1 2 ) 化简。令 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 双圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 r 。= ( 榭7 + z i ) 2 + ( 枷一她 c o s 6 = ( k m + n z ；) r i s i n 8 = ( k n m z ( ) r l 则式( 2 1 2 ) 又可表示为 2 3 双圆弧齿轮的齿面方程 ( 2 1 3 ) n 。= r ls i n ( o 一蚕) 1 h = r ic o s ( q , 一艿) ( 2 - 1 4 ) n = 一删一n n j 231 刀具齿面与被加工双圆弧齿轮接触处的相对速度 坐标系s 中滚刀齿轮接触点的相对速度表达式为 3 3 瓦”= v 。”i + v 。”了+ v z l l 2 i 式中 v 1 2 = 一l ( s i n o l + y lc o s q 。】) 一0 ) 2 k 1s i n y 一( 一s i n o l + y lc o s ( p i ) c o s y 】 v y 。”= 0 ) 1 ( x lc o s q ) 1 一y 1c o s f p l ) 一2 ( z lc o s o l y ls i n q ) 1 + a ) c o s y v 。2s i n y v 自1 2 = 一0 ) 2 ( x lc o s o l + y 1s i n ( p i + a ) s i n y v 。2c o s y ( 2 1 5 ) 在式( 2 - 1 5 ) 中，2 = d 出；a 为z i 轴和z 2 轴间的距离，即中心距；y 为 z l 轴和z 2 轴正向的夹角；坐标系& 和的运动关系为：= i ：。+ i v 。：或 妒：= f ：，纯+ i o ；i ：。为分度机构速比：i 。为差动机构速比。这里的蛾和声是两 个独立的变量。 2 3 2 双圆弧齿轮的齿面方程 齿轮的齿面啮合条件为 厩巧”= 0 ( 2 1 6 ) 将式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 代入上式，可整理化简为下式 堕塞堕至堕墨奎兰堡主兰堡垒壅一 u lc o s ( o l 一_ s i n q l 5 彬l( 2 1 7 ) u 二c o sr p 】一ks i n 妒l = 暇j 式中 u l = i 2 1s i n y ( x 】n 一z 1 k 一a n hc o t y ) )l _ = i 1 1s i n ) | , ( y l n ：。_ n r a n h c o t r ) 2 1 8 ) 啊= ( 1 一i 1 1c o s y ) ( y 】n 一x i n ) 一a n i 2 ls i n y j u 2 = i ”s i n y ( x l n l 一z 1 h 一a n nc o t y ) 一 ms l n yi = f ”s i n y ( y l n - 一毛h n a n c o t y ) + h q s i n ， 2 _ 1 9 ) 暖= 一( y 】n 一x l h ) f ”c o s y 一月：( 一c o s ) + a i ”s i n 7 , lj 显然，f ，s i n y 0 ，f ”s i n y 0 。将式( 2 - 1 8 ) 、式( 2 1 9 ) 代入式( 2 - 1 7 ) ， 对式( 2 ，1 7 ) 的两式分别除以i 2 ，s i n 7 、f ”s i n 7 ，然后将式( 2 1 7 ) 的第1 式 代入第2 式并化简，可以得到下式 ”y c 。s 妒+ n 。s i n 妒= k n i h 1c 。t y ( 2 - 2 0 式( 2 - 1 4 ) 代入( 2 - 2 0 ) 并进一步处理得 c o s ( 一咱) _ ( 篙- - r l ：, c o t 7 ) r 】= c - 卫d 对式( 2 - 2 1 ) 求反余弦函数得 妒一j 一妒j = a r c c o s ( c ) l( 2 2 2 ) 妒- 9 l = a m c o s ( c 1 ) + 占j 在式( 2 1 7 ) 的第l 式中，令彤= i ，将式( 2 - 2 2 ) 代入式( 2 1 7 ) 的， 第1 式中整理得 z t r 。s i n ( r p 一6 - 妒。) = n z t 【mc o s 一妒i ) + n s i n ( q o 一( p 1 ) 卜 a r ，c o s ( c p 一占一妒1 ) c o t 7 一彬 ( 2 - 2 3 ) = c 2 将式( 2 - 8 ) 中的z 1 代入式( 2 - 2 3 ) 得 旷l ( z 。、c 2 丽( 2 - 2 4 ) 3 双圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 最后，由式( 2 - 2 2 ) 、( 2 - 2 4 ) 得啮合方程( 2 - 1 6 ) 的解为 妒= * 一面高丽，l 妒l = 妒一a r c c o s ( c 1 ) + 6j 根掘以上过程，可求得齿轮齿面方程为 r 2 ( 口，妒) = m 2 l - ( a ，妒) 妒= 如一雨蒜， 妒t = 妒- a r c c o s ( c 1 ) + 6 妒2 = i 2 1 妒l + z ”庐 式中的r 。、r 2 分别为滚刀和待求齿轮的齿面方程，m 2 l 矩阵。 2 4 点接触共轭齿面的形成 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 为s i 到& 的坐标变换 形成点接触共轭齿面的方法最常用的有两种：接触线法和包络法f ”。所 谓接触线法，就是以理论啮合点在和齿轮固连的坐标系中的轨迹一接触螺旋 线为基础，形成点接触共轭齿面的方法。接触线法致命的弱点在于没有充分 考虑所形成杰面的加工制造方法。所谓包络法就是指：从形成原理的角度， 点接触共轭齿面都是各自的产形面在相对运动中的包络曲面。 4 图2 4 双圆弧齿轮的产形面 双圆弧齿轮基本齿条的产形面可以视为这样一对比较复杂的柱面尸和 南京航空航天大学硕士学位论文 q ，其中柱面p 由圆柱面只，只只，最四部分组成。q 也是由q ，9 ， q ，q 。四部分组成。这时，p 。和p r 彼此沿切线j ，7 内切。q 。和q ，彼此沿j j ” 内切。在相对运动中，产形面f ，包络形成齿轮1 的凸齿齿面乏：，。，产形面0 ， 包络形成齿轮2 的凹齿齿面y ，。y ，。和：，构成了一对凸齿对凹齿的 点接触共轭齿面。产形面包包络形成齿轮2 的凸齿齿面：。，产形面弓则 包络形成齿轮l 的凹齿齿面y 。，于是y ：。和，也构成了一对，凸齿对凹 齿的点接触共轭齿面p ，p i 分别形成齿轮l 和齿轮2 从凸齿向凹齿的过渡 部分y 。和：。只，q ，尽管是半径相同的两个圆柱面，但彼此毫无关系， 所形成的曲面，和：，也无任何共同点。产形面只和q 。两部分则分别形 成齿轮1 的齿根部分f 。，和齿轮2 的齿根部分：。法面圆弧齿轮的基本 齿条法截面齿形是几段有机地连在一起的圆弧曲线，也就是双圆弧齿轮的基 准齿形。每侧都分别由凸齿工作齿廓圆弧( 半径p 。) ，连接圆弧( p ，半径) ， 凹齿工作圆弧( 半径p ，) ，以及齿根圆弧( 半径p ，) 组成。 2 5 双圆弧齿轮的端面齿廓方程 双圆弧齿轮的齿面是由基本齿条面在运动中包络形成的，整个齿廓是逐 点切成，是齿条端面齿廓包络形成齿轮齿廓，齿条法面齿廓是标准基本齿廓， 每个齿有8 个圆弧组成【3 2 】。但由标准齿廓包络而成的齿轮端面齿廓却不是 圆弧的，而是近似于圆弧的曲线，如下图所示。假定图2 5 是标准齿条与齿 轮在范成时的初始状态，各坐标系分别是：x o y 是与齿轮固连的法面动坐标 系，凰r n 是与齿条固连的动坐标系，凰s y s 是与齿条固连的端面动坐标系， x e p y e 是静坐标系。k 点是圆弧上一点，让齿轮以u 的角速度沿顺时针旋转， 而齿条以v 的速度运动，当齿轮转过一个妒角后，齿条和齿轮的情况如图2 5 。 图2 5 韧始状态 域圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 从圈2 5 中可知，以点为坐标原点，标准齿廓上足点坐标 n k 咄+ f l ( 2 - 2 7 ) y r x = ，s i n a + e l e 与f 的取值是：e 与y n 同方向取正值，反方向取负值，f 与抵同方向取 正值，反方向取负值。 将x n k 和y n k 平移到凰心y s k 坐标系中 x “5 x n k 7 。3 声= ( r c o s a + f ) 7 。8 芦l( 2 - 2 8 ) y s k = y n k = rs i n $ 十e 再将抵k ，y n k 平移到局s 玮坐标系中 x m s k + 7 妒2 ( 。0 8 “+ f ) c o s + 7 妒( 2 2 9 ) y 之= = r s i n c r + ej 然后将琊k ，昂x 平移到x o y 坐标系中 爿，。工m l ( 2 - 3 0 ) i = y 矗+ r = r s i n a + e + r j 式中：r 为各圆弧的半径；r 为分度圆的半径；a 为标准齿廓各段圆弧角度： 口为螺旋角。将西k ，y p k 的绕0 点旋转妒得 x = x 】c 0 5 q o - y s i n 妒l ( 2 - 3 1 ) y = 1s i n ( o + ic o s 妒j 即 拈【( 0 8 叶f ) 8 坩妒p 妒一( 硒m n r ) s i n 妒 ( 2 - 3 2 ) y = l ( f c o s a + f ) c o s + ，妒l s i n 妒+ ( r s i n f l + e + r ) c o s 妒j 式中妒= ( e c o t a c o s 卢一f c o s f l r c o s a t a ng os i n 卢) r 。故可得齿轮端面齿廓 的通用方程式为 工= ( r c o s + f ) c o s f l + r o c o sc p 一( rs i n a + e + r ) s i n 0 1 y = ( r c o s a + f ) c o s f l + r ( p s i n q ，+ ( r s i n a + e + r ) c o s 妒 ( 2 3 3 ) 妒= ( e c o t f z c o s f l f c o s f l f c o s a t a n ps i n ) 尺 l 式( 2 - 3 2 ) 中的e f ，d ，r 等基本参数都来自齿条的基本齿廓，如图2 6 所示。 南京航空兢天大学硕士学位论文 图2 , 6 旋转口角后的状态 2 ，6 双圆弧齿轮传动的啮合特性 双圆弧齿轮传动时，齿面接触点按轴向移动，齿轮齿面有两段圆弧，齿 顶为凸圆弧，齿根为凹圆弧。相应齿面存在两接触线，在瞬时齿面可能存在 两个接触点。设同一齿面上的凸凹面两个齿面上的凸、凹面两个接触点间距 离为q t a ，相邻凸、凹面间的接触点间距离为g 乞。 q r a = p ，一g “ ( 2 - 3 4 ) 齿轮传动时，齿面上各个接触点相互间保持固定的距离，并同时沿轴向 移动。此时，在齿轮一转中，不同的同时接触点数啮合时问所占的份额，以 及不同的同时啮合轮齿对数啮合时间所占的份额，即所谓多点接触系数和多 对齿啮合系数可以反映双圆弧齿轮传动的啮合特性。双圆弧齿轮同时接触点 数和同时啮合轮齿对数不断变化，而其变化规律与齿宽b 、除去轴向齿距的 剩余齿宽6 以及与凸、凹齿面上接触点间距离q x a 有关。 1 ) 双圆弧齿轮凸、凹齿面两接触点轴向距离q r h 的计算 1 4 】 图2 ，7 表示一对双圆弧齿轮的啮合筒图，上图是双圆弧齿轮基本齿廓， 下图是双圆弧齿轮节圆柱展开图。图中p 。为凸齿齿廓圆弧半径：p ，为凸齿 齿廓圆弧半径；x 。为凸齿齿廓圆心移距量：x ，为凹齿齿廓圆心移距量；! 。为 凸齿齿廓圆心偏移量；，为凹齿齿廓圆心偏移量：d ，为凸齿齿面接触点法线 与节圆柱面的交点：0 。为凹齿齿面接触点法线与节圆柱面的交点；j 为侧向 间隙；k ，为1 ”齿凸齿齿面接触点；为k ，为2 4 齿凸齿齿面接触点；k ，。为2 4 齿凹齿齿面接触点：p p 为啮合节线：玎为凸齿齿面啮合线在节圆柱上的投 磺圆弧齿轮传动的啮合特性及应力的有限元分析 影；朋为凹齿齿面啮合线在节圆柱上的投影；t - 1 t 为l4 齿凸齿齿面接触迹线 在节圆柱上的投影；2 t - 2 t 为2 4 齿凸齿齿面接触迹线在节圆柱上的投影；2 a - 2 a 为2 4 齿凹齿齿面接触迹线在节圆柱上的投影。 l t 2 2 ttph 图2 7 齿面接触点轴向距离 从图2 7 中，1 4 齿凸面接触点法线通过节点p 时，齿面存在接触点，位 置在下图中k ，处。当0 。移至p 处，因轮齿为斜齿，轴向相应移动p l p 2 ，2 4 齿凹齿接触点在下图如。处。当o ，移至p 时，相应的接触点在下图k ：，处。 所以2 。齿同一齿面凸、凹齿面两接触点k ：，、k ：。f q 轴向距离为 q = 只只一2 & b