（机械电子工程专业论文）钟表齿轮齿形优化及加工刀具研究.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 本文所研究的是机械钟表中的齿轮，齿轮是机械钟表中不可缺少的重要组 成部分，其性能直接决定了钟表计时的准确性。由于钟表齿轮传动中储存的能 量不大，所以传动效率对于钟表齿轮传动极其重要。本文的研究旨在提出理想 的修形曲线对齿轮进行修形以达到提高啮合效率的效果。 本文从钟表齿轮的基本齿形出发，分析其主要啮合过程，确定原始参数和 基本参数及其关系，在此基础上建立不同啮合区间内的机构运动模型，分析钟 表齿轮传动效率的影响因素，然后在各个啮合区间解析啮合效率和传动效率， 以求得到平均效率的解析式，由于解析式相当复杂，无法直接解出，所以本文 利用计算机的数值解法求解平均效率。 本文提出了钟表齿轮的优化方法，先确定各区间的端点，再根据各区间的 瞬时效率解析式和数学模型确定啮合的总平均效率。运用计算机编程实现优化， 得到了新的齿形参数，比传统齿形效率更高。在原有算法的基础上还提出了逼 近算法，使计算结果更加快速地达到其精度，同时节省一半以上的时间，改善 了原有算法耗时长的缺点，并以上海手表厂的主传动的啮合齿轮为例证明了优 化算法的正确性。最后对钟表齿轮滚刀设计基础，基本齿形的计算进行了阐述。 关键词：钟表齿轮，啮合效率，齿形优化，逼近算法 v 上海人学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eg e a rd i s c u s s e di nt h i st e x ti st h eh o r o l o g i c a lg e a r g e a ri st h ei n d i s p e n s a b l e c o m p o n e n to ft h em e c h a n i c a lw a t c h e s ，w h o s ep e r f o r m a n c ed e t e r m i n e st h ea c c u r a c y o ft h et i m i n go ft h ew a t c h e s t h ea i mi sp u t t i n gf o r w a r dt h ei d e a lt e e t hp r o f i l et o i m p r o v em e s h i n gp r o f i c i e n c y a tf i r s t ，b a s e do nt h eb a s i cp r o f i l eo ft h eh o r o l o g i c a lg e a r , t h em a i nm e s h i n g c o u r s ei sa n a l y z e dt od e t e r m i n et h eo r i g i n a lp a r a m e t e r sa n dt h eb a s i cp a r a m e t e r s t h em a c h i n em o t i o nm o d e li ss e tu pt oa n a l y z et h ei n f l u e n c i n gf i a c t o r so ft h e m e s h i n ge f f i c i e n c y t h e nt h em e s h i n ge f f i c i e n c yi sr e s o l v e d i n e v e r ym e s h i n g i n t e r v a lt ow o r ko u tt h ef o r m u l ao ft h ea v e r a g em e s h i n ge f f i c i e n c y b u tt h ef o r m u l a i st o oh a r dt or e s o l v ed i r e c t l y , s oc o m p u t e ri su s e dt oc a l c u l a t eb ym e a n so f n u m e r i c a lv a l u e s e c o n d a r i l y , t h eo p t i m i z a t i o nm e t h o di s r a i s e d f i r s tt h ei n t e r v a le n d p o i n ti s d e t e r m i n e d ，t h e nt h eo v e r a l lm e s h i n gp r o f i c i e n c yu n d e rt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： c o n s i d e r i n gt h ef r i c t i o ni nt h ea x i ss u p p o r ta n dn e g l e c t i n gt h ef r i c t i o ni nt h ea x i s s u p p o r t t h i r d l y , t h em a i nf l o wc h a r ta n dt h es u b p r o g r a mf l o wc h a r ti sp u tf o r w a r d c o n c e r n i n gt h eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m a f t e rt h a t ，t h ea p p r o a c h i n ga l g o r i t h m i s i n t r o d u c e d ，w h i c ha c c e l e r a t e st h ec a l c u l a t i o np r o c e s sb ys a v i n gh a l fo ft i m e e x e m p l i f i e db yt h em e s h i n gg e a r so fs h a n g h a iw a t c hf a c t o r y , t h ef e a s i b i l i t yo ft h e o p t i m i z a t i o na l g o r i t h mi st e s t i f i e d f i n a l l y , t h eb a s i sf o rt h eh o bi s s e tf o r t hb yt h ee m p h a s i so ft h ec a l c u l a t i o no f t h eb a s i ch o bt o o t hp a r a m e t e r s k e y w o r d s ：h o r o l o g i c a lg e a r , m e s h i n ge f f i c i e n c y , p r o f i l e o p t i m i z a t i o n ， v i 上海人学硕上学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：吐整日期：刎塑乜 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：二牡导师签名： 2 堑堇至日期：划丛a i i 上海大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 钟表作为一种集实用、收藏和装饰功能于一体的商品，曾经深受人们的青 睐。随着人民生活水平的提高和计时工具的多样化，钟表的实用功能正在退化， 人们对钟表的需要不再像过去那样渴求。此外，在从计划经济向市场经济过渡 的过程中，因国有钟表企业普遍存在的沉重负担和经营机制的羁绊，钟表制造 业经济效益大幅度滑坡，以至于出现全面亏损的局面。而且，钟表行业所依赖 的技术基础性研究也随之停顿下来。但这并不说明钟表业已到日薄西山的时候， 正当国内的钟表企业步履维艰之时，国外的钟表厂商却纷纷来中国，目前在国 内市场上销售的外国品牌就达1 0 0 多个，钟表市场潜力巨大，钟表业正面临着 一个复苏的春天【l 】。 钟表的应用范围很广，品种甚多，可按振动原理、结构和用途特点分类。 按振动原理可分为利用频率较低的机械振动的钟表，如摆钟、摆轮钟等；利用 频率较高的电磁振荡和石英振荡的钟表，如同步电钟、石英钟表等；按结构特 点可分为机械式的，如机械闹钟、自动、日历、双历、打簧等机械手表；电机 械式的，如电摆钟、电摆轮钟表等；电子式的，如摆轮电子钟表、音叉电子钟 表、指针式和数字显示式石英电子钟表等。 本文所研究的是机械钟表中的齿轮，齿轮是机械钟表中不可缺少的重要组 成部分，其性能直接决定了钟表计时的准确性。在钟表机构中，齿轮传动是应 用很多的一种传动型式，它可分为主传动( 或称基本传动) 和辅助传动，本课 题主要研究用于主传动的齿轮。 1 2 课题研究的目的和意义 本课题所要作的钟表齿形优化主要目的是得到平均传动效率更大的齿形。 主要研究用于主传动的齿轮，钟表机构中主传动具有以下特剧2 】： 齿轮模数较小。由于整个钟表机构的外廓尺寸小，为了缩小齿轮传动所 上海大学硕上学位论文 占空间，需要把模数取得尽可能小些。由于传递的力矩较小，使得可能采用较 小模数。 每对齿轮的传动比较大。由于发条工作转数不大，而要求上一次条持续 工作时间较长，所以主传动的传动比较大，一般为乱1 2 ，有时高达1 6 。 龆轮齿数较少。在每对齿轮传动比较大的情况下，龆轮齿数多，将使齿 轮齿数过多，并因而使主传动所占空间增大。齿数增多，也将增加制造工时。 因此，主传动中龆轮的齿数一般较少。 钟表机构的主传动是增速传动。这是由于发条工作转数较小而要求上一 次条持续工作时间较长。一般来说，龆轮齿数为乱1 2 。 主传动的运动是间歇的。这是由擒纵调速器的工作特性所决定的。并且 在摆轮游丝系统的每个振动周期中，主传动只在一个很短的时段中是运动的。 基于以上特点。钟表机构主传动齿轮传动的要求主要是【2 】： 因为传递力矩小，要求转动灵活。 传递力矩尽量稳定。这是由于力矩稳定性直接影响摆轮游丝系统振幅的 稳定性，并因而影响钟表机构的走时精度。 能量传递效率高。由于能源储存的能量不大，所以要求能有较高的效率。 由于多数钟表机构是连续工作的。因而希望其齿轮传动耐磨损性能较好。 并且希望齿形的磨损比较均匀。 因为模数较小，制造误差相对较大。这就希望齿轮传动对制造误差不敏 感。也就是说，在制造误差相对较大的情况下，仍能正常工作。 因此，在机械钟表领域，驱动钟表工作的动力来源于发条储备的弹性势能， 通过增速传动，将动力传至调速机构，从而控制手表精确走时。这个传动过程 中，要求传动力矩稳定以获得稳定的摆幅，以提高摆轮游丝系统的等时性；同 时，大传动比齿轮传动中，传动效率十分重要，尤其对于高速齿轮，它对整个 传动链的影响十分明显。这个传动过程中，由于能源储存的能量不大，所以要 求能有较高的传动效率。因此提高其传动效率是十分必要的。 2 上海大学硕士学位论文 1 3 国内外研究概况 1 3 1 国外钟表齿形的研究概况 在计时仪器中，采用钟表齿形已有很长历史。现代钟表齿形是由摆线齿形 演变而来的 3 1 。摆线齿形( 如图1 - 1 所示) 由外摆线和内摆线组成，其中齿顶部 分是外摆线，齿根部分是内摆线。外摆线是一滚圆沿另一圆的圆周外面作无滑 动地滚动时，滚圆圆周上一点的运动轨迹。内摆线是一滚圆沿另一圆的圆周内 面作纯滚动时，滚圆圆周上一点的运动轨迹。滚圆叫做摆线的生成圆，而另一 圆叫做摆线的母圆。在摆线啮合中，母圆就是齿轮的分度圆。在同一齿轮中， 构成齿廓的内外摆线的生成圆可以不相等，但在一对互相啮合的摆线齿轮中， 一齿轮齿项外摆线的生成圆半径必须和另一齿轮齿根内摆线的生成圆的半径相 等，否则两齿轮不能正确啮合。另外，当内摆线的生成圆直径等于其母圆半径 时，内摆线就是一径向直线。 图卜1 摆线及摆线齿形的形成 实际上，纯粹的摆线齿轮啮合，在计时仪器和精密仪表中用量很少【4 】。因 为摆线齿形对中心距的变化非常敏感，不论中心距比理论值大或小，都不能进 行正常的传动。而且刀具的形状并不简单。 为了便于制造和改善传动性能，人们对理论摆线齿形做了一定的修正。最 初是用近似理论摆线的圆弧，代替钟表中的轮片和龆轮齿顶部分的外摆线齿形 3 上海大学硕上学位论文 ( 图l 一2 ) 。 2 0 世纪4 0 年代以后，许多国家的钟表机构采用的钟表齿形，逐渐出现了 脱离摆线齿形的趋势，而现代的钟表齿形已基本不属于摆线的范畴了【5 】。 图卜2 理论外摆线及圆弧齿形 根据钟表机构齿轮传动的特点和要求，现代采用的钟表齿形一般可分为两 类。第一类齿形适用于传递力矩稳定性要求较高的增速传动齿轮，如机械钟表 中的主传动部分齿轮；也可用于传递力矩稳定性要求不高的、轮片既可主动也 可从动的双向传动齿轮，如拨针部分的齿轮传动。第二类齿形适用于要求传动 灵活的减速传动齿轮，如指针式石英电子钟表中的主传动部分齿轮【6 】。我们所 研究的主要是机械钟表中的主传动部分齿轮。 齿根为直线时，要传递一定的角速比的运动，配对的齿顶必须是摆线齿线。 但为了避免摆线齿形，齿顶用圆弧代替。这样一来，一对齿在啮合期间，速比 产生连续变化，啮合在向下一对齿移动时产生不连续变化，如o 中季申科证明 像钟表齿轮的这类误差，对模数大的齿轮来说，性能比渐开线还要优越。但1 9 5 8 年b 哈斯曼把钟表齿形与渐开线齿形作过比较，说明对于钟表来说，钟表齿 形是优越的【7 1 。 1 9 5 6 年h 克莱尔发表了关于圆弧一直线钟表齿形齿轮的啮合研究，在这项 研究中首先对小模数齿轮提出了下列十项要求【7 1 。 小齿轮( 龆轮) 的齿数要少； 增速比或减速比要大； 对比较大的制造误差不敏感； 对比较大的中心距误差不敏感； 要有互换性； 传动比要一定； 4 上海人学硕士学位论文 啮合率要大于l ； 在增速啮合时，只在中心前一点点进行啮合； 摩擦损失要小； 滑动率均匀，并尽可能小。 国外很多国家都把这种齿形作为国家标准定下来了，很久以来，瑞士钟表工 业标准一直受到各国钟表工业的注意。但是为了得到性能更好的齿形，各方面都 进行有关这类齿形的研究工作，并发表了以这些研究成果为基础的种种齿形。例 如苏联钟表制造科学研究所于1 9 6 3 年提出新的钟表齿形方案，法国钟表工业技术 中心也在同年发表过新齿形。此后，在1 9 6 6 年，有人提出考虑用椭圆摆线代替圆 摆线的齿形方案。随后瑞士还发表e v j ( 厄佛季) 齿形，它是瑞士汝拉山区钟表 学校于1 9 6 4 年发表的齿形，它不仅是研究结果而且也是基于实际经验的总结。它 是从下述设想出发的：小齿轮的齿顶圆直径绝不要有正误差，小齿轮的外径d 稍 微缩小一点，就能够减少制造误差的影响，引起各方面的注意【8 】【9 1 。近年来钟表 齿形的研究基本上停留在原来的基础上，更注重材料的改进，日本信州大学教授 远藤守信与日本三家企业合作，研制成功了世界上最小的钟表齿轮，其直径仅0 5 毫米，采用复合材料制成。 1 3 2 国内钟表齿形研究概况 我国近几年也有从事钟表齿轮齿形修形的研究，有提出用渐开线修正齿形的 建议【1 0 】。但尚未制定钟表齿轮齿形的统一标准，目前在实际设计工作中，各钟表 厂都是参照国外标准设计和制定齿形尺寸的。虽然现在看到的各国的钟表齿轮标 准各不相同，但一般来说，这种齿轮具有如下的特点： 齿根齿形的直线部分是径向直线、或者是接近径向线的直线。这相当于把 摆线啮合齿根齿形生成圆的直径取为等于分度圆半径。 有时，齿根齿形没有直线部分。这可看成是齿顶圆弧和齿根直线的衔接点与 齿根直线和齿底圆弧的衔接点重合。 齿形主要取决于齿顶圆弧半径和它的中心的位置( 亦即中心圆半径) 。 对于增速传动用钟表齿轮，齿轮的齿项圆弧是比较接近理论外摆线的圆弧， 5 上海大学硕十学位论文 而龆轮的齿顶圆弧是远低于理论外摆线的圆弧。这样做的结果，可使传动的出啮 角增大。 齿轮的中心圆半径一般小于分度圆半径，而龆圆的中心圆半径一般等于分度 圆半径。即齿顶圆弧中心在分度圆上。但也有的标准规定中心圆半径略小于分度 圆半径。 由于齿轮和龆轮齿顶部分的齿形都是用圆弧代替了外摆线，因此，这种传动 的即时传动比将不是常数。 为了保证传动的正常工作，轮齿啮合时应有必要的顶隙和侧隙。 1 4 论文的主要研究内容 分析和研究钟表齿轮的啮合特点。从分析钟表齿轮的基本齿形入手，得出钟 表齿形的原始参数和基本参数。建立单齿啮合的运动学模型及不同啮合区间内的 机构模型，研究钟表齿轮的传动效率影响因素及总平均效率。 对钟表齿轮的基本齿形参数进行优化。提出了本文优化所要达到的目标和优 化的基本原理。首先确定啮合的各区间，再在两种不同的情况下确定啮合各区间 的平均效率，最后确定总平均效率。 编制出实现齿形优化的计算机程序，包括程序算法和流程图。并在原来算法 基础上，提出一种逼近算法，加快优化程序。 最后概述由齿形参数得出钟表齿轮滚刀的设计。在钟表齿轮滚刀设计基础上 得出滚刀齿形各部分曲线的设计方法及有关注意问题。 1 5 本章小结 本章主要介绍了钟表齿轮齿形优化的研究目的和意义以及国内外钟表齿轮 齿形的发展现状，同时提出了本课题的主要研究内容，在分析钟表齿轮啮合过 程的基础上提出齿形优化算法，以提高钟表齿轮的啮合效率，利用计算机的强 大计算能力编程实现优化。 6 上海人学硕士学位论文 2 1 引言 第二章钟表齿轮啮合的研究 钟表齿轮传动中，齿廓很少采用渐开线，而是采用一种由圆弧和直线组成 的齿廓，这种齿廓来自于摆线齿廓的修正，以便于齿轮的加工，但这种齿轮的 传动是与传统齿轮截然不同的过程1 1 】。本章主要是说明这种啮合过程，而要说 明这一啮合过程，先要根据钟表齿轮的基本齿形建立钟表齿轮啮合的运动学模 型，在此基础上再建立计算瞬时效率和平均效率的计算式。 2 2 钟表齿轮的基本齿形 钟表齿轮传动突出的特点是传动比大，而从动轮( 轮轴) 的齿数少( 6 2 0 ) ， 这种情况决定了钟表中的齿轮传动一般采用钟表圆弧齿轮传动。钟表圆弧齿形 的齿廓是由齿顶部分近似外摆线的圆弧、齿根部分径向直线及齿根圆弧组成。 传动时参与工作的只是前2 部分齿廓【l l 】。采用钟表圆弧齿轮可以加工很少齿数 ( 如6 齿) 的齿轮而无根切现象【1 2 】。这一特点满足了钟表机构中传动轮系要在比 较小的空间内实现较大的传动比的要求。 图2 - 1 为钟表圆弧齿形的构成。它是从摆线齿形演化而来，整个齿形由齿 顶圆弧a b 、齿根直线b c 和齿底圆弧c d 组成。为了使齿顶圆弧和齿根直线平滑 衔接，衔接点不取在分度圆上，而是在分度圆下一点b 衔接。因此，钟表齿形的 齿顶部分为圆弧，而齿根部分则由一小段圆弧和直线组成。齿根直线和齿根圆 弧也是平滑衔接【1 3 】。 图2 - 1 钟表齿形的形成 7 上海大学硕士学位论文 这种齿形具有以下特点【1 4 】： 齿根齿形的直线部分是径向直线，或者是接近径向线的直线。这相当于把 摆线啮合齿根齿形生成圆的直径取为等于分度圆半径。有时，齿根齿形没有直 线部分。这可看成是齿顶圆弧和齿根直线的衔接点重合。 齿形主要取决于齿顶圆弧半径和它的中心的位置。对于增速传动用的钟表 齿轮，齿轮的齿顶圆弧是比较接近理论外摆线的圆弧，而龆轮的齿顶圆弧是远 低于理论外摆线的圆弧。这样做的结果，可使传动的出啮角增大。 为了保证传动的正常工作，轮齿啮合时应有必要的顶隙和侧隙。在钟表啮 合中，由于即时传动比不是常数，为了防止卡住，侧隙值应更大些。齿轮齿顶 高较大，因此龆轮齿根高也要求较大。但从加工角度来看，希望龆轮齿高小些， 龆轮齿根圆半径大些。结构上有时也要求龆轮齿根圆半径大些，为了解决这个 矛盾，当选定齿轮齿顶齿形时，在满足工作性能条件下，尽量使齿顶高低些。 2 3 钟表齿轮的啮合特点 2 3 1 啮合基本原理【1 5 】 钟表齿轮的齿形主要是由齿项圆弧和齿根直线所组成，有时还具有齿尖圆 弧。就是说，它是由几段不同的曲线组成的。这样，一对相啮合的轮齿由开始啮 合到结束啮合的过程中，将会有传动特性不同的若干啮合阶段。例如，齿轮齿根 直线和龆轮齿顶圆弧相啮合的阶段、齿轮和龆轮齿顶圆弧相啮合的阶段、齿轮齿 顶圆弧和龆轮齿根直线相啮合的阶段、齿轮齿尖圆弧和龆轮齿根直线相啮合的阶 段以及齿轮齿尖圆弧和龆轮齿顶圆弧相啮合的阶段等等。为了说明方便，把它们 分别叫做齿直、龆圆啮合段；齿圆、龆圆啮合段，齿圆、龆直啮合段；齿尖、龆 圆啮合段等等。一对相啮轮齿的啮合过程是由哪些啮合段组成呢? 不难想象，这 将取决于齿轮传动的几何参数和尺寸。应根据具体情况进行分析。为了分析方便， 用四杆机构替换所要分析的钟表齿轮啮合。替换机构传递运动的情况应和所替换 的齿轮啮合一致。这样，对于啮合过程中的各个啮合段，就需要用不同的四杆机 构替换。 8 上海大学硕士学位论文 2 3 2 钟表主传动链的组成及传动特点 机械钟表的主传动链为大传动比增速传动，由多齿的大齿轮驱动少齿的龆轮 工作。传统手表主传动链组成如图2 2 所示，头轮驱动二轮龆轮，二轮片驱动三 轮龆轮，三轮片驱动四轮龆轮，四轮片驱动擒纵轮龆轮【刀。 1 头轮2 二轮龆轮3 二轮片4 三轮龆轮5 三轮片 6 四轮龆轮7 四轮片8 擒纵轮龆轮9 擒纵轮 图2 - 2 手表主传动链 主要有四对啮合：条盒轮驱动二齿轴，二轮片驱动三齿轴，三轮片驱动秒齿 轴，秒轮片驱动擒纵齿轴，如图2 3 所示。为满足大传动比的要求，需要采用齿 数极少的龆轮，这种齿轮的齿数一般为6 1 2 齿。因此，钟表齿轮传动中，齿廓很 少采用渐开线，而是采用一种由圆弧和直线组成的齿廓，这种齿廓来自于摆线齿 廓的修正，以便于齿轮的加工。由于是由圆弧和直线组成的齿形，这种传动的瞬 时传动比不是常数，这样，啮合时的重合度只能等于1 ，即一次只有一对轮齿参 加啮合。 9 上海人学硕士学位论文 i 秒齿轴2 三齿轴3 二轮片4 条盒轮5 二齿轴6 三轮片 7 秒轮片8 擒纵齿轴 图2 - 3 钟表齿轮主传动中的主要齿轮啮合 2 3 3 钟表齿轮齿形的原始参数及基本参数 在钟表齿轮设计过程中，原始参数有：齿轮的齿数z 1 ，龆轮的齿数z 2 ，齿轮 与龆轮之间的中心距爿，齿轮和龆轮的模数m 。以上四个参数加上轮齿间的摩擦 系数构成了钟表齿轮齿形设计时的原始参数1 6 】。从以上参数可以得出齿轮和龆轮 的其他齿轮参数：分度圆半径r ，周劫，角节距r ，齿根高矽，齿根圆半径矿。 钟表齿轮的齿形如图2 4 ，其齿形参数的计算公式如表2 1 【1 7 1 。 1 0 上海大学硕士学位论文 表2 - 1 钟表齿轮齿形参数计算公式 序号名称符号计算公式备注 1 分度圆半径 ，亿 ，= 一 2r c 和p 是 2 周节pp 2 万m 基本齿形 3角节距 f 参数，是优 3 6 0 。 f = 化得到的 z 4 参数角 h ；和s ：查 8 ：a r c c o s r 2 + r c 2 一p 2 s + t f 表2 2 ，2 3 2 r r c2 可知 5 齿顶圆j 仁径m r a = r c c o s 了+ 4 p 2 一i c 2s i n 2 6 齿顶高 h a h a = r a r 7 公法线齿厚s n s n = 2 l o - r c s i n p ) 8 齿厚中心半角y y _ - a r c s i n 旦一 r c 9 齿槽中心半径 f 乃7 l 2 i 一7 1 0 齿根高h f h f = h ；m 1 1 齿根圆半径 r f r f = r h f 1 2 齿底圆弧半径 岛 r f s i n y l 岛2 商 图2 - 4 钟表齿轮的齿形 上海大学硕上学位论文 表2 - 2 齿根高系数h ； 齿根高系数h ； 齿轮齿数 齿轮为主动龆轮为主动 8 1 4 9 91 5 71 6 0 91 7 0 表2 - 3 齿厚系数s ： 齿厚系数s ： 齿轮齿数 齿轮为主动龆轮为主动 2 0o 5 00 4 2 而对于一对啮合的钟表齿轮轮齿而言，齿形主要取决于齿顶圆弧半径和它中 心的位置。因此其基本参数是指决定齿形的四个参数：齿轮的齿项圆弧半径岛， 龆轮的齿顶圆弧半径p 2 ，齿轮的齿顶圆弧中心所在圆的半径阳1 ，龆轮的齿顶圆 弧中心所在圆的半径r e 2 。在这四个基本参数中，齿轮的齿顶圆弧中心圆的半径 r c l j 、于分度圆半径，1 ，龆轮的齿顶圆弧中心圆的半径r c 2 略小于或等于分度圆半 径r 2 ，齿轮和龆轮的齿顶圆弧半径a 和仍都分别小于其齿顶圆弧中心圆的半径 肥1 和r c 2 ，另外这四个参数都是大于零的，否则构不成齿形。用式子表达n ，侥， r c l ，r e 2 之间的关系如下： 岛，段，r c l ，r c 2 0 ( 2 - 1 )r c l 厂0 1 2 一岛2 ，所以必须 r c l 2 ，0 1 2 + 彳一虏，但是在实际应用的齿形上，因为岛 仍，o l r c l ，不 能满足这个条件，于是啮合只能由两齿轮的齿顶圆弧开始。 因此，根据钟表齿轮的特点，一般来说，在没有齿轮直线齿形与龆轮圆弧齿 形啮合段和在齿尖圆弧不参加啮合的情况下，啮合过程有如下两种情况【1 3 】： 整个啮合过程只有一个啮合段，即齿轮圆弧齿形与龆轮圆弧齿形啮合，简称齿 圆龆圆啮合段，被称为第一类啮合过程。 整个啮合过程由先齿轮圆弧齿形与龆轮圆弧齿形啮合，再齿轮圆弧齿形与龆 轮直线齿形啮合，简称先齿圆龆圆啮合段，再齿圆龆直啮合段，被称为第二类啮 合过程。 图2 - 4 ( a ) 齿轮圆弧与龆轮圆弧齿形啮合的情况( b ) 齿轮直线与龆轮圆弧齿形啮合的情况 1 4 上海大学硕士学位论文 2 4 钟表齿轮啮合运动学模型 2 4 1 单齿啮合的机构模型 根据钟表齿轮传动的特点，在单齿啮合的过程中，可以将它视为如图2 5 所 示的平面机构进行运动学分析。这个机构模型是后面研究各个啮合段的不同啮合 机构模型的基础【1 9 1 。 图中的c l ，c 2 分别表示齿轮和龆轮的齿顶圆弧中心，m 表示瞬时轮齿啮合点， p 是运动节点，即过轮齿啮合点m 所作的公法线交中心线的点，p c 是力节点，即 轮齿间作用力的方向与中心线的交点，0 1 ，0 2 则分别表示齿轮和龆轮的中心。 图2 - 5 钟表齿轮单齿啮合机构简图 2 4 2 不同啮合区间内的机构模型 从2 3 4 节可知主要的啮合区间有两种情况：一种是整个过程只有齿圆龆圆啮 合段；一种是先齿圆龆圆啮合，后齿直龆圆啮合。对于这两种情况，可以建立不 同的单齿啮合机构模型。 根据钟表齿轮齿面所受摩擦力方向在中心线前后啮合时的变化，一般将齿圆 1 5 上海大学硕士学位论文 龆圆啮合段分为在中心线前啮合段和在中心线后啮合段。这样第一种情况的啮合 机构模型如图2 6 ( a ) ，c o ) 所示。第二种情况的啮合机构模型如图2 - 6 ( a ) ，( b ) ，图2 7 综合所示。 在下列图中，c 1 ，c 2 分别表示齿轮和龆轮的齿项圆弧中心，m 表示啮合点，入 表示摩擦角，p 表示瞬时运动节点，p c 表示瞬时力节点，0 1 ，0 2 贝j j 分别表示齿轮 和龆轮的中心。 图2 - 6 ( a ) 齿圆和龆圆在中心线前啮合 ( b ) 齿圆和龆圆在中心线后啮合 图2 - 7 齿圆和龆直啮合 1 6 上海大学硕上学位论文 2 5 钟表齿轮啮合的传动效率 2 5 1 钟表齿轮的传动效率的影响因素 在实际传动中，一对钟表齿轮的传动效率，主要取决于两个主要因素：轮齿 间的摩擦损失；主动轴和从动轴支承中的摩擦损耗。 轮齿间的摩擦损失，受下列因素的影响：首先是齿轮的原始参数，包括中心 距等；其次制作齿轮的材料和表面质量，其摩擦系数不同；再次，受装配精度的 影响，这个影响因素可以看成齿形基本参数的变化加以分析【2 0 】【2 l 】。 原动轴和从动轴上的摩擦损耗，受到下列因素的影响：首先它受到齿轮轴上 受力情况的影响，这主要取决于齿轮传动过程中的压力角，而压力角的大小以及 变化都由齿轮基本参数决定；其次是齿轮轴的直径大小，直径越大，摩擦力矩就 越大，摩擦损耗就越大，因此，理论上来说，支承轴的直径越小越好，但这受到 支撑强度和刚度的限制；再次，和支承轴及轴承材料、表面加工质量以及润滑状 况有关，由于钟表齿轮的压力角在啮合过程中是一个变量，因此，轴上的摩擦损 耗随压力角的变化而不断变化，因此，除轴颈直径大小和摩擦系数有关以外，齿 轮轴承处的效率与齿形有着密切的关系【2 l 】。 上述两个因素实际上都和齿形参数有着直接的联系，因此，选择合适的齿形 参数，可以提高钟表齿轮理论上的传动效率。当然，在实践中，齿轮传动效率还 和加工精度、齿面质量、中心距误差等因素有关，但归根到底，这些制造误差完 全可以折算到齿形的变化上。 2 5 2 不考虑轴支撑中摩擦时不同啮合段瞬时啮合效率的解析【2 2 】【2 3 】【2 4 】 在不同的啮合段，根据不同的机构模型，可以分别得到不同的瞬时啮合效率 解析式。 设瞬时啮合效率为r ，传动比为如l ，主、从动轮瞬时功为d 胴，d w 2 ，主、从 动轮力矩分别为m ，m 2 ，力矩之比用0 2 l 表示，主、从动轮角速度分别为国1 和2 ， 则： 1 7 上海大学硕士学位论文 d 形2m 2 o ) 2 d tm 20 0 2 2 丽x c o l 刮脚。2 1 ( 2 1 3 ) 由图2 - 5 所示，厶，：一0 1 p ，：0 1 p c 。 1 0 2 p 1 0 2 p c 令d l p ：p ，p p c = m ，所以0 2 p = a p ，0 2 p c = a p m ，0 1 p c = p + m ，因此 铲南2 1 = 等从确越 ，7 ：如l 一2 i ：生a - p - m(214)1i ，7 刮2 l 。2 i2 土a - p 百 瞄。 为了计算瞬时啮合效率，需先计算p 和m 之值，p 和m 的值随啮合段的不 同而不同，现将龆轮齿顶圆弧中心圆半径与中心线的夹角缈定义成自变量。也 就是p 和m 是缈的函数。设4 ，p 2 ，p 3 ，1 1 ，棚2 ，研3 分别表示各啮合段 的p 和m ，现将其计算方法分述如下： 齿圆与龆圆在中心线前啮合时的计算简图如下，图中r c l ，r c 2 分别为齿 轮和龆轮的齿项圆弧中心圆半径，n ，岛分别为齿顶圆弧半径，口，e l 和 分别为计算中间参数，e l = p m ，三= 0 1 c 2 。 。0 2 f 襄 p c l 户 双 、一： 惫j - 二r ：l i a l - 一 i 图2 - 8 齿圆与龆圆在中心线前啮合的计算简图 由图2 - 8 可以看出：p 1 s i n ( a + = l x s i n ，因此p l = 五l 而xs 可i n f l i ，式中 1 8 = r e ：z s i n 口 口= a r c s m ； ：黜s 些土型型。 2 x l ( p l + p 2 ) 同时可以看出：m 1 s i n ( 口+ 一力) = e l xs i n 五，因此朋l = 磊而e l x i s i 硒n2 ，又 因p 1 ：p 2 一r c 2 x s m q ，代入前式，得到m l ： 一 s i n ( a + ) 竺坚茭l s i n ( a + ) 一讲c o s ( i z + ) r 。，垦放一，。厂i p 2 一而r c 2 xs i n q i 令厂= 鳓，最终得到，l l = s i n ( a + , b ) - f 竺x 竺c o 二s ( 兰a 堕+ f l 一) 。 齿圆与龆圆在中心线后啮合时的计算简图如下，图中符号定义如图2 - 8 ： 图2 - 9 齿圆与龆圆在中心线后啮合的计算简图 由图2 - 9 可以看出，p 2 值的计算方法如上一样，因此只需讨论m 的值 一羔吲：端嵋 所：毒r 憨c 2 s i n ， ，i缈 1 9 上海大学硕+ 学位论文 式中口和的计算方法也和上一啮合段一样。 齿圆与龆直段啮合的计算简图如下，式中符号同上： 图2 - 1 0 齿圆与龆圆在中心线后啮合的计算简图 由图2 1 0 可以看出：p 3 c o s ：，c 1 c o s 口，因此p 3 ：竺旦竺竿旦，式中 c o s 驴 = 伊一a r c s i i l 急r e ；口= a r c s i nz 同时可以看出：肌3 ：塑兰墅墨， c o s ( 一五) e 3 = ( 么一p ) x s i n ，因此优3 ：兰! 丝二旦2 。 c t g + l 上面所有式子中所提到的是指的滑动摩擦系数，只有在考虑齿轮传动自锁 时才是指静摩擦系数。 2 5 3 考虑轴支撑中摩擦时不同啮合段瞬时传动效率的解析聊【2 4 】【2 5 】 在分析钟表齿轮传动的传动特性时，常常只考虑轮齿间的摩擦损失，而没 有考虑轴支撑中的摩擦损失，但实际上对于一对齿的啮合来说，这两种摩擦对 效率的影响都是不容忽视的。上一节详细说明了不考虑轴支撑中摩擦时不同啮 合段啮合效率的解析，下面是用类似的方法考虑轴支撑中摩擦时不同啮合段传 动效率的解析。 在钟表机构的轮系中，通常采用圆柱支撑。这时，支撑中的摩擦力矩m 。可 近似地用下式计算： 上海人学硕士学位论文 m 。= f o r ( 2 - 1 5 ) 式中表示摩擦系数，这里考虑的摩擦系数是指滑动摩擦系数，只有在考 虑齿轮传动自锁时才是静摩擦系数，表示轴颈半径，对于宝石支撑，摩擦系 数厂可取为o 1 5 ，对于非宝石支撑，可取o 2 。 设，为摩擦圆半径，由于，= r s i n 2 矿，因此m 。= q r 。从动轮力矩为 q 0 2 b ( 图2 1 1 ) ，所以从动轴输出力矩m ：应为m 2 = q ( 0 2 b - r ：。) ，同理输入 主动轴的力矩m 为m ，= q ( 0 1 a + r 。) ，巧，砭分别表示主动轴与从动轴支撑的摩 擦圆半径。这时的力矩比f j ：。为如，：磐。而矗厂吒，呓吃，_ ，r 2 分 。 u l 以+ 一 别表示主动轴和从动轴的轴颈半径。 图2 一l l 力节点不慈图 图2 1 2 ( a ) 表示齿圆和龆圆在中心线前啮合时考虑轴支撑中的摩擦的情况， 分别过0 1 ，0 2 作轮齿间作用力q 的垂线交作用力的方向于a ，b ，设在0 2 b 线 上截b b ：一，再过曰作0 2 b 的垂线交中心线于p c 2 ，在0 1 a 延长线上截州： ， 再过彳作0 1 a 的垂线交中心线于r 1 所以f ：，：一0 2 b ：0 2 p c 2 ：j 丝堕。根 2 l 上海人学硕士学位论文 据几何关系，在0 2 b 线上截删= 和肋”= 砭，过曰和曰”作0 2 b 的垂线，则 它们与中心线的交点，即为p c l 和p c 2 。同上节的推导一样，仍设0 1 p = p ， p p c = m ，根据图中几何关系可推导出 。2 p c l = ( a - p - m ) ( 1 一。f 2 r 曰t ，) ， d 2 尸c 2 = ( a - p - m 一d 2 f r 口z ) ， 。2 占= ( a - p - m ) s i n ( a + 一五) 效率公式仍然按式( 2 1 4 ) 计算，之。仍为i 2 。= l ， 而 a p ；：叟! 丝：! ! 二! 二竺二金! ： 。2 l2 而2 瓦i i 历2 彳一p m 一 ，i 如 p + 肌+ 五瓦f 而r lj s l n 口+ 正，一 i 蜘。锄音篙鬻f r 2 ( 2 - 1 6 ) 式中的中间参数p ，m ，口，的计算方法参照上节的齿圆和龆圆在中心线前 啮合时计算。 同理参照图2 1 2 ( b ) 也可推导出齿圆和龆圆在中心线后啮合时的效率公式也 为式( 2 1 6 ) p 7 i ：示，只是中间变量的计算方法参照上节的齿圆和龆圆在中心线后啮 合时计算。 上海大学硕士学位论文 p c l p c l 1 3 必 爹 ：y攀 ；符 r 。? 。f f | | i?|j 影 逸 图2 1 2 ( a ) 考虑轴支撑摩擦时齿圆( b ) 考虑轴支撑摩擦时齿圆龆圆在中心 龆圆在中心线前啮合的计算简图 线后啮合的计算简图 齿圆与龆直段啮合时，如图2 1 3 所示，p c l 和p c 2 的计算式同上，但 0 2 b = ( 么一p m ) s i n ( , 刀 2 一妙+ 名) 。 故，p ，加p 叫一顽 l 2 南焉善 ( 2 1 7 ) 上海大学硕上学位论文 图2 1 3 考虑轴支撑摩擦时齿圆龆直啮合的计算简图 2 6 本章小结 本章主要介绍了钟表齿轮的基本齿形，说明了其啮合的主要特点。并在此 基础上提出了单齿和不同区间的啮合机构模型。在啮合结构模型建立后，分析 和推导了分别在不考虑和考虑轴颈支撑中摩擦两种情况下的不同啮合区间的啮 合效率数学模型。最后分别推导出两种情况下的总平均效率数学模型。本章是 后面优化方法提出的基础。 2 4 上海大学硕士学位论文 第三章钟表齿轮基本齿形参数的优化 3 1 引言 上一章推出的总平均效率数学模型，由于其每个积分区间的上下限中都含 有妒的超越函数，每个区间的瞬时效率公式中又是含有缈的超越函数，故要研 究此解析式，求其最大值是没法实现的，实践中没有应用价值。本章提出了一 套基于计算机实现的“海选 的优化方法，并对其目标，原理和方案进行了详 细的说明。 所谓“海选 ，是指基于人们在实践中不断改进、实验的方式，利用计算 机强大的计算功能，从“海量 的参数组合中，筛选出最佳结果的函数。与其 它优化方法不同，这种方法几乎涵盖所有的可能性。 3 2 钟表齿轮基本齿形参数优化目标概述 前面已经叙述过，一对啮合的钟表齿轮的基本参数有四个：齿轮的齿顶圆 弧半径n ，龆轮的齿项圆弧半径p ：，齿轮的齿顶圆弧中心所在圆的半径陀1 ，龆 轮的齿项圆弧中心所在圆的半径r c 2 。这四个基本参数取定了，那么一对啮合 齿形就定下来了。本课题所研究的齿形参数优化的目的是在理想条件下，同时 不发生自锁的条件下，使啮合总区间的总平均效率最大，形成使平均效率最大 的一对共轭齿形。 3 3 钟表齿轮基本齿形参数优化原理及方案 3 3 1 优化的基本原理【2 6 】【2 7 1 由于优化理论的发展和计算机的广泛应用，优化设计已经深入到机械领域， 机械的优化设计并不是要对机械的所有参数进行优化设计，而只要对一些主要 的，关键的参数进行优化。 上海人学硕士学位论文 本课题的优化基本原理是基于数值计算方法，首先须得出啮合过程的总平 均效率解析式，由于解析式相当复杂，无法直接求解。故利用计算机的“海选 能力，按照数值计算方法，在四个基本参数的可变范围里，编程筛选出接近理 论结果的一对理论啮合齿形，使其在整个啮合期间的平均效率能达到最大。 3 3 2 优化的方案 在齿轮传动设计中，过去的常规设计是基于安全概念的“合格设计 ，即： 各种设计参数，如几何尺寸，只要能保证零件正常工作就可，而在强度设计中， 只要能满足许用应力就认为合格，但这不一定是最好的设计方案【2 7 1 。本课题的 优化方案就是遵照提出的齿形优化基本原理提出来的，与常规优化方案不同， 其齿形参数优化的步骤主要有三个： 第一，根据2 5 节提出的第一类啮合过程和第二类啮合过程的主要啮合区 间，首先确定其区间端点的解析式，以便以后按数值方法编程能求 解出此解析式。 第二，分别在不考虑轴颈支撑和考虑轴颈支撑的条件下得出两类啮合过 程各段平均效率的解析式。 第三，在前两步的基础上，分别在不考虑轴颈支撑和考虑轴颈支撑的条件 下得出两类啮合过程总平均效率的解析式，以便编程求解。 3 4 啮合各区间的确定 3 4 1 主要啮合区间的划分【2 9 】 第二章已经叙述过了钟表齿轮主要的啮合区间可以分为两种：一种是 整个啮合过程只有齿圆龆圆啮合段，称为第一类啮合过程；另一种是先齿 圆龆圆啮合再由齿圆龆直啮合，称为第二类啮合过程。那么第一类啮合过 程主要的啮合区间有两个：齿圆龆圆开始啮合到中心线，中心线啮合到啮 合结束。第二类啮合过程主要的啮合区间有三个：齿圆龆圆开始啮合到中 心线，中心线啮合到齿圆龆直开始啮合，最后是齿圆龆直啮合到结束。下 上海火学硕士学位论文 图清楚地表示了主要啮合区间的划分。 齿圆龆圆在中心 线前啮合 9 j 9 、平c 图3 - 1 第一类啮合过程 齿圆龆圆在中 心线后啮合 齿圆龆 直啮合 饩仍眈 图3 2 第二类啮合过程 要判断是第一类啮合过程还是第二类啮合过程，就是要判断齿圆和龆 直啮合段是否出现。图3 3 为龆轮轮齿以齿形衔接点与齿轮轮齿啮合的情 况，对应于啮合由齿圆龆圆啮合段开始转换为齿圆龆直啮合段。啮合点m 在c 1 和c 2 的连线上，为使啮合过程中出现齿圆龆直啮合段，必须满足的 条件是： r c l + l 1 a ( 3 1 ) 式中 l 1 = x r c 2 2 + p 1 2 一p 2 2( 3 2 ) 将式3 2 代入式3 1 ，则 r c l + 4 r c 2 2 + p 1 2 一p 2 2 a ( 3 3 ) 但式( 3 3 ) 只是判断第二类啮合过程的必要条件，满足式( 3 3 ) ，还 不一定就能出现齿圆龆直啮合段，但是不满足式( 3 3 ) ，就肯定是第一类 啮合过程，故式( 3 3 ) 可作为判断是第一类啮合过程还是第二类啮合过程 的