（水声工程专业论文）基于混沌理论的舰船辐射噪声特征提取研究.pdf

一 垒璺! ! 坠曼! 一_ _ r _ - _ 一一。 a b s t r a c t t h e p a s s i v er e c o g n i t i o nt e c h n o l o g y o f u n d e r w a t e r t a r g e t si sa l w a y s ah o t t o p i ci n t h ef i e l do fu n d e r w a t e rs i g n a lp r o c e s s i n g f o ral o n gt i m e ，s c i e n t i s t sh a v e b e e n i m p r o v i n gt h er e c o g n i t i o nt e c h n o l o g y o fu n d e r w a t e rt a r g e t s b yv a r i a n t m e t h o d s + a l t h o u g ht h ep e r f o r m a n c eo fr e c o g n i t i o nh a s b e e ni m p r o v e d ，t h ek e yo ft h eq u e s t i o n h a ss t i l lr e m a i n e du n r e s o l v e d t h i si sc a u s e db yt h ec o m p l e x i t yo fu n d e r w a t e rt a r g e t r a d i a t e dn o i s ea n dt h ev a r i e t yc o n d i t i o no f t h es e a a f t e rs t u d y i n gt h em e c h a n i s mo f t h eu n d e r w a t e rt a r g e t sr a d i a t e dn o i s e ，w el e a r n e d t h a tt h es i g n a l sa r er e l a t e dt ot h ec o r r e s p o n d e n td y n a m i c s w h i l et h en o n l i n e a rt i m e s e r i e sa n a l y s i sm e t h o d so f f e rt h et e c h n o l o g i e st op r o c e s st h eu n d e r l y i n gd y n a m i c so f t h es i g n a l si nt h ep h a s es p a c e t h et a r g e t sr e c o g n i t i o nc a l lb er e a c h e db ye x t r a c t i n g t h ef e a t u r e so ft h er e c o n s t r u c t e dd y n a m i c su s i n gn o n l i n e a rm e t h o d s i nt h i sp a p e r , s o m ew o r kh a sb e e nd o n et oe x t r a c tt h ef e a t u r e so f t h es h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a l so n t h eb a s i so ft h en o n l i n e a rm e t h o d sa n dc h a o st h e o r y t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h e d i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： i t w op a r a m e t e r so fd e l a yr e c o n s t r u c t i o ni np h a s es p a c ea r ee x p l o r e d ，t h e o p t i m u md e l a yt i m ei s e v a l u a t e db yt h ea v e r a g em u t u a li n f o r m a t i o nm e t h o d ；t h i s m e t h o di sm o r ep r e c i s et h a nt h ea u t o c o r r e l a t i o nm e t h o d t h em i n i m u me m b e d d i n g d i m e n s i o nc a nb ed e t e r m i n e db yt h ef a l s en e a r e s tn e i g h b o r sm e t h o d ，a n de m b e d d i n g d i m e n s i o no fd e t e r m i n a t i o nc o m p o n e n t i nn o i s ec o n d i t i o nc a nb ed e t e r m i n e d p r e c i s e l y b yt h i sm e t h o dw h i c hc a l l a v o i dt h ep h a s es p a c ed i s t u r b a n c eb e c a u s eo ft h eh i g h e r e m b e d d i n gd i m e n s i o n s 2 n o n l i n e a rl o c a lp r o j e c tn o i s er e d u c t i o ni ss t u d i e do nt h eb a s i so fp r i n c i p a l c o m p o n e n t sa n a l y s i s ( v c a ) ，t h ep r i n c i p l eo f t h i sn o i s er e d u c t i o ni st oa p p r o x i m a t e p i e c e w i s e a n dl i n e a r l yt h ed y n a m i c sa n dt o p r o c e s s l o c a l p r i n c i p a lc o m p o n e n t s a n a l y s i s c o n t r a s tt ot h es i m p l ep c a ，t h ef i l t e rp e r f o r m a n c eo f t h en o n l i n e a rl o c a l i i a b s t r a c t p r o j e c tn o i s er e d u c t i o nm e t h o dh a sb e e ni m p r o v e dg r e a t l y i tc a l lr e c o v e rt h ew a v eo f t h eo r i g i ns i g n a la n d t r a j e c t o r i e so f p h a s es p a c ee v e ni nl o ws nr a t i o 3 f e a t u r ee x t r a c t i o no ft i m es e r i e sb a s e do nc h a o st h e o r yi s e x p l o r e d ，w h i c h i n c l u d et h ep r o b l e mo ft e m p o r a lc o r r e l a t i o ni n c o r r e l a t i o nd i m e n s i o nm e t h o d 山e r o b u s tm e t h o dt oe v a l u a t et h em a x i m u ml y a p a n o v e x p o n e n t s t h ee x t r a c t i o no f g e n e r a l i s e dd i m e n s i o n sa n dt h ee v a l u a t i o no fh 2 e n t r o p yo ft i m es e r i e s i tc a nb e l e a r n e db y a n a l y z i n gt h es h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a l su s i n gn o n l m e a rm e t h o d st h a tt h e s h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a l sa r e n tr i g i df r a c t a ls i g n a l s ，b u tt h e r ea r ep o s i t i v em a x i m u m l y a p u n o ve x p o n e n t s ，t h i si n d i c a t e st h a tt h es h i pr a d i a t e dn o i s es i g n a l sa r en o n l i n e a r t h ee x t r a c t i o nt e s tt ot h ed i f f e r e n tc l a s ss i g n a l st e l lu st h a tt h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o n a n d g e n e r a l i s e dd i m e n s i o n sm a y e f f e c t i v e l yi n v o l v et h ec l a s si n f o r m a t i o no fd i f 诧r e n t s h i p s ，o t h e r w i s et h e e n t r o p yi sd i f f i c u l tt oc l a s s i f yt h et a r g e t s k e y w o r d s ： c h a o s ，n o n l i n e a rt i m es e r i e sa n a l y s i s ，a v e r a g em u t u a li n f o r m a t i o n f a l s en e a r e s t n e i g h b o r s ，n o n l i n e a rl o c a l p r o j e c t n o i s e r e d u c t i o n ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n g e n e r a l i s e d d i m e n s i o n s ，l y a p u n o ve x p o n e n t s ，也e n t r o p y , s h i pr a d i a t e dn o i s e 1 第一章绪论 第一章绪论 1 1 混沌理论概况 “混沌( c h a o s ) ”指的是一种运动形式，是自然界广泛存在的一种现象。 对混沌现象的认识，是非线性科学最重要的成就之一，被誉为本世纪物理学继榍 对论和量子力学以来的第三次革命。 虽然混沌运动在自然界中广泛存在，但是对混沌的认i ； 是从近儿“f - 年爿开始 的。长期以来，人们在认识和描述事物的运动时，总是将它们分为两种类型：确 定性运动和随机性运动。在牛顿宦立经典力学后的很长一段时间内，自然科学家 普遍认为，个确定性的系统在确定性激励下。响应也是确定的。牛顿和拉普拉 斯郝指出，只要建立了系统的运动方程，就可以依据初始条件来确定随后的运动。 1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z ”1 在分析只含有确定项的兰阶微分方程的天气 预报模型时，得出气象不可预测的结论，从此人们认识到即使确定性系统受确定 性激励，响应也可能是不确定的。也就是说，自然界里除了确定性运动和随机性 运动之外，还广泛存在着另外一种运动，这种运动是由确定性系统产生，却有看 似随机的行为然而用随机理论却无法解释清楚，这种运动后来被人们称为“混 沌”。 在l o r e n z 第一次发现混沌不久，科学界就掀起了研究混沌的热潮。1 9 7 1 年， r u e l l e 和t a k e n s 。“提出了奇异吸引子( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 的概念。1 9 7 5 年， 华人学者李天岩和他的导师y o r k e ”1 发表了周期3 蕴涵混沌一文，酋先引入 并定义了混沌这个术语。1 9 7 6 年，y 研究了一维平方映射”1 ，在这个基础上 f e i g e n b a u m ”1 = 丁二1 9 7 8 年发现了倍周期分岔通向混沌的两个普通常数并 f 入重整 群思想。这是一个重大的发现。具有里程碑的意义。二十世纪七十年代，p a c k a r d ”1 等人用各种形状水龙头的滴水进行实验，证实混沌是一种客观存在的物理现象。 他们还创造了一种从试验数据中重构奇异吸引子的技术状态空间重构。对混 沌理论的发展做出过卓越贡献的还有：a r n o l d s m a l e ，m e l n i k o v ，k o l m o g o r o v 和m o s e r 等学者”1 。 第一章绪论 f 1 前，对混沌的研究已经取得重大进展，已经走过了认识混沌的最初阶段， 从纯物理和数学领域扩展到t 程、信息和社会等诸多领域，并取得了一些成功的 应用。在航空航天领域，利用天体力学中三体问题对于微小扰动的极度敏感性， n a s a 的科学家使用非常少的残余氢液燃料把个i s e e 3 i c eb 行装置送到五千 万英里外从而实现了第一次科学彗星的对接“。在医学方面，人们已经开始了控 制心脏韵律的尝试：从混沌状态到规则的周期脉动，甚至控制人类大脑活动的行 为。在混沌信号处理方面，h a y k i n “，h e n r yl e u n g “2 等人通过对海洋表面雷达波 的反射研究。得出了雷达海杂波具有混沌特性的结论，并利用雷达海杂波的混沌 特性，成功地对海洋表面缓慢漂移的浮冰进行了探测。在信息处理领域，已经出 现了如混沌学习、系统辨识、模式识别和冯诺依曼搜索等应用范畴。此外，混# u 在生物学、大气动力学、通信等领域也有许多应用范例。 基于混沌的非线性时间序列分析方法，是完全不同于传统的在时域或频域的 信号处理方法。它是在相空间中研究信号的动力系统特征。其基本思想是：通常 测得的标量时间序列包含了未观测到的动力系统信息，在一定的条件下，通过状 态空间重构，把测得的标量时间序列嵌入到相空间中，进而在相空间应用混沌理 论研究动力系统，并提取一些有用特征加以利用。从上世纪八十年代初到现在， 非线性时间序列分析理论和方法，已经经历了以下的三个阶段“。 开创阶段( 1 9 8 0 年1 9 8 5 年) 。由用延迟坐标法对标量观测序列重构的相空 间计算吸引子的关联维数的g p 算法以及计算l y a p u n o v 指数的w o l f 算法等相继 提出，掀起了应用的热潮。 反思阶段( 1 9 8 6 1 9 8 9 年) 。对重构相空间、g p 算法计算维数等操作过程的 细节和诸多问题进行了深入研究，导致了对原有大量应用成果的批判和反思，热 潮有所减退而认识却大为加深。 深化阶段( 1 9 9 0 年以来) 。陆续提出了许多直接利用相空间轨道的几何性质 和动力学性质对时间序列进行分析的新方法。对重构相空间的研究更为深入，提 出了许多确定最佳延时和最小嵌入维数的新方法。在预测方法上神经网络得以 广泛使用，取得了较好的效果。 目前，基丁二混沌理论的非线性时间序列分析方法已经广泛应用在生物学、生 理学、经济学、地球物理科学等许多领域。例如，利用非线性时间序列分析心电 图( e c g ) 、脑电图( e e g ) 、股票交易变化率等方面，已经获得成功的应用。在信 第一章绪论 号处理领域，非线性时间序列分析主要应用于非线性滤波、预测，非线性模型估 n 非线性特征提取、非线性检验等。 1 2 水下目标识别研究的意义及现状 水下目标信号自动识别技术是一项倍受关注的研究课题，无论在军事领域还 足在民用领域，都具有十分重要的理论意义和翻至应用价值。 但是，低信噪比水下目标信号的特征提取和识别一直是信号处理t 程领域的 难点。这一方面是囡为涉及到一些军事e 的机密，世界拜国的科研人员交流甚少。 更主要的原【夭i 是水下信号是十分复杂的信号，由多种成分构成，而且水下目标型 号繁多，且工况多变。水下信号的这些不利特点给水下信号的特征提取和识别带 来了很大困难。 过去较长一段时间，人们一直以传统的信号处理理论作为水声信号处理的基 础，即以平稳性、随机性和线性来刻画水声信号。并在此基础上使用一些传统工 具比如功率谱分析、相关分析等提取一一些参数作为识别特征。尽管这些方法在当 时满足了一定的需要，解决了大量水声信号处理的实际问题。但足随着时间的推 移，科学技术水平的不断提高，舰船噪声越来越小，尤其是潜艇隐身降噪技术的 发展与应用，使得目标辐射噪声大大减小，甚至低于海洋噪声，以致声呐接收到 的信号信噪比很低，这对传统的水声信号处理、识别方法提出了挑战，原有的技 术方法已经无法进一步地满足需求。 近十几年来人们借助较新的现代信号处理手段作了很多方面的探索。( 1 ) 在 谱分析方面，人们在功率谱、线谱、双重谱的基础上更迸一步研究高阶谱的分类 特征。樊养余等”利用高阶谱及有关方法提取了一个3 9 维特征矢量，对海上实 测的舰船辐射噪声进行了分类识别，取得了较好的效果。( 2 ) 利用小波变换提取 识别特征。张艳宁“，章新华”等分别在舰船辐射噪声信号的谱域用小波变换提 取谱特征、以及提取波形结构特征等都能够对目标进行有效分类。( 3 ) 神经网络 方法。利用神经网络的非线性和高容错能力以及对数据的有效压缩来进行特征提 取和分类也足一种有效的方法。 迅速发展的非线性时间序列分析方法和基。丁二混沌的信号处理理论，启发人们 第一章绪论 在动力系统状态空间( 相空间) 中对水f 目标信号进行非线性分析，并提取重构 的动力系统的非线性特征参数用于只标汉别。近年来，在这一方向的研究工作取 得了许多成果。章新华”7 等人提取舰船辐射噪声的l y a p u n o v 指数特征：宋爱国“ 等人提取了舰船辐射噪声的分维数、极限环，并和功率谱特征以及a r 模型特征作 了比较，取得了较好的分类效果；高翔“”等人利用分形特征曲线构成日标的特征 参量模型提取了分维数信息的特征矢量，也取得了较好的分类效果。陈捷“等人 研究了舰船噪声过零点及功率谱的多重分形特征，研究了多重分形的小彼变换分 析方法，提出了舰船噪声的奇异测度特征参数，取得了，较好的目标分类结果。夸 安”等人对水下日标信号进行了基丁混沌理论的检测研究，提出了利用基于神 经网络的混沌模型进行局部预测的混沌检测新方法，研究了利用主元分析法进行 相空间重构减小噪声的原理，并提出一种基于四阶累积量函数构造协方差矩阵的 方法，能有效地抑制叠加在混沌信号中的高斯噪声和对称分布噪声。侯平魁。”等 人应用非线性检验方法，采用大量数据深入研究了水下目标辐射噪声的非线性问 题，分析了水下目标辐射噪声中的非线性成分，得出结论：水下日标辐射噪声中 存在非线性成分。此外，蔡志明等人用非线性方法对各种混响进行了深入研究， 检验了水池混响、湖水混响以及海洋混响时间序列，以验证纪录的混响过程是否 能用低维非线性动力系统建模，以及是否存在混沌属性，分析表明混响是由低维 的动力系统生成，并具有正的最大l y a p u n o v 指数。 随着混沌理论以及非线性时间序列分析的逐渐成熟，结合其它现代信号处理 方法，人们有理由相信对舰船噪声信号的非线性和混沌的研究必将逐渐深入，也 将推动水下目标的特征提取和识别技术的迸一步发展。 1 3 本文的主要工作 本文以混沌和非线性时间序列分析方法为基础，重点研究了水下目标信号的 非线性处理和混沌特征参数提取。主要内容包括：( 1 ) 基于混沌的非线性时间序 列分析，包括对舰船辐射噪声的非线性检验，以及对舰船辐射噪声的重构、滤波 等儿种处理方法；( 2 ) 基于混沌的舰船辐射噪声特征提取，包括关联维数的提取、 广义维数的提取、最大l y a p u n o v 指数提取、嫡的提取等：( 3 ) 提出一种基丁混 沌的舰船目标分类系统，并用这种系统对舰船噪声进行了分类。本文所用到的理 a 第一章绪沦 论方法主要有混沌理论、神经网络以及非线性时间序列分析方法等。并用以上理 论方法进行舰船辐射噪声的特征提取和识别研究。本文的主要内容如下： 1 第一章为绪论，介绍了混沌和非线性时问序列分析的发展情况，水下日 标识别技术发展状况、研究的意义以及混沌理论在水下信号识别中的应用情况。 2 第二章为混沌理论部分，对混沌的定义、区别于确定性和随机运动的特 点进行了较为详细的描述，重点介绍了耗散系统中的混沌、吸引子以及混沌的历 经性质。 3 第二三章为非线性时间序列分析，它是本文的重点之一。系统的阐述了非 线性时间序列分析方法以及在水下信号处理中的应用。包括相空间重构理论，重 构参数的简单、准确的确定方法，具有降噪功能的重构方法一主元分析，以及一 种有效的非线性滤波方法一局部投影噪声抑制方法此外还简单介绍了利用代理 数据的非线性检验方法。并利用这一套方法对三类舰船噪声信号做了详细分析， 得出了较为满意的结果。 4 第四章为基于混沌理论的特征提取，也是本文的重点部分。简单叙述关 联维数和l y a p u n o v 指数的定义，并各自引入稳健的估计算法。在此基础上，深 入的分析了广义维数和熵的估计方法。并利用这些特征提取算法对三类舰船噪声 信号做了特征分析和特征提取，得到了这些信号的混沌特征参数。 5 第五章为基于混沌特征的舰船目标分类，提出了采用非线性时间序列分 析，以及基于混沌特征提取的神经网络分类器构成的水下目标信号分类系统，并 用这种系统对多类目标舰船信号进行了分类试验。 6 第六章全文总结，对全部工作的成绩和不足做了简要的总结，并指出在 对舰船辐射噪声特征提取及g t 标分类识别中进一步值得探讨的问题。 第璋混沌理论基础 第二章混沌理论基础 2 1 引言 混沌是指在确定性非线性动力系统中出现的类似随机的过程。确定性非线性 动力系统通常是指其数学模型为非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性 差分方程和非线性代数迭代方程的系统。对r 确定性系统，这些方程中的系数部 是确定的。给定一组初始值，从数学上讲，非线性动力系统将给出一个确定性的 运动过程。但是，在湿沌的情况下，这种运动可能对秽j 值极端敏感，冈而从物理 现象看，得到的结果似乎是随机的。 混沌来自非线性系统，线性系统不可能产生混沌。非线性系统的本质是，经 过某种变换，变量之间出现多值性。非线性动力学中的许多现象都是由这种多值 性引起。如分叉、跳跃、突变、同步、锁相等。非线性系统最显著的特点是：分 叉性，解的多值性导致分叉的产生；奇异性，许多非线性系统自身有光滑的系数， 而它的解却出现奇异性：敏感依赖性，某些非线性系统解的结构及性质随参数或 初始条件的微小变化而急剧变化。混沌是比分又更复杂的一种现象，逐次分叉往 往是出现混沌的先兆”“。 2 2 混沌的定义 混沌运动是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定运动。所谓轨道高 度不稳定，是指邻近的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性，系 统的长时闻行为会显示出某种混乱性，看似随机的行为。 系统的混沌行为是非常复杂的，人们对这种行为的复杂性尚无一个统一的 定义来描述。在众多定义当中l i - - y o r k e 定理是比较公认的、影响较大的混沌定 6 第二章混沌理论基础 义。 l i y o r k e 定理：设：，_ ，连续，j l e f 有3 周期点，或等价地存在口z 使3 ( 口) s 口 f2 ( 口) ，贝u ： ( 1 ) 厂有一切周期点，即 p l p 为f 的岗期 = z + ； ( 2 ) 存在不可数集合s c ，一尸( ，) ，满足： ( a ) l i m s u p i 厂“( z ) 一厂”( ，) p 0 ，v x ，y 5 s ，z y ， ( b ) l i m i n f l ，”( x ) 厂”( y ) 睁0 ，v x ，y s ， ( c ) l i m s u p j f “( x ) 一f ”( p ) p 0 ，v x s ，v p p ( f ) a 其中，p ( f ) = x l x 为，的岗期点) 。 上述定理中，( a ) 表示 f ”o ) ，f 8 ( ，) ) 相当分散，( 8 ) 表示 厂”( 工) ，f ”( y ) 相 当集中。囡此s 具有c a n t o r 集的性质，称s 为混沌集。 定义2 2 1 ： 闭区问，上的连续自映射厂( x ) ，如果满足下列条件，便说 它有混沌现象： ( i ) 厂的周期点的周期无上界： ( 2 ) 存在混沌集s ： 根据上述定义和定理，对闭区间，上的连续函数，( z ) ，如果存在一个周期为 3 的蒯期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。 此外，人们常根据侧重点的不同或偏好的不同，用拓扑熵、混合性、连续能 量谱等来刻画混沌。其中从拓扑角度广为人知的混沌定义是r l d e v a n c y 定义。 定义2 2 2 ：设v 为一集合，如果： ( 1 ) f 有对初始条件的敏感依赖性； ( 2 ) f 是拓扑传递的i ( 3 ) 周期点在v 中稠密； 则称f ：v _ 矿为在v 上是混沌的。 t 面的定义说明了混沌的三个要素：长期不可预测性，不可分解性，还有一 种规律性的成分。因为有对_ 移j 始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统足长期不可 预测的；因为拓扑传递性，它不能细分或不能被分解为两个在厂下不相互影响的 两个不变的开子集台；然而，在混沌性态当中，也有规律性的成分，即稠密的周 期点。 第章混沌理论基础 2 3 混沌运动的特征 混沌运动是确定性系统在有限区间内的不稳定运动，由于不稳定性，其长时 间的行为似乎是杂乱无章的随机运动。但混沌运动与随机运动之间是有严格区别 的。 混沌现象只出现在非线性动力系统中，它是既普遍存在又极其复杂的现象， 它的定常状态不足早先认识的确定性运动的三种定常状态：即静止、周期运动和 准周期运动。而是一种始终局限丁有限区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动。 在宏观上显示为无周期而有序，硒部不稳定，整体稳定。已发现的二三条通向混沌 的道路、f e i g e n b a u m 普适常数、有界性和对初值具有强的敏感性，这些都是随机 运动所没有的4 3 。同时，随机运动不可预测，而混沌运动短期可以预测而长期不 可预测也是区分两者之间的有利特征”，等等。 总之，混沌运动在自然界中是客观存在的，并具有以下主要特征”1 ： ( 1 ) 长期运动对初值的极端敏感依赖性，即长期运动的不可预测性，通常称 为“蝴蝶效应”。 ( 2 ) 运动轨迹的无规律性，相空间的轨迹具有复杂、扭曲、缠绕的几何结构。 ( 3 ) 是一种有限范围的运动，即在某种意义下( 以相空间的有限区域为整体来 看) 不随时间而变化。 ( 4 ) 具有宽的f o u r i e r 功率谱。 ( 5 ) 具有分数维的奇怪点集，对耗散系统有分数维的奇怪吸引子出现，对于 保守系统则出现混沌区。 2 4 耗散系统中的混沌 2 4 1 耗散系统 通常情况下，系统存在于定的环境之中。可以把系统与环境的关系作为对 8 第二章混沌理论基础 系统进行分类的基本标准。系统与环境的相互作用可以从它们之间交换物质、能 量、信息的数量和方式中看出。据此，我们可以把所有的系统分为三类：开放系 统、封闭系统和孤立系统。 丌放系统在不断与外界环境交换物质、能量、信息中演化发展，产生出各种 包括生命现象、社会运动和思维活动等在内的复杂的运动形态。封闭系统仅与外 界交换能量，而不交换物质，就像密封的高压锅一样，其运动演化服从玻尔兹曼 有序原理，即“低温有序原理”。当温度上升时，系统内部无序程度增加，当温 度下降时系统内部有序程度增加，但这种有序性就蒙晶体的有序性一样，是“死 的秩序”。孤立系统则不和外界交换任何物质、能量和信息，它的演化服从热力 学第二定理，只有唯一一个演化方向：趋向越来越无序，越来越混乱，越来越均 衡。严格地讲，世界上所有的系统都足开放系统，只不过开放的程度各有不同而 己。封闭系统和孤立系统是一种理想的或简化的情况，它并不存在丁现实世界之 中，但对它们的研究却有着很强的理论意义，这不仅| 天| 为在许多实际情况中，系 统与外界的物质、能量、信息交换可以忽略不计，冈而基本上服从封闭系统和孤 立系统的演化规律，而且它们可以作为一种极限情况，由此展现出二三种不同类型 的系统演化。不过，物理学关心的是摄简单、最基本的情况。根据相对论原理， 我们可以把物质和能量等同起来看待只研究系统与外界的能量交换。这样就可 以把系统分为两个大类：耗散系统与保守系统。 耗散系统与保守系统的区别在于该系统中能量是否守恒。如果系统的能量随 时间而不断变化，这就是耗散系统；相反，系统的能量不随时间而变化，则称为 保守系统。 显然，一个实际的系统，当运动时间足够长时，能量都会发生耗散，也就是 说耗散效应是不可避免的“。因此，耗散系统在自然界中更加普遍。我们就来讨 沦耗散系统中的混沌。 2 4 2 耗散系统中的混沌和吸引子 耗散系统的一个主要特征是相空间中的体积在运动中会不断收缩；从而使不 同视始条件下的状态趋于同一个结果，或者少数j l 个不同的结果。这种情况可以 体现为相空间中的一个或儿个吸引集的极限集合。耗散系统相空间中这样的极限 集合称为吸引子。吸引子的存在使耗散系统中的混浊与保守系统中的混沌有根本 痢：章混沌理论基础 的区别，对耗散系统中的混沌的研究主要是对奇怪吸引子的研究。混沌运动表现 为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质，保守系统不具有这一点。保守系统的混池 集中在某一区域，分为局部和全局两种情况，称为局部混沌和全局混沌。下面给 出吸0 子的概念“1 。 首先，考虑一个由个一阶微分方程描述的运动 拿：f ( x ) ( 2 4 1 ) d f 式中x = ，j ：，) ，( x ) 不明显舶依赖 i f 。以 ，与，毛为坐标轴构 成系统的相空间，相空间中的一个点代表系统的一个状态，通过相空间中的一个 点有唯一的条积分曲线，一组代表点的运动表现为相空间的流。通常情况f 这 些流可以会聚，可以发散，也可以相互平行或不断逼近但永不相交。在耗散系统 中。由于耗散效应，使得积分曲线向相空间中的某些区域会聚。这些区域也就是 系统演化的吸引子。下面是l a n f o r d 。”对吸引子所下的定义： 定义2 4 1 ：如果说相空问的一个子集a 为吸引子，那么a 必须满足 ( 1 ) a 是闭不变集； ( 2 ) 存在一个a 的邻域，其中的点由微分方程所确定的； ( 3 ) a 上的点z ，最终回到z 的邻域内。 在上面的定义中，吸引子是不可分解的和正测度的。所谓不可分解，是指系 统的一个吸引子在演化中不可能被划分开来，成为两个独立的。不相重叠的却分。 否则，在吸引的过程中从爿出发的点就有可能不再回到a 中。所谓具有正测度足 指吸引子的测度必须大于零。这个闯题对于吸 f 了二和奇怪吸引子在现实中的存在 性是一个基本保证。 在籍散系统中，相空间的体积最终要收缩成零。闲此吸引子的维体积为 零。也就是说吸引子的维数低于相空问的维数。整数维吸引子称为平庸吸引子， 对应的非整数维数的吸引子称为奇怪吸引子“。有必要给出维数的定义。现在 已经有无穷多的维数的定义，其中最古老的、最直观的一种维数是h a u s d o r f f 维 数。 定义2 4 2 ：f l a u s d o r f f 维数定义：考虑v 为空间中的个集合以边长 为s 的维体积元5 ”的集合去覆盖这个集合。设含有该集合元素的体积元的数 月为估) ，则 0 第：章混沌理论基础 d c = l i 熙i n n ) l n ( 1 e ) ( 2 4 2 ) 称为该集合的| l a u s d o r f f 维数或容量。h a u s d o r f f 维数是最基本的维数，冈此人 们采用盒子计数法。其它一些维数的定义部是在这个基础上发展起来的。其中最 常用的是关联维数。它是由g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 在1 9 8 3 年定义的。 具有分数维数的集合称为分形。混沌吸引子通常具有分形结构，称之为奇怪 吸引子。实际上混沌吸日i 子是一种动力学概念，而奇怪吸引子是一种几何概念， 两者未必有必然的联系。混沌吸引子可以不具有分形结构。具有分形结构的吸引 子未必足混沌吸引子，这方面的例子确实存在。实际情况中也是如此，通常混沌 吸引子只是在小尺度范围内有自相似性，不同的吸引子标度区间不同。在整个尺 度范闱内显示出自相似性即分形特征的吸引子并不多见。判断一个吸引子是否是 混沌吸引子的最有利特征是l y a p u n o v 指数。 定义2 4 3 。“：一个具有正的l y a p u n o v 指数，即对初始条件高度敏感的吸引 子是混沌吸引子。具有分形结构的混沌吸引子也叫奇怪吸引子。 奇怪吸引子的主要特征有”。：( 1 ) 运动对初值的敏感性，表现为相邻轨道指 数分离和局部轨道不稳定性；( 2 ) 奇怪吸引子局限于有限的区域里，就大范闱而 言，表现为稳定的吸引子。它有自己的吸引域，若以吸引域内任一点为初值，则 可得到几乎完全相同的奇怪吸引子，这表现了它的稳定性；( 3 ) 空问结构卜分复 杂，这来自轨道的无穷伸展、压缩重叠；( 4 ) 具有分形特征；( 5 ) 具有一切混沌 的通有性质；( 6 ) 具有统计特征：分维数、正的l y a p u n o v 指数、正的测度熵、以 及功率谱是连续的等。 l o r e n z 吸引子是研究的最为深入的吸引子，方程如下 d x | 击= 一8 x 七鼬 咖a t = 一x z + i x y ( 2 4 3 ) d 2 d t = x y b 通常三个参数取值为：= l o ；b = ；，= 2 8 时，出现混沌。本文仿真中使用的所 有l o r e n z 信号都以这个参数为准。 第一章混沌理论基础 2 5 混沌的历经性 混沌运动在状态空间上具有历经性。混沌的历经理论认为：任一个没有稳定 周期轨道的s 单峰映像，必有一个绝对连续不变测度的混沌轨迹，因为它有一个 测度，所以映像，必是混沌的。混沌的历经理论由e c h m a n n t m 等人证明给出。所 渭映射厂( x ) 的历经性是指：对于每个绝对可积函数伊( ，) 和几下所有的初始值鼻 l i m l 丽号 o f ( x o ) t = p ( x ) 妒( x ( x ) ( 2 5 。1 ) 其中p ( x ) 是轨道的分布密度t ，“1 表示厂( z ) 的n 重复合。由上式可以看出映射 厂( z ) 对时间的平均等于对相空间状态的平均。混沌运动轨道点集瓴) 的概率分 尸似) 2 1 受素萎联z 一) ( 2 5 2 ) 以研究的最多的l o g i s t i c 映射为例讨论混沌的历经性，l o g i s t i c 映射可表示为 我们关心的足满映射，= 4 的情况，l o g i s t i c 映射的输入和输出部分布在( 0 i ” 上，当式( 2 - 5 2 ) 中n - + l l j ，l o g i s t i c 映射序列的概率分布密度函数p ( x ) 为 f 1 0 2 d f + 1 ( d f 为盒子维数) ，充分条件下的最 小嵌入维数为5 ，但是在嵌入维数为3 的