（检测技术与自动化装置专业论文）基于凸优化的线性时滞不确定系统的鲁棒控制器设计.pdf

摘袋 摘要 本文磷宠了一耪篷优纯算法在具誊对滞和范数存爨不勰定线性系统 中的镪棒控制器设计问题。众所周知，时滞往往是系统不稳定或可控性 能变坏的原阂之一。正因为其重臻性，使得对时滞系统的_ 研究自七十年 代戳泉一直楚鲁棒稳定性分析耩鲁棒控籁器设计的一个燕京。本文中提 出了一静新瓣凸傀位算法用于竣诗鲁捧控刳爨，默确保在激骞允诲的不 确定性范围内能求褥一个次优时滞，使系统达到稳定。此算法具有易于 编程的优点，而且能同时用于研究时滞独立和时滞依赖系统，具有良好 的兼容性和实用性。 本文主要包括嚣方嚣内容： 1 针对一类具有输入时滞的线性不确定系统，讨论了系统的鲁棒控制 器设计问题。考虑系统的可镇定憔不仅与输入时滞大小有关，而且与输 入时滞微分的大小裔关。通过使鞠一种凸优化算法设计出了冤源控制器， 镑真实例 l 垂甓这种方法熬霹行性。 2 。针对类具有状态时滞秘状态时滞微分的线性不确定系统，讨论了 系统的鲁棒控制器设计问题，通过使用一种新的凸优化算法设计出了无 源控制器，使得系统的可镇定性最大允许时滞相当大，仿真实例证明这 耱方法其有甏小酶绦守毪。 3 针对类不确定线性时滞系统，其中不确定性是时变的，讨论了系 武汉托工学院硬士学位论文 统懿番捧控裁器竣诗闺蓬。利磺l y 8 p 疆n o v 稳定性瑾论，并戳l m l 形 式给出了该不确定系统基于观测器的鲁捧可镇定控制器存在的充分条 件，系统的稳定性只与状态时滞和输入肘滞的导数有关，而与时滞大 小无关。 毒。针对溺时存焱状态羹尊滞帮控穰输入时滞的不确定线性系统，使 用两种方法来设计鲁棒可镇定控制器。第一静通过对毛蟾s 中戆尼个 非线性的项用简单的变量假设代替以简化求解难度，结论以线性矩阵 不等式形式给出。第二种通过引入凸优化算法对鲁棒可镇定控制器重 薪设计，把一个氢捂毒# 线链部分瀚菲凸可行性闯题转化为一个菲线性 最小他闯题求解，网时比较了壤这嚣静方法设计可镇定控钱器戆优 劣。 美键词：藕砉滞及时滞微分，胬优化，线性矩阵不等式( l m i ) ，时滞依赖 鲁捧稳定性，不确定性 a b s t r a c t r o b n s ts t a b i i i z i n gc 0 聃t m n e rd e s i g nf o ru n c e n a i nt i m 伽d e l a y e d s y s 童e l n sb 矗s e do ne o 赫v e xo p t 薹m 主z a 耄薹。珏 a b s t r a c t a sw e k n o w n ，t i m e d e l a yi sa l w a y so n eo fr e 8 0 u r c e sw 抽c hm a k e s y 8 t e m sb e c o m ei n s t a b l eo ri t sp e r f o n n a f l c e sd e t 耐o r a t e j u s tb e c a u 8 ei t s i 摊嘲稿c e ，敷臌l5 7 0 sn o wo 玛氆e 黼s e a r c ho ft 主m e 豳l a yh a sb e c o m e a 轴担p o tf o ra n a l y s i so fr o b u s ts 纽b i l 主锣a n d 如s i 弘醴r o 跳s te o n 铷l l e r a 芏l e wa l g o r i m mi n v 0 1 v i n gc o n l xo p t i m i z a t i o ni sp r o p o s e dt od e s i g n r o b u s tc 咖1 l e rg u a r a j l t e e i n gas u b o 删m a lm a x j m a ld e l a ys u c ht 1 1 a t 廿1 e s y s t e m se 黼b es 躺i l i z 礤f 醣a l ia 醅l i s s i b l eu n e e 渤翻娃e s 。礴i sa l g o 潮瑚 h a sa na d v a n t a g 警o v e re a s i e r 即豁鞠雠i 娃g 。姗鑫ti sm o f e ，i tc 瓣b e u s e 莲 b d t l lt ot j m e i n d e p e n d e n ta n dt i m e 司e p e n d 锄ts y s t e m s 。t h e r 。f o r e 。i th 8 s e x c e l l e n tc o m p a t i b i l 匆a n dp r a c t i c a l i 够 t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rp a f t s ： f i r s 8 s 幻ae l a s s 醪强e e 啦运涵e 帮s y 蜘m sw 确i 蹿毽t m e 越l a y ， ap r o b l e mo fr o b u s tc o n n d l e rd e s i g ni sc o n s i d e r e d 。t h es t a b i l i z a t o no f s y s t e m si sn o to n l yr e l a t e dt ot 1 1 es i z eo fi n p u tt i m e - d e l a xb u ta l s ot 0t h e s i z eo f i t si n p u tt i m e d e 矗v a t i v e s e c o 辩d ， a st oac l 鑫s s 薛u 粒e 妇珐 l i n e a rs y s 獗鞋sw 至氆 s l a t e f h 武汉化工学院硕士学位论文 t i m e d e l a ya 1 1 di t st i m e d e r i v a t i v e ，ap m b l e mo fr o b u s tc o n n o l l e rd e s i g l l i sd i s c u s s e d an e wa l g o r i t l l mi n v o l v i n gc o n v e xo p t i m i z a t i o ni su s e dt o d e s i g nam e m o 叮i e s sc o n t r o l l e r ，g u a 瑚t e e i n gam a ) ( i m a ld e l a ys u c hm a t t h es y s t e m sc a nb es t a b i l i z e d t h i r d ，a st oac l a s so fu n c e r t a i n1 i n e a rs y s t e m sw i mt i m e v a r y i n g d e l a y ，ap r o b l e mo fr o l m s tc o n 嘶l l e rd e s 咖i sd i s c u s s e d u s i n gl y a p u n o v s t a b i l i 够t 1 1 e o r ya n dm el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i 够印p r o a c h ，as u 伍c i e n t c o n d i t i o nf o rt i l es y s t e m st ob es 乜山l eb a s e do ns 诅t eo b s e r v e ri sg i v e nb y c o n s t m c t i n ga i la u 舯e m e d ，a n dt 1 1 ed e s 咖m e t l l o do f 廿1 ef e e 曲a c k c o n n o l l e rv i a 也eo b s e es t a t ei sp r e s e m e d l a s tb u tn o tl e a s t ，a st oac l a s so fu i l c e n a i nl h a rs y s t e mw i t h t i m e 。v a r y i n gd e l a y si n b o t l ls t a t ea n dc o n 仃o l ，ap r o b l e mo fr o b u s t c o n t m l l e rd e s 和i sc o n s i d e r e dw i t h 咖m 砒o d s o i l ei s u s i l l gs o m e n o n 。l i n e a ri t e m si nu 河s 协s t e a do fs e v e r a ls i m p l ev a r i a b l e s i no r d e rt o m a l ( et h eq u e s t i o n se a s i e r ，a 1 1 dr e s u l t sa r e g i v e ni nl m i s t h eo t l l e ri s r e d e s i g l l i n gt l l er o b u s tc o n t r o l l e ro fs 诅b i l i z a t i o nu s i l l gan e wa l g o 喇胁 i n v 0 1 v i n g c o n v e x o p t i m i z a t i o n an o n - l i n e a rm i n i m i z a t i o n p r o b j e m i n v 0 1 v i n gl m i sc o n d i t i o n si n s t e a do ft 1 1 eo r i g i n a ln o n f e a s i b i l i t ) ，p r o b l e m ， a n dt h es 锄et i m e ，t h ea d v a n t a g ea i l dd i s a d v a n t a g eo ft 1 1 e s et w om e t h o d s a r ec o m p a r e d v a b s t r a c t k e y w o r d s ：t i m e d e l a ya n di t st i m e - d e r i v a t i v e ，c o n v e xo p t i m i z a t i o n l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i 锣( l m 【) ，t i m e - d e p e n d e n t ； r o b u s ts t a b i l i 吼u n c e r t a i n 哆 v 独创性说明 本入声明所呈交的学谴论文是我个入在导繇指导下进行瀚研究 工作及墩褥的磷究成果，尽我所知，除文中已经标明琴| 焉静波容外， 本论文不包含任何其他个人戚集体已经发表或撰霹过的研究成果。对 本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明本人 巍全意识弱本声明的法律结果由本人承趱。 学傻谂文俸者签名；柄奄囔 抽譬年占月斗日 学位论文版权便用说嘲书 本攀位论文作者完全了勰我貌胬关僳餐、使耀学位论文静裁定， 即：我院有权保留并向国家有关部门或机构送交论文鲍复印件秘电子 版，允许论文被查阅本人授权武汉工程大学研究生处可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印缩印或 羟缮等手段保存帮汇编本学簸论文。 保密o ，在 本论文属于 不保密彰。 ( 请在以土方框内打“”) 学位论文馋者签名：柄蕊曦 二o o s 年s 月撕日 年鳃密感适用本授权书。 揪一：烈 m 年f 月绷 第l 章绪论 1 1 课题背景 1 1 1 课题来源 第1 章绪论 本课题是湖北省自然科学基金资助项目，项目编号为2 0 0 0 j 1 6 3 。 1 1 2 研究的目的和意义 鲁棒性分析和鲁棒控制是近，二十年来控制理论及工程应用领 域里最活跃的一个分支n 1 。工业过程控制中一般的系统都是含有时滞 的，其研究方法与线性系统不完全相同，因而不确定线性时滞系统的 稳定性分析和鲁棒可镇定性问题成为了鲁棒控制领域的研究热点幢“1 。 文献 5 】提出了不依赖时滞的鲁棒稳定判据，因为实际系统不存在时滞 的可能很小，因而所得结果很保守。针对时滞不依赖型设计方法，文 献【6 】利用代数础c c a t i 方程提出了线性时滞不确定系统的时滞依赖鲁 棒稳定判据和鲁棒控制器设计方法，然而解融c c a t i 方程涉及到大量参 数和( 或) 正定对称矩阵的预先调整，到目前截止，还没有一套有效的办 法来调整这些参数和矩阵，因而即使问题本身是有解的，也可能找不 出问题的解。 线性矩阵不等式( l ) 可通过近年来发展的内点算法很方便地求解 ”“1 。目前的研究显示越来越多的控制系统设计问题都可转化为l m i 武汉化工学院硕士学位论文 求解。美国斯坦福大学的b o d y 教授等人预言，l m i 将最终取代础c c a t i 方程在线性系统分析、设计中的地位。目前，利用l m i 方法研究不确 定时滞系统的鲁棒性分析与可镇定控制器的设计引起控制界极大兴 趣，已成为热点问题之一。现在，l m i 方法作为一种工具已经被广泛 的应用鲁棒控制研究中。文【9 1 4 】对此进行较深入的探讨，但所得的 结果中，要么较少考虑系统同时具有状态和控制输入时滞，要么在 l y a p u i l o v 函数构造和变量简化处理方面不够理想，因而使得所得结果 具有较大的保守性。 本课题研究的是具有参数不定性的线性时变时滞系统的鲁棒性分 析和鲁棒控制器设计问题。由于实际系统均含有时滞和不定性，因而 有很强的实际应用背景。由于时滞系统是无限维系统，其特征方程是 超越的，而非代数的，因而原有的对线性非时滞系统而发展起来的一 整套h 设计方法不一定能直接套用与线性时滞系统时滞的分析针 对这类系统的具有较少保守性的稳定性判据和控制器设计方法尚在探 索之中。 本论文针对线性不确定时滞系统，以l m i 形式给出稳定性判据和 鲁棒镇定控制器设计方法，同时改进对变量处理方法，尝试建立起一 种有效地解决不确定线性时滞系统的镇定问题的有重要理论意义的实 用计算和设计方法，使得系统的保守性能够大大减小。 第l 章绪论 1 - 2 线性矩阵不等式 1 2 1 线性矩阵不等式在控制原理中的发展历史 l m i 一般形式为 f ( 石) = 坑+ x ，鼻 o( 1 1 ) f = i 其中变量x 月”，对称矩阵f = f 7 月，f = o ，研，是给定的。 显然式( 1 1 ) 表明矩阵是正定的。式( 1 1 ) 的另一个含义是集合 缸f 0 ) o ) 是凸的。l m i 问题可描述为：给定f ( 计 o ，找到可行解x + ， 使得，( x ) o ，或证明f ( x ) 是不可解的。 动态系统分析的l m 【方法可以追溯到l o o 多年前。1 8 9 0 年，l y 印u 1 1 0 v 出版了一部影响深远的重要著作介绍了现在被称为l y a p u n o v 理论，书 中提出微分方程 丢砟) = 似f ) ( 1 2 ) 是稳定的，当且仅当对称正定矩阵，= 尸t o ，使得下面的不等式成立 爿1 p + 硎 0 ( 1 7 ) 这里，爿和b 是变量x 的对称仿射矩阵：注意：4 o 时，l o g a ( x ) 一1 是彳的凸函数。 因为d e t 一( x ) 能用一个包括x 和五的l 表示出来，所以文献 1 5 把 这种c p 问题转化成一个e v p 问题求解。 形如 l 吼( 倒+ 删+ 2 膨) 吼o 【c 上( 彳1 s + 删+ 2 筇) q 7 o ( 1 8 ) ( 1 9 ) 盯c x ，s ，= 享委 。 c - 。， 这里，s 尺“”，常变量 0 。 这种问题称为圆锥补问题( c c p ) ，因为( 1 9 ) 式是具有半正定矩阵作 为凸约束的一个扩展线性补问题( l c p s ) 。f m k e 和w b l f e 在文献【1 6 】 妇q m 嘶钺 ，、【 第1 章绪论 中首先使用一种线性化方法解决了此问题，文献【1 7 】提出一种圆锥补 线性算法用于静态输出反馈控制器设计。并与常用的两种算法比较， 即任意选择一千组系统( 彳，b ，c ) 满足零阶k i m u m 条件，比较新算法与 g s s 算法，口k 算法的优劣。证明了其算法在静态输出反馈控制器设计 中有非常明显的优势。如表1 1 ： 迭代次数 新算法o s s d k 17 1 71 2 91 6 8 21 6 l 1 2 6 4 37 43 l2 4 2 84 7o 51 14 4 0 664 90 728 l0 8l8 90 909 70 1 0 5 0o2 6 00 失败次数 04 78 2 6 总数 1 0 0 0 l 0 0 01 0 0 0 表1 1 与其他算法比较 1 a b 】e1 1c o m p 鲥s o nw i mo t l l e ra l g o 削_ l i n 由表1 1 知在1 0 0 0 组系统中，新算法通过一次迭代就得到解的有 7 1 7 组，经过8 次迭代就解决了1 0 0 0 组系统求解问题，没有一组失败。 而其他两种算法不但求解所需的迭代次数多且都有失败情况，d k 算 法失败次数竟达8 2 6 次。显然新算法有很明显的优势。文献【1 8 】引入 这种算法用于解决一种单输入的线性时滞不确定系统的控制器设计， 得到保守性较小的结论。本文扩展了这种算法，并把它引入用于研究 武汉化工学院硕士学位论文 同时具有状态和控制时滞不确定系统，具有时滞及时滞微分等系统的 记忆和无记忆鲁棒控制器设计。 1 3 2 算法步骤 对式( 1 8 ) ，( 1 9 ) 有求解步骤 求得一个可行性初解凰，s ，并取k _ 0 。如果初解不存在则无解。 令圪= 墨，= 以。解满足式( 1 1 0 ) 的线性矩阵不等式问题 n = m m 拥妇乃( k x + s )，并求得x m ，+ 1 。 如果满足停止判据，则停止循环，。，墨+ 。即为所求。否则， 令k = k + l ，返回步骤继续执行。 1 4 时滞不确定系统的发展与现状 时滞现象存在于许多系统中，比如化学过程、在空气中的长距离通 讯传输以及其它各种工程系统中。实践已经证明在各系统中时滞的存 在常常是系统不稳定的主要原因，因此研究带有时滞的动态系统的鲁 棒稳定性和鲁棒控制，就成为动态系统分析的重要内容之一。 近三十年来，国内外广大科研工作者在时滞系统的鲁棒稳定性分 析和鲁棒控制器设计上进行了广泛的研究，并己取得了丰硕的成果， 极大地推动了动态系统理论的发展，尤其是在线性时滞不确定系统方 面，很多结果己在实际工作中发挥了重要作用。本课题主要研究的是 时滞不确定系统的鲁棒控制或次优控制，关注的是时滞系统的鲁棒控 第l 章绪论 制问题，故对时滞不确定系统的鲁棒稳定性作简单介绍，重点是时滞 不确定系统的鲁棒控制。 早在1 9 8 1 年，l e e 和d i a l l 砒心就对时滞系统的稳定性进行了研究， 提出了一个时滞系统渐进稳定的充分且必要条件。m o 矗噜”删和 h m 锄e d 。”1 分别利用l y 印u n o v 方法和矩阵范数及矩阵测度理论，讨 论了最简单的时滞线性系统，由于时滞对系统的影响较小，故将其视 为系统的不确定部分，且时滞部分具有某种界线的限制。以后又有许 多学者对时滞不确定系统的鲁棒稳定性判据作了大量的工作，见s ue t a 1 2 6 ”1 、p a r kp e ta 1 、k ec h 和l u oe ta 1 3 1 1 及其他等人”1 的文章。总的来说，这些结果通常可以分成时滞依赖和时滞独立两大 类型。所谓时滞依赖是指系统稳定性与时滞因素的尺度有关：否则， 就称之为时滞独立。在前者中，系统的稳定性被限制在一个预定的范 围之内，但条件的保守性小；而后者只要求时滞是非负数值，该稳定 性判据皆适用，但条件的保守性大。 时滞不确定系统的鲁棒控制所涉及的反馈控制有：线性状态反馈 ( 无记忆状态反馈、有记忆状态反馈和复合状态反馈) 、线性输入反 馈及线性观测器状态反馈等。所采用的方法多数为硒c c a t i 方程方法、 硒c c a t i 不等式方法和线性矩阵不等式( l m i ) 方法等。对不确定性的假 设，主要集中在满足匹配条件和广义匹配条件不确定性假设上。在控 制器设计上，除了一般的鲁棒控制外，还有保成本控制、滑动模态控 制、h 。控制和l q 控制等。 q 武汉化工学院硕士学位论文 m a h m o u de ta 1 臼们讨论了线性时变时滞不确定系统的无记忆( 与时 滞无关) 线性状态反馈问题，其可镇定条件是以r i c c a t i 微分方程形式 给出。c h e r ee ta 1 。卯讨论了带有不确定性的时变时滞系统，在不确 定性满足匹配条件的假设下，给出系统的最小一最大控制，使闭环系 统具有稳定度。 s h e ne ta 1 嗽1 讨论了常时滞不确定系统在不确定矩 阵满足矩阵拓扑型结构不确定性的假设下，给出了系统的无记忆状态 反馈控制器，使闭环系统渐进稳定。c h o ie ta 1 b 订也讨论了这一系统， 将结果扩展到同时具状态和控制滞后的情形w ue ta 1 口蚰针对不确定 部分满足非结构不确定性和强结构不确定性情形，分别给出系统的无 记忆状态反馈控制器，使闭环系统指数稳定。硒me ta 1 讨论了时 变时滞不确定系统( 状态和控制均存在滞后) ，针对范数有界不确定 性，研究了系统基于无记忆状态反馈的鲁棒稳定条件。苏宏业等“圳 则讨论了同样的系统，其中假设时滞是常值的，给出使闭环系统二次 稳定的无记忆状态反馈控制器设计方法。 由于线性矩阵不等式具有求解方便的优点，近几年在控制器设计 上广为运用，l ie ta 1 四删讨论了常时滞不确定系统，针对范数有界不 确定性，利用线性矩阵不等式，给出了系统记忆无记忆状态反馈的鲁 棒稳定条件。蒋培刚等“3 也做了同样的研究，他们将系统扩展到含有 控制滞后的情形。费树岷等“剐进一步针对系统状态时滞常数不能精确 已知的缺点，基于l m i 方法提出一种对时滞常数的自适应控制方案， 设计出时滞依赖的状态控制器；而d o n gy u e “3 1 对输入时滞常数不能精 i n 第l 章绪论 确已知问题设计出一个带积分项的鲁棒控制器，只需知道时滞的上下 界而不必要求时滞常数已知，其保守性较小。苏宏业等“们则给出该系 统的无记忆状态反馈，使系统二次稳定。上述结果又可推广到相应的 多时滞系统中，如程储旺等“”，曹永岩等“5 。，分别讨论了不确定部 分为非结构不确定性和范数有界不确定性等情形的多时滞系统，应用 线性矩阵不等式，给出使系统鲁棒稳定的状态反馈控制器的设计方法。 同样基于观测器的时滞系统的鲁棒控制也为人们所关注。线性状态 控制器一般有两种，即时滞无关状态观测器和时滞相关状态观测器。 控制过程分为两步：第一步设计状态观测器，第二步设计基于观测器 状态的反馈控制。朱晓东等h 们针对满足匹配条件的不确定动态时滞系 统，导出了通过求解两个砌c c a t i 方程的状态观测器和鲁棒控制器设计 方法的充分条件。张明君等呻1 研究了状态和控制输入均有不确定性且 满足匹配条件的时滞的鲁棒镇定问题，并给出了通过求解两个确c c a t i 方程的状态观测器和鲁棒控制器的设计方法。范训札等睛“对于具有状 态时滞的一类线性不确定系统，用l m 【方法研究了基于观测器的鲁棒 控制器的存在条件及设计方法，所得到的控制器是时滞无关的。关新平 等嘞3 应用l y 印i l l l o v 稳定性理论r a z u m i i d l i n 定理，也讨论了这一系统， 设计了时滞无关线性状态观测器，并给出基于观测器的线性状态反馈 设计方法。方洋旺等旧1 讨论了不确定性是非结构不确定性的情形，利 用l y 印u n o v 稳定性理论和矩阵范数不等式，给出时滞无关线性状态 观测器，以及基于观测器状态的鲁棒控制器设计方法。以上对观测器 l i 武汉化工学院硕士学位论文 的研究主要集中在线性系统，而非线性系统尚未见研究结果。 保成本控制是人们在寻找实现全局目标函数优化问题的有效方法 时产生的，其基本思想首先由c h a i l ge ta 1 嗍1 针对非线性系统提出。 对于不确定系统保成本控制就是利用l y a p u l l o v 泛函建立一个具有上 界的二次成本函数，然后依此来设计反馈控制律“( 保成本控制律) ， 使得闭环系统鲁棒稳定且成本函数不超过预先设定的上界j ( 保成本 值) 。这一方法的优点是关于给定的性能指标提供一个上界，这样由不 确定性导致的系统性能的损害被保证在这个上界之下。近年来，随着 不确定系统鲁棒二次整定研究的极大进展，保成本控制再次收到关 注。p e t e r s e na n dm c 伽a 1 1 e 拍聊研究了不确定线性系统关于积分二次型 成本函数的优化保成本控制问题，获得全局目标函数j 的次优性。基 于线性系统的保成本分析思想，e s 鼬a i l ia n dp e 锄_ s e n 呻1 ，俞立旧3 和y u a 1 1 dc h u 嵋町等采用蛆汪或l m i 方法，对不确定线性状态系统的反馈或 输出反馈保成本控制进行了具有指导意义的探讨，段玉波等呻1 采用 l m i 方法基于观测器给出保代价的无记忆状态反馈控制器。但是，这 些文献中，要么求解方法存在缺陷，要么所做的模型假设或初始条件 假设很难满足。因此，如何减弱条件，考虑控制时滞和关联时滞等将 是不确定时滞系统保成本控制研究中需要解决的问题。 鲁棒h 控制作为鲁棒控制理论的一个重要研究方向，吸引了众多 学者投身于其研究。张显库等 6 0 】综述了h 0 。鲁棒理论1 9 8 9 1 9 9 9 的 十年发展概况，详尽叙述了鲁棒h 控制从产生、发展到成熟，以及 第1 章绪论 其尚待完善之处。另外，时滞不确定系统的鲁棒h c 0 控制也取得了一 定的研究成果，c a r l o se d es o u z a 旧3 利用l m 【，针对范数有界的参数不 确定且具有常时滞的不确定时滞系统给出时滞依赖的无记忆状态反馈 控制器，并指出该方法可以扩展到多时滞系统。姜偕富等伯2 1 针对存在 状态时滞的线性时滞系统，构造出了记忆与无记忆复合h 。0 状态反馈 控制器。还有一些基于不同系统的鲁棒h 控制文献，具体见曹永岩 等，杨富文州，程储旺【，潘瑜汹1 等人的文章。关于凸优化算法在 线性时滞不确定系统中的应用文献只有在y o u l l gs 0 0m o o n 等“时和 b o v d h 3 上有所提及，在国内还没有相关文献报道。 1 5 本文所作的主要工作 本文引入一种凸优化算法，可以设计出一种鲁棒控制器，使得在线性 不确定系统给定的不确定性范围内求得一个使系统镇定的次优解。并 把它应用于不同的线性不确定系统，设计一系列的鲁棒控制器( 包括 记忆与无记忆控制器) ，能够把非凸可行性问题转化为具有u m 条件 的非线性最小化问题，从而用l m i 工具箱直接求解。通过仿真试验和 比较，证明用这种算法构造的控制器不仅能应用与各种不同的线性不 确定系统，而且能够有效地减少系统时滞带来的保守性。 武汉化工学院硕士学位论文 第2 章具有输入时滞的线性不确定线性系统的鲁棒可镇定性研究 2 1 引言 在实际控制系统中，由于部分检测信息的传送不实时，使我们经常 遇到输入时滞问题。输入时滞的存在是引起系统不稳定或导致闭环系统 的控制性能严重变坏的因素之一。近年来，输入时滞系统的控制器设计 问题吸引了相当多的学者们的注意，也取得了不少研究成果。文献【6 9 】 推广了由p e t e r s e n 和h o l l o t 提出的不确定系统二次镇定的础c c 砒i 方程 处理方法到具有滞后输入的不确定时滞系统的鲁棒镇定问题研究中，提 出了一种鲁棒稳定化状态反馈控制律的设计方法、这种方法在于首先假 定了控制律的结构形式，然后导出一个这样的控制律存在的条件文献 7 0 】研究具有滞后输入不确定系统的鲁律镇定问题对一般结构的无记 忆定常线性状态反馈控制律，提出了系统鲁棒能镇定的条件，进而证明 了这样一个条件成立当且仅当某个代数矩阵础c c a t i 方程有正定解并 利用这个正定解矩阵构造一个鲁律稳定化状态反馈控制律，因它们都是 采用雕c c a i i 方程求解，在解砌c c a t i 方程或础c c a t i 不等式时，有大量的 参数和正定对称矩阵需要预先调整有时候，即使问题本身是有解的， 也找不出问题的解，这给实际应用时带来极大不便文献 7 1 】采用线性 矩阵不等式方法，研究满足匹配条件的不确定性多重时滞系统得到了 一类不确定性时滞系统可状态反馈镇定的充分条件其结果由一个线性 第2 章具有输入时滞的不确定线性系统的鲁棒可镇定性研究 矩阵不等式给出相对而言，l m i 方法无需经过任何调整参数的过程， 较碰c c a t i 方程方法有很大的优越性。而后，l m 【方法在研究输入时滞 鲁棒性问题时得到了广泛的应用，文献 7 2 针对带有输入时滞的不确定 线性时滞系统，基于适当形式的l y a p u n o v 泛函，利用线性矩阵不等式 方法讨论了时滞相关型鲁棒h 一控制器设计问题。 本章针对一类具有输入时滞的线性不确定系统，讨论了系统的鲁棒 控制器设计问题。考虑系统的可镇定性不仅与输入时滞大小有关，而且 与输入时滞微分的大小有关。通过使用一种凸优化算法设计出了无源控 制器，仿真实例证明这种方法的可行性。 2 2 系统描述及主要结果 考虑下面具有未知输入时滞的不确定系统： ：! ：! 1 2 7 _ ：，篡。笔2 ：耸t 篙o ”“f ) “e + 局( r ) ) ”o 一“o ) ( 2 1 ) l x ( o ) = x o ，“( j ) = ( j ) ，s 卜 ，o 】 、7 其中，状态向量x ( ，) r “，输入向量( ，) r ”。r ( ，) 控制滞后变量， 但满足条件o f ( ，) 矗，；( ，) o 和常数s o ，而且盯一d t 肋 o ， ( 彳+ 上糨) tp ( 爿十三i f e ) “t 尸爿+ 彳t 户口( d d t 户口) 一1d t p 爿+ 艺e t e 证明 令 矽( f ) = 【一7 p d ( 占，一d1 p d ) 一一e1 f7 ( f ，一d7 p d ) 】， 则由 ( r ) 7 ( ，) o 可得 4 p d ( d d 7j d _ d ) 一1d 7 只4 + 业1 e 爿p d 髓+ e 1 ，7 d 7 只d + e 7 f 7 d 尸d 嬲 不等式两边同时加上爿t 朋整理后有 t a + d f e 丫p t a + d f e 、= a 、p a + e 、f 1d 1p a + a 1p d f e e 1f 1d 1p d f e 彳p 一+ 爿7 尸d ( d d 7 p d ) 一1d 7 p 一+ g e ( c ) 对任何矩阵p = p 7 o 和常数占 o ，而且p 一逝t e o 有 ( 蔓+ 妒匹) j p - 1 ( 一+ 俨e ) 1 爿( j p 一趣t e ) 一1 彳t + s 一1 d d t 6 鱼! 兰墨直垫堕堂盟至堕室垡丝垂笙丝量壁里堡窒些堕壅 证明： 令肜o ) = ( s 一，一e p “e 1 ) 一 e 尸一1 彳7 一( 占一1 ，一e p 一1 e 7 ) ，t d 7 】，则 由矽7 ( ，) ( ，) o 可得 a p e l ( 一j e p j e ) 。e p la 1 + s 1 1 d d l a p t e l f l d l + d f e p 一1a 1 + d f e p _ e 1 f t d l 不等式两边同时加上一爿t 整理后有 ( 爿+ d f e ) p - 1 ( 彳+ d 舾) t = 爿p 一1 一+ 爿p 一1 e t ，t d t + d 脚一1 爿t + d 屹p 一1 e t f t d t 爿( p 一芒匹7 e ) 一1 一t + 占一1 d d l 定理2 1 ：如果存在三个正定对称矩阵z ，盖，墨，矩阵矿和七个均大于零 的常变量郇。，p l ，一，“和“。满足矩阵不等式( 2 3 ) ，则系统( 2 1 ) 是可镇定的， 并且有鲁棒可镇定控制器】，：肘( f ) ，足：陀。 l l ( 爿z + 口矿) 垒 且y ( 1 一d ) 1 m 1 4 7 v 1 b ? 蚴t + 矿) 志啊帆 一m 0 0 o 一中，o 0 o o 0 一m u o 肘it = 别1 + y 7 b + 矿7 且7 + 爿z + b 矿+ e 矿 + p d d + d 。d 。7 + q d ld 1 7 + 峨d 1 7 + “l d i d l l 扯喇岛b 一瞄卜坩1 瞄p 电= 嘲瞵q “一q 1 x 日) _ l q l x ) _ ，五一 = 旃昭 z 。( 工一丢丘局7 互量) 。z 1 】“ 矗矿 0 0 0 一 o ( 2 3 ) ， z 。( 。一k 7 局1 e 量) 一1 z 一1 r ，) “。 一。 m 4 叫舾76 z 矿心7 矿乓7 矿互7 百矿巨1 】，吖“2 蛔g k 去确，丢一，) 茎塑垡三堂堕堕主堂垡堡兰一 证明： 由引理2 3 得 刚+ 陋球甜甜一悯+ 泗球蹦射s c 彳+ 胀，7 工c + 觚，+ c 一+ 艇，【d 。】( 一一 茹 【d d o d 州+ ”瞳盯i 象卜拍， 讣 ( 2 4 ) ( e + d 1 e e 。) 1 x ( 口。+ d 1 e e ) 口- 7 爿。b t + 曰一7 x ，d - ( n 。一d 1 7 x i d i ) 一1 d - 7 z ，b ， f 2 5 ) 十恢e l 局= q ( 肖i ，n 1 ) 把“( r ) = 缸( f ) 带入式( 2 1 ) 得到新的状态方程为 x ( f ) = 五( f ) x o ) + 台o ) x ( f f ( f ) )( 2 6 ) 这里，j p ) = “彳+ 丑彪) + ( 爿( ，) + 口( o 足) ) ，宣p ) = ( 且世+ 日( ，) 足) 。 令( f ) = x 1 ( f ) a ( ，) ， q ( tr ) = r l x l ( s ) q ( 肖，竹。) 工( f ) 凼d 口 u 2 ( x ，f ) = 广。x 7 ( s ) q ，( x 。) x ( r ) 出d 口 鲁v 一( 工，f ) = z 1 ( f ) q ( x ，n 弦( f ) 一l 工7 。) q ( x ，n ) x ( j ) 凼 ( 2 7 ) 丢v ：( 硝) 矗。工7 ( r ) q t ( z - ) m ) 一( 1 一d ) c ，工7 。皿，( 一，x ( s ) 幽 ( 2 8 ) 云v 。( 州) = i 1 ( ，) a ( f ) + x 7 ( ，) 既( r ) 2 x 1 ( f ) 晤1 ( f ) p + 西( f ) 】工o ( 2 9 )m i 二yj + 2 工1 ( f ) 嚆地一r ( ，) ) 因为x ( f r ( r ) ) = x ( r ) 一( f ) j ( s ) 西= x ( f ) 一l ( ，) j ( s ) x ( s ) 出一【f ( ，) 宣( s ) x o r ( s ) ) 出， 所以右： 8 t 。( x ，) = x 1 ( ，) ( 五( ，) + 宣( f ) ) ，+ 尸( 五( r ) + 宣( ，) ) 扣( ，) + 肛7 ( f ) 鹧( ，) 20 2 + k ，2 二m ) 出h 阻) 屿。2 酬l 州”直邢叫呦矧2 科( ，) ( - ( f ) + 矗( f ) ) p + 尸( j o ) + 丘( ，) ) 】x ( ，) + x 1 ( f ) 【p 蜀( ，) f 一1 马7 ( r ) p + p 蜀( f ) j 。一1 且7 ( ，) p 】 x x ( ，) + l x 7 ( s ) q ( 置”) x ( s ) 凼+ 南e ：。x ( j ) q 。( 五，啊) x ( s ) 西 ( 2 1 0 ) 取l y a p u n o v 函数为： 矿( x ，) = ( x ，f ) + 厅q ( x ，) 十石_ = ；f ( x ，) 对矿( x ，f ) 求微分，结合式( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 7 ) ( 2 1 0 ) 整理后得 其中： 矿( x ，f ) x 7 ( f ) x ( r ) 0( 2 1 2 ) = ( 4 + b 拦+ 丑l 置) 1 p + p ( 爿+ 8 莨+ b l k ) + 监1 e + g o 置1 e o e o 置+ 毛五1 e l e i k + p d d 、p + 哦d ? p + p d 、d ? p + 郴。l x 一“k 、e ? e x yb ? + 日。( x ，一p 。足t e 7 e k i ) 一，j 哇t + 土d l d ，t + 上d 。d ，) p + 2 【( 4 + 昱k ) 7 x ( 爿+ b k ) ( 2 1 3 ) 州删仲嘶一 孙p 州冲即妒如1 】 甜 十百兰万 正7 e 7 t j 9 ，即一一d t 7 t d i ) _ 1d 1 7 l 骂膏+ 嘎丘7 e e - k + 足7 e 7 z 且足】 显然，( 2 1 2 ) 式成立与订 o 成立是等价的。 对式子r i o 分别左、右乘p ，并令p - l = z ，忽= y ， 土：。，上：。则可得： 一= “，一= “一贝uu j l 哥： f ll1 ：2 e ，_ 2p o ，一2p l ， 占 占0s 1 武汉化工学院硕士学位论文 z n z = 2 2 1 + 矿口1 + 矿口i + 一z + 口y + 口i 矿+ 三z e 7 e z + 三矿7 e o 。e o 矿 + 土矿7 e l e y + p d d 7 + 口o d o d o + p l d t d l 7 + 丑l 眩一1 ( j 一土k 7 e 1 7 e 世i ) 一1 z 一矿7 8 1 7 + b i l 7 z 一1 ( r 一三世1 e 1 7 e 盯1 ) 一1 z 一矿7 口1 7 + 材d ld 1 1 + 蚝d l d l 7 + 而2 【( z 4 + 矿t b l ) x ( 爿z + 口y ) + c 别+ y w 。d o b 一 象卜陋d o 矿 等 盖c 彳z + 口一+ 一陆7y 1 & t 】 孑 】 + 石兰【y 7 且1 置d l ( 啊一d 1 1 五d 1 ) - 1 d - 7 肖- 骂y + y 7 置7 晶y + y 7 蜀7 五马叼 一 t o 强。虬 矿 1j ，玎r丑o 一 e： o 咆o 。 引 y ，门 ”z o 爿 o 丌p， 上b州 一 一阿卜 雕矿计。雕矿讣。 利用圆锥补方法“，我们把定理2 1 中提出的非凸可行性问题等价转 ；二 。， ，z 。 。， 7 二 2 。， ，二 。 c 2 ，8 ， 享二 。， 1z 。， 7 习。， 7 7 三 。 矧巩一珈， 矧。 如果系统( 2 1 5 ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 的最优化问题的解等于4 0 ，t r ( l m + l 1 m l + w j + w l j l + ) ( u + x 1 u l + k n l n l + i 辽) + 1 m 黜+ m l n i ) = 4 0 ，则系统( 2 1 ) 到全局最优解是不可能的，因为在运算中使t r ( l m + l l m l + w j + w l j i + x u + x l u l + k n 咐：l n