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基于小波变换的旋转机械故障诊断方法研究 摘要 旋转机械是工业生产中应用最为广泛的一类机械设备。因而其故障诊 断具有重要的现实意义。旋转机械故障诊断的关键是从旋转机械故障振动 信号中提取故障特征，信号分析和处理是特征提取最常用的方法。由于大 多数旋转机械故障振动信号是非平稳信号，因此有必要选择恰当的适合于 非平稳信号分析的信号处理方法。 由于时频分析方法能同时提供振动信号的时域和频域信息，因而在旋 转机械故障诊断中应用最为广泛。本文在分析旋转机械故障振动信号产生 机理的基础上，建立了滚动轴承振动信号的数学模型。通过对美国凯斯西 佑；学轴承数据中心提供的不同状态下的轴承振动加速度信号数据的小 波分解和重构，验证了基于小波分析的两种故障诊断方法特征参数法 和特征频率法在故障判别和类型诊断方面的有效性，并通过对不同类型、 程度的故障以及不同负载情况下故障情况的对比分析，进一步明确了旋转 机械故障诊断的一般规律。 实验数据的处理分析表明，小波算法能够有效的提取滚动轴承的时域 和频域的故障特征参数，在此基础上加强这一领域的研究，可以为工业生 产中的在线实时信号处理提供一种切实有效的方法。 关键词：旋转机械、故障诊断、时域分析、小波变换 i f a u l td i a g n o s i sf o rt h er o t a t i n gm a c h i n e r y b a s e do n i a 、厂e l e ta n a l y s i s a b s t r a c t n o w a d a y s ，t h er o t a t i n gm a c h i n e 珂h a sb e e nu s e di na l m o s ta 1 1o fm e i n d u s t r ys e c t i o n s t h e r e f o r ei ti se x t r e m e l ys i g n m c a n tt od e t e c tt h ef i a u l to fm e r o t a t i n gm a c h i n e r y g e n e r a l l ya c l m o w l e d g e d ，e x t r a c t i n gf a u l t f e a t u r ei sm e c r i t i c a ls t e po ff a u l td i a g n o s i s t oe x t r a c tf a u l tf e a t u r ee f f e c t i v e l y ，s i g n a l p r o c e s s i n g - b a s e dm e t h o d sa r ew i d e l yu s e dt o d a y d u et ot h ef a c tt h a tm o s t f a u l tv i b r a t i o n s i g n a l s o ft h e r o t a t i n gm a c h i n e up r e s e n tn o n s t a t i o n a 拶 p r o p e r t i e s ，i ti se s s e n t i a lt oc h o o s e 印p r o p r i a t e s i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d s m a t a r es u i t a b l ef o rn o n 。s t a t i o n a ws i g n a l st oe x t r a c tf a u l tf - e a t u r e t h et i m e 行e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o di sw i d e l y即p l i e dt or o t a t i n g m a c h i n e r yf a u l td i a g n o s i sd u et oi t c a ns i m u l t a n e o u s l yp r o v i d et i m ea n d 仔e q u e n c yd o m a i ni n f o m l a t i o no fas i g n a l i nt h i sp 印e r t h em a t h e m a t i c a l m o d e lo ft h ev i b r a t i o ns i g n a l s 仔o mt h er o t a t i n gm a c h i n e r yh a sb e e ns e tu p ， b a s e do nt h ep r i n c i p a la n a l y s i sf o rt h ev i b r a t i o ns i g n a l so c c u r r e n c e t h ef a f u l t v i b r a t i o ns i 趼a l si nd i f f e r e n tc o n d i t i o n sh a v eb e e np r o c e s s e db ym e a n so ft h e w a v e l e ta n a l y s i sa n dr e c o n s t m c t i o n ，w h i c hw e r eo 虢r e db yt h ea x l e t r e ed a t a c e n t e ro ft h ec a s ew 宅s t e mr e s e r v eu n i v e r s i 吼t h ed a t ap r o c e s s i n gr e s u l t v e r i f i e dt h a tt h et w om e t h o d so ff a i l u r ed i a g n o s i sb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i s ， f e a t = u r ep a r a l n e t e ra n df e a t u r e 矗e q u e n c y ，c a nb ee f f e c t i v e l ya p p l i e dt ot h e i d e n t i 丘c a t i o na n d 田p ed i a g n o s i sf o rm ef a u l tv i b r a t i o ns i g l l a l s t h ea nl ( i n d s o ff a u l ts i g n a l st y p e s ，t h ed a m a g ed e g r e e sa n dm ef a u l ts i t u a t i o n su n d e rt h e d i 虢r e n tm o t o rl o a d i n g ，a r ec o m p a r e da n da n a l y z e d t h er e s u l tm a k et h e g e n e r a lm l eu s e di nr o t a t i n gm a c h i n e uf a u l td i a 星皿o s i sc l e a r e r 如r t h e r t h ed a t ap r o c e s s i n ga n da n a l y z i n gr e s u l tv a l i d a t em a tw a v e l e tt r a n s f o r m c a nd e t e c tt h et i m ea n d 行e q u e n c yf e a t u r ep a r a n l e t e re f f e c t i v e l y t h em n h e r r e s e a r c hm a yp r o v i d ea ni m p a c t m lm e t h o da p p l i e dt ot h eo n 1 i n er e a lt i m e s i 舀1 a lp r o c e s s i n gi ni n d u s t up r o d u c t i o n k e y w o e d s ：r o t a t i n gm a c h i n e 吼f a u l td i a g n o s i s ，t i m e 舌e q u e n c ya n a l y s i s w a v e l e t a n a l y s i s 北京化工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所成交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果有本人承担。 作者签名： 塑型壬日期：塑盛! 壁三墨里 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大 学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可 以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：堡缝 导师签名： 日期：丝逝篁璺婴璺 日期：一 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着科学技术与生产的发展，机械设备工作强度不断增大，生产效率、自动 化程度越来越高，同时设备更加复杂，各部分的关联愈加密切，从而往往某处微 小故障就会爆发连锁反应，导致整个设备乃至与设备有关的环境遭受灾难性的毁 坏。这不仅会造成巨大的经济损失，而且会危及人身安全，后果极为严重。1 9 7 3 年美国三里岛核电站堆芯事件，1 9 8 5 年美国航天航空飞机“挑战者”号坠毁。英国 t a o m a s 在19 8 4 年发表论文认为，对大型气轮发电机组进行振动监视，其获利和 投资的比例为1 7 ：1 。由此可见对机械设备，特别是关键设备部件实行状态监测与 故障诊断的必要性和迫切性 1 1 。 机械故障诊断技术是近4 0 年来发展起来的识别机器或机组运行状态的科学。 它是适应工程实际需要而形成的各学科交叉的综合学科。它研究的是机器或机组 运行状态的变化在诊断信息中的反映，它是由机器运行中的物理现象( 声音、振 动、声发射、热现象等) 出发来推断机器内含故障的技术，是一种典型的反向工 程。从2 0 世纪6 0 年代开始，机械故障诊断技术随着机器的不断完善化、复杂化和 自动化逐渐发展起来，并与当代科技的前沿科学相结合，取得了令人瞩目的成绩。 滚动轴承是各种旋转机械中应用最广泛的一种通用机械部件，也是机械设备 中最容易损坏的部件之一，它的运行状态是否良好会直接影响到整台机器的性能 ( 包括精度、可靠性及寿命等) 。就旋转机械而言，据统计，现场实际故障中3 0 是由于滚动轴承故障而引起的。因此，对滚动轴承的故障诊断和预测已经成为各 国研究的热斟2 1 。 我国自8 0 年代中期起开始设备故障诊断技术的研究。从整体上看，尚属于跟 随性发展研究，但在一些领域也取得了丰硕的成果，并已形成高校、研究所及工 厂的梯队式研究、开发和应用层次。国内高校每年都有许多以故障诊断为内容的 论文发表【3 】。 】 北京化工大学硕士学位论文 1 2 故障诊断基本知识 1 2 1 故障诊断的发展和现状 故障诊断学是以可靠性理论、信息论、控制论和系统论为理论基础，以现代 测试仪器和计算机为技术手段，结合各种诊断对象( 系统、装置、设备、机器、 工程结构、工艺过程等) 的特殊规律而逐步形成的一门新兴学科。它大体上由三 部分组成：第一部分为故障诊断物理、化学过程的研究，例如以电气、机械部件 失效的腐蚀、蠕变、疲劳、氧化、断裂和磨损等理化原因的研究；第二部分为故 障诊断信息学的研究，它主要研究故障信号的采集、选择、处理与分析过程，例 如通过传感器采集设备运行中的信号( 如振动、转速) ，再经过时域与频域上的分 析处理来识别和评价设备所处的状态或故障；第三部分为诊断逻辑与数学原理方 面的研究，主要是通过逻辑方法、模型方法、推论方法及人工智能方法，根据已 观测的设备故障表征来确定下一步的检测部位，最终分析判断故障发生的部位和 产生故障的原因。 机械设备故障诊断技术的发展可分为以下几个阶段： ( 1 ) 事后维修阶段。在1 9 世纪工业化初期，当时机器设备本身技术水平和复 杂程度都很低，当设备在运行中突然发生了故障，才被迫停机修理。在这种情况 下，机械设各的某些运行参数使用余量已经用尽，因此导致了故障的发生。这一 阶段的维修被称为事后维修( b m ) 。故障诊断的目的就是迅速找到故障发生的部 位，为机器的迅速修复提供依据。故障诊断的手段是通过对设备的解体分析并借 助以往的经验以及一些简单的仪器。 ( 2 ) 预防维修阶段进入2 0 世纪后，随着大生产的发展，机器设备本身的技术 复杂程度也有所提高，设备故障或事故产生的影响显著增加，从而出现了定期预 防维修方式( p m ) 。 这一维修阶段的维修策略是以机械设备的可靠性为出发点，制定出最佳的维 修周期。维修的主要种类有视情况检查、预防维修及预防性更换。预防维修立足 于将故障隐患消除在发生之前。也就不可避免地形成了一定程度的过剩维修。这 是故障诊断的目的在于为合理的维修周期的制定提供依据，并在定期维修前检查 第一章绪论 突发故障。这一阶段的诊断手段主要是一些简单的状态监测仪，多设有一定运行 参数的报警值，能够对突发故障进行预测。 ( 3 ) 状态监测阶段从2 0 世纪6 0 年代起，设备诊断技术随着计算机技术、信号 处理技术等的发展，出现了更科学的按设备状态维修的方式。这一阶段以状态监 测为中心，维修策略是定期地对设备的状态进行监测，依据监测的结果决定是否 对设备进行维修。从而避免了预防维修中的过剩维修，大大降低了维修成本，这 种维修也称为预防性维修( p m ) 。诊断的手段是以信号采集与处理为中心，多层 次、多角度地利用各种信息对设备运行状态进行评估。 ， ( 4 ) 智能管理阶段进入2 0 世纪8 0 年代以后，人工智能技术和专家系统、神经 网络技术的发展和在工程设计中的应用，使设备维修达到了智能化的程度。虽然 这一阶段发展的历史并不长，但己有的研究成果表明，设备智能诊断技术具有十 分广泛的应用前景。 利用振动信号对设备进行诊断，是设备故障诊断中最有效、最常用的方法之 一。机械设备和结构在运行过程中的振动及其特征信息是反映系统整体及其变化 规律的主要信号。通过各种动态测试仪器拾取、记录和分析动态信号，是进行系 统状态监测和故障诊断的主要途径。 传统的基于快速傅立叶变换( f f t ) 的频谱分析方法是振动信号处理中最重要 的途径，尤其是近代各种谱分析软件和谱分析仪的推出，使频谱分析方法得到了 更为广泛的应用。但是，傅立叶分析方法存在着严重的不足，他只适用于分析平 稳信号，而不适用于分析非平稳信号，这一缺陷限制了它在故障诊断领域中应用。 对突变信号和非平稳信号的分析已成为工程技术中的一种需求。因此，寻求 一种新的变换方法，使它既能够保持傅立叶分析的优点，又能够弥补傅立叶分析 的不足，己经成为应用数学家和工程技术人员共同努力的前沿课题。 时频分析技术在机械故障领域内的应用是在2 0 世纪9 0 年代兴起的，尽管这一 方法对非平稳机械信号具有一定的潜在优势，但还远没有成为机械故障诊断的主 流，一些科研人员正在逐渐扩大其应用领域。 小波分析作为一种新兴的理论，是数学发展史上的重要成果，它无论是对数 3 北京化工大学硕士学位论文 学还是对工程应用都产生了深远影响，已广泛应用于理论数学、应用数学、信号 处理、语音识别和处理、自动控制、图象处理、天体物理和分形等领域。小波分 析比傅立叶分析优越之处体现在对复杂、非平稳信号的处理上，从原则上讲，即 其具有局部化特性，可以聚焦到分析对象的任意细节，是对传统傅立叶分析的挑 战 4 5 1 。 复杂的机械系统是一个多层次系统，各层次子系统之间不仅在结构和功能上 存在差异，而且子系统之间存在着非常复杂的偶合关系。在影响这些关系的一些 因素中，有些因素的变化具有不确定性，导致系统输出的复杂性变化。另外，从 机械系统的时间演化角度来看，也可视为是一个复杂的非线性动力系统。对于一 个非线性复杂系统的状态( 或故障) 进行长期预测，存在着“初始条件敏感性问 题”，即相同的一种复杂机械系统，其初始工作条件( 状态) 存在微小差异，工 作一定时间后，其工作状态和性能可能发生较大的差异。 分形与混沌理论是现代非线性科学的重要而且也是目前研究非常活跃的理 论，它特别适用于研究各种复杂现象。当前对于分形与混沌虽然还不能给出一个 圆满的定义，但它所蕴涵的意义已被逐渐认识，而且不断地扩大。分维数、李雅 普诺夫指数、信息嫡是描述复杂系统混沌现象的重要特征参数。显然复杂系统的 状态变化，通过特征参数可以给出其量化的描述，从而对机械系统给出状态评价， 实现其故障诊断【6 】。 。 1 2 2 设备故障诊断技术的发展趋势 设备故障诊断技术发展到今天，己成为一门独立的跨学科的综合信息处理技 术，它可简单的划分为传统的诊断方法、数学诊断方法以及智能诊断方法。传统 的诊断方法包括：振动监测技术、油液分析技术、噪声监测技术、红外测温技术、 声发射技术以及无损检测技术等；数学诊断方法包括：基于贝叶斯决策判据以及 基于线性和非线性判别函数的模式识别方法、基于概率统计的时序模型诊断方 法、基于距离判据的故障诊断方法、模糊诊断原理、灰色系统诊断方法、故障树 分析法、小波分析法、以及混沌分析与分形几何法等；智能诊断方法包括：模糊逻 辑、专家系统、神经网络和进化计算方法( 如遗传算法) 等。 d 第一章绪论 设备故障诊断技术与当代前沿科学的融合是设备故障诊断技术的发展方向。 当今故障诊断技术的发展趋势是传感器的精密化、多维化，诊断理论、诊断模型 的多元化，诊断技术的智能化，具体来说表现在如下方面。 与当代最新传感器技术尤其是激光测试技术的融合。近年来，激光技术已从 军事、医疗、机械加工等领域深入发展到振动测量和设备故障诊断中，并且己经 成功应用于测振和旋转机械对中等方面。 与最新信号处理方法相融合。随着新的信号处理方法在设备故障诊断领域中 的应用，传统的基于快速傅立叶变换的机械设备信号分析技术将会有新的突破性 进展。 与非线性原理和方法的融合，机械设备在发生故障时，其行为往往表现为非 线性。如旋转机械的转子在不平衡外力的作用下表现出的非线性特征。随着混沌 与分形几何方法的日趋完善，这一类诊断问题必将得到进一步解决。 与多元传感器信息的融合。现代的大生产要求对设备进行全方位、多角度的 监测与维护，以便对设备的运行状态有整体的、全方面的了解。因此在进行设备 故障诊断时，可采用多个传感器同时对设备的各个部位进行监测，然后按照一定 的方法将这些信息融合起来，如人工神经网络方法。 与现代智能方法的融合。现代智能方法包括专家系统、模糊逻辑、神经网络、 进化算法等。现代智能方法在设备故障诊断技术中己得到广泛的应用。随着智能 技术的不断发展，设备状态的智能监测和设备故障的智能诊断将是故障诊断技术 发展的最终目标。 1 3 论文的主要研究内容及章节安排 1 3 1 论文的主要研究内容 从机械设备上所测得的( 振动) 信号大量是非平稳、非高斯的随机信号，尤 其是当设备出现故障时上述情形显得更加突出。为了更有效、更方便的获得这些 故障特征信息，必须研究和发展基于非平稳、非高斯信号分析理论的故障特征信 号提取方法。 s 北京化工大学硕士学位论文 处理非平稳、非高斯信号的常用方法是时域分析方法，该方法能够用于观测 时域和频域内的波形信号。目前，小波分析方法在机械振动信号处理领域得到了 非常普遍的应用。但是这些应用往往局限于理论研究，或是通过对特定的故障信 号进行处理得出的结论，未对工业生产中的不同工况下的故障数据进行对比分 析。因此，有必要对滚动轴承的故障信号进行系统的对比研究，得出不同工况下 故障诊断的判据，从而加强故障诊断的准确性。 本论文在研究小波理论最新应用成果的基础上，通过对滚动轴承故障机理的 研究建立数学模型，针对模型进行故障数据的分析处理，进一步完善滚动轴承故 障诊断的判据。同时，本论文选择了互联网上公布的标准数据，对大量的数据进 行了有针对性的系统性的对比分析，其结论对于将理论应用于实践具有一定的指 导意义。 1 3 2 论文的章节安排 。 第一章分析概括了滚动轴承故障诊断技术发展的现状，并介绍了其发展趋 势。 第二章对小波理论进行了系统的介绍，包括其产生背景、数学推理、计算方 法等。重点研究小波理论最新的应用成果。 第三章在研究滚动轴承振动产生机理的基础上，分析了各种故障时的信号特 点，并在此基础上建立滚动轴承故障信号的数学模型。 第四章介绍了本论文使用的数据来源和基本参数。对大量的标准数据进行小 波分解，通过特征参数法和特征频率法两种故障诊断的基本方法对数据进行对比 分析，从而得出不同工况和状态下各种特征参数和特征频率的有效性以及变化规 律。进一步完善故障诊断的方法。 第五章为结论与展望，对本文工作进行了总结和概括，并提出了进一步研究 的方向。 6 第二章小波分析 第二章小波分析 信号分析作为一门新兴技术，广泛应用于通信、雷达、地震、遥感、生物医 学和机械等各个领域。随着数字技术和计算机技术的发展，出现了以数字分析为 基础的现代信号分析方法，也迅速推动了信号分析设备的更新换代，出现了把信 号采集、模数转换、信号分析与处理等多种功能融为一体的数字信号处理仪。 它具有功能强、灵活性好、精度高、效率高等一系列优点，而且还解决了通常用 模拟分析设备根本无法解决的问题。到二十世纪七十年代f f t 算法得到广泛应 用，数字信号分析仪占据了主导地位。后来小波分析法得以发展，它取得了傅立 叶分析发展史上里程碑式的进展，从此，基于小波变换的信号分析仪成为动态测 试技术中的一个重要的发展方向。 2 1 小波变换的产生 小波变换的系统理论是在为了克服傅立叶变换( f o u r i e r ) 在时域的无定位性 ( 即不能提供局部时间上的频率信息) 的缺点和短时傅立叶( s h o r tt i m ef o 面e r n a i l s f o m s t f t ) 的固定窗( 窗不能随频率的变化而变化) 的缺点的情况下产生的。 小波变换的思想来源于伸缩和平移的方法。小波分析方法的提出。最早应属 1 9 1 0 年h a a r 提出的规范正交基( 这是一组非正则基) 。1 9 3 8 年，l i t t l e 、v o o d p a l e y 对 傅立叶级数建立了l p 理论，即按二进制频率成分分组。f o u r i e r 变换的相位变换 本质上不影响函数的形状与大小。1 9 6 5 年c a l d e r o n 发现了再生公式，它的离散形 式己接近小波展开，只是还无法得到组成一正交系的结论。1 9 8 2 年b a t t l e 在构造 量子场论中采用了类似于g a l d e r o n 再生公式的展开形式。小波概念的真正出现应 是1 9 8 4 年。法国地球物理学家j m o d e t 在分析地震数据时提出将地震波按一个确 定的函数伸缩，平移系： ；( 等) ；啪咄口o ) 展舻。 7 北京化工大学硕士学位论文 图2 1 可以较为直观的反映傅立叶变换、短时傅立叶变换和小波变换的区别： q 勺 = 兰 吝 皇 t i m e t i m ed o m a i n ( a h 锄o n ) 分 c o o 叮 2 山 a m p l i t u d e f r e q u e n c yd o m a i n ( f o u r i e r ) o 肖 o t i m e t i m e stft(gabor)waveieta n a i y s i s 图2 1f f t 、s t f t 和小波变换的比较 f i g 2 1c o m p a r eo ff f t ，s t f ta 1 1 dw a v e l e ta 1 1 a l y s i s 其中：t i m ed o m a j n 代表时域，f r e q u e n c yd o m a i n 代表频域，s t f t 代表短时 傅立叶变换，w a v e l e ta n a l y s i s 代表小波分析，s c a l e 代表尺度。 在此之后，小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论 工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传 统的处理方法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法， 具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。与此同时，小波理论在应用中也得到 了长足的发展。其相应的工程软件包也愈来愈多，如m a mw o r k s 公司的“w a v e l e t t o o l b o x ”，s t a n f o r d 大学的d o n o h 0 小组研制的“w a y et 0 0 1 ”，y a l e 小组的x w p l w p l a b 软件，s t a n f o r d 和t a s w e l l 的w a v b o x 软件，s p a i n 的一个小组研制的u v i w a v e 软件，m a m s o r 公司的s + w a v e l e t s 软件，a w a r e 公司的w a v e t 0 0 1 软件，c e 的d s p 小组的m a t l a tw a v e l e tt o o l b o x 等。可以预见，在不久的将来小波分析必 将在工程和科技各领域发挥更大的作用，正因为如此，它也成为了广大科技人员 必须掌握的一种信号处理工具。 2 2 小波变换理论 2 2 1 小波变换的定义 凡是满足条件e 缈( f ) 衍= o 的函数( f ) 都可以作为一个小波基函数。所谓 8 第二章小波分析 的小波就是函数y ( f ) 通过伸缩和平移而派生出来的一簇函数 虬，。( f ) ) ： ( 泸l 口i y ( 等) 咖池。 式中口为尺度参数，6 为位置参数。信号x ( r ) 的小波定义为 ( 2 1 ) 噼，6 ) 书川= he 聊( 等) 斗；y ( 等) 协2 ， 上式表明，信号x ( r ) 的小波变换暇( 口，6 ) 是信号x ( f ) 通过一个传递函数为 l 口一；卜( 一口国) 的嘉波器的输出。亦即小波变换相当于一族带通滤波毒对信号进行 滤波( 每个尺度对应于一个通带) 从而可以得到在不同通带内的信息。带通滤波 器的中心频率和带宽与尺度口成反比，不同带通滤波器之间具有相同的相对带 一f 2 宽。具有较小缸和矽的m o r l e t 小波：y ( f ) = p 2 + 州，显然其实部、虚部分别为 = p 。c o s ( 嘞f ) ，蚧= 8 一s i n ( f ) 。实部是一个偶函数，经傅立叶变换之后仍为 偶函数，所以实部是一无相移的滤波器；而虚部与实部的相位差为万2 ，二者的幅 频特性相同。信号x ( f ) 的m o r l e t 小波变换为： 暇( a ，f ) = 暇，( 叩) + 歹吗，( 口，r ) 却一陋咖静c o s ( ( 孚) 问 协3 ) 邛l 陋咖倒2 ，2s 洫( 嘞( 删却 设为信号x ( 刀丁) ( ，z = 1 ，2 ，一1 ) 的采样点数，设某一带通滤波器的尺度 为口，其中心频率为石= ( 2 万口) ( 2 - 4 ) 此时带通滤波器的带宽为矽= 1 ( 砌) ( 2 - 5 ) 很显然，当尺度口= 1 时，该带通滤波器的带宽与f f t 相同，二者的频率相同； 当口 1 时，带通滤波器的分辨率较f f t 算法高。 北京化工大学硕士学位论文 由小波函数的确切定义可知，小波函数一般具有以下特点： 在时域中都具有紧支集。原则上讲，任何满足可容许性条件的r ( r ) 空间 的函数都可以作为小波母函数( 包括实数函数和复数函数、紧支集或非紧支集函 数、正则或非正则函数等) 。但一般情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的( 具 有时域的局部性) 具有正则性的( 具有频域的局部性) 实数或复数作为小波母函 数，以使小波母函数在时域和频域都具有较好的局部性。 由于小波母函数满足可容性条件上眨譬如国 ，则必有( 缈) l 删：o ， 也即支流分量为零，由此断定小波必具有正负交替的波动性。 2 2 2 连续小波变换( c w t ) 将任意f ( r ) 空间中的函数厂( f ) 在小波基下进行展开，称这种展开为函数 厂( f ) 的连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a l l s f 0 吼，简称为c w t ) ，其表达式为 吗( 叩) = ( 饨) 虮删= 击丘巾) 歹( 等卜 ( 2 - 6 ) 由c w t 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。同 傅立叶变换相似，我们称嘿( 口，7 ) 为小波变换系数。由于小波基不同于傅立叶 基，因此小波变换与傅立叶变换有许多不同之处。其中最重要的是：小波基具有 尺度口、平移r 两个参数，因此，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间 函数投影到二维的时间一尺度相平面上。 小波变换与s t f t 有着本质不同，它是一种变分辨率的时频联合分析方法。 当分析低频( 对应大尺度) 信号时，其时间窗很大，而当分析高频( 对应小尺度) 信 号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号 持续时间长的自然规律。小波变换具有的这一宝贵性质称为“变焦距”性质。 由连续小波变换的系数可知，c w t 具有很大的冗余量。从节约计算量来说， 这是它的缺点之一。但从另一方面来讲，我们正是利用c w t 的冗余性实现去噪 和数据恢复的目的。 第二章小波分析 信噪分离和提取弱信号是小波变换应用于信号分析的重要方面，由于小波分 解可以把一个信号分解为不同频段的信号，就可进行信噪分离和降噪处理。 2 2 3 离散小波变换( d w t ) 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数，。( f ) = l 口一( 等 ，限 定在一些离散的点上取值，就是尺度与位移的离散化。 d w t 与c w t 不同，在尺度一位移相平面上，它对应一些离散的点，因此称 之为离散小波变换； 任意函数厂( ，) 离散小波变换为： 吗( 朋，刀) = ，巾) 歹埘一( f ) 衍 ( 2 7 ) 若离散小波序列 乒) ，尼z 构成一个框架，其上、下界分别为a 和b ，则 当a = b 时( 紧框架) ，由框架概念可知离散小波变换的逆变换为 厂( f ) = ( 厂，土) 歹肚( f ) = 专啊( ，尼) ( f ) ( 2 _ 8 ) ，女n， 2 3 快速小波变换( f w t ) 1 9 8 8 年，m a l l a t 提出了小波分解和重构算法，它是通过正交镜像滤波器组对 信号进行分解和重构的，事实上，在小波分析中已成为一种经典的模式。由于该 算法计算速度快，故把它称为快速小波变换( f w t ) 算法。 根据m a l l a t 的多分辨率的理论，设 巧) 歹z 是亭( r ) 空间的一多分辨率向量 空间，在一维尺度函数矽( ，) 和一维小波函数( ，) ，平移和伸缩所形成的函数系 如下： 髅黧篙二 ( 2 9 ) 1l_、， z ， z 北京化工大学硕士学位论文 上两式分别构成巧和形的规范正交基，其中为巧的正交补空间，为尺 度参数，七为平移参数。令尺度因子为2 ，则分辨率为2 ，尺度因子越小，分 辨率越高，能识别快变信号，对应信号的高频成分；反之尺度因子越大，分辨率 越差，只能识别缓变信号，对应信号的低频成分。 快速小波变换算法的基本思想是将原始采样信号分解为一个粗分辨率为2 一 的离散逼近信号4 ( f ) 和逐次离散细节信号q 厂( r ) ( o ，) 。设某信号 厂( f ) r ( r ) 在分辨率2 7 的离散逼近信号为4 厂( f ) ，则( f ) 在较粗分辨率2 一( 川) 的离散逼近信号4 川) 厂( f ) 和离散细节信号q ) 厂( f ) 。求法如下： 因为 溉缌三怒 协 【( 皿，扎m ) = 虿( 尼一2 朋) “7 注意到万( 尼一2 m ) 和；( 后一2 聊) 与无关。 可得厂( f ) 在分辨率为2 一的离散逼近系数q + l ，。，和离散细节系数q + 1 所 q + l ，朋= 石( 尼一2 肌) q ，七 量= q + 1 。= ；( 后一2 朋) q ，七 ( 2 1 1 ) 上两式中q ，。为( f ) 在分辨率2 7 的离散逼近系数，注意到歹= o ，分辨率 2 一。= 1 时的c o ，。= 厂( 尼) 为原始采样信号。 于是有 。 r f4 + 。厂( f ) = q n 。办扎朋( f ) 肛“ ( 2 1 2 ) iq + 。厂( f ) = q 扎。吩“。( f ) l= 1 引入无穷矩阵日= ( 域，。) ，g = ( 瓯，。) ，其中砜，七= 万( 尼2 聊) ，瓯，七= 虿( 七一2 m ) ， 则( 2 1 1 ) 可改写成以下简洁形式： 第二章小波分析 乏三笺忙叭，) 沼 此式便是快速小波分解算法。 信号厂( f ) 在分辨率为2 一( 川时的分解结果为： 4 厂( f ) = 4 + 。厂( r ) + q + ，厂( f ) 对上式两边同时与尺度函数力 作内积，易得 ( 2 - 1 4 ) v q ，。亍办( 七一2 聊) q “。+ g ( 七一2 朋) q + 1 肼( 2 1 5 ) m = m = 上式的简洁形式如下： q = 日q + l + g 。q + l( ，= ，一1 ，1 ，o ) ( 2 1 6 ) 其中日+ 和g 分别是日和g 的对偶算子，这便是快速小波重构算法。 2 4 信号的小波分解和重构 2 4 1 正交镜像滤波器组 小波变换是将原始信号与小波基进行内积运算，而快速小波变换是将内积运 算转换为信号和离散滤波器的卷积运算，快速小波变换中的小波基的选择转化为 正交镜像滤波器( q m f ) 的选择。 事实上，为了实现快速小波变换，只需要正交镜像滤波器组：日、g 、日、 g ，而不必进行滤波器的多分辨率分析，因为滤波器与尺度参数无关。日为 低通分解滤波器，离散形式记为乃( 即) ；g 为高通分解滤波器，离散形式记为 g ( 船) ；日+ 为低通重构滤波器，离散形式记为砌( 刀) ；g 。为高通重构滤波器，离 散形式记为曙( 刀) 。滤波器组与尺度函数矽( f ) 和小波函数( r ) 有关，据多分辨率 框架理论，存在一个双尺度关系式： 丢( 守去薹嘶) 叫 协 北京化工大学硕士学位论文 对于一个已知的小波基，它的尺度函数和小波函数也为已知，据上式可得低 通重构滤波器砌( 胛) 。其他三个滤波器可由下面式子求得： l 馏( ，z ) = ( 一1 ) ”r 办( 2 一1 一刀) o 力2 一1 乃( 刀) = ，办( 2 一1 一，z ) o 刀2 一1( 2 1 8 ) l g ( 刀) = 曙( 2 一1 一力) o 刀s 2 一1 正交