（机械设计及理论专业论文）基于旋量和李群李代数的scara工业机器人研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 s c a r a 运动学的研究中，以旋量，李群李代数为基础的p o e 指数积法求解运动学正解， 逆解以及速度雅可比。逆解中采用代数的方法求解封闭解，得出了逆解方程。以p o e 指数积 方法求解中，因为坐标系的建立，以及相应坐标系之间的位置关系都以旋量描述，使得整个 求解过程较传统的求解方法更为简单。 以雅可比矩阵为基础，对s c a r a 的奇异性进行分析。根据s c a r a 机器人独特的机构形式 进行了必要的简化，找出其完全展开的边界为奇异。s c a r a 的奇异性分析中，发现s c a r a 的 奇异性分析更加类似于平面二连杆的求解。 将旋量理论引入误差分析，建立机器人运动学的误差旋量模型，分析误差源在执行端 所造成的误差空间的特点。引入等效半径的误差敏度评价体系，分析不同量纲误差对执行端 误差空间的影响。通过对单独误差及总的误差空间的评价与分析，给不同精度要求的工业机 器人设计提供有效的理论支持。 轨迹规划中，分析了关节空间的多项式插值的优缺点。最终以余弦函数对惯性空间的 规划轨迹进行插值离散。经插值后关节空间的速度和加速度的线图轨迹平滑。 应用旋量理论建立s c a r a 机器人的运动学模型，并以此为基础建立动力学模型。此方 法融合了拉格朗日，牛顿一欧拉法以及旋量的特点，易于求解。简要讨论动力学与机器人控 制、设计的关系。 关键词：机器人；旋量；李群李代数；运动学；动力学 i i 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h es t u d yo fs c a r a sk i n e m a t i c s ，p o ei su s e dt oo b t a i np o s i t i v e ，i n v e r s ea n d j a c o b i a ns o l u t i o n ，b a s e do fs c r e w , l i eg r o u p sa n dl i ea l g e b r a a l g e b r a i cm e t h o di s u s e dt of o r ms o l v i n ge q u a t i o na n do b t a i nc l o s e d - f o r ms o l u t i o nf o ri n v e r s ek i n e m a t i c s u s i n gp o et os o l v et h ep r o b l e mi sm u c hs i m p l e r t h a nt r a d i t i o n a lm e t h o d s ，a s c o o r d i n a t ei se s t a b l i s h e da n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e mi sd e s c r i b e db ys c r e wt h e o r y s i n g u l a r i t yo fs c a r ab a s e do nj a c o b i a nm a t r i xi sa n a l y z e da n dt h er e s u l t i n d i c a t e st h a ts i n g u l a r i t ya n a l y s i si ss i m i l a rt ot h es o l u t i o no fp l a n a rt w o - l i n k i t s i m p l i f i e st h ep r o b l e mf o rs c a r a r o b o t su n i q u em e c h a n i s ma n df i n d st h a tt h e p o s i t i o na tt h eb o u n d a r yo ff u l l ye x p a n d e ds c a r a i ss i n g u l a r t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h es c r e wt h e o r yt ot h ee r r o ra n a l y s i s ，b u i l d sas c r e w e r r o r m o d e lb a s e do nr o b o tk i n e m a t i c s ，a n da n a l y z e st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe r r o rs p a c e w h i c hi si n d u c e db ye r r o rs o u r c e si no p e r a t i v em e c h a n i s m t h ee q u i v a l e n tr a d i u s e r r o rs e n s i t i v i t ye v a l u a t i o ns y s t e mi si n t r o d u c e dt oa n a l y z et h ee f f e c t so fe r r o rs p a c e w h e nd i f f e r e n td i m e n s i o n a le r r o r sa r ep u to no p e r a t i v em e c h a n i s m i tp r o v i d e s e f f e c t i v et h e o r e t i c a ls u p p o r tf o ri n d u s t r i a lr o b o td e s i g nw h i c hr e q u i r e sd i f f e r e n t a c c u r a c yt h r o u g he v a l u a t i o na n da n a l y s i so fs i n g l ee r r o ra n dt h et o t a le r r o rs p a c e t h i sp a p e ra n a l y z e st h es t r e n g t h sa n dw e a k n e s s e so fm u l t i n o m i a li n t e r p o l a t i o n f o rj o i n ts p a c ei nt r a j e c t o r yp l a n n i n g e v e n t u a l l yi ta d o p t sc o s i n ef u n c t i o nf o rd i s c r e t e i n t e r p o l a t i o ni nt h ei n e r t i a ls p a c et r a j e c t o r yp l a n n i n g t h et r a j e c t o r i e ss t a n df o rt h e v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o no f j o i n ts p a c e a f t e ri n t e r p o l a t i o na r es m o o t h t h ek i n e m a t i c sm o d e la n dd y n a m i c sm o d e la r eb u i l tf o rs c a r ar o b o tu s i n g s c r e wt h e o r y t h i sm e t h o dc o m b i n e st h ef e a t u r e so fl a g r a n g em e t h o d ，n e w t o n - e u l e r m e t h o da n ds c r e wt h e o r y , a n di se a s yt os o l v e t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr o b o td e s i g n ， c o n t r o la n dt h ed y n a m i c si sd i s c u s s e db r i e f l y k e yw o r d ：r o b o t ；s c r e w ；l i eg r o u p sa n dl i ea l g e b r a ；k i n e m a t i c s ；d y n a m i c s i i i 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝江盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿盘堂有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝垄盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日 签字日期：力f 9 年岁月拶日 1 1 浙江大学硕士学位论文 致谢 本论文是在赵亮副教授的指导下完成的，赵老师治学态度严谨、思想敏锐。 攻读硕士学位期间，赵老师在学 - j 上悉心地指导，在此表示由衷的感谢! 感谢在浙江大学近三年求学期间，一起学 - - j ，生活的同学们，感谢你们给我 带来的学 - - j 上的帮助，生活上的关心。 最后我要感谢我的父母和家人，感谢你们一直以来在精神上的鼓舞和经济上 的支持，没有你们就没有我的今天，感激之情无以言表。 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 1 1 1 论文研究的意义 自1 9 6 1 年美国通用汽车公司研制出第一台工业机器人u n i m a t e ，工业机器 人已诞生了近半个世纪。在6 0 年代，随着各种工业机器人在生产中的应用，出 现了由加工中心和工业机器人组成的柔性制造单元。在机器人技术上取得了许 多进展，也开发了多种类型的机器人，出现了专门从事机器人制造的产业部门， 但是，机器人在工业上的推广和应用进展缓慢。从2 0 世纪7 0 年代开始，注重 对机器人外部传感器和控制方法的研究。1 9 7 3 年，斯坦福大学的博尔斯大林 保罗设计了具备视觉和力反馈系统的“斯坦福”机械手，并采用p d p 一1 9 计算 机进行控制，其在水泵装配线上的应用取得了成功。1 9 7 8 年，u n i m a ti o n 公司 开发出用于装配的可编程p u m a 多关节机器人，p u m a 机器人由伺服电机驱动， 并采用分级控制，其中部分产品配备了视觉和力感知系统。在8 0 和9 0 年代， 由于应用了人工智能、模糊控制，神经网络等先进控制方法，使机器人具有了 初步自主判断和自主决策等能力。另外，随着机器人的相关技术的不断发展， 如新型传感器、新材料和新的通信方法等技术的应用，机器人应用领域也不断 扩展。例如，深海探测机器人能在无缆操作的情况下，下潜数千米作业； 1 9 9 7 年登上火星的太空机器人，能忍受极端恶劣的太空环境，克服地面控制命令严 重滞后的困难，在火星表面从事科学考察活动。 日本的机器人研制比美国晚了近十年，最初主要通过从美国购买成熟的机 器人产品和技术，并在此基础上才开始较大规模的研究工作。1 9 6 8 年，日本的 d i d a 工程公司展示了被称为“自动手”的一只机械手。同年，日本川崎重工公 司从美国u n i m a t i o n 公司购买了机器人专利，才真正开始了日本的机器人生产。 在1 9 7 1 年，日本成立了工业机器人协会，体现了日本产业界和政府对机器人的 高度重视。1 9 7 9 年，日本山梨大学的牧野洋教授研制成功水平关节型s c a r a ( s e l e c ti v ec o m p li a n c ea ss e m b l yr o b o ta r m ) 机器人，如图1 1 所示，s c a r a 浙江大碗学位论文第一章绪论 机器人特别适合垂直方向的装配作业现在，在日本已经形成了一个相当大的 机器人产业，川i 崎重工、三菱重工、丰田汽车、索尼和y a m a h a 等企业都在生产 机器人q 图11s c a r a 机器人 据中机系信息技术研究院和中国机电数据网资料显示，工业机器人制造行 业的主营业务收入和利润总额都在不断增长，如表11 所示，20 0 7 年销售收入 达到4 12 亿元，比2 0 0 3 年增长了45 9 倍：2 0 0 7 年产值是2 0 0 3 年的3 9 4 倍； 利润额也由2 0 0 3 年的08 6 亿元增长到2 0 0 7 年的218 亿元，增加了252 倍”。 表112 0 0 3 年一2 0 0 7 年工业机器人的发展状况 午份 m # 2 5 0 4 复 2 ( 0 5 乜 2 0 0 6 虹 2 c 0 7 年 斑产y 万元 l 。5 1 0 3 1 8 嚣9 2 知7 3 2 7 8 5 7 1 3 m 4 产幢万元辅瘩产位，万元利， 万元 1 0 7 5 0 1 9 0 8 5 l8 出6 l9 3 1 8 21 7 6 6 8 9 12 9 5 l 2 9 4 6 艚 2 8 5 5 6 4 2 1 0 7 l 3 6 “2 0 龇曲 2 1 璐l 4 2 3 9 6 34 0 7 9 7 52 1 8 9 3 收 ，万元从韭人技人 8 9 6 4 41 0 5 2 0 4 6 1 0 4 9 2 8 1 4 6 92 9 5 1 3 5 3 1 3 2 鹞 4 12 2 9 13 7 2 8 11 2 国内机器人研究存在问题 我国机器人的发展，是从“七五”期间的科研攻关以及“8 63 计划”的实 施开始的，经过近二十年的研究和宴际生产应用，已经缩小了和国外的差距。 目前国内机器人已应用在喷涂、弧焊，点焊、搬运和装配等实际生产中。也基 本掌握了水下机器人，爬壁机器人，管道机器人，排爆机器人和无人飞行器等 特种机器人的设计制造技术；解决了控制、驱动系统的设计，配置软件的设计 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 以及编制等关键技术；同时掌握了自动化喷漆、自动化弧焊及其与周边配套设 备的全线自动通信、调控技术；在工业机器人中运用广泛的谐波减速器、机器 人焊接电源、焊缝自动跟踪装置等的研究上也有了突破；在研究和实际应用中， 也锻炼了一大批机器人领域的专业技术人才。 虽然现有的机器人技术基础为今后的发展奠定了坚实的基础，但是不可否 认的是，国内工业机器人在企业的应用率仍然很低，生产和应用工业机器人的 大都是外企或者外资企业。国外成熟的机器人技术的引进，给国内机器人的自 主研发和产业化造成了极大的压力。目前国内从事机器人研发和应用工程的单 位有2 0 0 多家，工业机器人拥有量为3 5 0 0 台左右，其中国产的仅占2 0 ，其 余都是从日本、美国、瑞典等国家引进的。2 0 0 0 年所生产的各种类型工业机器 人和系统3 0 0 台套，机器人销售额约6 7 亿元。对国内工业机器人用户行业的 统计分析表明：机械制造和汽车工业有4 6 7 家，占用户的6 5 ，电子电器和邮 电通讯行业9 2 家，占用户的13 。 据国际统计局的统计数据，从2 0 0 3 年到2 0 0 7 年的五年间，工业机器人制 造业的市场规模在持续不断地扩大( 如图1 2 ) ，但增长速度自0 4 年的1 2 8 2 5 到0 7 年的1 6 7 6 ，增速明显放缓【3 1 。 篁位：万元 1 “硼5 0 2 & 2 5 3 5 3 0 9 9 9 ；= 个邕。瞩j 。卜曩二：=圈罾潲星t 卜 2 0 0 3 年0 4 零2 0 0 5 犀2 0 0 e a l e2 0 0 珲 图1 2 工业机器人制造行业2 0 0 3 - 2 0 0 7 年生产规模及增长趋势分析 据专家对国内工业机器人用户企业进行的统计分析显示：弧焊、点焊、装 配、喷涂机器人应用最多；其次是搬运和生产中的上下料；再就是包装、码垛， 拆垛和密封涂胶，其他种类的机器人用量很少。汽车行业的应用主要是焊接、 喷涂、涂胶作业，冲压、搬运，装配次之；而电子电器行业主要用于装配，其 次是搬运和喷涂；工程机械行业则主要用于弧焊，喷涂装等。机器人主要用于 石化，烟草和轻工行业的包装、码垛。 近年来，国民经济快速增长，物流、电子、车辆、工程机械等行业为了提 高产品质量和生产效率，逐步加大了工业机器人的使用量。半导体、液晶等对 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 生产环境有特殊要求的企业的快速发展也使特种工业机器人得到更多的应用。 为了适应市场的需求，越来越多的生产企业准备引入自动化生产线，而极具柔 性的机器人自动化生产线开始进入众多项目负责人的视线，给国内机器人的发 展提供了良好的机遇。 从之上的数据可以发现，机器人的市场需求是在持续不断地增长的，但是 数量也许并不是取胜的关键，作为自动化领域的重要应用，工业机器人需要具 备完成高质量，高速度，高精度的任务，尤其对于我们国家来说，劳动力丰富， 不需要机器人去完成简单的工作。因此，提高工业机器人的工作性能十分必要， 本文将运用旋量的机器人运动学和动力学的方法，分析它的精度。 国内从事机器人研究和开发的院所主要有：中国科学院沈阳自动化研究所， 哈尔滨工业大学机器人研究所，北京航空航天大学机器人研究所，另外华中科 技大学，清华大学，浙江大学和上海交通大学的机械专业都有机器人的相关研 究。相关研究获得了大批科研成果，某些方面在国内外形成了技术领先优势。 自主研发成功了多关节焊接和通用机器人，在工业机器人方面实现了产业化。 但是和国际先进水平仍有差距，机器人整体系统性能上仍然不够优越。关节驱 动电机，减速器等关键部件仍然不能自主生产，或者性能达不到先进水平。机 器人周边配套系统的研发仍然不够完善，导致整体性能低下。配套的控制软件， 总线技术等都需要更多的投入。国内的研究也更多地转向高速，高精度，高可靠 性，高平稳性，重载，降噪和节能机器人的研究和开发，以及提高机器人运行 精度和性能的研究。随着国内机器人产业化的扩大，将带动国内机器人的研究 更加趋向于提高机器人实际应用性能的方面。移动多关节通用智能型工业机器 人越来越受到重视，应用也越来越广泛，但是国内在这方面的整体研究还不多。 在连杆机构方面，我国平面及空间连杆机构的结构理论研究已跃居世界前 列，对平面连杆机构运动链还有结构类型自动生成软件，达到世界水平的研究 成果有：机构运动分析新方法( 单开链法、区间分析法、网络分析法和吴文俊 消元法等) ，串联机器人机构运动学逆解和工作空间分析，连杆机构运动误差和 机器人精度研究，含间隙连杆机构的运动副元素分离判据，连杆机构的振动力、 振动力矩完全平衡和弹性动力平衡，空间并联多环连杆机构的运动分析以及连 杆机构综合的某些研究等。我国几乎与国外同时发表了一般6 6 型平台并联机 4 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 器人机构输入输出位移方程为2 0 次形式的结论，机构装配构型与尺度综合的同 伦方法，机构尺度类型及其性能关系的图谱法等【4 1 。 机构学是分析机器人运动和结构的理论基础，国际上领先的机构学理论被 引进，国内的专家和学者对机构学理论在国内的发展做了很多工作。近年来， 国内外机构型研究主要集中在多自由度多支链并联机器人构型问题上。并联机 构属于空间多环多自由度机构。并联机构的构型综合是一个极具挑战性的难题。 到目前为止，国内外主要有四种并联机构的型综合研究方法，即基于螺旋理论 的给定末端运动约束的型综合法、基于李代数的型综合法、基于给定末端运动 的型综合法和列举型综合法。黄真等基于运动螺旋、约束螺旋、反螺旋和螺旋 系线性相关性等概念，提出用约束力一一反螺旋理论研究并联机构的构型综合 方法，该方法通过在某一个特定位置使所有支链的约束力形成的子空间叠加之 后等于理想运动在该点切空间的补空间，从而使移动平台在该点附近能实现给 定运动【5 1 。 为了提高工业机器人实时运动控制的效率，也有很多关于提高计算效率的 轨迹规划算法被提了出来。另外关于计算精度，轨迹精度，机构间隙以及误差 标定和补偿等问题，都有很多研究。例如：刘松国等提出了一种基于符号运算 和矩阵分解的高精度逆运动学算法，可以最大程度地减小数值计算累计误差的 影响，提高6 r 机器人的逆运动学求解的稳定性和精度，得到具有任意期望精度 的最多1 6 组实数逆运动学解【q ；机器人轨迹精度测试方法的研究分析了杆 件参数与测试空间的关系，为优化系统杆件参数提供了依据，根据测试系统的 结构特点，建立了绝对的机械随动式测量方法的数学模型，完善了其测量原理。 针对系统软硬件设计过程中遇到的实际问题提出了具体的解决方法，该测试系 统完全满足设计要求，并且具有采样频率高、稳定性好、操作简单、运行可靠 等特点，可以作为一种机器人轨迹通用测量系统 7 1 ；机器人关节间隙误差分析 假设关节间隙随机性为某种分布，根据概率论建立了机器人末端点概率密度函 数，从而得到机器人末端的误差分布函数，分析了机器人关节间隙对机器人末 端位置重复精度的影响，还研究了关节间隙对空间机器人末端位置重复精度的 不确定性影响情况，得到了关节间隙误差与机器人末端位置重复精度的约束关 系，为机器人机构设计和机器人精度分析提供了理论依据【引。 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 发展自主知识产权的工业机器人系统势在必行，国内市场急需符合本土生 产条件，高效，稳定、易用的工业机器人。但是，综合了多学科高新技术的工 业机器人产品，其客户数量群体仅限于有实力的大中型企业，使得国内机器人 的发展，无论是研发，还是应用产业化都严重受阻，甚而还有国内机器人到底 还要不要发展的看法。国内生产的工业机器人在价格、技术支持、售后服务、 工程设计和配套实施等方面都占据较大优势。国内有关企业和部门应该抓住机 遇，努力发展适合国情的工业机器人产品和系统，不能让出中国极具潜力的机 器人市场。抓紧时间发展自主的机器人及其自动化成套装备产业已成为当务之 急。 再次，国内工业机器人的研究水平还处在跟踪国外先进理论和技术的阶段， 缺少独立自主的开发和创新。随着国内制造业的发展，所需要工业机器人自动 化系统要求具有运行高速、稳定，重载，高精度，易于维护，系统适应性强， 以及一定程度的智能化等性能。然而，由于高精度谐波减速器和伺服电机的自 主生产水平不高，致使我们现在所生产的工业机器人，仍然不能满足高速重载， 高精度等要求，由于缺乏成熟的标准控制系统平台，使得运行不稳定，配套的 传感器技术的发展滞后，导致智能化水平很低。总之，工业机器人技术的研究 缺乏创新，而驱动系统，核心配件和控制系统的研发滞后等，也限制了国内工 业机器人的产业化发展。 其次，在提高运行速度，运行精度，控制算法等的研究多数仅限于理论。 制造一台工业机器人需要数十万元人民币左右的成本，国内的研发机构具备自 主开发和制造工业机器人的很少，仍然需要在工业机器人的研发中投入更多支 持。新松机器人自动化股份有限公司作为以国内大学和研发机构为依托的企业， 开发了具有自主知识产权的几十种新型工业机器人产品，打破了国外的技术封 锁和垄断。对国内机器人产业化的发展有着至关重要的意义。 1 2 工业机器人精度研究现状及趋势 1 2 1 精度研究现状 从机器人机构学的角度分析，有两个问题是需要重视的，一是高速问题， 这与机器人的轻量化，惯性匹配，最短时间控制等有关；二是高精度问题，这 与机构的误差，目标轨迹和实际轨迹的误差等有关 9 1 。 6 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 工业机器人误差的来源是多方面的，具体的影响因素有：机器人机械组件 的制造误差和装配误差，关节结构形式，关节运动传递中的机构误差，传感器 和编码器的分辨率，运动学和动力学正、逆解计算误差，轨迹规划中不同方法 对轨迹精度的影响，误差标定工具自身的误差，还有环境温度、外力等的作用 导致机构产生的变形等等。对这些误差的对比评价和补偿在实际中是十分必要 的。机器人高精度的特点，要求在误差评价中，不宜做太多计算上的简化，以 便于客观准确地对各个误差做出有效的评价。无论是广义几何误差模型【lo 】，还 是统计方法的分析，无非都是寻求一个统一的评价标准。 工业机器人涉及的电机学，电子学，控制理论，计算机科学和机构学都会 带来相应的误差问题。它与传统机械有着很大的差异，不仅要求高速运动中突 然停止时的位置精度高，还要求能够高精度地跟踪时变的速度和空间轨迹，而 且对加速度和力也要求实现高精度的控制。其负载以及各构件对各个关节的转 动惯量，随着机器人位形的变化，也会有4 8 倍的幅度变化。关节联接处的摩 擦，传动间隙，感应器件的分辨率精度等对它的高速，高精度运动都是严重的 制约嗍。 精度影响因素中，各个因素的影响因其所属的系统以及作用方式等原因， 其影响大小及变化规律都各不相同。根据工业机器人工作精度的要求不同，所 需要考虑的影响也就相应地有所区别，一般情况下，主要考虑机械误差、控制 算法与系统分辨率的影响。而根据单次工作和长期工作的区别，通常从绝对误 差与重复定位精度两种形式来讨论工业机器人的误差。重复定位精度指在相同 关节变量下重复动作时，机器人各次动作位置平均值和要求位置的偏差。 现使用最广泛的工业机器人主要是多自由度垂直关节通用机器人，s c a r a 机器人和直角坐标机器人。不同类型的机器人，其误差特点也是不一样的，因 此，需要分别对待。多关节型机器人具有五个以上回转关节，导致整体精度最 差，但是它具备动作范围大，空间速度快，灵活，通用性好等特点；s c a r a ，圆 柱坐标机器人和极坐标机器人，其精度和它们的旋转半径直接相关；直线型机 器人的精度就可以很高，但是占地面积大【1 1 1 。 针对各个方面的误差都有提高精度的研究。有研究通过研究减速齿轮来减 小传动误差的研究，直接驱动技术也诞生已久；越来越紧凑的结构也在减少关 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 节间隙上起到了很好的作用；更高分辨率的编码器和传感器的出现，直接提高 机器人的系统分辨率；快速而可靠的算法研究更是层出不穷，推动着机器人的 控制精度和速度的发展；误差测定仪器已能进行非接触的动态测定，标定方法 和补偿方法也越来越先进。总之，人们为提高机器人的精度做出了巨大的努力。 1 2 2 精度研究趋势 传统的精度体系，只能指导各部分精度设计，例如关节公差配合，接近传 感器的工作距离等。需要一种简单而可靠的方法将这些局部精度指标和所设计 工业机器人的执行器端精度直接联系起来，从整体上设计和控制精度。精度不 仅包含静态精度，即执行器端所到达位置的精度，还包括动态过程中，执行器 端的轨迹和理想轨迹之间的偏差，因此，如何评价实际的执行器端轨迹和理想 的轨迹之间的拟合精度，同样是重要的。 从设计和应用两个方面提高机器人的精度，应该是今后的主要研究方向。 从设计的角度来说，一种有效的误差评价方法的支持是必须的，本文提出了误 差旋量的方法，将各种误差进行旋量整合，并和基于旋量的机器人运动学和动 力学体系相结合起来，就动量、惯性等方面综合地研究动态精度提供了很好的 条件。再者，全面完整的掌握误差表现形式和特点，对其配套系统的设计也更 有针对性，利用方向异性等精度特点，可以使整套系统的精度得以提高。 随着智能机器人的发展，机器人已经能够具备一定的学习能力。也许，像 一个孩子从蹒跚学步到快速奔跑的过程一样，机器人也可以在精度上实现这样 的进步，在完成大量的动作之后，能够借助于所安装的感知系统，感知机器人 自身的动作误差，并自行矫正。因此，精度系统也应该纳入机器人智能系统里 面。 1 3 论文研究内容 ( 1 ) 本文将以基于李群李代数和旋量的s c a r a 工业机器人的运动学和动力 学展开。在运动学正向和逆向求解的基础上，研究误差旋量和运动学相结合的 精度评价方法。 ( 2 ) 建立s c a r a 机器人的雅可比矩阵，并求解奇异点。 ( 3 ) 以基于旋量的运动学求解为基础，还将就s c a r a 机器人的关节空间的 轨迹规划和插值方法进行相应的求解和探讨。并分析规划之后的关节速度和加 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 速度。 ( 4 ) 基于旋量的s c a r a 动力学建模和分析。 李群和李代数中的指数映射可以应用到空间运动的刚体运动中，同样可以 应用到机器人的空间计算当中。由两个三维矢量组成的旋量可以同时表示矢量 的方向和位置一对矢量，刚体运动中的速度和角速度一对矢量，以及刚体力学 中的力和力矩这样的一对矢量。旋量在机构学、机器人学、多体动力学、机械 设计计算几何等领域都有广泛的应用，机器人的旋量在机器人的运动学和动力 学求解过程中，体现出建模( 尤其是对于有很多关节的机器人的建模) 方便简 单的特点。旋量理论还易于和矩阵，矢量等方法相互转换，而力旋量和运动旋 量的概念，以及微小运动旋量的概念等，都体现出旋量理论极好的适用性和关 联性。盯1 9 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 2 1 引言 传统的d - h 参数法进行机器人运动学求解时，需要在每个关节上建立坐标 系，并且坐标系的姿态根据各关节的运动方式不同而有所区别，使得建立坐标系 的过程较为复杂。p o e 矩阵指数法则不同，是根据各关节轴线的位姿来描述执行 器端的位置和姿态的，因此，在每个关节处只需要找出关节运动副的旋转轴线或 者运动方向轴线，求解过程更加简洁。如图2 1 所示，是s c a r a 机器人的指数积 公式求解时，所建立的坐标系，只包含两个坐标系，其中俗) 为惯性坐标系，妒) 为工具坐标系。途中q ，红，皑分别是各关节的轴线，为关节旋转轴，方向沿 惯性坐标系z 轴正向；第四关节为移动关节，沿皑轴线移动，因此，皑同时也 作为第四关节轴线。 螅 图2 1 下面将简要地以旋量和李代数引入，并建立s c a r a 机器人的正，逆运动学模 型，进行求解。 2 2 旋量与刚体运动 2 2 1 线矢量的定义与p l f i c k e r 坐标 l o 浙江大学硕士学位论文 第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 已知空间有两点p 1 ( x l ，y 。，z 。) ，只( x ：，y ：，z ：) ，如图2 2 所示。按ej 的方 向联接这两点，就决定了空间直线的位置和方向，以矢量亏表示这条直线，则以 其x ，y ，z 轴的三个分量表示【1 2 1 ： 蜃= ( x 2 一x 1 ) f - i - ( y 2 一y 1 ) + ( z 2 一z 1 ) 七 r 是直线上任意点，矢量丘，豆，尹分别是对应点的位置矢量，尹也决定了 直线的位置，如图2 2 所示。 直线的矢量方程1 2 1 ： 尹雪= s o ( 2 1 ) 墨= 丘雪，赢称为矢量对原点的线矩。 图2 2 如果空间一个矢量被约束在一条方向和位置都固定的直线上，仅允许矢量沿 直线方向移动，则这个被直线约束的矢量称为线矢量。 矢量雪和其线矩民决定了这个线矢量的位置和方向。因为以纯量力构成的 恧和佤代入式( 2 1 ) ，仍然表示同一条直线，所以，雪和其线矩民是齐次坐 标。这种满足正交条件的齐次坐标( j ；瓦) 表示了直线在空间的位置和方向，称 之为直线的p l u c k e r 坐标【1 2 】。 2 2 2 旋量和螺旋运动 如上节所提到的对偶量( 雪；民) 的形式，是数学上的旋量，或者称为螺旋。 i 民= 0 时，该旋量所表示的是一个节距为零的旋量，也就是上一节所提到的线 矢量。 $ = ( s ；s o ) = ( s ；r x s ) = ( ， 无；p ，q ，r )( 2 2 ) 1 1 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 j 称作旋量的原部，民称作旋量的对偶部。虽然磊与原点的位置相关，但 是，s0 夏确与原点的位置不相关。i s o o 是旋量的一般形式。不变量【1 3 】： 办= 兽ss ( 2 3 ) 、， 定义为该一般旋量的节距。 c h a s l e s 定理：任意刚体运动都可以通过螺旋运动，即绕某轴转动和沿该轴 移动的复合运动来实现。也就是刚体运动和螺旋运动是等价的，螺旋运动可以表 示刚体运动，刚体运动就是螺旋运动。将螺旋运动的无限小量称为运动旋量。 若s er 3 表示螺旋运动轴线方向的单位矢量，r 为旋转轴上的任一点。刚体 上的任意一点p 旋转角度秒之后的坐标可表示为1 4 】： 乓= r + e 贷( 尸一，) 旋转后再沿旋转轴方向移动距离d 的坐标可表示为： p 7 = ，+ p 贷( 尸一，) + 凼 p 图2 3 上式中d = h 8 ，h 为螺旋运动的节距。为计算该运动，分析点p 由起点坐标 变换到p 的螺旋运动，如图2 3 。p 的坐标为：p 厅户r + e 日s ( 尸一r ) + h s s ，s 0 以齐次坐标表示【1 4 】1 2 9 1 3 9 1 ： g ( f ) = ( 髻j p 番1 ) r + 厅夙 ( 彳) 上式对空间任意点都成立，所以： 一 r ，足 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 g = ( e o ( j p 蕾，) r + h o s s 。 c 2 4 ， 2 3 李群与串联机构运动 2 3 1 李群李代数 群是指可对其自身的元素g 进行二元运算( 例如乘积运算或者加法运算，用 算子。表示) 的集合g 。群的基本特征【1 4 】【3 6 1 3 7 】【3 8 1 ： 1 具有封闭性：g 中的任意两个元素乘积运算的结果仍为g 的元素， v g l ，9 2 g ，3 9 ( ：= g 1 9 2 ) g 。写成集合的形式：m u l t ：g x g - hg ； 2 满足结合律：对于元素g - ，9 2 ，9 3g ，则有( g 。9 2 ) 。g s = g 。( 9 2 。9 3 ) ； 3 存在唯一的单位元素e ，满足go p 2 p 0 9 2 9 ； 4 具有可逆性：即存在唯一的元素g 一，满足g 。g = g 。g = p 。集合表示 形式：i n v ：g g 。 按照l i e 的定义，李群除了满足一般群所具有的4 个基本特征之外，还需要 满足一些特殊条件： 5 元素g 合g 必定构成一个可微分的流形( 简称微分流形) 。而微分流形本 质上是一个可积的空间，因此说李群同时具有可积可微性。 6 群的乘积运算：m u l t ：g x gjg 使 导m u l t ( g lx 9 2 ) 5 9 l 。9 2 ，一定是一个 可微分的映射。 7 元素g 到其逆g 一的映射觑1 ，：gjg 使得砌1 ，( g ) = g ，也一定是一个可 微分的映射。 刚体的所有位置和姿态组成的集合被称为形位空i - i ，它和特殊欧氏群s e ( 3 ) 中的元素一一对应1 4 1 。 姬c 3 ，= ：p ：。 i p 9 t 3 ，尺s 。c 3 ， l i e 子群：l i e 群g 的任意代数子群h ，如果它的微分结构又构成g 的一个 正则子流形，则h 被称为g 的l i e 子群。 s o ( 3 ) 与吼3 的对应关系【9 1 ： 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 入：吼3h s 。c 3 ，：国h 面= 二爱_ ： c 2 5 ， 对于任意彳t g ，设洲：r g 表示左不变向量场x a 的积分曲线，它在 t = o 时经过e ，即满足【1 2 1 ： 其中a 表示一个李代数的元素，t 为参数，鲥( ，) 是g 的单参数子群。将由 p = 训( 1 ) 定义的指数映射g g 称为从李代数疋g 到g 上的指数映射 指数映射可以表示为1 刁： 如删) = 薹鲁 ( 2 6 ) 由上式以及面3 = 一面可以得到指数映射关系1 2 1 p 鼬= m 棚) = 妻n 掣- - 0 l i h = 厶+ ( 秒一等+ 等) 面+ ( 百0 2 一百0 4 + 百0 6 ) 面2 上式成立条件包括0 叫l = l 。 i 扫i f - t r ( 1 3 ) = 3 ，护( 动= 0 和护( 面2 ) = - 2 。把r 和李代数的元素面进行对比， 可以得到【1 4 】： r - e 筋= 厶+ d ，s i n 0 + d 9 2 ( 1 一c o s o ) ( 2 8 ) 护( 尺) = t r ( 1 3 ) + 1 7 ( ( _ 7 ) ) s i n o + t r ( 5 7 2 ) ( 1 - c o s o ) = l + 2 c o s o( 2 9 ) 1 4 浙江大学硕上学位论文 第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 田式【2 8j 和【2 9j 口j 我出s o ( 3 ) 对应的孕代效兀索t l , q ： 当面= 0 时， = 中= 争- - - o 盟n ! 瑚睁( 乞 当面o 时，根据式2 6 以及善4 = 一孝2 可以得到： 如唧= 薹譬 = ，4 + 孵+ 善2 ( 1 一c o s e ) + 3 ( 秒一s i n o ) = 0 卜) ( 删1 仁 l 、 x 图2 4 对比式( 2 4 ) 和( 2 1 1 ) ，发现其表达形式相同，当o j = s ，1 ，= r x o j - t - h c o 时， 两式就可以相互转化了。在对基于旋量的指数积方法理解时，可以看作其旋转矩 阵就是一个一阶线性微分方程的解。如图2 4 所示，仞是表示旋转轴线方向的单 位矢量，目表示旋转臂绕旋转轴倒所转过的角度。臂上一固定点由p ( o ) 到p ( t ) ， 将对应的旋转矩阵r 以函数的形式表达，当转臂以匀速角速度转过秒角时： 乡( f ) = c o x p ( t ) = 印( f ) 其解为p ( f ) - - e 矗p ( o ) ，矿即为矩阵指数，其泰勒展开【1 2 】b s 【1 6 】： 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 p 由：l + 务+ 熊+ 盟+ ( 2 1 2 ) 式( 2 13 ) 1 5 1 当矿= b 哆伤，时，面= 立： c 2 3 ， 拟乎= ( ， 式中的v = 厂仞，旋转的微分方程可以表示为： p 一 当关节为直线移动关节时，如图2 5 所示，p ( t ) = 1 ， 到p ( r ) = p 由p ( 。) ，此时善= ( 三习，将此四维矩阵通 求解此微分方程则同样得 过算子定义为6 x l 的矩阵 并将此矩阵称为运动旋量，也是运动旋量的p 1t ic k e r 坐标形式。 ( t ) p ( 0 ) 图2 5 运动旋量的概念是贯穿旋量理论整个应用过程中的，以上已简要介绍了旋量 理论和李群李代数的理论内容以及和刚体运动相结合的应用，其中的基本公式推 导和概念主要是参考文献【13 1 和【1 4 】。 2 4 正运动学的指数积( p o e ) 求解 1 6 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 指数积公式的正向运动学形式【1 刀： g s r ( 9 ) = p 瞄p 喘p 粥e 一l g 盯( o ) ( 2 1 4 ) 初始位形为转臂沿惯性坐标系的y 轴方向，初始位形下工具坐标系相对于惯性坐 标系的位姿矩阵以g s t ( 0 ) 的齐次坐标矩阵表示。另一种坐标系建立方法是将 惯性坐标和工具坐标重合，都固定在图2 1 中的工具坐标系处，这种坐标系的建 立方法相比之下更为简单，并且对机器人初始位形的定义可以更加灵活，此时式 ( 2 1 4 ) 等号右边的g s t ( 0 ) 项也只是一个单位矩阵【1 4 1 。 下面的计算中还是采用图2 1 中所示的坐标建立方法，初始位形： g s r ( o ) = loo0 01 0 + 1 2 0 01 乇 o oo1 q = 争 ，赐= ； ，伤= ； ，心= 莩 巧= 量 ，吃= 三 ，巧= 兰乞 舌= ( 廿 卢一f ，鸱、1 一 吗2 一l 吃她厂 卢一f ，锡、1 一 3 一l 巧鸭j _ o o 1 l l + 1 2 o o f ，0 、 ，白= ii = l k 缈= 0 时 ( 2 1 5 ) 国o 时 黝+一、l p ， j o 曲 n 幽 砌 o e ，。_ rj、【 浙江大学硕士学位论文第二章s c a r a 机器人基于旋量的运动学 因为 ，锡，鸭不为零，按照上式第二项进行计算；纰为零，因此代入移动轴 的方向v 由此计算p 酩，此时只运动i 关节，其它关节固定不动， g s r ( 9 ) = p 孵g s r ( o ) 表达此时工具端，也即执行器端在惯性坐标空间的位置变化 又因为各个关节的位置影响是可以叠加的，因此，四个关节叠加之后的s c a r a 机 器人运动学正解： g s r ( 秒) = p b 翕p 喘p 鸱p 喘g 盯( 0 ) 式中的各项通过代入关节轴线的方向矢量，位置矢量和单位运动旋量求解如 下： p 瞄： e 呸： p 岛翕： e 吼六： c o s o l s i n o l o o c o s 见 s i n 岛 o o c o s 岛 s i n 岛 o o 1o 01 0 o 0o - s i n 0 1 c o s s l 0 o s i n 岛 c o s 见 0 0 一s i n 岛 c o s 岛 0 o 00 00 1 见 o1 泪 0i i ( c