（应用数学专业论文）有限域生成元的若干性质研究.pdf

t 川= 1 名 i n a n j i n gu n i v e r s i t yo f a e r o n a u t i c sa n da s t r o n a u t i c s t h eg r a d u a t es c h o o l c o l l e g eo f s c i e n c e r e s e a r c ho ns o m e p r o p e r t i e so fg e n e r a t o r s f i n i t if i e l d s i ni t ei e ls a t h e s i si n m a t h e m a t i c s b y d o n gk e j i n g a d v i s e db y p r o f c a ox i w a n g s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n t o ft h er e q u i r e m e n t s f o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e f e b r u a r y , 2 0 1 0 7川0852 删8ii洲y 承诺书 本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导7 i 币j s l 导下进 行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。 本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：瑶函叠作者签名：侈d 奢至 日 期：业f 里：丕：塑 南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 有限域是计算机密码学、数字通讯领域的重要数学工具之一，随着计算机技术的迅猛发展， 为有限域的运算提供了很大便利，从而大大推动了人们对有限域性质及构造的研究。有限域可 以看作其基域上的线性空间，故对有限域的性质研究可以转换为研究有限域上各种形式的基， 其中具有运算速率快等特点的正规基引起人们极大兴趣。对有限域构造的研究就必然要找出其 乘法生成元( 即本原元) ，故对有限域上本原元及对应的本原多项式、正规基及对应的正规元进 行研究具有重要的理论和应用意义。本文主要运用指数和估计的方法研究了有限域上几类生成 元的性质，主要研究内容和结果如下： 首先，介绍了有限域的各类生成元的研究现状及主要应用，并对研究有限域生成元所需的 相关理论基础进行了归纳。 其次，运用g a u s s 和与k i o o s t e r m a n 和对有限域g f ( q ”) 中存在元素孝为幂剩余正规元素， 古与同时为幂剩余正规元素以及对任意指定善与f 迹的互反幂剩余正规元素三种情形下， 幂剩余正规元的个数进行估计，对其存在性进行了研究，给出了存在的充分条件。 最后，研究了有限域g f ( q ”) 中形如口+ z 的本原元的性质。本文将w e i l 和进行了推广， 运用了j a c o b i 和与g a u s s 和等指数和工具，给出了满足形如口+ x 的元素为本原元，其中x 为 有限域g f ( q ”) 中任意非零元素，这样的本原元素口的个数表达式，并对其存在性进行了研究。 本文结果丰富了前人对有限域中正规元素、本原元素等生成元的研究成果，推进了人们对有限 域性质及构造理论的进一步研究。 关键词：有限域，本原元，正规元，幂剩余，指数和 有限域生成元的若干性质研究 a b s t r a c t f i n i t ef i e l d sa l e a m o n gt h em o s ti m p o r t a n tt o o l s i nc o m p u t e rc r y p t o g r a p h ya n df i g u r e c o m m u n i c a t i o n w i t ht h es w i f ta n dv i o l e n td e v e l o p m e n to ft h et e c h n o l o g yo ft h ec o m p u t e r , o p e r a t i o n i nf i n i t ef i e l d si sg e t t i n ge a s i e ra n de a s i e r r e s e a r c ho np r o p e r t i e sa n dc o n s t r u c t i o no ff i n i t ef i e l d si s p r o m o t e de n o r m o u s l y f i n i t ef i e l d sc a l lb er e g a r d 淞l i n e a rs p a c ei ni t sb a s ef i e l d s s or e s e a r c h i n go n p r o p e r t i e so ff i n i t ef i e l d sc a nb ec o n v e r s e dt os t u d ya l lk i n d so fb a s e si nf i n i t ef i e l d s t h en o r m a l b a s e sw i t ht h er a p i d l yc a l c u l a t i n gc h a r a c t e ra r o n s em a n yp e o p l e si n t e r e s t s r e s e a r c ho nc o n s h u c t i n g t h ef i n i t ef i e l d si so fn e c e s s i t yt ol o o kf o rt h em u l t i p l eg e n e r a t o r s ，i e ，p r i m i t i v ee l e m e n t so ff i n i t e f i e l d s t h e r e f o r e ，i ti sn a t u r a lo ft h e o r e t i c a la n da p p l i c a t i o ni m p o r t a n tt os t u d yt h ep r i m i t i v ee l e m e m a n di t sa s s o c i a t e dp r i m i t i v ep o l y n o m i a l ，t h en o r m a lb a s ea n di t sa s s o c i a t e dn o r m a le l e m e n t s i nt h i s p a p e r , w es e t t l et h ep r o p e r t i e so fs o m eg e n e r a t o r so ff i n i t ef i e l d sw i t hc h a r a c t e rs u m s t h em a i n r e s u l t sa r e 觞f o l l o w s ： w es h a l li n s tg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o na b o u tt h er e s e a r c hh i s t o r ya n dp r i m a r ya p p l i c a t i o no f s o m eg e n e r a t o r so v e rf m i t ef i e l d sa n dp r e s e n ts o m em a i nr e s u l t sw h i c hh a v eb e e no b t a i n e db yf o r m e r s c h o l a r s n e x t ，t h i sp a p e re s t i m a t e st h en u m b e ro fc e r t a i ng e n e r a t o r si nt h ef o l l o w i n gt h r e ec a s e sb y m a k i n gu s eo fg a u s ss u m sa n dk l o o s t e r m a ns u m s ：( i ) 善i sap o w e rr e s i d u a ln o r m a le l e m e n ti n g f ( q ”) ；( i i ) b o t h 善a n d 善qa l ep o w e rr e s i d u a ln o r m a le l e m e n t s ；( i i i ) b o t h 告a n d 毒“a r e p o w e rr e s i d u a ln o r m a le l e m e n t sw h i c hs a t i s f i e st h et r a c eo f 善a n d i sg i v e n w ep r o v i d es o m e s u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee 虹s t e n c eo ft h ee l e m e n t si nt h ea b o v et h r e ec a s e s f i n a l l y , w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fp r i m i t i v ee l e m e n t s 、以t l lt h ef o r ma + 工w e i l s u l t ii s e x t e n d e di nt h i sp a p e r w er e s o l v et h eq u e s t i o no fw h e t h e rt h e r ee x i s t sap r i m i t i v ee l e m e n t 口o f g f ( q ”) s u c ht h a t 口+ x i sa l s oa p r i m i t i v ee l e m e mf o r ac e r t a i nn o n z e r oe l e m e n t 工i ng f ( q ”) w ee s t i m a t et h en u m b e ro fs u c he l e m e n t sa n dg i v eap o s i t i v ea n s w e rt ot h i sq u e s t i o nu n d e rs o m e c o n d i t i o n s t h e s er e s u l t sn o to n l ye n r i c ht h ek n o w nr e s e a r c he f f o r t so nn o r m a le l e m e n t sa n dp r i m i t i v e e l e m e n t s ，b u ta l s om a k eab i gp r o g r e s si nt h es t u d yo ft h ep r o p e r t i e sa n dt h ec o n s t r u c t i o n so ff m i t e f i e l 凼 k e yw o r d s ：f i n i t ef i e l d s ，p r i m i t i v ee l e m e n t s ，n o r m a le l e m e n t s ，p o w e rr e s i d u e s ，c h a r a c t e rs u n l s 南京航空航天大学硕士学位论文 目录 第一章绪论。1 1 1j ；i 言1 1 2 有限域生成元的研究现状和意义2 1 3 本文的主要研究工作4 1 4 本文的内容安排5 第二章相关理论一6 2 1 特征的相关概念及性质6 2 2 指数和的相关概念及性质7 第三章有限域上几类正规元的性质研究1 1 3 1 预备知识。1 1 3 2 有限域幂剩余正规元的存在性1 4 3 。2 1 主要结果及其证明1 4 3 3 有限域互反幂剩余正规元的存在性1 6 3 3 1 主要结果及其证明1 7 3 4 有限域指定迹的互反幂剩余正规元的存在性1 9 3 4 1 主要结果及其证明1 9 第四章有限域上一类特殊形式本原元的研究2 3 4 1 弓i 言2 3 4 2 预备知识2 3 4 3 主要定理的证明一2 5 第五章总结与展望2 9 5 1 本文总结2 9 5 2 今后工作展望2 9 参考文献一31 j l | 【谢3 z i 在学期间的研究成果及发表的学术论文。3 5 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 有限域是计算机科学和数字通讯领域中的基本数学工具。近半个世纪以来，有限域理论在 组合数学、编码理论、计算机科学、代数几何学、离散数学和密码学等方面都有着重要应用， 从而引起了许多学科专家、学者的关注，不断有大量创新性的研究成果出现，推动了有限域的 理论研究和技术应用。有限域的起源和历史可以追溯到1 7 ，1 8 世纪，而对有限域一般理论的研 究可以说始于著名大数学家e d ef e r m a t 、l e u l e r 、a m l e g e n d r e 和c eg a u s s 等人对素域的研 究工作，对有限域做出开创性工作的是年轻数学家e g a l o i s ，其中e g a l o i s 在1 8 3 0 年发表了 一篇题为“论数论”【l 】的论文，指出在p 元域的基础上，采用域扩张的方法可以构造出全部可 能的有限域。结果表明：每个有限域的元素个数必为某个素数p 的方幂p 4 1 ) ，且对于每 个素数幂p ”，本质上只有一个p ”元有限域。后人为纪念e g a l o i s ，通常也称有限域为g a l o i s 域。另外研究有限域的早期著作中还有l e d i c k s o n 在1 9 0 1 年出版的线性群及对g a l o i s 域的 解释【2 】，在此书中他把有限域理论系统的论述成现在的形式。这部著作堪称为有限域研究的 一个重要的里程碑，有限域的理论日趋成熟。 计算机技术和信息技术的迅猛发展，迫切需要新的有限域理论作为支撑，同时计算机以及 大规模集成电路的应用也大大方便了有限域的运算，推动了对有限域性质和构造的研究。对有 限域的构造进行研究就必然要找出有限域的乘法生成元( 即本原元) ，故寻找具有特殊性质的本 原元或本原多项式在理论上以及应用上都是很重要的。 有限域上的本原元和本原多项式在密码学、纠错码理论和扩频通信等方面都有着重要应用。 在密码学中，由本原多项式生成的m 序列是各种密钥流序列的基础。利用m 序列，我们可以得 到非线性组合序列、滤波序列以及钟控序列等多种密钥流序列，这些序列都被广泛用于流密码 系统中。另外，有限域上的本原多项式还可以生成伪随机数或者伪随机比特序列，而且伪随机 数和伪随机比特序列广泛应用于各种密码体制中。在纠错码理论方面，本原多项式可用来构造 h a m m i n g 码、扰序列码和b c h 码。在扩频通信中，朋序列可用来构造扩频通信中的p n 码， 也可用来构造具有渐进最优相关性质的g o l d 序列。总之，根据实际应用需求来研究一些具有特 殊性质的本原元或本原多项式引起很多学者的兴趣。 在计算机密码学和编码理论的研究中，在大的有限域里，快速算法的实现尤为重要，而算 法的实现在很大程度上要依赖于对基的性质进行研究，而有限域也可看成是其基域上的线性空 间，因此，在有限域的研究过程中，具有特殊性质的正规元素，在其中一直占有非常重要的地 有限域生成元的若干性质研究 位。 1 2 有限域生成元的研究现状和意义 f = g f ( q ) 是g 个元素的有限域，g 是素数p 的方幂，刀是正整数，e = g f ( q ”) 为f 的n 次有限扩张，则有限域f 与e 的特征均为p 。e = e o ) 关于乘法运算构成一个阶为g “一1 的 循环群，其生成元称为是有限域e 中的本原元【3 】。设毒e ，若存在e 中某个元素口，使得 考= 口d ，则称孝为有限域e 中的d 次幂剩余元吲。将e 看作是，上的线性空间，若孝e ， 满足 孝，孝9 ，善矿- 1 ) 构成e 在f 上的一组基，则称 孝，毒9 ，善矿q ) 为e 在f 上的正规基，同 时也称善为e 在f 上的正规元【5 1 。若孝e ，既为正规元也是幂剩余元素，则 孝，善9 ，善9 “- 1 称为是e 在，上的幂剩余正规基，孝称为e 在f 上的幂剩余正规元【6 】。 e 中本原元对应的极小多项式称为是本原多项式。正规元的极小多项式称为是正规多项 式，幂剩余元素的极小多项式称为是幂剩余多项式。若有限域中存在某元素是幂剩余正规元， 其对应的极小多项式是幂剩余正规多项式。若给定多项式厂( x ) f x 】，则x n f ( 1 x ) 称为是 f ( x ) 的互反多项式川。若孝与考- 1 都是有限域e 8 ：f 上的本原元，则称善为e 在f 上的互反 本原元【引。同样若善与善- 1 都是e 在f 上的幂剩余正规元，我们称孝为e 在f 上的互反幂剩余 正规元。 由于特殊形式的本原元和本原多项式具有许多优良的性质，在密码学，扩频通信等方面都 有着重要应用，从而引起很多学者的关注。此类问题的研究始于1 9 9 2 年，h a n s o n 和m u l l e n 提 出著名的猜想【9 】， h a n s e n m u l l e nc o n j e c t u r e ：在有限域g f ( q ) 中，g f ( q “) 为其，1 次有限扩张，对于多项式 f ( x ) = ，- a l x ”1 + + ( 一1 ) “，任意给定第m 个系数为d ( 0 m 刀) ，只要满足( g ，甩，m ，d ) 不等于( 4 ，3 ，1 ，0 ) ，( 4 ，3 ，2 ，0 ) ，( 2 ，4 ，2 ，1 ) 时，本原多项式必定存在。 通过d j u n g n i c k e l 和s a v a n s t o n e 1 0 1 、h d a v e n n p o r t t l 、0 m o 陀n o 【1 2 1 、s d c o h e n t l 3 】的工 作可以证明当m = l 时，h a n s e n m u l l e nc o n j e c t u r e 是正确的。 接下来，w b h a n f ，1 5 1 证明了当m = 2 时，本原多项式厂( x ) 存在的条件。 后来，s h q f a n 和w b h a n 1 6 】给出了确定任意一个系数时，本原多项式厂( 石) 存在的充分 条件。另外他们还在文【1 刀中证明了当n 7 ，刀是奇数时，h a n s e n - m u l l e n 猜想在特征为2 的有 限域上是正确的。 前面的研究是针对给定多项式的一个系数的特殊情况，1 9 9 3 年，s d c o h e n 在关于本原元 和本原多项式的综述性文章1 8 1 中，讨论了多个系数预先指定的本原多项式的存在性问题，并提 出了一个重要的问题： c o h e n sp r o b l e m ：是否存在一个函数c ) 使得当给定【c ( 咒) 】个系数，1 次本原多项式厂( x ) 2 南京航空航天大学硕士学位论文 一定存在呢? c o h e n 在文献 1 9 2 1 1 ，m i l l s 在文献 2 2 1 ，s h q f a n 和w b h a r t 在文献 2 3 2 8 】中，采用牛 顿等式，有限域上的特征和估计，筛法，以及p - a d i c 等方法，又进一步对本原多项式系数分布 的问题进行了研究，并取得了许多新的进展，为本原正规元以及幂剩余正规元的研究提供了基 础。 本原元的乘法逆元也是本原元。但若指定本原元及其逆元的迹，这时该本原元的逆元则未 必仍为本原元。对此2 0 0 1 年，w s c h o u 和s d c o h e n 在文献 2 9 】中研究了指定迹为0 的互反本 原元的存在性。另外d q w a n 在文献【3 0 】中对具有g f ( q ) + a 形式的本原元的有限域应具备的 条件进行了研究，其中a 满足g f ( q ”) = g f ( g ) ) 。贺龙斌，韩文报在文献【3 1 】对有限域中 口+ 口_ 1 这种形式的本原元是否存在进行了研究，i s h p a r l i n s k i 在文献 3 2 】中指出在特征比较小 的有限域g f ( q ) 中，若口g f ( q ) ，则口与口+ 口叫的阶不能同时都很小。那么本文则结合这 些结论的灵感，研究了有限域中形如口+ 工的本原元素的存在性，其中口为本原元，x 为任意 给定非0 元素。 由于有限域上正规基( 正规元) 的研究有着重大的理论和应用价值，引起国内外学者的广 泛关注和研究，具体见文献【3 3 3 9 】。g f ( q ”) 在舒( g ) 上的有序基的个数为i - i 瑚n - ! ( 9 4 - q ) ， 这个数恰为g f ( q ) 上一般n 阶线性群g l ( n ，g f ( g ) ) 的阶，其中有两类特殊的基非常重要，一类 是多项式基，另一类是正规基。 定义h 1 g f ( q ”) 在g f ( g ) 上的有序基彳= a i ，a ：，a n 被称为一个多项式基，如果对某个 a 属于g f ( q “) ，我们有a i = a 1 ，f = 1 ，2 ，以。 定义聆1 g f ( q ”) 在g f ( g ) 上的有序基彳= a i ，a ：，a n ) 被称为一个正规基，如果对某个口 属于g f ( q 4 ) ，我们有a i = a r ，f = 1 ，2 ，力。 而著名专家、学者们对有限域上正规基的研究远多于对多项式基的研究，原因在于找出合 适的正规基可以大大提高有限域上的运算速率。其中作出主要贡献的是ge i s e n s t e i n s 首次以猜 想的形式提出了正规基存在的问题，1 8 8 8 年，kh e n s e l 在文献 4 0 】中首次完整的证明了有限域 上正规基的存在性，并给出了正规基定理如下， 定理( 正规基定理) 对于任意有限域g f ( q ) 和g f ( q ) 的一个有限扩张g f ( q “) ，存在 g f ( q ”) 在g f ( q ) 上的正规基。 随后p c a m i o n 在文献 4 1 】中将此正规基定理应用到了编码理论的研究。1 9 5 2 年，c a r l i t z 在文献 4 2 ，4 3 】中也对正规基进行了研究。1 9 6 8 年d a v e n p o r t 在文献 4 4 中建立本原正规基定 理，即给出g f ( q ) 相对于任意素域g f ( p ) ( p 为素数) 上本原正规基的存在性证明。 定理( 本原正规基定理) 对任意给定的素数方幂g 和正整数n ，存在有限域g f ( q ”) 在 g f ( q ) 上的本原正规基。 二十年后，l e n s t r a 和s c h o o f 在文献 4 5 】中对该问题进一步研究，证明了g f ( q ) 相对于素域 3 规元素。与本原元素对应的幂剩余元素在许多领域也有着广泛应用，如公钥密码体制r s a 便是 基于幂剩余元建立的，国内学者王巨平针对幂剩余正规基做过一系列研究，在文献【4 】中证明了 次数相对较小的幂剩余正规基的存在性，即当d ( d 一1 ) ( 2 ”一1 ) ，则有 限域g f ( q ”) 中存在d 次幂剩余正规基。该结论与文献 4 间接给出的下界进行比较，本文给出 的下界至少要小2 【一。- 1 j 。 接下来考虑，是否存在有限域g f ( q “) 在g f ( q ) 上的幂剩余正规元素口，满足其乘法逆口1 也是有限域g f ( q 4 ) 在g f ( q ) 上的幂剩余正规元。上述存在性等价于有限域g f ( q “) 上是否存在 n 次幂剩余正规多项式厂( 石) ，满足其互反多项式x f ( 1 x ) 也是幂剩余正规多项式，即是否存在 有限域g f ( q ”) 在g f ( q ) 上的互反幂剩余正规元或幂剩余正规多项式。 进一步，给定元素a ，b g f ( q ”) + ，讨论是否存在有限域g f ( q 。) 在g f ( q ) 上的互反幂剩余 正规元满足t r ( a ) = art r ( a 。1 ) = b 。上述存在性等价于有限域g f ( q “) 上是否存在再次幂剩余 正规多项式f ( x ) ，其互反多项式x “f c l x ) 也是幂剩余正规多项式，而且该幂剩余正规多项式的 x 和x ”1 项的系数可以任意指定。本文运用g a u s s 和与k l o o s t e r m a n 和对满足以上条件的幂剩 余正规元个数进行了估计，对其存在性进行了研究。 最后，本文研究了有限域g f ( q 。) 中形如口+ x 的本原元。具体问题可描述为：是否存在有 限域g f ( q ”) 中的本原元素口，满足对任意给定元素x g f ( q ”) ，使得元素口+ x 仍为本原元。 文中将w e i l 和进行了推广，运用了j a c o b i 和以及g a u s s 和等多种指数和工具，给出了满足上 述条件的本原元素口的个数表达式，并对其存在性进行了研究。 4 l 南京航空航天大学硕士学位论文 1 4 本文的内容安排 本文内容安排如下： 第一章绪论。概述了有限域生成元的研究现状、意义及本文的主要研究内容。 第二章相关理论。介绍了有限域生成元研究的相关理论基础，特征、g a u s s 和、j a c o b i 和、k l o o s t e r m a n 和的概念及性质。 第三章有限域上几类正规元的性质研究。研究了存在幂剩余正规元的有限域应满足的条 件，证明了存在互反幂剩余正规元的有限域应满足的条件，并进一步给出了存在指定迹的互反 幂剩余正规元的有限域应满足的条件。 第四章有限域上一类特殊形式本原元的研究。对有限域上是否存在形如口+ z 的元素为 本原元进行研究，其中口为本原元，石为有限域中任意非零元素。 第五章总结与展望。概括了整个课题研究取得的成果，展望该课题进一步进行研究的方 向和思路。 5 有限域生成元的若干性质研究 第二章相关理论 设p 是一个奇素数，g = p ，l 1 ，吒表示g 个元素的有限域，砸：= 码 o ) ， 蟛= 巧”e 。 2 1 特征的相关概念及性质 定义2 1 i p q 设g 是一个阶为i g i 且有单位元l g 的有限交换群。g 的特征z 指的是g 到c ( 模为i 的所有复数组成的乘法群) 的同态映射z ：g 专c ，满足对所有蜀，9 2 g ， z ( g 1 9 2 ) = z ( g , ) z ( 9 2 ) 。 显然，g 的特征z 具有如下基本性质： ( 1 ) z ( 1 g ) = 1 ： ( 2 ) v g g ，有( z ( g ) ) i q = z ( g ig i ) = z ( 1 g ) - - 1 ，即z 的值是一个j g i 阶单位根； ( 3 ) x ( g 一) = ( z ( g ) ) = z ( g ) ； ( 4 ) 孑( g ) = z ( g ) ； ( 5 ) ( 石厄) ( g ) = z 。( g ) 厄( g ) 。 注1 ：将有限交换群g 中每个元素均映射为1 的同态，按照定义2 1 1 ，自然属于群g 的特 征，这类特征称为平凡特征。 定理2 1 2 【7 1 对于g 中的两个不同的元素晶，9 2 g ，存在一个特征z g ，使得 z ( g 。) z ( g ：) 。 定理2 1 3 1 7 1 如果z 是有限交换群g 的一个非平凡特征，那么 z ( g ) = o 。 g e g 如果g g rg i g ，那么 z ( g ) = o 。 z g 定理2 1 4 7 1 一个有限交换群g 所含特征的个数恰好等于i g l 。 有限域b 加法群对应的特征称为f g 的加法特征，同样，有限域屹乘法群嘭对应的特征称 为e 的乘法特征。 定义2 1 5 忉设g 为有限域e 上的一个本原元，对于每个指定的，0 j g 一2 ，定义 函数 y ，g ) = p 2 z 独m 其中尼= o ，i ，1 一，q - 2 6 南京航空航天大学硕士学位论文 为哆上的一个乘法特征，并且码上所有的乘法特征都可以由上述定义的函数得到。 注2 ：对于任意的c 嘭，t 葫足e o ( c ) = 1 ，则称为平凡的乘法特征。 加法特征和乘法特征分别具备如下的正交关系： 定理2 1 6 7 1 厄，筋为有限域f 口上的加法特征，则 荟砒) 厕= 仨三竺 c e ei 鼍 “一， 特别地， 厄( c ) = o 口0 c e 匕 而且，对于c ，d 巧，我们可以得到 荟砒) 厕= 2 挺el 吁 ，一“ 定理2 1 7 刀y ，r 为有限域略上的乘法特征，则 ， 丕北) 雨= 乳譬 c e l 鼍一1 y 一“ 特别地， 少( c ) = o 少y 。 c e k 如果c ，d ，那么 等比) 丽= 置 其中和式表示y 遍历有限域峙中所有的乘法特征。 2 2 指数和的相关概念及性质 定义2 2 1 m 设吵，z 分别为有限域巧上的乘法特征和加法特征，c ：，那么 g ( y ，z ) = y ( c ) z ( c ) c e 巧 称为g a u s s 和。 我们下述假设为有限域哆上的平凡的乘法特征、2 o 为有限域屹上的平凡的加法特征， 则有下述定理： 定理2 2 2 用设y ，z 分别为有限域屹上的乘法特征和加法特征，那么g a u s s 和g ( y ，z ) 满 足： 7 有限域生成元的若干性质研究 吣= 一 当y = v o ，z = z o ， 当少= v o ，z z o ， 当y y o ，z = z o 当y y o 且z 时， i g ( 少，z ) i = g 牝。 定理2 2 3 7 1 有限域屹上的g a u s s 和g ( 少，z ) 具有如下性质： ( i ) g ( y 兹。) = y ( 口) g ( y ，屁) ，其中口嘭，6 b ； ( i i ) g y ，z ) = 杪( 一1 ) g ( y ，z ) ； ( i i i ) g ( y ，z ) = y ( 一1 ) g ( y ，z ) ； ( i v ) g ( v ，z ) g ( 5 f ，z ) = v ( - 1 ) q ，当y y 。，z 时； ( v ) g ( y p ，厄) = g ( y ，磊( 6 ) ) ，其中6 屹，p 是巧上的特征且仃( 6 ) = 6 p 。 通过g a u s s 和，有限域上的加法特征与乘法特征可以相互转换，则将转换公式概括为下述 引理： 引理2 2 4 川设为g 元有限域，沙是巧的乘法特征，z 为的加法特征，则对任意元 素c 蟛，乘法特征与加法特征的转换公式为： y ( c ) = 去g ( f ，疏( c ) ， 加) 2 击善g ( _ 删帅) 。 上面两式右端的和式分别表示遍历e 中所有的加法特征z 和遍历屹中所有的乘法特征y 。 定理2 2 5 门设e 是一个有限域，其中q = p 5 ，p 是一个奇素数，s n 。设7 7 为上的 二次特征，石为码上标准的加法特征，那么 g c 叩，石，= ：二：二；：p p 兰- 3 1m m o 。d d 4 4 , 定理2 2 6 同设g 是一个奇数幂，y 是有限域屹z 上的阶整除g + 1 的一个非平凡乘法特征， 并且筋是屹：上的标准的加法特征，那么 qm 是奇数或盟是偶数， g ( 蝴) 2 1 一gm 是偶数或墨是奇数 义2 2 7 研设 ，五，以是有限域码上任意的尼个乘法特征，则和式 4 ( 4 ，五，五) =a ( q ) 五( 乞) 五( q ) 南京航空航天大学硕士学位论文 称为是有限域上的j a c o b i 和，通常简记为j ( 4 ，五，以) 。其中和式为( c l ，c 2 ，c k ) 遍历有 限域哆上所有的满足c 1 + c 2 + + c 七= 1 的七元组，即每个q ，i = 1 ，2 ，k 取遍屹中所有元素。 特别地，对任意元素x ，令以( a ，五，五) = ( c 1 ) 如( c 2 ) 以( q ) ，则j a c o b i 和 - 厂( 丑，五，五) 与和式以( ，五，丑) 的关系如下： 引理2 2 8 7 1 设 ，五，五是有限域疋上任意的k 个乘法特征，则 以( a ，五，五) = a 五以( 工) ( ，五，九) 。 定理2 2 9 川如果有限域屹上的七个乘法特征a ，五，五都是平凡的，那么 j ( 4 ，太) = 厶( a ，五) = g 扣1 。 如果至少有一个丑( f = 1 ，k ) 是非平凡的，那么 ，( a ，五) = j o ( 丑，五) = 0 。 定理2 2 1 0 7 1 设五，如，五是有限域e _ l z 的k 个乘法特征，其中五是非平凡的，那么 当a 五是非平凡特征时， 厶( ，五) = 0 。 当a 五是平凡特征时， 厶( 丑，以) = 以( - 1 ) ( q - 1 ) j ( a ，五一，) 。 定理2 2 1 1 刀设 ，五，五是有限域f 口上的七个非平凡乘法特征，那么 当丑五是非平凡特征时， i ，( a ，五) l = g ( b 1 ) 2 。 当a 五是平凡特征时， i j ( 4 ，以) i = g ( 扣撇。 引理2 2 1 2 网若有限域e 上，y 2 ，y t 均为非平凡乘法特征，z 为非平凡加法特征，则 j a c o b i 和与g a u s s 和的关系如下： 当。帆为非平凡特征时， 地粉删2 鬻。 当i p r l i 2 1 吮为平凡特征时， ，( ，y 2 ，阢) = 一 g ( ，z ) g ( y i ，z ) g 定义2 2 1 3 忉设z 为有限域吗上的非平凡加法特征，巧 z 】上多项式厂( x ) 的次数为正数， 则称和式z ( 厂( c ) ) 为w e f t 和。 c e 定理2 2 1 4 川设z 为有限域屹上的非平凡加法特征，屹 卅上多项式( 功次数刀为正数， 9 有限域生成元的若干性质研究 且满足( 咒，g ) = 1 ，那么w e i l 和满足 ll l z ( 几) ) l ( ”一1 ) q 啦。 i c e i 定理2 2 1 5 阴设z 为有限域哎中非平凡加法特征，胛n ，旯是屹上的乘法特征，其阶 为d = g c d ( n ，q - 1 ) ，则对于任意口，b 吒，a 0 ，那么 d - i 一 z ( a c “+ 6 ) = z ( 6 ) 旯7 ( a ) g ( 1 - i , z ) 。 c e l ，。l 若d = 0 ，则对于任意a ，b e ，a 0 ，有 z ( a c “+ 6 ) = o 。 c e 匕 定理2 2 1 6 刀设z 为有限域兄中非平凡加法特征，忍n ，d = g c d ( n ，q 一1 ) ，那么 l z ( a c + b ) i ( d _ 1 ) 9 1 2 。 i c e el 定义2 2 1 7 川设z 为有限域中非平凡加法特征，对于任意口，b 屹，那么和式 k ( z ；口，6 ) = z ( a c + b c 。1 ) c e 巧 称为是k l o o s t e r r n a n 和。 设z 为有限域哆中非平凡加法特征，对于口，b 码不全为0 ，那么 ( z ；a ，b ) 满足 i k ( z ；a ，6 ) i 2 9 啦。 南京航空航天大学硕士学位论文 第三章有限域上几类正规元的性质研究 本章主要运用了g a u s s 和与k l o o s t e r m a n 和两类重要的指数和对有限域上幂剩余兀的存在 性性质进行了研究。具体安排为：第一节，预备知识。介绍一些重要的定义和定理等，为后续 几节做铺垫。第二节，有限域幂剩余正规元的存在性。通过对有限域上幂剩余元素的个数进行 估计，给出其存在性条件。第三节，有限域的互反幂剩余正规元存在性。通过研究给出了有限 域中存在互反幂剩余正规元素需要具备的条件。第四节，有限域中指定迹的互反幂剩余正规元 的存在性。将第三节的条件加上元素的迹预先给定的限制，通过讨论得到存在这类幂剩余正规 元的有限域应满足的条件。 在本章中，沙表示一个有限域的乘法特征，z 表示一个有限域的加法特征。 3 1 预备知识 定义3 1 1 嘲将有限域看作有限域屹的线性空间，若有限域艺。的一组基具有形式 a m a 9 ，a 一，即包含有限域巴。中某特定元素口及它的共轭元素，则称这组基为有限域 的正规基。对应的元素口称为是哆。的正规元。 定义3 1 2 【3 1 有限域的e 。正规元对应的极小多项式称为巧的正规多项式。 定义3 1 3 同域弓的自同构是指巴。到自身的环同构仃：巴。专巴。，h j 对a ，6 巴， t r ( a + 6 ) = o r ( a ) + o r ( b ) ，t r ( a b ) = c r ( a ) t r ( b ) ， 并且仃是一一映射。 若屹是屹的域扩张，则_ 。的自同构仃也叫做e 一自同构。这时映射仃也称为f r o b e n i u s 自同构映射。 定义3 1 4 对多项式环兄【x 】中任意元素厂( 工) = ：。a i x 和弓中任意元素善，定义运算 “。”如下：厂( x ) 。孝= 二q 仃( 善) ，则( _ ，。) 成一巧 x 】模。 定理3 1 5 0 有限域疋上的多项式环是主理想整环。 定义3 1 6 由定理3 1 5 ，吃。中任意元素善在哆 x 】中的零化子为主理想，我们称该理想为 毒在e x 】中的阶理想。生成元记做o r d ( 孝) 。 显然，当f o ) = z ”- 1 时，对v 善巧，有厂o ) 。善= 0 ，故d d ( 孝) i 矿- 1 。 定义3 1 7 对吃。中任意加法特征z ，g ( j c ) 屹b 】，定义运算“幸”如下： g ( x ) 幸z ( 善) = z ( g ( x ) 。孝) ，则( 吃。，幸) 也构成一砖 工 一模。 定义3 1 8 有限域巧的特征彤在e 【x 】中的零化子称为是特征z 的阶理想，其生成元记作 有限域生成元的若干性质研究 o r d ( z ) o 显然，当g ( x ) = 工“- 1 ，对v 孝屹，有g ( x ) + z ( o = 0 ，故o r d ( z ) i ，- 1 。 定理3 1 9 有限域。的加法群与有限域巴的加法特征群是模同构的。 证明：考虑有限域巴的加法群，对多项式环巧 石 中任意元素厂( 石) = 二。a i x 和