（应用数学专业论文）模糊控制算法单调性的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 目前，模糊控制理论的研究滞后于应用技术的发展。其表现之一是对模糊 控制算法自身的一些性质缺乏深入研究：对于单调惯性系统，自然要求控制算 法具有单调性，即对应的控制函数是单调的，该性质对单调惯性模糊控制系统 的稳定性分析非常重要。在单调规则基概念的基础上，本文利用直接分析的方 法讨论了模糊控制算法的单调性。在合成推理算子“v 一 ”运算之下，对于 一维模糊控制算法，研究结果表明，在输入基点非孤共鸣的情况下，若任何输 入最多只能同时激活两个规则且输入模糊数是全等拟三角形，输出模糊集为等 腰全等拟三角形且基点孤共鸣，则一维模糊控制算法是单调的：在基点非孤共 鸣的情况下，如果输入模糊集为线性全等三角形，输出模糊集为线性等腰全等 三角形且基点孤共鸣，只要任何输入同时激活的规则数目不超过三个，也能够 保证控制算法具有单调性。对于二维模糊控制算法，在合成推理算子“v 运算之下，得到如下结果，单调规则基不能保证其单调性，但在规则基是单调 的且规则基中各规则的输出模糊集是等腰拟三角模糊数的条件下，二维模糊控 制算法是粗单调的，即当两个输入状态有一定距离时，单调性成立；从实用角 度出发，本文给出了二维模糊控制算法具有单调性的充分条件。针对“v 一一 合成算子，本文还定量讨论了输入分档模糊数对控制算法输出的影响。结果显 示，单调规则基卞输入分档模糊数对模糊控制算法的作用，仅与相邻模糊数的 “胖瘦”有关。 关键词：模糊控制、控制算法、智能控制、单调规则基、规则控制 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 一 a b s t a c t i n t e l l i g e n tf u z z yc o n t r o lt h e o r ys i g n i f i c a n t l yl a g sb e h i n dt h ed e v e l o p m e n to f i t s t e c h n i q u e s a t p r e s e n t a ni m p o r t a n tf a c t o ri st h a tt h ep r o p e r t i e so ft h ef u z z y c o n t r o lm e t h o d st h e m s e l v e sn e e dd e e ps t u d y i n g ，f o ram o n o t o n ei n e r t i as y s t e m ，t h e m o n o t o n i c i t yo f ac o n t r o l a l g o r i t h mi sn a t u r a l l yr e q u e s t e d ，w h i c hi s i m p o r t a n ti n a n a l y z i n gt h es t a b i l i t yo ft h em o n o t o n ei n e r t i a lf u z z yc o n t r o ls y s t e m b a s e do nt h e c o n c e p to f m o n o t o n er u l e 。b a s e ，t h em o n o t o n i c i t yo f t h e f u z z yc o n t r o la l g o r i t h mi s d i s c u s s e di nd e t a i lw i t hd i r e c t a n a l y s i sm e t h o d s f o rt h em a m d a n if u z z yc o n t r o l a l g o r i t h m o f o n ed i m e n s i o n ，w eu s et h ei n f e r e n c e o p e r a t o r “m a x m i n ”u n d e rt h e c o n d i t i o nm o r et h a nt w or u l e sb e i n ge x c i t e d ，a sl o n ga st h en u m b e r o fe x c i t e dr u l e si s l e s st h a nt w o ，a n dt h e o u t p u tf u z z ys e t s o ft h er u l e s i nt h er u l e b a s ea r ef u z z y n u m b e r si nt h es h a p eo f b e n d i n gi s o s c e l e st r i a n g l e ，t h eo n ed i m e n s i o n a lm a m d a n i f u z z yc o n t r o la l g o r i t h mi sm o n o t o n i c ，f o rt h et w od i m e n s i o n a la l g o r i t h mu n d e rt h e i n f e r e n c e o p e r a t o r “m a x p r o d u c t ”，r e s e a r c hs h o w s t h a tt w od i m e n s i o n a lm a m d a n i f u z z yc o n t r o la l g o r i t h mb a s e do nm o n o t o n er o l e b a s em a y n o tb em o n o t o n i c ，b u ti s r o u g hm o n o t o n i c ，i ft h eo u t p u tf u z z ys e t so ft h er u l e si nt h er u l e - b a s ea r eb e n d i n g i s o s c e l e st r i a n g l e s r o u g hm o n o t o n em e a n st h a tt h em o n o t o n i c i t yo ft h ea l g o r i t h m h o l d s 汀t h ed i s t a n c eb e t w e e nt h et w oi n p u ts t a t e si sf a re n o u g h f r o mt h ep r a c t i c a l p o i n t a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e m o n o t o n i c i t yo ft h et w od i m e n s i o n a lf u z z y c o n t r o la l g o r i t h mi s p r e s e n t e d t h ei n f l u e n c eo ft h ei n p u tf u z z ys e t su s e di nt h e r u l e b a s eo nt h em o n o t o n i c i t yo ft h ec o n t r o la l g o r i t h mi sd i s c u s s e d r e s e a r c hs h o w s t h a tt h ei n f l u e n c eo f t h e g r a d i n gf u z z yn u m b e r so f t h ei n p u tu n i v e r s eo n t h eo u t p u to f t h ec o n t r o la l g o r i t h mi s o n l yi n r e l a t i o nt ot h er e l a t i v e l y f a t o r “t h i n o ft h e a d j o i n i n gf u z z y n u m b e r s k e y w o r d sf u z z yc o n t r o l 、c o n t r o la l g o r i t h m 、m o n o t o n er u l e b a s e 、r u l e sc o n t r 0 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1 模糊控制理论的历史和现状 1 9 6 5 年z a d e h 教授发表了题为“模糊集”( f u z z ys e t s ) 和“模糊集与 系统”( f u z z ys e t sa n df u z z ys y s t e m s ) 【2 1 两篇开创性的论文，奠定了模糊 集理论和应用研究的基础。一些学者很快将模糊集的思想引入系统控制之中， 提出了模糊控制的概念，对模糊控制器展开了理论研究、实验室仿真及工业 项目的应用实践。1 9 7 3 年z a d e h 教授给出了用模糊语言进行系统描述的方法， 英国学者m a m d a n i 和a s s i lj a n 7 1 在1 9 7 4 年首先利用模糊控制方法设计模糊 控制器，并把它用于锅炉和蒸汽机控制，在实验室获得成功。这一开拓性的 工作，标志着模糊控制的诞生。1 9 7 9 年，中国的研究人员也对模糊控制器进 行了研究，并在模糊控制器的定义、性能、算法、鲁棒性、电路实现方法、 稳定性、规则自调整等方面取得了大量的成果。 7 0 年代的主要工作是进行计算机仿真分析和理论研究，8 0 年代则是从实 验室转入工业实践并由此引进世人注目的年代，8 0 年代中后期，日本系列模 糊家电产品所取得的巨大的经济效益更引起了国际控制界学者的广泛关注而 加入其中，因而，模糊控制理论的研究与应用在9 0 年代初中期达到了兴盛时 期。 近年来，模糊理论作为智能技术的重要组成部分，得到了广泛的重视并 成为国内外学术界研究的热点。从1 9 9 2 年开始，i e e e 模糊系统国际会议每 年举行一次，在i e e e 、i f a c 的其它重要的国际会议上以及a c c 、国内的c c c 、 c d c 上也都有模糊系统的专题。1 9 9 4 年创办了国际著名专业学术杂志( ( i e e e 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 t r a n s o nf u z z ys y s t e m s 。另外，在其它著名的国际学术杂志 a u t o m a t i c a 、 i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r o l 和国内的自动化学报、控制与 决策、控制理论与应用、模糊数学与系统等杂志上，都有大量的有关 模糊理论及应用的文章。应当指出的是，模糊理论作为智能技术的重要组成 部分是包括我国在内的许多国家重点支持的高科技研究领域。研究模糊控制 的有关文献，可大致分为三类，其一是理论探讨型：其二为应用技术型；其 三是介于上述两类之间的应用理论型。 1 2 问题的提出 模糊控制器作为万能控制器和万能逼近器的研究1 】指出，模糊控制器 可以实现任何控制策略。无论系统状态是用有限个参数描述的还是用无穷多 参数描述的，都存在一个模糊控制器，它能产生合适的控制效果。从数学上 讲，模糊控制器可以逼近任意的连续函数到任何允许的误差范围内1 。这 些结果从理论上说明了，模糊控制器具有任意的可塑性，灵活性，即根据具 体系统可采用合适的控制规则，达到合适的控制效果。智能模糊控制系统中 所采用的控制算法一般是由经验数据和经验规则库确定的，因而模糊控制算 法的单调性与规则库的单调性密切相关。常用的模糊控制表和多数文献1 7 , 1 4 上的控制规则库都隐含着控制算法的单调性，但对该性质没有进行深入研究。 单调模糊控制算法是针对输入和输出具有单调惯性关系的单调惯性系统而引 入的。大多数被控对象不管是单输入的还是多输入的，在开环状态下，就某 一控制量和输出量之间的关系而言( 其它控制量保持不变) 至少在一定范围 内具有单调关系。对于一个输入输出具有单调关系的被控对象，假定已知两 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 种状态x l , x 2 下采用的控制量分别为m i ，1 , 2 ，若状态z 介于状态x l , x 2 之间，则 控制算法应保证与状态x 对应的控制量u 介于控制量“l ，“2 之间。对于一个输 入输出具有单调惯性关系的被控对象，控制算法的单调性具有实用意义并且 与系统稳定性密切相关，常见的单调惯性系统经验规则库的输入输出一般具 有单调关系，文献 6 将其抽象为单调规则基概念，在此基础上，从控制算法 本身出发，直接讨论了连续论域上模糊控制算法的单调性，给出了规则基中 各规则在基点孤共鸣时，模糊控制算法具有单调性的充分条件。然而在实际 的控制系统中，由于实际应用的需要，规则基在基点不一定孤共鸣，因此对 此类情况下的模糊控制算法的单调性进行讨论更具实用意义。并且文献 6 】 仅讨论了合成推理算子“v 一八”下的控制算法的单调性，没有对经常使用 的合成推理算子“v 一下的控制算法的单调性进行讨论。 1 3 本文的研究方法与主要内容 本文针对文献 6 中存在的问题和不足，采用直接分析的方法对连续论域 上模糊控制算法的单调性进行了更深入的讨论。本文的主要内容与结果如下： ( 1 )以重一i i , 移动定理为工具，利用直接分析的方法讨论了合成推理算子“v 一八”下一维模糊控制算法的单调性。结果表明，在基点非孤共鸣的 情况下，若任何输入最多只能同时激活两个规则且输入模糊数是全等 拟三角形，输出模糊集为等腰全等三角形且在基点孤共鸣时，一维模 糊控制算法是单调的；在基点非孤共鸣的情况下，如果将输入模糊集 加强为线性全等三角形，输出模糊集加强为线性等腰全等三角形且在 基点孤共鸣时，只要任何输入同时激活的规则数目不超过三个，也能 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 够保证控制算法的单调性。目前已有的文献仅讨论了输入模糊数基点 孤共鸣条件下的模糊控制算法的单调性。本文的结果对现有结论进行 了推广。 讨论了合成推理算子“v 一木，下二维模糊控制算法的单调性，结果显 示，单调规则基不能保证其单调性。但在规则基是单调的且规则基中 各规则的输出模糊集是等腰拟三角模糊数的条件下，二维模糊控制算 法是粗单调的，即当两个输入状态有一定距离时，单调性成立；从实 用的角度出发，本文给出了二维模糊控制算法具有单调性的充分条件。 本文的结果进一步拓宽了模糊控制算法单调性成立的认知范围，为设 计实际控制算法提供了理论参考。 定量讨论了合成推理算子“v 一丰”下输入分档模糊数对控制算法输出 和单调性的影响。结果显示，单调规则基下输入分档模糊数对模糊控 制算法输出的作用仅与相邻模糊数的相对“胖瘦”有关。 汜 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章基础准备 为了本文的完备性，本章将罗列与本文密切相关的一些重要概念和结论 作为本文的基础，有关概念和术语，可参阅相关文献。 本文使用下列符号 2 7 , 2 8 。 集。 “m ) ”表示度量空间( 距离空间) 中点x 与点y 的距离。 慨国表示度量空间x 中圆心在点x 半径为j 的开球体即 “占) = yim ) o 。 “s u p ”表示上确界。 “f 矿表示下确界。 d i a 似) = s u p d ( x , y ) l x ：s a 表示集合a 的直径，其中4 为度量空间的一个子 f ( 的= 以l a 为论域z 上的模糊集 。 n a i x 爿。或兀4 表示模糊集4 f ( 劫的笛卡积，产l ，盯。 2 1 模糊数学基础知识 定义2 1 1 ( 模糊集) 设为论域，称x ：lr j 闭区间 o ，1 的任一映射a a ：x 一 0 ，1 x 一爿( x )( 2 1 1 ) 确定了z 的一个模糊子集，简称模糊集( 或f 集) ，记作月。a ( x ) 称为模糊集 爿的隶属函数，a ( x ) 叫做元素工隶属于4 的程度，简称为隶属度。 与清晰集合一样，在模糊集上也可以定义各种运算。有关内容请参阅文 西南交通大学硕士研究生学位论文 第6 页 献 2 2 、 2 8 等。在此不做赘述。 定义2 - 1 - 2 ( 正规模糊集f 1 7 】) 设爿。二= 恤j “u j l 4 ( u ) = l ，若a 。非空， 则称4 为正规模糊集，否则称a 为非正规模糊集。其中a ，称为a 的核，记为 k e r a 。 定义2 1 3 ( 模糊点 6 】) 设x c r “为一凸模糊集，若彳f 满足条件： ( 1 ) 令b 。) = ：。耄曼：则占是胄”上的凸模糊集。 ( 2 )a 是强正规的，即存在唯一勘z ，a ( x o ) = l 。 则称a 为上的模糊点，x o 称为a 的基点或均值。特别，当x _ c r l 时称 a 为上的模糊数。 论域z 上的模糊点全体构成的集合记为p 约定：为简化陈述，在本文以下出现p ( ) 时，( “”表示某大写字母如 ，y ，u 等) 如无特别声明，都假设：“”尺1 且为一有界闭区间。当“” _ o r ”时，会有专门说明。在大多情况下可将p ( ) 视为“”上模糊数的集合。 定义2 1 4 6 】设4 0 ) 为一单变量函数，其定义域为x 。称爿0 ) 在点x 处单增( 严格单增) ，如果j j o ，v x l ，x 2 0 ，占) 且x i q 2 则a ( x 1 ) 劁0 2 ) ( 爿0 1 ) b 。这里v z e x = c ，d 】， 口脂) 0 ) - ，叫脂( y ) z 二一 ( 2 3 1 ) 记a 与b 的基点分别为d 和b ，若a by v x c , a u b ，明，爿o ) 筝丑0 ) 则记a b ，并称模糊数a 小于模糊数b 。这里，彳0 ) 至b ( x ) j ：旨v x o e c ，a u b ， 胡，在x o 的任一开邻域上均存在x 使得爿b 0 ) 。 注：在上述定义中，用“”和“ ”分别表示模糊数的小于等于和小 于关系以区别通常的意义。模糊数的“ ”与“v ”运算应与模糊集的“n ” 与“u ”运算区分开来，在后面的表示中当出现a a b 或a v b 时，若a ，b 为 模糊数则指( 2 3 1 ) 式所定义的运算；如果a ，b 为一般数则指取大取小运算 西南交通大学硕士研究生学位论文第ll 页 定理2 3 3 设a ，b f 乖( c ，胡) ，记爿的单减区间及b 的单增i j j 分别为 以爿) 与z ( b ) 则 为 ( 1 ) a s 占一3 ：【c ，a 日且z j ) n z ) 使得f ：高! ：出：；置易。 ( 2 ) a _ b ( x )x 【c ，z 、 4s o 【4 ( x ) - m r 则刁。 ( 2 ) 若m l o ，v z gn ( x ，正) 且石= z 时有厂( z ) ，( = ) ( 厂( 工) 厂( z ) ) ，则称，为粗单增( 减) 算法。若，为粗 单调增( 减) 算法，对于某点x x 令 ，= i n f 6iv z x ，= = x r z n ( x ，d ) 时有，( x ) 厂( z ) ( 厂( z ) 厂( z ) ) ) ( 3 1 1 ) 称兄。为厂在点x 处的单调距。 定义3 1 2 ( 规则基) 设被控系统p 的观察量论域为臀= 蜀- x 曷，控制 量论域为u 设p 的第j 个控制规则形式如： 弓：i f x ti s 4 1a n d x 2 i s 4 2a n d a n d x n i s 勘t h e nu i s g ( 3 1 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 其中a j k f + x k l ，g p 【叨，户i ，q ，女= 1 ，n 。简记弓为( 4 ，q ) ，这里 ，= 兀爿肚= a j l x 4 。即v x = 0 l ir ) x = l 4 仁) 。会i a k ( x i ) 2 a j l ( x 1 ) 。 4 n o n ) ( 3 1 3 ) 称r = r l 一，r q ) 为p 的一个规则基，如果v x = ( 。l ，x 。) x ，3 r ，r 使 得爿，( x ) 0 。若a ，( x ) o n e 8 ，为输入z 的激活规则，也称r ，在x 处共鸣 称s u p p a ，为规则曩( 或模糊状态a j ) 的共鸣域，又记为s u p p 尺，并称a ，( x ) 为 规则r ，在x 处的共鸣强度；若x 。满足4 ( ) = 1 则称为规则r ，的基点a 规则基这一概念由完整控制经验抽象出来。对于人工控制系统，在系统 的任何状态下，控制者都会有利于系统目标状态实现的控制动作。从规则基 的角度则可解释为在系统的任何状态下总有规则基中的规则产生共鸣。 在实际的单调惯性系统中，规则基本身所表达的输入输出关系一般都具 有单调性。对这类规则基可抽象为一个新的概念单调规则基。 定义3 1 3 ( 单调规则基) 设被控系统p 的观察量论域为弘尚x 蜀 控制量论域为u ，设尺= r j ，一，r 。) 为p 的规则基，其中毛= ( 4 ，0 ) 。称月为 p 的单调增( 减) 规则基，如果v x ，y x 且x y ，下面的条件成立 ( 1 ) 存在r ，r ，r 使得a ，( x ) 苫o f ( x ) ，4 ，( y ) 苫4 ( y ) 且 a 。a ，c s c ，( c ，s c ) 。这里“”为模糊数的偏序关系。 ( 2 ) 设矿。= = ( 一，c ，) j = 1 ，s ) r 为输入x 所激活的规则 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 集，令c 1 = c ji ，= 1 ，5 n c ，s 为有序集合。 引理3 1 4 设被控系统p 的规则基r = r 。lj = h - - , r n ，k = l ，n 是 双输入单输出模型模糊网状规则基，余、丝和，分别表示偏差、偏差变 化率和控制量的论域。假定 ( 1 ) e 、和l ，的分档模糊数至多而且必是相邻相交的； ( 2 ) 三个论域的分档模糊数集合都是模糊数有序集： ( 3 ) v x e a e ，令c 。为输入x 激活的输出模糊数集合。 则r 为单调增( 简) 规则基的充分条件是： c 。，s 为有序集且为坐标( 视 下标为坐标) 序单增( 减) 的。 3 2 模糊控制算法的构造与运算过程 对于连续论域上一个二输入( 偏差，偏差变化率) 单输出的模糊控制算 法，其构造与运算过程由下面几步完成。 将偏差e ，偏差变化率er 及控制量u 的物理量论域分别用大写字母e 业，u 表示。考虑到实用性，假定e 、蛆、u 均为r 1 中的有限闭区间。将e 、 舡与u 分别分为m 、n 与p 档，三者的档次分别用模糊数 a ，f 明，b 。f 【业】，c t f 【们表示出来，这里j = l ，m ，k = - i ， ”，l = 1 ，p 。 ( 1 )依据经验建立规则基，形如 马女：i f pi s a j a n dp i sb k t h e n “i s 啄，这里 s i l ，p ) ，c j k = c 西南交通大学硕士研究生学位论文 第17 页 ( 2 ) 求各推理关系r 业= a ，毋c 肛，即v ( x ，y ，“) e 肛u 只且( 工，y ，“) = a j ( 工) 八b ( y ) ac m ( “) ( 3 ) 建立总的推理关系r 。且u r 业，v ( x ，儿“) e 业u r ( 工，y ，“) 。一v vr j k ( 。，y ，“) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 4 ) 将、丝中的各点分别作单点模糊化得a f ( e ) ，b + f ( a e ) 即 v x 。e ，y 。业，其单点模糊化集分别为 肚器 肚器 x 2 x 0 工z n y5 y 0 y y o ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 5 ) 按合成推理规则求模糊输出c = ( a x b ) 。r ，合成规则“。”取为 “v 一八” 即v “u ，) - ( 。脚v 。j 4 + ( x ) a b + ( y ) r ( x ，y ，“) ( 3 2 - 5 ) ( 6 ) 利用重心法求出确切响应“。，即“。= c ( u ) a u c ( u ) d u ( 3 2 6 ) 3 3 一维模糊控制算法的单调性 定理3 3 1 ( 局部单调性) 设一维模糊控制算法f 的规则基为 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 r = - 月1 一，r 。 ，其中r ，= ( 爿，c j ) ，若规则基是单调的且下面的条件成立： ( 1 ) v x ，y e ，设奇为它们同时激活规则的数目，则k 2 ( 2 ) 各规则的输出模糊集是等腰拟三角形且在基点孤共鸣 则有下列结论： ( 1 ) 若k 1 ，则f 是单调控制算法。 ( 2 ) 若k = 2 ，则当e i z s y e i + 时，厂( x ) s 厂( y ) ，其中p ，为a ，的基点。 证明：v a ，b e 且d b ，令d ，b 分别表示输入口，b 的单点模糊化集 e ，g 分别表示它们所对应的控制算法厂的模糊输出，由( 3 2 1 ) - - ( 3 ，2 ，6 ) 式得： c 。( “) = v a + ( z ) a r ( x ，“) 】 c - g 2 苫 爿加) “q ( “) 】 ( 3 3 1 ) g 同理可得：巴 ) = v a j ( b ) a c j ( “) ( 33 - 2 ) 由前提条件可知各分量模糊集至多相邻相交，即，v a e ，口至多同时 激活两个规则，也即上面两式( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 中各至多有两项不为0 。故根据 输入d 与输入6 激活规则的情况，可分为以下9 种情况，如表3 1 所示 情形编号 123 456789 口激活的规则数目 11l12 2 2 2 2 b 激活的规则数目 1122112 2 2 a ，b 同时激活的规则数目 o1o10lol2 表3 1a , b 激活规则情况分类 ( 1 ) 对于情形l ，设口，b 分别激活规则r = ( 4 ，c ，) ，r ，= ( a 3 ，c 3 ) ，爿 a ，c 。_ c 3 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 参见示意图3 i ，图中表示隶属度。由( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 式得 e = a ( d ) c t ( “) 】v a ：( “) c ：( “) = a ( 口) c t ( u ) c b = a 二( b ) c ! ( “) v a ，( b ) c 3 ( “) = a ，( b ) nc 3 ( w ) 幽31 输入口，占分别只激活一个不周规则的情彤 利用重心法求出确切响应u ，即 p c 。o ) d u 八2 商 p - c 。似) d u 八2 丽 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 由重心移动定理，g 的重心横坐标小于g 的重心横坐标 即：f ( a ) f ( b ) 。 f 2 ) 对于情形2 ，参见示意图3 2 ，输入口，b 同时激活同一个规则，设它们同时 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 。页 激活规则r 。= ( 爿，c 1 ) ，由对称性，c 的重心横坐标和已的重心横坐标都等 于c l 的横坐标。故厂( ) ，( 6 ) 。 图3 2 输入a , b 同时激活一个相同规则的情形 ( 3 ) 对于清形3 ，输入口激活一个规则，输入b 激活两个规则且和口激活同一 个规则，设输入口激活规则r 。= ( 4 ，c 】) ，b 激活规则r ，= ( 4 ，c o 和规则 r 2 = ( a z ，c z ) 且爿1 _ 4 ，c l c ，。 c 。= a 1 ( a ) a c l ( “) v a 2 ( “) c 2 ( “) = a 1 ( a ) c ( “) ( 3 ，3 7 ) c o = a ( 6 ) c 。( ) v a z ( 6 ) a c ：( “) 】 ( 3 3 8 ) 如示意图3 3 ，细线组成的图形为c 。的图形，粗线组成的图形为c b 的图 形。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第21 页 圈3 3 输入口激活一个规则，6 激活两个规则 p c 。( u ) d u 由z 屯= 生e 一可以分别求得厂( 廿) 和( 6 ) ，由重心移动定理可知c 。 i q ( u ) d u 。 。“ 的重心横坐标小于c b 的重心横坐标，也即，( 4 ) 厂( 6 ) 。 ( 4 ) 对于情形4 ，输入口激活一个规则，输入b 激活两个规则，且口，b 激活不 同规则，设n 激活规则r 。= ( 4 ，c 1 ) ，b 激活规则r ：= ( 4 ：，c ：) 和 r ，= ( 爿3 ，c ，) 且4 【_ 4 a 3 ，c 1 _ c 2 c 3 ，如下图所示 西南交通大学硕士研究生学位论文 第22 页 图3 , 4 输入d 激活个规则，b 激活两个规则 i “c 。( u ) d u 由“。= 生f 一和重心移动定理可知c 。的重心横坐标小于c b 的重心 。 c ( u ) d u 横坐标，也即f ( a ) 厂( 6 ) 。 ( 5 ) 同理可得：对于情形5 、情形6 和情形7 都有厂( 口) 厂( 6 ) 。 ( 6 ) 对于情形8 ，输入口，b 都激活两个规则，且同时激活一个规则。不妨设 d 激活规则r l = ( 爿。，c i ) ，r 2 = ( 2 ，c ：) ；b激活规则 巴= ( 爿：，c ：) ，q ：= ( a 3 ，c 3 ) 。参见示意图3 5 ，c 。为c ：的重心横坐标，由 重心移动定理可知e 的重心横坐标，( n ) c 。，巴的重心横坐标 f ( b ) c ，故厂( n ) f ( b ) 。至此可知，v a ，b e ，若k = i ，则，0 ) 厂( 6 ) ， 即证明了定理的第一部分。 西南交通大学硕士研究生学位论文第23 页 0 c l 图3 5 b 部激活两个艇则 ( 7 ) 如果输入口，b 同时激活两个规则( 情形9 的一种情况) ，如图3 6 所示， 当a , b 同时位于两基点之间，即都位于区间( e ，8 ：) 时，因为( e ，e ：) 是a ，的 减区间且为a ：的增区间的一部分，故v a ，b ( e l , 岛) 且4 b ，有 4 l ( 口) a t ( 6 ) 干爿2 ( d ) a 2 ( 6 ) ，由式( 3 3 1 ) 暑口( 3 3 2 ) 可知： c 。= a l ( 1 2 ) c l ( “) 】v a 2 ( 口) c 2 ( 甜) = ，( 爿。( 口) ，a 2 ( d ) ) ( c ，uc 2 ) ( 3 3 9 ) c e = a 。( b ) nc 1 ( “) v 【a ：( b ) g ( “) = ，( 4 ( 6 ) ，a 2 ( 6 ) ) ( c 1u c 2 ) ( 3 3 1 0 ) 设“，“：为c i ，c ：的均值，由于c 1 q ，故“。“：，设c 。，c 自的重心横坐 标分别为b ，b ：， 由重心移动定理，可知，“1 b i “2 。令 西南交通大学硕士研究生学位论文第24 页 j ( a ( 6 ) ，鸣( 口) ) ( c lk jc 2 ) 的重心横坐标为b ，利用对称性和重心移动定理可 知，球l b l 6 b 2 u 2 ，故，( 口) s f ( b ) 。 图3 , 6 故定理第二部分成立。证毕! 定理3 3 1 给出了控制算法具有局部单调性的充分条件，对于全局单调性， 有下面的定理： 定理3 3 2 设一维模糊控制算法，的规则基屉职，r 。 是单调的，其 中r ，= ( 爿，q ) ，且满足下面3 个条件： ( 1 ) ，y e ，设七为它们同时激活的规则数目，则曼2 。 ( 2 ) 各规则的输入为全等拟三角形。 ( 3 ) 各规则的输出模糊集为等腰全等拟三角形且在基点孤共鸣。 则厂是单调控制算法。 证明：要证明厂具有单调性，只需证明，v a ，b e 且a b ，有f ( a ) 茎f ( b ) ， 按照定理3 2 1 的证明方法，同样可按输入激活规则的情况将其分为表3 1 所示的9 种情况。前8 种情况都显然成立。故只需证明对于情形9 也成立。 因为输入d ，b 同时激活两个相同规则，不妨设同时激活r 。= ( a i ，c ，) 和 r ：= ( 4 ：，c ：) 且4 - 以，c ( z ) 所以单调性不成立。 尽管二维控制算法不能保证单调性，但可保证粗单调性。 定理3 4 1 设二维模糊控制算法，的规则基是单调的且规则基r 中各 规则的输出是等腰拟三角模糊数。又设d = ( 口i ，a 2 ) b = ( b i , b 2 ) e x e 且 西南交通大学硕士研究生学位论文第31 页 a b ，口，b 分别激活规则集f = 僻= ，弓) 1 ，= 卜j ， ，斧= 晖= ( 4 ，d _ ，) l j = k ，s 且m a x c j ) s m i n d ， ，则厂( ) ，( 6 ) 。 证明：d = ( n ”口2 ) b = ( 6 l ，6 2 ) e x a e ，满足定理条件，需要证明 厂( 口) s 厂( 6 ) 令口j ，口：和6 i ，b ；分别表示分量坐标d ，a ：和b i , b ：的单点模糊化集，e ，c b 分别对应于输入口和b 的模糊输出，故 c o ( “) ：( 。) 吕，。绯工) + 口；( y ) + r ( x ，y ，“) 2 二晶 a j ( a ，) + b t ( 如) + c 业( “) 】 ( 3 4 1 ) c b ( “) v 。n 隙z ) + e ( y ) + r ( z ，y ，“) 2 。v 。v a i ( b t ) + b t ( 6 ) + c j a “) 】( 3 4 2 ) 注意到各分量模糊集的隶属函数至多是相邻相交的，各分量至多激活相 邻的两个模糊集合，组合可知( 3 4 1 ) ，( 3 4 2 ) 中各至多有4 项不为0 ，即a , b 各 至多激活4 条规则，由单调规则的定义，不失一般性，可设a ，b 激活的规则 输出c j , d ，“，4 分别满足c l sc 2sc 3 c 4 ，d 【sd ! d 3 暑d 4 ，则 ( 3 4 1 ) ，( 3 4 2 ) g 分别化简为 c 。( 08 q ( “) ) 巳( “) 2 黔，+ d 肛) ) ( 34 3 ) ( 3 4 4 ) 其中0 ，s ，( 0 ，l 】，由于c ，d ，= l ，4 为等腰模糊数且是有序的，由重 西南交通大学硕士研究生学位论文第32 页 心移动引理可知厂( 口) sc 4 , 厂( 6 ) d i ，而由前提条件知c 4 d 1 故c 。d 。所以 ，( 口) f ( b ) 。证毕! 推论3 4 2 若二维模糊控制算法厂的规则基是单调的且规则基震中各 规则的输出模糊集是等腰拟三角模糊数，则，是粗单调的。设 。= = ( 4 ，c ，) ij = l ，j j r 为输入z 所激活的规则集，以为，在z 处的单调距，则 6 t | d i 8 ( x ( s u p p a j ) ) ( 34 5 ) ( 3 4 5 ) 式是二维模糊控制算法单调距的最保守的估计，无论从定理3 4 1 的证明过程还是从单谒规则的定义都可看出这一点。由于具有粗单谲性，模 糊控制算法即使没有经过精心的设计也能满足粗略控制场合的要求。 当控制精度要求较高时，仅仅有粗单调性是不够的，而必须要求控制算 法具有单调性。下面的定理给出了二维模糊控制算法单调性的一个充分条件。 定理3 4 3 设r = r 止) lk = 1 ，研，k = l ，月) 为二维模糊控制算法，的 单调规则基，其中r 且= ( 4 ，x b k ，c 且) 。设a j ，b 。都是三角模糊数，c 且为等腰 拟三角模糊数且在各自的论域上满足 ( i ) 是仅基点孤共鸣的，郎仅在基点处只有一个模糊数共鸣。而在非基点 处必有两个模糊数共鸣。 ( 2 ) v j ，i l ，一，嘲，v k ，h 1 , - - - , n ，若歹+ k = f + h 则巳= 巳( 记为c m ) 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第33 页 则f 是单调模糊控制算法。 证明：由引理3 i 4 可知a i , b 。，c j , 分别构成全序集且为坐标序单增的( 将 下标视为坐标) ，并分别在各自论域上是相邻交叠的。a i 和b 。中相邻交叠的 两个隶属函数值之和恒为l ，以及相邻基点构成的区间恰为小者的严格减区 间及大者的严格增区间。比= ( x ，y ) e x 业，令 g ( x ) = f ( z ) 先证明g ( x ) 是z 的单调增函数。v y 厶，则y 仅激活一个或2 个模糊 数，二者必居其一。当y 仅激活一个时，证明比较简单。下面仅考虑激活2 个模糊数的情形。不妨设y 仅激活b 。，b ：。令b 。= b 。( y ) ，b ：= b z ( y ) ，根据日，b ! 的大小，可将b 。，b ：视为3 种情况( 见图3 1 2 ，图中表示隶属度) ( 1 ) b ， b 2 ；( 3 ) b 1 = b 2 ；它们分别对应图中y 取值y 3 ，y 。，y 2 的情 况。忱= ( x ，y ) e x a e ，令e 表示其模糊输出，由( 3 2 1 ) 一( 3 2 6 ) 可得 c z ( “) 2 ￥，誓。 彳，( 。) + b t ( y ) 4 ( “) ( 3 4 t 6 ) 由于偏差论域采用三角模糊数划分，故当y 固定时，e ( “) 的图形对x 作 类似周期性的复现和平移，其周期为l ? i a ( s u p p a i ) 。所以，仅需考查g ( x ) 在x 西南交通大学硕士研究生学位论文第34 页 位于某个4 完整支集内的单调性即可。不失一般性，以x s u p p a ：为例进行 讨论。 由单调规则基的定义， c 1 ， 为有序集，对于z = k y ) ，为了方便计算， 根据b l ，b 2 与爿l ，爿2 ，a 3 的相对大小，因为b i + b 2 = l ，可将s u p p a 2 分为 e 。，p 。】，k = l ，8 几种情况分别考虑( 参考图3 1 3 ) 。 图3 13 当x ( e ，e 。 时，2 所能激活的规则集为 ( 一1 b l ，c i l ) ，( 彳l b 2 ，c j 2 ) ，( 一2 b i ，c 2 1 ) ，( 4 3 b t ，c 3 1 ) ，( 爿3x b 2 ，c 3 2 ) ) 注意到c ，：= c ：。，c 3 ，= c 2 ：，且c ，c 。：sc 3 ，c 3 ：。当它们有完全重叠情况 发生时，g ( z ) 的单调性讨论较简。下面仅讨论4 者没有完全重叠时的情形。 不妨记c 。= c 2 ，g = c 1 2 c 4 = c 3 。，c s = c 3 2 ，则c ： c 3 c c 5 。 ( 1 )6 1 6 2 的情况。 首先指出v x ( p ，e g ，( 3 4 6 ) 式中仅有4 项非o 。如当x ( p 2 ，巳】时，( x ，y ) 仅激活( 4 b 】，c 1 1 ) ，( 爿l b 2 ，c 1 2 ) ，( 4 2 b l ，c 2 1 ) ，( 一2 b 2 ，c 2 2 ) ，注意到 西南交通大学硕士研究生学位论文 第35 页 b i a 2 ( 工) s a l ( x ) s b 2 ，由式( 3 4 6 ) 知 c ：( “) = a 。( 工) b l ( j ，) c 2 ( “) 】v a l ( 工) b ：( ，) c 3 ( “) 】v a ! ( z ) + b 1 ( y ) + c 3 ( “) 】v a ：( 工) + b ：( y ) + c 4 ( “) 】 5 6 l + c 2 ( “) v a l ( z ) + ( j ( “) v 【