（机械设计及理论专业论文）小速比谐波齿轮传动研究.pdf

碗士学位论文小速比谐波齿轮传动研究 p 3 0 6 7 0 ， 本文借鉴前人在谐波齿轮传动研究方面的成果，从理论上对小速比谐波齿轮传动 进行了研究及探讨。， 叫首先，从谐波齿轮传动突出的优点提出小速比谐波齿轮传动理论研究的意义，介绍 了谐波齿轮传动常用的研究方法和实现小速比谐波齿轮传动研究的难点，并对可能实 现的途径进行了讨论。7 文中详细叙述了小速比谐波齿轮传动研究中数学模型的建立，重点对小速比谐波 齿轮传动的共轭齿廓进行了研充应用包络理论和改进运动学法求解刚轮理论齿廓曲 线。计算中对理论数据进行了发值逼近及修正，并根据小速比谐波齿轮传动特点，首次 提出啮合区段校核干涉的理论。上述计算过程全部引入计算机辅助设计，对程序的编 者啦算法以及屏幕图形的输出和仿真，都作了较为深入的介绍。然后对柔轮齿形参数 与柔轮原始曲线的合理匹配进行了讨论，证明了采用标准圆弧齿形和四力作用型柔轮 原始曲线在小速比谐波齿轮传动设计中的合理性。 ( 最后，附以实际的计算实例。7 关键词：齿轮传动，谐波齿轮，计算机辅助设计 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 o nt h eb a s i so ft h ef o r m e rr e s e a r c hr e 岛j l t s ，t h i st r e a l i s ep r e l i m i n a r i l yp r o b e si n t o t h es m a l ir a t i oh a r m o n i cd r i v ei nt h e o r y 。 f i r s t l y t h e t r e a t i s ei n t r o d u c o st h e p r o m i n e n ta d v a n t a g e s a n d c h a r a c t e r i s t i c so ft h eh a r m o n i cd r i v e ，p u t sf o r w a r dt h er e s e a r c hm e a n i n g 。 m e a n w h i l e ，t h et r e a t i s ei n t r o d u c e s t h e a x a m a n r e s e a r c h m e t h o d s ，d i f f i c u l t i e s a n d p o s s i b l ew a y st om a k ei t i n t or e a l i t y 。 s e c o n d l y ，t h ep a p e rn a r r a t e st h es e t u p o fm t h e m a t i c a lm o d e i s ，p u t s e m p h a s i so nt h er e s e a r c ho fc o n j u g a t i n gp r o f i l e sa n du s e sn e ww a y st of i n d s o l u t i o n so ft h e o r e t i c p r o f i l e s 。d u r i n gc a l c u l a t i o n s ，t h ep r o g r a m a p p r o a c h e sa n da m e n d s t h e o r e t i c a ld a t a ，a tt h es a l i 【l e t i m e ，p o s e sc o n j u g a t i n g p a r t st h e o r yt ot e s t i f y i n t e r f e r e n c ea c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i co f s m a l lr a t i oh a r m o n i cd r i v ef o rt h ef i r s tt i m e 。w i t ht h eh e l po fc o ! 珥o u t e r ，t h i s p a p e r i n t r o d u c e sp r o g r a m m i n g 、a l g o r i t h m 、o u t p u to fs c r e e ng r a p h i c sa n d s i m u l a t i o ni nd e t a i l s 。a l s o t h et r e a t i s ed i s c u s s e sr e a s o n a b l em a t c h i n g b e t w e e np a r a m e t e r so fp r o f i l e so ff l e x i g e a ra n d p r o t o t y p i cc u r v e ，t e s t i f i e s t h er e a s o n a b l e n e s so fu s i n ga r ep r o f i l e so ff l e x i g e a ra n df o u r - f o r c e - a p p l y i n g p r o t o t y p i cc u r v ei ns m a l lr a t i oh a r m o n i cd r i v e 。 l a s t l y ，t h e r ei sac a l c u l a t i n ge x a m p l ea p p e n d e d 。 k e yw o r d s ：g e a rt r a n s i t i o n ，h a r m o n i cd r i r e ，c a d 2 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 谐波齿轮传动是种新型传动，它的出现给传统的齿轮传动带来了场革命。 但在谐波齿轮如何实现小速比传动的研究方面妯终未有重大进展，实现小速比谐 波齿轮传动己成为传动界关注的课题。因为一旦实现小速比谐波齿轮传动，将从很大 程度上扩大谐波齿轮传动的应用范围。由于在研究和设计中存在许多难以解决的问题， 所以有关小速比谐波齿轮传动的文献、著作以及有实用价值的专利较少，比较通用的 设计软件更是未见报道。 小速比谐波齿轮传动同普通谐波齿轮传动的区别就在于柔轮的变形、弯曲应力更 大，很难找到与它受到的应力( 因柔轮的原始曲线有较大的径向变形而引起的弯曲应力) 相匹配的材料。虽然柔轮使用工程塑料可以实现小速比谐波齿轮传动，但由于这样的 谐波齿轮传动装置传递的力矩较小，所以不能传递动力。另外，增大齿数差能够减小 系统的传动比，文献 1 2 建议采用双波四齿差形式来实现小速比谐波齿轮传动，由于 柔轮应力过大和齿廓容易干涉等原因难以在工程中应用。为实现小速比谐波齿轮传动 齿轮工作者和工程设计人员纷纷将目标转向了寻找新的齿廊和合适的原始瞎线以及新 的工程材料上。文献 1 1 介绍了以双摆线为齿廓的谐波齿轮传动装置，文献 9 叙述 了圆弧齿廓在谐波齿轮传动中使用的合理性。国内外钓硕究表明，剐转的理论齿薜形 状不仅与柔轮的齿廓形状有关而巨和所采用的原始趣线有关，原始曲线的不同以及同 一类型原始曲线参数的改变，都将影响冈l 舱理论齿廓的形状。 从实现可传递动力的小速比谐波齿轮传动的角度考虑，本论文将探讨使用新的柔 轮齿廓曲线在各种不同的柔轮原始曲线下，采用计算机啮合仿真的方法来寻找满足强 度条件的小速比传动的刚轮理论齿廓。 本文在对能够满足共轭条件可实现小速比传动的柔轮和刚轮齿廓加以研究、初步 探讨的同时，设计出一个较为通用的谐波齿轮传动仿真程序。 1 2 小速比球岗寄自色传动的鼎莉敏义和国内外础渤状 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究l 螂年1 2 月 同刚性传动相比，谐波齿轮传动具有如下显著的特点 1 】： ( 1 ) 体积小、重量轻而结构简单。谐波齿轮传动的三个主要构件为波发生器、柔 轮和刚轮。与传动比相当的普通齿轮减速器比较，其零件减少一半，相应的体积和重 量减少了三分之一左右或更多。 ( 2 ) 谐波齿轮传动装置由于传动环节较少，所以传动效率比般减速器的效率要高 得多。谐波齿轮传动同时啮合齿数可多达齿数的三分之一，在材料和速比相同的情况 下，可以大幅度提高承载能力。 ， ( 3 ) 能够通过密封壁向高温、高辐射、危险等地域和封闭区域传递运动并且在真空 中能够保持足够高的工作能力。 ( 4 ) 由于零件! h 结构简单，更加容易保养和维护。 ( 5 ) 同轴性好、回差小、精度高可实现零回差传动。因此在精密机械传动中应用很 广。 ( 6 ) 可以实现高增速或高减速传动。由于谐波齿轮传动的效率高及机构自身的特 点，加之体积小，重量轻，因此是理想的高增速装置。 ( 7 ) 运动平稳、无冲击、噪声小。柔轮和剐轮齿相互间的啮入和啮出是随着乘轮简 体的变形逐渐进行的，啮合过程中齿面接触，滑移速度小，并目无突然变化。 为实现小速比谐波齿轮传动，人们在现有的渐开线、三角形以及摆线等常用齿廓 曲线基础上进行了大量的探讨和研究。中国、美国、日本、德圈和前苏联的谐波齿轮 传动标准中制定的标准齿廓曲线在实际运用中由于柔轮的径向位移较大，因而导致很 大的弯曲应力无法满足抗疲劳强度的要求。四齿差谐波齿轮传动装置因为严重干涉同 样无法在工程中使用，限制了谐波齿轮传动的应用，这就要求我们对谐波齿轮传动重 新进行研究。 如果谐波齿轮能够实现传动比范围为b 0 6 0 的传动，则可以使谐波齿轮传动的应 用范围大大扩展，在很大程度e 取代行星齿轮、摆线针轮等传动：加上谐波齿轮传动的 特有优点，可以改善传统机械装备的性能和质量。另外，由于小速比谐波齿轮传动输 出的速度较高扭矩较小而降低了对柔轮材料的要求。如果设计得当完全可以使用一般 的材料来代替某些较贵重的金属材料，降低系统的成本，而且由于轴承受载较小，从 而可提高谐波齿轮传动的寿命，使谐波齿轮传动不仅适用于精密传动，也适用于普通 机械传动，所以具有重大的经济价值和广阔的应用前景。 小遮比谐波齿轮传动可以在航空航天和能源、霍达、通信、机床、仪表、常规兵 器、冶金、造船、起重运输机械、电子设备、自动化设备、医疗器械以及相关的部门 和领域使用。 小速比谐波齿轮传动由于体积小、重量轻、转动惯量小、起动力矩小和响应速度 快可应用于伺服机构和自动机械中。 堡主堂些丝茎尘望些塑垫塑丝堡塾婴壅! 翌! ! ! ! 旦 作为一种传动装置，小速比谐波齿轮传动可代替某些中间变速机构应用于通用机械 中。在节省材料、提高传动效率的同时，获得很高的传动能力和精度。 小速比谐波齿轮传动也可用在变频调速装置中，既可加大变速范围，又可提高系统 承载能力。 小速比谐波齿轮传动可在机电产品中用作智能控制装置。日本和美国很早就将谐 波齿轮传动成功应用于智能机械、机器人中，增强了机器人的性能。 随着科学技术的发展谐波齿轮传动的应用前景将更加广阔。 1 2 2 小速比谐波齿轮传动的国内步 研究现状 澍于小速比谐波齿轮传动，国外的科学工作者将重点放在了寻找新的柔轮齿廓上， 并且发表了相应的研究文章，虽然有一定的进展司，但还没有小速比谐波齿轮传动研 制成功的文献记载。 国内的研舡作主要集中于如下几点： i 使用某些新材料，例如工程塑料来制造适用于传递运动的小速比谐波齿轮传动。 由于是使用工程塑料制造的柔轮，极大地降低了系统的承载能力，而不能用作动力传动 装置。 2 寻找和使用新的柔轮齿廓曲线。由于摆线齿廓具有啮合时其上各点的滑动系数 相等从而磨损均匀、轻微的独特优点，采用由内外摆线组成的柔轮齿廓，以齿轮啮合 原理和几何逼近为工具，文献 1 1 从理论上和工艺上证明了谐波齿轮传动采用摆线齿 廓的合理性。 3 适当的增大齿差数。文献 1 2 将柔轮和刚轮的齿差数加大到4 ，使得传动系统成 为双波四齿差的形式，利用图解分析法确定实现其啮合的主要技术参数，也可以将传 动比降低到3 0 4 0 。该方法精度太差、柔轮筒体应力幅值过高、齿廓容易发生严重的 干涉以及柔轮齿顶趋于变尖或者钝化，极大地刚氐了谐波齿轮的承载自幼而无 去在工 程中应用。 综合以上所述，国内外还没有从真正意义上实现能够传递动力的小速比谐波齿轮 传动。 小速比谐波齿轮传动在理论研究和实际应用e 均有较大难度。 首先，在对小速比谐波齿轮传动新齿廓的寻找和柔轮原始曲线的选择以及刚轮共 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 轭齿廓的逼近和修正等方面存在困难。 由于现代制造方 去和工艺条件的限制，瑷代机械工业中所使用的齿廓曲线只能是 容易加工和易于检测的那些曲线，考虑到通用性和易维护性，现代谐波齿轮传动在国 内多使用经过较大变位的渐开线齿廓，并且从理论和实践中证明了在大速比传动条件 下柔轮和刚轮采用渐开线齿廓的合理性。在小遮比谐波齿轮传动中究竟使用什么样的 齿廓才能够既满足共轭条件又满足强度条件，是一个；# 常难解决的闯题。 事实和理论均证明刚轮的齿廓不但和柔轮的齿形有关而且和采用的原始曲线及系 统的传动比有关。经过计算得到的刚轮理论齿廓曲线只是一些离散的点，只能在所能 够加工出来的曲线范围内使用一定的数学工具去i 尉嘶戬丘和拟合，这种逼近和拟合使 得原本共轭的齿廓只能近似共轭，而当柔轮原始曲线发生畸变时，这种近似共轭性也 被破坏，在情况严重时根本无法实现传动。 其次，在柔轮实际应力的计算和强度的校核方面存在困难。 应力的计算和强度的校核本来就是很复杂的问题，而在小速比谐波齿轮传动中更 有其困难性和特殊性， 1 柔轮和刚轮啮合齿间实际的载荷分布状况“。 因为柔轮和刚轮啮合齿间的载荷分布状况直接影响着谐波齿轮传动的啮合性能， 决定柔轮的畸变状态和处于啮合状态的轮齿的变形状态，也是对柔轮和剐轮进行精确 强度计算的基础，因此对谐波齿轮传动的柔轮和刚轮齿闻的荷载进行准礴的分析和计 算对于小速比谐波齿轮传动的研究以及进一步揭示此种传动的内在瞄台机理有重要的 理论意义和实用价值。可是由于边界条件的不确定性和柔轮齿圈、柔轮简体、波发生 器以及轮齿的刚度变化的非线形性质，使得对该问题讨论的困难大大增加。目前虽有 文章【1 ”探讨过这个问题，仍然是以大量的假设为前提的。这种大量的假设会带来较大 的误差。 2 在计算柔轮和剐轮的应力以及校核柔轮和刚轮的强度时所使用的弹性理论是一个 在假设基础上的近似方法。 现在的一些文献通过假设齿间力分布，并且忽略次要因素，使用能量原理近似计 算传动系统，尤其是柔轮的应力进而得出系统的某些强度特征。虽然现代大量的研究 是使用功能完善的大型软件s a p 5 或更高的版本，对谐波齿轮传动系统进行精度较高 的有限元分析，结果虽然比较精确但是在处理计算结果时又经过了环绕节点均值、插 值等数值处理，使得边界上的那些节点的结果误差极大，这显然对系统的分析极为不 利。因为边界上节点的应力对材料的挤压强度、齿面磨损、齿面的塑性流动有很大影 响，同时该应力也是分析柔轮传动失效的关键因素所在。 最后，由于柔轮的原始曲线要产生不同黻的畸变，使得啮合理论在柔轮和剐轮 啮合的局部区域不再适用，共轭理论在局部不再成立，原本能够正砖啮合的齿廓便不 4 堡主兰焦堡三尘堡些塑垫堕丝堡垫塑塞 ! 塑! 生! ! 星 再正确地啮合，而在小速比谐波齿轮传动中这种畸变状况有可能更加复杂。如何正确 恰当的考虑柔轮原始曲线的畸变在小速比谐波齿轮传动系统的设计和仿真中都是一个 十分复杂的问题。 要实现小速比谐波齿轮传动存在着如下可能的途径： 1 采用新型齿廓曲线和相应地减少齿数。 在小速比谐波齿轮传动中常规的三角形和渐开线齿廓，不再能够实现正确的啮合 传动，因而必须寻找新的齿廓，并通过减少柔轮和刚轮的齿数来获得较小速比的谐波齿 轮传动。 2 柔轮和刚轮齿数差的增加。 谐波齿轮传动是一种少齿差传动。在一般情况下，剐轮和柔轮的齿差数为波数的 整数倍，在一般的设计中此整数又取为1 ，波数常常取为2 ，所以工程上实用的谐 波齿轮传动装置是齿数差为2 的双波传动，如果采用波数为4 、齿数差也为4 的四 波四齿差谐波齿轮传动1 鲁够显著的把传动比减小一倍，但由于容易引起干涉且疲劳强 度较差而不能够在工程中推广使用。 有的文献嘲上建议采用双波四齿差传动的形式，则完全可以在柔轮壳体的虚力循 环次数保持不变，而应力幅值略有增加的前提下使传动比减少一半。但齿数差的增加 容易引起齿廓干涉、齿顶干涉以及啮入啮出干涉。为避免干涉，只有适当的喇氐柔轮 和刚轮的齿形高度，这种处理将减小柔轮的啮入深度同时也不可避免减小传动系统的 承载能力，因此也不是理想的方法。 3 适当的原始曲线和波发生器的使用。 采用合适的原始曲线和波发生器不需要齿形有较大的变位，且增加同时啮合的齿 对数，刚氏啮合齿问的相互作用力，改善柔轮和冈牌自的受力状况，降低系统的应力。 综合分析，采用上述某种单一的方法，均不能实现理想的小速比谐波齿轮传动， 必须采用综合的办法，才有可能取得一定的突破。 本文尝试选取较为合适的齿廓和将夹角适当增大的四力作用型柔轮原始曲线来探 讨实现小速比谐波齿轮传动的可能性是基于如下考虑： 首先，国内外已经制定了许多齿廓标准，这些齿廓不但精确而且可以提高系统的承 载并改善系统受力状况，为我们实际应用提供了方便。此外，现代加工工艺的完善使 吾掷 完全可以加工制造出在工程中还没有使用过的齿廓，从蕊参大了荣妞瀣纛女奶谗湃 硕士学位论文 小速比谐波齿轮传动研究 范围。 其次，现代化的电算手段使得精确和快速计算成为可能，而现代材料科学已经极 大地提高了某些材料的疲劳极限和承载能力，这都为小速比谐波齿轮传动的实现提供 了可能性。 6 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 因为谐波齿轮传动中有产生可控弹性变形的挠性元件柔轮，它的研究比般传 动形式的研究更加困难。为研究方便，通常忽略那些对啮合性* 基影响不大的因素，在 不考虑柔轮畸变的基础上，做如下假定 1 田： ( 1 ) 从加工角度考虑，假设柔轮齿是在未变形的状态下加工的，在加入波发生器后 柔轮轮齿的对称线是柔轮原始曲线上该点的法线。 ( 2 ) 在柔轮的实际工作过程中柔轮的齿廓形状不发生变化。理论匕柔轮齿廓形状发 生微小的变化，但是由于齿纵剖面处的惯性矩大约为齿槽中部纵剖面惯性矩的数十倍， 齿槽中部可以认为各刚性柔轮齿用弹性铰链联接，在传动过程中只有齿槽中部产生变 形，对于中小功率的谐波传动柔轮轮齿的齿廓形状保持不变。 ( 3 ) 柔轮变形时保持平剖面，因此垂直于柔轮各轮齿的剖面在变形后依然是平面并 且同柔轮中面的变形曲面相垂直，柔轮的所有特征圆包括分度圆、基圆、顶圆以及柔轮 内表面的圆周等虽然改变了形状依然是柔轮中线的等距曲线。 ( 4 ) 在传动过程中柔轮的中线长度保持不变。根据有关的研究和计算，在变形力和 啮合力等力作用下，柔轮中线长度的变化量小于齿形公差的1 0 9 6 ，因而可以认为柔轮的 中线长度不变，同时相邻的柔轮轮齿间的中线弧长保持不变。 ( 5 ) 在变形力和啮合力等作用下柔轮中线的弹性变形状态是稳定的。也就是说在传 动的过程中，忽略由于接触点位置不同而引起的弹性线相对于某平衡位置q 微幅振动 或摆动，柔轮原始曲线的形状就是我们理论给定的形状。 以上几条假设也是我们进行小速比谐波齿轮传动研究和设计的理论基础。 谐波齿轮传动啮合问题应分为平面啮合问题和空间啮含问题两种，从严格意义上 讲，所有的谐波齿轮传动都属于空间啮合传动，应该用空间啮合原理进行研究，但是 在载荷对称并且柔轮的受力情况也对称于某条对称轴的情况下，空间啮合问题则可简 化为平面啮合问题。 本论文在讨论小速比谐波齿轮啮合问题时也将其看成平面啮合问题。 谐波齿轮传动出现以后，各种不同的研究方法随着实践发展起来。从应用角度看， 一切适用于刚性齿轮传动的理论均可在谐波癌轮传动中应用。 7 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 2 2 1 运动学法： 该方法m 8 嘲建立在u s 定理基础之上，用数学公式表示如下： 稚- e ：= 0 ( 2 1 ) 其中亓，表示在啮合点处的两齿轮公法线列矢量 试，表示在啮合点处的相对速度列矢量 也就是说，如果一对齿廓能够实现连续接触传动，则在轮齿的啮合点处的公法线 方向和该点处两齿轮的相对速度方向相互垂直，也即在啮合点处两齿轮的相对速度的 方向必须和该点的公切线方向一致。 本文尝试将运动学法运用于小速比谐波齿轮传动的理论研究中。为了减少计算和 简化最后得到的啮合方程，假设波发生器主动，柔辖从动而刚轮固定，见图2 2 1 ，这 样假设的好处在于便于计算相对速度v t ：和公法线矢量元1 2 刚轮坐标系 x 2 0 ，y ，) 又是 固定坐标系，只要将柔轮的齿廓方程代入由改进运动学方法得到的啮合方程，求得啮 合时波发生器的转角和柔轮的从动角，再利用坐标系间的转换关系将之转换到刚轮坐 标系也就得到了与柔轮齿廓相共轭的刚轮理论齿廓。 理论推导如下： 假设刚轮固定，波发生器主动而柔轮从动，因而 ：= 0 ( 2 2 ) 其中瓦是刚轮齿廓上任一点成为啮合点时的速度列矢量 设当柔轮齿形上任一点k ( x ，y ，) 成为啮合点时波发生器的转角为b ( 逆时针方 向) ，由相对运动原理，柔轮此时的转角为： a = 一 ( 2 3 ) 其中 0 为柔轮齿数，负号表示柔轮的转向为顺时针 并且假设定点的向径为p ，柔轮齿相对于其齿形对称线的转角为p ，x 点的法线矢量 为而，在横坐标轴x 和纵坐标轴j ，上的投影为行。和门，那么有下式存在： e ：2t 一吒 ( 2 4 ) 其中瓦是柔轮齿廓上任一点成为啮合点时的速度列矢量 将式( 2 2 ) 代入上式，因而相对速度 蟊：2e ( 2 5 ) 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 ( y ) y ： ( d ) 0 2 x 2 ( x ) 如图2 2 1 所示，设从坐标系 x ，0 。y ) 向坐标系( x ：0 ：y ：) 的转换矩阵为： 扩隅咖s i n b 删pco。sp届1m1 2 = l s i n 庐c o s ps i n 届l l 001 j 其中 庐是“和y ：轴问的夹角 屈是柔轮轮齿从初始位置转过的角度 同理，从坐标系 x d 。m 向坐标系 x ：0 ：y ：) 的基矢转换矩阵为 ic o s s i n e , 彬2 2 一s i n c o s l 00 引 柔轮齿廓上任一点k ( x 。，y 1 ) 的矢量表达式为： i = x ，r + m 歹 ( 2 6 ) 转换到坐标系 x ：d 2 儿) 中为： 五2m 。：亏 ( 2 7 ) 将点k ( 一，y 1 ) 的法向量亓= 栉，i + 啊，了转抉到坐标系 x 2 0 ：y ：) 中有： 亓：2 彤2 亓， ( 2 8 ) 当点k ( x ，m ) 成为啮合点时，( 2 7 ) 式对时间的导数便是相对速度，由此推得下式 曩：拿：警i ( 2 9 ) “ 馥加 1 ” 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 在固定坐标系( x ：0 ：y ： 中由w i l l i s 定理有下式存在： 元2 7 ：= 0 ( 2 1 0 ) 把表达式( 2 5 ) 、( 2 6 ) 、( 2 7 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 代入后有： 群岷警中。 ( 21 1 ) 其中 。为彤：的转置矩阵 如果令矩阵 m ：职，_ d m l 2 ( 2 1 2 ) “ 廊 则式( 2 1l ) 可简化为： 矗，7 m i = 0( 2 1 3 ) 如果考虑e 柔轮中线上点的径向位移w 和切向位移v 以及母线在柔轮变形后相对于原 位置的偏转角度嘲捌，代入式( 2 1 3 ) 式有下式成立： c 1 2 ( n 1 ：y 1 一玎1 ，x 1 ) + ”1 ，c 1 4 + 订1 yc 2 4 = 0 ( 2 1 4 ) 上式中的系数c 。：和c 。以及c 。由下式确定： 11d v d i i c 1 2 2 i + 7 历+ 万- - r ：一s i np 磊d w + 0 + ! 安玲+ w ) c o s p(215)ci48 p 面+ + 7 历灯+ w ) c o s p ( 2 。：c 唧窦+ ( ；+ ! - 要w ) ( ，+ 。) s i n 。2 4 = c 0 8 历+ ( - + 7 万) 【厂州 小离c o s o s i n 9 一, 0 c m 0 5 a 1 1 眨1 6 ) 0 1 ，： = i - s i n 驴 c o s p s i i la 儿 ( 2 lill 1 1jl o1 jij 1 0 堡主兰堡堡苎 ! ：鎏些! ! 鎏堂篓堡垫旦塞! ! ! ! 兰! ! 旦 其中 = 屈+ 可以证明此方法如和包络理论配合使用将取得良好的效果，一般不会发生计算结 果溢出和出现假点的问题。 2 2 2 包绍理论 该方法是研究谐波齿轮传动有效的方法之一。如果将包络理论应用于小速比谐 波齿轮传动的研究中，假设波发生器固定，柔轮主动，刚轮从动，其相应的数学模型 为： d 图2 2 2 包络理论坐标关系示意图 柔轮的齿廓方程在坐标系b 0 。y 。) 中以参数形式给出： 髓翟c 其中u 一， 亿忉 设柔轮轮齿相对于波发生器的转角为，谐波齿轮的传动比为f ，则将柔轮的齿廓 方程变换到刚轮坐标系中，便得到与刚轮齿廓相共轭的柔轮齿廓曲线族方程在坐标系 ( x z 0 2j ，2 中的烈； j 叠爿z 曩儿，e f j !弦1 8 ) l y 2 = y 2 ( x l ，l ，p ，z ) 一 综合以上各式，当柔轮原始曲线和传动比f 一定的情况下与柔轮齿廓曲线相共轭的 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 刚轮理论齿廓方程须满足 x 2 = z 2 ( “，卢) y 2 = y 2 ( “，卢) ( 2 1 9 ) 一o x ：一。钞2 一堕盟：o 8 8 加o u 0 , 0 只要在式( 2 1 9 ) 中的第三式求出与柔轮齿廓参数u 对应的波发生器转角b ，也就是 当u 一定时( 对应着柔轮齿廓上点) 的b 值，代入前两式，便求得与柔轮齿廓上一点 相共轭的网燃廓上点的坐标。 除以上两种外，还有图解分析法、幂级数法、等速曲线法等方法。由于本文主要 应用上述两种方法，因此仅州塞两种方法作较为详细的介绍。 本文以包络理论为基础结合改进运动学法探讨小速比谐波齿轮传动的设计及其研 究问题。 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 3 小速比谐波齿轮啮合研究的数学模型 谐波齿轮传动的啮合研究有如下三种情况： 1 已知柔轮齿廓和原始曲线类型，求与之共轭的刚轮齿廓 2 已日刚轮齿廓和原始曲线类型，求与之共轭的柔轮齿廓 3 己知柔轮齿廓和冈峪齿廓，求相应的原始曲线类型 其中第1 种是最常见的情况，考虑到工程上实际运用和研究的方便，本文以该种 情况为例探讨建立小速比谐波齿轮传动啮合研究的数学模型。 研究的思路和过程如下： l 确定柔轮的齿廓曲线方程。 基本参数为：柔轮齿数z ，、模数埘、柔轮齿高系数h ，最大啮入深度系数h 。、柔 轮简体壁厚占、以及其他相关参数。计算柔轮齿廓上点的坐标和斜率，并将之变换到柔 轮坐标系。 2 选择合适的原始曲线，使用包络理论和改进运动学法计算刚轮齿廓上共轭点的坐 标，如果不存在共轭解或者共轭点的数量太少，则返回第1 步，重新设定柔轮齿廓的类型 或者修改齿廓参数。 3 将这些理论共轭点的坐标使用合适的曲线去逼近，并根据最大啮入深度系数等数 值重新计算修正后的刚轮齿廓坐标，将其值存入相应的数组中。 4 对设计的传动系统进行干涉校验。如果干涉很小或者不干涉，进行下一步，否则 回到第3 步，重新对刚轮理论齿廓进行逼近和修正。 5 对设计的齿廓和结构参数进行必要的强度校核和承载能力计算。 6 将波发生器转角等分，分别计算当波发生器处于这些点位时柔轮各齿的位置，作 出柔轮和刚轮的齿廓，进行柔轮和刚轮齿廓啮合的屏幕运动学仿真。 详细步骤见5 2 仿真程序设计总体框图。 3 2 坐标系的建立 堡主兰垒堡茎 ! ：婆生! ! 塑塑丝堡垫塑塞 旦塑兰翌! 二l 为使计算简单直观，需要建立几个相互关联的坐标系以求在小速比谐波齿轮传动 研究中各种数学表达式简单易求。 在小速比谐波齿轮传动研究中需要建立的坐标系有女口_ 下几个： 1 发生坐标系 x o y ) ： 该坐标系是产生柔轮齿廓的坐标系，对于不同的齿廓曲线该坐标系的位置可能不 同，但该坐标系的建立一定要最简单的表示柔轮齿廓方程； 2 柔轮坐标系( x ，d 、) ，。，： 坐标原点o 、位于柔轮原始曲线上，y 坐标轴位于柔轮齿形的对称线上，正方向与 柔轮原始曲线在该点的外法线方向所夹的角为锐角，x ，坐标轴与y 。坐标轴相互垂直； 3 刚轮坐标系 2 c z 0 2 y 2 ) ： 坐标原点吼同波发生器的回转中心重合，y ：坐标轴沿着刚轮齿槽的对称线方向， y ：坐标轴同y ：坐标轴相互垂直； 4 固定坐标系 x o y ) ： 原点位于屏幕坐标系的中心，y 坐标轴垂直向上，x 坐标轴水平向右，同时该坐 标系作为向屏幕坐标系转换的过渡坐标系，若刚轮固定，该坐标系和刚轮坐标系重合； 5 屏幕坐标系( x ，d 。y 。) ：该坐标系总是同特定的微机语言环境相联系，一般而 言，坐标原点d 。位于屏幕的左上角，x 。坐标轴水平向右，儿坐标轴垂直向下； 以柔轮齿廓采用渐开线、波发生器主动、柔轮从动、刚轮固定为例，说明各坐标 系间的相互关系，如图3 1 ( a ) ( b ) 所示。 口 、 冬。j ， ( a )( b ) 图3 1 坐标系间相曼关系示意圈 1 4 婴主堂垡笙苎尘婆堕! 堂堕塑笙堡垫堑塞! ! 些! ! ! 旦 上述的五个坐标系相互联系，彼此间相互转换。 其中第四个坐标系起着较为重要的作用，因为它是个起媒介作用的坐标系，没有 它便不能把柔轮坐标和刚轮坐标转换到屏幕坐标系，不能实现屏幕作图和运动及其动 力学仿真。同时该坐标系起着一个定位基准的作用，可以将柔轮和刚轮的任何运动都 转化到该坐标系中，为研究小速比谐波齿轮传动问题带来了很大的方便。柔轮坐标系 和刚轮坐标系可以有别的形式酶建法，只要齿廓的坐标容易表达e 口可。 但是在较为特殊的条件下，例如当柔轮采用双圆弧齿廓或者双摆线齿廓时，齿廓 的计算要分为两个部分，一部分是正常齿廓，而另一部分是它在发生坐标系中关于某 一点的对称部分，在建立其方程时需要额外的坐标变换使得变换更为繁杂。 柔轮齿廓方程的建立是啮合研究的基础，只有建立合理正确的柔轮齿廓方程才能够 顺利地进行共轭点的计算和对理论点进行逼近和修正。 为建立柔轮的齿廓方程，需要如下的基本参数：柔轮的齿数z ，模数册，柔轮的齿高 系数矗。最大啮入深度系数 。，柔轮筒体的壁厚万：如果使用摆线齿廓，还需要输入滚圆 的半径0 和偏心量8 。：使用别的类型齿廓曲线，则根据需要输入确定齿廓方程必须的其 它参数。 计算齿顶圆半径。： _ = = 导+ 州 ( 3 1 ) 据此确定柔轮齿廓参数的取值范围，并将该取值范围离散，计算各离散点的坐标 ( x ，y ) 和斜率( 也，k y ) ，并利用如下的变换公式： 00 0 一 1 23( 、，l，l，lj x y ，：l = 、。，、，jk u 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 o0 对于抛物线、圆弧等柔轮齿廓： m ：1o l o1 j 对于渐开线、摆线等柔轮齿廓： m = 丌 c o s 2 z ， 万 s l n 一 2 z ， 0 1 h 屯 ( 3 3 ) l ，j ( 3 4 ) ( 3 5 ) 变换到柔轮坐标系 z 。0 。y 。) 中，并且分别存放到数组而( ) 、y 。( ) 、。( ) 和 k y l ( ) ( 是离散点的个娄i d 里面，完成柔轮齿廓方程建立的基本工作。 柔轮齿廓可以采用标准齿廓，例如圆弧齿廓和双圆弧齿廓，也可以采用自定义的齿 廓。下面分标准齿廓和自定义齿廓两种情况简要讨论柔轮齿廓的建立问题。 3 3 1 采用标准齿廓时柔轮齿廓方程的建立 以圆弧齿为例。 v 八 厂 、 一卜渊 o i ，。 - _ _ 一 图3 3 1圆弧齿廓示意图 1 6 一幻旦珥 出 宝 一 c 塑主兰垫笙皇 小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 参看图3 3 l 设 九= 阮。册 ( 3 6 ) 其中 吃，为柔轮齿高系数 对应的角度 口。：s i n - ( 生) ( 3 7 ) p 。 将区间( a 。，口。) n 等分，计算各分点的坐标 1 z = p 。c o s a + ，。 【，2 p 。$ l q 口 f k ：= 一p 。s i n a 1 i y = 成c o s l z f h 麓! 圳 川 o 1 o ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) o f k 。1 ：川 。l l 便得到了柔轮左齿廓的离散点的坐标。 对于那些一步不能变换到柔轮坐标系中的齿廓，总可以利用坐标变换公式，经过几 步变换，变换到柔轮坐标系的。 3 3 2 采用自定义齿廓时柔轮齿廓方程的建立 可供我们选择的自定义齿廓的种类很多，有摆线、双摆线、抛物线、正余弦曲线等， 考虑到工程上的加工问题，最好使用那些容易加工和保证黻的曲线，下面以抛物线为 例讨论柔轮齿廊方程的建立。 塑主兰垡鹭奎 小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 i i i i i j i 1 图3 3 2 抛物线柔轮齿廓的建立示意图 为计算和分析的方便，假设所待选的抛物线经过原点，位置参数即其顶点坐标为 ( 也，儿) ，形状参数为肛，也即所设定的抛物线方程为： ( x 一吒) 2 = 一f k x ( y y 。) 同时满足如下关系： x k 2 = 露x yk 参看附录a l 抛物线柔轮齿廓的建立，参数需满足如下条件 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 舳考q * 一r ii n 三 y h d 聊( 3 1 4 ) 詈 耶跗唼t 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 其中 r：坐1 量是柔轮齿的半齿顶宽 b = 矗+ 二万面历习了 待各参数满足式( 3 1 4 ) 的关系后，将x ，n 等分，利用循环分别计算这n + 1 个点的 坐标( x ，y ) 和相应的斜率( 七k ) ，同时把坐标和斜率交换到柔轮的坐标系中，为使变 i = f 毛毫r x t 。+ _ x s m 口一k 。 c s ，s ， 很容易地看出，该变换的实质是平移变换，不存在坐标系的旋转问题，因此，斜 率不需要变换可以直接引用，就是说，有下式存在： 净2 屯( 3 1 6 ) i k y l = k y 以上以抛物线为例介绍了建立柔轮齿廓方程的方法，中心环节是式( 3 1 4 ) ，限制齿 形不可太小同时又不可太矮贱如果不合乎要求则通过修正半齿顶宽度的办法来修正整 个柔轮齿形的形状。 对于那些除标准齿廓以外的其他齿廓，无论方程式是什么，只要满足如下的条件即 可： 1 齿顶的宽度必须大于或者等于兰 2 为保证齿廓存在，齿形所对应的圆心角不可太小又不可大于旦 硕士学位论文 小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 建立柔轮齿廓方程以后，需要选择合适的原始曲线求刚轮的理论齿廓曲线。工程上 经常使用的原始曲线有：标准椭圆原始曲线、双偏心圆原始曲线、余弦原始曲线和四 力作用型原始曲线，考虑到其它类型的原始曲线均可用四力作用型原始曲线逼近，本文 采用四力作用型柔轮原始曲线。 至于求刚轮齿廓上共轭点的方法，在第2 章已经作了详细的叙述。方法的选择直 接关系到求解的精度和收敛性，在小速比谐波齿轮传动研究中，侧重于使用包络理论但 是包络理论容易产生求解结果不收敛和假点的问题。为了保证求解结果的准确，并且加 速结果的求隰本文采用改进运动学法和包络理论相组合的方法来求解该问题。 假设柔轮的齿廓方程有下式确定： f x l = x l ( 甜) 【y 。= y 。( 打) ( 3 1 7 ) 又设采用的柔轮原始曲线为： p = p ( f 1 )( 3 1 8 ) 则根据前述的坐标转换方法和包络理论，与柔轮齿廓上任一点共轭的刚轮上点的坐 标由下式确定： x 2 ( u ，国= x 1 ( u ) c o s o + y , ( u ) 3 i n 驴+ p ( f 1 ) s i “y( 3 1 9 ) i ，2 何，3 ) = 一x 1 氆) s i n 多+ j ，t ( u ) c o s 庐+ p 妒) c o s y 并满足条件： 嚣碧一鲁等= o ( 3 2 0 ) a 8 孤加a 8 ”一 其中 卢一塑塑 g i n l 2 = 二二氟 o g ( 3 2 1 ) l 咖 。 r m ld 日 y = 庐，一： 妒= ，+ 2 0 硕士学位论文 小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 为波发生器转角：氟为柔轮转角 庐：为刚轮转角；z ，为柔轮齿数 z 。为刚轮齿数； 卢为柔轮轮齿偏转角 为x ，和x ：轴闻的夹角 根据包络理论必须进行如下偏导数计算： 譬= 后一o s + 庀。1 s i n 磐= ；ls i n 庐+ k y l c o s 庐 器一州咖一n 荔+ 州小。s 荔+ p c 卢加s y 荔+ 嚣s i n y 万o y = 一一 ) c o s 嚣叫 ) s i n 器一p ( ) s i n y 荔+ 嚣c 。s ， 盟：三f 2 一趔、 印 z g r 。i 盟：盟+ 塑 8 88 a 8 ( 3 2 2 ) 对于不同类型的原始曲线如图3 2 所示，分别计算如下的偏导数 ( a ) 标准椭圆原始曲线 ( b )( c ) 双偏心圆原始曲线余弦原始曲线 ( 近似四力作用型原始曲线) 图3 2 名种柔轮原始曲线秀；意图 当采用标准椭圆原始曲线时 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究1 9 9 8 年1 2 月 即) 2 万i 南 望：一 塑二鱼! ! ! 望 妒 2 ( f 2s i n2 + s 2c o s 2 ) 嚣一再考纛卜关矗甓+2cosp2rs i n 2 ( 1 s i n ， 妒 ( ，22 + s 2c o s 2 ) 必 2 2 卢+ s 2c o s 2 ) 。 其中，和s 分别为椭圆的长短半轴长 当身硼双偏心圆原始曲线时 当o 声兰要一。时 ( 3 2 3 ) l p ( 卢) = e c o s f l + r 2 一口2s i n 2 卢 1 “。：t a n 弋旦) ( 3 2 4 a ) 【 、， 当三一。 卢三时 舢) 2 赤 ( 3 2 4 b ) 由于在小速比t 皆玻齿轮传动中，啮合区间在( o ，要一) 内，因此 z 妒o p ：- e s i n 一篇 罢：一1 一。夕 够k 。 ! ：! ! ! 丝 一 护j 硒 其中e $ 1 1 r 分别为偏心量和偏心盘的半径 当采用余弦原始曲线时 ! ：! ! 呈：丝 4 9 ：一e ：s i nz 声) ( 3 2 4 ) 硕士学位论文小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 p ( p ) = r1 + r r w oc o s 2 , 0 粤= 一2 脚i n 2 0 8 。 孔 一4 m w o c o s 2 f l 当采用四力作用型原始曲线时 p ( p ) = r ，+ 叫 8 8 。丢高等 。荟。弋c o s 巧妒, c o 厂s n p n 。c o s n # g s i n n 7 ( 挖2 一1 ) 2 _ ：两。萎 。丢署等“磊 胛2c o s n zc o s n f l i 二矿 ( 3 2 5 a ) ( 3 ，2 5 ) ( 3 2 6 ) 其中 以是滚轮间的夹角 从以上的推导可以看出，首先计算( 3 1 7 ) 式求得柔轮的齿廓参数，再由设定的原 始曲线，综合计算( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 以及( 3 2 3 ) ( 3 2 6 ) 中的某一对应式子，将结果代 入( 3 2 0 ) 式，用数值迭代法求得与任一“相对应的的值，最后将所有的相应的结果 代入( 3 1 9 ) 式，也就得到了与柔轮齿廓楣共轭的刚轮理论齿廓。 为提高计算的准确性和可靠性，可以使用包络理论判断式( 3 2 0 ) 是否收敛，如果收 敛，并判断出解的区间。 判断方法如下： 将待寻根的区间( 届，夕：) 等分为珏份，间距为： 举：鱼盟( 3 2 7 ) 令 v a l 。“器警一警嚣帅= 屈 ( 3 2 8 ) 、 a 8a u 8 8 j j 卜一p 1 ” 舞一撇 印一够 堡主兰堡堡茎 小速比谐波齿轮传动研究 1 9 9 8 年1 2 月 在某一分点的 “等等一等等) i = 反 1 8 8 乩钒8 8 j j p pk 其中0 k 摊 如满足如下关系： v a t o v a l l 0 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 则根所在的区间为( 届+ ( j i 一1 ) ，+ j 】 华) 。 然后，使用改进运动学法来精确计算刚轮的理论齿廓曲线。计算表明，这样的处理 虽然t 6 i | 颁，然而可以有搿剑避免计算中出现假点的问题。 以采用四力作用型柔轮原始曲线为例，对于改进运动学法，存在如下的等式： la d “= 二 r 。ia