（检测技术与自动化装置专业论文）风电场的风速预测与主轴故障诊断.pdf

j i i ll l ir l ll 1li llf i i 17 9 615 9 监测信号，风速对风电场的 轴的故障将导致机械传动链 主要讲述了风电场风速的预 测和主轴的故障诊断，采用时间序列法对某电场的2 4 小时数据进行短期风速预测， 通过a r 、, u r i m a 模型对预测风速结果进行比较；利用小波变换对c w r ub e a r i n gt e s t d a t a c e n t e r 实验数据进行故障诊断，根据已计算出故障频率较好诊断主轴故障。 关键词：风速预测，时间序列，故障诊断，小波变换 a bs t r a c t w i n ds p e e da n dt h es p i n d l ef a u l ts i g n a la r em o n i t o r i n gs i g n a l so fo n l i n e m o n i t o r i n gs y s t e mf o rw i n df i e l d ，t h ev a l u eo fw i n ds p e e dd e t e r m i n et h ew i n df i e l d g e n e r a t i n gc a p a c i t y , b u ta l s od i r e c t l y a f f e c tt h ew i n df i e l d so p e r a t i o n ；s p i n d l e f a i l u r ew i l lr e s u l ti nm e c h a n i c a lt r a n s m i s s i o nc h a i nf a i l u r e ，w h e ns e r i o u ss p i n d l e f a i l u r e h a p p e n ，w i n dp o w e rs y s t e m w i l lh a v ead i r e c ts h u t d o w n t h i sp a p e r d e s c r i b e st h ef o r e c a s tw i n ds p e e da n ds p i n d l ef a u l td i a g n o s i s ，u s i n gt i m es e r i e s m e t h o dt oaf i e l do f2 4h o u r so fd a t af o r e c a s tw i n ds p e e di ns h o r t t e r m ，c o m p a r i n g w i n ds p e e dr e s u l t st h r o u g ht h ea r ，a r i m ap r e d i c tm o d e l ；u t i l i z i n gw a v e l e t t r a n s f o r mt oc w r ub e a r i n gt e s td a t ac e n t e re x p e r i m e n t a ld a t ad i a g n o s ef a u l t ， s p i n d l ef a u l tc a nb ed i a g n o s e da c c o r d i n gt ot h ef a u l tf r e q u e n c yh a s b e e nc a l c u l a t e d w a n gl u ( d e t e c t i o nt e c h n o l o g ya n d a u t o m a t i ce q u i p m e n t ) d i r e c t e db yp r o f c h a n gt a i h u a k e yw o r d s ：w i n ds p e e df o r e c a s t i n g ，t i m es e r i e s ，f a u l td i a g n o s i s ，w a v e l e t t r a n s f o r m 1 2 国内外研究现状2 1 2 1 风速预测2 1 2 2 振动故障诊断3 1 3 本文研究内容4 第二章时间序列5 2 1 时间序列的分析概述5 2 2a r m a 时间序列5 2 2 1 白噪声时间序列5 2 2 2a r ( a u t or e g r e s s i v e ) 自回归模型气化影响因素分析6 2 2 3m a ( m o v i n ga v e r a g e ) 移动平均模型8 2 2 4a r m a ( a u t or e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g e ) 模型1 0 2 2 5a r i m a ( a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e ) 模型1 3 2 3 检验数据的平稳性1 4 2 4 时间序列模型结构识别与定阶方法1 6 2 4 1a r ( p ) 模型的定阶1 6 2 4 2a r m a ( p ，q ) 模型的定阶1 7 第三章时间序列在风速预测上的应用1 9 3 1 风速时间序列1 9 3 2 风速时间序列的预处理2 1 3 2 1 提取序列2 1 3 2 2a r m a ( p ，q ) 平稳性2 1 3 3 风速预测模型的识别、定阶及参数的确定2 2 3 3 1a r ( p ) 模型2 2 3 3 2a r i m a ( p ，d ，q ) 模型2 3 3 4 风速预测2 6 3 4 1 基于模型a r ( 3 ) 的风速预测2 6 3 4 2 基于模型a r i m a ( 6 ，5 ，1 ) 的风速预测2 6 3 5 模型检验与预测结果。2 8 3 5 1 模型检验2 8 3 5 2 不同模型的预测效果比较2 9 华北电力大学硕+ 学位论文 第四章小波分析的基本理论3 0 4 1 小波变换概述3 0 4 2 时间一频率局域化分析3 0 4 3 小波分析理论3 l 4 3 1 连续小波变换3 1 4 3 2 离散小波变换3 5 4 3 2 1 离散小波变换3 5 4 3 2 2 二进小波变换3 5 4 3 2 3 正交小波和小波级数3 6 4 4 小波分解与重构3 7 4 4 1 多分辨分析3 7 4 4 2 正交小波基的构造3 8 4 4 3 离散小波分解与重构3 9 4 4 4 常用小波函数4 l 4 3 4 1 小波基的数学特性4 l 4 3 4 2 小波函数4 3 第五章风力发电机组主轴的故障诊断4 6 5 1 风力发电机组的丰轴故障4 6 5 2 小波时间序列分析主轴的故障4 7 5 2 1 轴承的内圈故障4 8 5 2 2 轴承的外圈故障5 0 5 2 3 轴承的滚动体故障5 l 5 3 小结5 3 第六章结论与展望5 4 参考文献：5 6 致谢6 0 在校期间发表的学术论文和参加科研情况6 l 华北电力大学硕士学位论文 1 1 选题背景及意义 第一章引言 风能是太阳能的一种转换形式，是一种重要的自然能源。我国幅员辽阔，陆疆总 长2 万多千米，海岸线1 8 万多千米，是一个风力资源丰富的国家，全国约有2 3 的 地带为多风带。风能总储量为3 2 2 6 亿千瓦，实际可开发的风能储量为2 5 3 亿千瓦， 为可再生能源和新能源利用技术提供了强大的资源条件【l 】。 世界风力发电技术己逐渐完善，就其发展趋势而言主要反映在小容量向大容量 发展，定桨矩向变桨、变速恒频发展，陆上风电向海上风电发展，结构设计向紧凑、 柔性、轻盈化发展等方面目前，我国国产化机组主要技术靠进口，我们只能生产叶 片和塔筒塔架，这是我国发展风电的瓶颈。因此，我国的风力发电装备市场至今仍 由国外风力发电机组占据。这一现实要求我国加深对风电系统的各方面的研究，主 要是核心技术的研究，在线监测系统中风速预测和故障诊断是核心技术的一部分内 容2 , 3 , 4 , 5 】。 风力发电随机性很强，风速预测一直是风力发电系统的研究热点和技术必需， 也是风电场规划设计的一项重要工作。对风电场风速或风力发电功率预测准确与 否，直接关系到风电场对电力系统的影响，更重要的是风速与风电机组的控制仍密 切相关。风速预测的关键技术和研究方向是改进短期预测，短期预测是指通过已知 的风速对未来较短时间内的风速预测。风速预测受到多方面的影响，如风电场的温 度、湿度、气压分布、地形等影响，还有是风机自身的因素，如叶片的大小、塔筒 高度、风机的装机容量等【6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 】。 随着机组的装机容量不断增大，发电机组的运行环境日渐复杂，发电机组的故 障率也有一定的增长，如果故障率居高不下，直接影响到机组的安全运行，最终降 低风电机组的效益。对设备的状态信号进行故障诊断主要有两方面作用，第一，预 测故障发展趋势，控制系统可以提前动作，避免大的故障的发生。第二，对已发生 的故障可以通过故障诊断来判别故障类型，从而使工程人员尽快维修。主轴在风电 机组的机械传动链具有传动能量的作用，因此故障率较高，对主轴诊断直接关系到 j x l 力发电系统的稳定性和发电量( 1 2 , 1 3 , 1 4 】。 华北电力大学硕+ 学位论文 1 2 国内外研究现状 1 2 1 风速预测 国内外对于风力发电各种课题的研究越来越深入，关于风电场风速和功率预测 的研究还达不到令人满意的程度。风电场的风电装机容量和风场的风速和风向有密 切关系，因此，为了有效的预测风电场的出力，风速和风向这两个参数显得很关键。 其中影响风力机发电量的因素主要是风速。目前，存在一些风速预测的方法，这些 方法从大的方面可以分为两种：( 一) 物理模型法：这种方法中不仅用到了历史数 据，而且考虑了气象和地表情况，以及风力发电机的性能( 机舱高度、出力曲线、 穿透功率等) ，但主要依据是来自气象模型，这种模型要想获得准确的短期预测， 必须要用更长的时间来对其进行校正，因此不适用于短期预测。( 二) 时间序列模 型法：这种方法基于最小均方差和统计理论，仅利用历史风速数据进行建模分析， 它基于历史数据和现在数据建立的模型推断将来的数据，这种方法易于建模并能够 进行及时地预测，但预测的精度相对下降。 目前，国内外关于风电场风速和功率预测的理论研究，大多采用时问序列模型 法，主要有以下方法： 1 持续法，把最近一点的风速或功率观测值作为下一点的预测值【i5 】； 2 卡尔漫滤波法( k a l m a nf i l t e r s ) ，用前一个风速估计值和最近一个观察数据( 不 需要全部过去的观察数据) 来估计风速的当前值，用状态方程和递推的方法进行估 计，它的解是以估计值( 常常是状态变量值) 形式给出的【1 6 1 ； 3 时间序列法( a r m a ) ，基于风速的时序性和自相关性对风速建立模型进行预 测【1 7 1 8 ，1 9 ，2 0 2 l ，2 2 2 3 2 4 ，2 5 2 6 ，2 7 2 8 2 9 】； 、 ， 4 神经网络法( a n n ) ，利用神经网络算法，基于风速的时序性对风速进行预 测。该方法针对短期风速样本数目不足的缺陷，具有很强的容错能力、数据学习能 力和弥补信息不全的能力【2 8 , 3 0 , 3 i 】； 5 小波变换法，利用小波中多分辨分析的方法可以将风速中的基本风速和缓慢 变化的j x l 速提取出来，这两种风速属于低频信号，利用时问序列可以预测未来风速 【3 0 ，3 2 】 o 6 模糊逻辑法( f u z z yl o g i c ) ，基于模糊数学理论，无需预先知道风速的精确数 学模型，依赖于人的经验总结，精度不高，自适应能力较差；采用功率观测器来实 现对风速的预测，但是由于风力发电机组是复杂的非线性系统，对应同一功率和转 速，可能存在不同的风速值。 7 综合的方法( 以及其它) ，是将上述几种方法结合起来，如时间序列法和神经 华北电力大学硕士学位论文 网络法相结合；如时间序列和小波变换的结合；时间序列和模糊逻辑法的结合等。 综合的方法优点是合理利用各方法的优势，但缺点是系统复杂引起响应较慢 【1 5 ，1 6 ，2 8 ，3 0 ，3l ，3 3 ，3 4 】 o 1 2 2 振动故障诊断 风电作为一种新技术，要取得长期稳定发展，就必须不断降低成本。一方面要降 低制造、安装成本，另外很重要的一个方面是降低运行维护成本。而达到后者的一条 重要途径是基于状态的维修( c o n d i t i o nb a s e dm a i n t e n a n c ec b m ) 。主要指的的是风电 的故障诊断，风机的振动故障是风电的常见故障之一。 振动故障在风力机上，其主要表现是齿轮箱的齿轮和轴承、发电机的轴承、主轴 承以及机舱的故障。主要分析方法有幅域统计分析，时、频域的幅值谱分析，功率谱 密度分析等2 5 , 3 6 , 3 7 , 3 8 , 3 9 , 4 0 】。风力机的振动有自己的特点，低速轴和机舱的振动频率比 较低( 1 0h z 以下) 。对于机舱的振动分析，为了消除风轮变转速的影响，振动信号应等 旋转角采集，而不是等时间间隔采集。 基于信号处理主要有以下几种分析方法： 1 傅立叶法，通过傅立叶变换以频域的形式来描述信号，具有比时域描述具有 更简明清晰的特点，更能揭示信号的本质内容。特别是快速傅立叶变换算法发明之 后，频谱分析的应用更加广阔。 2 相关分析法，当信号被强烈的随机信号所混杂甚至淹没时，将信号作相关分 析，利用确定性信号的规律性将其从干扰信号中分离出来或者利用信号间的相干性 求取信号传输系统的特征参数和动态特性【4 1 1 。 3 时间序列分析法，是根据观测数据和建模方法建立动态参数模型，利用该模 型进行动态系统过程的模拟、分析、预报和控制的方法。 4 倒频谱法，是对频谱的进一步谱分析而得到的，是“对数功率谱的功率谱”， 倒频谱分析法能够突出功率谱图中的一些特征和显示振动状态的一些变化，利用该 方法的线性分离特性能很好地实现振源信号与系统特性的线性分离【4 2 1 。 5 - j 、波变换分析法，是近年出现的一种时频分析方法由于具有良好的时频特性 和局部化分析性能，在处理非平稳信号时相比传统的方法具有更好的效果，因此得到 广泛的应用。h i l b e r t 变换已广泛地应用于轴承故障诊断中，这是因为利用h i l b e r t 变 换可以得到信号的复包络，此复包络只包含信号的调制信息，无载频成分，从而提取 故障信息【4 3 , 4 4 , 4 5 , 4 6 , 4 7 , 4 8 】。 华北电力大学硕士学位论文 1 3 本文研究内容 风速预测和风机的故障诊断是风力发电监测系统的一部分，也越来越受到电场 和科研人员的重视，本文主要讲述基于时间序列的风速预测和小波变换在主轴故障 诊断上的应用。 第一章，绪论。主要讲述风速预测和风机振动故障诊断的必要性及重要性，概 述了风力发电的国内外概况和发展趋势。对风速预测和故障诊断的主流方法进行归 纳和比较。 第二章，时间序列。主要讲述了风速预测的理论基础，时间序列法。分别介绍 了建立a r 、m a 、a r m a 和a r i m a 模型的过程4 9 , 5 0 , 5 1 1 。 第三章，时间序列在风速预测上的应用。根据某一风力发电场的风速数据，建 立a r 、a r i m a 时间序列模型进行短期的风速预测。 第四章，小波变换用于故障诊断。讲述了主轴故障诊断的理论基础，小波变换 法。介绍了连续小波变换和离散小波变换的相关理论，详细讨论了小波的分解与重 构和多分辨小波变换的原理，以及常见的小波函数【5 2 , 5 3 】。 第五章，风力发电机组主轴的故障诊断。讨论了风力发电机组的主轴故障，应 用小波变换和h i l b e r t 变换，对c w r ub e a r i n gt e s td a t ac e n t e r 公司的实验数据进行 分析，即故障诊断，效果较为理想。 第六章，总结与展望。简单描述了本文的主要工作即风速预测和主轴的故障诊 断，同时指出了不足之处。 4 华北电力大学硕士学位论文 2 1 时间序列的分析概述 第二章时间序列 在科技高速发展的今天，越来越多的信息被存储在计算机上，如风电场的监控 系统中保存了大量参数的历史数据，如风速数据、风向数据、振动数据、温度数据、 电机转速的数据和电机电流电压的数据。这些数据中包含了很多有用的信息，对这 些数据进行分析处理具有重要的价值。例如，对风速数据进行分析，可以预测风速 的大小，风电场风速或风力发电功率预测准确与否，直接关系到风电场对电力系统 的影响，更重要的是风速与风电机组的控制仍密切相关；对振动数据进行分析，可 以检测出振动故障，用来提前进行维护或是故障维修等等，从而可以获得最大利润； 对风电场参数的历史数据进行分析，可以发现参数问变化的内在联系，更好地对风 电场进行控制。上述很多数据是以时问序列的形式出现的，因此，时间序列在风力 发电领域内有着广泛的应用。 由于观测的不完全确定性，时间序列实质是一个随机变量序列。时问序列( t i m e s e r i e so rt i m es e q u e n c e s ) 是指一些在相同的时间间隔下获得的，并且和时间变化 顺序相关的序列值( 整数或实数) 的集合。 2 2a r i a 时间序列 时间序列分析的主要内容是研究时间序列的分解、预测、时间序列的线性自回 归模型( a r ) 、滑动平均模型( m a ) 、自回归滑动平均模型( a r m a ) 、自回归求 和滑动平均模型( a r i m a ) 以及一整套的建模、估计、检验和控制方法等。 已知时问序列的现在和过去的观测值，预测( 估计) 其将来的值或变化趋势， 称为时间序列的预报。a r m a 时间序列它是将非平稳时间序列平稳化，然后对得到 的平稳时间序列利用自回归过程和滑动平均过程，以及样本自相关系数、样本自偏 相关系数等数据，对模型进行辨识、估计和预报。a r m a 序列的数学模型是有限参 数线性模型。对于满足有限参数线性模型的平稳时间序列的分析，在理论上己趋成 熟，并且广泛应用在很多领域。本文主要将a r m a 时间序列中的a r 、a r i m a 模 型用于风力发电系统中的风速预测领域中，并取得的较好的预测效果。 2 2 1 白噪声时间序列 单变量时间序列用儿表示，只可能等于l o g ( c o , ) ，其中q 为原始的观测序列。只在 时刻t = l ，2 ，以有观测值。在t 时刻的观测值是未知，若直到t 一1 包括t - 1 在内的所 华北电力大学硕士学位论文 有观测都是已知的，可以将所有这些已知的观测值序列记作z - i ，称作时刻t 一1 的时 间序列。时间序列数据依时间顺序观测的事件正好隐含着在时间序列集一。中也许 存在某些时间序列，能够利用它解释与预测时间序列存在t 时刻的值，这是可行的。 例如，在实际中，如果今年风电场发电时间是4 0 0 0 小时，且去年是3 0 0 0 小时，则 明年的存量更可能接近的是4 5 0 0 小时而不是1 0 0 0 小时。 如果已知观测y t 一。( 七= 1 ，2 ，以) ，但这些观测值对于f 时刻的值y t 却不能提供任何 时间序列，并且如果对只+ 。的最好的预测值或期望【e 】都等于0 ，那么这样的时间序 列就称为白噪声时间序列，记为，他满足下面三个条件： e ( 毋) = 0 ，t = 1 ，2 ，行 e ( e 2 ) = 仃2 ，t = l ，2 ，刀 e ( 只t ) = 0 ，t = l ，2 ，l ，j t 上面的三个条件为：t 的均值等于0 ，e 的所有观测有同样的方差盯2 ，并且岛的 任何过去、现在、未来的观测都不存在相关性。在a r m a 序列的数学模型中经常 用到满足这三个条件的。 2 2 2a r ( a u t or e g r e s siv e ) 自回归模型 ( 1 ) 定义 在序列“) 中，描述序列“) 某一时刻f 和前p 个时刻序列值之间的相互关系表 示为 = 谚薯一l + 欢蕾一2 + + 办t p + t ( 2 一1 ) 若随机序列矗) 是白噪声且和前一时刻序列x k ( k f ) 不相关，则这样的模型称 为p 阶自回归模型，记为a r ( p ) 。 在特殊情况下，如果数据之间有一定的依存性关系，最简单的关系就是最后一 时刻的数值主要与其前一时刻的数值有关，而与其前一时刻以前的数值无直接关 系。即，己知x t 一。，而誓主要与一。相关。用记忆性来说，就是最短的记忆，称为一 阶动态性。描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型，记为a r ( 1 ) ，可以表示 为： 只= p y , + l + t ，t = l ，2 ，( 2 - 2 ) 式中，e 为均值为0 、方差为盯；的相同独立分布的随机变量。 a r ( t ) 满足弱依赖性的条件是h p 时，有偏相关系数吮= o 或织服从渐正态分布n ( o ，l n ) ，即如果平稳时 间序列的咴为p 步截尾，子相关系数以逐步衰减而不截尾，则序列是a r ( p ) 模型。 实际中，一般a r 过程的p a c f 函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用p a c f 函数可 以判别a r ( p ) 模型( 从p 阶开始的所有偏自相关系数均为o ) 。 ( 3 ) 平稳条件 l 阶：川 l ；2 阶：办+ 峻 l ，办一政 l ，坎i l 。当矽越大，自回归过程的波 动影响越持久。 实际中应用中，如果( q ) 是白噪声w n ( 0 ，盯2 ) ，实数破，唬，砟( 砟0 ) 使得多项 式a ( z ) 的零点都在单位圆外： 彳( z ) ：1 一圭矽z ，0 j = i ( 2 4 ) 是a r ( p ) 的稳定性条件。 a r ( p ) 模型的意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素 对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可 以消除一般回归预测方法中由于自变量选择、多重共线形等造成的困难。 ( 4 ) 模型意义 a r ( p ) 模型仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标 的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除一 般回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。 ( 5 ) a r ( p ) 的自相关函数 已知a r ( p ) 模型一= 破t l + 办一2 + + 矽，誓一_ 口+ t ，则 自协方差函数 r k = e ( x t 啦+ i ) = e t 口 办t + 七一i + 欢t + t 一2 + + 以薯+ i 一_ 口+ e t + ) 】 = e ( t 呦誓+ 女一i ) + e ( t 暾t + k - 2 ) + + e ( t 誓+ i p ) = 办咯一l + 欢一2 + + 办一p ( 2 _ 5 ) 自相关函数 n = 玉= 办以一i + 欢展一2 + + 矽p 级一p ( 2 - 6 ) p k = p - k ，p o = 1 耶尔一瓦克尔( y u l e w a l k e r ) 方程 华北电力大学硕士学位论文 p l = 办+ 欢肛+ + 砟砟一i 92 么n + 唬+ + 屯砟一z ( 2 - 7 ) ： 砟= 破砟一i + 唬砟一2 + + 彩 ( 6 ) 序列的自相关系数的作用 时间序列的自相关系数取值范围为卜l ，1 】，其绝对值越接近于1 ，说明时间序列的 自相关程度越高。样本自相关系数可提供时间序列及其模式构成的重要信息。对于 纯随机序列，即由一组随机数构成的时间序列，它的各阶自相关系数系数接近于零 或等于零。而具有明显的上升或下降趋势的时间序列，或具有强烈季节变动或循环 变动性质的时间序列，将会有高度的自相关系数。这种信息的有用之处在于：对现 有的时间序列数据无须任何了解，就能得到其自相关系数，这些系数可以用来揭示 所研究的时间序列的特性，并能帮助选定一个合适的模型。 2 2 3m a ( m o vin ga v e r a g e ) 移动平均模型 ( 1 ) 定义 在序列“) 中，表示为若干个白噪声的加权平均和： = t + q t i + 0 2 c , 一2 + + 包毛一g ( 2 8 ) 式中， e t ) 是白噪声序列，这样的模型称之为g 阶移动平均模型，记为m a ( q ) 。 特别地，心( 1 ) 过程是1 阶移动平均过程，可以表示为： 只= q + 层q i ，t = 1 ，2 ， ( 2 9 ) 式中，乞为均值为0 、方差为e 2 的相同独立分布随机变量。 满足上述条件的序列y ，是一个平稳且具有弱依赖性的序列。 从式( 2 8 ) 可以注意到，前后两期变量之间存在着相关性，但间隔再长的变量 之间不存在相关性。 ( 2 ) 识别条件 当k g 时，有自相关系数以= o 或自相关系数以服从n ( 0 ，1 ，l ( 1 + 2 以2 ) “2 ) ，即 平稳时间序列的自相关系数以为g 步截尾，偏相关系数识逐步衰减而不截尾，则序 列是m a ( q ) 模型。 实际中，一般移动平均过程的p a c f 函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用p a c f 函数可以判别m a ( q ) 模型( 从g 阶- 丌始的所有自相关系数均为o ) 。 ( 3 ) 可逆条件 1 阶：川 1 ；2 阶：1 0 2 i q 夥 沼，4 ， 式( 2 - 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 表明，当置和之问的间隔七= f f 满足条件 q 时， 一和x ，是不相关的，即m a ( q ) 序列的自协方差函数，( 后) ( 自相关函数p ( 尼) ) 当l k i g 9 华北电力大学硕士学位论文 以后全部为零，而r ( q ) 0 ，称这种性质为自协方差函数( 自相关函数) 的“截尾性”。 自协方差函数( 自相关函数) 的g 步截尾性是m a ( q ) 序列的2 阶统计特征，即不仅 是m a ( q ) 序列的必要条件，在一定条件下也是充分条件。 ( 8 ) m a ( o o ) 序列的自协方差函数 定义：设 z f ) - - n ( o ，盯2 ) ，如果存在常数序列 所) 满足l l p ) 得到 沙厂饩蚧一t = 色，o m a x ( p ，g + 1 ) 及 由( 2 2 7 ) 和 一依y h = 够，m a x ( p ，g + 1 ) o k p ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 8 ) 式容易解出v o ，l ，y 2 ，即有 = o o = 1 i 2 2 + q = q + 仍凸 2 (229)o 沙2 = 岛+ y o2 + 饩= 0 2 + 仍+ q 仍+ 衍 线性差分方程( 2 2 9 ) 的通解为 tn 一1 = c f 刀7 百”，刀m a x ( p ，g + 1 ) 一p ( 2 - 3 0 ) i = 1 j 其中，丑( f = l ，2 ，尼) 是妒( z ) = o 相异实根，；是乃的重数，故= p 。p 个常数 j = o c ：f ，和系数，o j 0 为相邻两个节点间的距离，称为步长。则 馘= 五+ 。一以 ( 2 - 3 1 ) 为f ( x ) 在五处以h 为步长的一阶向前差分，简称为一阶差分；并称 ”五= a ”1 五+ l a ”1 六，m = 2 ，3 ， ( 2 3 2 ) 为m 阶差分。 特别地，规定零阶差分为 o 五= 五，k = o ，l ，2 ，n ( 2 3 3 ) 差分与差商之间有如下重要关系： f x o 妒，x m = 笳m ( 2 3 4 ) ! ，z 实际上， f x k 州= 华= 等 ( 2 - 3 5 ) 厅，z 1 4 盟 ( 2 3 6 ) h 的关系为 式中，为二项式系数，且有q = 面意尘面进行，如表2 2 所示。 表2 - 2 差分计算表 ( 2 - 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) 薯 i鹭i醅 t& t醚 i 而石 a f o 五z & 、& 氛 a f , 恐以2 z& 、醚 、 a l 毛石 & 。& 1 馘 以厶 上面讨论的是向前差分，此外还有向后差分和中心差分，它们的定义和记号分 别如下： f ( x ) 在矗处的一阶和m 阶向后差分分别为 甑= 六一五一。 v ”正= v ”1 六一v ”1 五一i ，m = 2 ，3 ， f ( x ) 在矗处的一阶和m 阶中心差分分别为 8 f , = 五+ l 2 一以- l ，2 万”五= 万叫五+ i ，2 一万”_ 六一l ，2 ，m = 2 ，3 ， 式中，正+ ，：，五圳：分别表示厂( x ) 在x = x k - h 2 ，x = 以舶2 处的函数值。 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 华北电力大学硕十学位论文 各阶的向后差分和中心差分的计算同样可以通过构造相应的差分表来进行。 2 4 时间序列模型结构识别与定阶方法 对于已经建立的时间序列模型，如a r ( p ) 、m a ( q ) 、a r m a ( p ，q ) 、a r i m a ( p ，d ，q ) 模型，这些模型是否真实地反映实际问题的基本统计特征，还必须对模型进行适用 性检验。 所谓模型适用性检验，是指检验估计模型与产生时间序列置的某时间问题逼近 的好坏程度。逼近得好的模型是适用的，否则是不适用的。鉴别模型好坏的最好准 则是通过实践的来检验，但是，在为通过实践检验之前，先用数理统计方法做一些 检验是完全必要的。检验模型适用性的准则有多种形式，本节主要介绍几种常用的 检验准则，主要包括： ( 1 ) 利用不同的统计量料比较高阶模型的残差平方和g ( 或残差方差2 。) 是否较低阶模型的残差平方和q ( 或残差方差蠢，) 有显著性下降来确 定模型的合适阶数。 ( 2 ) 利用时间序列的相关特性，及判断模型的自相关系数九和偏相关系数 仇的拖尾性或截尾性来确定模型的合适阶次，这是一种初步定阶的方 法，可在建模开始时加以初略地估计。 ( 3 ) 利用数理统计方法，例如，检验高阶模型新增加的参数是否近似为零? 根据模型参数的置信区间是否含零确定模型阶次：检验模型残差的相 关特性：f 检验方法等。 ( 4 )利用信息准则，即定义一个与模型阶数有关的特征参数，从而选取使 该参数达到最小值的阶数作为模型的阶数，常用的信息准则有a i c 、 b i c 、f p e 等。 1 9 7 3 年r 本学者赤池( a k a i k e ) 针对模型中a r m a ( p ，q ) 的阶数p 和q ，提出了最小 a i c 准则( a k a i k ei n f o r m a t i o nc r i t e r i o n ) 。这个准则从提取出观测数据序列中的最大信 息量出发，适用于a r m a ( 包括a r 和m a ) 模型的定阶和检验。 2 4 1a r ( p ) 模型的定阶 设观测数据序列 z ，t = o ，1 ，2 ，) 为零均值平稳序列，其中的一组样本数据为 五，置，h ，设定一个拟合模型的最高阶数l ，则a r ( k ) 模型a i c 定阶步骤如 下： ( 1 ) 计算样本自协方差函数定( o 后上) 和样本自相关函数a ( o ks 三) ； ( 2 ) 利用递推算法计算偏相关函数瓯( 1 j k ；0 圭k l ) ； ( 3 )另 华北电力大学硕士学位论文 式( 2 - 4 4 ) ( 4 ) 钟= 扁一毫 中是a r ( k ) 模型残差方差。尸记 胧( 七) = l 。g + 兰n 竺( o 七三) 在( 1 七) 范围内，如果当尼= p 时，a l c ( k ) = m i n ， a r ( p ) 。图2 1 给出了a i c 准则定阶法的流程框图。 启动 1r 输入数觚，l s f s p ，置p = l i 估计a r ( 1 ) ，并计算a i c ( 1 ) t r 脚= p + l 估计a r ( p ) ，并计算a i c ( p ) 1r , 4 i c ( p 一1 ) a i c ( p ) r 嘶p + l 1r 取出模型阶数p 和模型参数 图2 一la i c 准则模型定阶流程框图 2 4 2a r m a ( p ，q ) 模型的定阶 ( 2 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) 则适用的模型为 根据取得的观测数据样本x i ，五，x n ，计算盯2 的估计值子2 ，设定拟合模 型的最高阶数l 。在0 p l ，0 q l 范围内，计算 1 7 华北电力大学硕十学位论文 a i c ( p , q ) ：l o g 露+ 掣 ( 2 4 6 ) v 如果当p = p o ，q = q o 时，a i c ( p ，q ) = m i n ，则表明使用的拟合模型为a r m a ( p ，q ) 。 如果时间序列均值不为零( 0 ) ，则均值应作为一个独立参数进行估计，因此，式 ( 2 4 6 ) 应改写成 a i c ( p , q ) ：l o g 群- i 掣 ( 2 4 7 ) v 由此可见，a i c 准则函数通常由两项组成。第一项体现了模型拟合的好坏，它 随阶数的增大而变小；第二项体现了模型参数的多少，它随阶数的增大而变大。取 二者的最大值意味着上述两个量的一种权衡。从k = 0 开始逐渐增加模型阶数，a i c ( k ) 的值是下降的，因为此时起决定性作用的是第一项，即模型残差方差。当阶数k 达 到某一值k o 时，a i c ( k o ) 达到最小。然后，随着阶数k 继续上升，残差方差下降甚 微，起决定性作用的是第二项，从而a i c ( k ) 的值随k 而增长。此外，使用a i c 准 则需要注意以下几个问题： ( 1 )a i c 准则要求预先设定模型阶数的最大范围。根据经验可知，阶数上 限取，兰，l o gn 均可。在比较a i c 大小的过程中，如果已经近阶 l u 数上限仍不能确定a i c 的极小点，则应加大上限，继续进行比较。 ( 2 )a i c 准则要求参数由最大似然法估计，但当序列不服从币态分布时， 计算表明该准则对于最小二乘法估计也仍然适用。 ( 3 )a i c 准则是模型优化的一种宏观度量，但不宜机械地以绝对最小值来 选择模型阶数，而是要在所对应的模型进行多方比较后，确定合理的 模型阶数以及相应参数。 华北电力大学