（机械设计及理论专业论文）应变梯度弹性理论c1自然单元法及其应用研究.pdf

i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 敝作者签名最慈峰日期：冽硝引 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文储签名要奏、晦翩繇f 够日期：剐西弓 目录 目录 摘要一i a b s t r a c t i i i 主要符号表v i i 第1 章绪论l 1 1 研究背景及意义1 1 2 国内外研究现状2 1 2 1 应变梯度理论的发展2 1 2 2 应变梯度理论有限元法。8 1 2 3 应变梯度理论无网格法9 1 2 4 应变梯度理论无网格法存在的主要问题1 0 1 3 主要研究内容。1 1 第2 章基于c 1 自然邻近插值的曲面拟合1 3 2 1 引。言l3 2 2 自然邻近插值法1 4 2 2 1v o r o n o i 与d e l a u n a y - - - 角化1 4 2 2 2s i b s o n 插值函数的定义。1 5 2 3c 1 自然邻近插值函数1 7 2 3 1f a r i n 构造法17 2 3 2 变换矩阵的构建1 8 2 3 3c 标准形函数的支集2 l 2 3 4c 1 自然邻近插值函数的性质2 3 2 4 曲面拟合2 4 2 4 1c 1 自然邻近插值法与移动最小二乘法的比较2 4 2 4 2 两种高阶连续形函数在曲面拟合中的应用2 6 山东大学博十学位论文 2 5 本章小结3 2 第3 章偶应力弹性理论c 1 自然单元法3 3 3 1 引言3 3 3 2 偶应力弹性理论3 3 3 3 积分“弱形式 。3 3 3 4 离散形式及数值实施3 8 3 5 数值算例4 l 3 5 1 位移分片试验4 3 3 5 2 单剪问题4 3 3 5 3 中心圆孔无限大板应力集中问题4 8 3 6 本章小结5 5 第4 章全应变梯度弹性理论c 1 自然单元法5 7 4 1 引言5 7 4 2 全应变梯度弹性理论5 7 4 3 积分“弱形式”5 9 4 4 离散形式及数值实施6 0 4 5 数值算例一6 3 4 5 1 位移分片试验6 3 4 5 2 接触双材料界面边界层效应问题6 4 4 5 3 中心圆孑l 无限大板应力集中问题6 8 4 6 本章小结7 0 第5 章应变梯度弹性理论c 1 自然单元法在微构件中的应用7 1 5 1 引言7 l 5 2 微夹持器应变梯度效应和尺寸效应的数值模拟7 2 5 2 1 微弹簧结构尺寸对夹持臂弯曲刚度的影响7 7 5 2 2 微梁厚度对微夹持器驱动电压的影响8 2 5 3 微试件应变梯度效应和尺寸效应的数值模拟6 0 5 3 1 中心圆孔微试件应力集中问题8 5 5 3 2 中心椭圆孔微试件应力集中问题8 6 目录 5 3 3 中心u 形槽微试件应力集中问题8 7 5 4 本章小结8 9 总结与展望9 1 全文总结9 l 展望9 2 参考文献9 3 致 射1 0 5 攻读博士学位期间撰写的论文及参与的科研项目1 0 7 攻读博士学位期间撰写的论文1 0 7 攻读博士学位期问参与的科研项目1 0 8 u l c o n t e n t s c o n t e n t s a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) 1 a b s t r a c t i n l i s to ft h em a i ns y m b o l s v i i c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 一1 1 1b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c e s 一1 1 2c u r r e n ts t a t eo fr e s e a r c h 2 1 2 1d e v e l o p m e n to f t h es t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s 一2 1 2 2f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s 一8 1 2 3m e s h l e s sm e t h o d sf o rs t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s 一9 1 2 4m a i np r o b l e m si nm e s h l e s sm e t h o d sf o rs t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s 10 1 3m a i nr e s e a r c hc o n t e n t s 11 c h a p t e r 2 s u r f a c ef i t t i n gb a s e do n c 1n a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a n t 1 3 2 1i n t r o d u c t i o n 1 3 2 2n a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a t i o n 14 2 2 1v o r o n o id i a g r a ma n dd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n 14 2 2 2d e f i n a t i o no ft h es i b s o ni n t e r p o l a n t 15 2 3c 1n a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a n t 17 2 3 1f a r i n sc o n s t r u c t i n gm e t h o d 1 7 2 3 2c o n s t r u c t i o no f t h et r a n s f o r m a t i o nm a t r i x 18 2 3 3s u p p o r t sf o rc 1s h a p ef u n c t i o n si ns t a n d a r df o r m 2 1 2 3 4p r o p e r t i e so fc 1n a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a n t 一2 3 2 4s u r f a c ef i n i n g 2 4 2 4 1c o m p a r i s o nb e t w e e nc n a t u r a ln e i g h b o ri n t e r p o l a t i o na n dm o v i n g l e a s ts q u a r em e t h o d 2 4 2 4 2a p p l i c a t i o no ft h et w oh i g h e r - o r d e rs h a p ef u n c t i o n st os u r f a c ef i t t i n g 一2 6 2 5s u m m a r y 3 2 c h a p t e r3 c 1n a t u r a le l e m e n t m e t h o df o rc o u p l e - s t r e s se l a s t i c i t y 3 3 v 山东人学博士学位论文 3 1i n t r o d u c t i o n 3 3 3 2c o u p l e s t r e s se l a s t i c i t y 3 3 3 3w e a kf o r mo f t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s 3 3 3 4d i s c r e t i z a t i o no f t h ew e a kf o r ma n dn u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o n 3 8 3 5n u m e r i c a le x a m p l e s 4 1 3 5 1p a t c ht e s t s 4 3 3 5 2s i m p l es h e a rp r o b l e m ：4 3 3 5 3s t r e s sc o n c e n t r a t i o no fi n f i n i t ep l a t ew i t hac e n t r a lc i r c u l a rh o l e 4 8 3 6s u m m a r y 5 5 c h a p t e r 4 c ln a t u r a le l e m e n tm e t h o df o rs t r a i ng r a d i e n te l a s t i c i t y 5 7 4 1i n t r o d u c t i o n 5 7 4 2s t r a i ng r a d i e n te l a s t i c i t y 5 7 4 3w e a kf o r mo f t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s 5 9 4 4d i s c r e t i z a t i o no f t h ew e a kf o r ma n dn u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o n 6 0 4 5n u m e r i c a le x a m p l e s 6 3 4 5 1p a t c ht e s t s 6 3 4 5 2b o u n d a r yl a y e ra n a l y s i s 6 4 4 5 3s t r e s sc o n c e n t r a t i o nd u et oah o l e 6 8 4 6s u m m a r y 7 0 c h a p t e r5 t h ea p p l i c a t i o n so fc 1n a t u r a le l e m e n tm e t h o df o rs t r a i ng r a d i e n te l a s t i c i t yt o m i c r o s t r u c t u r e s 7 l 5 1i n t r o d u c t i o n 7 1 5 2n u m e r i c a ls t u d i e so ns t r a i ng r a d i e n te f f e c sa n ds i z ee f f e c t so f m i c r o g r i p p e r 7 2 5 2 1i m p a c to f t h es i z e so f m i c r o s p r i n go nt h eb e n d i n gs t i f f n e s s 7 7 5 2 2i m p a c to f t h et h i c k n e s so f m i c r o b e a mo nv o l t a g e 8 2 5 3n u m e r i c a ls t u d i e so ns t r a i ng r a d i e n te f f e c t sa n ds i z ee f f e c t so f m i c r o s p e c i e m8 3 5 3 1m i c r o s p e c i e mw i t hac e n t r a lc i r c u l a rh o l e 8 5 5 3 2m i c r o s p e c i e mw i t hac e n t r a le l l i p t i c a lh o l e 8 6 5 3 3m i c r o s p e c i e mw i t hau - s h a p e dn o t c h 8 7 5 4s u m m a r y 8 9 c o n c l u s i o n sa n dp r o s p e c t s 9 1 c o n c l u s i o n s 9 1 v l c o n t e n t s p r o s p e c t s 9 2 r e f e r e n c e s 9 3 a c k n o w l e d g e 1 0 5 p u b l i s h e dp a p e r sa n de n g a g e dr e s e a r c ht a s k sw h e nc a n d i d a t ef o rp h dd e g r e e 10 7 p u b l i s h e dp a p e r s 10 7 e n g a g e dr e s e a r c ht a s k s 10 8 v l i 摘要 摘要 许多微观实验表明，当变形特征长度在微米或者亚微米量级时，材料 表现出强烈的尺寸效应。经典理论的本构关系中不包含任何尺度参数，无 法解释在微米和亚微米量级实验中发现的尺寸效应现象。为了解释微构件 尺寸效应现象和解决工程实践中遇到的微尺寸设计问题，人们建立了应变 梯度理论。应变梯度理论考虑了应变梯度高阶张量对应变能密度函数的影 响，在本构关系中引入了材料的特征长度尺寸，能够描述和解释微构件力 学性能的尺寸效应现象。应变梯度理论的控制方程和边界条件非常复杂， 直接求取解析解非常困难，因此数值方法是解决这类边值问题的重要手段。 应变梯度理论有限元法直接构建c 1 连续单元比较困难，为了降低连续性要 求，通常采用，连续混合单元法，该方法存在自由度多、计算工作量大等弊 端。应变梯度理论无网格法的优点在于容易构建高阶连续形函数，然而， 基于移动最小二乘法的无网格法，形函数的构造需要矩阵的求逆运算，计 算效率较低，另外，形函数不具有插值特性，引入本质边界条件需要作特 殊处理。针对目前应变梯度理论无网格法存在的不足，构建一种高效、高 精度和易于处理本质边界条件的应变梯度理论无网格法，能够为模拟微构 件力学性能的尺寸效应提供更为有效的数值计算手段。论文主要内容和研 究成果包括： 将c 1 自然邻近插值函数和基于移动最小二乘法的形函数应用于曲面拟 合场合，对它们在计算精度、计算效率和数值稳定性等方面的区别进行了 定量分析和比较。 将c 1 自然单元法应用于偶应力弹性理论，建立了偶应力弹性理论c 自 然单元法，由于形函数的插值性，本质边界条件的处理非常简单。为了考 察构建方法的收敛速度和计算精度，分析了具有理论解的方块单剪问题和 中心圆孔无限大板应力集中问题。对于方块单剪问题，随着离散结点的增 山东大学博十学位论文 多，数值解很快收敛于理论解；由于v o r o n o i 结构能够自动调整结点分布不 规则在空间上的差异，规则结点和不规则结点情况下计算结果差别不大， 数值稳定性较好。对于小孔应力集中问题，计算结果表明偶应力对小孔应 力分布的影响与无限大板的受力情况有关，纯剪情况下的影响要比单轴拉 伸情况下的影响大，双轴拉伸时则没有影响。偶应力的作用范围局限于小 孔附近，远离小孔，其影响可以忽略不计。算例的数值解与理论解吻合得 较好，表明构建方法具有良好的计算精度。 将c 1 自然单元法应用于全应变梯度弹性理论，建立了全应变梯度弹性 理论c 1 自然单元法，由于形函数的插值性，可以直接施加本质边界条件。 对于接触双材料界面边界层效应问题，随着结点的增加，数值解很快收敛 于理论解，v o r o n o i 结构能够自动调整结点分布不均匀在空间上的差异，均 匀结点和非均匀结点情况下的计算结果差别也不大，数值稳定性较好。对 于开孔无限大板承受双轴拉伸时，当考虑应变梯度效应时，高阶应力对应 力分布产生了影响，降低了小孔的应力集中系数。算例的数值解与理论解 吻合得较好，表明构建方法的计算精度较高。 将应变梯度弹性理论c 1 自然单元法应用于m e m s 中，分析了一些结构 和受力较为复杂并且不易求得理论解的实际工程问题。以微央持器的央持 臂和中心开孔微试件为研究对象，研究了考虑应变梯度效应时微弹簧结构 尺寸对夹持臂弯曲刚度、微梁厚度对驱动电压的影响规律以及开孔形状和 尺寸对微试件应力集中系数的影响规律，探讨了它们对材料特征长度的尺 寸依赖性，计算结果能够为微构件的设计和实验研究提供依据。 关键词：应变梯度弹性理论；c 1 自然单元法；c 1 自然邻近插值函数；微构 件；尺寸效应 a b s t r a c t a b s t r a c t m a n ym i c r o s c a l ee x p e r i m e n t sh a v es h o w nt h a tm a t e r i a l sd i s p l a ys t r o n g s i z ee f f e c t sw h e nt h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t hs c a l ei so nt h eo r d e ro fm i c r o n so r s u b m i c r o n s t r a d i t i o n a lt h e o r i e sa r eu n a b l et oe x p l a i nt h es i z ee f f e c t sw h i c h h a v eb e e no b s e r v e di nt h em i c r o s c a l e sa n ds u b m i c r o - s c a l e se x p e r i m e n t s o n e r e m e d ya g a i n s tt h ed e f i c i e n c yo ft h et r a d i t i o n a lt h e o r i e si st ou s et h es t r a i n g r a d i e n tt h e o r i e sw h e r e b yt h es t r a i ne n e r g yd e n s i t yf u n c t i o nd e p e n d so nb o t h t h es t r a i nt e n s o r sa n dt h es t r a i ng r a d i e n tt e n s o r s a st h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t h s c a l e so fm a t e r i a l sa r ei n t r o d u c e di nt h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o n s ，s t r a i ng r a d i e n t t h e o r i e sc a np r e d i c tt h es i z ee f f e c t s t h e g o v e r n i n ge q u a t i o n sa n dt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n so fs t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e sa r em o r ec o m p l i c a t e dt h a n t h o s ei nt r a d i t i o n a l t h e o r i e s ；t h e r e f o r e ，n u m e r i c a l m e t h o d sa r e u s u a l l y e f f e c t i v ew a y st os o l v et h e s eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) t h e r ea r e s o m es h o r t c o m i n g si nf e mf o rs t r a i n g r a d i e n tt h e o r i e s ，f o re x a m p l e ，i ti s d i f f i c u l tt oc o n s t r u c tt h e h i g h e r o r d e r c o n t i n u o u s e l e m e n t s ，s o m e c o c o n t i n u o u sm i x e de l e m e n t se x i s te x t r an o d a ld e g r e e so ff r o m d o m ( d o f s ) ，a n d t h ec o m p u t a t i o n a l e f f i e n c y i sl o w i ti s e a s y t oc o n s t r u c th i g h e r o r d e r c o n t i n u o u ss h a p ef u n c t i o n si nm e s h l e s sm e t h o d sf o rs t r a i ng r a d i e n tt h e o r i e s h o w e v e r ，f o rm e s h l e s sm e t h o d sb a s e do nm o v i n gl e a s t s q u a r em e t h o d ( m l s ) ， t h e r ea r em a n yi n v e r s em a t r i x e sa r ei n c l u d e d ，s ot h a t ，t h ec o n s t r u c t i o no f s h a p ef u n c t i o n si sc o m p l i c a t e da n dt h ec o m p u t a t i o n a lc o s ti sh i g h m o r e o v e r ， t h es h a p ef u n c t i o n sl a c kt h ek r o n e c k e rd e l t ap r o p e r t i e s ，s ot h a ti ti sn o te a s y t od e a lw i t ht h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ( e b c s ) i no r d e rt om o d e lt h e s i z ee f f e t so fm i c r o s t r u c t u r e s e f f e c t i v e l y , i ti sn e c e s s a yt o c o n s t r u c tt h e m e s h l e s sm e t h o dp o s s e s s i n gh i g ha c c u r a c y h i g h e f f i e n c ya n di n t e r p o l a t i n g 山东大学博十学位论文 p r o p e r t y i no r d e rt o c o m p a r e t h ed i s c r e p a n c i e si nc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y ， c o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y a n d i n t e r p o l a t i n gp r o p e r t y ，c l n a t u r a l n e i g h b o r i n t e r p o l a n ta n ds h a p ef u n c t i o nc o n s t r u c t e db ym l sa r ea p p l i e d t os u r f a c e f i t t i n g c ln a t u r a le l e m e n tm e t h o df o rt h es o l u t i o no fc o u p l e - s t r e s se l a s t i c i t yi s p r o p o s e d t h es h a p ef u n c t i 。n sh a v et h ei n t e r p 。l a t i 。nt 。n 。d a l f u n c t i 。na n d n o d a lg r a d i e n tv a l u e s ，s ot h a te b c sc a nb ei m p o s e dd i r e c t l y i no r d e rt o e x a m i n et h ec o n v e r g e n c ea n dc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y , s i m p l es h e a rp r o b l e m o ft h eb l o c ka n dt h ei n f i n i t ep l a t ew i t hac e n t r a lc i r c u l a rh o l es u b j e c t e dt ot h e u n a x i a lt e n s i o n ，b i a x i a lt e n s i o na n dp u r es h e a ra r ea n a l y z e d f o rt h es i m p l e s h e a rp r o b l e m ，w i t ht h ei n c r e a s eo fn o d e s ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sc o n v e r g e q u i c k l yt ot h ee x a c ts o l u t i o n s f o rt h ei r r e g u l a ra n dr e g u l a rn o d e s ，t h e r ei s l i t t l ec h a n g ei nt h es o l u t i o n sb e c a u s ev o r o n o id i g r a mc a na d j u s td i s c r e p a n c y c a u s e db yt h en o d e sa u t o m a t i c a l l y f o rt h es t r e s sc o n c e n t r a t i o np r o b l e mo ft h e h o l e ，t h ee f f e c t so fc o u p l es t r e s s e so nt h ed i s t r i b u t i o no fs t r e s s e sa r er e l a t e d w i t ht h el o a d s i nf a c t ，t h ee f f e c to fc o u p l es t r e s s e si nt h ec a s eo fp u r es h e a ri s g r e a t e rt h a nt h a ti nt h ec a s eo fs i m p l et e n s i o n ；c o u p l es t r e s s e sh a v en oe f f e c t a ta l lo nt h es t r e s s s e si naf i e l do fi s o t r o p i ct e n s i o n c o u p l es t r e s s e si n f l u e n c e 。ns m a l la r e aa r 。u n dt h eh 。1 e ，w h e nf a rf r 。mt h eh 。1 e ；t h es 。l u t i 。ni nt h e c o u p l e s t r e s se l a s t i c i t yi sc l o s et ot h a ti nt h et r a d i t i o n a lt h e o r y c 1n a t u r a le l e m e n tm e t h o df o rt h es o l u t i o no fs t r a i ng r a d i e n te l a s t i c i t yi s p r o p o s e d t h es h a p ef u n c t i o n sh a v et h ei n t e r p o l a t i o n t on o d a lf u n c t i o na n d n o d a lg r a d i e n tv a l u e s ，s ot h a ti ti se a s yt od e a lw i t he b c s i no r d e rt oe x a m i n e t h ec o n v e r g e n c ea n dc o m p u t a t i o n a la c c u r a c y ，b o u n d a r yl a y e ra n a l y s i so fa b i m a t e r i a ls y s t e ma n ds t r e s sc o n c e n t r a t i o nd u et oah o l ea r ea n a l y z e d f o rt h e b i m a t e r i a ls y s t e m ，w i t hi n c r e a s eo fn o d e s ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sc o n v e r g e q u i c k l yt ot h ee x a c ts o l u t i o n s f o rt h en o n - u n i f o r ma n du n i f o r mn o d e s ，t h e r e a b s t r a c t i sl i t t l ec h a n g ei nt h es o l u t i o n sb e c a u s ev o r o n o id i g r a mc a na a j u s td i s c r e p a n c y c a u s e db yt h en o d e sa u t o m a t i c a l l y f o rs t r e s sc o n c e n t r a t i o nd u et oah o l e ，t h e d o u b l es t r e s s e sm i n i s ht h es t r e s sc o n c e n t r a t i o na r o u n dt h eh o l e t h ev a l i d i t ya n da c c u r a c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d sa r ei n v e s t i g a t e d t h r o u g ht h en u m e r i c a le x a m p l e s ，a n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa r ei ng o o d a g r e e m e n tw i t h t h e a n a l y t i c a lo n e s ，w h i c hs h o wt h a t c 1n a t u r a le l e m e n t m e t h o dc a nb eu s e dt oa n a l y z et h ec o u p l e s t r e s se l a s t i c i t ya n ds t r a i ng r a d i e n t _ e l a s t i c i t yp r o b l e m s i nt h ea p p l i c a t i o no ft h ep r o p o s e dm e t h o d st om e m s ，s o m ep r a t i c a l p r o b l e m si ne n g i n e e r i n ga r ea n a l y z e d i nt h e s ep r o b l e m s ，t y p i c a lc o m p o n e n t s s u c ha sm i c r o g r i p p e ra n dm i c r o s p e c i e ma r et a k e na sr e s e a r c ho b j e c t s ，t h e i m p a c to fm i c r o s p r i n g ss i z eo nt h eb e n d i n gs t i f f n e s s ，t h ei m p a c to ft h i c k n e s s o fm i c r o b e a mo nv o l t a g ea n dt h ei m p a c to ft h es h a p ea n ds i z eo fh o l eo ns t r e s s c o n c e n t r a t i o nf a c t o ra r es t u d i e dw h e nc o n s i d e r i n gt h es t r a i ng r a d i e n te f f e c t s t h ed e p e n d e n tr e l a t i o n so ft h e s ep a r a m e t e r so nt h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t hs c a l e s o fm a t e r i a l sa r ed i s c u s s e d n u m e r i c a lr e s u l t sc a nb e u s e dt op r o v i d es o m e v a l u ee v i d e n c ef o rd e s i g na n de x p e r i m e n t a lr e s e a r c h k e y w o r d s ：s t