（应用数学专业论文）两类离散leslieholling型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：朱函塞 日期：埠年监月上日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：煳导师签名亟型弛期：珥年旦月上日 摘要 本文是对两类离散l e s li e - h o ll i n g 型捕食与被捕食系统的稳定 性及分岔进行了分析和讨论。全文共分为四章。 第一章，简单介绍研究背景、研究现状、以及本文所需的预备知 识。 第二章讨论了一类离散的l e s l i e h o l l i n g 型捕食与被捕食系统 的动力学性质，运用中心流形定理及分岔理论研究了系统在正不动点 的f l i p 分岔及n e i m a r k s a c k e r 分岔，分岔的方向及稳定性。数值模 拟显示系统具有7 ，1 4 ，1 6 ，2 1 ，2 2 ，2 6 ，3 1 ，3 2 ，4 2 ，4 4 ，4 7 一周期轨，不变 环线，还有倍周期2 ，4 ，8 ，1 6 ，3 2 ，5 ，1 0 ，6 ，1 2 轨道，拟周期轨和吸引的 混沌集，不但验证了理论分析的正确性，并通过分岔图、相图、最大 李雅普诺夫揭示出系统复杂的动力学行为。 第三章讨论了一类离散的l e s l i e g o w e r 型捕食与被捕食系统的 动力学性质，包括非负不动点的存在性与稳定性，以及系统在正不动 点的f l i p 分岔及n e i m a r k s a c k e r 分岔。数值模拟显示系统具有6 ，9 ， 1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，2 0 ，4 0 ，5 9 ，7 7 一周期轨，不变环线，还有2 ，4 ，8 ，1 6 ，3 2 倍刷期轨道，拟周期轨道和吸引的混沌集。 第四章，总结与展望。 关键词：捕食与被捕食系统，离散动力系统，l e s l i e h o l l i n g 型， l e s l i e - g o w e r 型，不动点，中心流形，稳定性，倍周期，混沌，f l i p 分岔，n e i m a r k s a c k e r 分岔 1 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no ft w o d i s c r e t el e s l i e h o l l i n gs y s t e m s i tc o n s i s t so f f o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n ei n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n de x i s t i n g w o r ko ft h e g r o w t hs y s t e ma sw e l la st h ee l e m e n t a r yt h e o r i e sw h i c ha r en e e d e di nt h e p a p e r c h a p t e r t w od i s c u s s e st h e d y n a m i c s b e h e v i o r so fad i s c r e t e p r e d a t o r p r e y m o d e lo fl e s l i e - h o l l i n gt y p e w ei n v e s t i g a t et h ef l i p b i f u r c a t i o na n dn e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o no ft h ep o s i t i v ef i x e dp o i n ta s w e l la sb i f u r c a t i o nd i r e c t i o na n ds t a b i l i t yb yu s i n gc e n t e rm a n i f o l d t h e o r e ma n db i f u r c a t i o nt h e o r y n u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ep r e s e n t e dn o t o n l yt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t sw i t ha n a l y s i s ，b u ta l s ot oe x h i b i tt h ec o m p l e x d y n a m i c a lb e h a v i o r ss u c ha sp e r i o d 一7 ，1 4 ，1 6 ，2 1 ，2 2 ，2 6 ，3 1 ，3 2 ，4 2 ，4 4 ，4 7 - o r b i t s ，c a s c a d eo fp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni np e r i o d - 2 ，4 ，8 ，1 6 ，3 2 ，5 ，1 0 ，6 ， 1 2 - o r b i t s ，q u a s i - p e r i o d i co r b i t sa n d t h ec h a o t i cs e t s ，a c c o r d i n gt ob i f u r c a - t i o n d i a g r a m ，t h ep h a s ed i a g r a ma n d t h em a x i m u m l y a p u n o ve x p o n e n t c h a p t e rt h r e ed i s c u s s e st h ed y n a m i c so fad i s c r e t ep r e d a t o r p r e ym o d e l o fl e s l i e g o w e r t y p e i n c l u d i n g t h ee x i s t e n c ea n d s t a b i l i t y o ft h e n o n n e g a t i v ef i x e dp o i n t s ，a n dt h es y s t e mu n d e r g o e sf l i pb i f u r c a t i o na n d n e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o na tt h ep o s i t i v e f i x e d p o i n t n u m e r i c a l s i m u l a t i o na r ep r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t sw i t ha n a l y s i s ， l i b u ta l s ot oe x h i b i tt h ec o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r ss u c ha sp e r i o d 一6 ，9 ， 1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，2 0 ，4 0 ，5 9 ，7 7 o r b i t s ，c a s c a d eo fp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni n p e r i o d - 2 ，4 ，8 ，1 6 ，3 2 - o r b i t sq u a s i - p e r i o d i co r b i t sa n dt h ec h a o t i cs e t s ，a c c o r d i n gt ob i f u r c a t i o nd i a g r a m ，t h ep h a s ed i a g r a ma n dt h em a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t c h a p t e rf o u r , s u m m a r i z e st h em a i n l yw o r ko ft h i sp a p e r , a n dc a r r yo n t h er e s u l t st of u r t h e rd i s c u s s e s k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e y s y s t e m ；d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m ； l e s l i e - h o l l i n gt y p e ；l e s l i e g o w e rt y p e ；f i x e dp o i n t ；c e n t e rm a n i f o l d ； s t a b i l i t y ；p e r i o d d o u b l i n g ；f l i pb i f u r c a t i o n ；n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n i l i 目录 摘要i a b s t r a c t i 】： 第一章绪论1 1 1 问题提出的背景与研究现状1 1 2 分岔的相关知识2 1 2 1 最简单的分岔条件2 1 2 2f l i p 分贫的一般形式3 1 2 3n e i m a r k - s a c k e r 分岔的一般形式4 1 3 本文的主要内容4 第二章一类离散l e s li e - h o lli n g 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析5 2 1 前言5 2 2 不动点的存在性及稳定性5 2 3f 1 i p 和n e i m a r k s a c k e r 分龠7 2 4 数值模拟1 5 2 5 本章小结2 1 第三章离散l e s li e - g o w e r 型捕食与被捕食系统的的稳定性与分岔分析2 2 3 1 前言2 2 3 2 不动点的存在性及稳定性2 2 3 3 数值模拟2 3 3 4 本章小结2 9 第四章总结与展望j 3 0 参考文献3 1 致谢3 6 攻读学位期间主要研究成果3 7 i v 第一章绪论 1 1问题提出的背景与研究现状 生物数学就是利用数学方法解决生物学与数学以及人与自然之间的关系并 对其进行建模处理，以使一些生态现象得到合理的解释和控制。由于生态问题不 断恶化，研究者对其研究越来越深刻，使得生物数学得到了蓬勃发展，产生了很 多分支。随着科技的发展，生态问题也越来越成为一个与人类生活休戚相关的问 题。对用泛函微分方程，脉冲微分方程，差分方程等方程来描述的生物模型动力 学性质的研究，不仅可以揭示种群、群落、生态系统的生态规律，而且为人类保 护建设生态环境，改善环境状态，防止现有生态系统退化，解决退化生态系统的 修复与重建提供科学对策。因此，对生物模型动力学性质的研究不仅具有广泛的 理论意义，而且具有实际应用价值。 非线性动力学理论【1 1 0 ，3 8 ，4 4 4 6 ，5 0 的研究和发展已经经历了一个多世 纪，在二十世纪六、七十年代前期主要是定性理论和非线性振动问题的定量方法 的发展。随着一些新兴工业的发展，抽象的提炼出了非线性系统和动力学模型。 二十世纪七十年代后，原来独立发展的分俞理沦汇入非线性动力学研究的主流 当中，混沌现象的发现更为非线性动力学注入了新的活力，分俞、混沌现象的研 究成为非线性动力学理论新的研究热点。俄罗斯科学家k o l m o g o r o v 5 】、 a r n o l d 6 、m e l n i k o v 7 和s i l n i k o v 8 ，美国科学家s m a l e 9 幂 1m o r s e l l 0 等数学 家和力学家相继对非线性系统的分俞理论和混沌动力学进行了奠基性和开创性 的研究。美国科学家“和y o r k e 4 9 提出了周期3 意味着混沌的判定拟则，美国 应用科学家h o l m e s 、g u c k e n h e i m e r 【4 5 】、m a r s d e n 3 7 和w i g g i n s 3 8 等人则将分 岔与混沌理论与经典的非线性振动理论相结合，发展成为现代非线性到动力学理 论，他们的杰出贡献使非线性动力学从二十世纪七十年代起成为一门重要的日 沿 学科。 分岔问题起源于研究一些力学失稳现缘。早在1 8 世纪中叶，伯努利( d a n i e l b e r n o u l l i ) 和欧拉( l e u l e r ) 等人就已研究过杆件在纵向压力作用下的屈曲问题。 1 8 3 4 年，雅可l g ( c g j a c o b i ) 在研究自引力介质的椭圆形旋转液体星的平衡图形 时，首先引进a b z w e i g u n g ( 德文“分贫”) 这个术语。l8 8 5 年，庞卡莱( h j p o i n c a r e ) 旋转液体星平衡图形的演化过程的分贫理论。1 8 8 3 年雷诺( o r e y n o l d s ) 发现在 临界雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究。固体力学 的屈曲和流体力学的转一直是推动分俞研究的重要动力。1 9 世纪3 0 年代，范德 波( b v a nd e lp 0 1 ) ，安德诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量的分翁现象。 然而在相当长时间里，研究分岔主要是在应用领域中进行的。直到1 9 世纪6 0 年代，微分动力系统，突变，奇异性，非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理 论，电子计算机和有效计算手段相继出现，尤其是不同领域中混沌现象的发现， 促使分俞理论迅速发展，并且在力学，物理学，化学，生物学，生态学，医学， 控制，工程技术以至社会科学中得到了广泛应用。 混沌是非线性科学研究的中心内容之一，是非线性动力系统中普遍存在的一 种运动形式。一般而言，混沌是指在确定性的系统中，不需要附加任何随机因数 亦可出现的类似随机的动力学行为( 内在随机性) 。混沌系统的最大特点就在于 系统的演化对初始条件十分敏感。因此，从长期意义上讲，系统的行为时不可预 测的。l i - y o r k e 定理帮助r m m a y 5 3 理解了他在l o g i s t i c 方程中发现的奇异现 象。他认识到这是隐藏在生态系统中具有普遍特征的混沌，从而撇开了各个具体 领域的特殊性，总结和阐明了一个事实：简单的确定性非线性差分方程，可以 产生出从平衡态到周期态再到混沌态的动力学行为。1 9 7 6 年，r m m a y 5 3 在 美国自然杂志上发表了题为具有复杂动力学过程的简单数学模型的综述 文章，以单峰映射为对象，重点讨论了著名的l o g i s t i c 方程 + 。= ( 1 - x , ) 称之为虫口模型。他系统的分析了该方程的动力学特征，考察了混沌区的精细结 构，绘制了分俞轮廓图，汇集了周期窗口、叉形分岔、切分俞等混沌学词汇，促 进了不同领域中的混沌研究联成一体。 1 2 分岔的相关知识 从著名的l o g i s t i c 模型丌始，我们了解到即使是很简单确定性的模型，当 参数在一定范围内变化时，它也具有极其复杂的动力学行为，其中就包括分岔与 混沌。一般说，完整的分俞分析需要了解动力系统的全局拓扑结构。这是十分复 杂，甚至是难以做到的。实际应用中，有时只需考虑在某个平衡点( 不动点) 附 近动力系统拓扑结构的变化，即只研究在它们的邻域内局部向量场( 或微分同胚) 的分龠，这类分俞问题称为局部分翁。如果分岔分析涉及向量场的大范围拓扑结 构，则称为全局分俞。当然，向量场的“局部 和“非局部 性质是密切相关 的，局部分岔本身也是全局分岔分析的重要内容。 1 2 1 最简单的分岔条件 考虑包含一个参数的离散时问动力系统 x h f ( x ，口) ，x 尺”，口r 1 ， ( 1 1 ) 其中映射关于x 和口是光滑的。系统( 1 1 ) 也可写成： 2 j = 厂( x ，口) ，x ，贾r bo r r 1 ， 其中舅表示x 在此映射下的象。设x = x o 是系统( 1 1 ) 当o r = a o 时的双曲不动点，当 参数口变化时我们观察此不动点和它的乘子。很显然，一般来讲只有三种情况下 其双曲性会被破坏。当参数取某些值时，一种是一个简单的正的乘子趋向于单位 圆且我们有a = 1 ，一种是一种简单的负的乘子趋向于单位圆且我们有 = - 1 ， 一种是一对简单的复乘子趋向于单位圆且有五：= 矿“，0 o o 万，很明显我们还 需要更多的参数来分配单位圆上的其他的特征值。 定义1 当 = l 时，这种分岔我们称之为f o l d 分岔( 或切分俞) 。 定义2 当a = 一l 时，这种分岔我们称之为f l i p 分岔( 或倍周期分岔) 。 定义3 当 2 = e j a o , 0 一( 1 + ) 7 7 7 7 3 + d ( 7 7 4 ) 定理2 5 0 ( f l i p 分俞的一般形式) 假设对于任意的参数，系统 x i - - - f ( x ，口)( 1 3 ) 在口= 0 处有一不动点x o = 0 ，令名= z ( o ，0 ) = - 1 ，则系统( 1 3 ) 在原点附近局部 等价于下面的的形式 7 7 卜- ( 1 + ) 7 7 刁3 1 2 3n ei m a r k - s a c k e r 分岔的一般形式 定理4 5 0 】( n e i m a r k s a c k e r 分岔的一般形式) 对任意包含一个参数的二维系 统 x i - - - f ( x ，口) ， 当口= 0 时有不动点x o = 0 ，且有复乘子a ：= 矿慨，则存在的一个邻域，使得在此 领域内当口经过零点时有一条闭的不变曲线从而处开始分岔。 1 3 本文的主要内容 本文主要对两类的l e s li e h o l li n g 型离散动力系统的稳定性和分岔进行了 研究。 通过欧拉方法离散化两类l e s l i e h o l l i n g 型系统，分析其正不动点的存在 性与稳定性、f 1 i p 分贫及n e i m a r k s a c k e r 分岔的存在性，并利用中心流形定 理和正规型理论讨论了f l i p 分岔、n e i m a r k s a c k e r 分岔的方向与稳定性。通过 数值模拟包括分俞图，相图及最大李雅普洛夫指数图验证了所得结果的正确性。 4 第二章一类离散l e s1 e - h ol ijn g 型捕食与被捕食系统的 稳定l 生与分岔分析 2 1 前言 众所周知，l o t k a v o l t e r r a 捕食与被捕食模型是一种基本的人口模型。它是 上世纪由l o t k a ( 1 9 2 4 ) 1l 】和v o l t e r r a ( 1 9 2 6 ) 1 2 最早发现并进行研究的。而更具有 实际意义的捕食与被捕食系统则是由h o l l i n g 通过选取不同的物种而产生三种不 同的函数效应去模拟捕食者的存在状态 1 3 】。对于不同物种间的相互作用的研究 主要集中于以两个变量表示的捕食与被捕食种群，其中表现出的动力学行为是平 衡点和极限环的稳定性 1 4 2 8 ，5 9 6 1 。然而，最近国内外的一些研究显示，离散 的捕食与被捕食模型可以产生比相应的连续模型更复杂的动力学，如f l i p 分岔、 n e i m a r k s a c k e r 分岔、拟周期、混沌 1 0 ，2 9 3 6 ，5 1 5 3 ，5 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 】。 本章考虑下一类l e s l i e h o l l i n g 型捕食与被捕食系统 2 2 】： 妄= 肛( 一素) 一尚 汜。， 去= 砂( 一等) 其中z ，y 分别表示捕食者与被捕食者的种群密度，口，s ，h ，k 都是正 常数。文 2 2 1 1 j 用d u l a c 判别法【1 ，4 6 ，5 0 】研究了系统( 2 1 ) 的极限环的存在性， 并用l y a p u n o v 函数方法研究系统( 2 1 ) 的正平衡点的全局稳定性。 运用欧拉方法将系统( 2 1 ) 离散化，我们得到下面的离散型的l e s l i e h o l l i n g 型捕食与被捕食系统 x 争x + 占x ，( ，一言) 一丽y x y 。2 2 ， 少- - 争y + 6 s y ( 一等) 其中万为步长。运用中心流形定l 里 3 8 ，4 3 ，4 4 与分佾理论 3 8 ，4 4 ，4 5 1 对系统( 2 2 ) 进行分析，证明出当参数满足一定条件时，系统( 2 2 ) 会发生f l i p 分岔和 n e i m a r k s a c k e r 分俞。关于利用欧拉方法将连续系统离散化后，讨论相应的离散 系统的动力学性质，见 3 3 3 5 ，4 0 4 2 。 2 2 不动点的存在性及稳定性 显然，系统( 2 2 ) 的不动点满足下面的方程 ( ，一舟南 ， - 一钭 引理2 1 ( i ) 对于任意的参数，系统( 2 2 ) 存在不动点e ( k ，0 ) ( i i ) 系统( 2 2 ) 存在唯 一的正不动点岛( x ，y ) ，其中x ，y 满足 ( 2 3 ) 下面我们研究系统( 2 2 ) 的不动点( x ，y ) 的稳定性，注意到不动点的稳定性是 由其对应的j a c o b i a n 矩阵的特征方程的特征根的模所决定 系统( 2 2 ) 在任意点( x ，y ) 的j a c o b i a n 矩阵为 j ( x ，y 1 = 冈此， ，( 易) = ，+ 毋一t 2 r s x 一南l 旦x + o ，+ 南) k ( x + a ) ( x + ) x + j i1 一万， 以印2 l 。 6 s h 矿 x 2 m 扣孚一尚 k ix + 口1 fx + + 口l 影x 2 ( x + 口) ( x + ) 1 + 万j 一2 8 s h y 工 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 6 y p ( x + 口) ( x + + ) 1 一万s ( 2 6 ) 系统( 2 2 ) 在不动点岛( x ，y + ) 的j a c o b i a n 矩阵对应的特征方程可以写成下 面的形式 允2 一【2 + ( ，一r ) 5 1 2 + 1 + ( 1 一r i ) d + r t s 5 2 = 0 ， ( 2 7 ) 其中 6 广，l 矿砂 参 占 + + x y = l l x y 彬一 = ， 爿矿 一 ： 卜 = 厂 x 焉 南 # 2 r x l = r j 一 刀= 印r x h ) ( 竞+ 南 由s c h u r - c o h n 判别法【4 7 】可得 引理2 2 ( i ) 对于所有的正参数，系统( 2 2 ) 的不动点巨( k ，0 ) 不稳定。( i i ) 若下列条 件之一成立，则系统( 2 2 ) 的不动点易( 妒，矿) 是稳定的： ( 1 ) ( t - r 7 ) 2 4 ，7 s o 且o 万 o 且o 万 0 ( 0 ) ，则从不动点( 矿，y 幸) 分 岔出的2 周期轨是稳定( 不稳定) 的。 在第四节中我们将会给定一组参数值使得0 ，则随着万的变化系统( 2 2 ) 将产生f l i p 分岔( 如图4 1 ) 。 最后我们讨论系统( 2 2 ) 在不动点( 妒，y 水) 的n e i m a r k s a c k e r 分岔。 系统( 2 2 ) 在不动点( 矿，旷) 处的j a c o b i a n 矩阵的特征方程( 2 7 ) 的特征值是 钆：-p(8)乎+p2(5)-4q(b)， 其中 p ( 6 ) = - 2 一( ，一7 7 ) 6 ，g ( 艿) = 1 + ( z 一刁) 6 + 刁s 艿2 若p 2 ( 艿) 一4 q ( j ) 嚷( 万 a 2 ) ，系统( 2 2 ) 从不动点( 矿，y 拳) 分岔出吸引( 排斥) 的不变闭曲线。 在第四节中，我们将选取一些参数值对系统( 2 2 ) 的n e i m a r k s a c k e r 分俞进行 数值模拟。 2 4 数值模拟 在本节中，我们将分别作出系统( 2 2 ) 对应的分岔图，相图及最大李雅普 洛夫指数图以验证上述分析的正确性，从图中我们了解到系统( 2 2 ) 的复杂的 动力学性质，考虑下面两种情形： ( 1 ) 0 1 5 万 0 3 5 ，固定，= 1 5 ，k = 3 ，口= 0 5 ，= 0 5 ，h = o 7 5 ，7 = 2 ，h = 1 ，s = 9 ( 2 ) o 7 5 8 。，口= 一。8 。3 0 9 0 1 时，存在一闭的不 变环包围了不动点( o 8 3 0 8 ，0 8 3 0 8 ) ，并且随着参数万值的不断增加，闭环的半径 在不断增大，当万增大到某一个值时，如在万= 0 9 3 1 4 时，不变坏消失伴随着3 1 周期轨的出现，接着出现倍周期分贫及倒倍周期分俞现象，最后导致混沌的产生。 从图4 6 中我们即可看出系统( 2 2 ) 存在7 ，1 4 ，1 6 ，2 1 ，2 2 ，2 6 ，3 l ，3 2 ，4 2 ，4 4 ，4 7 周期轨， 拟周期轨及吸引的混沌集。 2 5 本章小结 在本章中我们研究了一类离散的l e s l i e h o l l i n g 型捕食与被捕食系统的复杂 的动力学性质，表明在一定的条件下系统( 2 2 ) 在其的唯一的正不动点处发生f l i p 和n e i m a r k s a c k e r 分俞。而且系统( 2 2 ) 显示出极有趣的动力学行为，包括 7 ，1 4 ，1 6 ，2 1 ，2 2 ，2 6 ，3 1 ，3 2 ，4 2 ，4 4 ，4 7 周期轨，不变环线，还有倍周期2 ，4 ，8 ，1 6 ，3 2 ，5 ，1 0 ， 6 ，1 2 轨道，拟周期轨和吸引的混沌集。此即表明捕食种群及被捕食种群可共存于 稳定的n 周期轨及不变环线，这些结果相对于连续模型显示出更为丰富的动力 学行为。 第三章离散l e si - e - g o w e r 型捕食与被捕食系统的稳定性与 分岔分析 3 1 前言 本章考虑下一类l e s l i e g o w e r 捕食与被捕食系统 5 8 ，5 9 ，6 0 】 其中肌) ，分别表示捕食者与被捕食者的种群密度，口，s ，h ，k 都是正 常数 2 1 ，6 1 。模型( 3 1 ) 由l e s l i e 5 8 和g o w e r 5 8 ，5 9 研究提出，故模型( 3 1 ) 称作 l e s l i e g o w e r 型捕食者与被捕食系统；由于模型( 3 1 ) 的功能函数伊( 功= 口x 是 h o l l i n g 1 型，故模型( 3 1 ) 也称作l e s l i e h o l l i n g i 型捕食者与被捕食系统。关于模 型( 3 1 ) 的研究工作，见【6 1 6 5 】。 运片j 欧拉方法将系统( 3 1 ) 离散化，我们得到下面的离散的l e s l i e g o w e r 型捕食与被捕食系统 x 专x + 6 联( ，一妄) + a 砂 。3 2 ， y 专川吵( ，一譬) 其中万为步长。运用中心流形定理 3 8 ，4 3 4 5 】与分翁理论 3 8 ，4 4 ，4 5 对系统( 3 2 ) 进行分析，证明出当参数满足一定条件时，系统会发生f l i p 分俞和n e i m a r k s a c k e r 分龠。分析过程与前一章类似，本章只给出稳定条件与数值模拟。 3 2 不动点的存在性及稳定性 显然，系统( 3 2 ) 的不动点满足下面的方程 f x = z + 万 肘( 一素) + 口砂 【y = y + 万砂( ，一等) 引理3 1 ( i ) 对于任意的参数，系统( 3 2 ) 存在不动点( k ，o ) ；( i i ) 系统( 3 2 ) 存在唯一 的正不动点( x ，y + ) ，其中x ，y 满足 砂 口一 ， 、卜，=_、 、羔e砂一x 一 一 掰 吵 = = 出一衍砂一衍 。r k h r h + 口k 。 r k 。 r h - t - o c k ( 3 3 ) 下面我们研究不动点( x + ，y ) 的稳定性【4 6 】，注意到不动点的稳定性是由其对 应的j a c o b i a n 矩阵的特征方程的特征根的模所决定 对于任意点( x ，y ) ，系统( 3 2 ) 对应的j a c o b i a n 矩阵为 因此， j ( x ，y ) = l + 西一警一融y 一8 a x k 。 8 s h y 21 + 西一2 8 s h y x 2 。 x 删，= 一嚣) ， ( x 。，y ) = 一5 a x + l 一8 s ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 1 ：t ：1 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 及s c h u r - c o h n 判别法 e l a y d i ，2 0 0 5 可得