（机械设计及理论专业论文）平面立体正轴测线框图的计算机解释研究.pdf

西北丁业大学硕士学位论文 摘要 平面立体正轴测线框图的计算机解释研究 摘要 本文系陕西省自然科学基金( 2 0 0 2 e 3 2 4 ) ，江西省自然科学基金( 0 3 1 1 0 1 8 ) ， 南昌航空工业学院测试技术与控制工程研究中心基金( 2 0 0 3 - - 0 1 3 ) 资助项目的 一部分。 立体线框图是人与计算机交换三维景物信息的一种重要媒介。计算机解释线 框图是计算机视觉系统、逆向工程及智能c a d 系统研制中的一个重要问题。人非 常容易理解场景的线框图，但使用计算机从线框图恢复三维物体信息并不容易。 本文工作主要为两部分：一部分是利用基于点与平面的相对位置关系的方 法进行线框图的解释：另一部分是利用基于点与直线的相对位置关系以及直线 与直线之间的位置关系的方法进行线框图的解释。采用这两种方法对画隐线框 图和自然线框图的解释进行了研究。 介绍了二维直线的表达方法，空间直线的表达方法，线框图标记，基于点 与平面相对位置关系的线框图解释理论和方法等。在已有基于点与平面的相对 位置关系解释线框图研究成果的基础上，提出一种计算机递归解释线框图的方 法，主要针对的是正轴测投影线框图的计算机解释。该方法可以用来解释画隐 线框图和自然线框图。在建立了相关约束关系式的基础上。提出一种基于点与 直线的相对位置关系递归解释线框图的新方法，主要针对的是正轴测投影线框 图的计算机解释。该方法可用于解释画隐线框图和自然线框图。 基于v i s u a lc + + 6 0 平台，开发了提取点坐标和直线参数的应用程序。 本文主要创新点为：提出了基于点与直线的相对位置关系解释线框图的薪思 路，给出了相关的约束关系式，在此基础上提出了递归解释线框图的新方法，具 体算例证明了该方法是可行的和有效的。相对于基于点与平面的相对位置关系解 释线框图，基于点与直线的相对位置关系解释线框图具有容易从线框图的平面结 构推出其空间结果的优点。 关键词：计算机视觉，图象理解，线框图自然线框图，画隐线框图，平面立体， 标记，轴测投影，三维重建 堕! ! 土些尘兰婴_ 上兰垡笙苎 垒! ! ! ! 箜! c o m p u t e ri n t e r p r e l r a t i o no fl i n ed r a w i n g s f o rr e p r e s e n t i n gp l a n a ro b j e c t s u n d e ra x o n o m e t r i cp r o j e c t i o n a b s t r a c t t h i sm a s t e rt h e s i si st h ep r o j e c ts u p p o r t e db yn a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n o fs h a a n x ip r o v i n c e ( 2 0 0 2 e 2 2 4 ) ，j i n g x i p r o v i n c e ( n o 0 3 1 1 0 1 8 ) ，a n do p e n f o u n d a t i o no fr e s e a r c h c e n t e r o f m e a s u r i n gt e c h n o l o g i e s a n dc o n t r o l e n g i n e c r i n go f j i a n g x ip r o v i n c e ( n o 2 0 0 3 - 0 1 3 ) al i n ed r a w i n gi sa ni m p o r t a n tm e d i u mt h a th u m a n e x c h a n g e si n f o r m m i o no f t h r e e d i m e n s i o n a ls c e n e sw i t hc o m p u t e r c o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o no fl i n ed r a w i n g si s v e r yi m p o r t a n t i nc o m p u t e rv i s i o n ，r e v e r s ee n g i n e e r i n g , a n d i n t e l l i g e n tc a ds y s t e m 。 w h e nw es e eal i n ed r a w i n gt h a ti st h ep r o j e c t i o no fat h r e e - d i m e n s i o n a ls c e n e ，w e c a ne a s i l yu n d e r s t a n dw h a ti s r e p r e s e n t e dt h e r e ，f o rc o m p u t e r s ，o nt h eo t h e rh a n d ， a n di ti sd i f f i c u l t c o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o no fl i n ed r a w i n g si sb a s i so f r e c o n s t r u c t i n g t h r e e d i m e n s i o n a ls c e n e sf r o mi m a g e s i nt h i st h e s i s ，t h em a i nw o r kc o n s i s t so ft w o p a r t s ：t h ef i r s tp a r ti st om a k e u s e o ft h ec o n s t r a i n t sb e t w e e np o i n t sa n dp l a n e so ft h r e e d i m e n s i o n a lp l a n a ro b j e c ti n c o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o no f l i n ed r a w i n g s ；w es t u d i e dt h ec o n s t r a i n t sb e t w e e n p o i n t s a n dl i n e sa n dt h o s eb e t w e e nl i n e sa n dl i n e so ft h r e e d i m e n s i o n a lp l a n a ro b j e c ti n c o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o n o fl i n e d r a w i n g si n t h es e c o n dp a r t a d o p t i n gt h e s et w o k i n d so fm e t h o d s t h e h i d d e n p a r t s d r a w n a n dt h en a t u r a l1 i n e d r a w i n g s a r e i n t e r p r e t e d ，a n de x p e r i m e n t ss h o wt h a to u rm e t h o d sf o ri n f e r r i n gl i n ed r a w i n g sa r e s u c c e s s f u i i ti si n t r o d u c e dt h er e p r e s e n t a t i o n so f s t r a i g h tl i n e si nt w o d i m e n s i o n a lp l a n e a n dt h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c e ，l i n ed r a w i n gl a b e l i n g ，t h et h e o r ya n dm e t h o d so f c o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o no f l i n ed r a w i n g sb a s e do nt h er e l a t i v ep o s i t i o nr e l a t i o n s h i p s o ft h ev e r t i c e sa n dt h ep l a n e so nap l a n a ro b j e c t b a s e do nt h ee x i s t e dm e t h o df o r i n t e r p r e t i n gl i n ed r a w i n g s ，w ep u t f o r w a r dak i n do fr e c u r s i v em e t h o df o rc o m p u t e r i n t e r p r e t a t i o no f l i n ed r a w i n g su n d e ro r t h o g r a p h i c a l l ya x o n o m e t r i cp r o j e c t i o n ，o u r m e t h o dc a r lb eu s e dt o i n t e r p r e t t ot h eh i d d e n p a r t s - d r a w na n dt h en a t u r a ll i n e d r a w i n g s t h en a t u r a ll i n ed r a w i n gi st h eo n ew i t hh i d d e n - p a r t s e l i m i n a t e d b a s e d o nt h ec o r r e l a t i v ec o n s t r a i n t sb e t w e e nv e r t i c e sa n ds t r a i g h tl i n e so n a p l a n a ro b j e c t ， w eh a v e p r o p o s e d an e wr e c u r s i v em e t h o df o r c o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o n o fl i n e 西北t 业大学硕匕学位论文a b s t r a c t d r a w i n g su n d e ro r t h o g r a p h i c a l l ya x o n o m e t r i cp r o j e c t i o n o u rm e t h o d c a r lb eu s e df o i n t e r p r e tt ot h eh i d d e n - p a r t s d r a w na n dt h en a t u r a ll i n ed r a w i n g s b yu s i n go fv i s u a l c + + 6 0 w eh a v ed e v e l o p e dap r o c e d u r ef o re x t r a c t i n g t w o d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t e so fv e r t i c e sa n dp a r a m e t e r so fs t r a i g h tl i n e sf r o mal i n e d r a w i n g t h ei n n o v a t i o ni n t h i st h e s i si st h a tan e wr e c u r s i v em e t h o do fc o m p u t e r i n t e r p r e t a t i o no f l i n ed r a w i n g si sp u tf o r w a r dt ob a s e do nan e w w a yo ft h i n k i n go f t h ec o r r e l a t i v ep o s i t i o n sb e t w e e nv e r t i c e sa n dl i n e sa n dt h ec o n s t r a i n t sb e t w e e n v e r t i c e sa n dl i n e so nap l a n a ro b j e c t s o m ee x p e r i m e n t sa r ei m p l e m e n t e d c o m p a r e d w i t ht h er e c u r s i v em e t h o db a s e do nt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nv e r t i c e sa n dp l a n e s ， o u rm e t h o df o rc o m p u t e ri n t e r p r e t a t i o no f l i n ed r a w i n g sb a s e do nt h er e l a t i o n s h i p so f v e r t i c e sa n ds u a i g h t l i n e sh a st h ea d v a n t a g et h a ti ti se a s i e rt oo b t a i n e dt h e t h r e e d i m e n s i o n a ls t r u c t u r eo f a1 i n ed r a w i n gf r o mi t st w o d i m e n s i o n a ls t r u c t u r e ， k e yw o r d s ：c o m p u t e rv i s i o n ；i m a g eu n d e r s t a n d i n g ；l i n ed r a w i n g ；n a t u r a l l i n e d r a w i n g ；h i d d e n - p a r t s - d r a w n l i n e d r a w i n g ；p l a n a ro b j e c t ；l a b e l ； a x o n o m e t r i cp r o j e c t i o n ；t h r e e d i m e n s i o n a lr e c o n s t r u c t i o n 西北工业人学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 线框图是人类之间交流信息的介质之一，也是技术、文化交流的主要方式之 一，例如在工程技术文件中的图形、文艺畅销书中的插图等。人们经常用二维平 面上的线框图表达三维空间的物体。尽管线框图只是二维平面上些直线段和曲 线段的组合，但却能表达出很多三维空间物体的信息，如看到一幅线框图，我们 能很容易理解它所表示的三维空间物体是什么结构形状的。 虽然人类能够很容易地理解幅线框图，但是对计算机来说这并不是一件很 轻松的事情。计算机所能看到线框图是些二维直线段或者曲线段的集合，如果 没有一定的措施，计算机并不能像人类样能够理解这幅线框图所表示的三维物 体结构。为了使计算机能够看懂线框图，需要给计算机旅加一些“智能机制”。 当然“智能机制”并不一定完全模拟人类的视觉处理过程。事实上，我们对人类 自己的视觉处理过程并不是十分清楚。 在人工智能中，计算机解释线框图又称积木世界景物分析。 本文在前人研究工作的基础上，对计算机解释线框图做了进一步的研究。目 的是采用某种方法使计算机能够“看”懂二维线框图，获得二维线框图所表示的 三维物体空间结构信息。所采用的实验模型性为规则平面立体，在线框图和物体 中选用的特征信息是点、直线和平面，利用从线框图中可以获得的这些几何元素 之间的约束关系来获得对物体三维空间结构信息的解释。 计算机解释线框图的主要应用领域之一是人机之间信息的交抉。计算机辅助 设计系统( c a d ) 给人类的技术发展和生活带来了很大方便，人类用c a d 系统 设计物体的结构形状，如机器零件的结构形状，建筑物的结构形状等。但是由于 技术方面的原因，目前的c a d 系统还存在着一定的不足。如何把设计者头脑中 设计形象变成能够以数据的形式存储在计算机中的问题是c a d 系统所面i 临的重 大问题，靠人工来做这是一个非常繁琐枯燥的工作，计算机能够解释线框图将会 大大减轻人类的劳动强度。在c a d 系统中，图形信息输入问题是人们普遍关注 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 的问题之一，这是一个非常重要又非常困难的问题。目前，把三维物体模型信息 输入到计算机内大致有三种方法：一是用一套专用指令去填充预先定义好的数据 结构；二是定义若干体素，用集合运算的方法构造模型：三是通过输入、解释二 维投影图获取物体三维信息。前两种方法虽然输入三维物体模型信息比较方便、 容易，但当输入三维物体模型信息存在错误或不合适时，再对三维物体模型信息 进行修改就非常困难和繁琐。事实上，在产品的概念设计阶段，人们经常需要对 设计进行反复的修改。最后一种方法比较符合设计者的思维形式，使用更为方便， 也是大多数设计者特别是产品的概念设计者普遍采用的方式，但成熟的c a d 系 统目前均无此项功能。在输入二维投影图时，可以输入三维物体的三视图( 或零 件图) ，也可以输入三维物体的轴测投影图或透视投影图。计算机解释三维物体 的三视图或零件图存在的主要问题之一是如何扩展形体的覆盖域，这是这种输入 模型信息方法尚没有在c a d 系统中得到广泛应用的一个重要原因。 计算机解释线框图的另个重要应用领域是计算机视觉系统。计算机观察外 部世界主要依靠光学成像系统如电视摄像系统，电视摄像系统获得外界的影像信 息，然后经过以下几个阶段：首先获取图像中的特征信息，如点、直线、区域以 及纹理等信息；然后用这些二维特征信息解释物体的三维空间结构信息：最后， 获得三维空间物体完整描述。本文的研究工作属于上面三个过程中的第二个过 程，即线框图解释过程。 根据是否画出三维物体上不可见棱线( 对曲面立体还有物体上的轮廓线) ， 将线框图分为两种：一种是仅蔼出三维物体上可见棱线和轮廓线投影的线框图， 称之为自然线框图或消除隐藏线的线框图；另一种是画出物体上所有棱线和轮廓 线投影的线框图，其中可见的棱线和轮廓线的投影规定画成粗实线，不可见的棱 线和轮廓线的投影规定画成虚线，这种线框图称为画出隐藏线的线框图，简称画 隐线框图。 本文所讨论的线框图限于平面立体的投影图。有些自然线框图常常具有二义 性，因此解释这些自然线框图时经常需要利用日常生活知识，需要对计算机进行 训练。为排除自然线框图的二义性，为使依据线框图解释的立体为真实的平面立 体、线框图为真正的透视投影图或轴测投影图( 可以有小的误差) ，需要一些基 本假设。 2 西北丁业大学硕士学位论文 第一章绪论 本文依据的基本假设有 假设l对于每一平面，它的一边被有形物质占据而另一边是空的。 假设2 在投影图中仅画出平面立体上棱线和顶点的投影。可见的棱线用租 实线表示，不可见的棱线用虚线表示。 假设3 直线不能投影为点，即平面立体上的棱线，在透视投影时不能通过 投影中心，在轴测投影时不能平行于投影方向。 假设4 平面不能投影为直线，即平面立体上的表面，在透视投影时不能通 过投影中心，在轴测投影时不能平行于投影方向。 假设5 两条直线的投影不能重合，即一条直线的投影不能落在另条直线 的投影上。 假设6 三维物体上每条棱线仅属于三维物体上的两个面。 1 2 线框图解释的研究概况 三维物体的线框图( 1 i n ed r a w i n g ) 一直是画法几何和射影几何的研究对象， 但是它们主要研究的是在二维平面上如何表达给定物体，通常采用的是线性投影 的方法。 从线框图识别它所表示的三维物体的研究始于上世纪6 0 年代中期，r o b e r t s 1 】 开创性的三维物体识别系统可以从线框图识别和描述几种已知的平面立体。 g u z m a n 的算法可以对一幅相当复杂的立体线框图进行分析，所采用的方法是区 域分割法。线框图上“链节”处直线的构形在区域分割法中起着关键作用。算法 的基础是一些特定的规则。h u f f m a n 2 】和c l o w e s 3 分别提出了对线条进行标记的 方法，得到了合理的节点形式，称为h u f f m a n c l o w e s 标记法，该标记方法的有 效性已在类线框图解释中得到证明。但h u f f m a n - c l o w e s 标记法主要考虑的是物 体与线框图几何结构和拓扑结构的一致性，只能标记没有画出隐藏线的线框图。 t u r n e r 【4 1 将标记法扩充到可以标记光滑曲面立体的投影图。s u g i h a r a i s l 提出的解释 线框图机理也采用了对线条进行标记的方法，标记方法与h u m a n - c l o w e s 的标 记法类似，s u g i h a r a 的标记方法可以标记画出隐藏线的线框图，但在线框图中有 些隐藏线的画法不符合人们的画图习惯。s u g i h a r a 把线框图结构分为：几何结构、 拓扑结构、代数结构和组合结构4 个方丽，研究了正确线框图与不正确线框图之 两北t 业大学砸i j 学位论文 第一章绪论 间的区别，提出了一个线框图表示一个三维平面物体的充要条件。鲁【6 1 给出符合 人画图习惯的线图标记方法。曲面体线框图的线条标记不象平面物体线框图那样 简单，合理的节点形式很多，可达好几万种，不利于计算机进行检索和匹配。 c o o p e r 2 j 对线框图标记和解释做了出色的工作，对曲面物体的线框图标记做了 非常细致的分析，提出了降低线框图标记算法复杂性的技术。 利用人们看图时有接受定长、直角的偏爱，b a m a r d t b l 提出了利用“正交性 假设”解释透视投影图形的算法，导出了约束关系式。不足之处是他的算法是非 线性，需要进行迭代求解。p e n t l a n d 1 4 1 提出用简单的曲线曲面代替线框图中光滑 曲线曲面的方法解释线框图。m a c k w o r t h t 5 】利用梯度空间垂直原理导出了线图中 平面方向的定量约束。k a n a d e 1 6 】证明当线图具有某些对称性时可以从其推断出 物体的三维形状。k a n a t a n i 1 7 】通过对投影图形进行标准变换，导出了关于长度和 角度的约束关系式，探讨了它们的应用，提出了解释正交角点，有两个直角的角 点解释算法。高【1 8 l 利用直接法建立了长度和角度的约束关系式，并将其用于物体 上角点，直线的定位和定向。e n g e l b r e c h t f i g 利用线框图的h o u g h 空间中的特征 研究了平面物体的识别问题。v e r r i 研究了透视投影不变性和不变量，即对于任 意透视投影都不变的图像特征和性质，主要研究了曲线曲率的不变性。n a l w a 【2 l 】 基于人造物体的截面曲线大多数情况下为直线和二次曲线这一事实，研究了该类 物体线框图的解释问题。主要结论是，线框图中的直线和二次曲线分别是物体上 直线, n - 次曲线的投影，由线框图所确定的二次曲面由4 个自由度。r i c h e t i n ”1 研究了利用二次曲线的几何性质进行二次曲线的识别问题。n a i m 四j 利用自然景 物中普遍存在的一些事实，如许多自然的和人造的物体都有一条脊骨( s p i n e ) ， 围绕这条脊骨有许多固定长度与脊骨成定角的枝条( n e e d l e s ) 等，建立了一种线框 图的解释方法。m a r i l l t 2 4 1 提出从单幅线图恢复物体三维结构的优化方法，适用于 有噪声的和不完整的线图。其原理是使得构造出的空间物体角度的标准偏差最 小，即对应同一个线图有几个空间物体，从中选一个物体使得每个节点的角度标 准偏差最小。他没有给出理论证明，只是列举了一些例子。m a r i l l 的线框图解释 方法不要求物体是平面物体，也不要求线框图是完整的，他的方法采用了最优化 方法，给出了一些很好的线框图解释实例，但没有在理论上证明方法的正确性。 y v a n 【2 5 1 改进了m a r i l l 的方法，提出了一个更好的最优化方法。l e c t e r c 【2 6 1 对m a r i l l 两北工业人学硕士学位论文 第一章绪论 方法进行了修正，从理论上给出m a r i l l 的那些算例成立的理由，指出了不足之处， 给出了不成立的算例，对目标函数进行修正，考虑了对称性和平面性。m a r i l l 和 l e c l e r c 的方法只适用于部分场景，存在问题是目标函数的建立。l i p s o n 2 7 】也提 出一种优化方法，在目标函数中考虑了一些规则，如线的平行性、面为平面、斜 对称、垂直角点等，但仍然存在一些问题，如那些规则重要，那些次要，优化问 题为非线性优化，初值选取不好就会导致收敛慢或不收敛，并且可能会陷入局部 优化，得到局部最优解。封1 28 】设计了一个误差校正方法，该方法逐步对未知的平 面寻找可用的求解算子，计算每个顶点的偏差，若偏差大于阈值，则选偏差最大 的顶点进行校正，并把校正后的结果作为新的初始值。 1 柏 2 9 , 3 0 1 提出了基于直线的平面立体解释理论和方法。定义由六个数组成的拼 六小组( t 脚，珥肛g j ，) ( 前三个数不全为零) 为空间直线的坐标，其中前三个数( m ，h ) 为直线的方向向量，后三个数( 口毋r ) 为直线关于原点的距向量( 作用点在该直 线上) 。根据线画图中隐含的约束关系恢复平面立体的三维信息。但用此方法恢 复的平面立体三维信息中空间直线坐标包含有比例因子，给计算带来了不便。 a l t e r 3 1 1 和h a r a l i c k 3 2 1 提出了选择使用最少数量的点( 3 个) 确定物体姿态的算法。 s h i m s h o n i 3 3 1 提出了随机三维物体识别方法，在图像特征和模型特征之间匹配假 设矫正的基础上计算识别处理的概率。m u r a s e 3 4 1 研究了用于识别和姿态估计的自 学习物体模型问题，提出匹配外表( a p p e a r a n c e ) 而不是匹配形状( s h a p e ) 的新思想。 s h i m s h o n i 3 5 】的技术限于解释没有对比度失效( c o n t r a s tf a i l u r e ) 但含有不准确线条 的线框图。 p o n c e 3 6 1 提出一种考虑点不确定性的代数方法，即认为线图中点的正确位置 是未知的，但是在一定范围内变化，然后利用s u g i h a r a 方法获得一系列等式和不 等式，不足之处是等式和不等式是非线性的，虽然通过利用梯度空间和某些代数 手段可以线性化，但不再是线图是空间一个物体投影的充分必要条件，而只是必 要条件。r o s ”1 提出利用s u g i h a r a 提出的可分解序列技术解决线图解释中的过约 束问题。m o k h t a r i a n 3 8 】给出了一个基于物体的封闭轮廓识别自由曲面物体的算 法。p o n c e 3 9 1 利用不连续曲面法矢的轮廓和遮挡轮廓识别三维物体。j o s h i l 4 0 1 使用 高次切触曲线造型用于识别的光滑物体，这些高次切触曲线是从灰度图像中物体 的轮廓得到的。c h e n 4 1 l 使用轮廓和内部棱线来分类一定数量( 2 0 个) 的自由曲 西北工业人学顾一l ：学位论文第一章绪论 面物体。 综上所述，计算机解释立体线框图的机理研究现状和存在的问题可概括为以 下3 点： ( 1 ) 线框图的几何结构和拓扑结构，由于有了标记方法，问题得到了较满意 的解决，存在的问题是计算花费时间较多，尤其曲面物体的线框图标记。对线框 图的代数结构和组合结构已有一些研究成果，但研究的还很不完善。 ( 2 ) 若一张线框图是由人随手勾画出来的，则该线框图一般不是一个三维物 体的线性投影图。对于由人“创造”的仿射图形、射影图形及非线性投影图形尚 未得到注意，而这类图形在日常工作中是大量存在的。 f 3 1 对由三维数据点构造自由曲线曲面研究的较多，得到一些很好的造型方 法，如n u r b s 等，但对从图像构造自由曲线曲面研究的很少。 1 3 论文内容简介 本文的研究工作主要分为两个部分：一部分是利用基于点与平面的相对位置 关系的方法进行线框图的解释；另一部分是利用基于点与直线的相对位置关系以 及直线与直线之间的位置关系的方法进行线框图的解释。本文采用这两种方法对 画隐线框图和自然线框图的解释进行了研究，获得了一些研究结果。 本文共分为以下六章。 第一章为绪论，主要介绍了计算机解释线框图的研究意义，阐述了国内外 有关计算机解释线框图的研究现状和存在的问题，介绍了本文的主要工作。 第二章为直线的坐标，介绍了直线坐标的概念，通过对多种二维直线表达 方式的分析，明确了适用于线框图解释的直线坐标表达方法。介绍了一种新的 三维直线表示法，其主要特点是表示三维直线的参数最少，与二维投影关系简 单，并且满足表示直线的惟一性要求。此外，还介绍了基于法线式表达二维直线 的直线坐标提取的h o u g h 变换方法和完全最小二乘法。 第三章为线框图解释的理论基础。主要介绍了线框图的标记理论和方法， 基于点与平面相对位置关系的线框图解释理论和方法，包括计算机解释正轴测 线框图和透视线框图两部分内容。证明了线框图的自由度至少为4 ，介绍了如何 从线框图的平面结构构造其空间结构的方法。 6 西北工业大学硕卜学位论文 第一章绪论 第四章为基于点与平面的相对位置关系解释线框图。在已有研究成果的基 础上，提出一种递归解释线框图的方法，主要针对的是正轴测投影线框图的计 算机解释。该方法可以用来解释画隐线框图和自然线框图，但其前提是需要从 线框图的平面结构推出它的空间结构，正如第三章所介绍的，从线框图的平面 结构推出它的空间结构是一件相对较困难的工作，因为需要从线框图识别出平 面立体上的平面。大量算例说明这种解释线框图的方法是可行的和有效的。该 方法也可用来对透视线框图进行解释，只需对平面的表达方式稍加改变即可。 第五章为基于点与直线的相对位置关系解释线框图，在建立了相关约束关 系式的基础上，提出一种基于点与直线的相对位置关系递归解释线框图的新方 法。相关的约束关系式有：具有从属关系的点与直线的约束关系式，具有垂直、 平行、定夹角、相交关系的直线与直线的约束关系式，主要针对的是正轴测投 影线框图的计算机解释。该方法可以用来解释画隐线框图和自然线框图，其前 提也是需要从线框图的平面结构推出它的空间结构，但需要的仅仅是线框图对 应的平面立体上点与直线的从属关系，由于线框图的平面结构中已包含节点与 直线的从属关系，而线框图中的节点与平面立体上的顶点以及线框图中的直线 与平面立体上的直线具有一一对应关系，因此从线框图的平面结构很容易推出 它的空间结构。大量算例证明这种解释线框图的方法是可行的和有效的。 第六章为结束语，概括了本文的工作和研究结果，并对后续工作进行了展 望。 本文的主要创新点为：提出了基于点与直线的相对位置关系解释线框图的 新思路，给出了相关的约束关系式，在此基础上提出了递归解释线框图的新方 法，具体算例证明了该方法是可行的和有效的。相对于基于点与平面的相对位 置关系解释线框图，基于点与直线的相对位置关系解释线框图具有容易从线框 图的平面结构推出其空间结果的优点。 西北工业大学7 硕= t 学位论文 第二章直线的坐标 第二章直线的坐标 2 1 引言 在线框图的计算机解释的研究中，本论文主要研究基于点的线框图解释理 论，其中牵涉到点与直线的位置关系，因此这里介绍一下二维直线和空间直线的 表示方法，然后选取合理的直线表达方式。通过比较现有的直线表示方法的优缺 点，从中选取最优的表示法，即最适用的表示法。 2 2 平面直线的表示法 首先介绍二维直线的表示。众周所知，平面直线的表示方法很多，例如有斜 截式、截距式、点斜式、一般式等。选取直线表示方法的原则是：不仅能表示平 面内的所有直线，而且在表示和直线之间应存在一一对应的关系，即直线的表示 应具有唯一性。 这里提出直线的坐标概念。所谓直线的坐标，其实质是根据直线表示方程中 的参数设立对应的坐标轴，建立相应的直线坐标系。下面介绍各种直线的表示方 法及其对应的直线坐标系： ( 1 ) 斜截式 斜截式表示法是采用直线的斜率女和截距b 来 表示平面内的直线。这种表示方法的方程为： y = h + 6 ( 2 1 ) 其中k 为斜率，k = t g a ，a 为直线与z 轴的夹角， 0s 口 7 c ；b 为截距。 y 。， ， ， b o x 图2 - l 直线的斜截式表示法 采用斜率k 和截距b 作为坐标轴建立二维直线坐标系，这样可以用该坐标系 中的一个点来表示平面上的一条直线。但不是所有平面直线都可以用这种直线坐 标系中的点表示，如平行于y 轴的任意一条直线，其斜率k 为无穷大，无法用该 直线坐标系中的一点来表示该直线。因此，斜截式直线表示法不能表示平面上所 有直线，这不符合直线表示法的选择原则，本文不采用这种直线表示法。 ( 2 1 截距式 两北t 业大学硕士学位论文 第二章直线的坐标 截距式表示法是采用直线在x 轴的截距a 和在_ y 轴上的截距b 来表示平面内 的直线。对应的直线方程为： 兰+ y ：1( 口，b 0 )( 2 2 ) ab 建立相应的直线坐标系，用a 和b 作为坐标轴。该 直线坐标系里的点对应平面中的直线，但这两个坐 标系不存在一对应的关系，例如，所有通过原点 的直线在直线坐标系中都只对应一个点= o ，b = o ) 等，因此，截距式表示法不能全面表示平面中的任 意直线。本文不采用这种表示法。 ( 3 ) 点斜式 点斜式表示法是采用直线所通过的一个点m ( x o ， y o ) 和斜率k 来表示平面直线。对应的直线方程为： y y o = k ( x 一) ( 2 3 ) 点斜式表示法表示一条直线需要3 个参数。这种。 表示法的缺点是参数较多，并且不能表示斜率k 为 无穷大的直线。因此，不采用此种表示法 f 4 ) 两点式 两点式表示法用直线上任意两点来表示该直 线。设平面内一条直线通过点m l ( x l ，y 1 ) 和点 如， y 2 ) ，则直线的方程为： y 、 、 b b 、 、 1 ，7 一、9 0n j x a 、 、 图2 - 2 直线的截距式表示法 l y f b j j 。7 f 图2 - 3 直线的点斜式表示法 m 。( x by 0 、d 0 x , m ，( x 。，y ) ! 二苎：羔二苎( 2 4 ) 图2 - 4 直线的两点式表示法 x 2 一玉儿一_ y i 两点式表示法表示平面内一条直线需要四个参 数，坐标系的维数太多。因此，这种表示法也不是最 佳方法。 ( 5 ) 一般式 平面直线的一般式表示法的方程为： 4 x + 曰v + c = 0( 2 5 ) 这种直线表示法可以表示平面内任意条直线 维) 。因此，不采用此种表示法。 y 、 0、 图2 - 5 直线的一般式表示法 但坐标系的为数过多( 三 孤北1 = 业大学硕卜学位论文 第二章直线的坐标 ( 6 ) 参数式 设平面内任意一条直线，该直线通过m ( x o ， y o ) ，并且与x 轴的夹角设为i f , ，那么直线f 的参数式 表示方程如下： y x = ：x y o 。+ + t ，c 。o i n s 口口 这种直线表示法参数过多 坐标系，不采用此方法。 ( 7 ) 极坐标式 ( 一。d ， + c 。) ( 2 6 ) y m ( x 口，y ，) ， z o ! 弋托 不适合建立相应的直线图2 - 6 直线的参数式表示法 设p 为极点到平面直线的距离，a 为极轴与从 极点引到直线的垂线之间的夹角( 逆时针方向为 正) ，p 为该直线上任意一点m 的极角，p 为m 点 的矢经。则直线的极坐标式的方程如下： d ：旦一 ( 2 7 )图2 7 直线的极坐标式表示法 c o s ( p 一口、 因此，确定以平面直线只需2 个参数，即极点到该直线的距离p 和角a ，并且这 两个参数几何意义明确，最为重要的是以这两个参数为直线的坐标，在直线与直 线坐标系中的点之间可以建立一一对应的关系，因此依据直线的极坐标式表示法 建立直线坐标系是可行的。 ( 8 ) 法线式 设平面内一条直线l ，将原点0 到直线的垂线 长定义为法线长，用n 表示，并定义0 为法线与x 轴的夹角。 平面直线的法线式方程为： y 。 爻1 3 、。、 o x c o s o + y s i n o n = 0 ( 2 8 )图2 - 8 直线的法线式表示法 因此，用该方法确定平面内一条直线只需两个参数。由这种直线表示法建立 的直线坐标系，可以表示平面内所有直线，平面直线与直线坐标系中的点具有一 一对应的关系。这符合选用直线表示法的原则，本文将采用法线式表示法。 ( 9 ) 其他表示法 除了以上8 种方法之外，直线还有矢量式表示法和复数式表示法。 综上所述，极坐标表示法和法线式表示法都符合要求，本文选用法线式表示 1 0 西北_ t 业大学硕 一学位论文 第二章直线的坐标 法表示平面直线。 2 3 空间直线的表示 在计算机视觉中，要解决二维图像获取三维信息的问题，不仅要解决恰当选 取二维图像的特征及其表示方法的问题，还应解决与二维图像特征相对应的三维 空间元素的表示问题。本文中所用的图像特征是点和直线，这里主要讨论空间直 线的表示法。 三维空间直线的表示似乎是个很简单的问题，但是，至今为止，这个问题还 没有得到一个令人满意的答案。为什么看似简单的问题却至今也未得到满意的答 案呢? 原因就是人们研究发现，能够唯一地确定空间一条直线所需要的参数最少 是4 个，然而这四维的参数空间却不是我们熟悉的欧几里德空间。研究者提出了 一些解决方法，但每一种方法在实际应用中都存在问题。c h a n g 4 2 】对现有的几种 三维空间直线表示法进行了总结，下面介绍常用的三维空间直线表示法。 ( 1 ) 6 参数表示法 表示三维空间直线最简单、最常用的方法是采用该条直线所经过的一个空间 点和该直线的方向。这种表示法所建立的空间直线的表示方程如下： h = a t + p y ：b t + 日 ( 2 9 ) l z2 c h 。r 因此，一条直线需要6 个参数。这6 个参数可以唯一地确定一条空间直线，但一 条空间直线在这6 参数空间中却有无穷多个有效表示。这违背了参数具有独立性 的基本要求。 ( 2 ) 4 参数加1 整数标记表示法 使直线表示法具有唯一性的方法之一是将上面方程组6 个参数中的两个参数 固定。例如，可以令参数c = 1 ，参数r = o ，那么空间直线的方程如下： j 。2 “+ p( 2 1 0 ) i y = b z + q 式( 2 1 0 ) 不能表示垂直于z 轴的空间直线。为了表示所有的情况，还需要一个 类似的方程。令参数b = l ，q = o ，则空间直线的方程为： j 。2a y + p( 2 1 1 ) lz = c y + r 式( 2 1 1 ) 不能表示垂直于y 轴的空间直线。令参数萨1 ，1 7 = 0 ，则空间直线的方 西北 二业大学硕l 学位论文 第二章直线的坐标 程为： j 户缸+ q( 2 1 2 ) 【z 2 c x + ， 式( 2 1 2 ) 不能表示垂直于x 轴的空间直线。 因此，确定一条空间直线除了须确定4 个参数之外，还须一个整数标记，该 标记用来表明采用上述3 个方程组中的哪一个来表示该直线。对于已知三维空间 直线，采用这种表示法估计直线参数是一种可行的方法。但是如果预先不能明确 空间直线的模型，采用这种方法就会出现问题。因为不明确是哪一个空间模型来 对应所要表示的空间直线，所以必须3 个模型都试试，这样做必然会增加计算的 复杂性和计算量，而这种情况又是常见的。因此这种4 个参数加1 整数标记的空 间直线表示法也存在有一定的缺陷。 ( 3 ) 四维表示法 r o b e r t 提出一种直线表示方法。r o b e r t 认为：空间的任意一条直线只需经过 如下的操作都可以被准确地定义，首先，空间直线分别绕x 轴、y 轴旋转，使该 直线与z 轴平行：然后，再使该直线绕z 轴旋转与x 轴相交：最后，使该直线沿 x 轴平移至原点。这样，一条空间直线就仅由4 个参数唯一确定：3 个角度和1 个距离( 带有正负号) 。这种空间直线表示法不仅可以表示所有的直线，而且当 角度值限定在一定范围时，每条直线有且只有一种表示。但是，这种表示法使三 维空间与二维投影之间的相互转换问题变得复杂。 ( 4 ) 垂直相交两平面表示法 c h a n g 提出一种新的直线表示法一一垂直相交两平面表示法。这种直线表示 法具有唯一性，而且在二维投影和三维空间之间具有十分简单的对应关系。这种 表示法是在二维投影直线以斜截式表示的基础上建立的。通过上一节对二维直线 表示法的分析，我们知道，斜截式二维直线表示法存在缺陷，因此，以此为基础 建立的三维直线表示法也不可避免地会产生问题。针对这一问题，依据c h a n g 提出的原理，张提出一种新的三维直线表示法，该表示法以二维投影直线用 法线式表示为基础。 设三维空间有平面7 r l 和平面砬，它们相交于空间直线，则该直线的方程为： 口l 。+